奈奎斯特稳定性判据

一、奈奎斯特稳定性判据 【3 奈奎斯特稳定性判据】 由式（1）可知：系统渐近稳定的充分必要条件是 (2) 由式（1）还可知：渐近稳定的必要条件是 N N； 发散不稳定的充分条件是 N N 。
当开环频率特性通过[GH]平面上点时，且当曲线 在点 (1, j0) 左右作微小移动时，会使系统由渐近 稳定变成发散不稳定，或会使系统由发散不稳定 变成渐近稳定，系统称为临界稳定。
i 1 n i 1
G ( j ) H ( j ) 0
n m A( ) 0
G( j ) H ( j ) 90 (n m)
nm 1 nm 2 nm 3 nm 4
一、奈奎斯特稳定性判据
3 与实轴的交点
K:
V ( x ) 0 ( x ) k ,
【2 开环对数频率曲线(Bode图)的绘制】
1 思路：将复杂的 G(s)H(s)分解为典型环节的串联
G( s) G1 ( s)G2 ( s)G3 ( s)...... Gk ( s)
L( ) 20 lg G( j ) H ( j ) 20 lg G1 20 lg G2 20 lg Gk ( ) G( j ) H ( j ) G1 G2 Gk
三、例题详解
【解答】 首先将各点的坐标改写成
0.05 K 20 K 50 K , , 500 500 500
闭环系统渐近稳定的条件：
K K 20 1 0.05 500 500
或
1 50
K 500
由 20
K K 1 0.05 500 500
得 25 K 10000 得 0 K 10
三、例题详解
【解答】 (1)
半奈奎斯特曲线
10 G( s) H ( s) s(0.2s 1)( s 1)
首先把 G(s) H (s) 写成标准形式 ： 频率特性：
10(1 0.2 2 ) G( j ) H ( j ) j 2 2 (1 0.04 )(1 ) (1 0.04 2 )(1 2 ) 8
【解答】 (2)
系统稳定性
Z P 2( N N_ ) 0
P 1, v 1
系统为渐近稳定系统。
三、例题详解
【例5】 某负反馈非最小相位系统，其开环传递函数为
10 G(s) H (s) s(0.2s 2 0.8s 1)
试:（1）画出半奈奎斯特曲线； （2）判定系统的稳定性。
试:（1）画出半奈奎斯特曲线； （2）判定系统的稳定性。
三、例题详解
【解答】 (1)
半奈奎斯特曲线
K (1 j ) 1.1 1 0.1 2 G( j ) H ( j ) K jK 2 j ( j0.1 1) (1 0.01 ) (1 0.01 2 )
1
三、例题详解
【例1】 某系统的开环传递函数 G(s) H1 (s)e s，其无零点二节 环节 G(s) H1 (s)的幅相特性曲线如下图所示。试求使 系统稳定的 取值范围。
三、例题详解
【解答】 由给定条件可知：
其幅频特性和相频特性：
三、例题详解
【解答】 由式（2），当 2 时，有
三、例题详解
【解答】
三、例题详解
【解答】
三、例题详解
【例3】 某负反馈控制系统，开环传递函数
试：（1）画出幅相特性曲线；（2）判定稳定性。
三、例题详解
【解答】 (1)
幅相特性曲线
K (T1 T2 ) 1 2TT 1 2 G( j ) H ( j ) j (1 2T12 )(1 2T22 ) (1 2T12 )(1 2T22 )
2
900 900
一阶、二阶微分环节时，幅相曲线上会
s:
90 90
0
0
有凹凸点，即相角不会单调减少。
二、对数频率特性稳定性判据 【1 对数频率特性稳定性判据】 在给定负反馈闭环系统的开环传递函数右半s平面极 点个数 P 及对数幅频特性、相频特性，且
(c ) (2k 1) 180
幅值变化： A(0 ) , A() 0
( ) : 270 270 相角变化：
三、例题详解
来自百度文库【解答】 (2)
系统稳定性
Z P 2( N N_ ) 2
P 1, v 1
系统为发散不稳定系统。
三、例题详解
【例6】 设某负反馈系统的频率特性曲线如下图所示。开环 增益 K 500 ，S右半平面极点数 P 0 ，坐标原点极 点数 v 2 。试确定使系统渐近稳定的K取值范围。
一、奈奎斯特稳定性判据 【3 奈奎斯特稳定性判据】
式中：P —开环传递函数位于右半s平面极点的个 数； N —半奈式曲线逆时针方向穿越点(1, j0) 左 侧实轴的次数。而逆时针起始于或终止 于点 (1, j0)左侧实轴的次数，折半计算 N —半奈式曲线顺时针方向穿越点(1, j0) 左 侧实轴的次数。而顺时针起始于或终止 于点 (1, j0)左侧实轴的次数，折半计算 Z —闭环传递函数，位于右半s平面极点的 个数，即特征方程位于右半s平面根的 个数。
幅值变化： A(0 ) , A() 0 相角变化： K : 180 180

1 j : 0 45 90
1 : 0 45 90 1 j0.1
1 : 90 90 j
() : 270 90
三、例题详解
K 由 1 50 500
三、例题详解
【例7】
某单位负反馈非最小相位系统，其开环传递函数为：
奈奎斯特稳定性判据
韩春艳
2012年9月
一、奈奎斯特稳定性判据 【1 奈奎斯特围线】
奈奎斯特围线是如下点的集合：s平面上j 轴上除 了极点外所有点的集合，加上 j 轴上极点处半径 为无穷小右半圆上点的集合，再加上右半s平面半 径为无穷大半圆上点的集合。
【2 奈奎斯特曲线】
奈奎斯特曲线是s平面上奈奎斯特围线，按 G(s) H (s) 规则在平面 G(s) H (s) 上的影射。
【解答】 (2)
系统稳定性
Z P 2( N N_ ) 0 2(0 1) 2
P 0, v 1
系统在 K
T1T2 1 条件下，发散不稳定。 T1 T2
三、例题详解
【例4】 某单位负反馈非最小相位系统，其开环传递函数为
K ( s 1) G( s) H (s) , ( K 1) s(0.1s 1)
一、奈奎斯特稳定性判据 【4 Nyquist相曲线的绘制】
开环幅相曲线的绘制 精确曲线 ——由表达式取点，计算，描点。 概略曲线 ——工程方法。 概略幅相曲线的三要素：
0 1）起点： A( ), ( ) 终点：
2) 与实轴交点及交点处的频率，称为穿越频率ωx； 3) 曲线变化范围：象限，单调性。
一、奈奎斯特稳定性判据 【3 奈奎斯特稳定性判据】
在给定系统的半奈奎斯特曲线及开环传递函数 G( s) H ( s) 在右半s平面极点的个数P，可利用奈奎 斯特稳定性判据判定系统的稳定性。负反馈闭环 (1, j0) 系统，当其开环频率特性不通过[GH]平面上点 时，则闭环传递函数位于s右半平面极点的个数为 (1)
2
K
4
G( j0) H ( j0) 1800
G( j0) H ( j 0) 2700
1
0
4 G( j0) H ( j 0) 3600
2 终点 —— m 对应的 G( j ) G( j )
n m A( )
K i Ti
一、奈奎斯特稳定性判据
1 起点 —— 0 对应的 G( j ) G( j ) m
G( s) H ( s) K ( i s 1)

i 1 n i 1
( m n)
s (Ti s 1)
3

0 1 2 3
G( j 0) H ( j 0) K G( j 0) H ( j 0) 900
时，可应用对数频率特性稳定性判据，判定系统的 稳定性。基于Bode图和基于Nyquist图的两种稳定性 判据是一致的，只是坐标系不同而已。 负反馈闭环系统，位于右半s平面极点的个数为 (3)
二、对数频率特性稳定性判据
式中：P —开环传递函数位于右半s平面极点的个 数； N —相频特性曲线正穿越次数。在 L( ) 0 ( ) 自下而上穿越 对应的频率范围内， (2k 1) 180 线的次数，其中自下而上起 始于或终止于该线的次数，折半计算； N —相频特性曲线负穿越次数。在 L( ) 0 ( ) 自上而下穿越 对应的频率范围内， (2k 1) 180 线的次数，其中自上而下起 始于或终止于该线的次数，折半计算； Z —闭环传递函数，位于右半s平面极点的 个数，即特征方程位于右半s平面根的 个数。
00 900
Ts 1 :
00 900
1 0 0 180 : ( s / n )2 2 ( s / n ) 1
0 1800
s
2 2
n

2
1 : s
n
s 1 : 0 180
0
2 0 0 180 s 1 : 2 n 当 G(jω)H(j ωn) 包含非最小相位环节或 s
即总的 L( ), ( )曲线等于各典型环节的叠加。 2 步骤 比例 1) 分解 G( s ) H ( s ) 积分、微分 一阶惯性、一阶微分 二阶振荡、二阶微分
2)求各环节转折频率，并从小到大排列： 最小的转折频率ωmin和最大的ωmax。
3) 低频段
La ( ) ω<ωmin： 由K和积分环节决定. a ( ) 0 20 l g K 水 平 线 0 线 ( ) La ( ) 1 0 20 dB / dec 斜 线 90 线 s
二、对数频率特性稳定性判据
由式（3）可知：系统渐近稳定的充分必要条件是 (4)
由式（3）还可知：渐近稳定的必要条件是 N N； 发散不稳定的充分条件是 N N 。
在 c g 的条件下，当系统参数有微小变化使 c g 时，会使系统由渐近稳定变成不稳定或相反，在这 种条件下，称系统为临界稳定。
k 0,1,2......
K:
x ——穿越频率
4 曲线变化范围（象限及单调性）
0 0 00
0 90
0 0
1800 1800
1 : Ts 1
1 : Ts 1
Ts 1 :
1 : 2 ( s / n ) 2 ( s / n ) 1
00 900
幅值变化： A(0 ) , A() 0 相角变化： K : 0 0

1 : 90 90 j

1 : 0 45 90 1 jT1

1 : 0 45 90 1 jT2
() : 90 270
三、例题详解
90 arc tanT = 135
则 T = 1 ，即 T = 0.5 ； 由式（1），当 2 时，有
；
K
1 T
2
2
2
得K =4
三、例题详解
【解答】
三、例题详解
【例2】 某单位负反馈系统，其开环传递函数为
试大致画出奈奎斯特图，并确定使系统渐近稳定的 K 取值范围。
① 在ω<ωmin上任取ω0，计算 20lg K 20lg0 位置确定： (三种方法) ② 0 1 : La (1) 20lg K
③ 取 La (0 ) 0 即K / 0 1 0 K 4) ωmin<ω<ωmax： 按转折频率对应的环节绘制 5) 必要时作修正.