一中学17—18学年下学期高一开学考试(第一次测试)数学试题(附答案)

2017-2018学年第二学期高一年级期初考试 数学试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．如果A＝{x|x>－1}，那么( ) A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A 2．函数f(x)＝x3＋x的图象关于( ) A．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称

3．已知△ABC中，tan A＝－512，则cos A等于( )

A.1213 B.513 C．－513 D．－1213 4．若0A．2m>2n B．(12)m<(12)n C．log2m>log2n D．12logm>12logn 5．已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－4)，若a∥b，则a·b等于( ) A．－10 B．－6 C．0 D．6 6．若|a|＝2cos 15°，|b|＝4sin 15°，a，b的夹角为30°，则a·b等于( )

A.32 B.3 C．23 D.12 7．设cos(α＋π)＝32(πA.12 B.32 C．－32 D．－12 8．函数y＝Asin(ωx＋φ) (ω>0，0<|φ|A．y＝)438sin(4x B．y＝)438sin(4x C．y＝)48sin(4x D．y＝)48sin(4x 9．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝π3对称的是( ) A．y＝sin2x＋π6 B．y＝sin2x－π6 C．y＝sinx2－π3 D．y＝sinx2＋π6 10．若向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)互相垂直，其中x∈R，则|a－b|等于( ) A．－2或0 B．25 C．2或25 D．2或10 11．已知0A．2 B．3 C．4 D．与a值有关 12．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则有( )

A．f(13)

C．f(12)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．计算：0.25×(－12)－4＋lg 8＋3lg 5＝________.

14．已知α为第二象限的角，sin α＝35，则tan 2α＝________. 15．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π2≤φ≤π2)的图象上相邻的最高点和最低点之间的距离为22，且过点(2，－12)，则函数f(x)＝________. 16. 如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题： ①AC→＋AF→＝2BC→； ②AD→＝2AB→＋2AF→； ③AC→·AD→＝AD→·AB→； ④(AD→·AF→)EF→＝AD→(AF→·EF→)． 其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号) 三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知向量a＝(sin θ，1)，b＝(1，cos θ)，－π2(1)若a⊥b，求θ； (2)求|a＋b|的最大值．

18．(12分)已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞，＋∞)，04. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的解析式；

(3)若f(23α＋π12)＝125，求sin α.

19．(12分)如图，以Ox为始边作角α与β(0两点，已知点P点的坐标为(－35，45)． (1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值； (2)若OP→·OQ→＝0，求sin(α＋β)．

20．(12分)已知a＝(sin x，－cos x)，b＝(cos x，3cos x)，函数f(x)＝a·b＋32. (1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x≤π2时，求函数f(x)的值域．

21．(12分)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图

象，求函数g(x)在区间[0，π16]上的最小值． 22．(12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ax－1.其中a>0且a≠1. (1)求f(2)＋f(－2)的值； (2)求f(x)的解析式； (3)解关于x的不等式－12017-2018学年第二学期高一年级期初考试 数学试题答案 一、选择题 1．D 2．C 3．D 4．D 5．A 6．B 7．A 8．A 9．B 10．D 11．A 12．C 二、填空题

13．7 14．－247 15． sin(πx2＋π6) 16. ①②④ 解答题 17．解 (1)若a⊥b，则sin θ＋cos θ＝0.

由此得tan θ＝－1(－π2(2)由a＝(sin θ，1)，b＝(1，cos θ)得 a＋b＝(sin θ＋1,1＋cos θ)，

|a＋b|＝θ＋2＋＋cos θ2＝3＋θ＋cos θ＝3＋22θ＋π4， 当sin(θ＋π4)＝1时，|a＋b|取得最大值， 即当θ＝π4时，|a＋b|的最大值为2＋1.

18．解 (1)∵f(x)＝Asin(3x＋φ)，∴T＝2π3， 即f(x)的最小正周期为2π3. (2)∵当x＝π12时，f(x)有最大值4，∴A＝4. ∴4＝4sin3×π12＋φ，∴sinπ4＋φ＝1. 即π4＋φ＝2kπ＋π2，得φ＝2kπ＋π4(k∈Z)． ∵0∴f(x)＝4sin3x＋π4. (3)∵f23α＋π12＝4sin323α＋π12＋π4＝4sin2α＋π2＝4cos 2α. 由f23α＋π12＝125，得4cos 2α＝125，∴cos 2α＝35， ∴sin2α＝12(1－cos 2α)＝15， ∴sin α＝±55. 19．解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45， ∴原式＝2sin αcos α＋2cos2α1＋sin αcos α＝2cos αα＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos2α＝2·(－35)2＝1825.

(2)∵OP→·OQ→＝0，∴α－β＝π2， ∴β＝α－π2， ∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35， cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45. ∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725.

20．解 (1)f(x)＝sin xcos x－3cos2x＋32 ＝12sin 2x－32(cos 2x＋1)＋32 ＝12sin 2x－32cos 2x＝sin(2x－π3)． 所以f(x)的最小正周期为π. 令sin(2x－π3)＝0，得2x－π3＝kπ，∴x＝kπ2＋π6，k∈Z.

故所求对称中心的坐标为(kπ2＋π6，0)，(k∈Z)． (2)∵0≤x≤π2，∴－π3≤2x－π3≤2π3.∴－32≤sin(2x－π3)≤1，即f(x)的值域为[－32，1]．

21．解 (1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cos ωx＋cos2ωx.

所以f(x)＝sin ωxcos ωx＋1＋cos 2ωx2＝12sin 2ωx＋12cos 2ωx＋12＝22sin2ωx＋π4＋12. 由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝22sin2x＋π4＋12， 所以g(x)＝f(2x)＝22sin4x＋π4＋12. 当0≤x≤π16时，π4≤4x＋π4≤π2， 所以22≤sin4x＋π4≤1.

因此1≤g(x)≤1＋22. 故g(x)在区间0，π16上的最小值为1.

22．解 (1)∵f(x)是奇函数， ∴f(－2)＝－f(2)，即f(2)＋f(－2)＝0. (2)当x<0时，－x>0， ∴f(－x)＝a－x－1. 由f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)， ∵f(－x)＝a－x－1， ∴f(x)＝－a－x＋1(x<0)．

∴所求的解析式为f(x)＝ ax－1 x－a－x＋x.

(3)不等式等价于 x－1<0－1<－a－x＋1＋1<4 或 x－1≥0－1即 x－1<0－3当a>1时，有 x<1x>1－loga2或 x≥1x<1＋loga5， 注意此时loga2>0，loga5>0， 可得此时不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)． 同理可得，当0综上所述，当a>1时， 不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)； 当0