2008-2011北京大学(北约)自主招生数学试题(全附答案)

２ｓ＝口ｌ＋ａ２＋口３＋ｂｌ＋ｂ２＋ｂ３，
形
＝
舞ＡＣＢＡＢＡ慧ＣＢ麓ＡＣ ＝／缓二Ｃ
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ｌ／
Ｄｋ
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ＢＡ 。，
。
口２丁，６２丁，
．ａｌ一口２
ｂＩ—ｂ２
Ｂ Ａ ＋￡ Ａ Ｂ Ｃ ＋￡Ｃ ．，二 Ｃ
即证｛一（口Ｉ＋口２＋ｂＩ＋６２）一（口ｌ＋ｄ２＋口，＋
ａ 口ｌ ａ 口２
２丁＋口，
２丁一口＇
【百１８９】＋１＝１３分，而北方最高分的最大值为６＋ｎ
万方数据
１４
中’？善ｉ：．７（２００ｓ年第２期・高中版）
南方球队内部比赛总得分ＣⅢ２
，１２
・解题研究・
＝１３６，
一ｌ＝１１分＜１３分，
．・．
冠军在南方队
北方球队内部比赛总得分ｃ２＝２８，
北方胜南方得分＝３０—２８＝２， 北方球队最高得分＝７＋２＝９， 因为９×１７＝１５３＜２７０， 所以南方球队中至少有一支得分超过９分． 冠军在南方球队中．综上所述，冠军是一支南方 球队． 点评这道试题要注意突破口的选择，也需要 耐心和比较强的推理、分析能力． ５．（理科）０一ｘｙｚ坐标系内ｘｏｙ平面系内０≤，，≤ ２一石２绕），轴旋转一周构成一个不透光立体在点 （１，０，１）设置一光源，在ｘｏｙ平面内有一以原点为圆 心的圆ｃ被光照到的长度为２霄，求曲线Ｃ上未被照 到的长度．
ｃ：＋。＋ｎ（肛＋９）≥召，ｃ：≤Ａ，
即３ｎ２—２２ｎ一３６。＜０．
‘．・
’Ｂ＝９Ａ，
．・．ｃ：＋９＋ｎ（，ｌ＋９）≥Ｂ＝９Ａ１＞９ｃ：，
（１）
，’２
又总分为乞Ⅲ有１０Ｉ乞小钴厶（１）得厅＝６或８．
１。ｎ：：６时，北方有６支队，得分二等分・其中
北方队之间产生分数醒分．
故北方胜南方２ｌ一１５＝６场．南方有１５支队，得 分２１×９＝１：８９分． 由抽屉原理知南方队中最高分的最小值为
AB AB 大值（否则取 A 点关于 y 轴的对称点 A ，有 ） ．
P
B Q
不妨设 A 位于线段 OR2 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是 合理的） ，则使
AB
最大的 B 点必位于线段 PQ 上．
R2 A O R1
AB max AP 或 AQ AB 且当 B 从 P 向 Q 移动时， 先减小后增大， 于是 ；
2、以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为 x 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系． ⑴当 A , B 中有一点位于 P 点时，知另一点位于 R1 或者 R2 时有最大 值为
PR1
P Q
；当有一点位于 O 点时，
AB max OP PR1
；
R2
O
R1
⑵当 A , B 均不在 y 轴上时，知 A , B 必在 y 轴的异侧方可能取到最
‘。。，
南方球队内部比赛总得分ｃ２＋，＝１０５， 北方球队内部比赛总得分Ｃ：＝１５，
北方胜南方得分＝２１—１５＝６， 北方球队最高得分＝５＋６＝１ｌ， 因为１１×１５＝１６５＜１８９。 所以南方球队中至少有一支得分超过１１分．冠 军在南方球队中．
Ｊ口＋２ｂ＋ｄ＝ｏ。得切面２ｘ＋Ｙ＋２ｚ一４＝０，故交
２
２。ｎ＝８时，北方有８支队，得分号≠分．其中
北方队之间产生分数：ｃ２＝２８分．故北方胜南方３０
一２８＝２场，南方有１７支队，得分３０ ｘ９＝２７０分． 由抽屉原理知南方队中最高分的最小值为
【署】小－６分，
而北方最高分的最大值为２＋ｎ—ｌ＝９分，
所以冠军在南方队，综合ｌ。，２。知冠军在南方队
解法２设北方球队共有菇支，则南方球队有 聋＋９支，所有球队总得分为
5． （仅理科做）存不存在
0 x
7
答案：
0 x f ( x ) x sin x f (0) 0 2 时， f ( x) 1 cos x 0 ．于是 f ( x) 在 1、不妨设 ，则 ，且当 0 x 2 上单调增．∴ f ( x) f (0) 0 ．即有 x sin x ．
・解题研究・
中‘７歆・７（：ｚｏｏｓ年第２期・高中版）
１３
２００８年北京大学自主招生数学试题赏新
４３００１６湖北省武汉市第六中学 常晓兵
¨譬＋６＇心譬－６（ａ巩６≥ｏ），
则口３＝ｓ—ｄ，ｂ，＝ｓ一卢（ａ≥ＪＢ）．
正五边形对角线长为＜皇岩．
删Ｅ，则
篡嚣攀ｃ够／
。。。中，
ＢＣ 。
＝
。
即证詈＋口≤譬＋６，即证｝焉≥＿．１
5
答案： 1、 不妨设角 ADC 为 a,那么角 ABC=π-a。 由余弦定理可得 AC=根号（9+16-24cosa)=根号(1+4+4cosa) 从而可解出 cosa=5/7.即有 sina=2(根号 6)/7. 代入 cosa=5/7,可得 AC=根号（55/7). 所以圆的半径就是 AC/2sina. 2、设 13=a1+md,25=a1+nd,41=a1+kd. 那么我们可得 a1+(m+499(k+m-2n))d=2009. 而实际上这道题是有漏洞的，因为 (m+499(k+m-2n))可能是负的，也就是当这是递减的等差数列的时候，那么 2009 就不在这个 数列中了。 3、 挺简单，设 a=tanx+（根 3）,b=cotx+(根号 3）,假设均为有理数。 那么由(a-（根号 3） ） （b-（根号 3） ）=1 可得（a+b）根号 3=ab+2.若 a+b 非零，除过来就矛盾了。 所以必有 a+b=0，此时 ab+2 也是 0. 显然与 a，b 是有理数矛盾。 4、b=0 的时候可知得有|a|≤1.,此时 a+b≤1.下面考虑 b 不等于 0 的情况。 代入+1 和-1 后得出的式子可以化成|a|≤b+1.....(1)（必有 b≥-1) 对称轴的位置是 x=-a/4b.当对称轴在[-1,1]外的时候 那么 1≤|-a/4b|≤(b+1)/4|b|. 分类讨论后就可以得出 b≤1/3.此时 a+b≤b+1+b≤5/3. 若对称轴在[-1,1]内，则可得 a^2≤8（b-b^2)......(2) 这里注意到(b+1)^2-8(b-b^2)=(3b-1)^2≥0.故只需要(2)式成立,就必有 (1)式也成立。此时用柯西不等式 (a+b-1/2)^2≤（a^2+8(b-1/2)^2)(1+1/8)≤9/4 那么就有了 a+b≤2.等号成立的充要条件是 a=4/3,b=2/3,易验证这是成立的. 比较三种情况，显然 2 是 a+b 的最大值， 5、设优秀有 a 人，及格 b 人，不及格 c 人。 则 a+b+c=333 ① 6a+4b+0c≤1000（这里都取各层次里的最少人，故用小于等于） 即 6a+4b≤1000 即 3a+2b≤500 由①得 2a+2b=666-2c 即 a+666-2c≤500 即 a+166≤2c 若 a≥167 则这 167 人至少共解出 167*6=1002 道题，矛盾 故 a≤166 故 a+166≤166+166≤2c 即 c≥166 所以 c≥166≥a 即不及格得人数大于等于优秀的人数
解得半≤菇≤半＜学＝９．
ｌＯ ２
’ｖ’
坐爿兴唑一坐≯巩
图３
图４
分析（如图３）显然所研究的应该是过光源点 的抛物面的切面在ｘｏｙ平面中与圆的交线所构成的 （平面）几何图形（如图４）． 解茗２＋，＝２一，，，抛物面Ｙ＝２一矿一，，
因为垡生塑等羔盟为整数，茗＝６或菇＝８，
ｕ知＋９—
魄＋９－垒型掣：（缸＋９）（戈＋４）：２１０．
ａ＋ｃ＋ｄ＝０．
线为２并＋Ｙ－４＝０．
由ｄ；竿，得Ｐ２争，可解｛；导ｒ（利用计算 【２ｐ・ｒ＝２霄．
。
南方球队总得分为而９垡生塑攀
当算＝８时，所有球队总得分为以＋＝３００，
器）所以ｆ＝２１ｒ（ｒ—１）． 点评这是最难的一道试题，首先必须要有很 强的想象力、推理能力，其次需要高超的解题技巧得 到切面和交线．（因需要高等数学知识如：偏导数等） 否则是无法完成试题的．
当茹＝６时，所有球队总得分为
１
一、ｍ’７，、＾’’，一
ａ仅ｙ髫：一２髫，得ｚ。｛三三。＿：２菇＋２，
似ａｙ＝也舭匪ｆｎ２，
取（Ｏ，２，１），（１，２，０），（１，０，１）。 设切面僦４－磅＋但＋ｄ＝０， ｆ２６＋ｃ＋ｄ＝０，
南方球队总得分为
北方球队总得分为丝生生炉：２１，
１１０
１兰兰＝２
１２ｆ兰兰±垒２＝２１兰兰±１１０２ｌ苎±兰２＝１８９．
（收稿日期：２００８０１１２）
：业等；｝盟＝２７０，
北方球队总得分为垡竺垡烨：３０，
万方数据
2009 年北京大学自主招生数学试题
1． 圆内接四边形 ABCD 中，AB＝1，BC＝2，CD＝3，DA＝4，求 ABCD 的外接圆半径． 2．已知一公差为正大无穷项等差数列，其中有 3 项：13，25，41．求证：2009 为数列中一 项． 3．是否存在实数 x，使 tan x 3,cot x 3 均为有理数？ 4．已知对 x， a cos x b cos 2 x 1恒成立，求 a+b 的最大值． 5．某次考试共有 333 名学生做对了 1000 道题，做对 3 道及以下为不及格，6 道及以上为优 秀，考场中每人做题数目不全同奇偶．问：不及格者与优秀者哪个多？
‘．。
．爻／瞅＼
口１口２
４－ａ１０３＋ａ２口３＝ｂｌｂ２＋ｂｌｂ３＋ｂ２ｂ３，