福建省福州 九年级(上)月考数学试卷(12月份)
人教版初中数学九年级上册月考试题A卷12月份(福建省莆田市
2018-2019学年福建省莆田市秀屿区秀山中学九年级（上）月考数学试卷（A卷）（12月份）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）若＝，则的值为（）A．1B．C．D．2．（4分）小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是（）A．B．C．D．3．（4分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB ＝8，则CD的长是（）A．2B．3C．4D．54．（4分）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝15°，则∠BAD的度数为（）A．15°B．30°C．60°D．75°5．（4分）如图，AE，BD相交于点C，BA⊥AE于点A，ED⊥BD于点D．若AC＝4，AB＝3，CD＝2，则CE的长是（）A．1B．2C．1.5D．2.56．（4分）如图，身高1.6米的学生小李想测量学校的旗杆的高度，当他站在C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2米，BC＝8米，则旗杆的高度是（）A．6.4米B．7米C．8米D．9米7．（4分）如图，线段AB是⊙O的直径，点C、D为⊙O上的点，过点C作⊙O 的切线交AB的延长线于点E，若∠E＝50°，则∠CDB等于（）A．20°B．25°C．30°D．40°8．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝1，DB＝2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于（）A．B．C．D．9．（4分）半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（）A．1：：B．：：1C．3：2：1D．1：2：3 10．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（）A．2.5B．1.6C．1.5D．1二、填空题（共6小题，每小题3分，共24分）11．（3分）已知圆O的半径是3cm，点O到直线l的距离为4cm，则圆O与直线l的位置关系是．12．（3分）已知正六边形的边长为2cm，则它的外接圆的半径为，它的内切圆的半径为．13．（3分）在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要使△ABC与△DEF相似，则需添加的一个条件是（写出一种情况即可）．14．（3分）已知扇形的半径为3cm，此扇形的弧长是2πcm，则此扇形的圆心角等于度，扇形的面积是．（结果保留π）15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AD＝3，BD＝6，CD的长为．16．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，分别以A，B，C为圆心，以2为半径作弧，则图中阴影部分的面积是．三、解答题（共86分）17．（10分）如图所示，残缺的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线CD交圆形轮片于点C，垂足为点D，若弦AB＝8，CD＝3，求圆形轮片所在圆的半径R．18．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E．（1）用圆规和直尺在图中作出AB的垂直平分线DE，并连接BD．（2）证明：△ABC∽△BDC．19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A （2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并写出C2的坐标．20．（8分）如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E．若BC＝BE．求证：△ADE是等腰三角形．21．（10分）如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点．且BE＝EC，BD，AE 相交于点F．（1）求△BEF的周长与△AFD的周长之比；（2）若△BEF的面积S△BEF ＝6cm2．求△AFD的面积S△AFD．22．（10分）如图，已知CD是⊙O的直径，点A为CD延长线上一点，BC＝AB，∠CAB＝30°．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为2，求的长．23．（10分）如图，AC是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC＝30°，∠APB＝60°．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及P A，PB的长．24．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC的垂直平分线交BC于D，交AB于E，交CA的延长线于F．求证：AD2＝DE•DF．25．（14分）如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，取的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于H．（1）求证：△HBE∽△ABC；（2）若CF＝4，BF＝5，求AC和EH的长．2018-2019学年福建省莆田市秀屿区秀山中学九年级（上）月考数学试卷（A卷）（12月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）若＝，则的值为（）A．1B．C．D．【分析】根据合分比性质求解．【解答】解：∵＝，∴＝＝．故选：D．【点评】考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．2．（4分）小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是（）A．B．C．D．【分析】根据90°的圆周角所对的弦是直径进行判断．【解答】解：A、不是圆周角，故本选项不能判断；B、根据90°的圆周角所对的弦是直径，本选项符合；C、不是圆周角，故本选项不能判断；D、不是圆周角，故本选项不能判断．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理的推论，即检验半圆的方法，90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆．3．（4分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB ＝8，则CD的长是（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据垂径定理由OC⊥AB得到AD＝AB＝4，再根据勾股定理可求出OD，然后用OC﹣OD即可得到DC．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝×8＝4，在Rt△OAD中，OA＝5，AD＝4，∴OD＝＝3，∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2．故选：A．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念解决问题，属于基础题．4．（4分）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝15°，则∠BAD的度数为（）A．15°B．30°C．60°D．75°【分析】由AB是圆的直径，则∠ADB＝90°，由圆周角定理知，∠ABD＝∠ACD ＝15°，即可求∠BAD＝90°﹣∠B＝75°．【解答】解：连接BD，∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠ACD＝15°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝75°．故选：D．【点评】本题考查了直径对的圆周角定理是直角和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．（4分）如图，AE，BD相交于点C，BA⊥AE于点A，ED⊥BD于点D．若AC＝4，AB＝3，CD＝2，则CE的长是（）A．1B．2C．1.5D．2.5【分析】利用条件可证明△ABC∽△DEC，根据相似三角形的对应边成比例可求得CE．【解答】解：∵BA⊥AE于点A，ED⊥BD，∴∠A＝∠D＝90°，且∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△DEC，∴＝，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝3，根据勾股定理得，BC＝5，∴＝，解得CE＝2.5．故选：D．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意勾股定理的应用．6．（4分）如图，身高1.6米的学生小李想测量学校的旗杆的高度，当他站在C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2米，BC＝8米，则旗杆的高度是（）A．6.4米B．7米C．8米D．9米【分析】因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．【解答】解：设旗杆高度为h，由题意得，h＝8米．故选：C．【点评】本题考查了考查相似三角形的性质和投影知识，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．7．（4分）如图，线段AB是⊙O的直径，点C、D为⊙O上的点，过点C作⊙O 的切线交AB的延长线于点E，若∠E＝50°，则∠CDB等于（）A．20°B．25°C．30°D．40°【分析】连接OC，根据切线的性质可知∠OCE＝90°，再由直角三角形的性质得出∠COE的度数，由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°，∵∠E＝50°，∴∠COE＝90°﹣50°＝40°，∴∠CDB＝∠COE＝20°．故选：A．【点评】本题考查的是切线的性质，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键．8．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝1，DB＝2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于（）A．B．C．D．【分析】根据DE∥BC，即可证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解．【解答】解：∵AD＝1，DB＝2，∴AB＝AD+DB＝3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝．故选：D．【点评】本题考查了三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．9．（4分）半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（）A．1：：B．：：1C．3：2：1D．1：2：3【分析】从中心向边作垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得．【解答】解：设圆的半径是r，则多边形的半径是r，则内接正三角形的边长是2r sin60°＝r，内接正方形的边长是2r sin45°＝r，正六边形的边长是r，因而半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为：：1．故选：B．【点评】正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．10．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（）A．2.5B．1.6C．1.5D．1【分析】连接OD、OE，先设AD＝x，再证明四边形ODCE是矩形，可得出OD ＝CE，OE＝CD，从而得出CD＝CE＝4﹣x，BE＝6﹣（4﹣x），可证明△AOD ∽OBE，再由比例式得出AD的长即可．【解答】解：连接OD、OE，设AD＝x，∵半圆分别与AC、BC相切，∴∠CDO＝∠CEO＝90°，∵∠C＝90°，∴四边形ODCE是矩形，∴OD＝CE，OE＝CD，又∵OD＝OE，∴CD＝CE＝4﹣x，BE＝6﹣（4﹣x）＝x+2，∵∠AOD+∠A＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，∴∠A＝∠BOE，∴△AOD∽OBE，∴＝，∴＝，解得x＝1.6，故选：B．【点评】本题考查了切线的性质．相似三角形的性质与判定，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形，证明三角形相似解决有关问题．二、填空题（共6小题，每小题3分，共24分）11．（3分）已知圆O的半径是3cm，点O到直线l的距离为4cm，则圆O与直线l的位置关系是相离．【分析】根据圆心O到直线l的距离大于半径即可判定直线l与⊙O的位置关系为相离．【解答】解：∵圆心O到直线l的距离是4cm，大于⊙O的半径为3cm，∴直线l与⊙O相离．故答案为：相离．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d ＞r，则直线与圆相离．12．（3分）已知正六边形的边长为2cm，则它的外接圆的半径为2cm，它的内切圆的半径为cm．【分析】利用正多边形的概念计算．【解答】解：长为2cm的正六边形可以分成六个边长为a的正三角形，而正多边形的内切圆的半径即为每个边长为a的正三角形的高，所以正多边形的内切圆的半径等于×2＝cm，外接圆半径是2cm，内切圆半径是cm．故答案为：2cm；cm．【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算．13．（3分）在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要使△ABC与△DEF相似，则需添加的一个条件是∠A＝∠D或BC：EF＝2：1（写出一种情况即可）．【分析】因为两三角形三边对应成比例，那么这两个三角形就相似，从题目知道有两组个对应边的比为2：1，所以第三组也满足这个比例即可．【解答】解：则需添加的一个条件是：BC＝2EF，且2＜BC＜14，1＜EF＜7．∵在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，∴AB：DE＝2：1，AC：DF＝2：1，∵BC：EF＝2：1．∴△ABC∽△DEF．则添加的条件可以为：①∠A＝∠D或②BC：EF＝2：1．故答案为：①∠A＝∠D或②BC：EF＝2：1．【点评】本题考查相似三角形的判定定理，关键知道两三角形三边对应成比例的话，两三角形相似．14．（3分）已知扇形的半径为3cm，此扇形的弧长是2πcm，则此扇形的圆心角等于120度，扇形的面积是3πcm2．（结果保留π）【分析】设扇形的圆心角的度数是n°，根据弧长公式即可列方程求得n的值，然后利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．【解答】解：设扇形的圆心角的度数是n°，则＝2π，解得：n＝120，扇形的面积是：＝3π（cm2）．故答案是：120，3πcm2．【点评】本题考查弧长公式和扇形的面积公式，正确记忆公式是关键．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AD＝3，BD＝6，CD的长为3．【分析】根据射影定理列式计算．【解答】解：由射影定理得，CD2＝AD•BD＝18，解得，CD＝3，故答案为：3．【点评】本题考查的是射影定理，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．16．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，分别以A，B，C为圆心，以2为半径作弧，则图中阴影部分的面积是2π﹣3．【分析】根据等边三角形的面积公式求出正△ABC的面积，根据扇形的面积公式S＝求出扇形的面积，求差得到答案．【解答】解：∵正△ABC的边长为2，∴△ABC的面积为×2×＝，扇形ABC的面积为＝π，则图中阴影部分的面积＝3×（π﹣）＝2π﹣3，故答案为：2π﹣3．【点评】本题考查的是等边三角形的性质和扇形的面积计算，掌握扇形的面积公式S＝是解题的关键．三、解答题（共86分）17．（10分）如图所示，残缺的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线CD交圆形轮片于点C，垂足为点D，若弦AB＝8，CD＝3，求圆形轮片所在圆的半径R．【分析】连接圆心与A，根据勾股定理即可求得半径．【解答】解：连接OA，∵CD是弦AB的垂直平分线，∴AD＝AB＝4，设圆的半径是r．在直角△ADO中，AO＝r，AD＝4，D0＝r﹣3．根据勾股定理得，r2＝16+（r﹣3）2，解得r＝．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．18．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E．（1）用圆规和直尺在图中作出AB的垂直平分线DE，并连接BD．（2）证明：△ABC∽△BDC．【分析】（1）利用基本作图作线段AB的垂直平分线；（2）先根据线段垂直平分线的性质得到BD＝AD，则∠ABD＝∠A＝40°，再通过计算得到∠DBC＝∠BAC，然后根据相似三角形的判定方法得到△ABC∽△BDC．【解答】（1）解：如图，DE为所求．（2）证明：∵DE是AB的垂直平分线，∴BD＝AD．∴∠ABD＝∠A＝40°．∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝80°﹣40°＝40°．∴∠DBC＝∠BAC．∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了相似三角形的判定．19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A （2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并写出C2的坐标．【分析】（1）把A、B、C的纵坐标不变，横坐标都减去6可得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）把A、B、C的横纵坐标分别乘以可得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作，C2的坐标为（2，﹣2）．【点评】本题考查了作作图﹣位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接下来根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平移变换．20．（8分）如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E．若BC＝BE．求证：△ADE是等腰三角形．【分析】求出∠A＝∠BCE＝∠E，即可得出AD＝DE，从而判定等腰三角形．【解答】证明：∵A、D、C、B四点共圆，∴∠A＝∠BCE，∵BC＝BE，∴∠BCE＝∠E，∴∠A＝∠E，∴AD＝DE，即△ADE是等腰三角形．【点评】考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定的知识，属于基础题，相对比较简单．21．（10分）如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点．且BE＝EC，BD，AE 相交于点F．（1）求△BEF的周长与△AFD的周长之比；（2）若△BEF的面积S△BEF ＝6cm2．求△AFD的面积S△AFD．【分析】（1）先利用平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，再利用BE＝EC 得到BE＝AD，接着证明△BEF∽△DAF，然后利用相似三角形的性质可得到△BEF的周长与△AFD的周长之比；（2）根据相似三角形的性质计算△AFD的面积．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝EC，∴BE ＝BC ，∴BE ＝AD ，∵AD ∥BE ，∴△BEF ∽△DAF ，∴△BEF 的周长：△AFD 的周长＝BE ：AD ＝1：3；（2）∵△BEF ∽△DAF ，∴△BEF 的面积：△AFD 的面积＝12：32；∴S △AFD ＝9S △BEF ＝9×6＝54（cm 2）．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在利用相似三角形的性质时主要利用相似比进行几何计算．也考查了平行四边形的性质．22．（10分）如图，已知CD 是⊙O 的直径，点A 为CD 延长线上一点，BC ＝AB ，∠CAB ＝30°．（1）求证：AB 是⊙O 的切线．（2）若⊙O 的半径为2，求的长．【分析】（1）连接OB ，如图所示，由BC ＝AB ，利用等边对等角得到一对角相等，由∠CAB 的度数得出∠ACB 的度数，再由OC ＝OB ，利用等边对等角得到一对角相等，确定出∠CBO 的度数，由∠AOB 为△BOC 的外角，利用外角的性质求出∠AOB 的度数，在△AOB 中，利用三角形的内角和定理求出∠ABO 为90°，可得出AB 为圆O 的切线，得证；（2）利用弧长公式求解．【解答】（1）证明：连接OB ，如图所示：∵BC＝AB，∠CAB＝30°，∴∠ACB＝∠CAB＝30°，又OC＝OB，∴∠CBO＝∠ACB＝30°，∴∠AOB＝∠CBO+∠ACB＝60°，在△ABO中，∠CAB＝30°，∠AOB＝60°，可得∠ABO＝90°，即AB⊥OB，则AB为圆O的切线；（2）∵OB＝2，∠BOD＝60°，∴的长度l＝．【点评】此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，以及弧长公式的运用，切线的判定方法有两种：有点连接，证明垂直；无点作垂线，证明垂线段等于半径．23．（10分）如图，AC是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC＝30°，∠APB＝60°．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及P A，PB的长．【分析】（1）连接OB，证PB⊥OB．根据四边形的内角和为360°，结合已知条件可得∠OBP＝90°得证．（2）连接OP，根据切线长定理得直角三角形，运用三角函数求解．【解答】（1）证明：连接OB．∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠BAC＝30°．（1分）∴∠AOB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．（2分）∵P A切⊙O于点A，∴OA⊥P A，∴∠OAP＝90°．∵四边形的内角和为360°，∴∠OBP＝360°﹣90°﹣60°﹣120°＝90°．（3分）∴OB⊥PB．又∵点B是⊙O上的一点，∴PB是⊙O的切线．（4分）（2）解：连接OP；∵P A、PB是⊙O的切线，∴P A＝PB，∠OP A＝∠OPB＝∠APB＝30°．（5分）在Rt△OAP中，∠OAP＝90°，∠OP A＝30°，∴OP＝2OA＝2×2＝4，（6分）∴P A＝．（7分）∵P A＝PB，∠APB＝60°，∴P A＝PB＝AB＝2．（8分）（此题解法多样，请评卷老师按解题步骤给分）【点评】此题考查了切线的判定、切线长定理、三角函数等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．24．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC的垂直平分线交BC于D，交AB于E，交CA的延长线于F．求证：AD2＝DE•DF．【分析】利用直角三角形的性质以及等角对等边得出∠B＝∠DAB，∠B＝∠D，进而得出△ADE∽△FDA，即可得出答案．【解答】解：∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∠D+∠C＝90°，∴∠B＝∠D，∵BC的垂直平分线交BC于点F，∠BAC＝90°．∴DA＝BD，∴∠B＝∠BAD，∴∠F＝∠BAD，∵∠EDA＝∠ADF，∴△ADE∽△FDA．∴＝．∴AD2＝DE•DF．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，根据已知得出∠EAB＝∠D是解题关键．25．（14分）如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，取的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于H．（1）求证：△HBE∽△ABC；（2）若CF＝4，BF＝5，求AC和EH的长．【分析】（1）根据切线的性质即可证明：∠CAB＝∠EHB，由此即可解决问题；（2）连接AF．由△CAF∽△CBA，推出CA2＝CF•CB＝36，推出CA＝6，AB ＝＝3，AF＝＝2，由Rt△AEF≌Rt△AEH，推出AF＝AH＝2，设EF＝EH＝x，在Rt△EHB中，可得（5﹣x）2＝x2+（）2，解方程即可解决问题；【解答】解：（1）∵AC是⊙O的切线，∴CA⊥AB，∵EH⊥AB，∴∠EHB＝∠CAB，∵∠EBH＝∠CBA，∴△HBE∽△ABC．（2）连接AF．∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∵∠C＝∠C，∠CAB＝∠AFC，∴△CAF∽△CBA，∴CA2＝CF•CB＝36，∴CA＝6，AB＝＝3，AF＝＝2，∵＝，∴∠EAF＝∠EAH，∵EF⊥AF，EH⊥AB，∴EF＝EH，∵AE＝AE，∴Rt△AEF≌Rt△AEH，∴AF＝AH＝2，设EF＝EH＝x，在Rt△EHB中，（5﹣x）2＝x2+（）2，∴x＝2，∴EH＝2．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．。
九年级数学上册12月月考试卷及答案
九年级数学上册12月月考试卷（总分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题（每小题4分，共40分）1．关于 x 的一元二次方程 kx 2+2x ﹣1＝0 有两个不相等实数根，则 k 的取值范围是（ ） A ．k ＞﹣1 B ．k ≥﹣1 C ．k ≠0 D ．k ＞﹣1 且 k ≠0 2. 在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )3.如图，在⊙O 中，∠ACB=34°，则∠AOB 的度数是（ ）A ．17°B ．34°C ．56°D ．68°第3题 第4题4.如图，反比例函数y 1＝k 1x 和正比例函数y 2＝k 2x 的图象交于A (－1，－3)、B 两点．若k 1x＞k 2x ，则x 的取值范围是( )A ．－1＜x ＜0B ．－1＜x ＜1C ．x ＜－1或0＜x ＜1D ．－1＜x ＜0或x ＞1 5. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 5cm ，7cm 和 10cm ， 另一个三角形的最短边长为 2.5cm ，则它的最长边为（ ） A ．5cm B ．4cm C ．3.5cmD ．3cm6. 在△ABC 中，∠C=90°，AB=4cm ，BC=3cm ，若把△ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个几何体，那么此几何体的侧面积为（ ） A ．24πcm 2 B ．18πcm 2C ．12πcm 2D ．6πcm 27. 如图，⊙O 的半径为1，OA=2.5，∠OAB=30°，则AB 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．无法确定8. 在同一平面直角坐标系中，函数bx ax y +=2与y=bx+a 的图象可能是（ ）A B C D9.如图，点A 是反比例函数y ＝kx(x ＜0)的图象上的一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使点B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上．已知平行四边形ABCD 的面积为6，则k 的值为( )A ．6B ．－6C ．3D ．－3第7题 第9题 第10题10. 如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A （﹣1，0）、点B （3，0）、点C （4，1y ），若点D ()22,y x 是抛物线上任意一点，有下列结论：①函数的最小值为﹣4a ；②若412≤≤-x ，则a y 502≤≤；③若2y ＞1y ， 则2x ＞4；④一元二次方程02=++a bx cx 的两个根为﹣1和31其中正确结论的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：（每小题4分，共24分）11. 如图，在边长为3的菱形ABCD 中，点E 在边CD 上，点F 为BE 延长线与AD 延长线的交点．若DE=1，则DF 的长为12. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=40°，以B 为圆心，BA 的长为半径画弧，交BC 于点D ，连接AD ，则∠DAC 的度数是 °．第11题 第12题 第13题13.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA ＝6，圆心角∠ACB ＝120°，则此圆锥高 O C 的长度是．14. 如图，△ABC 的两条中线AD 和BE 相交于点G ，过点E 作EF ∥BC 交AD 于点F ，那么FGAG ＝________．第14题 第15题 第16题15. 如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O 位于坐标原点，斜边AB 垂直于x 轴，顶点A 在函数y 1＝k 1x (x ＞0)的图象上，顶点B 在函数y 2＝k 2x (x ＞0)的图象上，∠ABO ＝30°，则 k 1k 2 ＝________．16. 如图，正方形ABCD ，点P 是对角线AC 上一点，连结BP ，过P 作PQ ⊥BP ，PQ 交CD 于Q ，若AP=42 ，CQ=10，则正方形ABCD 的面积为_______三、解答题17. 解方程（6分）()22-=-x x x18. (8分)已知函数212y y y -=，1y 与x+1成正比例，2y 与x 成反比例，当x=1时，y=4；当x=2时，y=3，求y 与x 的函数关系式19. (8分) 小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动．小明想参加敬老服务活动，小亮想参加文明礼仪宣传活动．他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小明设计了一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、6三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游戏公平吗？请说明理由。
2021-2022学年-有答案-福建省厦门市某校九年级(上)第二次月考数学试卷(12月份)
2021-2022学年福建省厦门市某校九年级（上）第二次月考数学试卷（12月份）一、选择题（每小题4分，共40分）1. 已知点A与点B关于原点对称，若点A的坐标为(−2, 3)，则点B的坐标是（）A.(−3, 2)B.(−2, −3)C.(3, −2)D.(2, −3)2. 如图，△ABD和△BCD都是等边三角形，△ABD旋转后与△BCD重合，则可以作为旋转中心的点有（）A.一个B.两个C.三个D.四个3. 下列各组中的四条线段成比例的是（）A.2cm、3cm、4cm、5cmB.1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cmC.0.5cm、2.5cm、3cm、5cmD.1cm、2cm、2cm、4cm4. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30∘，则∠CAD的度数为（）A.l00∘B.105∘C.110∘D.120∘5. 在一个不透明的袋子中有3个白球、4个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率是（）A.14B.13C.37D.476. 若正多边形的中心角为72∘，则该正多边形的边数为（）A.8B.7C.6D.57. 已知点A(4, 4)和点O(0, 0)，将点A绕点O逆时针旋转90∘后，得到点A′，则点A′的坐标是（）A.(4, −4)B.(−4, 4)C.(−2√2, 2√2)D.(−4, −4)8. 已知：△ABC中，AB=AC，求证：∠B<90∘，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+∠C>180∘，这与三角形内角和为180∘矛盾．②因此假设不成立．∴∠B<90∘．③假设在△ABC中，∠B≥90∘．④由AB=AC，得∠B=∠C≥90∘，即∠B+∠C≥180∘．这四个步骤正确的顺序应是（）A.③④①②B.③④②①C.①②③④D.④③①②9. 如图，BM为⊙O的切线，点B为切点，点A、C在⊙O上，连接AB、AC、BC，若∠MBA=130∘，则∠ACB的度数为（）A.40∘B.50∘C.60∘D.70∘10. 如图，点D在半圆O上，半径OB=√61，AD=10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC=90∘，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是( )A.5B.6C.7D.8二、填空题（每小题4分，共24分）=________．如果x:y=1:2，那么x+yy在平面直角坐标系中有两点A(4, 0)，B(0, 2)，如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为________时，使得△BOC∽△AOB．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=32∘，则∠B+∠E=________∘．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝5，BC＝12，将ABC绕点B顺时针旋转60∘得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为________．如图，在半径为√5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则OP的长为________．如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒(2−√3)cm的速度向左运动π−√3)cm2．________秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为(23三、解答题（9小题，共86分）解方程：（1）3(x−3)2+x(x−3)=0；（2）x2−2x−3=0（用配方法解）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上．（1）以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为(−3, 1)，则点A的坐标为________；（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90∘后的△OA1B1．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．(1)求证：△ABE∼△DFA；(2)若AB=6，BC=4，求DF的长．在一个不透明的盒子中装有4个小球，4个小球上分别标有数字1，2，3，4，这些小球除数字外都相同，将小球搅匀．（1）从盒子中任意摸出一个小球，恰好摸出奇数号小球的概率是________；（2）先从盒子中随机摸出一个小球，再从余下的3个小球中随机摸出一个小球，请用列表法或树状图法求两次摸出的小球标注数字之和大于4的概率．如图△ABC，AB=AC=2，∠BAC=30∘，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度α(0∘<α≤180∘)得到△AEF，点B、C的对应点分别是E、F．连结BE、CF相交于点D．（1）当CF恰好垂直AE时，求∠CFE的大小；（2）当四边形ABDF 为菱形时，求CD 的长．已知，如图，四边形ABCD 的顶点都在同一个圆上，且∠A:∠B:∠C =2:3:4．（1）求∠A 、∠B 的度数；（2）若D 为ADC ⌢的中点，AB =4，BC =3，求四边形ABCD 的面积．小李的活鱼批发店以44元/公斤的价格从港口买进一批2000公斤的某品种活鱼，在运输过程中，有部分鱼未能存活，小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一．由于市场调节，该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律，表二是近一段时间该批发店的销售记录．（1）请估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量；（直接写出答案）（2）按此市场调节的观律，①若该品种活鱼的售价定为52.5元/公斤，请估计日销售量，并说明理由；②考虑到该批发店的储存条件，小李打算8天内卖完这批鱼（只卖活鱼），且售价保持不变，求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由．表一表二如图，正方形ABCD顶点B、C在⊙O上，边AD经过⊙O上一定点E，边AB，CD分别与⊙O相交于点G、F，且EF平分∠BFD．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若DF=√2，求DE的长．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O 于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．(1)若∠POC=60∘，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）(2)求证：OD=OE；(3)求证：PF是⊙O的切线．参考答案与试题解析2021-2022学年福建省厦门市某校九年级（上）第二次月考数学试卷（12月份）一、选择题（每小题4分，共40分）1.【答案】D【考点】关于原点对称的点的坐标【解析】平面直角坐标系中任意一点P(x, y)，关于原点的对称点是(−x, −y)【解答】∵点A与点B关于原点对称，点A的坐标为(−2, 3)，∴点B的坐标是(2, −3)．2.【答案】C【考点】旋转的性质【解析】根据等边三角形的性质得AD=AB=BD=BC=CD，∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB=60∘，则可利用旋转的定义，要把△ABD旋转后与△BCD重合，可选择B点或D 点或BD的中点为旋转中心．【解答】解：∵△ABD和△BCD都是等边三角形，∴AD=AB=BD=BC=CD，∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB=60∘，∴将△ABD绕点B顺时针旋转60∘可得到△DBC或将△ABD绕点D逆时针旋转60∘可得到△BCD或将△ABD绕BD的中点旋转180∘可得到△CDB．故选C．3.【答案】D【考点】比例线段【解析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【解答】A、2×5≠3×4，故四条线段不成比例；B、4.4×1.1≠3.3×2.2，故四条线段不成比例；C、0.5×5≠2.5×3，故四条线段不成比例；D、2×2=4×1，故四条线段成比例．4.【答案】B【考点】圆周角定理【解析】利用圆周角定理得到∠ACB ＝90∘，则利用互余计算出∠BAC ＝60∘，接着根据角平分线定义得到∠BCD ＝45∘，从而利用圆周角定理得到∠BAD ＝∠BCD ＝45∘，然后计算∠BAC +∠BAD 即可．【解答】∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACB ＝90∘，∴ ∠BAC ＝90∘−∠ABC ＝90∘−30∘＝60∘，∵ CD 平分∠ACB ，∴ ∠BCD ＝45∘，∵ ∠BAD ＝∠BCD ＝45∘，∴ ∠CAD ＝∠BAC +∠BAD ＝60∘+45∘＝105∘．5.【答案】D【考点】概率公式【解析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，即可求出答案．【解答】解：根据题意可得：袋子中有3个白球，4个红球，共7个，从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率47． 故选D ．6.【答案】D【考点】正多边形和圆【解析】根据正多边形的中心角=360∘n ，求出n 即可． 【解答】由题意，360∘n =72∘，∴ n =5，7.【答案】B坐标与图形变化-旋转【解析】如图作A′H⊥x轴于H，AE⊥x轴于E．利用全等三角形的性质解决问题即可．【解答】如图作A′H⊥x轴于H，AE⊥x轴于E．∵A(4, 4)，∴OE=4，AE=4，∵∠A′HO=∠AEO=∠A′OA=90∘，∴∠A′OH+∠AOE=90∘，∠AOE+∠A=90∘，∴∠A′OH=∠A，∵OA′=OA，∴△A′OH≅△OAH(AAS)，∴OH=AE=4，A′H=OE=4，∴A′(−4, 4)，8.【答案】A【考点】反证法【解析】通过反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；理顺证明过程即可．【解答】由反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；所以题目中“已知：△ABC中，AB=AC，求证：∠B<90∘”．用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：假设∠B≥90∘；那么，由AB=AC，得∠B=∠C≥90∘，即∠B+∠C≥180∘所以∠A+∠B+∠C>180∘，这与三角形内角和定理相矛盾，；因此假设不成立．∴∠B<90∘；原题正确顺序为：③④①②．9.【答案】B【考点】切线的性质圆周角定理直接利用切线的性质得出∠OBM=90∘，求出∠AOB的度数，进而利用圆周角定理可得出答案．【解答】如图，连接OA，OB，∵BM为⊙O的切线，∴∠OBM=90∘，∵∠MBA=130∘，∴∠ABO=40∘，∵OA=OB，∴∠BAO=∠ABO=40∘，∴∠AOB=180∘−40∘−40∘=100∘，∠AOB=50∘，∴∠ACB=1210.【答案】D【考点】点与圆的位置关系勾股定理【解析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小；【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD=90∘，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M，H，B共线时，BH的值最小.∵AB是直径，∴∠ADB=90∘，∴BD=√(2√61)2−102=12，BM=√BD2+DM2=√122+52=13，∴BH的最小值为BM−MH=13−5=8．故选D.二、填空题（每小题4分，共24分）【答案】32【考点】比例的性质【解析】根据合比性质，可得答案．【解答】解：原式=xy +1=12+1，即x+yy=32．故答案为：32.【答案】(−1, 0)或者(1, 0)【考点】相似三角形的判定坐标与图形性质【解析】根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．【解答】∵点A为(4, 0)，∴AO=4；∵点B为(0, 2)，∴OB=2．若△BOC∽△AOB．则：OCOB =OBOA．即：OC2=24，∴OC=1．故点C为(−1, 0)或者(1, 0)．【答案】212【考点】多边形内角与外角圆周角定理【解析】连接CE，先根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180∘，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD=32∘，然后求解即可．【解答】如图，连接CE，∵五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，∴四边形ABCE是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠AEC=180∘，∵∠CED=∠CAD=32∘，∴∠B+∠E=180∘+32∘=212∘．【答案】42【考点】勾股定理的逆定理旋转的性质【解析】由旋转的性质可得出BD＝BC，结合∠CBD＝60∘可得出△BCD为等边三角形，进而可得出CD的长度，再根据三角形的周长公式即可求出△ACF与△BDF的周长之和．【解答】∵△BDE由△BCA旋转得出，∴BD＝BC＝12．∵∠CBD＝60∘，∴△BCD为等边三角形，∴CD＝BC＝12．∴C△ACF+C△BDF＝AC+CF+AF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝5+13+ 12+12＝42．【答案】√2【考点】垂径定理圆心角、弧、弦的关系勾股定理【解析】AB=作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，根据垂径定理得到AE=BE=12CD=2，根据勾股定理计算出OE=1，同理可得OF=1，证明四边2，DF=CF=12形OEPF为正方形，于是得到OP=√2OE=√2．【解答】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，则AE=BE=12AB=2，DF=CF=12CD=2，在Rt△OBE中，OB=√5，BE=2，∴OE=√OB2−BE2=1，同理可得OF=1，∵AB⊥CD，OE⊥AB，OF⊥CD，∴四边形OEPF为矩形，∵OE=OF=1，∴四边形OEPF为正方形，∴OP=√2OE=√2，【答案】1或11+6√3【考点】扇形面积的计算切线的性质正方形的性质动点问题【解析】分两种情形：如图1中，当点A，B落在⊙O上时，如图2中，当点C，D落在⊙O上时，分别求解即可解决问题．【解答】解：如图(1)中，当点A，B落在⊙O上时，⊙O与正方形重叠部分的面积为(23π−√3)cm2,此时，运动时间t=(2−√3)÷(2−√3)=1（秒）.如图(2)中，当点C，D落在⊙O上时，⊙O与正方形重叠部分的面积为(23π−√3)cm2，此时，运动时间t=[4+2−(2−√3)]÷(2−√3)=11+6√3（秒），综上所述，满足条件的t的值为1秒或(11+6√3)秒．故答案为：1或11+6√3.三、解答题（9小题，共86分）【答案】解：(1)(x−3)(3x−9+x)=0x1=3，x2=9；4（2）配方得x2−2x+1=4即(x−1)2=4x−1=±2x1=3，x2=−1．【考点】解一元二次方程-因式分解法解一元二次方程-配方法【解析】（1）把x−3看成整体，提公因式分解因式求解；（2）用配方法解，移项使方程的右边是常数，在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可使方程左边是完全平方式，右边是常数，再开平方即可求解．【解答】解：(1)(x−3)(3x−9+x)=0x1=3，x2=9；4（2）配方得x2−2x+1=4即(x−1)2=4x−1=±2x1=3，x2=−1．【答案】(−2, −3)如图，△OA1B1为所作．【考点】作图-旋转变换【解析】（1）利用B点坐标作出直角坐标系，从而得到A点坐标；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A1、B1即可．【解答】建立如图所示的直角坐标系，点A的坐标为(−2, 3)；故答案为(−2, 3)；如图，△OA1B1为所作．【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD // BC，∠B=90∘，∴∠DAF=∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD=90∘，∴∠AFD=∠B，∴△ABE∼△DFA.(2)∵E是BC的中点，BC=4，∴BE=2，∵AB=6，∴AE=√AB2+BE2=√62+22=2√10，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=4，∵△ABE∼△DFA，∴ABDF =AEAD，∴DF=AB⋅ADAE =2√10=65√10．【考点】矩形的性质相似三角形的判定相似三角形的性质【解析】（1）由矩形性质得AD // BC，进而由平行线的性质得∠AEB＝∠DAF，再根据两角对应相等的两个三角形相似；（2）由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，再由相似三角形的比例线段求得DF．【解答】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD // BC，∠B=90∘，∴∠DAF=∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD=90∘，∴∠AFD=∠B，∴△ABE∼△DFA.(2)∵E是BC的中点，BC=4，∴BE=2，∵AB=6，∴AE=√AB2+BE2=√62+22=2√10，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=4，∵△ABE∼△DFA，∴ABDF =AEAD，∴DF=AB⋅ADAE =2√10=65√10．【答案】12画树状图为：共有12种等可能的结果，其中两次摸出的小球标注数字之和大于4的结果数为8，所以两次摸出的小球标注数字之和大于4的概率=812=23．【考点】列表法与树状图法概率公式【解析】（1）直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出两次摸出的小球标注数字之和大于4的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】从盒子中任意摸出一个小球，恰好摸出奇数号小球的概率=24=12；故答案为12；画树状图为：共有12种等可能的结果，其中两次摸出的小球标注数字之和大于4的结果数为8，所以两次摸出的小球标注数字之和大于4的概率=812=23．【答案】∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，∴AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=30∘，∴∠AEF=∠AFE=75∘，又∵CF⊥AE，∴∠AFC=90∘−∠EAF=60∘，∴∠CFE=∠AFE−∠AFC=75∘−60∘=15∘；∵四边形ABDF为菱形，∴DF=AF=2，DF // AB，∴∠ACF=∠BAC=30∘，∴△ACF为等腰三角形，且∠CAF=120∘，∴∠ACF=30∘，∴CF=2cos∠ACF⋅AC=2√3，∴CD=CF−DF=2√3−2．【考点】旋转的性质含30度角的直角三角形等腰三角形的性质菱形的性质【解析】（1）由旋转的性质可得AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=30∘，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解；（2）由菱形的性质可得DF=AF=2，DF // AB，由等腰三角形的性质和锐角三角函数可求解．【解答】∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，∴AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=30∘，∴∠AEF=∠AFE=75∘，又∵CF⊥AE，∴∠AFC=90∘−∠EAF=60∘，∴∠CFE=∠AFE−∠AFC=75∘−60∘=15∘；∵ 四边形ABDF 为菱形，∴ DF =AF =2，DF // AB ， ∴ ∠ACF =∠BAC =30∘，∴ △ACF 为等腰三角形，且∠CAF =120∘， ∴ ∠ACF =30∘，∴ CF =2cos∠ACF ⋅AC =2√3， ∴ CD =CF −DF =2√3−2． 【答案】设∠A 、∠B 、∠C 分别为2x 、3x 、4x ，∵ 四边形ABCD 为圆内接四边形，∴ ∠A +∠C =180∘，即2x +4x =180∘， 解得，x =30∘，∴ ∠A 、∠B 分别为60∘、90∘； 连接AC ，∵ ∠B =90∘，∴ AC 为圆的直径，AC =√AB 2+BC 2=5，△ABC 的面积=12×3×4=6，∠D =90∘， ∵ 点D 为ADC ⌢的中点， ∴ AD =CD =√22AC =5√22， ∴ △ADC 的面积=12×5√22×5√22=254，∴ 四边形ABCD 的面积=6+254=494．【考点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】（1）根据圆内接四边形的性质求出∠A 、∠B 的度数；（2）连接AC ，根据勾股定理求出AC ，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到AD =CD ，根据勾股定理、三角形的面积公式计算，得到答案． 【解答】设∠A 、∠B 、∠C 分别为2x 、3x 、4x ，∵ 四边形ABCD 为圆内接四边形，∴ ∠A +∠C =180∘，即2x +4x =180∘， 解得，x =30∘，∴ ∠A 、∠B 分别为60∘、90∘； 连接AC ，∵ ∠B =90∘，∴ AC 为圆的直径，AC =√AB 2+BC 2=5，△ABC 的面积=12×3×4=6，∠D =90∘， ∵ 点D 为ADC ⌢的中点， ∴ AD =CD =√22AC =5√22， ∴ △ADC 的面积=12×5√22×5√22=254，∴ 四边形ABCD 的面积=6+254=494．【答案】估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量为2000×0.880=1760公斤；①由表知，售价每增加1元，日销售量就减少40公斤，所以估计日销售量400−40×(52.5−50)=300（公斤）．②若活鱼的售价再50元/公斤的基础上，售价每增加x 元/公斤，可估计日销售量在400公斤的基础上减少40x 公斤， 设批发店每日卖鱼的利润为w ， 则w =(50+x −2000×441760)(400−40x)=−40x 2+400x=−40(x −5)2+1000，由“8天内卖完这批活鱼”可得8(400−40x)≥1760， 解得x ≤4.5，根据实际意义有400−40x ≥0，解得x ≤10， ∴ x ≤4.5， ∵ −40<0，∴ 当x <5时，w 随x 的增大而增大，∴ 当售价定为54.5元/公斤，每日卖鱼可能达到的最大利润为990元． 【考点】二次函数的应用 【解析】（1）用总质量乘以0.880可得；（2）①由表知，售价每增加1元，日销售量就减少40公斤，据此求解可得；②由售价每增加x元/公斤，可估计日销售量在400公斤的基础上减少40x公斤，设批发店每日卖鱼的利润为w，根据总利润=每公斤的利润×销售量列出函数解析式，在根据题意求出增加的单价的取值范围，利用二次函数的性质求解可得．【解答】估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量为2000×0.880=1760公斤；①由表知，售价每增加1元，日销售量就减少40公斤，所以估计日销售量400−40×(52.5−50)=300（公斤）．②若活鱼的售价再50元/公斤的基础上，售价每增加x元/公斤，可估计日销售量在400公斤的基础上减少40x公斤，设批发店每日卖鱼的利润为w，)(400−40x)则w=(50+x−2000×441760=−40x2+400x=−40(x−5)2+1000，由“8天内卖完这批活鱼”可得8(400−40x)≥1760，解得x≤4.5，根据实际意义有400−40x≥0，解得x≤10，∴x≤4.5，∵−40<0，∴当x<5时，w随x的增大而增大，∴当售价定为54.5元/公斤，每日卖鱼可能达到的最大利润为990元．【答案】证明：连接OE，∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∵FE平分∠BFD，∴∠DFE＝∠OFE，∴∠DFE＝∠OEF，∴OE // CD，∴∠OED+∠D＝180∘，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝90∘，∴∠OED＝90∘，即OE⊥AD，∵OE过O，∴AD是⊙O的切线；连接BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90∘，AB // CD，AD＝AB，∵OE⊥AD，∴AB // CD // OE，∵OB＝OF，∴AE＝DE，设DE＝AE＝x，则AD＝AB＝2x，∵BF为⊙O直径，∴∠BEF＝90∘，∵∠A＝∠D＝90∘，∴∠ABE+∠AEB＝180∘−90∘＝90∘，∠DEF+∠AEB＝180∘−∠BEF＝90∘，∴∠DEF＝∠ABE，∴△ABE∽△DEF，∴DFAE =DEAB，∴√2x =x2x，即得：x＝2√2，即DE＝2√2．【考点】圆周角定理切线的判定与性质正方形的性质角平分线的性质【解析】（1）连接OE，根据角平分线的定义求出∠DFE＝∠OFE，根据等腰三角形的性质得出∠OEF＝∠OFE，求出∠DFE＝∠OEF，求出OE⊥AD，根据切线的判定得出即可；（2）连接BE，证△DEF∽△ABE，根据相似三角形的性质得出比例式，代入即可求出DE．【解答】证明：连接OE，∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∵ FE 平分∠BFD ，∴ ∠DFE ＝∠OFE ，∴ ∠DFE ＝∠OEF ，∴ OE // CD ，∴ ∠OED +∠D ＝180∘，∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ ∠D ＝90∘，∴ ∠OED ＝90∘，即OE ⊥AD ，∵ OE 过O ，∴ AD 是⊙O 的切线；连接BE ，∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ ∠D ＝∠A ＝90∘，AB // CD ，AD ＝AB ，∵ OE ⊥AD ，∴ AB // CD // OE ，∵ OB ＝OF ，∴ AE ＝DE ，设DE ＝AE ＝x ，则AD ＝AB ＝2x ，∵ BF 为⊙O 直径，∴ ∠BEF ＝90∘，∵ ∠A ＝∠D ＝90∘，∴ ∠ABE +∠AEB ＝180∘−90∘＝90∘，∠DEF +∠AEB ＝180∘−∠BEF ＝90∘， ∴ ∠DEF ＝∠ABE ，∴ △ABE ∽△DEF ，∴ DF AE =DE AB ，∴ √2x =x 2x ，即得：x ＝2√2，即DE ＝2√2．【答案】(1)解：∵ AC =12，∴ CO =6，∴ PC ̂=60⋅π⋅6180=2π， ∴ 劣弧PC 的长为：2π．(2)证明：∵ PE ⊥AC ，OD ⊥AB ，∠PEA =90∘，∠ADO =90∘在△ADO 和△PEO 中，{∠ADO=∠PEO,∠AOD=∠POE, OA=OP,∴△POE≅△AOD(AAS)，∴OD=EO.(3)证明：如图，连接AP，PC，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA，由(2)得OD=EO，∴∠ODE=∠OED，又∵∠AOP=∠EOD，∴∠OPA=∠ODE，∴AP // DF，∵AC是直径，∴∠APC=90∘，∴∠PQE=90∘∴PC⊥EF，又∵DP // BF，∴∠ODE=∠EFC，∵∠OED=∠CEF，∴∠CEF=∠EFC，∴CE=CF，∴PC为EF的中垂线，∴∠EPQ=∠QPF，∵△CEP∼△CAP(∠APC=∠CEP, ∠ACP=∠ECP)∴∠EPQ=∠EAP，∴∠QPF=∠EAP，∴∠QPF=∠OPA，∵∠OPA+∠OPC=90∘，∴∠QPF+∠OPC=90∘，∴OP⊥PF，∴PF是⊙O的切线．【考点】相似三角形的性质与判定全等三角形的性质与判定弧长的计算切线的判定【解析】（1）根据弧长计算公式l=nπr180进行计算即可；（2）证明△POE ≅△ADO 可得DO =EO ；（3）连接AP ，PC ，证出PC 为EF 的中垂线，再利用△CEP ∽△CAP 找出角的关系求解．【解答】(1)解：∵ AC =12，∴ CO =6，∴ PC ̂=60⋅π⋅6180=2π， ∴ 劣弧PC 的长为：2π．(2)证明：∵ PE ⊥AC ，OD ⊥AB ，∠PEA =90∘，∠ADO =90∘在△ADO 和△PEO 中，{∠ADO =∠PEO,∠AOD =∠POE,OA =OP,∴ △POE ≅△AOD(AAS)，∴ OD =EO .(3)证明：如图，连接AP ，PC ，∵ OA =OP ，∴ ∠OAP =∠OPA ，由(2)得OD =EO ，∴ ∠ODE =∠OED ，又∵ ∠AOP =∠EOD ，∴ ∠OPA =∠ODE ，∴ AP // DF ，∵ AC 是直径，∴ ∠APC =90∘，∴ ∠PQE =90∘∴ PC ⊥EF ，又∵ DP // BF ，∴ ∠ODE =∠EFC ，∵ ∠OED =∠CEF ，∴ ∠CEF =∠EFC ，∴ CE =CF ，∴ PC 为EF 的中垂线，∴ ∠EPQ =∠QPF ，∵ △CEP ∼△CAP(∠APC =∠CEP, ∠ACP =∠ECP)∴ ∠EPQ =∠EAP ，∴ ∠QPF =∠EAP ，∴ ∠QPF =∠OPA ，∵ ∠OPA +∠OPC =90∘，∴ ∠QPF +∠OPC =90∘，∴OP⊥PF，∴PF是⊙O的切线．。
福建省厦门一中九年级(上)月考数学试卷(12月份)
九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列算式中，计算结果是负数的是（）A. (−2)+7B. |−1|C. 3×(−2)D. (−1)22.在Rt△ABC中，tan A=1，则∠A的度数是（）A. 45∘B. 60∘C. 80∘D. 90∘3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. 等腰直角三角形B. 正三角形C. 平行四边形D. 矩形4.如图，下列各语句中，错误的语句是（）A. ∠ADE与∠B是同位角B. ∠BDE与∠C是同旁内角C. ∠BDE与∠AED是内错角D. ∠BDE与∠DEC是同旁内角5.如图所示，D、E分别是AB、AC边上的点，在下列条件中：①∠AED=∠B；②DEBC=ADAC；③ADAC=AEAB能独立判断△ADE与△ACB相似的有（）A. ①B. ①③C. ①②D. ①②③6.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边AC是直角边BC的2倍，则cos A的值是（）A. 12B. 55C. 255D. 3557.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆（与正方形四边都相切的圆）中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，若正方形ABCD的边长为2，则黑色部分的面积是（）A. 12B. π2C. 1D. π8.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB是（）A. 4米B. 4.5米C. 5米D. 5.5米9.如图，正方形OABC的边长为2，OA与x轴负半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（）A. −12B. −26C. −2D. −2310.已知点A（1，3），将点A绕原点O顺时针旋转60°后的对应点为A1，将点A1绕原点O顺时针旋转60°后的对应点为A2，依此作法继续下去，则点A2012的坐标是（）A. (−1,3)B. (1,−3)C. (−1,−3)D. (−2,0)二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.不等式3x≥-6的解集是______．12.一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则这个扇形的弧长为______．（结果保留π）13.方程x2-x-3=0的根是______．14.甲、乙两人参加某商场的招聘测试，测试由语言和商品知识两个项目组成，他们各自的成绩（百分制）如下表所示．该商场根据成绩在两人之间录用了乙，则本次招聘测试中权重较大的是______项目．15.O上的点，AD=CD．若∠CAB=40°，则∠CAD=______．16.对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=90°，则称P为⊙C的关联点，已知点D（12，12），E（0，-2），F（23，0）．当⊙O的半径为1时，在点D、E、F中，⊙O的关联点是______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.解方程：3x=2x−1．四、解答题（本大题共8小题，共78.0分）18.在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（1，1），请在图中画出线段AB．（1）在答题卡的图（1）画出线段AB绕点O逆时针旋转90°后的图形；（2）在答题卡的图（2）画出一个以原点O为位似中心，将线段AB放大到原来的两倍的图形（即新图与原图的相似比为2）19.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，AD=3，BD=2，（1）求DEBC的值；（2）若△ABC的面积为25，求梯形DBCE的面积．20.在关于x的一元二次方程x2-bx+c=0中，（1）若b=2，方程有实数根，求c的取值范围；（2）若m是此方程的一个实数根，c=1，b-m=2，求b的值．21.如图，等腰直角△AOB与⊙O交于点D、E，OA=OB，扇形ODE的面积是π4，AB=2，（1）求该圆的半径；（2）若点C是AB的中点，求证：直线AB与圆O相切．22.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，且已知∠ADC=120°；（1）请在图1尺规作图：在⊙O中，作出一个30°的圆周角．（不写作法，保留作图痕迹）；（2）请在图2仅用无刻度直尺作出一个30°的圆周角．要求：保留作图痕迹，写出作法，证明你的作法的正确性．23.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=x米．若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15米和6米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），（1）求x的范围；（2）求花园面积S的最大值．24.如图，已知点A、B、P、D、C都在在⊙O上，且四边形BCEP是平行四边形．（1）证明：CD=PB；（2）若AE=BC，AB=3，DP的长度是π6，求EC的长．25.已知点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是直线y=kx+b与抛物线y=x2+mx-k2的交点（m＞0），且抛物线与y轴交于点C，其中x1＜x2（1）若m=2，k=1，求该抛物线的顶点坐标；（2）若b＜0，直线y=kx+b过点D（-2b，m），比较y1与y2的大小；（3）若x1y1=x2y2，当b取得最大时，求△ABC的面积．（用m的代数式表示）答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵（-2）+7=5，故选项A不符合题意，∵|-1|=1，故选项B不符合题意，∵3×（-2）=-6，故选项C符合题意，∵（-1）2=1，故选项D不符合题意，故选：C．根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．2.【答案】A【解析】解：∵在Rt△ABC中，tanA=1，∴∠A=45°．故选：A．直接利用特殊角的三角函数值得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．3.【答案】D【解析】接：A、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，B、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，D、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选：D．根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．4.【答案】B【解析】解：A、由同位角的概念可知，∠ADE与∠B是同位角，不符合题意；B、由同位角同旁内角的概念可知，∠BDE与∠C不是同旁内角，符合题意；C、由内错角的概念可知，∠BDE与∠AED是内错角，不符合题意；D、由同旁内角的概念可知，∠BDE与∠DEC是同旁内角，不符合题意．故选：B．根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角作答．本题考查了同位角、内错角、同旁内角的概念．三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．5.【答案】B【解析】解：①可根据有两组角对应相等的两个三角形相似；③可根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．∴①和③都能独立判断△ADE与△ACB相似，根据两三角形相似的判定定理，逐一分析即可得出问题的选项．本题考查了相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6.【答案】C【解析】解：设BC=x，则AC=2x，则AB==x，则cosA===．故选：C．设BC=x，则AC=2x，利用勾股定理即可求得AB的长，然后利用余弦函数的定义即可求解．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．7.【答案】B【解析】解：∵正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，∴黑色部分的面积等于白色部分的面积为S，∴S圆=2S，设半径为r，则πr2=2S，r==，∵正方形的边长为2，∴2r=2，∴r=1，S=，故选：B．根据中心对称图形的性质可得黑色部分的面积等于白色部分的面积为S，进而可得圆的面积，然后再表示出圆的半径，根据图形可得2r=2，进而可得r，再求S即可．此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的性质，掌握圆的面积公式．8.【答案】D【解析】解：在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴=，即=，解得：BC=4，∵AC=1.5m，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m，即树高5.5m．故选：D．先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC 的长，再加上AC即可得解．本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF和△DBC相似是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：如图，连接OB，过B作BD⊥x轴于D；则∠BOA=45°，∠BOD=30°；已知正方形的边长为2，则OB=2；Rt△OBD中，OB=2，∠BOD=30°，则：BD=OB=，OD=OB=；故B（-，-），代入抛物线的解析式中，得：（-）2a=-，解得a=-；故选：B．连接OB，过B作BD⊥x轴于D，若OA与x轴负半轴的夹角为15°，那么∠BOD=30°；在正方形OABC中，已知了边长，易求得对角线OB的长，进而可在Rt△OBD中求得BD、OD的值，也就得到了B点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数a的值．此题主要考查了正方形的性质、直角三角形的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，能够正确地构造出与所求相关的直角三角形，是解决问题的关键．10.【答案】B【解析】解：∵将点A绕原点O顺时针旋转60°后的对应点为A1，将点A1绕原点O顺时针旋转60°后的对应点为A2，依此作法继续下去，∴得出每旋转=6次坐标一循环，得出2012÷6=335余2，即点A2012的坐标与点A2坐标相同，即可得出点A2与点A关于x轴对称，∴A2点坐标为：（1，-）．故选：B．根据图形旋转的规律得出每旋转6次坐标一循环，求出点A2012的坐标与点A2坐标相同，进而可得出答案．此题主要考查了坐标与图形的旋转与规律问题，解答此题的关键是明确图形旋转的变化规律每旋转6次坐标一循环．11.【答案】x≥-2【解析】解：3x≥-6，解得：x≥-2，故答案为x≥-2．不等式将x系数化为1，即可求出解集．此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12.【答案】π【解析】解：l===π．扇形弧长可用公式：l=，求得．与圆有关的计算一直是中考考查的重要内容，主要考点有：弧长和扇形面积及其应用等．13.【答案】x1=1−132，x2=1−132【解析】解：因为x2-x-3=0中的a=1，b=-1，c=-3．所以△=b2-4ac=（-1）2-4×1×（-3）=13．所以x==．所以x1=，x2=．故答案是：x1=，x2=．利用求根公式进行解答．考查了公式法解一元二次方程，熟记公式以x=即可解题，难度不大．14.【答案】语言【解析】解：设语言类的权重为x（0＜x＜1），则商品知识的权重为（1-x），根据题意得：70x+80（1-x）＜80x+70（1-x），解得：x＞0.5，∴本次招聘测试中权重较大的是语言项目，故答案为：语言．设语言类的权重为x（0＜x＜1），则商品知识的权重为（1-x），根据甲的平均成绩小于乙的平均成绩列出不等式，求解可得．本题主要考查加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的定义是解题的关键．15.【答案】25°【解析】解：如图，连接BC，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=40°，∴∠ABC=50°，∵=，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=25°，∴∠CAD=∠CBD=25°．故答案为：25°．先求出∠ABC=50°，进而判断出∠ABD=∠CBD=25°，最后用同弧所对的圆周角相等即可得出结论．本题考查的是圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，解本题的关键是作出辅助线．16.【答案】D，E【解析】解：如图所示，过点E作⊙O的切线设切点为R，∵⊙O的半径为1，∴RO=1，∵EO=，∴∠OER=45°，根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于45°，∴E点是⊙O的关联点，∵D（，），E（0，-），F（2，0），∴OF＞EO，DO＜EO，∴D点一定是⊙O的关联点，而在⊙O上不可能找到两点与点F的连线的夹角等于90°，故在点D、E、F中，⊙O的关联点是D，E；故答案为：D，E．根据关联点的定义得出E点是⊙O的关联点，进而得出F、D，与⊙O的关系；本题通过新定义，考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理等知识，考查了阅读理解能力及分析问题解决问题的能力，是一道好题．17.【答案】解：方程的两边同乘x（x-1），得3x-3=2x，解得x=3．检验：把x=3代入x（x-1）=6≠0．∴原方程的解为：x=3．【解析】观察可得最简公分母是x（x-1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．18.【答案】解：（1）线段AB绕点O逆时针旋转90°后的图形A′B′即为所求．（2）线段AB放大到原来的两倍的图形A1B1或A2B2即为所求．【解析】（1）分别作出A，B的对应点A′，B′即可．（2）两种方法分别作出A，B的对应点A1，B1或A2，B2即为．本题考查作图-位似变换，作图-旋转变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】（1）解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB，∵AD=2，DB=3，∴AB=5，∴DEBC=35，（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC=（DEBC）2=925，∵S△ABC=25，∴S△ADE=9，∴S梯形DBCE=25-9=16．【解析】（1）证明△ADE∽△ABC，可得=，即可解决问题．（2）利用相似三角形的性质即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20.【答案】（1）解：若b=2，则方程为x2-2x+c=0．∵△=22-4c=4-4c≥0．∴c≤1．（2）解1：由题意得，m2-（m+2）m+1=0．-2m+1=0，m=12．∴b-12=2，∴b=52．解2：由题意得，（b-2）2-b（b-2）+1=0．∴-2b+5=0．∴b=52．【解析】（1）根据b=2，方程有实数根，得出△=22-4c≥0求出即可；（2）将m以及c=1，b-m=2，即可求出m以及b的值．此题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数．21.【答案】解：（1）设该圆的半径为R，∵∠AOB=90°，∴90⋅π⋅R2360=π4，∴R=1，∴该圆的半径为1；（2）连接OC，∵OA=OB，点C是AB的中点，∴OC⊥AB，∵∠AOB=90°，∴OC=12AB=1，∴直线AB与圆O相切．【解析】（1）设该圆的半径为R，根据扇形的面积公式列方程即可得到结论；（2）连接OC，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，根据切线的判定定理即可得到结论．本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，正确的理解题意是解题的关键．22.【答案】解：（1）如图1所示：∠EBC即为所求：（2）作直线OA交⊙O于E，连接AC，EC，∠EAC即为所求；∵AE是直径，∴∠ACE=90°，∵∠ADC+∠AEC=180°，∠ADC=120°，∴∠AEC=60°，∴∠EAC=90°-60°=30°．【解析】（1）根据圆周角得出∠B=60°，进而利用角平分线的画法解答即可；（2）作直线OA交⊙O于E，连接AC，EC，∠EAC即为所求．此题主要考查了复杂作图，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，熟练掌握基本知识，是解决问题的关键．23.【答案】解：（1）∵AB=xm，∴BC=（28-x）m．由题意可知，6≤x15≤28−x，解得：6≤x≤13．（2）由题意可得：S=AB•BC=x（28-x）=-x2+28x=-（x-14）2+196，∵当6≤x≤13时，S随x的增大而增大，∴当x=13时，S最大值=195，即花园面积的最大值为195m2．【解析】（1）由树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m求出x的取值范围；（2）根据长方形的面积公式可得S关于x的函数解析式，再结合二次函数的性质可得答案．此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．24.【答案】（1）证明：连接PC，如图1，∵四边形BCEP是平行四边形，∴PE∥BC，∠E=∠PBC，∴∠EPC=∠PCB，∴CD=PB；（2）解：如图2，连接AP、BD、CD、OA、OB、OC、OD、OP∵四边形PBCD是圆内接四边形，四边形APDC是圆内接四边形，∴∠EDC=∠PBC=∠PAC，∴△APE和△CDE是等边三角形，∴∠EAP=60°，∵PB∥EA，∴∠APB=∠EAP=60°，∴∠AOB=120°，作OF⊥AB于F，则∠AOF=12∠AOB=60°，AF=BF=12AB=32，∴OA=AFsin60∘=1，∵DP的长度是π6，∴nπ×1180=π6，∴n=30°，∴∠POD=30°，∴∠PBD=15°，∵∠PBC=∠E=60°，∴∠DBC=45°，∴∠DOC=90°，∵OC=OD=1，∴CD=2，∵△ECDs是等边三角形，∴EC=CD=2．【解析】（1）连接PC，即可证得∠EPC=∠PCB，从而证得∠COD=∠POB，即可证得结论；（2）根据圆内接四边形的性质得出∠EDC=∠PBC=∠PAC，即可证得△APE和△CDE是等边三角形，得出∠PBC=∠E=60°，根据平行线的性质得出∠APB=∠EAP=60°，即可得出∠AOB=120°，作OF⊥AB于F，则∠AOF=∠AOB=60°，AF=BF=AB=，解直角三角形求得OA=1，即圆的半径为1，由的长度是得出∠PBD=15°，即可证得∠DBC=45°，得到∠DOC=90°，解等腰直角三角形求得CD=，由等边三角形的性质得出CE=CD=．本题考查了圆周角定理，平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，解直角三角形等，熟练掌握性质定理是解题的关键．25.【答案】解：（1）当m=2，k=1时，y=x2+2x-1=（x+1）2-2，所以抛物线的顶点坐标为（-1，-2）；（2）∵直线y=kx+b过点D（-2b，m），∴m=-2bk+b，∴1-2k=mb，∵m＞0，b＜0，∴1-2k＜0，即k＞12＞0，∴y随x的增大而增大，∵x1＜x2，∴y1＜y2，（3）联立两个方程可得：y=kx+by=x2+mx−k2，∴x2+（m-k）x-k2-b=0，∴x1+x2=k-m，∵y1=kx1+b，y2=kx2+b，∴x1y1=x2y2，可得：x1（kx1+b）=x2（kx2+b），∴k（x1+x2）+b=0，即k2-km+b=0，∴b=km-k2，∴bmax=m24，当且仅当k=m2，∴x2+（m-k）x-k2-b=0化简得：x2+m2x−m22=0，解得：x1=−m，x2=m2，可得：A（-m，−m24），B（m2，12m2），C（0，−m24），∴yA=yC=−m24，∴AC∥x轴，∴S△ABC=AC⋅(yA−yC)2=38m3．【解析】（1）把m=2，k=1代入解析式，利用根据对称轴公式解答即可；（2）根据一次函数的性质解答即可；（3）根据方程组得出三点的坐标，利用三角形面积公式解答即可．本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、函数与方程的关系、最短路径问题等，综合性强，值得关注．。
福建省泉州第一中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题(含答案)
．
三．解答题（共 9 小题）
1
17．（1）计算：（ ― ）﹣1+tan60°﹣|2 ― 3|+（π﹣3）0 ― 12；
2
18．解方程：
（1）4x2+3x﹣2＝0；（用公式法）
（2）4（x+3）2＝（x﹣1）2．（用因式分解法）
=
19．如图，在△ABC 中，D 是 AC 上一点，已知
．
已知，如图所示，⊙O 及⊙O 外一点 P．
（1）按要求完成作图步骤并准确标注字母．
尺规作图：作出线段 OP 的垂直平分线交 OP 于点 A；以点 A 为圆心，AP 为半径作⊙A，⊙A 与⊙O 交
于点 B（点 B 位于直线 OP 上侧），连接 PB．
（2）请问（1）中作图得到的 PB 是⊙O 的切线吗？若是，请说明理由．
部（其中有两位班长记为 A，B，其余两位记为 C，D）中随机抽取 2 名作为良好习惯监督员，请用列
表法或画树状图的方法，求出恰好抽到 2 名班长的概率．
21．《义务教育数学课程标准》（2022 年）规定，切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外
的一个点作圆的切线”．在学完《切线的性质与判定》后，王老师布置一题：
切于点 E，F，D，则 DF 的长为
．
15.已知实数 m，n 满足 10m2+12m+1＝0，n2+12n+10＝0，则
1 +
n
=
．
16．如图，抛物线 y＝ax2+bx﹣3，顶点为 E，该抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OB＝
1
OC＝3OA，直线 y = ― x+1 与 y 轴交于点 D．求∠DBC﹣∠CBE＝
福建省龙岩市 九年级(上)月考数学试卷(12月份)
九年级（上）月考数学试卷（12月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.2.若方程（a-2）x2-2017x+2018=0是关于x的一元二次方程，则（ ）A. a≠1B. a≠−2C. a≠2D. a≠33.等腰三角形的底和腰是方程x2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ）A. 8B. 10C. 8或10D. 不能确定4.已知点A（a，1）与点A′（5，b）关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（ ）A. a=5，b=1B. a=−5，b=1C. a=5，b=−1D. a=−5，b=−15.抛物线y=-2（x-1）2-3与y轴的交点纵坐标为（ ）A. −3B. −4C. −5D. −16.在一次排球联赛中，每两个代表队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场，共有多少个代表队参加比赛？设有x个代表队参加比赛，则可列方程（ ）A. x(x−1)=28B. (x−1)2=28C. x(x+1)=28D. 12x(x−1)=287.如图是某石圆弧形（劣弧）拱桥，其中跨度AB=24米，拱高CD=8米，则该圆弧的半径r=（ ）A. 8 米B. 12 米C. 13米D. 15 米8.如图，在⊙O中，AB=AC，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（ ）A. 50∘B. 40∘C. 30∘D. 25∘9.如图，从一块半径是1m的圆形铁皮（⊙O）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点A，B，C在⊙O上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（ ）A. 36mB. 312mC. 32mD. 1m10.如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（ ）A. 3B. 4C. 6D. 8二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.如果x=-1是方程x2-x+k=0的解，那么常数k=______．12.抛物线y=-12x2向上平移1个单位长度得到抛物线的解析式为______．13.圆锥的底面半径是1，母线长是4，则它的侧面展开图的圆心角是______°．14.如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为____．15.刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O 的外切正六边形的面积S来近似估计圆O的面积，则S=______．（结果保留根号）16.如图，射线OC与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OC上一点，AH⊥x轴于H，将△AOH绕着点O逆时针旋转90°后，到达△DOB的位置，再将△DOB沿着y轴翻折到达△GOB的位置，若点G恰好在抛物线y=x2（x＞0）上，则点A的坐标为______．三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）17.已知：关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5）（每个方格的边长均为1个单位长度）．（1）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C1；（2）求出点B旋转到点B1所经过的路径长．19.已知二次函数y=-x2+2x-3（1）用配方法求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（2）直接说出x在什么范围内，y随x的增大而减小．20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．（1）先作∠BAC的平分线交BC于点O，再以O为圆心OC为半径作⊙O．（要求：用直尺和圆规，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请你判断（1）中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．21.求证：圆内接平行四边形是矩形．（请思考不同证法）22.已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．求证：（1）AD=BD；（2）DF是⊙O的切线．23.如图，要建一个面积为130m2的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长为am），并在与墙平行的一边开一道1m宽的门．现有能围成32m长的木板，求建仓库的方案．24.如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．25.如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线y=16x2+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象（要求过点A、B、C，开口方向、顶点和对称轴相对准确）（2）点Q（8，m）在抛物线y=16x2+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最小值；（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】C【解析】解：由题意得：a-2≠0，解得：a≠2，故选：C．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得a-2≠0，再解即可．此题主要考查了一元二次方程，关键是掌握二次项的系数不等于0．3.【答案】B【解析】解：∵方程x2-6x+8=0的解是x=2或4，（1）当2为腰，4为底时，2+2=4不能构成三角形；（2）当4为腰，2为底时，4，4，2能构成等腰三角形，周长=4+4+2=10．故选：B．先求出方程的根，再根据三角形三边关系确定是否符合题意，然后求解．本题考查了等腰三角形的性质和分情况讨论的思想，注意根据三角形的三边关系确定是否能构成三角形，不可盲目讨论．4.【答案】D【解析】解：∵点A（a，1）与点A′（5，b）关于坐标原点对称，∴a=-5，b=-1．故选：D．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．5.【答案】C【解析】解：当x=0时，y=-2-3=-5，所以，抛物线与y轴的交点纵坐标为-5．故选：C．令x=0，直接求出抛物线与y轴的交点纵坐标．主要考查了二次函数图象与y轴的交点坐标特点．6.【答案】D【解析】解：设有x个代表队参加比赛，则可列方程x（x-1）=28．故选：D．设有x个队参赛，根据参加一次排球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛28场，可列出方程．本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．7.【答案】C【解析】解：拱桥的跨度AB=24m，拱高CD=8m，∴AD=12m，利用勾股定理可得：122=AO2-（AO-8）2，解得AO=13m．即圆弧半径为13米．故选：C．将拱形图进行补充，构造直角三角形，利用勾股定理和垂径定理解答．本题考查了垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．8.【答案】D【解析】解：∵在⊙O中，=，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=50°，∴∠AOC=50°，∴∠ADC=∠AOC=25°，故选：D．先求出∠AOC=∠AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．9.【答案】A【解析】解：连接OA，作OD⊥AB于点D．在直角△OAD中，OA=1，∠OAD=∠BAC=30°，则AD=OA•cos30°=．则AB=2AD=，则扇形的弧长是：=，设底面圆的半径是r，则2π×1=，解得：r=．故选：A．连接OA，作OD⊥AB于点D，利用三角函数即可求得AD的长，则AB的长可以求得，然后利用弧长公式即可求得弧长，即底面圆的周长，再利用圆的周长公式即可求得半径．本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．10.【答案】C【解析】解：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°，∵AO=BO，∴AB=2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ=3、MQ=4，∴OM=5，又∵MP′=2，∴OP′=3，∴AB=2OP′=6，故选：C．由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．11.【答案】-2【解析】解：把x=-1代入方程x2-x+k=0得1+1+k=0，解得k=-2．故答案为-2．把x=-1代入方程x2-x+k=0得1+1+k=0，然后解关于k的方程即可．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12.【答案】y=-12x2+1【解析】解：抛物线y=-x2向上平移1个单位长度得到抛物线的解析式为y=-x2+1，故答案为：y=-x2+1．直接根据平移规律作答即可．此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．13.【答案】90【解析】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为n．根据题意得2π×1=解得n=90°．故答案为：90°根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长可得圆锥侧面展开图的圆心角，把相关数值代入即可．此题主要考查了圆锥的计算；关键是掌握计算公式：圆锥的底面周长=圆锥的侧面展开图的弧长．14.【答案】61°【解析】解：连接OD，∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，∴点A，B，C，D共圆，∵点D对应的刻度是58°，∴∠BOD=58°，∴∠BCD=∠BOD=29°，∴∠ACD=90°-∠BCD=61°．故答案为：61°．首先连接OD，由直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，可得点A，B，C，D共圆，又由点D对应的刻度是58°，利用圆周角定理求解即可求得∠BCD的度数，继而求得答案．此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．15.【答案】23【解析】解：依照题意画出图象，如图所示．∵六边形ABCDEF为正六边形，∴△ABO为等边三角形，∵⊙O的半径为1，∴OM=1，∴BM=AM=，∴AB=，∴S=6S△ABO=6×××1=2．故答案为：2．根据正多边形的定义可得出△ABO为等边三角形，根据等边三角形的性质结合OM的长度可求出AB的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S的值．本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边形的边长是解题的关键．16.【答案】（3，3）【解析】解：点G的坐标为（a，a2），则点D的坐标为（-a，a2），∴点A的坐标为（a2，a），∵射线OC与x轴正半轴的夹角为30°，∴tan30°=，即，解得，a=，∴点A的坐标为（3，）．根据点G在y=x2（x＞0）上，可以设出点G的坐标，从而可以表示出点D和点A的坐标，然后根据特殊角的三角函数值可以求得点A的坐标．本题考查二次函数图象上点的坐标特征、翻折变换、坐标与图形变化-旋转，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．17.【答案】解：（1）∵一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根，∴△=（-3）2-4×1×（-k）＞0，解得k＞-94；（2）当k=-2时，方程为x2-3x+2=0，因式分解得（x-1）（x-2）=0，解得x1=1，x2=2．【解析】（1）根据方程有两个不相等的实数根根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围；（2）k取负整数，再解一元二次方程即可．本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根是解答此题的关键．18.【答案】解：（1）如图：；（2）如图2：，OB=42+22=25，点B旋转到点B1所经过的路径长90⋅π25180=5π．【解析】（1）根据旋转的性质，可得答案；（2）根据线段旋转，可得圆弧，根据弧长公式，可得答案．本题考查了作图，利用旋转的性质是解题关键，又利用了弧长公式．19.【答案】解：（1）y=-x2+2x-3=-（x2-2x+3）=-（x-1）2-2，所以顶点坐标为（1，-2）对称轴为x=1；（2）∵函数图象开口向下，又其对称轴x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小．【解析】（1）根据配方法的要求把一般式转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，写出顶点坐标；（2）当a＜0时，抛物线向下开口，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，据此求解即可．本题考查了二次函数的性质，配方法，二次函数的顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．20.【答案】解：（1）如图，⊙O为所作；（2）AB与⊙O的位置关系是相切．证明：过O作OD⊥AB于D，如图，∵AO平分∠BAC，OC⊥AC，OD⊥AB，∴OD=OC，∴AB与⊙O相切．【解析】（1）先利用基本作图作∠BAC的平分线AO，然后作⊙O；（2）过O作OD⊥AB于D，如图，根据角平分线的性质得OD=OC，然后根据切线的判定定理可判断AB与⊙O相切．本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．21.【答案】已知：平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形，求证：四边形ABCD是矩形，证明：∵平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B=∠D，∠B+∠D=180°，∴∠B=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．【解析】根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠D=180°，根据平行四边形的性质得出∠B=∠D，求出∠B=90°，根据矩形的判定得出即可．本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，圆内接四边形的性质等知识点，能求出∠B=90°是解此题的关键．22.【答案】证明：（1）连接CD，∵BC为⊙O的直径，∴CD⊥AB．∵AC=BC，∴AD=BD．（2）连接OD；∵AD=BD，OB=OC，∴OD是△BCA的中位线，∴OD∥AC．∵DE⊥AC，∴DF⊥OD．∵OD为半径，∴DF是⊙O的切线．【解析】（1）由于AC=AB，如果连接CD，那么只要证明出CD⊥AB，根据等腰三角形三线合一的特点，我们就可以得出AD=BD，由于BC是圆的直径，那么CD⊥AB，由此可证得．（2）连接OD，再证明OD⊥DE即可．本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质等知识点．要注意的是要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．23.【答案】解：设与仓库与墙垂直的一边是x米，（32-2x+1）x=130，x=10或x=6.5，①当0＜a＜13设，没有符合题意的方案．②当13≤a＜20时，建仓库的方案：与仓库与墙垂直的一边是10米，另一边是13米；③当a≥20时，方案一：与仓库与墙垂直的一边是10米，另一边是13米；方案二：与仓库与墙垂直的一边是6.5米，另一边是20米；【解析】设与仓库与墙垂直的一边是x米，长是（32-2x+1），根据面积为130平方米可列方程求解，再分类讨论即可；本题考查一元二次方程的应用、理解题意的能力，关键是设出长，表示出宽，以面积做为等量关系列方程求解．24.【答案】（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC=60°，OA=OE，∴△AEO是等边三角形，∴AE=OA，∠AOE=60°，∴AE=AO=OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，∴S△AEM=S△DMO，∴S阴影=S扇形EOD=60⋅π×22360=23π．【解析】（1）由Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O切BC于D，易证得AC∥OD，继而证得AD平分∠CAB．（2）如图，连接ED，根据（1）中AC∥OD和菱形的判定与性质得到四边形AEDO 是菱形，则△AEM≌△DMO，则图中阴影部分的面积=扇形EOD的面积．此题考查了切线的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．25.【答案】解：（1）∵点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B，∴A（2，0），B（6，0），∵抛物线y=x2+bx+c过点A和B，∴y=16（x-2）（x-6）∴y=16x2-43x+2．∴C（0，2）．抛物线的大致图象如图下所示：（2）如下图所示：连结AQ交直线x=4与点P，连结PB．∵A、B关于直线x=4对称，∴PA=PB，∴PB+PQ=AP+PQ，∴当点A、P、Q在一条直线上时，PQ+PB有最小值．∵Q（8，m）抛物线上，∴m=2．∴Q（8，2）∴AQ=(8−2)2+(2−0)2=210．∴PQ+PB的最小值=AQ=210．（3）如下图所示：连结EM，CM，可知EM=OC=2．∵CE是切线，∴∠DEM=90˚∴∠DEM=∠DOC．又∵∠ODC=∠EDM，∴△DEM≌△DOC．∴OD=DE，CD=MD．在△ODE和△MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC，则 OE∥CM．设CM所在直线的解析式为y=kx+b，CM过点C（0，2），M（4，0），∴4k+b=0b=2解得k=−12b=2直线CM的解析式为y=-12x+2．又∵直线OE过原点O，且OE∥CM，则OE的解析式为y=-12x．【解析】（1）由抛物线与x轴的交点坐标可知抛物线的解析式为y=（x-2）（x-6），然后再进行整理即可；（2）连结AQ交直线x=4与点P，连结PB，先求得点Q的坐标，然后再依据轴对称的性质可知当点A、Q、P在一条直线上时，PQ+PB有最小值；（3）连结EM，CM，然后证明OE∥CM，接下来，再求得CM的解析式，然后可得到OE的解析式．本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、轴对称-最短路径问题、全等三角形的性质和判定等知识，证得CM∥OE是解答本题的关键．。
福建省龙岩市 九年级(上)月考数学试卷(12月份)
D. 抛出的篮球会下落
3. 若关于 x 的一元二次方程 x2+x-m=0 有实数根，则 m 的取值范围是（ ）
A. m≥14
B. m≥−14ຫໍສະໝຸດ C. m≤14D. m≤−14
4. 在单词“APPLE”中随机选择一个字母，选择到的字母是“P”的概率是（ ）
A. 14
B. 15
C. 25
D. 35
5. 已知：如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形，点 P 是劣弧 CD
九年级（上）月考数学试卷（12 月份）
题号 得分
一
二
三
四
一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分） 1. 下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ）
总分
A.
B.
C.
D.
2. 下列事件中，必然事件是（ ）
A. 掷一枚硬币，正面朝上
B. 任意三条线段可以组成一个三角形
C. 投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数
22. 某电脑公司现有 A、B、C 三种型号的甲品牌电脑和 D、E 两种型号的乙品牌电脑．某
中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑． （1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）； （2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，求 A 型号电脑被选中的概 率．
23. 阅读下列材料并回答问题：
牌童装，购进时的单价是 60 元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是 80 元 时，销售量是 200 件，销售单价每降低 1 元，就可多售出 20 件． （1）求出销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式； （2）求出销售该品牌童装获得的利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系 式； （3）若童装厂规定该品牌童装的销售单价不低于 76 元且不高于 80 元，则商场销 售该品牌童装获得的最大利润是多少？
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第1页，共16页 九年级（上）月考数学试卷（12月份） 题号一二三总分得分
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列方程中是一元二次方程的是（ ）A. x2+1x2=0B. ax2+bx+c=0
C. 3x2−2xy−5y2=0D. (x−1)(x+2)=1
2.下列四个点，在反比例函数y=6x图象上的是（ ）A. (1,−6)B. (2,4)C. (3,−2)D. (2,3)
3.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.已知⊙O是以坐标原点为圆心，5为半径的圆，点P的坐标为（3，-4），则点P与⊙O的位置关系是（ ）A. 点P在⊙O外B. 点P在⊙O上C. 点P在⊙O内D. 无法确定
5.从下列四张卡片中任取一张，卡片上的图形既是轴对称又是中心对称图形的概率是
（ ）A. 14B. 12C. 34D. 1
6.在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（ ）A. 12B. 9C. 4D. 3
7.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）A. ∠ABD=∠ACB
B. ∠ADB=∠ABC
C. AB2=AD⋅AC
D. ADAB=ABBC
8.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB=110°，则∠AED的度数为（ ）A. 15∘
B. 20∘
C. 25∘
D. 30∘
9.已知二次函数y=ax2+bx+c
的图象如图所示，则下列结论正确
的是（ ）第2页，共16页
A. a>b>c
B. c>a>b
C. c>b>a
D. b>a>c
10.如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（4，0），点P为线段AB外一动点，且PA=32，以PB为边
作等边△PBM，则线段AM的最大值为（ ）
A. 52B. 72C. 112D. 20
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.点P（-3，4）关于原点对称的点的坐标是______．12.方程x（x+1）=0的解是______．13.把长度为20cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是______cm．（结果保留根号）14.如图，在平面内将Rt△ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90°，得到Rt△EFC，若AB=5，BC=1，则阴影部分的面积为
______．
15.如图，点A为函数y=4x（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y=1x（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为______．
16.已知函数y=(x−1)2−1,(x<4)(x−7)2−1,(x≥4)，点P（a，ka）在该函数上，若这样的点P恰好有三个，则k的值为______．三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）17.解一元二次方程：x2-4x-1=0
．
18.已知：关于x的方程3x2-（a-3）x-a=0，求证：无论a
取任意实数，此方程总有两
个实数根．第3页，共16页
19.求证：相似三角形对应边上的高之比等于相似比．要求：①根据给出的△ABC及线段A'B'，∠A'（∠A'=∠A），以线段A'B'为一边，在给出的图形上用尺规作出△A'B'C，使得△A'B'C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应高，并据此写出已知、求证和证明过程．
20.如图，有A、B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将A转盘指针指向的数字记为x，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为P（x，y）．记s=x+y．（1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标；（2）李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当s＜6时甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？对谁有利？
21.如图，已知反比例函数y=kx与一次函数y=x+b的图形在第一象限相交于点A（1，-k+4）．（1）试确定这两函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并求△AOB的面积；（3）根据图象直接写出反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围．第4页，共16页
22.如图，实验数据显示，一般成年人喝半斤低度白酒后，1.5时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可以近似的用二次函数y=-200x2+400x
刻画，
1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似的用反比例函数y=kx（k＞0）刻画．
（1）根据上述数学模型计算；①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？②当x=5时，y=45，求k的值．（2）按照国家规定，车辆驾驶人员血液中酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早晨7：00能否驾车去上班？请说明理由．
23.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．第5页，共16页
24.如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．点E不与B，C重合．（1）求证：△ABE∽△ECM；（2）当EM∥AB时，求出BE的长；（3）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．
25.如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（-1，1）及原点，交x轴于另一点C（3，0
），
点D（O，m）是y轴正半轴上一动点，直线AD交抛物线于另一点B．
（I）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AO、BO，若△OAB的面积为7，求m的值；（3）如图2，作BE⊥x轴于E，连接AC、DE，当D点运动变化时，AC、DE的位置关系是否变化？请证明你的结论．第6页，共16页
答案和解析1.【答案】D
【解析】解：A、是分式方程，故A错误； B、a=0时是一元一次方程，故B错误；
C、是二元二次方程，故C错误；
D、是一元二次方程，故D正确， 故选：D．本题根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程； （4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2.【答案】D
【解析】
解：∵反比例函数为，∴点（2，3）满足函数解析式．
故选：D．由于点在反比例函数图象上，那么点的坐标满足函数的解析式，由此即可确定选择项．此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，解题的关键是利用反比例函数的图象的点坐标特点解决问题．3.【答案】B
【解析】解：∵DE∥BC，
∴，
即，解得：EC=2，故选：B．
根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．4.【答案】B
【解析】
解：OM==5，OM=r=5，
点P在⊙O上，第7页，共16页
故选：B．根据勾股定理，可得OM的长，根据点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
5.【答案】B
【解析】解：∵四张卡片中任取一张既是轴对称又是中心对称图形的有2张，
∴卡片上的图形既是轴对称又是中心对称图形的概率是=，
故选：B．根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．本题考查的是概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相
同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．也考查了轴对称图形以及中心对称图形的定义．6.【答案】A
【解析】解：∵摸到红球的频率稳定在25%，
∴=25%，
解得：a=12．故选：A．
摸到红球的频率稳定在25%，即=25%，即可即解得a的值．
本题考查：频率、频数的关系：频率=．7.【答案】D
【解析】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此
选项不合题
意；
C、∵AB2=AD•AC，∴=，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此
选项不合题
意；
D、=不能判定△ADB∽△ABC，故此
选项符合题
意．
故选：D．根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
8.【答案】B
【解析】解：连接AC，如图，∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠DCB-∠ACB=110°-90°=20°，