2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习满分练习题含解析 (6)
2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习文档：中档大题规范练2 Word版含解析
2.数 列1.(2017·原创押题预测卷)已知S n ＝na 1＋(n －1)a 2＋…＋2a n －1＋a n ，n ∈N *. (1)若{a n }是等差数列，且S 1＝5，S 2＝18，求a n ； (2)若{a n }是等比数列，且S 1＝3，S 2＝15，求S n .解 (1)设{a n }的公差为d ，则S 1＝a 1＝5，S 2＝2a 1＋a 2＝10＋a 2＝18， 所以a 2＝8，d ＝a 2－a 1＝3，a n ＝5＋3(n －1)＝3n ＋2.(2)设{a n }的公比为q ，则S 1＝a 1＝3，S 2＝2a 1＋a 2＝6＋a 2＝15， 所以a 2＝9，q ＝a 2a 1＝3，a n ＝3×3n －1＝3n ，所以S n ＝n ×3＋(n －1)×32＋…＋2×3n －1＋3n ，① 3S n ＝n ×32＋(n －1)×33＋…＋2×3n ＋3n ＋1，②②－①，得2S n ＝－3n ＋(32＋33＋…＋3n )＋3n ＋1＝－3n ＋32(1－3n －1)1－3＋3n ＋1＝－3n －92＋3n ＋12＋3n ＋1＝3n ＋2－6n －92，所以S n ＝3n ＋2－6n －94.2.(2017届黑龙江虎林一中月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }的前n 项和为T n ，若q >0且b 3＝a 5，T 3＝13，求T n ； (3)设c n ＝1a n a n ＋1，求数列{c n }的前n 项和S n .解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝5，S 3＝3a 1＋3×22d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)由题意可知，b 3＝a 5＝9，T 3＝13，所以公比q ＝3， 从而b 1＝1，所以T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－3n )1－3＝12(3n－1).(3)由(1)知，a n ＝2n －1.所以c n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.3.(2017·广东七校联考)设数列{a n }的前n 项之积为T n ，且log 2T n ＝n (n －1)2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝λa n －1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项之和为S n .若对任意的n ∈N *，总有S n ＋1>S n ，求实数λ的取值范围.解 (1)由log 2T n ＝n (n －1)2，n ∈N *，得T n ＝(1)22n n -，所以T n －1＝(1)(2)22n n --(n ∈N *，n ≥2)，所以a n ＝T nT n －1＝(1)(1)(1)(2)222(1)(2)2222n n n n n n n n -------=＝2n －1，n ∈N *，n ≥2.又a 1＝T 1＝20＝1，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由b n ＝λa n －1＝λ2n －1－1，得S n ＝λ·1－2n 1－2－n ＝()2n－1λ－n ，所以S n ＋1>S n ⇔()2n ＋1－1λ－()n ＋1>()2n －1λ－n ⇔2n λ>1⇔λ>12n ，因为对任意的n ∈N *，12n ≤12，故所求的λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 4.(2017·湖北黄冈质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，向量a ＝(S n ，n )，b ＝(9n －7，2)，且a 与b 共线.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m ，92m )内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m项和T m .解 (1)a 与b 共线，S n ＝n (9n －7)2＝92n 2－72n ，a 1＝1，a n ＝S n －S n －1＝9n －8，n ≥2，所以a n ＝9n －8，n ∈N *. (2)对m ∈N *，若9m ＜a n ＜92m ， 则9m ＋8＜9n ＜92m ＋8. 因此9m －1＋1≤n ≤92m －1.故得b m ＝92m －1－9m －1.于是T m ＝b 1＋b 2＋…＋b m＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1)＝9(1－81m )1－81－1－9m 1－9＝9×92m ＋1－10×9m80.5.(2017·原创押题预测卷)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ·3n3n －1(n ≥1，n ∈N *).(1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)求证：对任意的自然数n ∈N *，不等式a 1·a 2·…·a n ＜2·n ！成立. (1)解 将n ＝1，2，3代入可得a 1＝32，a 2＝94，a 3＝8126.(2)证明 由a n ＝n ·3n 3n －1＝n1－13n(n ≥1，n ∈N *)可得a 1·a 2·…·a n ＝n ！⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13n ，因此欲证明不等式a 1·a 2·…·a n ＜2·n ！成立，只需要证明对任意非零自然数n ，不等式⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13n ＞12恒成立即可，显然左端每个因式都为正数，因为1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13n ＝1－13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝1－12⎝⎛⎭⎫1－13n ＞1－12＝12. 故只需证明对每个非零自然数，不等式⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13n ≥1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13n 恒成立即可.(*)下面用数学归纳法证明该不等式成立： ①显然当n ＝1时，不等式(*)恒成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式(*)也成立，即不等式⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13k ≥1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13k 成立. 那么当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13k ⎝⎛⎭⎫1－13k ＋1≥⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13k ⎣⎡⎦⎤1－13k ＋1，即⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13k ＋1≥1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13k －13k ＋1＋13k ＋1⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13k ，注意到13k ＋1⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13k ＞0，所以⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13k ＋1≥1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13k ＋13k ＋1，这说明当n ＝k ＋1时，不等式(*)也成立.因此由数学归纳法可知，不等式(*)对任意非零自然数都成立，即⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－132…⎝⎛⎭⎫1－13n ≥1－⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13n ＞12恒成立，故不等式a 1·a 2·…·a n ＜2·n ！对任意非零自然数都成立.6.(2017·北京)设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n }(n ＝1，2，3，…)，其中max{x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数. (1)若a n ＝n ，b n ＝2n －1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，c nn >M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列. (1)解 c 1＝b 1－a 1＝1－1＝0，c 2＝max{b 1－2a 1，b 2－2a 2}＝max{1－2×1，3－2×2}＝－1，c 3＝max{b 1－3a 1，b 2－3a 2，b 3－3a 3}＝max{1－3×1，3－3×2，5－3×3}＝－2. 当n ≥3时，(b k ＋1－na k ＋1)－(b k －na k )＝(b k ＋1－b k )－n (a k ＋1－a k )＝2－n ＜0， 所以b k －na k 在k ∈N *时单调递减.所以c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n }＝b 1－a 1n ＝1－n . 所以对任意n ≥1，c n ＝1－n ，于是c n ＋1－c n ＝－1， 所以{c n }是等差数列.(2)证明 设数列{a n }和{b n }的公差分别为d 1，d 2，则b k －na k ＝b 1＋(k －1)d 2－[a 1＋(k －1)d 1]n ＝b 1－a 1n ＋(d 2－nd 1)(k －1).所以c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b 1－a 1n ＋(n －1)(d 2－nd 1)，d 2＞nd 1，b 1－a 1n ，d 2≤nd 1.①当d 1＞0时，取正整数m ＞d 2d 1，则当n ≥m 时，nd 1＞d 2，因此，c n ＝b 1－a 1n ，此时，c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列. ②当d 1＝0时，对任意n ≥1，n ∈N *，c n ＝b 1－a 1n ＋(n －1)max{d 2，0}＝b 1－a 1＋(n －1)(max{d 2，0}－a 1). 此时，c 1，c 2，c 3，…，c n ，…是等差数列. ③当d 1＜0时，当n ＞d 2d 1时，有nd 1＜d 2，所以c n n ＝b 1－a 1n ＋(n －1)(d 2－nd 1)n ＝n (－d 1)＋d 1－a 1＋d 2＋b 1－d 2n≥n (－d 1)＋d 1－a 1＋d 2－|b 1－d 2|. 对任意正数M ，取正整数m ＞max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫M ＋|b 1－d 2|＋a 1－d 1－d 2－d 1，d 2d 1， 故当n ≥m 时，c nn＞M .。
2018考前三个月高考数学理科总复习训练题——小题满分练1 Word版含答案
小题满分练小题满分练．设全集＝，＝{－≤}，＝{＝，∈}，则图中阴影部分表示的区间是．答案(－∞，－)∪(，＋∞)解析因为＝{≤≤}＝[]，＝{－≤≤}＝[－]，所以∪＝[－]，所以∁(∪)＝(－∞，－)∪(，＋∞)．．(·苏州暑假测试)命题“∃＞，≥”的否定是．答案∀＞，＜解析根据存在性命题的否定规则得“∃＞，≥”的否定是“∀＞，＜”．．若复数满足＝＋，则的共轭复数是．答案＋解析∵＝＋，∴＝＝－，∴＝＋.．(·徐州、连云港、宿迁三检)已知一组数据，则该组数据的方差是．答案(或)解析这组数据的平均数＝(＋＋＋＋)＝，方差＝(＋＋＋＋)＝.．若流程图如图所示，则该程序运行后输出的值是．答案解析＝，＝⇒＝，＝⇒＝，＝⇒＝，＝…，由此可知＝，所以当＝时，＝.．(·常州期末)满足等式－＝(∈[，π])的的值为．答案解析由题意可得，－－＝，解得＝－或＝(舍去)．又∈[，π]，故＝.．(·河北衡水中学模拟)已知为等差数列，为其前项和，公差为，若－＝，则的值为．答案解析因为＝＝＋，所以)－＝＋－)－＝＝，所以＝.．(·常州期末)以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为．答案∶解析如图，由题意可得圆柱的侧面积为＝π＝π.圆锥的母线＝＝，故圆锥的侧面积为＝×π×＝π，所以∶＝∶.．(·无锡期末)设不等式组(\\(≥，－≤，＋≤))表示的平面区域为，若直线＝－上存在内的点，则实数的取值范围为．答案[]解析直线＝－上存在内的点，即直线与平面区域有公共点，作出平面区域，注意到直线＝－经过定点(，－)，求得直线：－＝和：＋＝的交点()及和：＝的交点()，则＝，＝，由题意可得的取值范围是[]．．已知()是定义在上的偶函数，且对于任意的∈[，＋∞)，满足(＋)＝()．若当∈[)时，()＝－－，则函数＝()－在区间[－]上的零点个数为．答案解析作出函数()的图象(如图)，则它与直线＝在[－]上的交点的个数，即为函数＝()－在[－]上的零点的个数，由图象观察知共有个交点，从而函数＝()－在[－]上的零点有个．．(·无锡期末)设点是有公共焦点，的椭圆与双曲线的一个交点，且⊥，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若＝，则＝.答案解析不妨设，分别是左、右焦点，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，则根据椭圆和双曲线的定义可得(\\(＋＝，－＝，))解得。
2018版考前三个月高考数学理科全国通用总复习文档：124满分练1 含解析 精品
12＋4满分练12＋4满分练(1)1.已知P ＝{x |x 2－5x ＋4＜0}，Q ＝{}y |y ＝4－2x ，则P ∩Q 等于( ) A.[0，1) B.[0，2) C.(1，2) D.[1，2) 答案 C解析 解x 2－5x ＋4＜0，即(x －1)(x －4)＜0，得1＜x ＜4，故P ＝(1，4).Q 表示函数y ＝4－2x 的值域，因为2x ＞0，所以t ＝4－2x ＜4，所以y ∈[0，2)，即Q ＝[0，2).故P ∩Q ＝(1，2).故选C.2.已知a ∈R ，i 是虚数单位.若a －i 2＋i 与3i －5i 2－i 互为共轭复数，则a 等于( )A.13B.－13 C.－3 D.3 答案 D 解析a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝(2a －1)－(a ＋2)i 5＝2a －15－a ＋25i ，3i －5i2－i ＝3i －5i (2＋i )(2－i )(2＋i )＝3i －－5＋10i 5＝1＋i ，∵a －i 2＋i 与3i －5i2－i互为共轭复数， ∴2a －15＝1，－a ＋25＝－1，解得a ＝3.故选D. 3.命题：∀x ∈R ，ln(e x －1)＜0的否定是( ) A.∀x ∈R ，ln(e x －1)>0 B.∀x ∈R ，ln(e x －1)≥0 C.∃x 0∈R ，ln(0e x－1)＜0 D.∃x 0∈R ，ln(0e x－1)≥0 答案 D4.(2017·四川双流中学月考)已知函数f (x )＝A sin ()ωx ＋φ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，||φ＜π2的部分图象如图所示，若将f (x )图象上的所有点向右平移π12个单位长度得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋π12，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z 答案 A解析 由题图可得，f (x )的振幅A ＝2， 周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π，则ω＝2， 所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 又2×π12＋φ＝π2＋2k π，|φ|＜π2，解得φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 平移后得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z . 故选A.5.已知抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴的交点记为A ，焦点为F ，l 是过点A 且倾斜角为π3的直线，则F 到直线l 的距离为( ) A.1 B.3 C.2 D.2 3答案 B解析 由题意，得A (－1，0)，F (1，0)，则过点A 且倾斜角为π3的直线l 的方程为y ＝3(x ＋1)，∴点F 到直线l 的距离d ＝233＋1＝ 3.故选B.6.(2017·云南师范大学附中月考)已知三棱锥A －BCD 内接于半径为5的球O 中，AB ＝CD ＝4，则三棱锥A －BCD 的体积的最大值为( ) A.43 B.83 C.163 D.323 答案 C解析 如图，过CD 作平面ECD ，使AB ⊥平面ECD ， 交AB 于点E ，设点E 到CD 的距离为EF ，当球心在EF 上时，EF 最大，此时E ，F 分别为AB ，CD 的中点，且球心O 为EF 的中点，所以EF ＝2，所以V max ＝13×12×4×2×4＝163，故选C.7.(2017·武邑检测)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0()a >0截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋()y －12＝1的位置关系是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 答案 B解析 化简圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2⇒M (0，a )，r 1＝a ⇒M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2⇒⎝⎛⎭⎫a 22＋2＝a 2⇒a ＝2⇒M (0，2)，r 1＝2，又N (1，1)，r 2＝1⇒|MN |＝2⇒|r 1－r 2|＜|MN |＜|r 1＋r 2|⇒两圆相交.8.(2017·资阳模拟)一块硬质材料的三视图如图所示，正(主)视图和俯视图都是边长为10 cm 的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近( )A.3 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm答案 A解析 由题意得几何体为一个三棱柱，底面是腰为10的等腰直角三角形，高为10，得到的最大球的半径为等腰直角三角形的内切圆的半径，其半径为10＋10－1022＝10－52≈2.93，最接近3 cm ，故选A.9.已知两组样本数据{x 1，x 2，…，x n }的平均数为h ，{y 1，y 2，…，y m }的平均数为k ，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为( ) A.h ＋k 2 B.nh ＋mk m ＋n C.mh ＋nk m ＋n D.h ＋k m ＋n答案 B解析 因为样本数据{x 1，x 2，…，x n }的平均数为h ， {y 1，y 2，…，y m }的平均数为k ，所以第一组数据和为nh ，第二组数据和为mk ， 因此把两组数据合并成一组以后， 这组样本的平均数为nh ＋mk m ＋n，故选B.10.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a ，b ∈{0，1，2，…，9}.若|a －b |≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为( ) A.725 B.925 C.750 D.950 答案 A解析 共有10×10＝100(种)猜字结果，其中满足|a －b |≤1的有：当a ＝0时，b ＝0，1；当a ＝1时，b ＝0，1，2；当a ＝2时，b ＝1，2，3；当a ＝3时，b ＝2，3，4；当a ＝4时，b ＝3，4，5；当a ＝5时，b ＝4，5，6；当a ＝6时，b ＝5，6，7；当a ＝7时，b ＝6，7，8；当a ＝8时，b ＝7，8，9；当a ＝9时，b ＝8，9，共28种，所以他们“心有灵犀”的概率为P ＝28100＝725，故选A. 11.(2017·曲靖月考)已知函数f (x )＝x 2－kx －2在区间(1，5)上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是( ) A.[10，＋∞) B.(－∞，2]C.(－∞，2]∪[10，＋∞)D.(－∞，1]∪[5，＋∞) 答案 C解析 由已知可得k 2≤1或k2≥5⇒k ∈(－∞，2]∪[10，＋∞)，故选C.12.若存在m ，使得关于x 的方程x ＋a (2x ＋2m －4e x )·[ln(x ＋m )－ln x ]＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，0)B.⎝⎛⎭⎫0，12eC.(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12e ，＋∞D.⎣⎡⎭⎫12e ，＋∞答案 C解析 由题意得－12a ＝⎝⎛⎭⎫1＋m x －2e ln ⎝⎛⎭⎫1＋m x ＝(t －2e)ln t ⎝⎛⎭⎫t ＝m x ＋1＞0， 令f (t )＝(t －2e)ln t (t ＞0)，则f ′(t )＝ln t ＋1－2et ，(f ′(t ))′＝1t ＋2et2＞0，∴f ′(t )为增函数.当x ＞e 时，f ′(t )＞f ′(e)＝0，当0＜x ＜e 时，f ′(t )＜f ′(e)＝0， ∴f (t )≥f (e)＝－e ，∴－12a ≥－e ，解得a ＜0或a ≥12e，故选C.13.(2017·山西临汾五校联考)若tan α－1tan α＝32，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝_______. 答案210解析 ∵tan α－1tan α＝32，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴sin αcos α－cos αsin α＝32，∴cos 2αsin 2α＝－34， ∵π4＜α＜π2， ∴π2＜2α＜π， 故cos 2α＝－35，sin 2α＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝sin 2α×22＋cos 2α×22＝210. 14.已知O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，则(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)＝________. 答案 －16解析 如图所示，因为O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，所以∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°， OA ＝2OD ＝23×32＝33，由于AD 平分∠BAC ，∠BOC ， 所以OB →＋OC →＝2OD →＝－OA →，同理OA →＋OB →＝－OC →，OA →＋OC →＝－OB →，所以(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)＝(－OC →)·(－OB →)＝OC →·OB → ＝|OB →|2cos120°＝|OA →|2cos120°＝⎝⎛⎭⎫332×⎝⎛⎭⎫－12＝－16. 15.已知(x ＋a )2(x －1)3的展开式中x 4的系数为1，则a ＝________. 答案 2解析 (x ＋a )2(x －1)3的展开式中x 4的系数为1×(－3)＋2a ×1＝2a －3＝1， 所以a ＝2. 16.(2017·福建福州外国语学校模拟)在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高.观众A ，B ，C 做了一项预测：A 说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”.B 说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”.C 说：“我认为冠军不会是丙，而是甲”.比赛结果出来后，发现A ，B ，C 三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是________. 答案 甲解析 由题意知，B ，C 的预测截然相反，必一对一错，因为只有一个对，不论B ，C 谁对，A 必是一对一错，假设B 的预测是对的，则丙是冠军，那么A 说冠军也不会是甲，也不会是乙，即丙是冠军也对，这与题目中“一人的两个判断都对”相矛盾，即假设不成立，所以B 的预测是错误的，则C 的预测是对的，所以甲是冠军.。
全国通用2018版高考数学总复习考前三个月解答题滚动练5理.doc
解答题滚动练51.(2017 •北京)如图，在四棱锥尸一』成中，底面』助为正方形，平面0/a平面/砌，点所在线段用上，仞〃平面切G PA=PD=y[6, AB=4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角B-PD-A的大小；(3)求直线欢与平面时所成角的正弦值.⑴证明设化BD交于.E,连接必如图.因为愆〃平面切G 平面切CTI平面破=班，所以PD//ME.因为四边形敬力是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点.⑵解取欢的中点。
，连接弟OE.因为PA=PD,所以那_L也，又因为平面平面ABCD,且游u平面PAD,所以必＞_L平面ABCD.因为两u平面ABCD,所以OPLOE.因为四边形物⑦是正方形，所以OELAD.如图，建立空间直角坐标系赤*,则尸(0, 0,展)，力(2, 0, 0),以一2, 4, 0),航(4, -4, 0),社(2, 0, 一俎). 设平面战£?的法向量n= (x, y, z),n ■BD=g, 则＜_0 •应=0, J4x —4y=0, 〔2x —吏 z=0.(3)解 令x=l,则尸1, z=吏.于是n= (1, 1,吏). 平面的法向量为p=(0, 1, 0),n • p 1所以cos 5, p)=扁¥=云由题意知二面角B — PD — A 为锐角，JI所以它的大小为 O设直线必与平面夕班所成的角为a,则sm a = |cos 5,丽 | 笑，\n\\MC\所以直线照与平面妍所成角的正弦值为绊.2. (2017 •安徽太和中学模拟)新一届班委会的7名成员有0, B,。
三人是上一届的成员，现 对7名成员进行如下分工.(1) 若正、副班长两职只能由4 B,。
三人中选两人担任，则有多少种分工方案？(2) 若4 B,「三人不能再担任上一届各自的职务，则有多少种分工方案？解 ⑴先确定正、副班长，有A ；种选法，其余全排列有A?种，共有A 锵= 720(种)分工方案.(2)方法一设B,。
2018考前三个月高考数学理科总复习训练题：附加题高分练3含答案
y1)(y1＞0)，B(x2，y2)两点，T 为抛物线的准线与 x 轴的交点．
→ → (1)若TA·TB＝1，求直线 l 的斜率； (2)求∠ATF 的最大值． 解 (1)因为抛物线 y ＝4x 焦点为 F(1,0)，T(－1,0)．
2
→ → → → 当 l⊥x 轴时，A(1,2)，B(1，－2)，此时TA·TB＝0，与TA·TB＝1 矛盾， 所以设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)，代入 y ＝4x，得 k x －(2k ＋4)x＋k ＝0， 2k ＋4 则 x1＋x2＝ ，x1x2＝1，① k2
2 2 2 2 2 2
所以 y1y2＝16x1x2＝16，所以 y1y2＝－4，② → → 因为TA·TB＝1，所以(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝1， 将①②代入并整理得，k ＝4，所以 k＝±2.
2
2 2
y1 1 y1 y1 1 (2)因为 y1＞0，所以 tan∠ATF＝ ＝ 2 ＝ ≤1，当且仅当 ＝ ，即 y1＝2 时，取等号，所以∠ y y 1 1 1 x1＋1 4 y1 ＋1 ＋ 4 4 y1
π π Ay2 1＝4x1，① y2 2＝4x2，② y1－2 y2－2 ∴ ＝－ ， 1 2 1 2 y1－1 y2－1 4 4
∴y1＋2＝－(y2＋2)， ∴y1＋y2＝－4， 由①－②得直线 AB 的斜率
kAB＝
y2－y1 4 4 ＝ ＝－ ＝－1(x1≠x2)． x2－x1 y1＋y2 4
→ → → 3．(2017·江苏常州中学质检)已知点 A(－1,0)，F(1,0)，动点 P 满足AP·AF＝2|FP|. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)在直线 l：y＝2x＋2 上取一点 Q，过点 Q 作轨迹 C 的两条切线，切点分别为 M，N.问：是否存在点 Q， 使得直线 MN∥l？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 → → → (1)设 P(x，y)，则AP＝(x＋1，y)，FP＝(x－1，y)，AF＝(2,0)，
2018考前三个月高考数学理科总复习训练题：附加题高分练5含答案
5．离散型随机变量的概率分布1．(2017·南京、盐城一模)某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程)，张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程． (1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布与数学期望E (X )． 解 (1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P ＝1－33×3＝23.(2)由题意得X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，P (X ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k·⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5.所以X 的概率分布为所以X 的数学期望为E (X )＝5×13＝53.2．一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．已知该网民购买A 种商品的概率为34，购买B 种商品的概率为23，购买C 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这三种商品相互独立．(1)求该网民至少购买2种商品的概率；(2)用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望． 解 (1)该网民恰好购买2种商品的概率为P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝34×23×12＋34×13×12＋14×23×12＝1124；该网民恰好购买3种商品的概率为P (ABC )＝34×23×12＝14，所以P ＝1124＋14＝1724.故该网民至少购买2种商品的概率为1724.(2)随机变量η的可能取值为0,1,2,3，由(1)知，P (η＝2)＝1124，P (η＝3)＝14，而P (η＝0)＝P (A B C )＝14×13×12＝124，所以P (η＝1)＝1－P (η＝0)－P (η＝2)－P (η＝3)＝14.随机变量η的概率分布为所以随机变量η的数学期望E (η)＝0×124＋1×14＋2×1124＋3×14＝2312.3．(2017·南京学情调研)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜，投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为23，且各次投篮互不影响．现由甲先投．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数X 的概率分布与数学期望．解 (1)设甲第i 次投中获胜的事件为A 1(i ＝1,2,3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥． 甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3.P (A 1)＝25，P (A 2)＝35×13×25＝225， P (A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×25＝2125. 所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝25＋225＋2125＝62125.(2)X 的所有可能取值为1,2,3. 则P (X ＝1)＝25＋35×23＝45，P (X ＝2)＝225＋35×13×35×23＝425， P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×1＝125.即X 的概率分布为所以数学期望E (X )＝1×45＋2×425＋3×125＝3125.4．为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的． (1)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；。
2018考前三个月高考数学理科总复习训练题：——附加题高分练3 含答案
3．曲线与方程、抛物线1．(2017·江苏南通天星湖中学质检)已知点A (1,2)在抛物线F ：y 2＝2px 上．(1)若△ABC 的三个顶点都在抛物线F 上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3, 求1k 1－1k 2＋1k 3的值； (2)若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线F 上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值． 解 (1)由点A (1,2)在抛物线F 上，得p ＝2，∴抛物线F ：y 2＝4x ， 设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2， ∴1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋1－y 2242－y 2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋2＋y 24＝1. (2)另设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 234，y 3，则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－2＋y 34＝0. 2．(2017·江苏赣榆中学月考)抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px .∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ，则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)． ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA ＝－k PB ，由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线上，得y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)，∴y 1＋y 2＝－4，由①－②得直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 1＋y 2＝－44＝－1(x 1≠x 2)． 3．(2017·江苏常州中学质检)已知点A (－1,0)，F (1,0)，动点P 满足AP →·AF →＝2||FP →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)在直线l ：y ＝2x ＋2上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为M ，N .问：是否存在点Q ，使得直线MN ∥l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)设P (x ，y )，则AP →＝(x ＋1，y )，FP →＝(x －1，y )，AF →＝(2,0)，由AP →·AF →＝2|FP →|，得2(x ＋1)＝2(x －1)2＋y 2，化简得y 2＝4x .故动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)直线l 方程为y ＝2(x ＋1)，设Q (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．设过点M 的切线方程为x －x 1＝m (y －y 1)，代入y 2＝4x ，得y 2－4my ＋4my 1－y 21＝0， 由Δ＝16m 2－16my 1＋4y 21＝0，得m ＝y 12，所以过点M 的切线方程为y 1y ＝2(x ＋x 1)，同理过点N 的切线方程为y 2y ＝2(x ＋x 2)．所以直线MN 的方程为y 0y ＝2(x 0＋x )，又MN ∥l ，所以2y 0＝2，得y 0＝1，而y 0＝2(x 0＋1)， 故点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. 4．(2017·江苏宝应中学质检)如图，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A (x 1，y 1)(y 1＞0)，B (x 2，y 2)两点，T 为抛物线的准线与x 轴的交点．(1)若TA →·TB →＝1，求直线l 的斜率；(2)求∠ATF 的最大值．解 (1)因为抛物线y 2＝4x 焦点为F (1,0)，T (－1,0)．当l ⊥x 轴时，A (1,2)，B (1，－2)，此时TA →·TB →＝0，与TA →·TB →＝1矛盾，所以设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1，① 所以y 21y 22＝16x 1x 2＝16，所以y 1y 2＝－4，②因为TA →·TB →＝1，所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝1， 将①②代入并整理得，k 2＝4，所以k ＝±2.(2)因为y 1＞0，所以tan ∠ATF ＝y 1x 1＋1＝y 1y 214＋1＝1y 14＋1y 1≤1，当且仅当y 14＝1y 1，即y 1＝2时，取等号，所以∠ATF ≤π4，所以∠ATF 的最大值为π4.。
【配套K12】全国通用2018版高考数学总复习考前三个月12+4满分练5理
12＋4满分练(5)1.(2017·原创押题预测卷)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{y |y ＝3x，x ≤0}，则A ∩(∁R B )等于( )A.(－1，0]B.(1，2)C.(－1，0]∪(1，2)D.(0，1] 答案 C解析 因为A ＝{x |x 2－x －2＜0}＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{y |y ＝3x，x ≤0}＝{y |0＜y ≤1}，所以∁R B ＝(－∞，0]∪(1，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝(－1，0]∪(1，2)，故选C.2.(2017·广东七校联考)已知()a ＋i ()1－b i ＝2i(其中a ，b 均为实数，i 为虚数单位)，则||a ＋b i 等于()A.2B. 2C.1D.1或 2答案 B解析 因为(a ＋i)(1－b i)＝a ＋b ＋(1－ab )i ＝2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，1－ab ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，所以|a ＋b i|＝2，故选B.3.给出如图所示的程序框图，若输入的x 的值为－5，则输出的y 值是( ) A.－2 B.－1 C.0 D.1答案 C解析 由程序框图得：若输入的x 的值为－5，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝25＝32>2，程序继续运行x ＝－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝23＝8>2，程序继续运行x ＝－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，不满足⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>2，∴执行y ＝log 2x 2＝log 21＝0，故选C.4.(2017·江西九江地区联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos πx ，－1＜x ＜0，e 2x －1，x ≥0满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( ) A.12 B.2 C.13 D.12或－13 答案 D解析 由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (a )＝2，所以f (a )＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜a ＜0，2cos πa ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，e 2a －1＝1，解得a ＝12或－13，故选D.5.(2017·天津南开区模拟)已知过点A (－2，m )和B (m ，4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为( ) A.0 B.－8 C.2 D.10 答案 B解析 因为直线2x ＋y －1＝0的斜率为－2，所以过点A (－2，m )和B (m ，4)的直线的斜率k ＝－2，所以4－mm ＋2＝－2，解得m ＝－8，故选B.6.(2017届长郡中学模拟)已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π＜φ＜0)的最小正周期是π，将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象过点P (0，1)，则f (x )＝sin(ωx ＋φ)( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上单调递减 D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上单调递增 答案 B解析 由题设T ＝π＝2πω⇒ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)，向左平移π3个单位长度后可得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ，其图象经过点P (0，1)，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1， 因为－π＜φ＜0，解得φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上不单调.7.在等比数列{}a n 中，a 2，a 18是方程x 2＋6x ＋4＝0的两根，则a 4a 16＋a 10等于( )A.6B.2C.2或6D.－2 答案 B解析 因为a 2，a 18是方程x 2＋6x ＋4＝0的两根， 所以a 2＋a 18＝－6，a 2·a 18＝4，所以a 2＜0，a 18＜0，又数列{}a n 为等比数列， 所以a 10＜0，所以a 10＝－a 2a 18＝－2， 所以a 4a 16＋a 10＝a 210＋a 10＝2，故选B.8.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)的离心率为( )A.2或233B.6或233C.2或 3D.3或 6答案 A解析 由题意可知，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线的倾斜角为30°或60°，则k ＝b a ，∴k ＝3或33， 则e ＝ca ，∴e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2或233. 9.(2017·吉林普通中学调研)给出下列命题： ①函数f (x )＝sin 2x 为偶函数；②函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期为π； ③函数y ＝ln(x ＋1)没有零点；④函数y ＝ln(x ＋1)在区间(－1，0)上是增函数. 其中正确命题的序号是( ) A.①④ B.①③ C.②③ D.②④ 答案 D解析 由正弦函数的性质可知：f (x )＝sin 2x ， 则f (－x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ＝－f (x )， 则f (x )＝sin 2x 为奇函数，故①错误；由y ＝sin 2x 的最小正周期为T ＝2πω＝π，故②正确；令函数y ＝ln(x ＋1)＝0，即x ＝0， 函数存在零点，故③错误； 由对数函数的单调性可知：函数y ＝ln(x ＋1)在区间(－1，＋∞)上单调递增， 故函数y ＝ln(x ＋1)在区间(－1，0)上是增函数，④正确. 故选D.10.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数( )A.y ＝x ＋1的图象上B.y ＝2x 的图象上C.y ＝2x的图象上 D.y ＝2x －1的图象上答案 D解析 由题意可知，输入x ＝1，y ＝1，由于1≤4，输出点(1，1)，进入循环，x ＝1＋1＝2，y ＝2×1＝2，由于2≤4，输出点(2，2)，进入循环，x ＝2＋1＝3，y ＝2×2＝4，由于3≤4，输出点(3，4)，进入循环，x ＝3＋1＝4，y ＝2×4＝8，由于4≤4，输出点(4，8)，进入循环，x ＝4＋1＝5>4，循环结束；故点(2，2)，点(3，4)，点(4，8)均满足在函数y ＝2x －1的图象上. 11.(2017·天津重点中学联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为5，圆心在x 轴的正半轴上的圆M 与双曲线的渐近线相切，且圆M 的半径为2，则以圆M 的圆心为焦点的抛物线的标准方程为( ) A.y 2＝85x B.y 2＝45x C.y 2＝25x D.y 2＝5x答案 B解析 设双曲线渐近线的方程为y ＝b a x ，圆心坐标为(x 0，0)(x 0＞0)，由双曲线的离心率a 2＋b 2a＝5，得b ＝2a ，故双曲线的渐近线方程为y ＝2x . ∵圆与渐近线相切，由点到直线的距离公式得2x 01＋22＝2，即x 0＝5，∴p2＝5，p ＝25， ∴抛物线的标准方程为y 2＝45x ，故选B.12.设函数f (x )＝1－x ＋1，g (x )＝ln(ax 2－3x ＋1)，若对任意的x 1∈[0，＋∞)，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的最大值为( )A.2B.94C.4D.92答案 B解析 设g (x )＝ln(ax 2－3x ＋1)的值域为A ，因为f (x )＝1－x ＋1在[0，＋∞)上的值域为(－∞，0]，所以(－∞，0]⊆A ， 所以h (x )＝ax 2－3x ＋1至少要取遍(0，1]中的每一个数， 又h (0)＝1，所以实数a 需要满足a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝9－4a ≥0，解得a ≤94.所以实数a 的最大值为94，故选B.13.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点M ，AB ＝2，AD ＝1，且MA →·MB →＝－16，则AB →·AD →＝________.答案 34解析 MA →·MB →＝(MD →＋DA →)·23DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13BD →＋DA →·23DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AD →－13AB →＋DA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →－23AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23AD →－13AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →－23AD →＝49AD →2－29AB →2－29AB →·AD →＝－29AB →·AD →＝－16，AB →·AD →＝34.14.下表是某工厂1—4月份用电量(单位：万度)的一组数据：由散点图可知，用电量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x＋a ^，则a ^＝________. 答案 5.25解析 因为x ＝1＋2＋3＋44＝2.5，y ＝4.5＋4＋3＋2.54＝3.5，所以(2.5，3.5)在线性回归方程y ^＝－0.7x ＋a ^上，即3.5＝－0.7×2.5＋a ^，a ^＝5.25.15.(2017·河北衡水中学模拟)已知{}a n 为等差数列，S n 为其前n 项和，公差为d ，若S 2 0172 017－S 1717＝100，则d 的值为________.答案110解析 因为S n n＝na 1＋n (n －1)2dn＝a 1＋(n －1)2d ，所以S 2 0172 017－S 1717＝a 1＋2 017－12d －⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋17－12d ＝1 000d ＝100，所以d ＝110. 16.已知函数f (x )的定义域为R ，若存在常数k ，使|f (x )|≤k2 017|x |对所有实数都成立，则称函数f (x )为“期望函数”，给出下列函数： ①f (x )＝x 2；②f (x )＝x e x；③f (x )＝x x 2－x ＋1；④f (x )＝xe x ＋1.其中函数f (x )为“期望函数”的是________.(写出所有符合条件的函数序号) 答案 ③④解析 ①假设函数f (x )＝x 2为“期望函数”，则|f (x )|＝|x 2|≤k2 017|x |，当x ≠0时，k ≥2017|x |，因此不存在k ，因此假设错误，即函数f (x )＝x 2不是“期望函数”；②假设函数f (x )＝x e x为“期望函数”，则|f (x )|＝|x e x|≤k2 017|x |，当x ≠0时，k ≥2 017e x，因此不存在k ，因此假设错误；③假设函数f (x )＝xx 2－x ＋1为“期望函数”，|f (x )|＝|x |⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≤43|x |，当x ≠0时，对任意的k 2 017≥43，都有|f (x )|≤k 2 017|x |成立，故正确；④假设函数f (x )＝xe x＋1为“期望函数”，|f (x )|＝|x |e x＋1≤k2 017|x |对所有实数都成立，故正确.故答案为③④.。
2018考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题：——小题满分练3 Word版含答案
小题满分练31．(2017·南京三模)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{3,4}，则∁U (A ∪B )＝__________.答案 {2}解析 由题意可得A ∪B ＝{1,3,4}，故∁U (A ∪B )＝{2}．2．(2017届苏北四市一模)已知复数z 满足z (1－i)＝2，其中i 为虚数单位，则z 的实部为________．答案 1解析 因为z (1－i)＝2，所以z ＝21－i＝1＋i ，故实部为1. 3．某工厂生产A ，B ，C ，D 四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5∶1.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号有16件，那么此样本的容量n 为________．答案 88解析 根据分层抽样的特点，样本中A 种型号产品应是样本容量的22＋3＋5＋1＝211，所以样本的容量n ＝16÷211＝88. 4．函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 答案 (0,1]解析 根据题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x>0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1，故定义域为(0,1]．5．(2017届苏北四市一模)若随机地从1,2,3,4,5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为__________．答案 35解析 从1,2,3,4,5五个数中选出两个数的所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中一奇一偶的基本事件有6个，故所求事件的概率为P ＝610＝35.6．(2017届南京、盐城一模)如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是________．答案 9解析 经过第一次循环后得x ＝1＋4＝5，y ＝9－2＝7，此时x ＜y ，进行第二次循环；经过第二次循环后得x ＝5＋4＝9，y ＝7－2＝5，此时x ＞y ，退出循环，故输出的x ＝9.7．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AC ＝4，BC ＝27，则△ABC 的面积为________． 答案 2 3解析 由题意知，在△ABC 中，已知A ＝120°，b ＝4，a ＝27，由余弦定理得cos A ＝42＋c 2－(27)22×4×c ＝－12， 解得c ＝2或c ＝－6(舍去)，则S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×32＝2 3. 8．(2017·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的一条渐近线与直线y ＝2x ＋1平行，则实数a 的值是________．答案 1解析 由双曲线的方程可知其渐近线方程为y ＝±2ax .因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋1平行，所以2a＝2，解得a ＝1. 9．(2017·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市调研)已知{a n }是公差不为0的等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 3＝a 4a 5，S 9＝27，则a 1的值是________．答案 －5解析 首先由S 9＝9a 5＝27，得a 5＝3.设公差为d (d ≠0)，则(3－3d )(3－2d )＝3(3－d )，即d 2－2d ＝0，从而得d ＝2.所以a 1＝a 5－4d ＝3－8＝－5.10．(2017·苏州暑假测试)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝13，sin(α＋β)＝－35，则cos β＝________. 答案 －4＋6215解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos α＝13，所以sin α＝223.又α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，sin(α＋β)＝－35＜0，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，故cos(α＋β)＝－45，从而cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×13－35×223＝－4＋6215. 11.(2017·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市调研)如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →的值是__________．答案 9解析 BC →·DC →＝(OC →－OB →)·(OC →－OD →)＝(OC →＋OD →)·(OC →－OD →)＝OC 2－OD 2，类似AB →·AD →＝AO2－OD 2＝－7，所以BC →·DC →＝OC 2－OD 2＝OC 2－AO 2－7＝9.12．将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB ＝3，BC ＝2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O －EFG 体积的最大值是________． 答案 4解析 设Rt △EFG 的两条直角边分别为a ，b ，则a 2＋b 2＝16，三棱锥O －EFG 的高为3，从而V O －EFG ＝13S △EFG ·3＝12ab ≤a 2＋b 24＝4，当且仅当a ＝b ＝22时等号成立，故三棱锥O －EFG 的体积的最大值为4.13．(2017届南京、盐城一模)如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线y ＝33(x ＋1)上从左向右依次取点A k ，B k ，k ＝1,2，…，其中A 1是坐标原点，使△A k B k A k ＋1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是________．答案 512解析 设第n 个正三角形的边长为a n ，则点B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1，32a 1在直线y ＝33(x ＋1)上， 从而32a 1＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1＋1，解得a 1＝1， 当n ≥2时，B n ⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2＋…＋a n －1＋12a n ，32a n . 因为B n 在直线y ＝33(x ＋1)上， 所以32a n ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2＋…＋a n －1＋12a n ＋1， 即a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋1，从而a n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋1，两式相减得a n ＋1＝2a n (n ≥2)，又a 2＝a 1＋1＝2，故{a n }是以a 1＝1为首项，q ＝2为公比的等比数列，从而△A 10B 10A 11的边长为a 10＝29＝512.14．已知函数f (x )＝(x －1)e x ＋12ax 2＋1(其中a ∈R )有两个零点，则a 的取值范围是____________________．答案 (－∞，－1)∪(－1,0)解析 由题意，f ′(x )＝x (e x ＋a )，其中f (0)＝0，故函数还有一个不为零的零点，分类讨论：(1)当a ≥0时，由f ′(x )＜0，得x ＜0，由f ′(x )＞0，得x ＞0，此时函数仅有一个零点；(2)当a ＜0时，由f ′(x )＝0可得，x 1＝0，x 2＝ln(－a )，①当ln(－a )＜0，即－1＜a ＜0时，当x ∈(－∞，ln(－a ))∪(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，当x ∈(－ln(－a )，0)时，f ′(x )＜0，所以当x ＝ln(－a )时，f (x )取得极大值，当x ＝0时，函数取得极小值，而f (ln(－a ))＞f (0)可知函数有两个零点，此时满足条件．②当ln(－a )＝0，即a ＝－1时，当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，函数单调递增，函数只有一个零点，不满足条件．③当ln(－a)＞0，即a＜－1时，当x∈(－∞，0)∪(ln(－a)，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈(0，ln(－a))时，f′(x)＜0，所以当x＝ln(－a)时，f(x)取得极小值，当x＝0时，函数取得极大值，由f(ln(－a))＜f(0)可知函数有两个零点，此时满足条件．综上可得，a的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,0)．。
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12＋4满分练(1)1.已知P ＝{x |x 2－5x ＋4＜0}，Q ＝{}y |y ＝4－2x ，则P ∩Q 等于( )A.[0，1)B.[0，2)C.(1，2)D.[1，2) 答案 C解析 解x 2－5x ＋4＜0，即(x －1)(x －4)＜0，得1＜x ＜4，故P ＝(1，4).Q 表示函数y ＝4－2x的值域，因为2x＞0，所以t ＝4－2x＜4，所以y ∈[0，2)，即Q ＝[0，2).故P ∩Q ＝(1，2).故选C.2.已知a ∈R ，i 是虚数单位.若a －i 2＋i 与3i －5i 2－i互为共轭复数，则a 等于( )A.13B.－13 C.－3 D.3 答案 D 解析a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝(2a －1)－(a ＋2)i 5＝2a －15－a ＋25i ，3i －5i 2－i ＝3i －5i (2＋i )(2－i )(2＋i )＝3i －－5＋10i 5＝1＋i ，∵a －i2＋i 与3i －5i 2－i互为共轭复数， ∴2a －15＝1，－a ＋25＝－1，解得a ＝3.故选D. 3.命题：∀x ∈R ，ln(e x－1)＜0的否定是( ) A.∀x ∈R ，ln(e x－1)>0 B.∀x ∈R ，ln(e x －1)≥0 C.∃x 0∈R ，ln(0e x－1)＜0 D.∃x 0∈R ，ln(0e x －1)≥0 答案 D4.(2017·四川双流中学月考)已知函数f (x )＝A sin ()ωx ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，||φ＜π2的部分图象如图所示，若将f (x )图象上的所有点向右平移π12个单位长度得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋π12，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z 答案 A解析 由题图可得，f (x )的振幅A ＝2，周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，则ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又2×π12＋φ＝π2＋2k π，|φ|＜π2，解得φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 平移后得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .故选A.5.已知抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴的交点记为A ，焦点为F ，l 是过点A 且倾斜角为π3的直线，则F 到直线l 的距离为( ) A.1 B. 3 C.2 D.2 3答案 B解析 由题意，得A (－1，0)，F (1，0)，则过点A 且倾斜角为π3的直线l 的方程为y ＝3(x ＋1)，∴点F 到直线l 的距离d ＝233＋1＝ 3.故选B.6.(2017·云南师范大学附中月考)已知三棱锥A －BCD 内接于半径为5的球O 中，AB ＝CD ＝4，则三棱锥A －BCD 的体积的最大值为( ) A.43 B.83 C.163 D.323 答案 C解析 如图，过CD 作平面ECD ，使AB ⊥平面ECD ， 交AB 于点E ，设点E 到CD 的距离为EF ，当球心在EF 上时，EF 最大，此时E ，F 分别为AB ，CD 的中点，且球心O 为EF 的中点，所以EF ＝2，所以V max ＝13×12×4×2×4＝163，故选C.7.(2017·武邑检测)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0()a >0截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋()y －12＝1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.外离 答案 B解析 化简圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2⇒M (0，a )，r 1＝a ⇒M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2⇒⎝⎛⎭⎪⎫a 22＋2＝a 2⇒a ＝2⇒M (0，2)，r 1＝2，又N (1，1)，r 2＝1⇒|MN |＝2⇒|r 1－r 2|＜|MN |＜|r 1＋r 2|⇒两圆相交.8.(2017·资阳模拟)一块硬质材料的三视图如图所示，正(主)视图和俯视图都是边长为10 cm 的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近( )A.3 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm答案 A解析 由题意得几何体为一个三棱柱，底面是腰为10的等腰直角三角形，高为10，得到的最大球的半径为等腰直角三角形的内切圆的半径，其半径为10＋10－1022＝10－52≈2.93，最接近3 cm ，故选A.9.已知两组样本数据{x 1，x 2，…，x n }的平均数为h ，{y 1，y 2，…，y m }的平均数为k ，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为( ) A.h ＋k2B.nh ＋mk m ＋n C.mh ＋nk m ＋n D.h ＋km ＋n答案 B解析 因为样本数据{x 1，x 2，…，x n }的平均数为h ， {y 1，y 2，…，y m }的平均数为k ，所以第一组数据和为nh ，第二组数据和为mk ， 因此把两组数据合并成一组以后， 这组样本的平均数为nh ＋mkm ＋n，故选B. 10.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a ，b ∈{0，1，2，…，9}.若|a －b |≤1，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为( ) A.725 B.925 C.750 D.950 答案 A解析 共有10×10＝100(种)猜字结果，其中满足|a －b |≤1的有：当a ＝0时，b ＝0，1；当a ＝1时，b ＝0，1，2；当a ＝2时，b ＝1，2，3；当a ＝3时，b ＝2，3，4；当a ＝4时，b ＝3，4，5；当a ＝5时，b ＝4，5，6；当a ＝6时，b ＝5，6，7；当a ＝7时，b ＝6，7，8；当a ＝8时，b ＝7，8，9；当a ＝9时，b ＝8，9，共28种，所以他们“心有灵犀”的概率为P＝28100＝725，故选A. 11.(2017·曲靖月考)已知函数f (x )＝x 2－kx －2在区间(1，5)上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是( ) A.[10，＋∞) B.(－∞，2]C.(－∞，2]∪[10，＋∞)D.(－∞，1]∪[5，＋∞) 答案 C解析 由已知可得k 2≤1或k2≥5⇒k ∈(－∞，2]∪[10，＋∞)，故选C.12.若存在m ，使得关于x 的方程x ＋a (2x ＋2m －4e x )·[ln(x ＋m )－ln x ]＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12eC.(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12e ，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12e ，＋∞答案 C解析 由题意得－12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m x －2e ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m x ＝(t －2e)ln t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝m x ＋1＞0，令f (t )＝(t －2e)ln t (t ＞0)，则f ′(t )＝ln t ＋1－2et，(f ′(t ))′＝1t ＋2et2＞0，∴f ′(t )为增函数.当x ＞e 时，f ′(t )＞f ′(e)＝0，当0＜x ＜e 时，f ′(t )＜f ′(e)＝0， ∴f (t )≥f (e)＝－e ，∴－12a ≥－e ，解得a ＜0或a ≥12e ，故选C.13.(2017·山西临汾五校联考)若tan α－1tan α＝32，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝_______. 答案210解析 ∵tan α－1tan α＝32，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin αcos α－cos αsin α＝32，∴cos 2αsin 2α＝－34， ∵π4＜α＜π2， ∴π2＜2α＜π， 故cos 2α＝－35，sin 2α＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin 2α×22＋cos 2α×22＝210. 14.已知O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，则(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)＝________.答案 －16解析 如图所示，因为O 是边长为1的正三角形ABC 的中心，所以∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°，OA ＝2OD ＝23×32＝33， 由于AD 平分∠BAC ，∠BOC ， 所以OB →＋OC →＝2OD →＝－OA →，同理OA →＋OB →＝－OC →，OA →＋OC →＝－OB →，所以(OA →＋OB →)·(OA →＋OC →)＝(－OC →)·(－OB →)＝OC →·OB → ＝|OB →|2cos120°＝|OA →|2cos120°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16.15.已知(x ＋a )2(x －1)3的展开式中x 4的系数为1，则a ＝________. 答案 2解析 (x ＋a )2(x －1)3的展开式中x 4的系数为1×(－3)＋2a ×1＝2a －3＝1， 所以a ＝2. 16.(2017·福建福州外国语学校模拟)在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高.观众A ，B ，C 做了一项预测：A 说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”.B 说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”.C 说：“我认为冠军不会是丙，而是甲”.比赛结果出来后，发现A ，B ，C 三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是________. 答案 甲解析 由题意知，B ，C 的预测截然相反，必一对一错，因为只有一个对，不论B ，C 谁对，A 必是一对一错，假设B 的预测是对的，则丙是冠军，那么A 说冠军也不会是甲，也不会是乙，即丙是冠军也对，这与题目中“一人的两个判断都对”相矛盾，即假设不成立，所以B 的预测是错误的，则C 的预测是对的，所以甲是冠军.。
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12＋4满分练(6) 1.(2017·长郡中学模拟)设集合A＝x，y x24＋y216＝1，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是( ) A.2 B.4 C.8 D.16 答案 B 解析 结合图象(图略)可知函数y＝3x与椭圆有两个不同的交点，即集合A∩B中有两个元素，则其所有子集的个数是22＝4，故选B. 2.(2017·山东省实验中学二诊)函数y＝xln(1－x)的定义域为( ) A.(0，1) B.[0，1) C.(0，1] D.[0，1] 答案 B
解析 由题意，得自变量满足 x≥0，1－x>0，解得0≤x＜1， 即函数y＝xln(1－x)的定义域为[0，1)，故选B. 3.(2017·湖南省长郡中学模拟)已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2OA→＋OB→＋OC→＝0，那么( ) A.AO→＝OD→ B.AO→＝2OD→ C.AO→＝3OD→ D.2AO→＝OD→ 答案 A
解析 如图，OB→＋OC→＝2OD→，又OB→＋OC→＝－2OA→＝2AO→，故AO→＝OD→.
4.已知命题p：若a，b是实数，则a＞b是a2＞b2的充分不必要条件；命题q：“∃x0∈R，x20＋2＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2＜3x”，则下列命题为真命题的是( ) A.p∧q B.(綈p)∧q C.p∧(綈q) D.(綈p)∧(綈q) 答案 D 解析 “a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，所以p为假命题；“∃x0∈R，x20＋2＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，所以q为假命题，因此(綈p)∧(綈q)为真命题.故选D. 5.给出40个数：1，2，4，7，11，16，„，要计算这40个数的和，如图给出了该问题的程序框图，那么判断框①处和执行框②处可分别填入( ) A.i≤40？；p＝p＋i－1 B.i≤41？；p＝p＋i－1 C.i≤41？；p＝p＋i D.i≤40？；p＝p＋i 答案 D 解析 由于要计算40个数的和，故循环要执行40次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为40，即①中应填写i≤40？；又由第1个数是1；第2个数比第1个数大1，即1＋1＝2；第3个数比第2个数大2，即2＋2＝4；第4个数比第3个数大3，即4＋3＝7；„故②中应填写p＝p＋i.综上可知选D. 6.已知过定点P(2，0)的直线l与曲线y＝2－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最大时，直线l的倾斜角为( ) A.150° B.135° C.120° D.30° 答案 A 解析 由题意可画图如下：
由面积公式S＝12OA·OB·sin∠AOB可知当∠AOB＝π2时，S△OAB取最大值.由于圆的半径为2，所以点O到直线AB的距离为1，由直线过点P(2，0)易知其倾斜角为150°. 7.(2017·山东肥城统考)若α∈0，π2，且sin2α＋cosπ2＋2α＝310，则tan α等于( ) A.17 B.13 C.3 D.7 答案 C 解析 因为sin2α＋cosπ2＋2α＝310， 所以sin2α－sin 2α＝310， 所以sin2α－sin 2αsin2α＋cos2α＝310， 因为α∈0，π2，所以cos α≠0， 所以tan2α－2tan α1＋tan2α＝310， 解得tan α＝3或tan α＝－17(舍去)，故选C. 8.(2017·永州模拟)在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，a＝2b，cos A＝35，则sin B等于( ) A.25 B.35 C.45 D.85 答案 A 解析 由cos A＝35，得sin A＝45， 又a＝2b， 由正弦定理可得sin B＝bsin Aa＝25.故选A. 9.(2017·广东珠海测试)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正(主)视图与侧(左)视图的面积之和为( ) A.2 B.3 C.4 D.5
答案 A 解析 由三视图的性质和定义知，三棱锥P－BCD的正(主)视图与侧(左)视图都是底边长为1
高为2的三角形，其面积都是12×1×2＝1，正(主)视图与侧(左)视图的面积之和为1＋1＝2，故选A. 10.(2017·河北衡水中学调研)已知等差数列{}an，{}bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意
的自然数n，都有SnTn＝2n－34n－3，则a3＋a152b3＋b9＋a3b2＋b10等于( ) A.1941 B.1737 C.715 D.2041 答案 A 解析 a3＋a152b3＋b9＋a3b2＋b10＝2a92b1＋b11＋a3b1＋b11＝a1＋a11b1＋b11＝11a1＋a11211b1＋b112＝S11T11＝2×11－34×11－3＝1941， 故选A. 11.(2017届福建闽侯县三中期中)已知P是双曲线x23－y2＝1上任意一点，过点P分别作双曲
线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则PA→·PB→的值为( ) A.－38 B.316 C.－38 D.不能确定 答案 A 解析 方法一 设P()m，n，则m23－n2＝1， 即m2－3n2＝3， 由双曲线x23－y2＝1得其渐近线方程为y＝±33x，
由 y＝33x，y－n＝－3()x－m， 解得交点A3m＋3n4，3m＋n4， 由 y＝－33x，y－n＝3()x－m， 解得交点B3m－3n4，n－3m4， 所以PA→＝3n－m4，3m－3n4， PB→＝－m－3n4，－3n－3m4， 则PA→·PB→＝3n－m4×－m－3n4＋3m－3n4×－3n－3m4＝－2m2－6n216＝－616＝－38，故选A. 方法二 此题可用特殊值法解决：令P为双曲线右顶点，可求得|PA→|＝|PB→|＝32，PA→与PB→的夹角为2π3，所以PA→·PB→＝32×32×cos2π3＝－38. 12.(2017·湖北荆州中学模拟)已知函数f(x)＝14x2＋12x＋a(x＜0)，g(x)＝ln x(x>0)，其中a∈R. 若f(x)的图象在点A(x1，f(x1))处的切线与g(x)的图象在点B(x2，f(x2))处的切线重合，则a的取值范围为( ) A.(－1＋ln 2，＋∞) B.(－1－ln 2，＋∞)
C.－34，＋∞ D.(ln 2－ln 3，＋∞) 答案 A
解析 f(x)的图象在点A(x1，f(x1))处的切线方程为y－14x21＋12x1＋a＝12x1＋12·(x－x1)， 即y＝12x1＋12x－14x21＋a. g(x)的图象在点B(x2，g(x2))处的切线方程为y－ln x2＝1x2·(x－x2)， 即y＝1x2·x＋ln x2－1.
两切线重合的充要条件是 1x2＝12x1＋12， ①ln x2－1＝－14x21＋a，② 由①及x1＜0＜x2知，－1＜x1＜0， 由①②得a＝14x21＋ln x2－1＝14x21＋ln2x1＋1－1＝14x21＋ln 2－ln(x1＋1)－1，
设h(t)＝14t2＋ln 2－ln(t＋1)－1(－1＜t＜0)， 则h′(t)＝12t－1t＋1＝tt＋1－22t＋1＜0， 所以h(t)(－1＜t＜0)为减函数， 则h(t)＞h(0)＝－1＋ln 2， 所以a＞－1＋ln 2， 而当t∈(－1，0)且t趋向于－1时，h(t)无限增大， 所以a的取值范围是(－1＋ln 2，＋∞). 13.A，B，C三点与D，E，F，G四点分别在一个以O为顶点的角的不同的两边上，则在A，B，C，D，E，F，G，O这8个点中任选三个点作为三角形的三个顶点，可构成的三角形的个数为________. 答案 42 解析 由题意得三点不能共线，可用间接法，所以可构成的三角形的个数为C38－C34－C35＝42. 14.(2017·湖北省荆、荆、襄、宜七校联考)有一长、宽分别为50 m、30 m的矩形游泳池，一 名工作人员在池边巡逻，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同，一人在池中心(对角线交点)处呼唤工作人员，其声音可传出152 m，则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是________.
答案 38 解析 所求概率为几何概型，测度为长度， 如图AB＝CD＝50，BC＝DA＝30，
因为OE＝152， OS＝15⇒ES＝OE2－OS2＝15⇒EF＝MN＝30，
因此概率为EF＋MNAB＋BC＋CD＋DA＝30×250＋30×2＝38. 15.(2017·广东佛山检测)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数).如：6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和.如6＝21＋22，28＝22＋23＋24，„，按此规律， 8 128可表示为________. 答案 26＋27＋„＋212 解析 因为8 128＝26×127，
又由1－2n1－2＝127，解得n＝7. 所以8 128＝26×(1＋2＋„＋26)＝26＋27＋„＋212. 16.(2017·长郡中学模拟)已知抛物线y2＝4x，其焦点记为F，过点F作直线l交抛物线于A，B
两点，则|AF|－2|BF|的最小值为________. 答案 22－2 解析 因为F(1，0)，当直线l与x轴不垂直时，设直线AB：y＝k(x－1)，代入y2＝4x可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1·x2＝1，不妨设x1＜1，x2＞1， 由抛物线的定义可得|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，
所以|AF|－2|BF|＝x1＋1－2x2＋1＝x1＋1x2＋1－2x2＋1＝x1＋x2x2＋1＝1＋x22x2＋x22＝11＋x2－1x22＋1，令x2－1＝t，