四方定理
C++程序设计实践教程思考题答案
实验1 C++基础6.编写程序，输入某大写字母的ASCII码值，输出该字母的对应小写字母。
#in clude<iostream>using n amespace std;int mai n(){int i;cin> >i;if(i>=65 && 1<=90 )cout<<char(i-'A'+'a')vve ndl;elsecout«"输入有误"<<endl;} return 0;实验2三、实验思考1.输入直角三角形的两条直角边长，调用平方根库函数sqrt来求斜边的长度#in clude<iostream>#in clude<cmath>using n amespace std;int mai n(){ float a,b,c;coutvv"请输入直角三角形的两条边长：";cin> >a>>b;c二sqrt(a*a+b*b);cout«"直角三角形的斜边="<<c<<endl;return 0;}2 •从键盘输入一个字符，如果输入的是英文大写字母，则将它转换成小写字母后输出，否则输出原来输入的字符。
#in clude<iostream>using n amespace std;int mai n(){char c;1coutvv"请输入一个字符：";cin> >c;if(c>='A'&& c<='Z')c+='a'-'A';coutvvcvve ndl;return 0;3•输入一个学生的成绩，如高于60分，贝V输出“ pass” ；否则，输出“failed ”。
C语言竞赛练习题(答案)
C语言竞赛练习题目录一、穷举1、求最大数2、高次方数的尾数3、借书方案知多少6、抓交通肇事犯12、平分七筐鱼13、有限5位数14、除不尽的数15、一个奇异的三位数16、位反序数17、求车速18、阿姆斯特朗数19、完全数20、亲密数21、自守数22、回文数23、求具有abcd=(ab+cd)2性质的四位数24、求素数25、歌德巴赫猜想26、要发就发27、素数幻方28、百钱百鸡问题29、斯坦的数学题31、换分币32、三色球问题33、马克思手稿中的数学题34、分数比较、分数之和35、将真分数分解为埃及分数36、列出真分数序列37、计算分数的精确值38、谁是窃贼39、黑与白40、迷语博士的难题41、哪个大夫哪天值班42、区分旅客国籍43、谁家孩子跑最慢44、拉丁方45、填表格46、1~9分成1：2：3的三个3位数47、1~9组成三个3位的平方数48、由8个整数形成奇特的立方体49、减式还原50、乘式还原51、九位累进可除数52、魔术师的猜牌术53、约瑟夫问题、邮票组合54、和数能表示1~23的5个正整数55、可称1~40磅的4块砝码56、10个小孩分糖果57、小明买书61、四方定理63、尼科彻斯定理65、自动发牌66、黑白子交换67、常胜将军二、计算4、数制转换5、打鱼还是晒网7、该存多少钱8、怎样存钱利最大9、捕鱼和分鱼10、出售金鱼11、分数四则运算30、年龄几何58、波松瓦酒的分酒趣题59、波松瓦酒的分酒趣题60、角谷猜想62、卡布列克常数64、回文数的形成1．求最大数问555555的约数中最大的三位数是多少？*问题分析与算法设计根据约数的定义，对于一个整数N，除去1和它自身外，凡能整除N的数即为N的约数。
因此，最简单的方法是用2到N-1之间的所有数去除N，即可求出N的全部约数。
本题只要求取约数中最大的三位数，则其取值范围可限制在100到999之间。
*程序说明与注释#include<stdio.h>void main(){long i;int j;printf("Please input number:");scanf("%ld",&i);for(j=999;j>=100;j--)if(i%j==0){printf("The max factor with 3 digits in %ld is:%d,\\n",i,j);break;}*运行结果输入：555555输出：The max factor with 3 digits in 555555 is:7772．高次方数的尾数求13的13次方的最后三位数*问题分析与算法设计解本题最直接的方法是：将13累乘13次方截取最后三位即可。
知识必备07 四边形(公式、定理、结论图表)
知识必备07四边形（公式、定理、结论图表）考点一、四边形的相关概念1.多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.2.多边形的性质：(1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°；(2)推论：多边形的外角和是360°；(3)对角线条数公式：n边形的对角线有条；(4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.3.四边形的定义：同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.4.四边形的性质：(1)定理：四边形的内角和是360°；(2)推论：四边形的外角和是360°.典例1：2022•甘肃）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（）A．2mm B．2mm C．2mm D．4mm【分析】根据正六边形的性质和题目中的数据，可以求得正六边形ABCDEF的边长．【解答】解：连接BE，CF，BE、CF交于点O，如右图所示，∵六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为8mm，∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD约为4mm，∴AF约为4mm，故选：D．【点评】本题考查多边形的对角线，解答本题的关键是明确正六边形的特点．典例2：（2022•柳州）如图，四边形ABCD的内角和等于（）A．180°B．270°C．360°D．540°【分析】根据四边形的内角和等于360°解答即可．【解答】解：四边形ABCD的内角和为360°．故选：C．【点评】本题考查了四边形的内角和，四边形的内角和等于360°．考点二、特殊的四边形1.平行四边形及特殊的平行四边形的性质2.平行四边形及特殊的平行四边形的判定【要点诠释】面积公式：S 菱形=21ab=ch.（a、b 为菱形的对角线,c 为菱形的边长，h 为c 边上的高）S 平行四边形=ah.a 为平行四边形的边，h 为a 上的高）典例3：（2022•朝阳）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG ＝90°，∠EGF ＝60°，∠AEF ＝50°，则∠EGC 的度数为（）A ．100°B ．80°C ．70°D ．60°【分析】由平行四边形的性质可得AB ∥DC ，再根据三角形内角和定理，即可得到∠GEF 的度数，依据平行线的性质，即可得到∠EGC 的度数．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠AEG＝∠EGC，∵∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∴∠GEF＝30°，∴∠GEA＝80°，∴∠EGC＝80°．故选：B．【点评】此题考查的是平行四边形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．典例4：（2022•鞍山）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．【分析】结合已知条件推知AB∥CD；然后由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则其对应边相等：AB＝CD；最后根据“对边平行且相等是四边形是平行四边形”证得结论．【解答】证明：∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD．∴∠BAE＝∠DCF．在△ABE与△CDF中，．∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴AB＝CD．∴四边形ABCD是平行四边形．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．典例5：（2022•内江）如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形AECF是平行四边形．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠CDB，利用SAS定理证明△ABE≌△CDF；（2）根据全等三角形的性质得到AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，根据平行线的判定定理证明AE∥CF，再根据平行四边形的判定定理证明结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．典例6：（2022•兰州）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC ＝60°，BD＝4，则OE＝（）A．4B．2C．2D．【分析】根据菱形的性质可得，∠ABO＝30°，AC⊥BD，则BO＝2，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD，∴BO＝2，∴AO＝＝2，∴AB＝2AO＝4，∵E为AD的中点，∠AOD＝90°，∴OE＝AD＝2，故选：C．【点评】本题主要考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．典例7：（2022•聊城）如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．（1）求证：AD＝CF；（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．【分析】（1）由CF∥AB，得∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，又AE＝CE，可证△ADE≌△CFE（AAS），即得AD＝CF；（2）由AD＝CF，AD∥CF，知四边形ADCF是平行四边形，若AC⊥BC，点D是AB的中点，可得CD ＝AB＝AD，即得四边形ADCF是菱形．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF；（2）解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：由（1）知，AD＝CF，∵AD∥CF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形，∵点D是AB的中点，∴CD＝AB＝AD，∴四边形ADCF是菱形．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质及菱形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理及菱形的判定定理．典例8：（2022•广元）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．【分析】（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形AECD是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可证AD＝CD，可得结论；（2）由菱形的性质可求AE＝BE＝CE＝2，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求BC，AC的长，即可求解．【解答】（1）证明：∵E为AB中点，∴AB＝2AE＝2BE，∵AB＝2CD，∴CD＝AE，又∵AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠EAC，∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∴平行四边形AECD是菱形；（2）∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，∴∠ACB＝90°，∴AC＝BC＝2，＝×AC×BC＝×2×2＝2．∴S△ABC【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．典例9：（2022•青海）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为6．【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BDC的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，∴OA＝OC，AB＝CD＝3，AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO；又∵∠AOE＝∠COF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴S△AOE＝S△COF，∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD，∵S△BCD＝BC•CD＝＝6，∴S阴影＝6．故答案为6．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键．典例10：（2022•巴中）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG＝CE，连接DG、DE、FG．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质推出AB∥CD，根据平行线的性质推出∠EAB＝∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；（2）先证明四边形DEFG是平行四边形，再证明DF＝EG，即可证明四边形DEFG是矩形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠CFE，又∵E为BC的中点，∴EC＝EB，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS）；（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∴DC＝CF，又∵CE＝CG，∴四边形DEFG是平行四边形，∵E为BC的中点，CE＝CG，∴BC＝EG，又∵AD＝BC＝EG＝2AB，DF＝CD+CF＝2CD＝2AB，∴DF＝EG，∴平行四边形DEFG是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键．典例11：（2022•云南）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．（1）求证：四边形ABDF是矩形；（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得∠BAE＝∠FDE，而点E是AD的中点，可得△BEA≌△FED（ASA），即知EF＝EB，从而四边形ABDF是平行四边形，又∠BDF＝90°，即得四边形ABDF 是矩形；＝DF•（2）由∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，得AF＝＝＝4，S矩形ABDFAF＝12，四边形ABCD是平行四边形，得CD＝AB＝3，从而S△BCD＝BD•CD＝6，即可得四边形ABCF 的面积S为18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，∴∠BAE＝∠FDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，在△BEA和△FED中，，∴△BEA≌△FED（ASA），∴EF＝EB，又∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∵∠BDF＝90°．∴四边形ABDF是矩形；（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，∴AF＝＝＝4，＝DF•AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，∴S矩形ABDF∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3，＝BD•CD＝×4×3＝6，∴S△BCD+S△BCD＝12+6＝18，∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF答：四边形ABCF的面积S为18．【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及矩形的判定，全等三角形判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明△BEA≌△FED．典例12：（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．∵OE＝OF，∴△OEF为等腰直角三角形，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∵∠AFE＝25°，∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，∴∠FAO＝20°．在△AOF和△BOE中，，∴△AOF≌△BOE（SAS）．∴∠FAO＝∠EBO＝20°，∵OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠CBE＝∠EBO+∠OBC＝65°．故选：C．【点评】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．典例13：（2022•邵阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA．求证：四边形AECF是正方形．【分析】先证明四边形AECF是菱形，再证明EF＝AC，即可得出结论【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是菱形；∵OE＝OA＝OF，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC，∴菱形AECF是正方形．【点评】本题主要考查了菱形的性质与判定，正方形的判定，掌握相关定理是解题基础考点三、梯形1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.(2)不平行的两边叫做梯形的腰.(3)梯形的四个角都叫做底角.2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.4.等腰梯形的性质：(1)等腰梯形的两腰相等；(2)等腰梯形同一底上的两个底角相等.(3)等腰梯形的对角线相等.5.等腰梯形的判定方法：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.7.面积公式：S=(a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).【要点诠释】解决四边形问题常用的方法（1）有些四边形问题可以转化为三角形问题来解决．（2）有些梯形的问题可以转化为三角形、平行四边形问题来解决．（3）有时也可以运用平移、轴对称来构造图形，解决四边形问题.典例14：（2021•毕节市）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC＝45°，∠DCB＝30°，斜坡AB长8m，则斜坡CD的长为（）A．6m B．8m C．4m D．8m【分析】过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，则AE＝DF，在Rt△DCF中，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AE，在Rt△ABE中，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AE．【解答】解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，∴AE∥DF，∵AD∥BC，∴AE＝DF，在Rt△ABE中，AE＝AB sin45°＝4，在Rt△DCF中，∵∠DCB＝30°，∴DF＝CD，∴CD＝2DF＝2×4＝8，故选：B．【点评】本题考查了梯形，解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解决问题的关键．考点四、平面图形1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.2.平面图形镶嵌的条件：(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.(2)n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：①n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°；②n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍.典例15：（2022•资阳）小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是4答案不唯一．（填一种即可）【分析】分别求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．【解答】解：正三角形的每个内角是60°，正四边形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°＝360°，∴正四边形可以，正六边形的每个内角是120°，∵2×60°+2×120°＝360°，∴正六边形可以，正十二边形的每个内角是150°，∵1×60°+2×150°＝360°，∴正十二边形可以，故答案为：4答案不唯一．【点评】本题考查了平面镶嵌问题，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．。
四边形相关定理
四边形相关定理四边形是平面几何中的一种基本图形，它由四个直线段组成，且相邻两边之间没有交点。
在四边形的研究中，有一些重要的相关定理，它们揭示了四边形内部和四边形边长、角度之间的关系。
本文将介绍四边形相关定理的几个重要内容。
一、对角线定理对角线是连接四边形的两个非相邻顶点的线段。
对角线定理是指四边形的对角线相互垂直的充要条件是四边形的两组对角线互相平分。
具体而言，如果四边形的两组对角线互相平分，那么这两组对角线相互垂直；反之，如果四边形的对角线相互垂直，那么这两组对角线互相平分。
二、平行四边形定理平行四边形是指四边形的对边两两平行。
平行四边形定理是指平行四边形的对边相等，对角线互相平分。
具体而言，如果一个四边形的对边两两平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；反之，如果一个四边形是平行四边形，那么它的对边两两平行且相等，且对角线互相平分。
三、矩形定理矩形是指四边形的四个内角都是直角的四边形。
矩形定理是指矩形的对边相等，对角线相等且互相平分。
具体而言，如果一个四边形的对边相等，对角线相等且互相平分，那么这个四边形是矩形；反之，如果一个四边形是矩形，那么它的对边相等，对角线相等且互相平分。
四、菱形定理菱形是指四边形的四个边长相等的四边形。
菱形定理是指菱形的对角线互相垂直，且互相平分。
具体而言，如果一个四边形的对角线互相垂直，且互相平分，那么这个四边形是菱形；反之，如果一个四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直，且互相平分。
五、正方形定理正方形是指四边形的四个内角都是直角且四个边长相等的四边形。
正方形定理是指正方形的对边相等，对角线相等，且互相垂直且互相平分。
具体而言，如果一个四边形的对边相等，对角线相等，且互相垂直且互相平分，那么这个四边形是正方形；反之，如果一个四边形是正方形，那么它的对边相等，对角线相等，且互相垂直且互相平分。
四边形相关定理揭示了四边形内部和四边形边长、角度之间的关系。
对角线定理、平行四边形定理、矩形定理、菱形定理和正方形定理是四边形相关定理中的重要内容。
【初中数学】初中数学四边形定理
【初中数学】初中数学四边形定理1多边形1.1多边形延长多边形的任意一条边,如果这个多边形的其他各边都在这些延长所得的直线的同旁,我们把这样的多边形叫做凸多边形在多重变形中，连接两个不相邻固定点的线段称为多边形的对角线1.2多变形的内角和n-多边形的内角之和等于（n-2）*180多边形的外角和定理任意多边形的外角和等于3602平行四边形2.1平行四边形的定义和性质两组相对边平行的平行四边形称为平行四边形平行四边形性质定理1平行四边形的对边相等平行四边形的性质定理2平行四边形的对角等式定理夹在两条平行线间的平行线段相等同时，垂直于两条平行线的直线称为两条平行线的公共垂直线，夹在公共垂直线之间的线段称为公共垂直线段，两条平行线之间公共垂直线的短长度称为两条平行线之间的距离推论平行线间的距离处处相等平行四边形性质定理3平行四边形对角对分2.2平行四边形的判定平行四边形判定定理1两组对边相等的平行四边形是平行四边形平行四边形判定定理2两组对角分别向等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3对角线相交的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4一组对边平行且相等的四边形是平行四边形2.3特殊平行四边形一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形的四个角是直角矩形性质定理2矩形的对角线相等矩形1的判定定理三个角为直角的四边形是矩形举行的判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形钻石的性质定理1钻石的四边相等菱形的性质定理2菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角菱形1的判定定理四边相等的四边形是菱形菱形的判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形性质定理1正方形的四个角是直角，四条边是相等的正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。
正方形定理和判定
正方形定理和判定前言：正方形是最简单的几何形状之一，有很多有趣的定理和判定。
本文将介绍几个关于正方形定理和判定，以及它们的证明和应用。
一、正方形的定义在欧几里德的几何学中，正方形是一个四边形，其四条边相等且每个内角为90度。
正方形也可以定义为一种具有对称性和平移性质的多边形，它可以通过将它绕着中心点旋转90度而变为自己，也可以通过将它沿着一条中心对称轴翻转而变为自己。
二、正方形的定理1. 对角线垂直定理正方形的两条对角线相等且垂直。
也就是说，正方形的每个内角是90度，对角线相等且垂直。
证明：我们可以使用向量和点积的方法证明这个定理。
考虑正方形的两条对角线分别为AC和BD，其中A和B 是对角线的交点，C和D是两条对角线的中点。
我们定义向量AB=r，向量AC=p，向量AD=q，则有：p=r/2+q (1)q=r/2-p (2)由于正方形的四个角是直角，因此向量p和q是垂直的。
为了证明这一点，考虑这两个向量的点积：p·q=(r/2+q)·(r/2-p)=r/2·r/2-q·p=0其中最后一步是因为向量r和向量p-q是垂直的。
因此，向量p和向量q是垂直的，也就是说，正方形的两条对角线相互垂直。
2. 对角线平分定理正方形的两条对角线相互平分，也就是说，它们的交点是对角线的中心点。
证明：正方形的对角线交点是它的重心，这意味着每条对角线的中点一定在对角线的中心点。
另外，对于形状为正方形的任何物体，所有对称轴都经过形状的中心点。
因此，对于正方形，我们可以得出结论：它的对角线相互平分，交点是对角线的中心点。
三、正方形的判定1. 边长相等且对角线垂直如果一个四边形的四条边相等且对角线相互垂直，那么这个四边形一定是正方形。
证明：我们可以分两步证明这个判定。
首先，我们证明四边形的每个内角是一个直角。
可以将四边形分解为两个相似的直角三角形，其中每个直角三角形的底边等于对角线的一半，而相邻斜边等于四边形的边长。
正方形的定理
正方形的定理
正方形是一种特殊的四边形，它的四条边长度相等，四个角都是直角。
正方形的定理是指与正方形相关的一系列数学定理，这些定理在几何学和代数学中都有广泛的应用。
正方形的对角线相等。
正方形的对角线是从一个角到另一个对角的线段，它们的长度相等。
这个定理可以通过勾股定理来证明，即正方形的对角线是直角三角形的斜边，而直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
正方形的对边平行且相等。
正方形的对边是指相对的两条边，它们的长度相等且平行。
这个定理可以通过正方形的定义来证明，因为正方形的四个角都是直角，所以对边必须平行。
正方形的内角和为360度。
正方形有四个角，每个角都是直角，所以它们的内角和为360度。
这个定理可以通过正方形的定义和角度的基本知识来证明。
正方形的面积等于边长的平方。
正方形的面积是指正方形内部的区域，它可以通过将正方形分成两个直角三角形来计算。
每个直角三角形的面积是直角边的乘积的一半，而正方形的边长等于直角边的长度，因此正方形的面积等于边长的平方。
正方形的定理在几何学和代数学中都有广泛的应用。
在几何学中，
它们可以用来计算正方形的面积、周长和对角线的长度。
在代数学中，它们可以用来解决一些代数方程和几何问题。
因此，正方形的定理是数学学习中不可或缺的一部分。
正方形的定理证明
正方形定理证明的那些事儿，一看就懂！嘿，小伙伴们，今天咱们来聊聊数学里一个既有趣又实用的形状——正方形，还有那些让人头疼但又不得不掌握的定理证明。
别担心，我会尽量用大白话给你们讲解清楚，保证让你们看完之后，觉得“哎呀，原来正方形定理证明也没那么难嘛！”一、正方形的定义和基本性质首先，咱们得知道啥是正方形。
正方形啊，就是四条边都一样长，四个角都是直角的四边形。
简单说，就是方方正正，规规矩矩的那个样子。
正方形的基本性质有几条挺重要的：四条边相等：这个不用多说，一看就知道。
四个角都是直角：也就是每个角都是90度。
对角线相等且互相垂直平分：这条稍微有点难理解，但想象一下，你从正方形的一个顶点拉条线到对边不相邻的那个顶点，这就是对角线，正方形有两条这样的线，它们不仅一样长，还互相垂直并且在中点相交。
二、正方形的判定定理及证明接下来，咱们进入正题，说说怎么判断一个四边形是正方形，以及这些定理的证明。
定理一：对角线相等的菱形是正方形菱形呢，就是四条边都相等的四边形，但它不一定是正方形，因为角不一定是直角。
但如果菱形的对角线还相等，那它就一定是正方形了。
证明：假设有个菱形ABCD，AC和BD是它的两条对角线，且AC=BD。
因为ABCD是菱形，所以AB=BC=CD=DA。
又因为AC=BD，所以菱形的两条对角线相等。
咱们知道，菱形的对角线互相垂直且平分。
现在再加上它们相等，就意味着每个角都被这两条对角线分成了两个45度的角（因为直角被垂直的线平分，一半就是45度）。
所以，ABCD的每个角都是90度，加上四条边相等，它不就是正方形了嘛！定理二：有一个角是直角的菱形是正方形这个定理更直接，如果一个菱形有一个角是直角，那它肯定就是正方形。
证明：假设菱形ABCD中，∠A=90°。
因为ABCD是菱形，所以AB=BC=CD=DA。
既然∠A=90°，那么因为菱形的对边平行，利用平行线的性质，我们可以得出∠B=∠C=∠D=90°（这里涉及到一点平行线的交替内角性质，但别担心，只要知道菱形的特性和平行线的关系，就能理解）。
特勒根定理
特勒根定理特勒根定理是一个不可变定理，它证明了数论中著名的四平方定理。
这个定理由德国数学家威廉特勒根于1825年提出，其原文如下：“任意正整数，用它的四个平方数之和就可以表示成一个形式：a^4+b^4+c^4+d^4。
”特勒根定理的发现让数论的发展取得了重大突破。
因为它所指示的想法使数论定理的推不可断。
因此，对于数论理论家来说，它也是有史以来最重要的定理之一。
特勒根定理给了数论学家们一种攻克数论最难的问题的方法：四平方定理，也就是通过任意正整数的四个平方数之和表示成一个四项式的形式。
证明这一定理，可以使学者们更容易地攻克其它数论问题。
1835年，另一位德国数学家加布里埃尔-哈勒，凭借特勒根定理的基础上，提出了摩根定理，这一定理表明，任意正整数可以表示成一个三项式的形式：a^3+b^3+c^3。
由此可见，特勒根定理曾经是数论领域取得重大成就的根基。
后来，印度数学家兰克尔用数学证明了特勒根定理，这也是数论理论的一个重大里程碑。
仿佛特勒根的定理推开了数论的大门，指出了数论的方向，从而使数论的理论性有了更大的发展。
随着计算机技术的发展，特勒根定理在计算机算法中也发挥了重要作用。
比如，蒙特卡罗算法中，用特勒根定理可以加快算法的求解速度；此外，特勒根定理也被用来解决密码藏和数论组合方面的问题。
特勒根定理也被用来证明数论猜想。
另外，它还被用来解决超级计算机系统和物理学系统中的问题。
以上就是特勒根定理的历史、具体内容及其应用，它的重要性不言而喻，它对数论理论的发展及应用于计算机科学、密码藏、超级计算机系统等方面的影响都不可低估。
特勒根定理的创立，不但让传统的数论发展有了机遇，也引领了数论未来发展的方向。
Scratch 数学与算法进阶
任务17设计一个程序找出所有的水仙花数 实战12设计一个程序找出所有的四叶玫瑰数
任务18设计一个程序求最高分 任务19同时输出最高分和最低分 实战13设计一个程序输出最大值所在的位置
任务20设计一个程序统计字符串中数字的个数 实战14设计一个程序统计字符串中元音字母的个数
第十八节素数
第十七节完全数
第十六节统计数字 字符
任务12设计一个累加器并求出倍数和 实战8设计一个累加器并求倍数的平均值
任务13求一个正整数的约数和 任务14优化求约数和的代码 实战9求正整数的因子个数
任务15设计一个程序解决韩信点兵问题 实战10设计一个程序解决余数相关问题
任务16设计一个程序解决百钱百鸡问题 实战11设计一个程序求不定方程
第十九节分解质因 数
第二十节最大 公约数
第二十一节斐 波那契数列
任务21设计一个程序找出完全数 实战15设计一个程序找出亲和数
任务22设计一个程序判断素数 实战16找出2～100之间的所有素数
任务23设计一个程序分解质因数 实战17设计一个程序输出质因子的个数
任务24用辗转相除法求最大公约数 任务25用更相减损法求最大公约数 实战18求三个正整数的最大公约数
任务9设计一个累加器并求出总和 任务10设计一个累乘器并求出乘积 实战6设计一个累加器并求出m～n所有整数的总和
任务11设计一个累加器求分数序列和并输出项目序号 实战7设计一个累加器并求出指定分数序列和
第十节倍数和 第十一节约数和
第十二节韩信点兵
第十三节百钱百鸡问 题
第十五节求最值
第十四节水仙花数
Scratch+数学与算法进阶
读书笔记模板
01 思维导图
03 目录分析 05 读书笔记
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四方定理
数论中著名的“四方定理”讲的是：所有自然数至多只要用四个数的平方和就可以表示。
请编程证此定理。
*问题分析与算法设计
本题是一个定理，我们不去证明它而是编程序验证。
对四个变量采用试探的方法进行计算，满足要求时输出计算结果。
*程序与程序注释
#include
#include
void main()
{
int number,i,j,k,l;
printf("Please enter a number=");
scanf("%d",&number); /*输入整数*/
for(i=1;i
for(k=0;k<=j;k++)
for(l=0;l<=k;l++)
if(number==i*i+j*j+k*k+l*l) /*若满足定理要求则输出结果*/
{
printf(" %d=%d*%d+%d*%d+%d*%d+%d*%d\n",number,i,i,j,j,k,k,l,l);
exit(0);
}
}
*运行结果
1) Please enter a number = 110
110=7*7+6*6+4*4+3*3
2) Please enter a number = 211
211=8*8+7*7+7*7+7*7
3) Please enter a number = 99
99=7*7+5*5+4*4+3*3