研究生矩阵论试题与答案

中国矿业大学级硕士研究生课程考试试卷考试科目矩阵论考试时间年月研究生姓名所在院系学号任课教师一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求10d Ate t ⎰（用矩阵A 或其逆矩阵表示）； （2）设1234(,,,)Ta a a a =α是给定的常向量，42)(⨯=ij x X 是矩阵变量，求Td()d X αX；（3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求kk A A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞→)(lim ρ。

二（15分）设微分方程组d d (0)xAx t x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩，508316203A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，0111x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ （1）求A 的最小多项式)(λA m ； （3）求Ate ； （3）求该方程组的解。

三（15分）对下面矛盾方程组b Ax =312312111x x x x x x =⎧⎪++=⎨⎪+=⎩ （1）求A 的满秩分解FG A =； （2）由满秩分解计算+A ；（3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。

四（10分）设1113A ⎫=⎪⎭求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）。

五（10分） 设(0,,2)TnA R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2()tr()m A λλλ=-； （2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。

六（10分）设m nrA R ⨯∈，（1）证明rank()n I A A n r +-=-；（2）0Ax =的通解是(),nn x I A A y y R +=-∀∈。

七（10分）证明矩阵2121212311122222224333333644421(1)(1)n n n nn n n n n n ---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭A （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。

八（15分） 设A 是可逆矩阵，11,B A Aαβ-=-=（这里矩阵范数都是算子范数）， 如果βα<，证明（1）B 是可逆矩阵；（2）11B αβ-≤-；（3）11()B A βααβ---≤-。

参考答案一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求10d Ate t ⎰（用矩阵A 或其逆矩阵表示）； （2）设1234(,,,)Ta a a a =α是给定的常向量，42)(⨯=ij x X 是矩阵变量，求Td()d X αX；（3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求kk A A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞→)(lim ρ。

解（1）11100AtAtde e dt A dt dt-⎛⎫=⎪⎝⎭⎰⎰1()AA e I -=- （2） 由⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==412411j j j j j j a x a x X α，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==412411)(j j j j jj T a x a x X α得⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=2423222114131211)()()()()()()()()(x X x X x X x X x X x X x X x X dXX d T T T T T T T TTααααααααα ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=43214321000000a a a a a a a a （3）A 的特征根为1236,0λλλ===，()6A ρ=.由于A 可对角化, 即存在可逆矩阵C ，使1600A C C -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，从而110()0A C C A ρ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.故 11111lim lim 00.()600kkk k A C C C C A A ρ--→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二（15分）设微分方程组d d (0)xAx t x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩，508316203A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，0111x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ （1）求A 的最小多项式)(λA m ； （3）求Ate ； （3）求该方程组的解。

解 （1）3(1)I A λλ-=-，2()(1)A m λλ=-；（2）()(1)tr a b e t t λλλ=+=+-，1408()3162014At t t t e r A e tt t t +⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭； （3）0112()1916At t t x t e x e t t +⎛⎫⎪==+ ⎪ ⎪-⎝⎭三（15分）对下面矛盾方程组b Ax =312312111x x x x x x =⎧⎪++=⎨⎪+=⎩ （1）求A 的满秩分解FG A =； （2）由满秩分解计算+A ；（3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。

解（1）001011101111100111010A FG ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（不唯一）（2）11211126422A +-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭； （3）11132LS x A b +⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭；四（10分）设1113A ⎫=⎪⎭求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限） 解111124131102A -⎫⎫⎛⎫==⋅⎪⎪ ⎪⎭⎭⎝⎭五（10分） 设(0,,2)TnA R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2()tr()m A λλλ=- （2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。

证（1）易知rank()1A =，tr()TA βα=，故2()tr()()()T T m A A A A A A O βαβα=-=-=又对任意的一次多项式()g c λλ=+，()g A A cI O =+≠。

反证，如果A cI O += 当0c =时，A O =，矛盾。

当0c ≠时，rank()rank()2A cI n =-=≥，矛盾。

（2）由()(tr())0m A λλλ=-=根知，A 的特征值只能是0或tr()TA βα=当tr()0TA βα=≠时，()m λ无重根，A 可对角化，再由rank()1A =知0~0T A J βα⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭当tr()0TA βα==时，A 的特征值全是00λ=，由0rank()1n I A n λ--=-知00λ=对应的特征向量只有1n -的线性无关的，从而0~010A J ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭六（10分）设m nrA R ⨯∈，（1）证明rank()n I A A n r +-=-；（2）0Ax =的通解是(),nn x I A A y y R +=-∀∈。

证（1）1r r T T Trn n n O I O O I A A I V U U V I V V O O O O O O -+∑⎛⎫∑⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭r T Tn r O O I O V I V V V O I O O -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以rank()n I A A n r +-=-。

（2）由()n A I A A A AA A A A O ++-=-=-=，知n I A A +-的列都是0Ax =的解， 其中又有n r -个线性无关的，故其线性组合(),nn I A A y y R +-∀∈就是0Ax =通解。

七（10分）证明矩阵2121212311122222224333333644421(1)(1)n n n nn n n n n n ---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭A （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。

证：（1）1)1(11)1(111<+-=+=--=∑n n i ik k k kR k G 互不交，说明A 有n 个不同的特征值，从而可对角化。

（2）k G 关于实轴对称，如果A 有复特征值必成对共轭出现，而k G 中只有一个特征值，所以必为实数。

八（15分） 设A 是可逆矩阵，11,B A Aαβ-=-=（这里矩阵范数都是算子范数）， 如果βα<，证明（1）B 是可逆矩阵；（2）11B αβ-≤-；（3）11()B A βααβ---≤-。

证 （方法一）（1）111()x A Ax AAx A B x Bx α--=≤=-+()1()A B xBx α≤-+1x Bx βαα≤+ ()x Bx αβ-≤ （*）因此，00x Bx ∀≠⇒≠，说明B 可逆。

（2）由式（*），取1x B y -=()1111B y BB y y B y y αβαβ----≤=⇒≤-由算子范数的定义得11Bαβ-≤- （3）11111111()()B A B A B A B A B A ββαβαααβ-------=-≤-≤⋅⋅=-- （方法二）引理：设n nA C⨯∈，若1A <，则A I -可逆，并有11()1I A A--≤-。

（1）111()1I A B A B A AB A βα----=-≤-=< （**） 由引理知，11()A B I I A B --=--可逆，从而B 可逆。

（2）()1111()BI I A B A ----=--，由式（**）和引理()1111111111()11B A I I AB I A B βαααβα-----≤--≤⋅≤⋅=---- （3）同上。