二次型与对称矩阵
二次型及其矩阵
第五章 二次型在解析几何中，为了便于研究二次曲线122=++cy bxy ax 的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换⎩⎨⎧'+'='-'=θθθθc o s s i n s i n c o s y x y y x x把方程化为标准形式122='+'y c x m .这类问题具有普遍性，在许多理论问题和实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化，讨论n 个变量的二次多项式的化简问题.第一节 二次型及其矩阵内容分布图示★ 二次型的定义 ★ 例1 ★ 二次型的矩阵形式 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 线性变换★例6★ 矩阵的合同 ★ 内容小结 ★ 习题5-1 ★返回内容要点：一、二次型的概念定义1 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数nn n n n n n n nnn n x x a x x a x x a x x a x x a x a x a x a x x x f 1,12232231121122222221112122222),,,(--+++++++++++=称为二次型. 当ij a 为复数时，f 称为复二次型；当ij a 为实数时，f 称为实二次型.在本章中只讨论实二次型.只含有平方项的二次型 2222211nn y k y k y k f +++= 称为二次型的标准型(或法式).二、二次型的矩阵取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=于是∑==++++++++++++=nj i ji ij nnn n n n n nn nn n x x ax a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f 1,222112222221221112112211121),,,()()()(22112222121212121111n nn n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ++++++++++++=.),,,(),,,(212122221112112122112222121121211121AX X x x x a a aa a aa a a x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x T n nn n n n n n n nn n n n n n n n =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=其中 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n n a a a a a a a a a A x x x X 21222211121121,.称AX X x f T =)(为二次型的矩阵形式. 其中实对称矩阵A 称为该二次型的矩阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型. 实对称矩阵A 的秩称为二次型的秩. 于是，二次型f 与其实对称矩阵A 之间有一一对应关系.三、线性变换定义2 关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 21122212121121111称为由变量n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的线性变换. 矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n c c cc c c c c c C212222111211 称为线性变换矩阵. 当0||≠C 时，称该线性变换为可逆线性变换.对于一般二次型AX X X f T =)(,我们的问题是：寻求可逆的线性变换CY X =将二次型化为标准型，将其代入得AX X X f T =)(Y AC C Y CY A CY T T T )()()(==这里，Y AC C Y T T )(为关于n y y y ,,,21 的二次型，对应的矩阵为AC C T .注: 要Y AC C Y T T )(为标准型，即要AC C T 为对角矩阵。
线性代数(同济大学第五版)二次型讲义、例题
第六章 二次型本章主要包括二次型的矩阵及其矩阵,化二次型为标准型和规范形,二次型及实对称矩阵的正定性问题,学习本章内容需要结合矩阵的特征值与特征向量的相关知识.§1 二次型及其矩阵一、二次型及其矩阵定义1 关于n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数+++= 2222211121),,,(x a x a x x x f n n n n n n nn x x a x x a x x a x a 1,1313121122222--++++ (1)若取ji ij a a =,则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是(1)式可写成j i nj i ij n x x a x x x f ∑==1,21),,,( (2)称为n 元二次型,所有系数均为实数的二次型称为实二次型.记,212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x x21 则二次型),,,(21n x x x f 又表示为Ax x x x x f T n =),,,(21 ,其中A 为对称矩阵,叫做二次型 ),,,(21n x x x f 的矩阵,也把),,,(21n x x x f 叫做对称矩阵A 的二次型.对称矩阵A 的秩,叫做二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 的秩. 例1 写出二次型32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=的矩阵，并求出二次型的秩.解 写出二次型所对应的对称矩阵为A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=242422221A因为二次型的秩就是对称矩阵A 的秩.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=14002202214~6808602212~224242222123321312r r r r r r r r A ∴二次型的秩为3.§2 化二次型为标准型一、二次型合同矩阵二次型),,,(21n x x x f 经过可逆的线性变换⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (3) 即用(3)代入(1),还是变成二次型. 那么新二次型的矩阵与原二次型的矩阵A 的关系是什么？可逆线性变换 (3),记作Cy x =,其中矩阵)(ij c C =,把可逆的线性变换Cy x =代入二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 ,得二次型ACy C y Cy A Cy Ax x x x x f T T T T n ===)()(),,,(21定义 1 两个同阶方阵A B 、,若存在可逆矩阵C ,使B AC C T=,则称矩阵A B 、合同.若A 为对称矩阵,C 为可逆矩阵,且B AC C T=.则B 亦为对称矩阵,且).()(A r B r =证 因为A 是对称矩阵, 即A A T=,所以B AC C C A C AC C B T T T T T T T T ====)()(即B 为对称矩阵. 因为AC C B T =,所以)()()(A r AC r B r ≤≤.因为11)(--=BC C A T ,所以)()()(1B r BC r A r ≤≤-, 故得).()(B r A r = 主要问题：求可逆的线性变换⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (3) 将二次型(1)化为只含平方项,即用(3)代入(1),能使222221121),,,(nn n y k y k y k x x x f +++= (4) 称(4)为二次型的标准形.也就是说,已知对称矩阵A ,求一个可逆矩阵C 使Λ=AC C T为对角矩阵.定理2 任意二次型j inj i ij x x af ∑==1,)(ji ij a a =,总有正交变换Py x =,使f 化为标准形2222211nn y y y f λλλ+++= ,其中n λλλ,,,21 是f 的矩阵)(ij a A =的特征值.推论 任给n 元二次型Ax x x f T=)(,总有可逆变换Cz x =使)(Cz f 为规范形.二、二次型的合同标准形1、拉格朗日配方法化二次型成标准型(1) 对有完全平方的二次型,每一次配方都应将某个变量的平方项以及涉及这一变量的所有混合项配成完全平方,而使得这个完全平方式的外面不再出现这个变量.然后对剩下的不是完全平方的部分再按照此处理,直到全部配成完全平方为止,这样做,是为了保证所得的线性变换是非异的.如果不这样做,最后就需要检验所得的线性变换是否非异.例2 用配方法化二此型32312123222132182292),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=为标准形.解 由于f 中含变量型1x 的平方项，故把含1x 的项归并起来，配方可得32312123222182292x x x x x x x x x f +++++=322322232168)(x x x x x x x +++++=上式右端除第一项外已不再含1x .继续配方，可得232322321)3()(x x x x x x f -++++= 令⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=3332232113x y x x y x x x y 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321132y x y y x y y y x 就把f 化成标准形（规范形）,232221y y y f -+=所用的变换矩阵为).0(100310211≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=C C(2) 如果所给的二次型全由混合项组成,而没有平方项,例如133221321),,(x x x x x x x x x f ++=,则需要先做类似于⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211y x y y x y y x 之类的非异线性变换,使变换后的二次型由平方项,再按(1)处理.二次型经非异线性变换化为标准型后,还可以再作非异线性变换,化为标准形.例3化二次型3231212x x x x x x f -+=成标准型，并求所用的变换矩阵.解 由于所给二次型中无平方项，所以令 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=33212211yx y y x y y x 即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321100011011y y y x x x 代入3231212x x x x x x f -+=得323122213y y y y y y f ++-=在配方,得.2)23()21(23232231y y y y y f +--+= 令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+=333223113332231123212321z y z z y z z y y z y y z y y z即.10023102101321321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z z z y y y得2322212z z z f +-= 所用变换矩阵为.10011121110023102101100011011⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C )02(≠=C2、正交变换化二次型成标准型寻求正交变换,化二次型为标准型,其步骤如下： (1) 写出二次型的矩阵A ,求0-=A E λ的所有相异的根n λλλ,,,21 (n s ≤,n 为A 的阶数)；(2) 对每个i λ(s ,,2,1 =i )求齐次线性方程组0)(=-x A E i λ的基础解系.如果i λ,基础解系只含1个解向量,则单位化.如果i λ,基础解系含有多于1个的解向量,则规范化,这样,总共得到n 个两两正交的单位向量.(3) 以所得的n 个两两正交的列向量得到矩阵P ,则P 为正交矩阵,正交变换Py x =化二次型Ax x T为标准形y y TΛ为对角阵,主对角线上第i ),,2,1(n i =个元素是P 的第i 个列向量所对应的特征值(k 重特征值出现k 次).经正交变换得到的标准形后,还可以再作非异的线性变换将标准后,还可以再作非异的线性变换将标准形化为规范形.但这一变换已不再是正交变换了.换言之,经正交变换,二次型一定可以化为标准型,但未必能化规范形.例4求一个正交变换Py x =，化二次型32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=为标准形.解 (1)写出二次型f 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=242422221A (2) 求矩阵A 的特征值,写出特征多项式λλλλλλλλλλ------=-------=-------204622412204222212424222212)2)(7(6241)2(λλλλλ-+-=------=故特征值为2,7321==-=λλλ(3) 求矩阵A 的特征值所对应的特征向量 ①当71-=λ时, 解方程0)7(=+x E A ,由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+0001102101~5424522287r E A 得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2211ξ.②当232==λλ时, 解方程0)2(=-x E A ,由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-000000221~4424422212r E A得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102,01232ξξ.(4) 将32,ξξ正交化：取22ξη=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=5425101254102],[],[2223233ηηηξηξη(5) 将321,,ηηξ单位化,得,22131111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ξξp ,01251222⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ηηp .542531333⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ηηp(5) 可得正交矩阵P.53503253451325325231),,(321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==p p p P 若令Py x =则Ax x x x x x x x x x x x x x f T =++---=32312123222132184422),,(233222211y y y APy P y T T λλλ++== 2322212271y y y ++-= 注 用正交变换法化二次型成标准型后,其平方项的系数就是矩阵A的特征值.而变换矩阵的各列,分别是这些特征值对应的规范正交的特征向量.例 5 已知,1001110101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=a a A 二次型x A A x x x x f T T )(),,(321=的秩为2.(1) 求实数a 的值.(2) 求正交变换Qy x =将f 化为标准型. 解(1),3111101021001110101111010010122⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---+-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a a a a a a a a a A A T x A A x T T )( 秩为22)()(==∴A r A A r T可得 1-=a .(2) 令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==422220202B A A T由0)6)(2(422220202=--=-------=-λλλλλλλE B解之得.6,2,0321===λλλ① 当01=λ时,由0)0(=⋅-x E B ,可解得特征值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11-1-1ξ.②当22=λ时,由0)2(=⋅-x E B ,可解得特征值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=011-2ξ.③当63=λ时,由0)6(=⋅-x E B ,可解得特征值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2113ξ.将321,,ξξξ单位化,得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==211613,011-212,11-1-313322111ξξξξξξr r r令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==6203161210612131),,(321r r r Q . 则Qy x =时,可得标准型232262y y Bx x f T +==. 例6 设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-,若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值. 解 若二次型f 的规范形为2212y y +,说明f 两个特征值为正,一个为0.当2=a 时,三个特征值为 0,2,3,这时,二次型的规范形为2212y y +.§3 二次型及实对称矩阵的正定性二次型的标准形不是唯一的.标准形中所含项数是确定的(即是二次型的秩).限定变换为实变换时,标准形中正系数的个数是不变的.一、惯性定理定理3(惯性定理) 设有实二次型Ax x f T =它的秩是r ,有两个实的可逆变换Cy x =与Pz x =.使)0(,2222211≠+++i r r k y k y k y k 及,2222211r r y z z z +++ λλ)0(≠i λ则r k k k ,,,21 中正数的个数与r λλλ,,,21 中正数的个数相等. 正数的个数称为正惯性指数,负数的个数称为负惯性指数.例7 二次型,2223),,(323121232221321x x x x x x x x x x x x f +++++=求f 的正惯性指数.解：方法一：3231212322213212223),,(x x x x x x x x x x x x f +++++= 2223212)(x x x x +++= 令⎪⎩⎪⎨⎧==++=33223211xy x y x x x y , 则22212y y f +=.故f 的正惯性指数为2.方法二：f 的正惯性指数为所对应矩阵特征值正数的个数,由于二次型f 对应矩阵.111131111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A所以λλλλλλλλλλλ---=---=---=-211231001111310111131111E A λλλ---=2112310)4)(1(2123---=---=λλλλλλ=0 故4,1,0321===λλλ.故f 的正惯性指数为2. 二、正定性的判别定义10 设有实二次型Ax x f T=如果对于任何0≠x ,都有0)(>x f ,(显然0)0(=f ),则称f 为正定二次型,并称对称阵A 是正定的.记作0>A ；如果对任何0≠x ,都有0)(<x f ,则称f 为负定二次型,并称对称阵A 是负定的,记作0<A .定理4 实二次型Ax x f T=为正定的充分必要条件是:它的标准形的n 个系数全为正,即f 的正惯性指数为n .证 设可逆变换Cy x =使21)()(ini i yk Cy f x f ∑===.先证充分性：设0>i k ),,2,1(n i =,任给0≠x ,故.0)(21>=∑=i ni i y k x f再证必要性: 用反证法,假设有0≤s k ,则当s e y =(单位坐标向量)时,0)(≤=s s k Ce f ,显然0≠s Ce 这与假设f 正定矛盾,故.0>i k推论 对称阵A 为正定的充分必要条件是: A 的特征值全为正.定理5 对称阵A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正.即011>a ,022211211>a a a a,01111>nnn na a a a ; 对称阵A 为负定的充分必要条件是:奇数阶主子式为负,而偶数阶主子式为正.即，0)1(1111>-nrn rra a a a ),,2,1(n r =.这个定理称为霍尔维兹定理.注：对于二次型,除了有正定和负定以外,还有半正定和半负定及不定二次型等概念.例8设实二次型312322212x cx ax bx ax f +++=,当该二次型为正定二次型,c b a ,,应满足的条件?解 写出f 的矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a c b c a A 0000因为该二次型为正定二次型,所以0)(,0,022>-=>>∴b c a A ab ac b a ,,∴应满足0,>>b c a .定理6实二次型Ax x f T =为正定的充分必要条件是:存在可逆矩阵C ,使C C A T =,即矩阵A 与单位矩阵合同.证明 先证充分性：若存在可逆矩阵C ,使C C A T=,任取非零向量x ,则0≠Cx (如果0=Cx ,由C 可逆,则0=x 矛盾),对任取的0≠x ,有0)()()(T >====Cx Cx Cx Cx C x Ax x x f T T T,从而矩阵A 正定.再证必要性：设对称矩阵A 为正定矩阵,因为A 为对称矩阵,则存在正交矩阵Q ,使A 对角化,即),,,(21n T diag AQ Q λλλ =Λ=,其中n λλλ,,,21 为A 的特征值,而A 是正定矩阵,所以0>i λ,记),,,(211n diag λλλ =Λ.则Λ=Λ21,从而T T T Q Q Q Q Q Q A ))((1111ΛΛ=ΛΛ=Λ=令T Q C )(1Λ=,则C 可逆,而且得到C C A T=. 所以可得EC C A T=,故矩阵A 与单位矩阵合同.定理7实二次型Ax x f T =为正定的充分必要条件是:存在正定矩阵B ,使2B A =.证明 因为A 是正定矩阵，所以矩阵A 可以正交相似对角化。
讨论对称矩阵的正定性-模板
讨论对称矩阵的正定性本文主要是从理论的角度简单研究对称矩阵的正定性。
从对称矩阵与正定矩阵的关系出发,给出对称矩阵正定性的判别条件。
关键词:对称矩阵,正定性二次型与对称矩阵是相互唯一确定的,其中正定二次型的系数矩阵就是正定矩阵,那么,正定矩阵就一定是对称矩阵.那么怎样的对称矩阵是正定矩阵呢?本文将给出正定矩阵的定义以及判别实对称矩阵正定的常用条件.设=,(其中C,i,j=1,2,…,n), 的共轭转置记为=定义对于复对称矩阵=,(其中R,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量,都有>0,则称是正定矩阵.若仅在实数域上考虑,此定义等价于定义对于实对称矩阵=,(其中R,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量,都有>0,则称是正定矩阵.由于二次型与对称矩阵是相互唯一确定的,此定义又等价于定义如果对于任一组不全为零的非零实数,,…,,都有f(,,…,)=>0,则称实二次型f(,,…,)是正定的.由以上定义可知正定矩阵的和仍是正定矩阵.事实上若与为同价正定矩阵,则对于非零列向量=(,,…,)0,必有>0, >0,从而(+)=+ >0,所以+也是正定的.定理 n阶实对称矩阵正定,当且仅当实二次f(,,…,)=的正惯性指数为n.证明设实二次型f(,,…,)经过非退化线性变换得++…+(*)由于非退化实线性变换保持正定性不变,那么正定当且仅当(*)是正定的,由定义知(*)正定当且仅当>0 (i=1,2,…,n,),因此,正惯性指数为n.推论1 实对角矩阵正定的充分必要条件是>0,(i=1,2,…,n,).证明由定理得,实对称矩阵正定当且仅当二次型f(,,…,)=++…+的正惯性指数为n,因此,>0(i=1,…,n,).推论2 实对称矩阵是正定的充要条件矩阵的秩与符号差为n.推论3 实对称矩阵是正定的充要条件是二次型f(,,…,)=的系数矩阵的所有特征值都是正数.证明由第二节知,实对称矩阵可对角化为,其中,,…,恰好是的特征值,则二次型的标准形为:++…+,而非退化实线性变换保持正定性不变,由 f (,,…,)=++…+正定得>0,(i=1,2,…,n).定理实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同.证明实正定二次型的规范形++…+(*),而(*)的系数矩阵为单位阵,非退化实线性变换保持正定性不变,且新二次型系数矩阵与原二次型系数矩阵是合同的,故实对称矩阵正定当且仅当它与单位矩阵合同.推论1 实对称矩阵是正定的充分必要条件是存在可逆矩阵,使得=.证明设为一正定矩阵,当切仅当与单位矩阵合同,因此,存在可逆矩阵,使得==,推论2 实正定矩阵的行列式大于零.证明对=两边取行列式有 ||=|| ||=>0,因此,|A|>0.推论3 与正定矩阵合同的对称矩阵一定是正定矩阵.事实上由合同的传递性及正定矩阵都与单位矩阵合同可知结论成立.推论4 正定矩阵的逆矩阵一定是正定矩阵.证明由命题得正定矩阵的逆矩阵一定是对称矩阵,又因为正定矩阵与单位矩阵合同,所以存在可逆矩阵使得==,取逆矩阵得 =,令=,则=,因此,与单位矩阵合同,所以是正定矩阵.有时需要直接用行列式的方法来判别实对称矩阵的正定性,为此引入以下定义定义子式=(i=1,2,…,n)称为矩阵=,(i,j=1,2,…,n)的顺序主子式.定理实对称矩阵正定的充分必要条件是矩阵的顺序主子式全大于零.证明 (1)必要性实对称矩阵正定,则二次型f(,,…,)==是正定的,对于每一个k,1kn,令(,,…,)=,我们来证是一个k元正定二次型,对于一组不全为零的数,,…,有(,,…,)=(,,…,,0,…,0)>0,因此,是一个k元正定二次型.由定理推论1得,的矩阵行列式>0,(k=1,2,…,n).(2) 充分性对n作数学归纳法当n=1时,f()=,由条件>0,显然f()是正定的.假定此论断对n-1元二次型成立,下证n元的情形令= ,=,则=由的顺序主子式全大于零可知的顺序主子式全大于零,由假设是正定矩阵,有n-1阶可逆矩阵,使得=,令=,则 ==,令=,则==令=,=-,则有=,两边取行列式得 =,由条件>0,因此>0,=,因此,A与单位矩阵合同,由定理得,是正定矩阵.推论正定矩阵的任何顺序主子式阵必为正定矩阵.应用以上结论完成下题例判别二次型f(,,)=+2+3-2-2是否正定.解二次型的系数矩阵为 :方法一、由矩阵的特征多项式|-|==求得的特征值为2,2,全为正,因此二次型正定.方法二、的顺序主子式为=1>0,=>0,=||>0, 由定理得二次型正定.结束语本文主要是从理论的角度简单研究对称矩阵的正定性。
二次型与实对称矩阵的正定性
中图分 类号 ： ５ 文献标识码 ： 文章 编号 ：０ ９ ２ ６２ ｏ ）２ ０ ７ ３ Ｏ１ １ Ａ １０ —０ ６ （Ｏ ２ ０ —０ ５ —０
本文符 号和术语 与文献［ ］ １ 相一致
数域 Ｆ上一 个 元 二次齐次 多项式 ： Ｘ ， ２ … ， ｆ（ １２ ， Ｘ ）
：
ｃ ｃ ：
厶
其 中 ， 为 一 １阶 正 定 矩 阵 ， Ａ。 ａ为 一 １ 实 列 向量 ， 维 屉为
实 数。 则
Ａ 正 定 甘 七一 口Ａｌ ＞ ０ ， 口
个。
２ ２ 与上 述 问 题 相 对 应 的 ， Ｓ是 所 有 阶 实 对 称 矩 阵 所 ． 令
事实上 ， 矩阵 Ａ 作合同变换 ， 对 即
等 价 性 即得 。
其 余 以 此 类 推 若 ｒ＝ ， 有 （ ＋ １ 个 规 范形 则 ） 故 个 变 元 的 规 范 形 共 有
１
３． 令 ， 实 对 称 矩 阵 ２ ｔ阶
Ａ ＝
（ ）
１＋２＋３十 … ＋ ＋ （ ＋ １ ）＝ — （ ＋１ （ ＋ ２ ）， ）
若 ｒ＝ １ 则 Ｐ ＝ ０ １ 有 ２ 规 范 形 ； ， ，； 个 若 ｒ ＝ ２ 则 Ｐ ： ０ １２ 有 ３ 规 范 形 ； ， ，，； 个
７ 的 等 价 性 ， Ａ＿ ＝ ｏ 据 Ｊ
到。
， Ａ ＝ Ｉ Ｉ Ｉ可 立 即得 即 Ａ Ａ－ ＇
对 于 ７ 和 １ 的 等 价 性 ， （ － ＝ Ａ ， 由 ６ 和 ７ 的 。 ｏ 因 Ａ一 ） ｌ 再 。 。
２ 二次型 间的等价
实二次型可经过可 逆线性替换互相 转化是二 次型间 的 等价关系 ， 用这 个关 系可依秩 ｒ和正惯 性 指标 分 别相 利
6-1 二次型及其矩阵表示
将其代入
f x T Ax , 有
f x Ax
T
Cy
T A Cy y T C T AC y .
合同矩阵
定义 使得 C AC B ,
T
设 A 和 B 是 n 阶矩阵，若存在
n 阶可逆矩阵
C，
则称 A 合同于 B ，记作 A ~ B .
2
x 1 ( a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n ) x 2 ( a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n ) x n ( a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n ) a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n ( x 1 , x 2 , , x n ) a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n
12 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页 返 回
合同关系是一种等价关系： (i) 反身性：
A
~
A
(ii) 对称性：若 A ~ B ，则 B ~ A (iii) 传递性：若 A ~ B，B ~ C 则 A ~ C .
13 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 上一页 下一页 返 回
作业
2．用矩阵表示
f a 11 x 1 a 12 x 1 x 2 a 1 n x 1 x n
2
a 21 x 2 x 1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n
2
a n 1 x n x 1 a n 2 x n x 2 a nn x n
二次型矩阵形式
二次型矩阵形式二次型是数学中一个重要的概念，与矩阵紧密相关。
在接下来的文章中，我将详细介绍二次型及其矩阵形式，包括定义、性质、特征值和特征向量以及矩阵对角化等内容。
首先，我们来定义二次型。
给定一个n维向量x = (x1, x2, ..., xn)，我们可以定义一个二次型Q(x)如下：Q(x) = x1^2 + x2^2 + ... + xn^2其中，x1, x2, ..., xn是向量x的分量。
上述二次型表示了一个向量x各个分量的平方和。
一般地，我们可以用一个n维向量x和一个实对称矩阵A来表示一个二次型，如下所示：Q(x)=x^TAx其中，x^T表示向量x的转置，表示行向量。
接下来，我们来探讨二次型的性质。
首先，我们看到二次型的系数矩阵A是实对称矩阵。
这是因为在二次型的定义中，我们可以通过转置操作将行向量x转换为列向量，从而使得系数矩阵A是对称的。
实对称矩阵有很多重要的性质，例如它总是可以对角化的。
另外，二次型对应的系数矩阵A也具有特殊的性质，即正定、负定或半正定、半负定。
如果对于任意非零向量x，都有Q(x)>0，那么二次型Q(x)为正定；如果对于任意非零向量x，都有Q(x)<0，那么二次型Q(x)为负定；如果对于任意非零向量x，都有Q(x)>=0，那么二次型Q(x)为半正定；如果对于任意非零向量x，都有Q(x)<=0，那么二次型Q(x)为半负定。
正定、负定、半正定和半负定是描述二次型的重要概念，它们在优化问题、凸优化和最小二乘等领域中有着广泛应用。
特征值和特征向量也是与二次型密切相关的概念。
给定一个二次型Q(x)=x^TAx，其中A是一个n阶实对称矩阵，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ是一个实数，那么v是矩阵A的特征向量，λ是对应的特征值。
特征值和特征向量能够帮助我们更好地理解和分析二次型的性质。
矩阵对角化也是二次型的一个重要应用。
对于一个n阶实对称矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^TAP是一个对角矩阵D，那么我们称矩阵A可对角化。
6.1二次型及其矩阵表示、合同矩阵(全)
第六章二次型§1 二次型及其矩阵表示、合同矩阵§2 化二次型为标准形§3 二次型与对称矩阵的正定性§1 二次型及其矩阵表示、合同矩阵定义6.1.1：含有n 个变量x 1, x 2, … , x n 的二次齐次多项式()n x x x f ,,,21 nn x x a x x a x x a x x a x a 1141143113211221112222+++++= nn x x a x x a x x a x a 22422432232222222+++++ 2nnn xa +当系数属于数域F 时，称为数域F 上的一个n 元二次型。
本章讨论实数域上的n 元二次型，简称二次型。
nn x x a x x a x a 334334233322++++22212111222121213131,12111121211221212222221122,1222(,,,)n nn nn n n nn n n nn n n n nn nniji ji j f x x x a x a x a xa x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a xax x --==+++++++=++++++++++++=∑i j j i ij i j i j i j j i i j22212111222121213131,12111121211221212222221122,1222(,,,)n nn nn n n nn n n nn n n n nn nniji ji j f x x x a x a x a xa x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a xax x --==+++++++=++++++++++++=∑i j j i ij i j i j i j j i i j212111121211221212222221122(,,,)n n n n n n n n n nn nf x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x =+++++++++++11111221()n n x a x a x a x+++22112222()n nx a x a x a x ++++1122()n n n nn n x a x a xa x +++11112212112222121122(,,,)n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x +++⎛⎫⎪+++⎪= ⎪⎪+++⎝⎭1112112122221212(,,,)n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Tx Ax=其中A = (a ij )n ×n , x = (x 1, x 2, ···, x n )TA 为对称矩阵，称A 为二次型对应的矩阵，A 的秩为二次型的秩。
二次型及其矩阵
1.2 矩阵的合同
定义 2 设 A，B 为两个 n 阶方阵，如果存在 n 阶可逆矩阵 C 使得 CT AC B ，则称矩阵 A 合同于矩阵 B，或称 A 与 B 合同．
二次型 f (x1 ，x2 ， ，xn ) xT Ax 的矩阵 A 与经过可逆线性变换 x Cy 得到的新二次型矩阵 B CT AC 是合同的，且 r(A) r(B) ．
c2n
yn
， 称为由变量
x1
，x2
，
，xn 到 y1 ，y2 ，
，yn 的线性变换．矩阵
cnn yn
a11 a12
C
a21
a22
an1 an2
a1n
a2n
ann
称为线性变换矩阵．当 C 可逆时，称该线性变换为可逆线性变换或非退化线性变换． 对于二次型 f xT Ax ，经过可逆线性变换 x Cy 可化为 f xT Ax (Cy)T A(Cy) yT (C T AC) y ，
x1(a11x1 a12 x2 a1n xn ) x2 (a21x1 a22 x2 xn (an1x1 an2 x2 ann xn )
a2n x2 xn a2n xn )
a11x1 a12 x2
(x1 ，x2 ，
，xn
)
a21
x1
a22 x2
an1x1 an2 x2
1.1 二次型的概念
称 f (x) xT Ax 为二次型的矩阵形式，其中对称矩阵 A 称为该二次型的矩阵，二次型 f (x) 称为对称矩阵 A 的二次型，对称矩阵 A 的秩称为二次型的秩．于是，二次型 f (x) 与对称矩阵 A 之间有一一对应关系．当 f (x) 的 系数均为实数时， f (x) 称为实二次型，A 称为实对称矩阵．本书中的二次型都是指实二次型．
二次型
A = C
T
利用反证法. 利用反证法
I p 0 0
0 − Iq 0
0 0C 0
其中C可逆 其中 可逆. 可逆
那么对于任意的X,令 都有: 若p=0,那么对于任意的 令Y=CX,都有 那么对于任意的 都有 q − I q 0 2 T T X AX = Y Y = ∑ ( − y i ) ≤ 0 0 i =1 0 这显然与题目条件X 相矛盾,于是有 这显然与题目条件 1TAX1>0相矛盾 于是有 相矛盾 于是有p≠0. 同理,若 将会导致与X 相矛盾,那么也有 同理 若q=0,将会导致与 2TAX2<0相矛盾 那么也有 将会导致与 相矛盾 q≠0. 于是我们可以取Y 于是我们可以取 0T=(1,0,…,0,1(p+1),…,0),并令 并令 X0=C-1Y0≠0. 显然有, 显然有 X0TAX0=0. □
二次型就是二次齐次多项式本章通过矩阵乘法将二次型与
2 2 f ( x1 , x2 ,K , 3; K + d n xn
是正定的当且仅当 di > 0, i = 1, 2, ⋅⋅⋅, n 定义5 定义5 实对称矩阵 A 称为正定的，如果二次型 X ′AX 正定。 称为正定的， 正定。
10
4. 正定二次型（续1） 正定二次型（
实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一确定 的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于 它等于正惯性指数， 负惯性指数。 负惯性指数。
9
4. 正定二次型
定义4 定义4 实二次型
f ( x1 , x2 ,K , xn )
称为正定的，如果对于任 称为正定的，
意一组不全为零的实数 c1 , c2 ,K , cn都有 f (c1 , c2 ,K , cn ) > 0 。 实二次型
(1)
KKKK
2 ann xn +
称为数域 P 上的一个 n 元二次型（简称二次型）。 元二次型（简称二次型）。
2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次型与对称矩阵
二次型与对称矩阵
1.设二次型()22212312233,,4323f x x x x x x x x =+++
a.求一个正交变换x Qy =将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换。
b.用配方法将二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换。
c.用合同变换法将二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换。
2.设
123A λλλ?? ?= ? ???，231B λλλ?? ?= ?
则存在可逆矩阵P ，使得T P AP B =，其中_____P =
3.二次型
2221231231213(,,)222f x x x x x x tx x x x =++-+正定时，t 应满足的条件是 _______________
4.设A 为实对称矩阵，且
0A ≠，则把二次型()T f x x Ax =化为 ()1T f y y A y -=的线性变换是____________
5.实二次型为正定的充分必要条件是__________
A . ()R A n = B. A 的负惯性指数为零
C. 0A >
D.A 的特征值全大于零
6.设 11
1111
1111
111
111A =，4000000000000000B = 则A 与B 的关系是__________
A . 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 相似但不合同 D.既不相似也不合同
7.设矩阵
320242025A =--??
正定，则与A 相似的对角矩阵为__________
A . 1210 B. 2010
C. 147
D.671-?? 8.设A ，B 为n 阶正定矩阵，则__________是正定矩阵
A .
12k A k B + B. A B **+ C.
11A B --- D.AB 9.设()ij n n A a ?=为实对称矩阵，二次型
()()
2
1211221,,,n n i i in n i f x x x a x a x a x ==+++∑
为正定二次型的充要条件是__________
A . 0A = B. 0A ≠
C. 0A >
D.0A <
10.设n 元二次型 ()()()()()
222212112223111,,,n n n n n n f x x x x a x x a x x a x x a x --=++++++++ 其中()1,,i a i n = 为实数，试问当121,,,,n n a a a a - 满足什么条件时二次型()12,,,n f x x x 为正定二次型。
11.设()T f x x Ax =是一n 元实二次型，12,,,n λλλ 是A 的实特征值，且1
2n λλλ≤≤≤ ，证明对于任一n 维列向量x 有
1T T T n x x x Ax x x λλ≤≤ 12.设
m n A ?为实矩阵，若()R A n =，试证T A A 为正定矩阵
方阵的特征值
1.设A 是n 阶方阵，5A =，则方阵B AA *=的特征值是_______，特征向量是_________
2.设4阶方阵A 相似于B ，且A 的特征值为1111,,,2345，则
1B E --=_________
3.若λ是n 阶方阵A 的特征方程的单根，则()R E A λ-=_________
4.若n 阶可逆矩阵A 的每行元素之和均为a ，则12A E -+的一个特征值为_________
5.设三阶方阵A 有特征值0,1,1-，其对应的特征向量为123,,ααα，令()132,,P ααα=，则（）
A 110-?
B 101-??
C 011-??
D 011????-?????? 6.与矩阵
112A =??相似的矩阵是（） A 110010002B 100021001C 101020001D 110011002
7.矩阵 A 与B 相似，则（）A E A E B λλ-=-B E A E B λλ-=-
C A 与B 与同一对角矩阵相似
D 存在正交阵Q ，使得1Q AQ B -=
8.n 阶方阵A 与某对角矩阵相似，则（）
A ()R A n =
B A 有n 个互不相同的特征值
C A 是实对称矩阵
D A 有n 个线性无关的特征向量
9.设矩阵
001010100A =??相似于B ，则()()2R B E R B E -+-= A 2 B3 C 4 D5
10.设()12,,,T n a a a α= ，()10,1a n ≠>，T A αα=，求A 的特征值和特征向量
11.设矩阵22082006A a =??相似于Λ，求（1）a ，（2）可逆矩阵P 和对角矩
阵Λ，使得1P AP -=Λ
12.设A 是n 阶正交矩阵，且1A =-，证明－1是A 的一个特征值。