（二）用三角法解几何问题（三）用解析法解几何问题用复数法解几何问题
（二）用三角法解几何问题（三）用解析法解几何问题用复数
法解几何问题
(二)用三角法解几何问题
用三角法解几何问题，常将线段和角的关系转化为三角函数关系，通过三角恒等变换、解三角方程或证明三角不等式来完成几何问题的解答．
例3 在等腰直角三角形ABC中，M是腰AC的中点，过直角顶点C作CD⊥BM于D，CD延长线交AB于E(如图3)．求证：∠AME=∠CMB．
思路分析这类问题，用几何法会困难重重，而转化为用三角法则柳暗花明．
设∠AME=α，∠CMB=β，则∠AEM=135°-α，∠ACE=90°-β，∠AEC=45°＋β．在△AME和△ACE中，由正弦定理，得
②÷①且由AC＝2AM，得
又α、β∈(0°，90°)，所以α＝β，即∠AME=∠CMB．
例4(蝴蝶定理)过⊙O的一条弦AB的中点C任作两条弦DE和GF，连结DG和EF分别交AB于M、N(如图13－4)．求证：CM=CN．
思路分析设AB=2a，AC=CB=a，CM=x，CN=y，各角假设如图4所示．
由相交弦定理有AM·MB=GM·MD，即(a-x)(a＋x)
所以x=y，即CM=CN．
在上一讲中我们用对称变换证过蝴蝶定理，方法很轻盈．此处的三角法给我们又一种灵巧感
(三)用解析法解几何问题
解析法是笛卡儿推崇的数学思想方法，它的优势主要在解题的规范化，其解题步骤主要是：通过建立坐标系，设定所给图形上有关点的坐标和曲线的方程后，便可将几何问题转化为代数问题；然后运用代数知识求解，再赋予几何意义，从而获得对几何问题的解答．
例5 在△ABC中，已知AD是BC边上的高，P是AD上任一点，BP、CP延长线交AC、AB于E、F．求证：∠ADE=∠ADF．
思路分析此题如用几何法须较高技巧，我们试用解析法来证明．
建立直角坐标系如图5，则只须证明DE、DF的斜率互为相反数就可以了．
设A、B、C、P四点坐标分别为(0，a)、(b，0)、(c，0)、(0，p)，由截距式可求出AB、CP、AC、BP的直线方程为
所以∠ADE=∠ADF．
例6 巳知正方形ABCD，BD∥EC，以D为圆心，BD为半径画弧，交EC于E，连结ED交BC于F．求证：BF=BE．
思路分析如图6所示，建立直角坐标系．
设正方形的边长为1，正方形四个顶点的坐标为A(0，1)、B(1，1)、C(1，0)、D(0，0)，又设E(x1，y1)、F(x2，y2)．
又因为CE∥BD，所以直线CE的斜率等于直线BD的斜率，即
即得｜BE｜=｜BF｜．
由上述例子可见，解析法证几何题，思路明确，有规可循，而且可以减少或避免添加辅助线，可以减少“寻求隐含条件”的困难．使用时要注意的是坐标系的选取要适当，这样可简化计算．
(四)用复数法解几何问题
用复数法解答几何问题，基本思路是从问题的特点出发，建立复平面，选取相应的复数表示形式，根据题设条件，将几何问题转化为复数问题，通过复数的计算与推理，完成对问题的解答．
例7如图7，△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，现固定△ABC，而将△ADE绕A点在平面上旋转．试证不论△ADE旋转到什么位置，线段EC上必存在一点M，使△BMD为等腰直角三角形．
数法证明．
不妨设等腰直角三角形ADE绕A旋转到如图8位置．因为AB≠AD，故B、D总不会重合．以B、D连线为实轴，BD的垂直平分线为虚轴，建立复平面．设B、D所表示的复数分别为z B=-1，z D=1．
上，且｜OB｜=｜OD｜=｜OM｜=1．故△BMD为等腰直角三角形．
例8 在半圆O中，定点A在直径EF的延长线上，B点在半圆周上运动，以AB为一边向外作正三角形ABC．问B在何处时，O、C两点距离最远？求这最远距离．
思路分析建立复平面如图9，设圆半径为r，∠AOB=θ，
复数是zC=cr(cosθ+isinθ)＋［(a-rcosθ)-irsinθ］(cos60°
-2arcos(θ＋60°)．故当cos(θ＋60°)=-1时，即θ=120°时，｜
OC｜max=a＋r．
(五)用向量法解几何问题
向量代数是现代数学最活跃的分支之一，向量能深刻描述现实世界的空间形式，是沟通数与形内在联系的有力工具，利用向量的运算证明几何问题，方法很新颖．
例9 已知G是△ABC的重心，O是任意一点．求证：
AB2＋BC2＋CA2+9OG2=3(OA2+OB2＋OC2)．
思路分析这道题用几何法证明较困难，用向量法却能得心应手．
例12 设四边形A1A2A3A4为圆O的内接四边形，M1、M2、M3、M4依次为△A2A3A4、△A3A4A1、△A4A1A2、△A1A2A3的垂心．求证：M1、M2、M3、M4四点共圆，并定出圆心的位置．
思路分析作直径A1B，连结A2B、A4B，则向量OA1=-OB，A4B ⊥A4A1，又M3为△A4A1A2的垂心，A2M3⊥A1A4，所以A4B∥A2M3．同理得A2B∥A4M3．则四边形BA4M3A2为平行四边形(如图11所示)．
(i=1，2，3，4)．
这表明M i到点G的距离为定长r，故M1、M2、M3、M4四点共圆，再由多边形法则可作出圆心G．
高三数学压轴题训练——解三角形问题的两类题型
高三数学压轴题训练——解三角形问题的两类题型 解三角形问题中，边角的求解是所有问题的基本，通常有以下两个解题策略： (1)边角统一化：运用正弦定理和余弦定理化角、化边，通过代数恒等变换求解； (2)几何问题代数化：通过向量法、坐标法将问题代数化，借用函数与方程来求解，对于某些问题来说此法也是极为重要的． [典例] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知∠A ＝2π 3，a ＝3c ， 则c b ＝______. [思路点拨] 本题条件涉及三角形边、角的数量关系，结论是求边比问题，必然通过解三角形来处理．注意正弦定理和余弦定理的灵活应用． [方法演示] 法一：角化边(余弦定理) 由余弦定理及a ＝3c ，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2－2c 22bc ＝－1 2，化简得b 2＋bc －2c 2＝0， 即2⎝⎛⎭⎫c b 2－c b －1＝0，解得c b ＝1或c b ＝－1 2 (舍去)． 法二：边化角(正弦定理) 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3c ，∠A ＝2π3 得sin A ＝3sin C ＝32，即sin C ＝1 2. 又角C 是三角形的内角，则∠C ＝π6 . 又∠A ＝2π3，所以∠B ＝π 6，从而有c b ＝sin C sin B ＝1. 法三：几何法 过点C 作BA 的垂线CD ，交BA 的延长线于点D ，如图，由∠BAC ＝2π3，得∠DAC ＝π 3， 即在Rt △DAC 中，AD ＝12b ，CD ＝3 2 b .
由△BDC 是直角三角形，得CD 2＋BD 2＝BC 2， 即 ⎝⎛⎭⎫32b 2＋⎝⎛⎭ ⎫c ＋12b 2＝a 2. 由a ＝3c ，得b 2＋bc －2c 2＝0，即2⎝⎛⎭⎫c b 2－c b －1＝0，解得c b ＝1或c b ＝－1 2(舍去)． 法四：坐标法 根据题意，以点A 为原点，AB 为x 轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，根据题意可知AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，∠CAB ＝2π3，则A (0,0)，B (c,0)，C －b 2，32 b . 根据两点间距离公式，BC ＝ ⎝⎛⎭⎫32b 2＋⎝⎛⎭ ⎫c ＋12b 2＝a . 由a ＝3c ，得b 2＋bc －2c 2＝0，即2⎝⎛⎭⎫c b 2－c b －1＝0，解得c b ＝1或c b ＝－1 2(舍去)． 法五：向量法 由BC ―→＝AC ―→－AB ―→，得|BC ―→|2＝|AC ―→－AB ―→ |2＝|AC ―→|2－2AC ―→·AB ―→＋|AB ―→|2. 又由|BC ―→ |＝a ＝3c ，得3c 2＝b 2－2bc cos 2π3＋c 2，化简得b 2＋bc －2c 2＝0，即2⎝⎛⎭⎫c b 2－c b －1＝0，解得c b ＝1或c b ＝－1 2 (舍去)． 法六：特殊值法 因为a ＝3c ，不妨令c ＝1，所以a ＝3，结合条件∠A ＝2π 3，由余弦定理得b ＝1，于 是c b ＝1. 答案：1 [解题师说] 本题法一、法二分别运用了余弦定理和正弦定理，这两种方法(边化角、角化边)是最基本的方法，其本质就是将题中的边、角统一，方便求解；法三运用了三角形的几何性质，回归三角形的本质；法四和法五都是将题中的边和角坐标化、向量化，将几何问题代数化，从而求出结果．易知法五和法一的本质是相同的，因为我们知道余弦定理是可以用向量法证明的．法六是抓住了条件a ＝3c 的本质，这是两个边的比例关系，通过令c ＝1将比例变为了具体数值，便于计算，也体现了基本量的思想．
转化与化归
化归与转化 一、化归与转化 其实所谓化归思想，一般就是指人们将待解决或难以解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。这种思想方法可分为①多维化归方法，如：换元法、恒等变换法、反证法、构造法、待定系数法、数学归纳法；②二维化归法，如解析法、三角代换法、向量法；③单维化归法，如：复数法、代入法、加减法、判别式法、曲线系数法、坐标变换法。 二、典型例题 例1．）在平面直角坐标系xoy 中，有一个以)3,0(1-F 和)3,0(2F 为焦点、的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x y 、轴 的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+ .求点M 的轨迹方程. [解析] 在求得曲线C 的方程)0,0(14 2 2 >>=+y x y x 后，将其转化为函数)10(122 <<-=x x y 的图像来认识，通过导数得y '=－ 2x 1－x 2 设P(x 0,y 0)，因P 在C 上,有0
第 11 讲 总结推广(第03课时-代数法,几何法,三角法)
第11讲 总结推广- 应知：有哪些常用的解法。 应会：审题后对应该采用的方法要有一个大致的方向。 中学数学有几个分支，就是代数、三角、平面几何、立体几何、解析几何，一个问题究竟用什么知识去解最简单，是需要选择的。 例.（高三）正方形ABCD 的一个内接三角形为?EAF ，如果∠EAF=45o，求证：正方形ABCD 的面积与?EAF 的面积之比等于AB 与EF 之比的2倍。 分析一（几何法）： ∵ AG AB EF AB EF AG AB S S EAF ABCD ?=?=22 12 ， 只要证 AB=AG ， 只要证 ?ABE ≌?AGE , 但已知条件∠EAF=45o难以用上，改为过A 作AP 使∠EAP=∠EAF=45o，交CB 的延长线于P ，则只要证?APE ≌?AFE,一旦证明了?APE ≌?AFE,则可根据两全等三角形同一条边上的高相等得出AB=AG 。 证法一：过A 作∠EAP=∠EAF=45o，交CB 的延长线于P ， 则 ∠PAF=45o+45o=90o ，∴ ∠1=∠2 ，∴ ?APB ≌?ADF ,AP=AF ， 作 AG ⊥EF ，于是有 AG AB AEF APE EAF PAE AE AE AE AP =??????? ? ???=∠=∠==45 ， ∴ EF AB AG AB EF AB EF AG AB S S EAF ABCD 222 12=?=?= 。 分析二（三角法）： 设正方形的边长为1，并设 ∠BAE=φ ,则 ∠DAF=45o-φ ,∴ AE=φ cos 1 , AF= φ φφφφsin cos 2 sin 45sin cos 45cos 1)45cos(1+= ?+?=-? ， ∴ ???=45sin 21 AF AE S AEF 22 sin cos 2cos 121? +??=φφφ ) sin (cos cos 21 φφφ+= ，
2 用解析法求解初等平面几何问题
2 用解析法求解初等平面几何问题 在初等几何的教学中, 常常遇到不同类型的证明题, 一般情况下, 用初等几何有关定义、定理处理比较方便, 但有些题目却要添加辅助线, 发掘隐含条件等高技巧的特殊处理措施, 初学者解题时常遇到困难.如果采用解析法, 有些问题思路反而清晰简单, 具有独特的优点.以下将常见的不同类型证明题的思路加以罗列, 于读者共同研究分析. 平面上建立直角坐标系后, 点与有序实数对),(b a 建立了一一对应关系, 直线和圆分别对应与某确定的二元方程.这样, 就可以将几何问题转化为代数问题.将代数问题解决而得到几何问题的证明, 这就是解析法的证明方法.平面解析几何是借助平面坐标系, 利用代数方法来研究平面图形性质的一门学科.通过建立平面坐标系, 平面内的点均可用坐标表示出来, 从而平面图形的性质可以表示为图形上点的坐标之间的关系, 特别是代数关系, 以此实现几何问题与代数问题的相互转化.下面通过两个例题来分析解析法的基本思想方法和解题过程. 例8 证明：三角形的三条高交于一点[3]. AD 已知, EF , CF 分别是ABC ?的三边上 的高, 求证：AD , BE , CF 相交于一点. 证明 如图4所示, 以BC 边为x 轴, BC 边 上的高AD 为y 轴建立直角坐标系.不防设A , B , C 三点的坐标分别为(0,)A a , (,0)B b , (,0)C c .根 据斜率公式得, AB b K a =-, CA a K c =-, 0BC K =,
又根据两直线垂直的充要条件及直线点斜式方程, 容易求出三条高所在的直线方程分别为 :0AD x =, :0BE cx ay bc --=, :0CF bx ay bc --=. 这三个方程显然有公共解, 0x =, bc y a =- , 从而证明了三角形的三条高相交与一点. 例9 一个面积为232cm 的平面凸四边形中, 两条对边与一条对角线的长度之和为cm 16试确定另一个对角线的所有可能的长度[3]. 解 如图5, 建立直角坐标系, 并设平面凸四边形的4个顶点的坐标分别为 )0,(a A -, (,)B b b '-, (,0)C c , (0,).D d 根据已知条件有 11()3222 ABCD S c a d c a b '=+++=（）, ||||||AB CD AC + += ()16a c +=.即有 ?????+-=++++='++) (16)(64)(2222c a d c b b a b d a c ）（ )2()1( 根据图5可知 2b d '+≤ )3( 由(1), (2), (3)得()[16()]64a c a c +-+≥, 即2[()8]0c a +-≤, 所以.8=+a c 且上述不等式只能取等号, 于是得 8b d '+=, 0c =, 0a b +=.由此可知, 8a =, 8b =-.所以, 另一条对角线BD 的长度为||BD = )cm =. 从上述两题的解题过程不难看出, 其解 法的关键在于通过建立坐标系, 把原来的几何问题转化成了代数(计算)问题.也就是借助于坐标系, 在点曲线与数组(方程)之间建立起对应关系, 以次来实现几X Y 图5
第56讲 解析法证几何题
第56讲 解析法证 几何题 解析法是利用代数方法解决几何问题的一种常用方法．其一般的顺序是：建立坐标系，设出各点坐标及各线的方程，然后根据求解或求证要求进行代数推算．它的优点是具有一般性与程序性，几何所有的平面几何问题都可以用解析法获解，但对于有些题目演算太繁． 此外，如果建立坐标系或设点坐标时处理不当，也可能增加计算量．建系设点坐标的一般原则是使各点坐标出现尽量多的0，但也不可死搬教条，对于一些“地位平等”的点、线，建系设点坐标时，要保持其原有的“对称性”． A 类例题 例1．如图，以直角三角形ABC 的斜边AB 及直角边BC 为边向三角形两侧作正方形ABDE 、CBFG ． 求证：DC ⊥F A ． 分析 只要证k CD ·k AF ＝－1，故只要求点D 的坐标． 证明 以C 为原点，CB 为x 轴正方向建立直角坐标系．设A (0 ，
a)，B(b，0)，D(x，y)． 则直线AB的方程为ax＋by－ab＝0． 故直线BD的方程为bx－ay－(b·b－a·0)＝0， 即bx－ay－b2＝0． ED方程设为ax＋by＋C＝0． 由AB、ED距离等于|AB|，得 |C＋ab| a2＋b2 ＝a2＋b2， 解得C＝±(a2＋b2)－ab． 如图，应舍去负号． 所以直线ED方程为ax＋by＋a2＋b2－ab＝0． 解得x＝b－a，y＝－b．(只要作DH⊥x轴，由△DBH≌△BAC就可得到这个结果)． 即D(b－a，－b)． 因为k AF＝b－a b，k CD＝ －b b－a ，而k AF·k CD＝－1．所以DC⊥F A． 例2．自ΔABC的顶点A引BC的垂线，垂足为D，在AD上任取一点H，直线BH交AC于E，CH交AB于F． 试证：AD平分ED与DF所成的角． 证明建立直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)， H(0，h)，于是
(完整word版)解析几何的解题思路、方法与策略
解析几何的解题思路、方法与策略 高三数学复习的目的， 一方面是回顾已学过的数学知识， 进一步巩固基础知识， 另一方面， 随着学生学习能力的不断提高， 学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复， 而是有对所学知识进一步理解的需求， 如数学知识蕴涵的思想方法、 数学知识之间本质联系等等， 所以高三数学复习既要“温故” ， 更要“知新” ， 既能引起学生的兴趣， 启发学生的思维, 又能促使学生不断提出问题, 有新的发现和创造, 进而培养学生问题研究的能力． 以“圆锥曲线与方程"内容为主的解题思想思路、方法与策略是高中平面解析几何的核心内容， 也是高考考查的重点．每年的高考卷中，一般有两道选择或填空题以及一道解答题， 主要考查圆锥曲线的标准方程及其几何性质等基础知识、基本技能及基本方法的灵活运用， 而解答题注重对数学思想方法和数学能力的考查，重视对圆锥曲线定义的应用, 求轨迹及直线与圆锥曲线的位置关系的考查． 解析几何在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点．通过以圆锥曲线为主要载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强．基于解析几何在高考中重要地位,这一板块知识一直以来都是学生在高三复习中一块“难啃的骨头" ．所以研究解析几何的解题思路,方法与策略，重视一题多解，一题多变，多题一解这样三位一体的拓展型变式教学，是老师和同学们在高三复习一起攻坚的主题之一．本文尝试以笔者在实际高三复习教学中,在教辅教参和各类考试中遇到的几道题目来谈谈解析几何解题思路和方法策略． 一、一道直线方程与面积最值问题的求解和变式 例1 已知直线l 过点(2,1)M - ,若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，O 为坐标原点. （1）设AOB ∆的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程； （2）求OA OB +最小值； (3)求M MA B ⋅最小值． 解：方法一:∵直线l 交x 轴负半轴，y 轴正半轴，设直线l 的方程 为 (2)1(0)y k x k =++>，∴）（0,1 2k k A -- )12,0(+k B ， （1）∴4221 22)12(2≥++=+= k k k k S , ∴当 1)22=k （时,即412=k ,即 21=k 时取等号，∴此时直线l 的方程为22 1 +=x y 。 （2）322321 1221+≥++=+++= +k k k k OB OA ,当且仅当22k =时取等号；
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2023年上海市15区中考数学一模汇编 专题06图形的变化，新定义（27题） 一．选择题（共1小题） 1．（2022秋•徐汇区期末）阅读理解：我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集：同样，如果引进“虚数”实数集就扩展到“复数集”现在我们定义：“虚数单位”，其运算规则是：i1＝i，i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，i5＝i，i6＝﹣1，i7＝﹣i，则i2019＝（） A．1B．﹣1C．i D．﹣i 二．填空题（共26小题） 2．（2022秋•黄浦区校级期末）如图，图中提供了一种求cot15°的方法．作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝30°，再延长CB到点D，使BD＝BA，联结AD，即可得∠D＝15°．如果设AC＝t，则可得CD＝（2+）t，则cot15°＝cot D＝＝2+．用以上方法，则cot22.5°＝． 3．（2022秋•黄浦区校级期末）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，cos B＝，点P是斜边AB上一点，过点P作PM⊥AB交边AC于点M，过点P作AC的平行线，与过点M作AB的平行线交于点Q．如果点Q恰好在∠ABC的平分线上，那么AP的长为． 4．（2022秋•嘉定区校级期末）点A、B分别在△DEF的边DE、EF上，且∠DEF＝90°，，∠EBA＝45°（如图），△ABE沿直线AB翻折，翻折后的点E落在△DEF内部的点C，直线DC与边EF相交于点H，如果FH＝AD，那么cot D＝． 5．（2022秋•徐汇区校级期末）在同一平面直角坐标系中，如果两个二次函数y1＝a1（x+h1）2+k1与y2＝a2（x+h2）2+k2的图象的形状相同，并且对称轴关于y轴对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数．如二次函数y＝（x+1）2﹣1与y＝（x﹣1）2+3互为梦函数，写出二次函数y＝2（x+2）2+1的其中一个梦函数．6．（2022秋•徐汇区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，M为AB的中点，将Rt△ABC绕点M旋转，使点C与点B重合得到△DEB，设边BE交边CA于点N．若BC＝2，AC＝3，则AN＝． 7．（2022秋•浦东新区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，点D是AC的中点，点E
平面几何问题的复数解法.许兴华
平面几何问题的复数解法.许兴华 复数是高中数学的重要内容之一,在中学数学中,有许多数学问题,如果我们能够根据题目的具体特征,将其转化为复数问题,那么这类数学问题往往可以得到复巧解妙证. 用复数方法解解平面几何的基本思路是,首先运用复数表示复平面上的点,然后利用复数的模和幅角的有关性质,复数运算的几何意义以及复数相等的条件,化几何问题为复数问题来处理. 1.用于证三角形为正三角形 典型1.求证:若三角形重心与其外心重合,则该三角形必 为正三角形. 证明思路分析以三角形的相重合的外心(重心,为原点O建立起复平面上的直角坐标系.设表示三角形的三个顶点,其对应的复数是 因O为外心,故又O为重心，故即 于是由得 即 同理可得： 故在复平面上是正三角形. 2.用于证明几何中的角度相等 典型2.已知正方形OBCD中（如图），E是CD的中点，F是CE 的中点，求证：.
证明思路分析建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设 则 是与的夹角，有 又 即. 3.用于证明几何中的不等式 典型3.在凸四边形ABCD中，求证： .
证明思路分析建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设C,D,A对应的复数分别是则 4.用于求解几何中的轨迹问题 典型4.如图，A是定圆C外的一点，P是定圆C上的一动点，以AP为一边作正三角形APQ，求点Q的轨迹. 证明思路分析建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设 圆的半径为r,则 于是， 即 整理得： 因此，点Q的轨迹是圆：当点Q在AP上方时，式取“－”号； 当点Q在AP下方时，式取“＋”号.
典型5.设A是定圆C外的一点，P是定圆C上的一动点，以AP为一边作正方形APMN，求点M的轨迹. 此题的证明思路分析完全类似于“典型4”，有兴趣的读者可试一试。
解析几何题的复数解法
解析几何题的复数解法 作者：匡海庆 来源：《新课程·中旬》2013年第08期 复数z=a+bi（a、b∈R）与有序实数对Z（a，b）是一一对应关系，有序实数对Z（a，b）与平面直角坐标系中的点Z是一一对应的（这个直角坐标平面称作复平面），复平面中的每一个点Z又与向量一一对应。这样复数z=a+bi（a、b∈R）、有序实数对Z（a，b）、复平面内的点Z及向量就建立了如图1所示的对应关系。 根据上述对应关系可知，平面直角坐标系是沟通复数与平面解析几何的桥梁。有些解析几何问题若用解析法去解，计算量相当大，当我们把直角坐标系所在平面看成是复平面时，就可以将平面解析几何的有关问题转化为复数问题来解决，利用复数的几何意 义或向量运算，既可以简化解题过程，又避免了繁杂的运算，运用得当，可以大大提高解题速度和准确率。 一、利用复数进行几何证明 【例1】如图2，△ABC在x轴上方，B、C对应的点的坐标分别为（a，0）、（-a，0），（a∈R），以AB、AC为腰，在△ABC外分别作等腰直角三角形ABD、ACE（B、C为直角顶点）。试证：DE的中点M为定点。 证明：把直角坐标平面看成是复平面，设A对应的复数为z，则对应于复数z-a，对应于复数z+a， 因△ABD、△ACE为等腰直角三角形， 故∴M为定点. 【点评】要证M为定点，需求出点M的坐标，用解析法计算量相当大，本题巧妙应用复数运算的几何意义，既直观，且运算量 很小。 二、利用复数进行几何运算 【例2】如图3，已知正方形ABCD的相对顶点A、C的坐标分别为A（0，-1）、C（2，5），求另两个顶点B、D的坐标。
由线段的中点坐标公式，得点D的坐标为（-2，3）. 【点评】此题利用复数加法、减法、乘法的几何意义解决思路简单清晰，而且运算量比直接用解析法解决要小得多。 三、利用复数求动点的轨迹 【例3】已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A （-1，0）和B（0，8）关于直线l的对称点都在抛物线C上，求直线l和抛物线C的方程。（1994年全国高考题） 解：如图4所示，设抛物线的方程为y2=2px（p>0），点A关于直线l的对称点A′对应的复数为a+bi（a，b∈R），则点B关于直线l的对称点B′对应的复数为 【点评】当动点（或定点）在已知曲线（直线、圆、双曲线、抛物线）上，则点的坐标满足曲线方程，因此常可用代入法获解，本题中的A′、B′在抛物线上，因此代入抛物线方程即可得到a、b的一个关系式。这题的解答体现了用复数代入法求动点轨迹的解题思路。 【例4】已知一定圆C与圆外一定点O，在圆上任取一点Q，以OQ为边作正△OQR（按逆时针方向），求动点R的轨迹方程。 解：以OC所在的直线为x轴，点O为原点建立如图5所示的直角坐标系，设OC=a（a 为常数），圆C的半径为r（r为常数），则圆C的方程为（x-a）2+y2=r2，设点Q的坐标为（x1，y1），R（x，y），则 【点评】因为△OQR为正三角形，所以用复数乘法的几何意义，很容易就能找到OR、OQ所对应复数的关系。以Q点所对应的坐标为参数，建立参数方程，再用代入法消去参数，即可得到答案。本题在解题过程中，也体现了用复数参数法求动点轨迹的数学思 想方法。 俗话说：“他山之石，可以攻玉。”我们在数学学习过程中，要将各部分知识融会贯通，解题时当一种方法行不通时，及时地调整思路。就如我们在解解析几何问题，当用解析法求解出现困难时，换用复数法求解，有时会使问题变得简单、直接，而且计算量小，准确性高。 （作者单位江苏省司法警官高等职业学校）
数形转换之二──以“形”助“数”
数形转换之二──以“形”助“数” 根据解决问题的需要，常把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论，即把抽象的“数”结构与形象的“形”结构联系起来，化抽象为直观，通过对图形的研究，常能发现问题的隐含条件，诱发解题线索，使 求解过程变得简捷直观． (一)用几何法解代数问题 例11 已知正数a、b、c、A、B、C满足a＋A=b＋B=c＋C=k．求证：aB＋bC＋cA＜k2． 思路分析不等式左边是二次三项式，联想到三角形的面积，可以构造以k为边长的正三角形PQR(如图12)，在边上取L、M、N，根据已知条件，使QL＝A，LR＝a，RM＝B，MP＝b，PN=C，NQ＝c．则 由图显见S△LRM+S△MPN+S△NQL＜S△PQR． 即aB＋bC＋cA＜k2． 有唯一的一组解． 思路分析由已知联想到：“等边三角形内任一点到三边的距离之和等于它的高(维维安尼定理)．”所以作边长为1的等边三角形ABC，
=1(左边的两项刚好是垂足F分线段BC所成线段BF和FC 的长，而BF＋FC=BC=1)． 同理，另两个方程也成立．再由作图知P唯一，故方程组的解唯一． (二)用几何法解三角问题 思路分析这是三角中的一道难题，我们用几何法作如下试探： 思路分析先化简结论得
与x轴夹角分别为x、y、z，则最右端小矩形面积为 sinx(cosx-cosy)． 同理可得另外两个矩形面积分别为siny(cosy-cosz)，sinzcosz．由 图15易知，三个矩形的面积的和小于四分之一圆的面积，即 (二)用几何法解三角问题 思路分析这是三角中的一道难题，我们用几何法作如下试探：
高中数学常用的数学思想——数形结合
高中数学常用的数学思想 一、数形结合思想方法 中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。 数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。 恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。 数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。 Ⅰ、再现性题组： 1.设命题甲：0
利用复数妙解三角几何等问题
利用复数妙解三角几何等问题 摘要 复数在高中涉及的知识点较少，在高考中占据的分数也不多，但却是很有特色的内容。因为复数的代数形式、几何形式、向量形式、三角形式以及指数形式与三角、几何、代数等学科有着密切的联系。本文罗列了复数的代数形式、几何形式、向量形式、三角形式以及指数形式，从解三角函数、几何、不等式、方程等几个问题论述复数在解决非复数数学问题的具体应用，充分认识、深刻理解、熟悉掌握和灵活运用复数的几个表示形式去解答，对学生的创新性思维素质和能力的培养具有重要意义。 关键字：复数；形式；解题；妙解 复数是高三最后一章的内容，短短几页，只有三节，但在高考中却占着一定的分值。高考中复数主要是以选择题与填空题的形式出现，只要掌握了复数的概念以及运算规律，就很容易得出答案。因此，教材的编排只简单介绍了复数的概念，复数的运算以及数系的扩充，没有作过多的介绍，其三角形式和指数形式只是在背景材料中提到过，并没有作详细的介绍。但在实际应用中，很多的数学问题，比如：三角问题、几何问题等我们也可以用复数的知识去解答。在高中数学中，复数把三角、平面几何、解析几何、代数在一定的程度上相互链接起来了，那我们应该如何巧妙地利用复数的不同表示形式去解答这类问题呢下面分别对这几方面进行探究。 1 复数的不同表示形式简介 复数的代数形式 复数的代数形式表示为z x yi （其中x、y 为实数），其中“ i ”叫做虚数单位，i2 1 , X和y分别叫做复数的实部和虚部。
复数的几何形式 图 在复平面上，每一个复数z x yi都能够由复平面上坐标为（x , y ）的点来表示，复数集C和复平面上的点所称的集合之间建立了一个—对应的关系： “任何一个复数z x yi都可以由复平面的唯一的一个点（x，y ）来表示，反之，复平面内的任何一个点（x，y ）都可以表示唯一的复数z x yi。” 复数z x yi 一一对应复平面内的点（x，y），这就是复数的几何表示形式。 复数的向量形式 我们知道，任何一个复数都与平面直角坐标系中的点构成一一对应的关系，即：复数z x yi 一一对应复平面内的点M（x，y ），而点M（x,y）一一对应平面向量。所以，复数z x yi 一一对应平面向量OM，也就是说复数z x yi 也可以用起点为原点，点M （x，y ）为终点的向量OM表示，OM这个向量即是复数的向量表示形式。 复数的三角形式y 设复数z a ib对应于对应于向量OP ,其中P的坐标为（a,b），如图，其中 a r cos b rsin ，所以z a ib r cos ir sin r(cos i sin )。我们 1复数的指数形式
数学社会调查报告(共3篇)
数学社会调查报告（共3篇） 第1篇：高中数学社会需要调查报告 高中数学社会需要 调查报告 2021年4月19日 1 文档仅供参考，不当之处，请联系改正。 高中数学社会需要调查报告 ( -11-17 15:09:52) “高中数学课程标准”（以下简称“标准”）正在积极、紧张地讨论和制订过程中。为了更广泛地了解社会各主要行业对高中数学课程和内容的需求，为“标准”的制订提供依据，我们在大学和社会生活中的理、工、文、农（含林、医）、经济等行业中选择了有代表性的方向进行了调查和研究。现将有关结论综述如下。 一、调查的对象、内容和调查方式 本次调查，我们选取了理科的物理、化学、计算机，工科的工程、机械、电工、无线电，文科的文学、艺术、历史、政治，农科的农业、林业、渔业、地理，以及经济学等专业作为主要调查对象。调查内容见附录一。调查采用问卷调查、走访提问、资料搜集等形 式。二、调查结论（一）对数学的认识 调查结果显示，数学在现代社会生产、生活各个方面的应用越来越广泛，数学已经渗透到各行各业。从卫星到核电站，从天气预报到家居生活，高技术的高精度、高速度、高自动、高质量、高效率等特点，无不是经过数学模型和数学方法，借助计算机的控制来实现的。产品和工程的设计与制造，产品的质量控制，经济和科技中的预测和管理，信息处理，资源开发和环境保护，经济决策等，无不需要数学的应用。另外，数学文化、数学的思想方法，也处处影响人们的生产和生活。（二）对现行高中数学教学内容使用情况的调查 本次调查把现行高中数学教材（必修本）和原两省一市，现二十几个省（区、
市）使用的高中数学教材的１５部分内容分为经常见到、有时用到、偶然用到和不用等四个方面进行调查（见附录一）。调查结果如下（各方面的意见不一致，结果只是大致统计）。 经常见到： 集合与简易逻辑，函数的解析式和图象，幂函数，指数函数，不等式的性质，解一元二次不等式，不等式的证明，解任意三角形，数列的通项公式，等差数列，等比数列，曲线与方程，直线方程，二元一次不等式的图象解法，简单线性规划问题，平面图形直观图的画法，分类计数原理，分步计数原理，排列及排列数公式，组合及组合数公式，概率的 2 2021年4月19日 文档仅供参考，不当之处，请联系改正。 意义，等可能事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，独立重复试验发生的概率，离散型随机变量分布列、期望值、方差，抽样方法，正态分布，线性回归，数列的极限，函数的极限，函数的连续性，导数的意义，初等函数的导数，函数的最大值与最小值，简单函数的不定积分，图形的面积计算，图形的体积。 有时用到： 映射，反函数，指数函数，对数函数，数学归纳法，平面向量的运算，平面向量的坐标表示，平面向量的数量积，三角函数的诱导公式，三角函数的图象和性质，圆的方程，抛物线及其标准方程，平面及其基本性质，空间向量及其运算，用空间向量处理几何问题，总体分布的估计，复合函数的求导，微分的运算，利用导数研究函数的性质，求简单函数的定积分，微积分基本公式，积分的其它应用，解指数不等式，复数的向量表示。 偶然用到： 解无理不等式，解对数不等式，直线与平面的位置关系，多面体，棱柱，球，椭圆及其标准方程，双曲线及其标准方程，椭圆、双曲线、抛物线的简单几何性质，二项式定 理，复数的运算。 基本不用：
高中理科数学解题方法篇(求异思维)
第二轮讲练思维方法·求异思维 所谓求异思维是一种不依常规、寻求变异、从多方面探索答案的思维形式．求异思维又叫发散思维，它具有不落俗套、标新立异、不拘一格的特点．因此，用求异思维解题有利于培养思维的多向性、灵活性和独特性． 在平面解析几何中，培养学生的求异思维能力，要注意以下几个方面． (一)变换思维方向 解证解析几何习题，常常会出现“思路自然、运算麻烦”的局面，甚至会到“山穷水尽疑无路”的地步．这时，若能变换思维角度，多方位思考，多渠道辟径，就会超过思维障碍，呈现“柳暗花明又一村”的美景． 例1 已知点A(1，-1)、B(7，2)，以A为圆心、8为半径作⊙A，以B为圆心，6为半径作⊙B，求这两个圆外公切线交点P的坐标． 【分析】如图1－4．解本题的自然思路是，先求出两条外公切线的方程，再解方程求出交点坐标．但这种解法是入手容易出手难，由于运算量过大，使思维陷入困境．如果能换一个角度思考，联想到公切 径之比)，那么 便可用线段定比分点公式，使问题获得巧解． 【解】如图1－4，设M、N是一条外公切线与两个圆的切点，连结AB、BP，则A、B、P三点共线，再连结AM、BN，则AM⊥MP、BN⊥MP． ∴ BN∥AM．
设点P的坐标为(x，y)，则由线段定比分点公式，得 故点P的坐标为(25，11)． 例2 如图1－5，直线y=kx＋b与圆x2+y2=1交于B、C两点，与双曲线x2-y2=1交于A、D 两点，若B、C恰好是线段AD的三等分点，求k与b的值． 【分析】如图1－5，解本题的自然思路是，由|AB|=|BC|=|CD|入手，先计算出|AB|、|BC|、|CD|(即用k、b表示)，然后解方程组求得k、b的值．但由于线段AB、CD的端点不在同一曲线上，从而上述解法运算相当麻烦．如果变换思考角度，由|AB|=|CD|出发，可得线段BC与AD的中点重合，进而可用韦达定理，列出k、b的一个关系式，再 【解】如图1－5，把y=kx+b代入x2-y2=1中，整理，得 (1+k2)x2+2bkx+b2-1=0 ① 从而由韦达定理，得 把y=kx+b代入x2-y2=1中，整理，得 (1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0 ②
2024届重庆育才中学高三下学期3月联考(文理)数学试题
2024届重庆育才中学高三下学期3月联考（文理）数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．△ABC 中，AB ＝3，BC 13=，AC ＝4，则△ABC 的面积是（ ） A ．33 B ． 33 2 C ．3 D ． 32 2．函数的图象可能是下面的图象( ) A ． B ． C ． D ． 3．在10 1()2x x -的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120 B ．120 C ．-15 D ．15 4．设复数z 满足12 z z z +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =- 5．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6 π ,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A ． 12 B ．32 - C ．12 - D ． 32 6．已知正三角形ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，并满足2AE CF =，则DE DF ⋅的取值范围是（ ） A ．11 [, ]216 - B ．1(, ]16 -∞ C ．1[,0]2 - D ．(,0]-∞ 7．已知抛物线2 :2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（设点A 位于第一象限），过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点1A ，1B ，抛物线C 的准线交x 轴于点K ，若 11|| 2|| A K B K =，则
2023届江苏省南通市海安市实验中学高三下学期开学考试数学试题(解析版)
2023届江苏省南通市海安市实验中学高三下学期开学考试数学试题 一、单选题 1．若2(1i)1i z +=-，则z =（ ） A ．1i 22 - B ．1i 22-- C ．1i 22+ D ．1i 22 -+ 【答案】B 【分析】根据题意，由复数的运算即可得到结果. 【详解】因为2 (1i)1i z +=-，则() ()2 21i i 1i 1i i 11i 2i 2i 222 1i z -⨯--+= = ===---+ 故选:B 2．设集合{}{} 2 |1,|4M x x N x x =<-=<，则()M N ⋃=R （ ） A ．{}2x x >- B ．{}12x x -≤< C ．{}1x x ≥- D ．{}2x x < 【答案】A 【分析】根据题意，将集合N 化简，然后由集合的运算即可得到结果. 【详解】因为{}{}2 |422N x x x x =<=-<<， 且{}1M x x =≥-R ，所以{}()2M N x x ⋃=>-R 故选:A 3．如图所示是我国古代舂米用的一种青石制成的石臼，其外形是正四棱台，糙米(杂粮等)放在中间凿出的半球内，利用石锤等工具对糙米进行加工．已知该石臼上口宽和高都等于0.8m ，下底边长与球的直径都等于0.6m ，则该石臼的体积约为(参考数据：π 3.14≈)（ ） A ．0.213m B ．0.283m C ．0.343m D ．0.463m 【答案】C 【分析】根据台体体积公式和球的体积公式求解.
【详解】正四棱台的体积为 ()() 1121211 0.640.360.640.360.80.4033 V S S S S h = ++=++⨯⨯≈3m ， 半球的体积为33 1414π 3.140.30.062323R ⨯=⨯⨯⨯≈3m ， 所以该石白的体积约为0.400.060.34-=3m ， 故选:C. 4．在ABC 中，2AB DA =，2CE EA =，直线DE 与直线BC 交于点F ．设AB a =，AC b =，则DF ＝（ ） A ．21 93a b + B ．51 93 a b + C ． 93 105a b + D ．23 510 a b + 【答案】C 【分析】根据题意，可得21 33 DE DA DC =+，再由,,F B C 三点共线，利用共线定理求解即可. 【详解】如下图所示： 由题可知，() 2221 3333 DE DC CE DC CA DC CD DA DA DC =+=+=++=+， 由共线定理可知，存在实数λ满足()1DF DB DC λλ=+-， 又因为2AB DA =，所以3DB DA =， 因此()31DF DA DC λλ=+-， 又21 33 DE DA DC =+与()31DF DA DC λλ=+-共线， 所以 3211 λλ=-，解得2=5λ， 则() 23233 55525 DF DB DC AB DA AC =+=⨯++ 3313 5525 AB AB AC = +⨯+