高等数学上册-知识点总结
大一高数上知识点总结
大一高数上知识点总结高等数学是大一学生必修的一门课程，也是大学数学学科体系的重要基础课程之一。
本文将对大一高等数学上的知识点进行总结，以帮助同学们更好地掌握和应用这些知识。
一、函数与极限1. 函数的概念与性质：函数的定义、定义域、值域等。
2. 函数的运算与初等函数：四则运算、函数的复合、反函数等。
3. 极限的概念与性质：数列极限、函数极限的定义、性质与判定方法。
4. 极限的计算：两个基本极限、无穷小量、无穷大量及其性质。
5. 函数的连续性与间断点：连续函数的定义与性质、间断点的分类及其判定。
二、导数与微分1. 导数的定义与性质：导数的定义、导数的性质及运算法则。
2. 导数的计算：常见函数的导数、高阶导数、隐函数求导等。
3. 导数的应用：函数的单调性、凹凸性及其判定、函数的极值与最值问题。
4. 高阶导数与泰勒展开：高阶导数的定义与计算、泰勒公式的应用。
5. 微分的概念与性质：微分的定义、微分形式及应用。
三、定积分与不定积分1. 定积分的概念与性质：定积分的定义、性质与运算法则。
2. 定积分的计算：牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法等。
3. 定积分的应用：曲线与曲面的长度、旋转体的体积、质量、质心等问题。
4. 不定积分的概念与性质：不定积分的定义、性质与基本积分表。
5. 不定积分的计算：基本积分公式、凑微分法、分部积分法等。
四、微分方程1. 微分方程的基本概念：微分方程与方程、一阶常微分方程及其解的概念。
2. 一阶线性微分方程：可分离变量的微分方程、一阶齐次线性微分方程等。
3. 一阶高阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程、二阶常系数非齐次线性微分方程等。
4. 常微分方程数值解法：欧拉法、改进欧拉法、四阶龙格-库塔法等。
五、多元函数与偏导数1. 多元函数的概念与性质：多元函数的定义、定义域、图像等。
2. 偏导数的定义与计算：偏导数的定义、偏导数的性质与计算方法。
3. 梯度与方向导数：梯度的定义与性质、方向导数的定义与计算。
大一上册高数知识点总结
大一上册高数知识点总结大一上册的高等数学是大学理工科专业中的一门重要课程。
在这门课程中，我们学习了许多重要的数学知识点。
本文将对大一上册高等数学的知识点进行总结。
1. 极限与连续极限是高等数学中最基础的概念之一。
我们学习了极限的定义、性质以及计算方法。
在计算极限时，我们需要运用等价无穷小、洛必达法则等方法。
此外，我们还学习了连续性的概念和连续函数的性质。
2. 导数与微分导数是函数变化率的度量，我们学习了导数的定义、性质以及基本的导数计算法则。
在求导过程中，我们需要掌握常见函数的导数表达式，并应用导数进行函数的图像绘制、最值求解以及应用问题的分析。
3. 微分中值定理与导数应用微分中值定理是导数的一个重要应用，包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。
我们学习了如何运用这些定理解决给定函数的相关问题，如证明函数在某个区间内的存在唯一性、证明函数的性质等。
4. 不定积分与定积分不定积分是导数的逆运算。
我们学习了基本积分表达式、分部积分法、换元积分法等不定积分的计算方法。
定积分是曲线下面积的度量，我们学习了定积分的定义，掌握了定积分的计算方法，如定积分的性质、换元积分法、分部积分法等。
5. 微分方程微分方程是含有未知函数及其导数的方程，我们学习了线性微分方程、常系数齐次线性方程、非齐次线性方程等微分方程的解法。
在解微分方程时，我们使用了常系数齐次线性方程的特征根法、非齐次线性方程的特解法等。
6. 多元函数及其极限多元函数是含有多个自变量的函数。
我们学习了多元函数的极限的定义与性质。
在计算多元函数的极限时，我们要根据极限定义进行分析，并掌握函数极限的计算方法。
7. 偏导数与全微分偏导数是多元函数的导数。
我们学习了偏导数的定义与性质，并且了解了高阶偏导数的概念。
全微分是多元函数在某点附近的线性逼近，我们学习了全微分的定义、计算方法以及全微分与偏导数的关系。
8. 多元函数的极值与条件极值多元函数的极值问题是高等数学中的一个重要应用问题。
高等数学知识点总结大一上
高等数学知识点总结大一上在大一上学期的高等数学课程中，我们学习了许多重要的数学知识点，这些知识点构成了我们进一步学习数学的基础。
在本文中，我将对大一上学期学习的高等数学知识点进行总结。
一、极限与连续在高等数学中，极限与连续是一个重要的概念。
极限是描述函数趋于某个值的过程，而连续则是函数在某个区间内没有断裂或间断点。
通过学习函数的极限与连续，我们可以更好地理解函数在不同点的性质，例如函数的单调性与凸凹性等。
二、导数与微分导数是描述函数局部变化率的概念，它可以通过极限的方法得到。
微分是导数的一种应用，它可以帮助我们解决一些实际问题，例如求函数的最大值、最小值或者函数图形的切线方程等。
在学习导数与微分的过程中，我们还学习了一些常见的基本函数的导数公式，这些公式对于计算导数提供了方便。
三、不定积分与定积分不定积分是对导数的逆运算，它可以帮助我们求函数的原函数。
定积分是对函数在某一区间内的累积量的一种描述，它可以用来计算曲线下的面积或描述一些物理问题中的累积变量。
通过学习不定积分与定积分，我们可以更好地理解函数的积分性质和应用。
四、多元函数与偏导数多元函数是一种依赖多个变量的函数。
学习多元函数的过程中，我们主要关注它的偏导数。
偏导数是描述多元函数在某个特定变量上的变化率，可以帮助我们确定函数在某个方向上的变化趋势。
通过学习多元函数与偏导数，我们可以更深入地研究多变量问题，并掌握解决相关实际问题的方法。
五、向量与空间解析几何向量是一种具有大小和方向的量，它在几何学和物理学中有着广泛的应用。
在高等数学中，我们学习了向量的基本运算法则和一些几何性质，例如向量的模、单位向量、向量的内积与外积等。
空间解析几何是利用向量进行几何分析和运算的一种方法，通过学习空间解析几何，我们可以更好地理解几何图形在空间中的性质和变换。
六、级数级数是一种数列求和的方法，它在高等数学中有着重要的地位。
我们学习了级数的概念、收敛与发散的判定方法，以及级数求和的各种常用技巧。
(完整版)高等数学上册知识点
高等数学上册第一章 函数与极限、、、函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数在连续)(x f 0x )()(lim 00x f x f x x =→第一类：左右极限均存在。
间断点 可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。
无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。
、、、极限1、定义1、数列极限εε<->∀N∈∃>∀⇔=∞→axNnNaxnnn,,,0lim2、函数极限δδε-<-<∀>∃>∀⇔=→AxfxxxAxfxx)(,,0,0)(lim、、、左极限：右极限：)(lim)(xfxfxx-→-=)(lim)(xfxfxx+→+=)()()(lim+-→=⇔=xfxfAxfxx、、2、极限存在准则1、夹逼准则：1）)(nnzxynnn≥≤≤2）azynnnn==→∞→∞limlim axnn=∞→lim2、单调有界准则：单调有界数列必有极限。
3、无穷小（大）量1、定义：若则称为无穷小量；若则称为无穷大lim=α∞=αlim量。
2、无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小kTh1 ;)(~ααββαo+=⇔Th2 （无穷小代αβαβαβββαα''=''''lim lim lim,~,~、、、、换）4、求极限的方法1、单调有界准则；2、夹逼准则；3、极限运算准则及函数连续性；4、两个重要极限：a) b)1sin lim 0=→xxx e xx xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 105、无穷小代换：（）0→x a)xx x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b)221~cos 1x x -c)（）x e x ~1-a x axln ~1-d)（）x x ~)1ln(+a xx a ln ~)1(log +e)x x αα~1)1(-+第二章 导数与微分、、、导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数在点可导)(x f 0x )()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：为曲线在点处的切线的)(0x f ')(x f y =())(,00x f x 斜率。
高数上知识点总结
高数上知识点总结高数上知识点总结导语：当你一个人的时候，别想两个人的事，把回忆丢在一旁，当你一个人的时候，只想高兴的事，把忧伤抛在脑后，当你一个人的时候，来到一个人的浪漫，释放你的情感，敞开你的情感，敞开你的心灵。
以下小编为大家介绍高数上知识点总结文章，欢迎大家阅读参考!高数上知识点总结高等数学是考研数学的重中之重，所占分值较大，需要复习的内容也比较多。
主要包括8方面内容。
1、函数、极限与连续。
主要考查分段函数极限或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。
2、一元函数微分学。
主要考查导数与微分的求解;隐函数求导;分段函数和绝对值函数可导性;洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的根;证明函数不等式;罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理及辅助函数的构造;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。
3、一元函数积分学。
主要考查不定积分、定积分及广义积分的`计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明题;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。
4、向量代数和空间解析几何。
主要考查求向量的数量积、向量积及混合积;求直线方程和平面方程;平面与直线间关系及夹角的判定;旋转面方程。
5、多元函数微分学。
主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;二元、三元函数的方向导数和梯度;曲面和空间曲线的切平面和法线;多元函数极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。
6、多元函数的积分学。
这部分是数学一的内容，主要包括二、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序;第一型曲线和曲面积分计算;第二型(对坐标)曲线积分计算、格林公式、斯托克斯公式;第二型(对坐标)曲面积分计算、高斯公式;梯度、散度、旋度的综合计算;重积分和线面积分应用;求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。
高数知识点总结大一上册
高数知识点总结大一上册1. 介绍高等数学是大一上学期的重要课程之一，它是大学数学的基础，为学习后续数学课程打下坚实的基础。
本文将对大一上学期的高等数学知识点进行总结，帮助大家复习和回顾学习的内容。
2. 函数与极限2.1 函数的概念函数是一种对应关系，每个自变量对应唯一的因变量。
常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数等。
2.2 极限的定义极限是函数趋近于某个值的过程。
常见的极限有左极限、右极限、无穷大极限等。
通过使用极限的性质可以计算函数在某一点的极限值。
3. 导数与微分3.1 导数的定义导数表示函数在某一点的变化率。
导数的定义公式为：\[f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) -f(x_0)}{\Delta x}\]3.2 导数的计算求导的基本公式包括常数规则、幂函数的导数、指数函数与对数函数的导数等。
通过使用这些公式，可以计算出函数在某一点的导数。
3.3 微分的概念微分是导数的一个应用。
微分代表函数在某一点的线性近似。
微分的计算公式为：\[df(x_0) = f'(x_0)dx\]4. 积分与定积分4.1 积分的概念积分是导数的逆运算，计算函数在一定区间上的累积和。
积分的计算公式为：\[\int f(x)dx\]4.2 不定积分不定积分是解决积分问题的一种方法。
通过求出函数的原函数，可以进行不定积分的计算。
4.3 定积分定积分是计算函数在某一区间上的累积和。
计算定积分时，需要确定积分的下限和上限，通过求出函数在该区间上的原函数，利用牛顿-莱布尼茨公式进行计算。
5. 一元函数的应用5.1 函数的极值与最值通过求导和求解方程，可以找到函数的极值点和最值点。
这些点对于问题的极大值和极小值具有重要意义。
5.2 函数的图像与曲线的简单性质函数的图像能够直观地展示函数的性质。
通过观察曲线的斜率、凹凸性等可以得到函数在不同区间上的特征。
高数大一上知识点总结和例题
高数大一上知识点总结和例题一、导数与微分导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
在高数大一上的课程中，我们接触到了一元函数的导数和微分的概念。
在求导的过程中，我们需要掌握一些导数的基本规则，如常数的导数为0、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数等。
此外，还需要熟悉求导法则，如和差法、积法、商法、复合函数求导法等。
例题：求函数f(x)=3x^2+4x-1的导数。
解：根据导数的基本规则以及求导法则，我们可以将f(x)分别求得各项的导数，并进行求和。
首先，对于3x^2，根据幂函数的导数规则，其导数为6x。
然后，对于4x，根据常数倍数的导数规则，其导数为4。
最后，对于-1，由于其为常数项，其导数为0。
因此，f(x)的导数为6x+4。
二、极限与连续极限是数学中的重要概念，它描述了一个函数在某一点上的趋势。
在高数大一上的课程中，我们学习了一元函数的极限和连续的概念。
在求极限的过程中，我们需要掌握一些常用的极限计算方法，如利用基本极限、夹逼定理、无穷小代换等。
对于连续函数，我们需要了解连续函数的定义以及连续函数的性质，如连续函数的四则运算、复合函数的连续性等。
例题：计算极限lim(x->0)(sinx/x)。
解：在计算该极限时，我们可以利用泰勒展开或利用无穷小代换来计算。
首先，根据泰勒展开的形式，我们知道sinx在x=0附近的展开式为x-x^3/3!+...。
因此，当x接近于0时，sinx/x的值接近于1。
另外，我们也可以将该极限转化为求函数f(x)=sinx/x在x=0处的导数的极限。
利用导数的定义，我们可以求得f'(x)=cosx/x-sinx/x^2，然后计算极限lim(x->0)(cosx/x-sinx/x^2)。
通过化简和分子有理化，我们可以求得该极限的值为1。
因此，极限lim(x->0)(sinx/x)的值为1。
三、微分中值定理与求曲线斜率微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了一元函数在某一区间内存在某点的导数等于该区间上函数的平均变化率。
高数知识点总结大一上学期公式
高数知识点总结大一上学期公式高等数学是大一上学期普遍开设的一门课程，它作为理工科专业的学生必修课，是让学生打好数学基础、培养数学思维能力的重要课程之一。
下面，笔者将对大一上学期高等数学中的一些重要知识点进行总结，希望能够帮助同学们更好地掌握和应用这些公式。
1. 函数在高等数学中，函数是一个核心概念。
函数可以理解为两个集合的对应关系，即从一个集合中的每个元素到另一个集合中的唯一元素。
函数的符号表示为y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
在计算函数值时，可以利用函数的基本性质和公式进行求解。
2. 三角函数三角函数是高等数学中的重要内容，它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的定义可以利用直角三角形中的边长关系进行推导，对于特殊角度值的三角函数值，可以通过查表或利用一些特殊性质进行计算。
3. 极限极限是微积分中的重要概念，它描述了函数在无穷趋近某个特定值时的性质。
在求解极限时，可以利用一些常见的极限公式和性质来简化计算过程。
例如，对于常见的无穷小量，可以利用它们的性质和极限定义进行求解。
4. 导数导数是微积分的基础知识，它描述了函数在某一点上的变化率。
求解导数时，可以利用各种求导法则和性质进行计算。
常见的导数公式如幂函数的导数公式、指数函数的导数公式、对数函数的导数公式等，熟练掌握这些公式可以简化计算过程。
5. 积分积分是微积分的另一个基础概念，它描述了函数在一定区间上的累积变化量。
积分的计算可以利用各种积分公式和性质进行简化。
常见的积分公式如不定积分的线性运算性质、基本初等函数的积分公式、分部积分法、换元积分法等，通过掌握这些公式和方法，可以更高效地求解各种积分问题。
6. 微分方程微分方程是应用数学中的一类重要问题，它描述了函数与其导数（或高阶导数）之间的关系。
求解微分方程可以利用各种常见的解微分方程方法，如分离变量法、齐次线性微分方程的求解方法、一阶线性微分方程的求解方法等。
大一上高数基础知识点归纳
大一上高数基础知识点归纳高等数学（简称高数）是理工科学生必修的一门课程，它是大学数学的基础和重要组成部分。
大一上学期，我们学习了高数的基础知识点，本文将对这些知识进行归纳总结。
1. 函数与极限1.1 函数的概念与性质函数是一种映射关系，它将自变量和因变量联系起来。
函数的定义域、值域、奇偶性等性质需要我们掌握。
1.2 极限的概念与运算法则极限是函数在某一点上趋于无穷或趋于某个确定值的过程。
我们需要理解极限的定义、性质和运算法则，并能够灵活运用到题目中。
1.3 函数的连续性与间断点函数的连续性是指函数在定义域上没有间断点，我们需要掌握连续函数的性质、判断方法以及间断点的分类与判断方法。
2. 导数与微分2.1 导数的定义与求导法则导数是函数变化率的表示，我们需要熟练掌握导数的定义、求导法则和高阶导数。
2.2 函数的极值与最优化问题函数的极值点是函数取得最大值或最小值的点，我们需要掌握判断极值的方法，并应用到最优化问题中。
2.3 微分的概念与应用微分是导数在近似计算中的应用，我们需要理解微分的概念、性质和应用，并能够解决相关题目。
3. 积分与定积分3.1 不定积分的概念与基本积分表不定积分是函数的反导数，我们需要了解不定积分的定义、性质和基本积分表，并能够灵活求解不定积分。
3.2 定积分的概念与性质定积分是函数在某一区间上的面积或曲线长度，我们需要掌握定积分的定义、性质及计算方法。
3.3 定积分的应用定积分在几何学、物理学和经济学等领域中有广泛的应用，我们需要熟悉定积分的应用问题，并能够解决相关题目。
4. 函数的级数展开4.1 幂级数的概念与收敛性幂级数是函数展开的一种形式，我们需要了解幂级数的概念、性质和收敛性判定方法。
4.2 常见函数的级数展开常见函数的级数展开，如指数函数、三角函数和对数函数的幂级数展开需要我们掌握。
5. 常微分方程5.1 常微分方程的基本概念常微分方程是描述变化规律的方程，我们需要理解常微分方程的分类、基本概念和初值问题。
高数大一上知识点总结复习
高数大一上知识点总结复习在大一上学期的学习中，我们学习了高等数学（高数）的一些基础知识点。
这些知识点对我们建立数学思维、提高分析问题和解决问题的能力非常重要。
接下来，我将对这些知识点进行总结和复习。
一、极限与连续1. 数列与极限数列的概念：数列是按照一定规律排列的一串数。
数列的极限：当数列中的数值趋于某个常数时，称该常数为数列的极限。
数列极限的性质：极限唯一性、保号性、夹逼性、有界性等。
2. 函数与极限函数的定义：函数是一个对应关系，将一个自变量的值映射到一个因变量的值。
函数的极限：当自变量趋近于某个值时，函数对应的因变量的值趋近于某个常数。
函数极限的性质：极限唯一性、四则运算法则、复合函数的极限等。
3. 连续与间断连续函数的定义：函数在其定义域内的任何点上都满足极限存在且与函数值相等。
间断点与间断性：函数在某些点上极限不存在或者与函数值不相等，称为间断点。
二、导数与微分1. 导数的概念与性质导数的定义：描述函数在某一点附近的变化率。
导数可以表示斜率、速率、函数的变化趋势等。
导数的性质：四则运算法则、常数函数的导数、乘积法则、商法则等。
2. 导数的应用切线与法线：导数与函数图像上的切线方程和法线方程的应用。
函数的单调性：导数与函数的单调性的关系，判断函数在某个区间上的单调性。
函数的最值：通过导数来判断函数的最值。
3. 微分的概念与性质微分的定义：描述函数在某一点附近的变化量。
微分的性质：微分与导数的关系、微分的线性性质等。
三、不定积分与定积分1. 不定积分不定积分的定义：描述函数的原函数。
不定积分是导数的逆运算。
基本积分表：求解一些常见函数的不定积分所需的基本积分表。
不定积分的性质：线性性质、分部积分法、换元积分法等。
2. 定积分定积分的定义：描述函数在某个区间上的累积效果。
定积分的性质：线性性质、区间可加性、积分中值定理等。
牛顿-莱布尼茨公式：定积分和不定积分的关系。
四、微分方程1. 微分方程的概念与基本形式微分方程的定义：含有一个或多个未知函数的导数和自变量的关系式。
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高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim,0)(limxgxf且lxgxf)()(lim
（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(xg]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)
2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x，tan x ~ x，xarcsin ~ x，xarccos ~ x， 1− cos x ~ 2/2^x ， xe−1 ~ x ，)1ln(x ~ x ，1)1(x~ x 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) 若AxhAxg)(lim,)(lim，则Axf)(lim 2．两个重要公式 公式11sinlim0xxx 公式2exxx/10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次
)()!12()1(...!5!3sin)(!...!3!2112125332nnnnnxxonxxxxxxonxxxxe
)(!2)1(...!4!21cos2242nnnxonxxxx )()1(...32)1ln(132nnnxonxxxxx )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2nnxoxnnxxx
)(12)1(...53arctan1212153nnnxonxxxxx 5．洛必达法则 定理1 设函数)(xf、)(xF满足下列条件：
（1）0)(lim0xfxx，0)(lim0xFxx；
（2）)(xf与)(xF在0x的某一去心邻域内可导，且0)(xF； （3）)()(lim0xFxfxx存在（或为无穷大），则
这个定理说明：当)()(lim0xFxfxx存在时，)()(lim0xFxfxx也存在且等于)()(lim0xFxfxx；当
)()(lim0xFxfxx为无穷大时，)()(lim0xFxfxx也是无穷大．
这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（HLospital）法则. 型未定式
定理2 设函数)(xf、)(xF满足下列条件： （1）)(lim0xfxx，)(lim0xFxx；
)()(lim)()(lim00xFxfxFxfxxxx（2）)(xf与)(xF在0x的某一去心邻域内可导，且0)(xF； （3）)()(lim0xFxfxx存在（或为无穷大），则 注：上述关于0xx时未定式型的洛必达法则，对于x时未定式型同样适用． 使用洛必达法则时必须注意以下几点： （1）洛必达法则只能适用于“00”和“”型的未定式，其它的未定式须
先化简变形成“00”或“”型才能运用该法则； （2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则； （3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限 基本公式)()()(lim0'000xfxxfxxfx(如果存在）
7.利用定积分定义求极限 基本格式101)()(1limdxxfnkfnnkn（如果存在）
三．函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点 设0x 是函数y = f (x)的间断点。如果f (x)在间断点0x处的左、右极限都存
在，则称0x是f (x)的第一类间断点。左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为可去间断点。左右极限不存在为跳跃间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 （2）第二类间断点
第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
)()(lim)()(lim00xFxfxFxfxxxx四．闭区间上连续函数的性质
在闭区间[a,b]上连续的函数f (x)，有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。 定理1．（有界定理）如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，则f (x)必在[a,b]上有界。 定理2．（最大值和最小值定理）如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值m 。 定理3．（介值定理）如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，且其最大值和最小值分别为M 和m ，则对于介于m和M 之间的任何实数c，在[a,b]上至少存在一个ξ ，使得f (ξ ) = c 推论：如果函数f (x)在闭区间[a,b]上连续，且f (a)与f (b)异号，则在(a,b)内至少存在一个点ξ ，使得f (ξ ) = 0这个推论也称为零点定理 第二章 导数与微分 一．基本概念 1．可微和可导等价，都可以推出连续，但是连续不能推出可微和可导。
二．求导公式
三．常见求导 1.复合函数运算法则 2.由参数方程确定函数的运算法则 设x =(t)，y =)(t确定函数y = y(x)，其中)('),('tt存在，且)('t≠ 0，则
)(')('ttdxdy
3.反函数求导法则 设y = f (x)的反函数x = g(y)，两者皆可导，且f ′(x) ≠ 0
则)0)('())(('1)('1)('xfygfxfyg 4.隐函数运算法则 设y = y(x)是由方程F(x, y) = 0所确定，求y′的方法如下： 把F(x, y) = 0两边的各项对x求导，把y 看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y′ 的表达式（允许出现y 变量） 5.对数求导法则 （指数类型 如xxysin） 先两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数y′。 对数求导法主要用于：①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数（注意定义域。 关于幂指函数y = [f (x)]g (x) 常用的一种方法,y = )(ln)(xfxge这样就可以直接用复合函数运算法则进行。 6. 求n阶导数（n ≥ 2，正整数） 先求出 y′, y′′,…… ,总结出规律性，然后写出y(n)，最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的n 阶导数公式 （1） xnxeyey)(, （2） nxnxaayay)(ln,)( （3） xysin,)2sin()(nxyn （4） xycos,)2cos()(nxyn (5)xyln,nnnxny)!1()1(1)(
第三章 微分中值定理与导数应用 一 .罗尔定理 设函数 f (x)满足 （1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3） f (a) = f (b) 则存在ξ ∈(a,b)，使得f ′(ξ ) = 0
二． 拉格朗日中值定理 设函数 f (x)满足（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导； 则存在ξ ∈(a,b)，使得)(')()(fabafbf 推论1．若f (x)在(a,b)内可导，且f ′(x) ≡ 0，则f (x)在(a,b)内为常数。 推论2．若f (x) ,g(x) 在(a,b) 内皆可导，且f ′(x) ≡ g′(x)，则在(a,b)内f (x) = g(x)+ c，其中c为一个常数。 三 .柯西中值定理 设函数f (x)和g(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上皆连续；（2）在开区间(a,b)内皆可导；且g′(x) ≠ 0则存在ξ ∈(a,b)使得)(')(')()()()(gfagbgafbf)(ba （注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形g(x) = x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。）
四.泰勒公式（① 估值 ② 求极限（麦克劳林）） 定理 1．（皮亚诺余项的n 阶泰勒公式） 设f (x)在0 x 处有n 阶导数，则有公式 ，称为皮亚诺余项 定理2（拉格朗日余项的n 阶泰勒公式） 设f (x)在包含0 x 的区间(a,b)内有n +1阶导数，在[a,b]上有n阶连续导数，则对x∈[a,b]，有公式 ， ,称为拉格朗日余项 上面展开式称为以0(x) 为中心的n 阶泰勒公式。当0x=0 时，也称为n阶麦克劳林公式。
常用公式(前8个)
五．导数的应用 一．基本知识 设函数f (x)在0x处可导，且0x为f (x)的一个极值点，则0)('0xf。 我们称x 满足0)('0xf的0x 称为)(xf的驻点，可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。
极值点判断方法 1. 第一充分条件 )(xf在0x的邻域内可导，且0)(0xf，则①若当0
xx