统计学教学材料

1 第七章 方差分析 前面谈到，t检验适合于对定距（或定比）数据服从正态分布的两个样本的平均数差异性检验以判断两个样本是否来自两个不同的总体。当我们对两个以上的组别或试验条件进行平均数差异性检验时，我们就面对两个以上的样本，这时t检验就不合适了。这是因为如果对多个样本分别进行两两检验，那么犯第一类错误(type I error)的概率就会比我们预想的大，样本平均数差异的“显著性”就被夸大(Woods et al., 2000: 194)。比如，我们设定= .05，那么t检验拒绝零假设出错的概率就为5%，或者说犯第一类错误的概率是5%。当我们多次使用两两检验时，发生第一类错误的概率就为1－(1－)c（c为t检验的次数）（韩昭，2004：170）。如果我们要进行2次t检验，产生第一

类错误的概率就为1－(1－0.05)2 = 0.0975；进行3次t检验产生第一类错误的概率为1－(1－0.05)3 = 0.1426，如此等等。由此可见，重复t检验的次数越多，犯第一类错误的概率就越大。除非我们把显著性水平a设得更低，否则我们就不能容忍t检验造成的第一类错误。因为概率水平被反复使用就会很难解释，统计学家创造了其它分析形式（t以外的形式），便于在处理各种多重比较时保持概率水平稳定(Brown, 1992: 647)。如果我们想把总体显著水平(overall significance level)控制在某一数值（比如= .05）上，并且希望对两个以上的组别或试验条件进行一次性的平均数差异检验，那么我们就要求 助于方差分析了。

7.1 方差分析的基本原理

方差分析的英文表达是analysis of variance，简称ANOVA。方差分析是一个总称，包括单项方差分析（One-Way ANOVA）、双向方差分析（Two-Way ANOVA）、多变量（多元）方差分析（Multivariate ANOVA，MANOVA）、重复测量方差分析（Repeated Measures ANOVA）、协方差分析（Analysis of Covariance，ANCOVA）和多变量（多元）协方差分析（Multivariate Analysis of Covariance，MANCOVA）等。不同类型的方差分析，其原理也不尽相同，需要分别讨论。这里，只简单介绍不同类型的方差分析的共性特点。 方差分析将（第一类错误的概率）控制在预先设定的水平，用于同时检验3组或3组以上平均数的差异，可以回答一个组的平均数是否显著地不同于同类数据中的其它一个或多个组的平均数。方差分析利用方差的可分解性，将总方差（tSS，t是total的缩称）分解成两大部分。一个是组内方差（within-group variance, wSS，w是within groups的缩称）。组内方差有时又叫误差(error)或残差(residual)，用eSS表示。另一个是组间方差，常用bSS表示（b是between groups的缩称）。组间方差还可以进一步分解为不同来源的方差。总自由度也被相应地分解成若干部分。方差分析计算出各变异来源的均方（方 2

差与对应自由度的比值）与误差均方(误差与对应自由度的比值)比值，借助F分布表作出统计推断，判断各因素（和交互作用因素）的各组均数之间有无显著性差异。 同t检验一样，方差分析也是参数检验方法。进行方差分析，有3个基本的必要条件：○1因变量(dependent variable)是定距或定比变量，即连续型变量。自变量(independent variable)是名义或类别变量；○2总体呈正态分布；○3总体方差齐性。下面重点讨论2种方差分析：单向方差分析和双向方差分析。

7.2 单向方差分析 7.2.1 单向方差分析的基本概念 单向方差分析(One-Way ANOVA)又称单因素方差分析，是最简单的方差分析方法。所谓的单向(One-Way)就是分析数据中只有一个自变量（又叫因素）。在完全随机化的(completely randomized)单向方差分析中，有3个方差：总方差(tSS)、组间方差(bSS)和组内方差(wSS，即误差)。3个方差之间的关系是：wbtSSSSSS。各个方差的计算公式及自由度为： 2()gtijSSxx（1nkdft），bSS2[()]groupgnxx



（1bdfdf=1k），wSS= 2()jijxx（2dfdfw=)1(nk）。 公式中，n是独立样本的容量，k是处理组数，groupx是各个独立组样本观测值的平均数，gx（g是grand的缩称）是各个独立组所有观测值的平均数，ijx是第j组第i个数值，jx是第j组观测值的平均数。在实际计算中，我们只需求出2个方差，再根据3个方差之间的数学关系就可以求出另一个方差。它们的均方公式为各自的方差除以各自的自由度：

1nkSSMStt，1kSSMSbb，)1(nkSSMSww

（tMS代表总均方，bMS代表组间均方，wMS代表组内均方），也可以写成： 2()1ijgtxxMSnk

，bMS=2[()]1groupgnxxk

，wMS= 2()(1)jijxxkn。

单向方差分析除了要求满足方差分析的一般条件之外，还要求各组独立且各观测值独立。单向方差分析中，F统计量为组间均方与组内均方（即误差均方）之比：

F=wbMSMS。 当零假设成立时，F统计量服从自由度为1df=1k、2df=)1(nk的F分布。F统计量检验只能告诉我们在比较的各组（比如3组）平均数中是否至少在两个组之间有显 3

著差异性存在，但是不能告诉我们显著差异性具体表现在哪个或哪些成对组之间。因此，当方差分析发现不同组之间有显著性差异时，如果我们想要准确知道显著性差异的位置，我们就需要利用事后多重比较(post hoc multiple comparisons)。组间配对比较的次数

为2)1(kk。譬如，如果自变量有3个水平，则需要比较的配对数为3对。事后多重比较的方法有多种，本书介绍最为常用的一种方法—Scheffe检验(the Scheffe test)。 Scheffe检验可控制整体水平，具有很强的稳健性(robust)，也是最为保守的事后比较方法之一。如果两组数值的平均数差异的绝对值大于Scheffe检验临界值，我们可以认为两组平均数有统计上的显著差异存在。相反，如果两组数值的平均数差异的绝对值小于Scheffe检验临界值，我们则可以认为两组平均数没有统计上的显著差异。计算Scheffe临界值的公式为：

)11()1(A)2,1(BwdfdfannMSFkCV。

其中，CV(critical value)代表Scheffe临界值，k是处理组数（自变量的组数或水平），)2,1(dfdfaF是在a水平上来自自由度为1df=1k、2df=)1(nk(如果各组样本容量不等，

则2df=knnnk)(21)的F分布的一个值，wMS代表组内均方差，An和Bn分别表示比较的两个独立样本的容量（如果样本容量相等，可用n代替An和Bn），

)11(BAwnnMS是Scheffe法平均数标准误差，与各独立样本容量的大小有关。当各组

样本容量相等时，各配对比较的样本平均数的标准误差相等。当ABxx大于（或等于）CV时，可以断定A 和B两组的平均数有显著性差异。相反，如果ABxx小于CV，则认为A和B两组的平均数没有显著性差异。 为了计算的方便，下面的例子采用小样本。在实际的研究中，要采用更大的样本，并要在SPSS统计中对样本进行方差齐性检验。

7.2.2 单向方差分析应用举例 【问题7.1】某高校英语教师对理科、文科和英语专业各10名大学一年级学生进行了听力水平测试（满分为20分），成绩如下： 文科组（组1）听力成绩：13 12 15 13 12 11 10 8 7 5 理科组（组2）听力成绩：17 16 15 14 14 11 13 12 10 8 英专组（组3）听力成绩：16 18 12 15 13 10 16 15 17 18 试问：3个不同专业的学生听力成绩是否有显著的差异？ 本题涉及3个不同类型组在同一个连续性因变量（听力成绩）方面的比较，符合单向方差分析的条件。 【解】已知：10n，k=3。根据原数据求得：gx=12.8667，1groupx=10.6，2groupx=13，

3groupx=15。将结果代入公式，求得 4

bMS=2[()]1groupgnxxk

=13])8667.1215()8667.1213()8667.126.10[(10222= 48.533，

wMS=2()(1)jijxxkn=)110(3)1518()1517()6.1012()6.1013(2222 = 8.089。 根据F统计量公式，求得

F=wbMSMS=089.8533.48= 6。 根据= .05, 1df=1k= 2，2df=)1(nk= 27，查F分布表，得到临界值)27,2(05.0F3.35。统计量F= 6 >)27,2(05.0F3.35，所以p< .05，拒绝零假设，即认为3个

组之间有显著的差异。 本题中各独立样本的容量相等，所以各组配对比较时的Scheffe临界值相等。我们知道10n，k=3，)27,2(05.0F3.35，wMS= 8.089，据此我们求得Scheffe临界值：

)11()1(A)2,1(BwdfdfannMSFkCV

= )101101(089.835.3)13( = 2.58841.2719 = 3.292。 本例中需要比较的3组平均数差异的绝对值分别是：12xx = 2.4，23xx = 2，

13xx = 4.4。只有组1和组3平均值差异（组3高于组1）有显著性意义，我们可以

得出结论：英专学生的听力成绩明显好于文科学生，但是与理科学生没有显著差异；文科学生与理科学生的听力成绩没有显著差异。

7.2.3 单向方差分析的SPSS操作 【问题7.2】利用【问题7.1】中提供的数据，操作SPSS对3个不同专业的学生的听力成绩进行差异显著性检验，并对第1、2组与第3组听力成绩进行差异显著性检验。 操作步骤如下：

第一步 将【问题7.1】中提供的数据按自变量（变量名为gro，表示组别）和因变量（变量名为englisten，表示英语听力成绩）输入SPSS数据窗口，部分结果如图7.1所示。