2023年中考数学复习讲义：第六章 勾股定理 (二十七)——蚂蚁爬行模型
初中数学勾股定理章节讲义
为 a，b ，斜边长为 c ，那么 a2 b2 c2 ．
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系． （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长 可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的 目的． （3）理解勾股定理的一些变式：
A．6
B．5
C．11
D．16
2、如图，点E在正方形ABCD内，满足 AEB 90 ，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（ ）
A． 48
B． 60
C． 76
D．80
5
学习，为了追寻更好的自己！ 3、如图，以 Rt△ABC 的三边为底边分别向外作等腰直角三角形，若斜边 AB＝a，则图中阴 影部分的面积为_______．
直角三角形；若 c2 a2 b2 ，则△ABC 不是直角三角形.
要点诠释：当 a2 b2 c2 时，此三角形为钝角三角形；当 a2 b2 c2 时，此三角形 为锐角三角形，其中 c 为三角形的最大边.
要点六、勾股数
满足不定方程 x2 y2 z2 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数）， 显然，以 x、y、z 为三边长的三角形一定是直角三角形.
△ABC 的形状．
解：
∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，
第一步
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），
第二步
∴c2=a2+b2，
第三步
∴△ABC 为直角三角形．
第四步
问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误： _________ ；
（2）错误的原因是： _________ ；
（3）本题正确的结论是： _________ ．
勾股定理的应用--蚂蚁爬行的最短距离
1.3 勾股定理的应用问题：蚂蚁要想吃到糖果，怎样走最近？请说明理由．
蚂蚁
糖果
(平面内）两点之间,线段最短．
学习目标
情境引入
1.学会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最短距离．
（重点）
2.能够运用勾股定理解决实际生活中的问题.(重点,难点)
讲授新课
一 立体图形中两点之间的最短距离
问题：在一个圆柱石凳上，若小明在
B
吃东西时留下了一点食物在B处，恰
好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，
于是它想从A处爬向B处，你们想一想，
蚂蚁怎么走最近？
A
讲授新课
根据如下提示完成自主探究：
1、将圆柱体展开，并在练习本上画出展开图
B
2、在展开图上标上相应的字母
B
B
B'
A
A
A'
解：圆柱形油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离.
∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5,∴AB'=13.
答：梯子最短需13米.
讲授新课
二 立体图形中两点之间的最短距离
问题：如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽 、高分别等于55cm、10cm、6cm，A和B是这两个台阶 的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬 到点B的最短路线有多长？
数学思想： 立体图形
转化 展开
平面图形
(平面内）两点之间,线段最短．
课堂小结
说一说本节课学习了哪些内容？
小组合作探究做题方法
方法归纳： 立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体 图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间 线段最短确定最短路线.
勾股定理中的四类最短路径模型(学生版)--初中数学
勾股定理中的四类最短路径模型勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。
人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。
对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。
对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。
模型1.圆柱中的最短路径模型【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下：计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。
注意：1)运用勾股定理计算最短路径时，按照展开-定点-连线-勾股定理的步骤进行计算；2)缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。
【最值原理】两点之间线段最短。
1(2023·广东·八年级期中)如图，一个底面圆周长为24cm，高为9cm的圆柱体，一只蚂蚁从距离上边缘4cm的点A沿侧面爬行到相对的底面上的点B所经过的最短路线长为()A.413cmB.15cmC.14cmD.13cm【答案】D【分析】将圆柱体展开，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：将圆柱体的侧面展开，连接AB，如图所示：由于圆柱体的底面周长为24cm，则BD=24×12=12cm，又因为AD=9-4=5cm，所以AB=122+52=13(cm)，即蚂蚁沿表面从点A到点B所经过的最短路线长为13cm．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的应用-最短路径问题．解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用勾股定理进行求解．2(2023·重庆·八年级期末)如图，圆柱形玻璃杯高14cm，底面周长为18cm，在外侧距下底处1cm有一只蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上端距开口处1cm的外侧点处有一只苍蝇，蜘蛛捕到苍蝇的最短路线长是cm．【答案】15【分析】展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，求出SE、EF，根据勾股定理求出SF即可．【详解】解：如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，则SE=BC=12×18=9(cm)，EF=14-1-1=12(cm)，在Rt△FES中，由勾股定理得：SF=SE2+EF2=92+122=15(cm)，故答案为15．【点睛】本题考查勾股定理、平面展开-最短路线问题，关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度适中．3(2023春·山东济宁·八年级校考期中)春节期间，某广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为米．【答案】5【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长，∵圆柱高3米，底面周长2米，∴AC2=22+1.52=6.25，∴AC=2.5，∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．故答案为5．【点睛】本题考查了平面展开-最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．1.(2023·湖北十堰·统考一模)如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为12m的半圆，其边缘AB= CD=20m(边缘的宽度忽略不计)，点E在CD上，CE=4m.一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为()A.28mB.24mC.20mD.18m【答案】C【分析】滑行的距离最短，即是沿着AE的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究，展开后，A、D、E 三点构成直角三角形，AE为斜边，AD和DE为直角边，写出AD和DE的长，根据题意，由勾股定理即可得出AE的距离．【解析】解：将半圆面展开可得：AD =12米，DE =DC -CE =AB -CE =16米，在Rt △ADE 中，AE =122+162=20(米)．即滑行的最短距离为20米．故选：C ．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，U 型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽是半圆的弧长，矩形的长等于AB =CD =20m .本题就是把U 型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．2.(2023春·四川德阳·八年级校考期中)如图，圆柱底面半径为2πcm ，高为9cm ，点A ，B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A ，B 在同一条竖直直线上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为cm ．【答案】15【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解析】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B 的运动最短路线是：AC →CD →DB ；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A 沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为2πcm ∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×2π=4cm ；又∵圆柱高为9cm ，∴小长方形的一条边长是3cm ；根据勾股定理求得AC =CD =DB =32+42=5(cm )；∴AC +CD +DB =15(cm )；故答案为：15．【点睛】本题主要考查了平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．3.(2022·山东青岛·八年级期末)如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，则小虫所爬的最短路径长是( )(π取3)A.60cmB.40cmC.30cmD.20cm【答案】A【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．【解析】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．由题意，得AC=3×16÷2=24，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=AC2+BC2=242+182=30cm．∵一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，∴最短路径长为60cm.故选：A．【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开是关键．模型2.长方体中的最短路径模型【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下：计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。
八年级数学勾股定理实际应用(蚂蚁爬行问题)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：蚂蚁爬最短路问题处理思路是什么？问题2：蚂蚁爬最短路问题处理的关键是把____面转化为_____面；勾股定理实际应用（蚂蚁爬行问题）（北师版）一、单选题(共4道，每道15分)1.如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别为50寸，30寸和10寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长是( )A.13寸B.40寸C.130寸D.169寸答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面展开最短路径问题2.如图，将一根木棒垂直或倾斜的放进长、宽、高分别为12cm，4cm，3cm的水箱中，能放入水箱内木棒的最大长度为( )cm．A.13B.12C.15D.16答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用3.如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：蚂蚁爬最短路问题4.如图，一只蚂蚁从长、宽都是6，高是16的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长为( )A.20B.22C.28D.18答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平面展开最短路径问题二、填空题(共2道，每道20分)5.如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为16cm，BC是上底面的直径．一只昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则昆虫爬行的最短路程为____cm．答案：20解题思路：试题难度：知识点：平面展开最短路径问题6.如图，长方体的长、宽、高分别为4cm，2cm，5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为____cm．答案：13解题思路：试题难度：知识点：平面展开最短路径问题。
八年级下数学课件勾股定理(3)
开学了，小华的妈妈为她准备了一把长为85cm的雨 伞和一个行李箱，行李箱长为40cm，宽为30cm，高为 70cm，问能否把雨伞放进这个行李箱中？
C D
12米
解：小蚂蚁从点A爬到点C一共爬了 AB BC ( 10 3 2)cm 小蚂蚁从点A爬到点C最短爬行距离为 AC 42 62 2 13cm
A’
A’C 42 62 2 13cm
C
E
解 : 过点B作BE⊥AC，垂足为E.
由题意得，BE=CD=30km
P
A' E 30 10 40km
食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面
爬到B点，最短线路是多少？
A
①展平：只需展开包含相关点的面。
可能存在多种展开法。
②定点：确定相关点的位置。
B
③连线：连接相关点，构建直角三
角形。
④计算：利用两点之间线段最短，
及勾股定理求解
4.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分
别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个
答：最短路线是73cm
方法总结 数学来源于生活，又服务与生活。
应用勾股定理解决实际问题的一般思路：
• １、在解决实际问题时，首先要画出适当的示意 图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三 角形模型，再运用勾股定理解决实际问题．
• ２、立体图形中路线最短的问题，往往是把立体 图形展开，得到平面图形．根据“两点之间，线 段最短” 确定行走路线，再根据勾股定理计算 出最短距离．
浅析中考热点——“蚂蚁爬行问题”
图 ６
通过 比较可 知 ．蚂蚁 按照 图 ６的路 线行
１ｌ 璺 ３
走． 爬行 的距 离最短为 ２ ． ５
Ｂ． ５ ２
Ａ． Ｖ ５
故选 Ｂ ．
Ｃ． ０ ／ ＋ １ 、了 ５
Ｄ． ５ ３
点评 ： 两道都是勾 股定理 的实际应用 问 这 题。 涉及 到的数学思想有转化 和分类讨论 的思
Ｄ１
ｌ
．
／／Ｃ ／ １
曰 Ｃ
？ Ｂ Ｌ １
图２
蚂蚁能 够最快 到达 目的地 的可能 路径有
如 图的 ＡＣ 和 ＡＣ ． ，
（ ）当蚂蚁在木 柜表面沿线段 Ａ ２ 爬行 Ｃ 时， 其爬行 的路 径 ＡＣ 的长为 。
Ｃ ＝ ／ Ａ ＋ Ｃ Ｃ ｌ Ｘ （＋ ） ５ １ 、 （ Ｂ Ｂ ） Ｃ ＝ ， ４ ４２ ２＝ ＋ ／ ＋
．
当蚂蚁在木柜表 面沿线段 ＡＣ 爬行 时 ， 其 爬行 的路径 ＡＣ 的长为 Ａ ｌ ＸＡ ２（ Ｂ＋ ＩＩ 。 、 ４＋ ５ ４ ／ Ｂ＋ Ｂ Ｉ Ｃ＇ ＝ ／ ２（＋ ） ｃ＝ Ｂ ）
＝
、 ． ／ 因为 Ａ Ａ ，所 以最短路径 的长是 Ａｃ ｃ＜ ｃ
为、 ８ ． ／９
例 ２ （ ０ ９ 湖北恩施 ） 图 ３ 长方体 ２０ 年 如 ， 的长为 ｌ ， ５ 宽为 ｌ ， ０ 高为 ２ ， Ｂ离 点 ｃ的距 ０点 离 为 ５ 一只蚂蚁 如果要沿着 长方体 的表 面从 ，
点 Ａ爬到点 Ｊ， Ｂ 需要爬行 的最短距离是 （ ） ．
ｘ ６ ５＝ ５ ／ ２ ２
我们熟悉的形式． ， ， ａ ｂｃ中至少 有一个等于 １ ． 也 就是说 。 １６ １ｃ １中至少有一个等于零 ， 一 ，— ，一
勾股定理与展开图
25. 三、两点在不相邻的两个侧面
上，求捷径. 例题 有一 6 级台阶，它的每一
解：如图形， =70cm，
= 20 × 5 + 10 × 6 = 160（cm），
∴=
2 + 2 = 702 + 1602
=10 305（cm）.
即蚂蚁需要爬行的最短路程是
10 305cm. 点评：解这类题目通常需要先画
（如图 3），根
短”，所求的最短路程就是侧面展开 据“两点之间，线段最短”，所求的最
图中线段 的长度.但展开方式有 短路程就是侧面展开图矩形对角线
27
两种，所以我们要先分别求出结果，
的长度.
再通过比较，最终才能得出结论.
复
习
罗
盘
解：如图 2 中的左图， = 102 + 20 + 5 2 = 5 29. 如图 2 中的右图， = 10 + 52+202 = 25 ＜ 5 29.
出立体图形的展开图，勾股定理求蚂蚁
所走的捷径的长.
语数外学习（初中版）
级台阶的长、宽、高分别等于 70cm， 20cm，10cm.一只蚂蚁如果要沿着台 阶的表面从点 爬到点 ，需要爬行 的最短路程是多少？
分析：蚂蚁实际上是在长方体的
分析：蚂蚁实际上是在台阶的表
侧面上爬行，如果将长方体的侧面展 面上爬行，只要把 6 级台阶的表面展
开（如图 2），根据“两点之间，线段最 开，就得到矩形
解. 下面我们一起来看一类与“蚂蚁 路程就是侧面展开图矩形对角线
走捷径”相关的问题.
之长.
26
一、两点在同一个侧面上，求捷
径. 例题 如图，一圆柱体的底面周
初中数学31个几何模型之蚂蚁行程和中点四大模型
初中数学31个几何模型之蚂蚁行程和中点四大模型
蚂蚁行程就是求蚂蚁在杯壁中爬行觅食，求它爬行的最短距离，这种题型实际上是轴对称模型的一种变式应用。
这种题型有两种形式，一种是蚂蚁沿着立体图形的表面进行爬行，一种是从外表面爬行到内壁觅食。
第一种只需要把例题图形展开，沿对角线爬行即最短路径；第二钟是用轴对称的知识来找到最短路径，然后再计算。
这种题型在中考中考查的比较少，但是在刚学轴对称之后用的比较多，需要和“勾股定理”一起使用，求最短距离的长度。
中点的四大模型，包含中线倍长、等腰三角形三线合一、中位线定理、直角三角形斜边中线，这在八年级几何中非常的常见，也非常的重要，主要是构造全等三角形。
在九年级几何当中也是比较重要的，有的同学在刚学全等三角形的时候，老师由于这种类型讲的比较多，用起来还比较的顺手，但到了九年级这种题型讲的少了，遇到中点的问题就又忘了怎么做了。
所以我把几何模型归纳后，掌握几何模型比较重要的。
勾股定理的应用一(蚂蚁爬行最短路线问题)之欧阳索引创编
欧阳索引创编
2021.02.02
勾股定理的应用（1）--蚂蚁爬行最
短路线问题
欧阳家百（2021.03.07）
班别：_____________姓名：_________________学号：_________
1、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程( 取3)是( )
A.20cm
B.10cm
C.14cm
D.无法确定 2、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱
爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是多少?
3、一只蚂蚁在立方体的表面积爬行．（Ⅰ）如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A 沿表面爬行到顶点B ，怎样爬行路线最短？说出你的理由．（Ⅱ）如图1，如果蚂蚁要从边长为1cm 的正方体的顶点A 沿最短路线爬行到顶点C ，那么爬行的最短距离d 的长度应是下面选项中的（ ）（A ）1cm ＜l ＜3cm （B ）2cm （C ）3cm 这样的最短路径有6_________条．（Ⅲ）如果将正方体换成长AD=2cm ，宽DF=2cm ，高AB=1.5cm 的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A 沿表面爬行到顶点E 的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图测量来说明）
4、如图所示：有一个长为3米，宽为1米，高为6米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A 点开始经过4
个侧面绕
一圈到达爬到B点，则这只蚂蚁爬行的最短路径的长为__________。
若从A点开始绕4个侧面两圈爬到B点，最短路径长为____________。
欧阳索引创编
2021.02.02。
初中数学勾股定理(精选课件)
初中数学勾股定理聚智堂学科教师辅导讲义年级：课时数：学科教师：学员姓名：辅导科目：数学辅导时间:课题勾股定理教学目的1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
(即：a2+b２=ｃ2)2、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长:ａ、b、c有关系a２+b２=ｃ２，那么这个三角形是直角三角形。
３、满足的三个正整数,称为勾股数。
教学内容一、日校回顾二、知识回顾1。
勾股定理如图所示,在正方形网络里有一个直角三角形和三个分别以它的三条边为边的正方形，通过观察、探索、发现正方形面积之间存在这样的关系：即C的面积=B的面积+Ａ的面积，现将面积问题转化为直角三角形边的问题,于是得到直角三角形三边之间的重要关系,即勾股定理。
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，ｂ，斜边为c，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
说明:(1)勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形,那么三条边之间就没有这种关系了。
（2）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股,斜边称为弦。
在没有特殊说明的情况下，直角三角形中,ａ,b是直角边，ｃ是斜边，但有时也要考虑特殊情况。
（3）除了利用a，ｂ,ｃ表示三边的关系外，还应会利用AＢ，BC，CA表示三边的关系,在△AＢC中,∠Ｂ＝９0°,利用勾股定理有。
2. 利用勾股定理的变式进行计算ﻩ由,可推出如下变形公式:(１）;（2）(3）（4)（5)（平方根将在下一章学到）说明：上述几个公式用哪一个,取决于已知条件给了哪些边，求哪条边，要判断准确。
三、知识梳理１、勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一,其主要应用有:(1)已知直角三角形的两边求第三边（２）已知直角三角形的一边与另两边的关系。
求直角三角形的另两边（３)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2、如何判定一个三角形是直角三角形（1）先确定最大边(如c)（2）验证与是否具有相等关系（3）若=，则△ＡBC是以∠C为直角的直角三角形；若≠则△ABＣ不是直角三角形。
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第六章.勾股定理
模型（二十七）——蚂蚁爬行模型
【模型1】蚂蚁沿着长方体的表面爬行，从A到B的最短路径：
AB min＝√最长边2
+(最短边＋较短边)2
【模型2】蚂蚁沿着圆柱体的表面爬行，从A到B的最短路径：
①同测全周长＝√(2πr)2+ℎ2
②异测半周长＝√(πr)2+ℎ2
【模型3】蚂蚁吃蜂蜜问题∶求蚂蚁从A沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到B的最短路径.
【作法】如图，首先找到 A关于杯子上沿的对称点A′点，设A′到B的垂直距离为h，则问题转化为异侧半周长的问题.
由图可知蚂蚁爬行的最短路径长为 A´B＝√(πr)2+ℎ2
典例1 ☆☆☆☆☆
如图，长方体的长为15，宽为10，高为 20，点B 到点C 的距离为5一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬行到点B ，则需要爬行的最短距离是________。
【答案】25
【解析】本题可看成蚂蚁是在长为5，宽为 10，高为 20 的长方体表
面爬行，根据蚂蚁沿长方体表面爬行的结论∶
d min ＝ √最长边2+(最短边＋较短边)2
知 d min ＝ √202+(10＋5)2 ＝25 典例2 ☆☆☆☆☆
如图，一圆柱高为8cm ，底面半径为2 cm ，一只蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点 A 爬到点 B 处觅食，则要爬行的最短路程（π取 3）是（ ）
A.20 cm
B.10 cm
C.14 cm
D. 无法确定
【答案】B
【解析】根据蚂蚁在圆柱表面爬行的结论，可知
d min＝√(πr)2+ℎ2＝√(3×2)2+82＝10(cm).
典例3 ☆☆☆☆☆
如图所示，圆柱形容器高为6cm，底面周长为6cm，在容器内壁离底部2cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿2cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁 A处到达内壁 B 处的最短距离为______cm.
【答案】3√5
【解析】如图，将容器侧面展开，作 A关于EF（容器上沿）的对称点A´，连接A´B，过 B作 BC上FA 于点C，
A´B＝√(A´C)2+BC2＝√(6−2+2)2+32＝3√5（cm）.
即蚂蚁从外壁 A 处到达内壁 B 处的最短距离为3√5cm.
1.（★★★☆☆）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=9 cm，BC=6cm，
BF=5cm，点 M在棱AB上，且AM＝3 cm，N是FG的中点.一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点 M爬行到点 N，则它需要爬行的最短路程为（）
A.10 cm
B.√106 cm
C.(6-√34)cm
D.9cm
2.（★★★☆☆）如图，正四棱柱的底面边长为5 cm，侧棱长为6 cm，一只蚂
蚁从四棱柱底面上的点 A 沿着棱柱表面爬到点C´处，求蚂蚁需要爬行的最短路径的长。
1.如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中 AB= 18 cm，BC=12 cm，BF=10 cm，
点M在棱AB上，且AM=6 cm，N是FG 的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的
表面从点M爬行到点N，则它需要爬行的最短距离为（ )
A.20cm
B.2√106 cm
C.(12＋2√34)cm
D.18cm
蚂蚁爬行的最值问题是非常经典的一类最值问题，我们如果能够记住最值的特点，那么解题将会更容易
第六章.勾股定理
模型（二十七）——蚂蚁爬行模型
答案：
小试牛刀
1. 答案 A
解析 ∵ M ，N 之间的距离可以看作长、宽、高分别为6 cm ，3 cm ，5 cm 的
长方体的对角顶点间的距离，所以根据蚂蚁沿长方体表面爬行的结论 d min ＝ √最长边2+(最短边＋较短边)2
，
得d min ＝ √62+(5＋3)2 ＝10（cm ）.故选 A.
2.解析 第一种情况∶ 当沿着平面 ABB ´A ´、平面 A ´B ´C ´D ´爬行时，其平面展
开图如图所示，
则 AC ´＝ √(6+5)2+52 ＝√146（cm ）.
第二种情况∶当沿着平面 ABB ´A ´、平面BB ´C ´C 爬行时，其平面展开图如图所示，
则 AC ´ ＝√(5+5)2+62＝√136＝2√34（cm ）.
第三种情况∶当沿着平面 ABCD 、平面 BB ´C ´C 爬行时，与第一种情况路径长相同.因为2√34 ＜√146，
所以蚂蚁需要爬行的最短路径的长是2√34 cm.
直击中考
1.答案 A
解析 ∵M ，N 之间的距离可以看作长、宽、高分别为12 cm ，6 cm ，
10 cm 的长方体，∴根据蚂蚁在长方体表面爬行的结论
d min ＝ √最长边2+(最短边＋较短边)2 边干较短边），
得d min ＝ √122+(10＋6)2 ＝20（cm ）.故选 A.。