勾股定理复习讲义
初二数学复习讲义——-勾股定理
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一： ， ，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
常见图形：
题型一：直接考查勾股定理
例１.在 中， ．
（1）已知 ， ．求 的长
（2）已知 ， ，求 的长
题型二：应用勾股定理建立方程
例２.
1在 中， ， ， ， 于 ， ＝
2⑵已知直角三角形的两直角边长之比为 ，斜边长为 ，则这个三角形的面积为
3已知直角三角形的周长为 ，斜边长为 ，则这个三角形的面积为
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为
所以
方法三： ， ，化简得证
３.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
４.勾股定理的应用
例7.三边长为 ， ， 满足 ， ， 的三角形是什么形状？
题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例8.已知 中， ， ， 边上的中线 ，求证：
证明：
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在 中， ，则 ， ，
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
５.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长 ， ， 满足 ，那么这个三角形是直角三角形，其中 为斜边
(寒假班内部讲义)第十八章-勾股定理
第十八章勾股定理第一部分知识网络一、重、难点重点：勾股定理及其逆定理的应用。
难点：勾股定理及其逆定理的应用。
二、知识要点梳理知识点一：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题知识点二：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。
知识点三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
知识点四：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
三、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．第二部分 学习笔记1.直角三角形的边、角之间分别存在什么关系？（1） 角与角之间的关系：在△ABC 中，∠C=90°，有∠A+∠B=90°；（2） 边与边之间的关系：在△ABC 中，∠C=90°，有222c a b =+2.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c ，那么222c a b =+ 即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理讲义
第十八章 勾股定理18.1 勾股定理知识点1 勾股定理的内容定理:果直角三角形两直角边分别为a 、b ,斜边为c ,那么a 2+b 2=c 2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.解读:(1)勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角形.(2)注意区分直角边和斜边.(3)勾股定理揭示了直角三角形三边的平方关系.(4)我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦(如图所示) 即:222+勾股＝弦(5)应用:②已知直角三角形的两边,求第三边;③已知直角三角形的一边,确定另两边的关系;③已知直角三角形的一边与另两边的关系,求另两边;④推导线段之间的平方关系.知识点2 验证勾股定理方法:勾股定理的验证方法多达上百种,而且很多巧妙的验证方法令人赞叹不已,但大多数采用拼图的方法.善于变换角度看问题,是这种方法验证勾股定理的技巧.解读:用拼图的方法验证勾股定理的思路是:(1)图形经过制补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变.(2)根据同一种图形面积的不同表示方法列出等式,推导出勾股定理.(3)运用:如图①所示,24,S S S ==+大正方形三角形小正方形边长即221()4.2a b ab c +=⨯+ 化简,得222.a b c +=如图②所示,24S S S +大正方形三角形小正方形＝边长＝，即2214().2c ab b a =⨯+- 化简,得222a b c +=一、选择题1.若某等腰直角三角形的斜边长为12c m,则它的面积是( )A.48c m 2B.72c m 2C.24c m 2D.36c m 22.如图所示,在△ABC 中,若∠C =90,∠B =45,则a :b :c =( )A.1:1:2B.1:1:2C.1:2:1D.1:2:13.在Rt △ABC 中,斜边AB=1,则AB 2+BC 2+AC 2的值是( )A.2B.4C.6D.84.若一个直角三角形的两边长分别为6和8.则下列说法正确的是( )A.第三边一定为10B.三角形的周长为25C.三角形的面积为48D.第三边可能为105.如图所示是一段楼梯,高BC 是3m,斜边AB 是5m,如果在楼梯上铺地毯,那么地毯至少需要( )A.5mB.6mC.7mD.8m6.如图所示,若∠C =90,AC =12,BC =5,AM =AC ,BN =BC ,则MN 的长是( )A.2B.2.6C.3D.47.如图所示,分别以Rt △ABC 的三边AB 、BC 、CA 为直径向外作半圆,设斜边AB 左边阴影部分的面积为S 1,右边阴影部分的面积和为S 2,则( )A.S 1=S 2B.S 1<S 2C.S 1>S 2D.无法确定8.在△ABC 中,∠A =90,则下列各式中不成立的是( )A.222BC AB AC =+B.222AB AC BC =+ C.22AB BC AC -- D.222AC BC AB =- 9.如图所示,三个正方形中有两个的面积分别为S 1=169,S 2=144,则S 3等于( )A.50B.25C.100D.3010.如图所示,强台风“麦莎”过后,一棵大树在离地面3.6米处折断倒下,倒下部分与地面的接舢点离树的底部为4.8米,则该树的原高度为( )A.6米B.8.4米C.6.8米D.9.6米11.在某直角三角形中,若它的斜边长为5 m,周长为12 m,则它的面积是( )A.12m 2B.6m 2C.8m 2D.9m 212.若△ABC 中,12::::1,33A B C ∠∠∠=那么这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形13.已知一个直角三角形,两条直角边分别为3和4.则下列说法正确的是( )A.斜边为25B.三角形的周长为24C.斜边为5D.三角形的面积为2014.在△ABC 中,AB =15,AC =13,高AD =12,则△ABC 的面积为( )A.84B.24C.24或84D.30或3515.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ,且c +a =2b ,,2b c a -=则△ABC 的形状是( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形16.若一个直角三角形的边长是三个连续自然数,那么这三边的长为( )A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.4,5,617.若∠XOY =45°,在角的内部有一点P ,它关于OX 、OY 的对称点分别为M 、N ,那么△MON 一定是( )A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形18.在某直角三角形中,若它的斜边上的中线是2.5cm,周长是l2cm,则其面积为 ( )A.12cm 2B.6cm 2C.8cm 2D.10cm 219.若小明同学先向北行进4千米,然后向东行进4千米,再向北行进2千米,最后又向东行进4千米,此时小明离出发点( )A.6千米B.8千米C.10千米D.12千米20.如图所示,有一块直角三角形纸片,两直角边AC =6cm,BC =8cm.现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,则CD 等于( )A.2 cmB.3cmC.4 cmD.5cm二、填空题1.如图所示,阴影部分是一个正方形,则此正方形的面积是________cm2.2.如图所示,在四边形ABCD 中,∠B=∠ACD =90°,BC =6,AB =8,AD =26,则△ACD的面积是_________.3.如图所示,台风将旗杆在B 处折断,使杆顶落在距离杆底8米处的A 点.已知旗杆总长16米,问:旗杆是在距底部_________米处折断的.4.如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,若AB=8cm,BC=10cm,则EC=__________cm.5.如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长是7cm,则正方形A、B、C、D的面积的和是________cm2.6.在△ABC中,若AB=3,BC=4,第三边AC的长_________求出.(填“能”或“不能”)7.如图所示是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图.小明沿图中所示的折线从A →B→C所走的路程为__________m.(结果保留根号)8.在Rt△ABC中,∠C=90°,回答下列问题:(1)若a=12,b=16,则c=______;(2)若a=12,c=13,则b=_______;(3)若a:b=3:4,c=10,则a=______.9.看图求出未知边.(1)a=________.a=_______,b=________.10.已知直角三角形ABC中,两直角边AB、BC分别长6cm、8cm,则斜边AC上的高为_______cm.11.如图所示,则阴影部分的面积:____________.(阴影部分为正方形)12.如图所示,在矩形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,接如图所示方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则DE=________cm.13.等腰三角形底边上的高是8,周长是32,则三角形的面积为________.14.某生态环境调查小组的甲组同学从学校出发,以15km/h的速度向东南方向前进;同时乙组同学也由学校出发,以20km/h的速度向东北方向前进,经过2h,两组各自到达目的地A、B,则A、B两地间相距________km.15.在△ABC中,∠C=90°,△ABC的周长为60cm,BC:CA=5:12,则BC=______cm,CA==_______cm,AB=_______cm.16.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,若AB=17,BC=16,那么AD=______.17.已知三角形三内角度数之比为1:2:3,它的最大边长为6cm,则最小边长为______.18.在△ABC中,∠C=90°AB=13,BC=5,则AC=________.19.直角三角形的两条直角边长分别为5cm,12cm,则斜边上的高为_______cm.20.如图所示,阴影部分是一个正方形,如果正方形的面积是100cm2,则a的长为______cm.21.若直角三角形两直角边之比为3:4,且斜边的长为20cm,则斜边上的高为________.三、解答题1.(1)如图①所示,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1、S2、S3表示,试证明S1=S2+S3.(2)加固②所示,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1、S2、S3表示,那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)(3)如图③所示,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明.2.如图所示,在Rt△ACB中,∠C=90°,AM是中线,MN⊥AB,垂足为点N,试说明AN2-BN2=AC2.3.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AC=3,AB=5.求AD的长.4.(1)如图①所示,在Rt△ABC中,AC=5,BC=12,求AB的长.(2)如图②所示,在Rt△ABC中,AB=25,AC=20,求BC的长.5.一场台风过后,一棵小树被从距地面1.5 m处折断,树头距树的根部2m,你能判断出这棵小树原来有多高吗？6.在一次缉毒行动中,我省警方获得可靠消息:一辆运毒车将路经5号公路,但由于车上装有爆炸装置,督员无法靠近,只能利用远程射击的办法,为了减少伤亡,警方选中一距离公路120m的隐蔽处P点,射程为200m,准备行动,此时,运毒车与P点的水平距离为300m(如图所示),那么警方可在运毒车再前进多少米之后对其进行射击？7.如图所示,有一个长方形的场院ABCD,其中AB=9m,AD=12m,在点B处竖直立着一根电线杆,在电线杆上距地面8m的E处有一盏电灯.点D到灯E的距离是多少？8.如图所示,在树CD上10m高的B处有两只松鼠,其中一只松鼠爬到C点后又爬到离树20m的池塘A处,另一只松鼠爬到树顶后直接跃向池塘A处,若两只松鼠所经过的距离相等,试问这棵树有多高？(DA间实为抛物线,现假设为直线)9.如图所示,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,请在所给网格中按下列要求画图形.(1)从点A出发的一条线段AB,使它的另一个端点落在格点(即小正方形的顶点)上,且长度为22(2)以(1)中的AB为边的一个等腰三角形ABC,使点C在格点上,且另两边的长都是无理数.10.现有四块直角边为a、b,斜边为c的直角三角形的纸板,请你从中取出若干块拼图,说明勾股定理(需要画出所拼的图形).11.如图所示,在△ABC中,AB=AC=20,BC=32,∠DAC=90°,求BD.12.某住宅小区的形状是直角三角形,如图所示,直角边AC、BC的长度分别为600m、800m,DE为小区的大门,大门宽5m,小区的周边用冬青围成了绿化带,问绿化带有多长？13.如图所示,一逃犯从A地正北6km的B地乘车向B地正东8km的C地逃跑,我公安干警在A地闻讯,同时从A地沿直路直接向C地追击.若逃犯速度为80km/h,我公安干警的速度为多少时,恰好在C地将逃犯截住？14.如图所示,铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C、D两村到E站的距离相等,则E站应建在离A点多千米处？15.如图所示,某人在B处通过平面镄看见在B正上方3m处的A物体已知物体A到平面镜的距离为2m,问B点到物体A的像A'的距离是多少？(注:A'O=AO)16.为了测量一个球的直径,今有若干根木棒可供使用,通过实验发现,若将球放在桌面上,再将一根长6cm的木棒垂直桌面而立(如图所示).某一时刻,在斜阳的照射下,球与木棒的影长都是8cm,求球的直径.17.为了预防禽流感,张大爷想把自家的鸡用栅栏圈起来,已知栅栏为矩形,且其面积为48m2,对角线长为10m,那么张大爷家的鸡栅栏的周长为多少？18.如图所示,美伊战争期间,美军运输车队计划沿由东向西延伸的L公路向巴格达前线供应军用物资,一支先头小分队奉总部之命沿公路侦察敌情,当行至A地时,测得一伊军炮兵阵地P的方位是北偏西30°,行至B地时测得P地方位是北偏东30°,继续前进到C地,测得P 地方位是北偏东60°,在C地俘虏一名伊军士兵,得知C、B两地之间的距离不会超过10千米,并获得可靠情报:P地伊方炮火的射程半径是9千米.根据以上数据,请问美侦察兵能否判断运输车队沿公路通行的安全性.19.如图所示,已知∠BAC,AB=3,AC=4.若∠A是不断变化的角,问:(1)当∠A为锐角时,BC的取值情况;(2)当∠A为直角时,BC的取值情况;(3)当∠A为钝角时,BC的取值情况;(4)当∠A变为平角时,BC的取值情况.20.如图所示,在长方形纸片ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,现将A、C重合,使纸片折叠压平,设折痕为EF,试确定重叠部分△AEF的面积.21.图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边长为c,图②是以c为直角边的等腰直角三角形,请你开动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图,写出它是什么图形;(2)用这个图形证明勾股定理;(3)假设图①中的直角三角形有若干个,你能运用图①中所给的直角三角形拼另一种能证明勾股定埋的图形吗？请画出拼后的示意图.(无需证明)22.如图所示,两个村子A、B在河CD的同侧,A、B两村到河边的距离分别为AC=1km,BD ＝3km,又CD=3km.现需在河边CD上建造一水厂向A、B两村送水,铺设水管的工程费用约为每千米20 000元,请在河边CD上选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省,并求出,铺设水管的费用,假如你是工程师,帮助A、B两村设计一下好吗？。
勾股定理 基础知识复习讲义
（D）①②③④
15. 若 a 3 b3 ac 2 a 2b ab 2 bc 2 ，则由 a 、 b 、 c 为三角形 （B）等腰三角形 （C）直角三角形或等腰三角形（D）直角等腰三角形 16. 如图一直角三角形纸片，两直角边 AC 6cm, BC 8cm ，现将直角边 AC 沿 直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 等于（ A． 2cm B． 3cm C． 4cm D． 5cm ）
【知识点 5】勾股定理数学图形内的应用 〖基础回顾〗 1、已知等腰三角形的一条腰长是 5，底边长是 6，求它底边上的高=____________ 2、如图，在△ABC 中，AB=26，BC=20，BC 边上的中线 AD=24，求 AC.
【知识点 6】 最近问题 〖基础回顾〗 1、如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD—A'B'C'D' 的表面上，求从顶点 A 到 顶点 C' 的最短距离． 2、如图 A、B 两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A 工厂至河堤的距离 AC 为 1km，B 工厂到河堤 的距离 BD 为 2km，经测量河堤上 C、D 两地间的距离为 6km.现准备在河堤边修建一个污水处理厂 P， 为使 A、B 两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂 P 应建在什么地方？请在图中画出，并算 出这个最短距离。
B A C D
课堂检测 1. Rt△ABC 中，∠C=900
2
①如果 AC=20，BC =25，那么 AB=
。
②如果 AB=13，AC=12，那么 BC=
。
2. 已知 Rt ABC 两边为 5、12，则第三边长________． 3. 若三角形三边之比为 3：4：5，周长为 24，则斜边上的高为________,面积为________． 4. 在 Rt△ABC 中，斜边 AB=4，则 AB 2 BC 2 AC 2 5. 若等腰三角形的腰长为 10，底边长为 16，则此三角形的面积为 ． ．
勾股定理培优讲义全
勾股定理培优讲义全c b a HGFED CB Abacbac cabcab a bc c baED CBA勾股定理知识点汇总⼀、基础知识点：１．勾股定理：直⾓三⾓形两直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅；表⽰⽅法：如果直⾓三⾓形的两直⾓边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明⽅法很多，常见的是拼图的⽅法⽤拼图的⽅法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，⾯积不会改变②根据同⼀种图形的⾯积不同的表⽰⽅法，列出等式，推导出勾股定理常见⽅法如下：⽅法⼀：4EFGH S S S ?+=正⽅形正⽅形ABCD ，2214()2ab b a c ?+-=，化简可证．⽅法⼆：四个直⾓三⾓形的⾯积与⼩正⽅形⾯积的和等于⼤正⽅形的⾯积．四个直⾓三⾓形的⾯积与⼩正⽅形⾯积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ ⼤正⽅形⾯积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=⽅法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证222a b c +=３.勾股定理的适⽤范围勾股定理揭⽰了直⾓三⾓形三条边之间所存在的数量关系，它只适⽤于直⾓三⾓形，对于锐⾓三⾓形和钝⾓三⾓形的三边就不具有这⼀特征。
４.勾股定理的应⽤①已知直⾓三⾓形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=?，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直⾓三⾓形⼀边，可得另外两边之间的数量关系③可运⽤勾股定理解决⼀些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三⾓形三边长a ，b ，c 满⾜222a b c +=，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形，其中c 为斜边。
①勾股定理的逆定理是判定⼀个三⾓形是否是直⾓三⾓形的⼀种重要⽅法，它通过“数转化为形”来确定三⾓形的可能形状，在运⽤这⼀定理时，可⽤两⼩边的平⽅和22a b +与较长边的平⽅2c 作⽐较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三⾓形是直⾓三⾓形；②若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三⾓形是钝⾓三⾓形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三⾓形是锐⾓三⾓形；③定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是⼀种表现形式，不可认为是唯⼀的，如若三⾓形三边长a ，b ，c 满⾜222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三⾓形是直⾓三⾓形，但是b 为斜边该定理在应⽤时，同学们要注意处理好如下⼏个要点：①已知的条件：某三⾓形的三条边的长度.②满⾜的条件：最⼤边的平⽅=最⼩边的平⽅+中间边的平⽅.③得到的结论：这个三⾓形是直⾓三⾓形，并且最⼤边的对⾓是直⾓. ④如果不满⾜条件，就说明这个三⾓形不是直⾓三⾓形。
05.勾股定理讲义
勾股定理要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b，，斜边长为c，那么222a b c+=.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b=-，222b c a=-，()222c a b ab=+-.要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.知识点方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的作用1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段.典型例题类型一、勾股定理的直接应用例1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）若a＝5，b＝12，求c；（2）若c＝26，b＝24，求a．举一反三：【变式1】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）已知b＝2，c＝3，求a；a c ，b＝32，求a、c．（2）已知:3:5【变式2】分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．OA22=（）2+1=2 ，S1=；OA32=（）2+1=3，S2=；OA42=（）2+1=4，S3=…（1）请用含有n（n为正整数）的等式S n=___________；（2）推算出OA10=______________．（3）求出 S12+S22+S32+…+S102的值．类型二、勾股定理的证明例2、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是中线，MN ⊥AB ，垂足为N ，试说明222AN BN AC -=．类型三、利用勾股定理作长度为n 的线段例3、作长为、、的线段.类型四、利用勾股定理解决实际问题例4、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m处断裂，旗杆顶部落在离底部12m处，则旗杆折断前有多高？例5、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）6A．3 B．4 C．5 D．课后练习一.选择题1.在△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝15，则△ABC的面积等于（）A.108B.90C.180D.542．在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，则BC的长为（）A．5 B． C．5或 D．无法确定3. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )A．12米 B．10米 C．8米 D．6米4．Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则222AB AC BC ++的值为( )A.8B.4C.6D.无法计算 5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于( )A.4B.6C.8D.1026．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为( )A.1502cmB.2002cmC.2252cmD.无法计算 二.填空题 7.在直角坐标系中，点P （－2，3）到原点的距离是_______．8.如图，矩形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交数轴上原点右边于一点，则这个点表示的实数是 _________ ．9．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m路，却踩伤了花草．10．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．12. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点'B重合，则AC＝cm.三.解答题13.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2．求BC边上的高及△ABC的面积．14. 已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的长．15.如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．。
勾股定理复习讲义内容
勾股定理复习讲义内容一、第一单元知识结构二、典例归类考点1：面积及面积的应用例1、若直角三角形的两直角边为7和24，在三角形内有一点P 到三边的距离相等，这个距离为。
例2、在直线l 上依次放着七个正方形，如图所示，已知斜放置地三个的正方形的面积分别是1，2，3，正放着的四个正方形面积依次是,,,,1S S S S 则=+++S S S S 。
对应练习:1、如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形， （1）求图四边形ABCD 的各边的长。
（2）求∠ADC 的度数L3、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，AD=3，AB=4，∠B=60°，则梯形的面积总结归纳： 。
考点2、距离（最短距离）问题例3、如图所示，圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC ＝ 6cm ，点是母线上一点且＝．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是.如图所示，有一个长方体，它的长、宽、高分别为5，3，4。
在点A ’处有一只蚂蚁，它想吃到与点A ’相对的C 点的食物，沿长方体表面需要爬行的最短路程是多少？对应练习: 1、如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A 顶点出发沿着立方体的外表面爬到B 顶点的最短路程是（ ） A 、3 B 、 C 、 D 、12、如上图，则正方体中能放入的最大长度为。
总结归纳：。
考点3：判断三角形的形状例4、如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，判断ΔABC 的形状。
P BC PC 23BC对应练习:1、下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；④△ABC中，三边长分别为8，15，17．其中是直角三角形的个数有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2、已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为三角形A.直角B.等腰C.等腰直角D.等腰或直角考点4：勾股定理与实际问题结合例6、如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。
07.勾股定理全章复习与巩固讲义
勾股定理全章复习与巩固要点一、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=） 2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段.要点二、勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系，若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.知识点3.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.类型一、勾股定理及逆定理的简单应用例1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长．典型例题举一反三：【变式】在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12．求△ABC 的周长．例2、如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，M 为AB 上一点．求证：2222AM BM CM +=．举一反三：【变式】已知，△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上任一点，求证：22AB AD BD CD -=⋅.类型二、勾股定理及逆定理的综合应用例3、如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，请你判定△BEF 的形状，并说明理由．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC 中，∠B ＝22.5°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，BD ＝62，AE ⊥BC 于E ，求AE 的长．例4、如图①所示，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用123S S S 、、表示，则不难证明123S S S =+．(1)如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用123S S S 、、表示，那么123S S S 、、之间有什么关系?(不必证明)(2)如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用123S S S 、、表示，请你确定123S S S 、、之间的关系并加以证明．例5、如果ΔABC 的三边分别为a b c 、、，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断ΔABC 的形状.类型三、勾股定理的实际应用例6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处举一反三：【变式】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？一.选择题1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )A.5mB.7mC.8mD.10m2．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为( )A.212 B.310C.56 D.583.下列命题中是假命题的是（）A.三个内角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形；B.三个内角的度数之比为1：3：2的三角形是直角三角形；C.三边长度之比1：3：2的三角形是直角三角形；D.三边长度之比2：2：2的三角形是直角三角形；课后练习4. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）．A．6 B．12 C．24 D．305．下列三角形中，是直角三角形的是( )+= B.三角形的三边比为1∶2∶3A.三角形的三边满足关系a b cC.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边为9，40，416．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元7.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、ACFG、BCIH，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（）A.90B.60C.169D.1448. 已知，如图长方形ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A.32cm B.42cm C.62cmD.122cm二.填空题9．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．10．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．11．如图，B ，C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，测得∠ABC ＝45°，∠ACB ＝45°，BC ＝60米，则点A 到岸边BC 的距离是______米．12.下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a b c 、、满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形．13.如图，圆柱形容器中，高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为cm．（容器厚度忽略不计）14．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．15.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形cm，则其中最大的正方形的边长为______cm．的面积的和是10216．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为__________．三.解答题17.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此三角形的面积.18．甲乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到C岛，乙船到达B岛，B、C两岛相距100海里，判断乙船所走方向，说明理由．19．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．20.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，B'为CD边上的点，CB'＝3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点B'处，点A的对应点为A'，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．求BN的长.。
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2
1E
D
C B
A
勾股定理复习
班级______姓名_________
一．知识归纳
１．勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么____________, 2.勾股定理的逆定理
如果三角形三边长a ，b ，c 满足________，那么这个三角形是_______，其中_____为斜边 如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1）首先确定最大边（如c ）.（2）验证2
c 与2
a +2
b 是否具有相等关系.
若2c =2a +2b ，则△ABC 是 ；若2c ≠2a +2
b ，则△ABC 不是 .
3.勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个_________称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为_____整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如_______；_______；________；7,24,25等
题型一：直接考查勾股定理
例１.（1）在ABC ∆中，90C ∠=︒，17AB =，15AC =，BC ＝
（2）在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝
（3）已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 （4）已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 2cm
练习1：求下列阴影部分的面积：
（1） 正方形S ＝ ； （2）长方形S ＝ ； （3）半圆S ＝ ；
2：如图2，已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10， BC 边上的高AD ＝8，则边BC 的长为
例2.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长
D
C
B
A
题型二：勾股定理的逆定理及判断三角形的形状
例3.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =
D C
B
A
练习1：已知()2
1213x y -+-与2
1025z z -+互为相反数，则以x 、y 、z 为边的三角形是 三角形。
（填“直角”、“等腰”、“任意”）
2、若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是 ，另外一边的平方是 ．
3．如图网格中的△ABC ，若小方格边长为1，请你根据所学的知识 （1）求△ABC 的面积；（2）判断△ABC 是什么形状？并说明理由．
题型三：勾股定理与方程思想的结合
例4、已知：如图所示，在四边形ABCD 中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形ABCD 的周长为32，求BC 和CD 的长.
练习．一直角三角形的斜边比一直角边大4，另一直角边长为8，则斜边长为 ．
题型四：勾股定理在折叠问题中的应用
例5、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.
C
B
A
D
练习、如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积．
题型五：实际问题中应用勾股定理
例6、如图，某会展中心在会展期间准备将高5m ,长13m ，宽2m 的楼道
上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多 少元钱?
练习1．如图，长方体三条棱的长分别为4cm ，3cm ，2cm ，蚂蚁从A 1出发，沿长方体的表面爬到C 点，则最短路线长是 cm ．
练习2．如图，∠AOB=90°，OA=45cm ，OB=15cm ，一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点O ，机器人立即从点B 出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？
5m
13m
例7、在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发.现有一C处需要爆破.已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB,如图13所示.为了安全起见,爆破点C 周围半径250米范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否有危险,是否需要暂时封锁? 请通过计算进行说明。
练习1．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方60米处的C点，过了5秒后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100米．
（1）求BC间的距离；（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
练习2．如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？。