讲义五：《勾股定理》专题讲义
《勾股定理》教师讲义
《勾股定理》典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么 a 2 + b 2= c 2。
公式的变形：a 2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2 。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2 + b 2= c 2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：① 已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a 2 + b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数有：（3，4，5?）(5，12，13?) (?6，8，10?)?(?7，24，25?)?(?8，15，17?)(9，12，15?)?4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S 1D. S 2- S 3=S 14、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。
勾股定理讲义
勾股定理考点分析考点2勾股定理1.勾股定理的概念：2.勾股定理的性质：例1在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是【】A. B. C. D.例2图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是【】A．13 B．26 C．47 D．94例3如图3，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，上只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是【】A．5B．25 C．D．35 3651225944例4 如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是【 】A ．172B ．52C ．24D ．7例5 如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE ＝【 】A ．2B ．3C ．22D ．23例6 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是【 】A.10B.C. 10或D.10或例7 某楼梯的侧面视图如图4所示，其中4A B =米，30B A C ∠=°， 90C ∠=°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ．5454172BC A30°l 1l 2l 3ACB例8 已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为 ．例9 如图，过原点的直线l 与反比例函数1y x=-的图象交于M ，N 两点，根据图象猜想线段MN 的长的最小值是___________．例10 如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若四边形ABCD 的面积是24cm 2，则AC 长是_____________cm.例11 如图，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C在y 轴的正半轴上，OA=10,OC=8，在OC 边上取一点D,将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标.第12题图勾股定理的应用例12如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A 处目测得点A 与甲、乙楼顶B C 、刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是 米．例13 长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了m ．例14 如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ．例15已知：如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，CD 是BC 边上的高， CD=3，求线段AB 的长.B A 6cm 3cm1cm乙变式训练：已知△ABC 中，AB=10，AC=17， BC 边上的高AD=8，求线段BC 的长和△ABC 的面积.例16如图，在△ABC 中,∠C=30°，AC=4cm ，AB=3cm ，根据已知可以求出什么？变式1、已知：如图,△ABC 中，∠B=120°，BC=4cm ，AB=6cm ，求AC 的长.变式2、在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝13cm ，BC=10cm,求△ABC 的面积和AC 边上的高.变式3、已知：如图，△ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17，求△ABC 的面积.BCAB C ABC例17已知：如图，∠B=∠D=90°,∠A=60°，AB=4，CD=2.求四边形ABCD 的面积.变式训练：如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为（0，4），∠B=90°，∠BCO=60°，AB=2，求点B 的坐标.例18 如图，Rt △ABC 中，∠C=90°AD 平分∠BAC ， AC=6cm ，BC=8cm.（1）求线段CD 的长； （2）求△ABD 的面积.例19 变式练习：如图，在直角坐标系中， △ABO 的顶点A 为（0，6），B 为（8，0），AD 平分∠BAC 交x 轴于点D ， DE ⊥AB 于E.（1）求△ABD 的面积； （2）求点E 的坐标.A B CO xy DCA例20恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷()A 和世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，50km A B A =，、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（A P 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和1S PA PB =+，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A '，连接B A '交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和2S PA PB =+． （1）求1S 、2S ，并比较它们的大小； （2）请你说明2S PA PB =+的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．例21 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．6m m ，8．8m图（1）图（3）图（2）课后作业：基础题：1、已知直角三角形两边的长分别是3cm和6cm，求第三边的长.2、已知：如图，△ABC中，AC=4，∠A=45°，∠B=60°，求AB.提高题：1、等腰△ABC中，AB=AC=2，BD是AC边上的高，且BD与AB的夹角为30°，求CD的长.2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？3、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长.AE D。
初二美术--勾股定理讲义(经典)
初二美术--勾股定理讲义(经典)初二美术 - 勾股定理讲义（经典）
引言
勾股定理是数学中一项非常重要的定理，它可以帮助我们计算
直角三角形的边长和角度。
在美术中，勾股定理也具有一定的应用，特别是在透视绘画中。
本讲义将为初二学生介绍勾股定理的基本概
念和应用。
什么是勾股定理？
勾股定理，也称为毕达哥拉斯定理，指的是直角三角形的斜边
平方等于两直角边平方和的关系。
数学表达式如下：
c^2 = a^2 + b^2
其中c为斜边的长度，a和b分别为两个直角边的长度。
勾股定理的应用
在美术中，透视绘画是一项基本技巧。
透视绘画可以帮助我们
将三维物体表现在二维的画面上，使其更具立体感。
根据勾股定理，当我们绘制一个有透视效果的长方形时，可以
使用该定理来确定视角深度的比例关系。
通过计算出各个边的长度，我们可以更准确地表现物体的形状和远近程度。
实例演示
让我们来看一个透视绘画的实例演示。
假设我们要绘制一扇打
开的木门，门的两边分别是两段互相垂直的墙壁。
我们可以使用勾
股定理来确定门的长度和墙壁的位置，使绘画更加逼真。
总结
勾股定理是数学中一项重要且有广泛应用的定理，在美术中也
能发挥着作用。
通过理解和应用勾股定理，我们可以在绘画中更准
确地表现远近和形状，增强作品的立体感。
希望这份初二美术的勾股定理讲义对你有所帮助！。
勾股定理的讲义
勾股定理一：勾股定理的图形计算问题勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.a2+b2=c21.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN的值.练习：1.如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为_______例题：1.观察下列图形，回答问题：问题（1）：若图①中的△DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M 的面积为____．问题（2）：如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆的面积之间的关系是__________________（用图中字母表示）问题（3）：如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用上面中的结论求出阴影部分的面积．练习：1.如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为_____二：勾股定理的应用解勾股定理实际问题的一般步骤：①仔细审题，读懂题意；②找出或构造出与问题有关的直角三角形；③在直角三角形中根据勾股定理列算式或列方程；④求解所列算式或方程，直接或间接得到答案；⑤作答.解有关勾股定理的实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型.例题：1.如图，在一棵树上10m高的B处有两只猴子，其中一只猴子沿树爬下，走到离树20m 处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D处直跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，则这颗树有多高（设树与地面垂直）？练习：1.国家八纵八横高铁网络规划中“京昆通道”的重要组成部分──西成高铁于2017年12月6日开通运营，西安至成都列车运行时间由14小时缩短为3.5小时．张明和王强相约从成都坐高铁到西安旅游．如图，张明家（记作A）在成都东站（记作B）南偏西30°的方向且相距4000米，王强家（记作C）在成都东站南偏东60°的方向且相距3000米，则张明家与王强家的距离为_____2.如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为_______例题：1.如图，一只小蚂蚁要从A点沿长方体木块表面爬到B点处吃蜜糖．已知长方体木块的长、宽、高分别为10cm、8cm、6cm，试计算小蚂蚁爬行的最短距离．练习：1.如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B 在围成的正方体上的距离是____三：勾股定理的逆定理勾股数：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 例题：1.观察下列各组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.根据你发现的规律，请写出 （1）当a=19时，求b 、c 的值； （2）当a=2n+1时，求b 、c 的值；（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由． 练习：1.下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）A. a=4，b=3，c=5B. a=9，b=﹣12，c=15C. a=32，b=2，c=2.5 D. a=8，b=40，c=412.下列各组数是勾股数的是（ ） A. 13，14，15 B. 1，√2，√3 C. 0.3，0.4，0.5 D. 5，12，13例题：1.如图，在四边形ABCD 中，∠D=90°，AB=2，BC=4，CD=AD=√6．求∠BAD 的度数.练习：1.若△ABC 的三边a 、b 、c 满足（a ﹣b ）2+|a 2+b 2﹣c 2|=0，则△ABC 是 三角形2.小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿了钱去图书馆，小芳到家用了6分，从家到图书馆用了8分，小芳从公园到图书馆拐了个（）A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 不能确定综合练习：1.如图：在△ABC中，AB=5cm，AC=4cm，BC=3cm，CD是AB边上的高，则CD=____________.2.如图，正方形中的数表示该正方形的面积，则字母B所代表的正方形的面积是___________.3.如图，一个圆柱的高为10cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从圆柱高的中点A处到B点的最短爬行距离是________ cm.4.如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为____________平方米．5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h，有下列四种说法：①a•b=c•h；②a+b＜c+h；③以a+b、h、c+h为边的三角形，是直角三角形；④1a2+1b2=1ℎ2．其中正确的有________________.6.如图，四边形ABCD中，AB=10，BC=13，CD=12，AD=5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．7.如图，已知在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=2cm，AD=√5cm，CD=5cm，BC=4cm，求四边形ABCD 的面积．8.如图所示，侧面是高为2、宽为1的长方形．上下两底面为正方形的纸盒．一小虫由A点沿外表面爬行到B点．（1）找出所有可能的最短路径，画图说明；（2）指出按（1）中哪种方式爬行路径最短.。
05.勾股定理讲义
勾股定理要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b，，斜边长为c，那么222a b c+=.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b=-，222b c a=-，()222c a b ab=+-.要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.知识点方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的作用1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段.典型例题类型一、勾股定理的直接应用例1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）若a＝5，b＝12，求c；（2）若c＝26，b＝24，求a．举一反三：【变式1】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）已知b＝2，c＝3，求a；a c ，b＝32，求a、c．（2）已知:3:5【变式2】分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．OA22=（）2+1=2 ，S1=；OA32=（）2+1=3，S2=；OA42=（）2+1=4，S3=…（1）请用含有n（n为正整数）的等式S n=___________；（2）推算出OA10=______________．（3）求出 S12+S22+S32+…+S102的值．类型二、勾股定理的证明例2、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是中线，MN ⊥AB ，垂足为N ，试说明222AN BN AC -=．类型三、利用勾股定理作长度为n 的线段例3、作长为、、的线段.类型四、利用勾股定理解决实际问题例4、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m处断裂，旗杆顶部落在离底部12m处，则旗杆折断前有多高？例5、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）6A．3 B．4 C．5 D．课后练习一.选择题1.在△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝15，则△ABC的面积等于（）A.108B.90C.180D.542．在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，则BC的长为（）A．5 B． C．5或 D．无法确定3. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )A．12米 B．10米 C．8米 D．6米4．Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则222AB AC BC ++的值为( )A.8B.4C.6D.无法计算 5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于( )A.4B.6C.8D.1026．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为( )A.1502cmB.2002cmC.2252cmD.无法计算 二.填空题 7.在直角坐标系中，点P （－2，3）到原点的距离是_______．8.如图，矩形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交数轴上原点右边于一点，则这个点表示的实数是 _________ ．9．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m路，却踩伤了花草．10．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．12. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点'B重合，则AC＝cm.三.解答题13.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2．求BC边上的高及△ABC的面积．14. 已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的长．15.如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．。
《勾股定理》讲义
一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：2、勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：该定理在应用时，要注意如下几个要点：①已知的条件：三角形的三条边长度.②满足的条件：（最大边）2=（最小边）2+（中间边）2.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a 2 + b 2= c 2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
4、最短距离问题：主要运用的依据是 。
二、 知识结构：三、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积例1：求：（1） 阴影部分是正方形； （2） 阴影部分是长方形； （3） 阴影部分是半圆．直角三角形 勾股定理应用判定直角三角形的一种方法【强化练习】1、（易错题）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是 。
2、已知Rt △ABC 三边的长分别是x ，x+1和5，则△ABC 的周长= ，面积= 。
考点二：应用勾股定理求边长例2：如图，已知Rt △ABC 的两直角边AC=5，BC=12，D 是BC 上一点，当AD 是∠A 的平分线时，则CD 为？考点三、利用列方程求线段的长（方程思想）例3：折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC 。
【强化练习】 如图，四边形ABCD 中，DC//AB ，BC=1，AB=AC=AD=2，则BD 的长为（ ）A 、14B 、15C 、23D 、32考点四：勾股定理在几何图形中的应用例4、图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。
在Rt △ABC中，若直角边AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______________。
勾股定理讲义
(图1)第五届授课比赛教案学生人数 年 级 初二 课 时 2 教 师 授课日期授课时段课 题勾股定理教学目标知识与能力：会运用勾股定理进行简单计算，解决有关实际问题。
过程与方法：通过动手实践探索勾股定理，让学生体会数形结合的数学思想，培养学生动脑、动手操作能力及合作交流、推理分析研究能力。
情感态度与价值观：了解勾股定理的历史和多种证明方法，激发学生的爱国热情和民族自豪感。
教学内容 1. 勾股定理的概念2. 勾股定理实际应用重、难点 重点：勾股定理的探索过程及应用。
难点：勾股定理的证明。
教学宗旨读书不做记号等于不读书新课课程讲义一．课前引入2008年初某市遭遇50年难遇的特大冰灾，在此次灾害中一棵垂直于地面的树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，你能知道这棵树折断前有多高吗？二．勾股定理定义（ 图1 ） ( 图2 )定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如图（3）如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=（a ²=c ²-b ²）注：1.必须是是直角三角形。
4m3m三．经典题型讲解题型1.在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）若a＝5，b＝12，求c；（2）若c＝26，b＝24，求a．练习.在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）已知b＝2，c＝3，求a；（2）已知:3:5a c ，b＝32，求a、c．题型2. 直角△ABC的两直角边分别长为6和8，则第三边长为。
练习.直角△ABC三边的长为x、x+1和5，则△ABC的周长是；面积是。
题型3.如图所示，折叠矩形ABCD一边，点D落在BC边的点F处，若AB＝8cm，BC＝10cm，EC的长为。
练习.如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合， 点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为 。
勾股定理专题讲义
勾股定理二、核心纲要 1. 勾股定理如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.注：⑴如图所示，直角三角形中较短的直角边是勾，较长的直角边是股，斜边是弦.⑵勾股定理只对直角三角形适用，而不适用锐角三角形和钝角三角形. ⑶为方便应用勾股定理进行计算，常将a2+b 2=c 2进行如下变形：①a 2 =c 2-b 2；②b 2=c 2-a 2；③a b ；⑤c ⑷勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：①已知直角三角形的两边求第三边；②已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形边； ③证明三角形中的某些线段的平方关系； 的线段.2. 勾股定理的证明勾股定理的证明实际采用的图形面积与代数恒等式的关系相互转化进行证明的，体现了数形结合的思想.⑴证法一：赵爽的“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”）如图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为a 、b （b ＞a ），斜边为c ，中间是正方形，且边长为b —a .∵以c 为边的大正方形的面积为c 2，而4个直角三角形的面积和为142ab ⨯，中间的小正方形的面积为（b -a ）2， ∴c 2=214()2ab b a ⨯+-.即a 2+b 2=c 2.AB CDEFG Hb ac勾弦 股⑵证法二：邹元治的证明如图是由4个全等的直角三角形拼成的大正方形，直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，中间是正方形，且边长为c .∵四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S =2142ab c ⨯+=2ab +c 2，，大正方形面积S =（a +b ）2，且四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. ∴（a +b ）2=2ab +c 2. ∴a 2+b 2=c 2.⑶证法三：1876年美国总统伽菲尔德（Garfield ）的证明如图是由2个以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形和一个以c 为直角边的等腰直角三角形拼成的直角梯形.∵S 梯形=211()()()22a b b a a b +⋅-=+， S 梯形=2S △ADE +S △DEC =221112222ab c ab c ⨯+=+，∴2211()22a b ab c +=+. ∴a 2+b 2=c 2. ⑷证法四：陈杰的证明如图所示，直角边长分别为a 、b 的四个三角形全等，斜边长为c ，图中有3个正方形边长分别为a 、b 、c ，设整个图形面积为S . ∵2222122S a b ab a b ab =++⨯=++，22122S c ab c ab =+⨯=+， ∴a 2+b 2+ab =c 2+ab . ∴a 2+b 2 =c 2.GD ABCEF Lb a a bc cABCa ab bE A B CD HE FG a b a b a b abc cc c⑸证法五：火柴盒拼图如图火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB ＇C ＇D ＇的位置，连接C ＇C ，可得到直角梯形B C C ＇D ＇和等腰直角三角形C ＇AC ，设AB =a ，BC =b ，AC =c ，利用梯形B C C´D´的面积即可证明勾股定理.∵S 梯形B C C ＇D ＇=21()()22a b BC C D BD +'''+⋅=，S 梯形B C C ＇D ＇=S △ABC +S △CAC ＇+S △D ＇AC ＇=2211122222c abab c ab +++=，∴22()222a b c ab++=， ∴a 2+b 2 =c 2.说明：上面的“火柴盒拼图法”曾以证明题的形式出现在中考卷中，其验证过程的实质就是伽菲尔德总统证法.勾股定理的证明方法有很多种，我们选取了其中比较容易理解的五种，仅供读者参考. 3.直角三角形斜边上的高求法 如图所示，ab =ch =>ab h c=.4.数学思想本节涉及到的常用数学思想有： ⑴方程思想：勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题目中的等量关系，然后利用勾股定理建立方程（组）解题，进而几何问题代数化.⑵分类讨论思想：有的题目没有明确指出是怎样的三角形，那么就需要对三角形的形状进行讨论，有时指明了是直角三角形，但没有指明哪条边是斜边，也需要对边的情况进行讨论. ⑶数形结合思想：勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，本身体现了数形结合的思想.⑷转化思想：有些问题如果直接解决难以入手，如果换个方向、角度或观点来考虑，使得问题更清楚，更简单.⑸类比思想：类比思想涉及知识的迁移，它把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也有可能有相同或类似之处.cbah A B ＇DC ＇D ＇c ab图17-1-430°ACBA6410图17-1-2EADCB图17-1-5本节重点讲解：一个定理，五个证明，五个思想.三、全能突破基础演练1.如图17-1-1所示，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了______步路（假设2步为1米），却踩伤了花草. A.2 B.3 C.4 D.52.一艘轮船以16海里/时的速度离开A 港向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A 港向西南方向航行，经过1.5小时后他们相距（）. A.25海里 B.30海里 C.40海里 D.32海里3.若直角三角形两条直角边长分别是3cm 和4cm ，则斜边上的高是（） A.5cm B.4cm C.3cm D.125cm 4.三个正方形的面积如图17-1-2所示，则正方形A 的面积为______.5.在△ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，若a +c =32，a :c =3:5，则△ABC 的面积为______.6.图17-1-3所示是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm ），计算两圆孔中心A 和B 的距离为______mm.7.某楼梯的侧面视图如图17-1-4所示，其中AB =4米，∠BAC =30°，∠C =90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为______米. 8.如图17-1-5所示，铁路上A 、B 两地相距25km ，C 、D 为两村庄.DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA =15km ，CB =10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产收购站E ，使得C 、D 两村到E 站距离相等，则E 站应建在距A 地多少千米处？能力提升图17-1-3图17-1-19.如图17-1-6所示，一个长为10m 的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ，如果梯子的顶端下滑1m ，那么，梯子与地面和墙围成的的三角形的面积（） A.不变 B.大于24m 2 C.小于24m 2 D.不确定10.在△ABC 中，AB =20，AC =13，高AD =12，则△ABC 的周长为（）. A.54 B.44 C.54或44 D.42或3211.如图17-1-7所示，在直线l 上依次摆放着七个正方形，正放置的四个正方形的面积为从左到右依次是1.21，1，1.44，1.69，则S 1+S 2+S 3=（）.12如图17-1-8所示，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则边AC 上的高为（）13.以某直角三角形三边分别作三个正方形，其中两个正方形面积分别为25cm 2和12cm 2，则第三个正方形的面积是______. 14.在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6cm ，CA =8cm ，动点P 从C 出发，以每秒2cm 的速度沿CA →AB 运动到点B ，则从点C 出发______秒时，可使S △BCP =13S △ABC . 15.⑴已知Rt △ABC的周长为2AB =2，则这个三角形的面积为______.⑵已知，如图17-1-9所示，∠C =90°，CD ⊥AB 于点D ，AB =13，CD =6，则AC +BC =______.16.图17-1-10中的螺旋形有一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、图17-1-9CBD CBA图17-1-8S 1S 2S 3图17-1-7图17-1-6⑤……，则第n 个等腰直角三角形的斜边长为______.17.如图17-1-11所示，∠B =∠D =90°，∠A =60°，AB =10，CD =6. 求四边形ABCD 的面积.18.如果把勾股定理的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广.⑴如图17-1-12（a ）所示，以Rt △ABC 的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积S 1，S 2，S 3之间有何关系？并说明理由.⑵如图17-1-12（b ）所示，以Rt △ABC 的三边长为直径作三个半圆，则三个半圆的面积S 1，S 2，S 3之间有何关系？⑶如果将上图中斜边上的半圆沿斜边翻折180°，如图17-1-12（c ）所示，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由.（此阴影面积在数学史上称为“希波克拉底月牙”）图17-1-13(a)FS 1 S 3S 2EACB Dc a bS 1 S 2S 3bACBc a (b)(c)S 2 S 1 S 3 AC B cba 图17-1-11ACBD①②③ ④ ⑤11 …图17-1-10图17-1-1419.图17-1-13所示是一块长、宽、高分别为3cm 、4cm 、6cm 的长方体纸箱（箱纸厚度忽略不计）.⑴求长方体底面的对角线长；⑵若揭开盖子EFGH 后，插入一根长为10cm 的细木棍，则细木棍露在外面的最短长度是多少？⑶在A 处有一蚂蚁，在G 处有一滴蜂蜜，蚂蚁从A 沿表面爬行到G ，求蚂蚁爬行的最短路径长.⑷若蜂蜜在点M 处，且距离F 为1cm ，蚂蚁从A 沿表面爬行到M ，求蚂蚁爬行的最短路径长.（直接写出结果）20.如图17-1-14所示，在平面直角坐标系中，△ABC 满足：∠C =90°，AC =2，BC =1，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当A 点从原点开始沿x 轴的正半轴运动，点C 沿y 轴的正半轴运动.⑴当A 在原点时，求原点O 到点B 的距离OB ；⑵当OA =OC 时，求原点O 到点B 的距离OB .21.在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，AB =c ，如图17-1-15（a ）所示，根据勾股定理，则a 2+b 2=c 2.若△ABC 不是直角三角形，如图17-1-15（b ）和图17-1-15（c ）所示，请你类比勾股定理，试猜想a 2+b 2与c 2的关系，并证明你的结论.中考链接（a ） （b ） 图17-1-15ACBABCABC（c ）CH EF G A D3 64 图17-1-13· MACB22.（2012·山东青岛）如图17-1-16所示，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm.23.（2012·陕西）如图17-1-17所示，从点A （0，2）发出的一束光，经x 轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A 到点B 所经过的路径长为______ .24.（2012·山东泰安）如图17-1-18所示，在△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，F 为BC 中点，BE 与DF 、DC 分别交于点G 、H ，∠ABE =∠CBE . ⑴线段BH 与AC 相等吗？若相等，给予证明；若不相等，请说明理由； ⑵求证：BG 2-GE 2=EA 2.巅峰突破25.在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AC =5，BC =12，D 是BC 上一点，当AD 是∠A 的平分线时，则CD =______.26.在等腰△ABC 中，AB =AC ，D 为直线BC 上任意一点， ⑴试探究：AB 2-AD 2与BD ·DC 之间的关系.⑵应用上述结论解决问题：在△ABC 中，若AB =AC =1，BC 边上有2012个不同的点P 1、P 2、…、P 2012，记m i =AP i 2+BP i ·P i C (i =1、2、3、…、2012)，则m 1+m 2+…+m 2012=______.(直接写出结果)图17-1-18CABE HG F图蚂蚁AC 蜂蜜 图17-1-16。
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老师寄语：我们很平凡，但我们永不平庸，我们要作永远的进步者，我们会用
行动证明一切，只要有蓝天的呼吸，我们就不能放弃奋飞的翅膀！ 考点·方法：
1．会用勾股定理解决简单问题.
2．会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
3．勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证.
经典·考题：
【例1】 (达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.
若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E 的面积是( )
A ．13
B ．26
C ．47
D ．94
【解法指导】 观察勾股树，发现正方形A 、B 的边长恰好是一直角三角形相邻的两直角边.此时直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即两个较小正方形面积之和等于较大正方形的面积，从而正方形E 的面积等于正方形A 、B 、C 、D 四个面积之和，故选C ．
【变式练习】
01．(安徽)如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点A ，C 到直线l 的距离分别是1和2，则正方形的边长是___________.
02．(浙江省温州)在直线l 上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋
S 3＋S 4＝______.
03．(浙江省丽江)如图，已知△ABC 中，∠
ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点
第1题图
第
2题图
1
在相互平行的三条直线l 1、l 2、l 3上，且l 1、l 2之间的距离为2，l 2、l 3之间的距离为3，则AC 的长是( )
A
．B
． C
． D ．7
【例2】(青岛)如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm .如果用一
根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要_____cm ；
【解法指导】细线缠绕时绕过几个面，则将这几个面展开后在同一平面内利用线段的公理：两点之间线段最短.画出线路，然后利用勾股定理解决，应填10.
当堂检测：
1. 在直角三角形ABC 中，斜边AB=1，则AB
222
AC BC ++的值是（ ）
A.2
B.4
C.6
D.8
2.有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ， ∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是______ cm （结果不取近似值）.
3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．
4.一根旗杆于离地面12m 处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m ，旗杆在断裂之前高多少m ？
5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是_____米.
6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?
B
A 3cm 1cm 6cm
7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.
8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。
求CD的长.
9. 如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB 的长.
10. 如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m ，宽2m 的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?
12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？
5m 13m
勾股定理辅导讲义（1）答案：
1.A ，提示：根据勾股定理得122=+AC BC ，所以AB 2
22AC BC ++=1+1=2；
2.4，提示：由勾股定理可得斜边的长为5m ，而3+4-5=2m ，所以他们少走了4步.
3. 1360
，提示：设斜边的高为x ，根据勾股定理求斜边为1316951222==+ ，再利用面积法得，1360,132112521=
⨯⨯=⨯⨯x x ；
4. 解：依题意，AB=16m ，AC=12m ，
在直角三角形ABC 中,由勾股定理,
222222201216=+=+=AC AB BC ,
所以BC=20m ,20+12=32(m ), 故旗杆在断裂之前有32m 高. 5.8
6. 解:如图,由题意得,AC=4000米,∠C=90°,AB=5000米,由勾股定理得
BC=3000400050002
2=-(米）,
所以飞机飞行的速度为5403600
203
=(千米/小时)
7. 解：将曲线沿AB 展开，如图所示，过点C 作CE ⊥AB 于E. 在
R
90,=∠∆CEF CEF t ，
EF=18-1-1=16（cm ），
CE=)(3060.21
cm =⨯，
由勾股定理，得CF=
)(3416302222cm EF CE =+=+
8. 解：在直角三角形ABC 中，根据勾股定理，得
254322222=+=+=AB AC BC
在直角三角形CBD 中，得CD 2=BC2+BD2=25+122=169，所以CD=13.
9. 解：延长BC 、AD 交于点E.（如图所示）
∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°又∵CD=3，∴CE=6，∴BE=8，
设AB=x ，则AE=2x ，由勾股定理。
得338,8)2(222=
=-x x x
10.如图，作出A 点关于MN 的对称点A ′，连接A ′B 交MN 于点P ，则A ′B 就是最短路线. 在Rt △A ′DB 中，由勾股定理求得A ′B=17km
11.解：根据勾股定理求得水平长为m 125132
2=-， 地毯的总长 为12+5=17（m ），地毯的面积为17×2=34（)2m ，
铺完这个楼道至少需要花为：34×18=612（元）
12. 解：如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时， 走了12千米，即OA=12．
乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时， 走了5千米，即OB=5．
在Rt △OAB 中，AB2=122十52＝169，∴AB=13， 因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米． ∵15＞13， ∴甲、乙两人还能保持联系．
A
第10题图。