联图的邻点可区别无圈边染色

要 证 明结论 成 立 ， 需 给 出 Ｐ 的一 个 （ 仅 ｚ Ｗ Ｖ ＋ ３ 一 ＡＥ ） Ａ Ｃ法． Ｃ一｛ ， ， ，＋３ ， ，为 设 １２ … 咒 ｝令
ｆ（ｏ ｆ一 ｖＶ） １ ≤ｎ ≤
特别地， １ ｍ＜ 等， ｍ 表示 Ｋ 对 ≤ Ｃ． Ｖ（ Ｋ ＋
Ｋ ） 一 ．文 中 未 加 述 及 的术 语 、 号 可 参 考 文 献 记 ｉ］ － ． ９
１ 定义及引理
定义 １４ 图 Ｇ（ Ｅ） 不 含 孤立 边 的简 单 连 ＿ ］ Ｖ， 是 通图， ｋ是 正 整 数 ， 个 肛正 常 边染 色 厂 被称 为 Ｇ 一
圈， 且相邻 点 Ｕ和 关 联边 的色 集合 不 同， 中 其 “ ∈Ｅ Ｇ ． （ ）简记 为 ｋＡ Ｅ ， － Ａ Ｃ 且称 （ ＝ｍｉ ｋ Ｇ存 在 ｋＡＡＥ ） Ｇ） ｎ｛ ｆ － Ｃ 为 Ｇ的邻点可区别无圈边色数． 显然 ， 无 孤立 边 的 简单 连通 图 Ｇ（ Ｅ） 对 ， ， （） Ｇ 是存在的． 猜想 ２７ 图 Ｇ是阶数 至少 为 ３的简单连通 ［ ］ 图， Ｇ／ ， 若 ：Ｇ 则 （ ） （ ） ． ： Ｇ ≤△ Ｇ ＋３ 定义 ４。 设 简单 连通 图 Ｇ， ， ［ ］ Ｈ 有
ｆ（ 斗１ 一 ５ ｖ ） ＋
ｆ ｖＵ ） ＋ （ ｆｊ 一 ｆ ｖＶ ） ＋３ （ １ 一咒
１ ≤ ２ ≤ 一
１ ≤ ｊ ， ≤ ， ＝ｌ ２
２ 主要结论
定理 ｌ 对 Ｐ ， Ｖ 有
竹 ２ ＋
７
厂 一 ） （ ａ－ ＝１ （ １ ＝ｆ ｕ ￥ ） ｌ ２
｛ 斗 １ ≤ｉ ｎ １ １Ｉ ≤ ≤ 一 ｝
且 Ｐ Ｖ 中每个圈都至少为 ３ 色的． 厂是 Ｐ Ｖ 则 Ｗ 的一个 （ ＋２ 一 Ｅ ）ＡＡ Ｃ法．
情况 ２ 当 ｍ＝ ２ｎ ，＝３时 ， 一Ｋｅ 由引 Ｐ Ｖｗ３ ，
理 １ ： 知
（ ｓ ＰｚＶ Ｗ ）一 ７
基金项 目：甘肃省 自然科学基金（ Ｚ ０ １Ａ２ －２ ） ３ Ｓ ５ 一 ５０ ５
作者简介 ： 刘信生（ ９ ６）男 ， １ ５一 ， 河南光山人 ， 教授．
・１ ２・ ３
兰
州 理 工 大 学 学 报
第３ ８卷
（ ｎ （ ＝ Ｇ） Ｈ）
当 ｍ一１ ≥４时 ， ， 由引理 ２知 ， （ Ｐ１ Ｖｗ ≥ ）
显 然 ， Ｖ“ ∈Ｅ（ 对 Ｐ ＶＷ ， ） Ｃ（ ， ）Ｃ（ ≠ ）并
Ｅ（ ） ｛ｏ ≤ ≤ ７ Ｗ 一 ｒｙ Ｉ １ ｚ ）Ｕ ｛ｉ斗 １≤ ｉ ７Ｖ ｌＩ ３ ≤ 一 １ Ｕ ｛ Ｖ ） ） １ 记 ＋ｌ阶扇 为 ， 中 ， 其 （ ） ｛ １ 一 ０≤ ｉ ≤ ） Ｅ（ ） ｛Ｏ ≤ ｉ 一 ＶＶ ｌ １ ≤ ）Ｕ
础 上提 出无 圈边染 色 的概 念 ［． 忠 辅 等人 提 出 图 ｚ张 ］ 的邻点可 区别 无圈 边 染 色 的概 念 ， 一 步 拓宽 图 的 进 染 色理论 的运用 范 围． 文在 此 基 础 上 讨论 几 类 联 本
Ａ Ｄ Ｃ 为 Ｇ的邻点可区别边色数． Ｖ Ｅ） 。 猜想 １４ 图 Ｇ 是 阶 数 至少 为 ３的 简 单 连 通 ［ ］ 图， Ｇ ５则 （ ） （ ） ． 若 ≠Ｃ ， Ｇ ≤△ Ｇ ＋２ 定义 ２２ 图 Ｇ（ Ｅ）的一个 正常 边染 色 厂 Ｅ ］ Ｖ， 被 称为 Ｇ 的无 圈边 染 色 ， 如果 Ｇ 中没 有 二 色 圈． 图
为 ｆ ｖｖ） （ ｏ １ 一ｉ ｆ ｕ ） ＋ １ （ ｌ 一ｉ ｆ ７＂ ） （１ ２ 一 ．ｖ １ ｆ ｕ７ ） （ ｌｎ 一ｒ＋ ２ （ ｌ０ 一ｆ ｖ＂ ） ｌ Ｊ Ｏ
ｆ ｖ ｉ） 一１ （ ｉ ＋ 一ｉ Ｖ１ ２≤ ｉ ≤ 一 １
１ ｉ ≤ ≤ １ ｉ ７ ≤ ≤ ｚ
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ａｃｏ ｄｎ ｈ ｅｉｉｏ ｆ ｏｏｉｇｏ ｄａ ｅ ｔ ｅｔｘｄｓｉｇ ｉ ｉｇａｙ ｌ ｄ ｅｏ ｒｐ ｓ ｃ ｒｉｇｔ ｔ ｅ ｆ ｔ ｎｏ ｌｒ ｆ ｊｃｎ ｒｅ－ ｉ ｎ ｕｓ ｎ ｃ ｃ ｃｅ ｇ ｆ ａ ｈ ， ｏ ｄ ｎｉ ｃ ｎ ａ ｖ ｔ ｈ ｉ ｇ ｔｅｃ ｌｒ ｇｏ ｈ ｄａｅ ｔ ｅｔｘｄｓｉｇ ｉｈｎ ｃ ｃｉ ｅ ｇ ｆ ｎｏ ｒｐ ｓＰ ， Ｖ ， ＶＰ ， ｈ ｏｏ ｉ ｆ ｅａ ｊｃｎ ｒｅ －ｉ ｎ ｕｓ ｉｇａ ｙ ｌ ｄ ｅＯ ｉｎｇ ａ ｈ Ｖ ｎ ｔ ｖ ｔ ｃ ｕ Ｐ Ｐ Ｐ ｎ 卅 ｍＶＳ ａ ｄＣ ． ｓｄｓｕ ｓｄｗｉ ｏ ｓｒ ｃｉｎｍｅｈ ｄ ｗａ ｉ ｓｅ ｔ ｃ ｎ ｔｕ ｔ ｔｏ ．Ｔｈ ｎｔｅｃ ｒｍａｉ ｎ ｍｂ ｒ ｆ ａａｅ ｔ ｅｔｘ ｃ ｈ ｏ ｅ ｈ ｈ ｏ ｔ ｕ ｅ ｊｃｎ ｒｅ－ ｃ ｏａ ｖ ｄｓｉｇ ｉ ｉｇａｙ ｌ ｄ ｅｗａ ｉｅ ｎ ｔ ｓｐ ｏ ｅ ｈ ｔｔｅｃ ｎｅｔ ｒ ｆｓｔ ｆｃｏｙｃ ｌｒ ｇｏ ｈ ｉ ｎ ｕｓ ｎ ｃ ｃｉ ｅｇ ｓ ｖ ｎ ａ ｄ ｉ ｗａ ｒｖ ｄｔａ ｈ ｏ ｊｃｕ ｅｏ ａｉ ａｔｒ ｏｏ ｉ ｆ ｅ ｔ ｈ ｃ ｇ ｓ ｎ ｔ
联图的邻 点可 区别无圈边 染色
刘信 生， 志强， 王 孙春虎
（ 西北师范大学 数学与信息科学学院 ， 甘肃 兰州 ７ ０ ７ ） ３ ０ ０
摘要 ： 根据 图的邻点可 区别无圈边染色的定义 ， 利用 构造 的方法讨论联 图 Ｐ ＶＷ Ｐ ＾ Ｐ 、 Ｖ 和 、 ＶＦ 、 州Ｖ Ｐ
Ｌ Ｕ ｎ ｓ ｅ ｇ，Ｗ ＡＮＧ ｈ— ｉｎ Ｉ Ｘｉ－ｈ ｎ Ｚ ｉ ａ ｇ，Ｓ ｑ ＵＮ ｕ － ｕ Ｃｈ ｎ ｈ
（ ｌ ｇ ｆＭ ａｈ ｍａ ｉｓａ ｄ Ｉｆ ｒ ａｉｎＳｃｅ ｃ ，Ｎｏ ｔ ｗｅ ｔＮｏ ｍａ ｎｖ ｒ ｉｙ Ｃｏｌ ｅｏ ｔｅ ｔｃ ｎ ｎ ｏ ｍ ｔｏ ｉｎ ｅ ｅ ｒｈ ｓ ｒ ｌ ｉｅ ｓｔ ，Ｌａ ｚ ｏ ７ ０ ７ Ｕ ｎｈ ｕ ３ ０ ０，Ｃｈｎ ） ｉａ
Ｃ ．的邻点可区别 无圈边染色 ， 并给 出它们的邻点可区别 无圈边 色数及其证 明， 且均满足 图的邻点可 区别 无圈边 染
色 猜 想．
关键 词 ： 图；邻点可区别无 圈边染色 ；邻点可区别无圈边 色数 联 中图分类号 ： ５ ． Ｏ１ ７ ５ 文献标识码 ： Ａ
Ｃ ｌｒ ｇｏ ｄ ｅ ｔｖｒｅ －ｉｔ ｇ ｉ ｉｇａ ｙｌ ｄ ｅｏ ｎｏ ｒ ｐ ｓ ｏｏ ｉ ｆ ｊ ｃｎ ｅｔｘｄｓｉ ｕｓ ｎ ｃｃｉ ｅ ｇ ｆｕ ｉｎ ｇａ ｈ ｎ ａ ａ ｎ ｈ ｃ
的 愚邻点可区别边染色， 一 如果满足 ： Ｖｕ ＥＥ Ｇ ， 对 ｖ （）
Ｃ ≠Ｃ（）这 里 Ｃ（ 一 ｛ （ ｖ ＩＶ （） ， ） ｆ ｕ ） ∈Ｅ（ ）简 Ｕ Ｇ）． 记 为 ｋＡＶＤ Ｃ，且 称 － Ｅ
收 稿 日期 ：２ １－５２ ０ １０ —６
（ ＝ｍｉ ｋＩ Ｇ） ｎ｛ 在 ｋ Ｇ存 一
引理 ２ 对 Ｉ （ Ｉ Ｈ） ≥３的简单连通 图 Ｇ， 有
（） Ｇ ≥△， 当图 Ｇ有相邻最大度点时， 且
（ ）≥ △＋ １ Ｇ
Ｃ ） ｛ ） （ １ ＝ １
Ｃ ｖ） ｛ （ ｏ 一 ＋ １ ） Ｃ ｖ） ｛ ，，｝ （ １ 一 １ ２ ｎ Ｃ（２ ： ｛ ， ， ， ） １ ２ ３ ） Ｃ ） ｛一 ２ ｉ １ ｉｉ １ （ ＝ ｉ ，～ ，，＋ ｝ ３ ｉ ≤ ≤ 一 １ ・ Ｃ（ｎ 一 ｛ ７ ） 一 ２ 竹 ＋ １咒＋ ２ ３ ，， ， ｝
．
Ｇ的无 圈边染 色 简记 为 ｋＡＥ 且称 － Ｃ，
：Ｇ ＝ｍｉ｛Ｉ （ ） ｎｋＧ存在 意Ａ Ｃ 一Ｅ ）
为 Ｇ的无 圈边 色数． 定义 ３６ 图 Ｇ（ Ｅ ［ ］ Ｖ， ）的一个 正 常边 染 色 厂 被称为邻点可区别无圈边染色， 如果 Ｇ中没有二色
．
图的邻点可区别无圈边染色 ， 并证 明其均满足 图的 邻 点可 区别无 圈边染 色猜想 ．
ｊｃｎ ｅｔｘｄｓｉｇ ｉｈｎ ｃ ｃ ｃｅ ｇ ａ ｅ ｔ ｒｅ －ｉ ｎ ｕｓ ｉｇａ ｙ ｌ ｄ ｅ ｖ ｔ ｉ ．’
图的染 色问题 是 图 论 的 主要 研 究 内容 之 一 ， 在
网络权的分配问题 、 电信通讯站点频率分配问题 、 计 算机网络结构 区分 问题等方 面有着极其 广泛 的应 用 ［ ．０ １ Ｎｏ ａＡｌｎ在 无 圈 染 色 概 念［ 的基 ］２０ 年 ｇ ｏ ］
ａ ｊｃ ｎ ｅｔｘｄｓｉｇ ｉｈｎ ｃ ｃｉ ｅｇ ｅ ｒ ｅ ｄａｅ ｔ ｒｅ －ｉ ｎ ｕｓ ｉｇａ ｙ ｌ ｄ ｅｈ ｌ ｔｕ ． ｖ ｔ ｃ ｄ
Ｋｅ ｒ ｓ ｎｏ ｒｐ ； ｏｏｉｇｏ ｄａｅ ｔ ｅｔｘｄｓｉｇ ｉ ｉｇａｙ ｌ ｄ ｅ ｃ ｒ ｍａｉ ｎ ｍｂ ｒ ｆ ｄ ｙ ｗｏ ｄ ：ｕ ｉｎｇａ ｈ ｃ ｌｒ ｆ ｊｃｎ ｒｅ－ ｉ ｎ ｕｓ ｎ ｃ ｃｉ ｅ ｇ ； ｈｏ ｔ ｕ ｅ — ｎ ａ ｖ ｔ ｈ ｃ ｃ ｏａ
ｆ ｖｕ ） （ ｏｊ 一 ＋ ＋１
因此 ，
一 １ｎ≥ ３ ，
ｍ 一 ２。 一 ３ ７ ｚ
Ｊ ， 一１ ２
Ｃ（ １ ＝ ｛ ＋３ ｕ） ７ ） ｚ Ｃ（ｏ 一（ ＋ １ Ｖ） ｝
Ｃ（ ｚ ： ｛ ） ｕ ） ２ Ｃ（ １ ＝ （ ， ， ， ， ＋３ ｖ） １２３ ６７ ｝ ２ ２ ≤ ≤ ～２
此 时结论 成立 ．
当 ｍ＝２ ７ ４时 ， ，≥ ｚ 由引理 ２知 ：
（ ｚＶ Ｖ ） △＋ １ Ｐ ≥ 一 ＋ ３
记 咒 阶星为 ， 中， ＋ｌ 其 、（ｎ 一 ｛ ｌ ，Ｓ ） ｒ ０≤ ｉ ≤ ）
Ｅ（ 一 ｛ ＯｉＩ Ｓ ） Ｖ＂ Ｏ １≤ ｉ ≤ ）
则称 ＧＶＨ 为 Ｇ 与 Ｈ 的联 图． 由联 图的定 义容易 得 到
△（ Ｖ Ｈ ） Ｇ 一
ｍａ △Ｇ ＋ ｌｒ Ｉ△ Ｈ） ｌｒ ） ｝ ｘ｛ （ ） 、 Ｈ） ，（ ＋ 、 Ｇ Ｉ ， （ ， （
引理 ｌ 对 ｎｎ ）阶完 全 图 Ｋ 有 （≥３ ，
因此 ，
ｃ 一 兰（ｄ Ｋ｛ 。ｏ； ｌ。 ｍ２
文中讨论 的所有 图都是有 限、 向和简单 的． 无 △ Ｇ 表示 图 Ｇ的最大度 ， ≤ 表示 ｉ （） ｍ ≤咒 取 ｍ，］ ７ ２
之 间 的所有 正整数 ．记 ｍ 阶路 Ｐ 一 ｕ…‰ ； ２ 记
阶路 Ｐ 一 。… ； 咒 阶轮为 ｗ 其中， … 记 ＋１
、（ ） ｛ ｌ ， 一 ｒ ０≤ ｉ ７ ≤ ２ ｝
第３ ８卷 第 ２期
２１年 ４ ０２ 月
兰
州
理
工
大
学
学
报
Ｖｏ ８ Ｌ３ Ｎ０ ２ －
Ａｐ ． ０ ２ ｒ２ １
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＬａ ｚ ｏ ｉｅ ｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏｏ ｙ ｏ ｒ ａ ｎ ｈ ｕ Ｕｎｖ ｒｉｙｏ ｃ ｎ ｌｇ ｏ
文 章 编 号 ：１ ７－１ ６２ １） ２０ ３ －５ ６ ３５ ９ （ ０ ２０ －１ １０
Ｅ（ ｎＥ（ 一 Ｇ） Ｈ）
△ ＝ｎ ． ＋ｌ ＋２要证明结论成立 ， 仅需给出 Ｐ Ｖ 的
一பைடு நூலகம்
Ｖ（ ＝Ｖ（ ） （ ＧＶＨ） Ｇ Ｕ Ｈ）
Ｅ（ 一Ｅ（ ） ＧＶＨ） Ｇ ＵＥ（ Ｕ Ｈ） ｛ＶＵ Ｕ ｌ ∈Ｖ（ ， Ｇ） ∈Ｖ（ ） Ｈ）
个 （＋ ２ 一 ） ＡＡＥ Ｃ法 ． Ｃ ｛ ，， ， ＋ ２ ， 设 一 １２ … 咒 ｝令