14 简单复合函数的导数

【2021高考数学理科苏教版课时精品练】第十一节 简单复合函数的导数

1．设曲线y ＝cos(ωx ＋π3)在点(π2

，0)处的切线斜率为k .若|k |＜1，求ω. 解：由曲线过点(π2，0)，则cos(π2ω＋π3

)＝0， ∴π2ω＋π3＝n π＋π2

， ∴ω＝2n ＋13

(n ∈Z )， ∵y ′＝－sin(ωx ＋π3)·(ωx ＋π3

)′ ＝－ωsin(ωx ＋π3

)． ∴y ′|x ＝π2＝－ωsin(ωπ2＋π3

)， 即k ＝－ωsin(ω2π＋π3

)． ∴|k |＝|ωsin(ω2π＋π3)|＝|(2n ＋13)sin(n π＋π2

)| ＝|2n ＋13

|＜1， ∴n ＝0，ω＝13

. 2．求函数f (x )＝x ·e 2－x 的最大值．

解：f ′(x )＝x ′·e 2－x ＋x ·e 2－x ·(2－x )′

＝e 2－x －x e 2－x ＝(1－x )e 2－x .

∴当x ＜1时，f ′(x )＞0；当x ＞1时，f ′(x )＜0；

当x ＝1时，f ′(x )＝0，

∴当x ＝1时，f (x )取得最大值为e.

3．设函数f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2.

(1)讨论f (x )的单调性；

(2)求f (x )在区间[－34，14

]的最大值和最小值． 解：f (x )的定义域为(－32

，＋∞)， (1)f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3

＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3

. 当－32

＜x ＜－1时，f ′(x )＞0； 当－1＜x ＜－12

时，f ′(x )<0； 当x ＞－12

时，f ′(x )＞0， f (x )分别在区(－32，－1)，(－12

，＋∞)上单调增加， 在区间(－1，－12

)上单调减少．

(2)由(1)知f (x )在区间[－34，14]的最小值为 f (－12)＝ln 2＋14. 又f (－34)－f (14)＝ln 32＋916－ln 72－116

＝ln 37＋12＝12(1－ln 499

)＜0. 所以f (x )在区间[－34，14]的最大值为f (14)＝116＋ln 72

. 4．如图，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)(x ∈R,0≤θ≤π2

)的图象与y 轴交于点(0，3)，且在该点处切线的斜率为－2.

(1)求θ和ω的值；

(2)已知点A (π2

，0)，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈[π2

，π]时，求x 0的值． 解：(1)将x ＝0，y ＝3代入函数y ＝2cos(ωx ＋θ)得cos θ＝32

. 因为0≤θ≤π2，所以θ＝π6

. 又因为y ′＝－2ωsin(ωx ＋θ)，y ′|x ＝0＝－2，θ＝π6

， 所以ω＝2，因此，y ＝2cos(2x ＋π6

)． (2)因为点A (π2，0)，Q (x 0，y 0)是PA 的中点，y 0＝32

， 所以点P 的坐标为(2x 0－π2

，3)． 又因为点P 在y ＝2cos(2x ＋π6

)的图象上， 所以cos(4x 0－5π6)＝32

， 因为π2≤x 0≤π，所以7π6≤4x 0－5π6≤19π6

， 从而得4x 0－5π6＝11π6或4x 0－5π6＝13π6

， 即x 0＝2π3或x 0＝3π4

. 5．已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2－10x 的一个极值点．

(1)求a ；

(2)求函数f (x )的单调区间；

(3)若直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，求b 的取值范围．

解：(1)因为f ′(x )＝a 1＋x

＋2x －10， 所以f ′(3)＝a 4

＋6－10＝0， 因此a ＝16.

(2)由(1)知，

f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，x ∈(－1，＋∞)，

f ′(x )＝2(x 2－4x ＋3)1＋x ＝2(x －1)(x －3)1＋x

. 当x ∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，f ′(x )＞0，

当x ∈(1,3)时，f ′(x )＜0.

所以f (x )的单调增区间是(－1,1)，(3，＋∞)，f (x )的单调减区间是(1,3)．

(3)由(2)知，f (x )的极大值为f (1)＝16ln 2－9，

极小值为f (3)＝32ln 2－21.

因为f (16)＞162－10×16＞16ln 2－9＝f (1)．

f (e －2－1)＜－32＋11＝－21＜f (3)，

所以在f (x )的三个单调区间(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)直线y ＝b 与y ＝f (x )的图象各有一个交点，

当且仅当f (3)＜b ＜f (1)．

因此，b 的取值范围为(32ln 2－21,16ln 2－9)．

6．设函数f (x )＝ln x 1＋x

－ln x ＋ln(x ＋1)． (1)求f (x )的单调区间和极值；

(2)是否存在实数a ，使得关于x 的不等式f (x )≥a 的解集为(0，＋∞)？若存在，求a 的取值范围；若不存在，试说明理由．

解：(1)f ′(x )＝1x (1＋x )－ln x (1＋x )2－1x ＋11＋x ＝－ln x (1＋x )2

， 故当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0，

当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0.

所以f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．

由此知f (x )在(0，＋∞)上的极大值为f (1)＝ln2，没有极小值．

(2)①当a ≤0时，

由于f (x )＝(1＋x )ln (1＋x )－x ln x 1＋x

＝ln (1＋x )＋x [ln (1＋x )－ln x ]1＋x

＞0， 故关于x 的不等式f (x )≥a 的解集为(0，＋∞)．

②当a ＞0时，

由f (x )＝ln x 1＋x

＋ln(1＋1x )知 f (2n )＝ln2n 1＋2n

＋ln(1＋12n )， 其中n 为正整数，

且有ln(1＋12n )＜a 2⇔12

n ＜－1

⇔n ＞－log 2(－1)．