理论力学虚位移原理
理论力学：虚位移原理及分析力学基础
13．虚位移原理及分析力学基础 自由质点系：运动状态（轨迹、速度等）只取决于作用力和运动的起始条件的质点系。 非自由质点系：运动状态受到某些预先给定的限制（运动的起始条件也要满足这些限制条件）的质点系。 约束：非自由质点系所受到的预先给定的限制。 约束方程：用解析表达式表示的限制条件。 几何约束：只限制质点或质点系在空间位置的约束。 运动约束：对于质点或质点系不仅有位移方面的限制，还有速度或角速度方面的限制的约束。 定常约束：约束方程中不显含时间的约束。 非定常约束：约束方程中显含时间的约束。 完整约束：约束方程不包含质点速度，或者包含质点速度但是它可以积分，转换为有限形式的约束。 非完整约束：约束方程包含质点速度、且不可积分不能转换为有限形式的约束。 双面约束：不仅能限制质点在某一方向的运动，还能限制其在相反方向的运动的约束。 单面约束：只能限制质点沿某一方向运动的约束。 自由度数：在具有完整约束的质点系中，唯一地确定系统在空间的位形或构形的独立坐标的数目数。 广义坐标：用来确定质点系位置的独立参数。 虚位移：在给定位置上，质点或质点系在约束所容许的条件下可能发生的任何无限小位移，称为质点或质点系的虚位移。 虚功：作用于质点上的力在该质点的虚位移中所作的元功，用δW 表示。若用F ，δr 分别代表力和虚位移，则虚功的表达式为F W δδ=?F r 。 理想约束：约束力虚功之和等于零的约束。
虚位移原理：具有理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是,所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。 作用于质点系上的主动力对应于广义坐标q h 的广义力： 1 n i Qh i i h r F F q ? ? = =? ∑。 平衡稳定性：在保守系统中，(1)受到微小的扰动而偏离平衡位置后，它能返回到原平衡位置，这种平衡状态称为稳定平衡；(2)受到微小的扰动后，再也不能回到原平衡位置，这种平衡状态称为不稳定平衡；(3)不论在哪个位置，总是平衡的，这种平衡状态称为随遇平衡。 动力学普遍方程：在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任意虚位移上所作虚功之和等于零。
理论力学课后答案第五章周衍柏
第五章思考题 5.1虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题,有何优点和缺点? 5.2 为什么在拉格朗日方程中，a θ不包含约束反作用力?又广义坐标与广义力的含义如 何？我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲? ５.３广义动量a p 和广义速度a q 是不是只相差一个乘数m ?为什么a p 比a q 更富有意义? 5.4既然a q T ??是广义动量,那么根据动量定理,??? ? ????αq T dt d 是否应等于广义力a θ?为什么在拉格朗日方程()14.3.5式中多出了a q T ??项?你能说出它的物理意义和所代表的物理量吗? 5.5为什么在拉格朗日方程只适用于完整系?如为不完整系,能否由式()13.3.5得出式()14.3.5？ 5.6平衡位置附近的小振动的性质,由什么来决定？为什么22s 个常数只有２s 个是独立的？ 5.７什么叫简正坐标?怎样去找?它的数目和力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标将作怎样的运动? 5.8多自由度力学体系如果还有阻尼力，那么它们在平衡位置附近的运动和无阻尼时有何不同?能否列出它们的微分方程? 5.9 dL 和L d 有何区别？a q L ??和a q L ??有何区别？ 5.10哈密顿正则方程能适用于不完整系吗?为什么?能适用于非保守系吗？为什么? ５.１1哈密顿函数在什么情况下是整数？在什么情况下是总能量?试祥加讨论，有无是总能量而不为常数的情况？ 5.1２何谓泊松括号与泊松定理？泊松定理在实际上的功用如何? 5.１3哈密顿原理是用什么方法运动规律的？为什么变分符号δ可置于积分号内也可移到积分号外?又全变分符号?能否这样? ５.１4正则变换的目的及功用何在?又正则变换的关键何在？ 5．1５哈密顿-雅可比理论的目的何在？试简述次理论解题时所应用的步骤. ５.16正则方程()15.5.5与()10.10.5及()11.10.5之间关系如何？我们能否用一正则变换由前者得出后者？ 5.17在研究机械运动的力学中，刘维定理能否发挥作用？何故? 5.1８分析力学学完后,请把本章中的方程和原理与牛顿运动定律相比较,并加以评价.
达朗贝尔原理及虚位移原理知识点总结
达朗贝尔原理 知识总结 1.质点的惯性力。 ?设质点的质量为m ，加速度为，则质点的惯性力定义为 2.质点的达朗贝尔原理。 ?质点的达朗贝尔原理：质点上除了作用有主动力和约束力外，如 果假想地认为还作用有该质点的惯性力，则这些力在形式上形成一个平衡力系，即 3.质点系的达朗贝尔原理。 ?质点系的达朗贝尔原理：在质点系中每个质点上都假想地加上各自的惯 性力，则质点系的所以外力和惯性力，在形式上形成一个平衡力系，可以表示为 4.刚体惯性力系的简化结果 （1）刚体平移，惯性力系向质心C 简化，主矢与主矩为 （2）刚体绕定轴转动，惯性力系向转轴上一点O 简化，主矢与主矩为 其中
如果刚体有质量对称平面，且此平面与转轴z 垂直，则惯性力系向此质量对称平面与转轴z 的交点O 简化，主矢与主矩为 （3）刚体作平面运动，若此刚体有一质量对称平面且此平面作同一平面运动，惯性力系向质心C简化，主矢和主矩为 式中为过质心且与质量对称平面垂直的轴的转动惯量。 5.消除动约束力的条件。 刚体绕定轴转动，消除动约束力的条件是，此转轴是中心惯性主轴（转轴过质心且对此轴的惯性积为零）；质心在转轴上，刚体可以在任意位置静止不动，称为静平衡；转轴为中心惯性主轴，不出现轴承动约束力，成为动平衡。 常见问题 问题一在惯性系中，惯性力是假想的（虚加的），达朗贝尔原理也是数学形式上的，物体一般并不是真的处于平衡。 问题二惯性力系一般都是向定点或者质心简化，因此这时惯性力系的主矩，而向其它的点简化，一般上是不成立的。如果一定要向某一任意点A简化，那么要先向定点或质心简化，之后将其移至A点（注意力在平移时将会有附加力偶）。惯性力系的主失是与简化中心无关的。 问题三用达朗贝尔原理解题时，加上惯性力系后就完全转化成静力学问题，其求解方法与精力学完全相同。 问题四物体系问题。每个物体都有惯性力系，因此每个物体的惯性力系向质心（或定点）简化都得到一个力与一个力偶。 虚位移原理 知识点总结 1.虚位移·虚功·理想约束。 在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，人所假想的任何无限小位移称为虚位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。 力在虚位移中所作的功称为虚功。
理论力学课后答案第五章
第五章思考题 5.1虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题，有何优点和缺点？ 5.2 为什么在拉格朗日方程中，a θ不包含约束反作用力？又广义坐标与广义力的含义如何？我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲? 5.3广义动量a p 和广义速度a q &是不是只相差一个乘数m ？为什么a p 比a q &更富有意义？ 5.4既然 a q T &??是广义动量，那么根据动量定理，???? ????αq T dt d &是否应等于广义力a θ？为什么 在拉格朗日方程()14.3.5式中多出了a q T ??项？你能说出它的物理意义和所代表的物理量吗？ 5.5为什么在拉格朗日方程只适用于完整系？如为不完整系，能否由式()13.3.5得出式 ()14.3.5？ 5.6平衡位置附近的小振动的性质，由什么来决定？为什么22s 个常数只有2s 个是独立的？ 5.7什么叫简正坐标？怎样去找？它的数目和力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标将作怎样的运动？ 5.8多自由度力学体系如果还有阻尼力，那么它们在平衡位置附近的运动和无阻尼时有何不同？能否列出它们的微分方程？ 5.9 dL 和L d 有何区别？ a q L ??和a q L ??有何区别？ 5.10哈密顿正则方程能适用于不完整系吗？为什么？能适用于非保守系吗？为什么？ 5.11哈密顿函数在什么情况下是整数？在什么情况下是总能量？试祥加讨论，有无是总能量而不为常数的情况？ 5.12何谓泊松括号与泊松定理？泊松定理在实际上的功用如何？ 5.13哈密顿原理是用什么方法运动规律的？为什么变分符号δ可置于积分号内也可移到积分号外？又全变分符号?能否这样？ 5.14正则变换的目的及功用何在？又正则变换的关键何在？ 5.15哈密顿-雅可比理论的目的何在？试简述次理论解题时所应用的步骤. 5.16正则方程()15.5.5与()10.10.5及()11.10.5之间关系如何？我们能否用一正则变换由前者得出后者？ 5.17在研究机械运动的力学中，刘维定理能否发挥作用？何故？
理论力学(14.7)--虚位移原理-思考题答案
第十四章 虚位移原理 答 案 14-1 (1)若认为B处虚位移正确，则A，C处虚位移有错：A处位移应垂直于 O1A向左上方，C处虚位移应垂直向下。若认为C处虚位移正确，则B，A处虚位移有错：B处虚位移应反向，A处虚位移应垂直于O1A向右下方。C处虚位移可沿力的作用线，A处虚位移不能沿力的作用线。 (2)三处虚位移均有错，此种情况下虚位移均不能沿力的作用线。杆 AB，DE若运动应作定轴转动，B，D点的虚位移应垂直于杆AB，DE；杆BC，DE作平面运动，应按刚体平面运动的方法确定点C虚位移。 14-2 （1）可用几何法，虚速度法与坐标（解析）法；对此例几何法与虚速度法比坐标（解析）法简单，几何法与虚速度法难易程度相同。 （2）可用几何法，虚速度法与坐标（解析）法。几何法与虚速度法相似，比较简单。用坐标法也不难，但要注意δθ的正负号。
（3）同（2） （4）用几何法或虚速度法比较简单，可以用坐标法，但比较难。 （5）同（4） 14-3 （1）不需要。 （2）需要。内力投影，取矩之和为零，但内力作功之和可以不为零。 14-4 弹性力作功可用坐标法计算，也可用弹性力作功公式略去高阶小量计算；摩擦力在此虚位移中作正功。 14-5 在平面力系所在的刚体平面内建立一任意的平面直角坐标系，在此刚体平面内任选一点作为基点，写出此平面图形的运动方程。设任一力 的作用点为（x i， y i），且把此坐标以平面图形运动方程表示，设此点产生虚位移，把力 投影到坐标轴上，且写出此点直角坐标的变分，用解析法形式的虚位移表达式，把力的投影与直角坐标变分代入，运算整理之后便可得。
也可以在平面力系所在的刚体平面内任选一点O（简化中心），把平面力系向此点简化得一主矢与主矩，把主矢以 表示，分别给刚体以虚位移 ，由虚位移原理也可得平衡方程。
理论力学第七章题解
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理论力学题解 第七章思考题 7.1. 建立适当的坐标系，单摆悬挂点A始终在轴上，摆锤为 B，摆长，则摆锤的约束方程为：， ，，。可见， 摆锤受完整、双侧、非稳定约束。是否受理想约束，要视悬挂点的约束情况而定。b5E2RGbCAP 7.2. 轮I、II、III的转角可唯一确定力学系统的位置， 被确定后，轮I及绳的位置被确定，确定后，轮II轮III 的位置随之确定。为系统的广义坐标。系统的自由度为 3。p1EanqFDPw 7.3. 由于约束方程可积，积分为：<为积分常 数），所以该约束属于完整约束。 7.4. 7.5. 7.6. <1）由于已知平板的运动规律，所以圆轮与平板的接触点的虚位移<相对固定平面）＝<相对平板）＋<平板牵连运动引起 的）中的。又因圆轮作无滑滚动，因此。于是圆轮所受 约束力的虚功之和，圆轮受理想约束。<2）由于平 板运动规律没有预先给定，，，圆轮 受到非理想约束。如果以圆轮和平板作为一个系统，约束力的虚功之和为零，系统受理想约束。DXDiTa9E3d
7.7. 7.8. 7.9. 因<是质点1相对质点2的相 对虚位移）。所以或，都会导致两约束力的虚功之和 为零。 7.10. 7.11. 第七章习题 7.1. 杆的自由度为1，以杆与水平方向的夹角作为广义坐标，根 据虚功原理， 解：如图（a ），应用虚位移原理： F 1 ?術 F 2 ? 8r 2 = 0 书鹵 / 、 8r 1 8r 2 tan P 如图（b ）： 8 廿y ； 8 厂乔 8r i 能的任意角度B 下处于平衡时，求 M 1和M 2之间的关系 第12章 虚位移原理及其应用 12-1图示结构由8根无重杆铰接成三个相同的菱形。 试求平衡时, 解：应用解析法，如图(a )，设0D = y A = 2l sin v ； y^ 61 sin v S y A =21 cos ：心； 溉=61 COST 心 应用虚位移原理： F 2 S y B - R ? S y A =0 6F 2 —2R =0 ; F i =3F 2 习题12-1图 F 2之值。已知：AC = BC 12-2图示的平面机构中, D 点作用一水平力F t ，求保持机构平衡时主动力 =EC = DE = FC = DF = l 。 解：应用解析法，如图所示： y A =lcos ) ； x D =3lsin v S y A - -l sin^ 心；S x D =3I COS ^ & 应用虚 位移原理： —F 2 ? S y A - F I 8x^0 F 2sin J - 3F t cos ^ - 0 ； F 2 = 3F t cot^ 12-3图示楔形机构处于平衡状态，尖劈角为 小关系 习题12-3 B 和3不计楔块自重与摩擦。求竖向力 F 1与F 2的大 F i F 2| (a ) (b) F i 8i - F 2 12-4图示摇杆机构位于水平面上，已知 OO i = OA 。机构上受到力偶矩 M 1和M 2的作用。机构在可 第十四章虚位移原理 一、回顾： 液压升降台如图所示，求油压举升缸筒的拉力。 本题目是物体系平衡问题 。 图（a） 1.取缸筒为研究对象 ∑M G(F)=0 求出F E 2.取CG、DE+缸筒为研究对象 ∑M (F)=0 求出F Dy C （b）（c） 3.取整体为研究对象 ∑M A(F)=0 求出F B 4.取杆BD为研究对象 ∑M K(F)=0 求出F Dx （d）（e） 5.取杆DE为研究对象 ∑M O(F)=0 求出F JH 由上分析可知： （1）用静力学中求解物体系统平衡问题的方法求解，需要选取5次研究对象，列5个方程，求解过程较为复杂。 （2）运算过程中出现了4个题目并不需要求解的约束反力，称之为中间变量，消除这些约束反力，才能得到要求的量。 问题有无别的方法求解物体系统的平衡问题而这种方法又能避开求这些中间变量，简化求解过程。 二、求解物体系统的平衡问题的两种方法 ⑴用静力平衡方程求解----刚体静力学（几何静力学） ⑵用虚位移原理求解----分析静力学 虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。对于只有理想约束的物体系，由于约束力不作功，有时应用虚位移原理求解更为方便。 三、利用虚位移原理求解的平衡问题一般有如下几个特点： ⑴结构特点-----结构为几何可变体系 ⑵待求量特点-----数目较少 ⑶研究对象的选取-----取整体即可求解 四、基本概念 几何可变体系-----约束允许系统动 几何不变体系-----约束不允许系统动 举例： 图图 如图所示，约束允许结构动，受力后可以不动，该结构为几何可变体系。 如图所示，约束不允许结构动，受力后仍然不动，该结构为几何不变体系。 对于几何不变体系，只要解除某些约束，用约束力代替约束的作用，即可将不变体系变为可变体系。 约束·虚位移·虚功 一、约束及其分类 第12章 虚位移原理及其应用 12－1 图示结构由8根无重杆铰接成三个相同的菱形。试求平衡时，主动力F 1与F 2的大小关系。 解：应用解析法，如图（a ），设OD = l θsin 2l y A =；θsin 6l y B = θθδcos 2δl y A =；θθδcos 6δl y B = 应用虚位移原理：0δδ12=?-?A B y F y F 02612=-F F ；213F F = 12－2图示的平面机构中，D 点作用一水平力F 1，求保持机构平衡时主动力F 2之值。已知：AC = BC = EC = DE = FC = DF = l 。 解：应用解析法，如图所示： θcos l y A =；θsin 3l x D = θθδsin δl y A -=；θθδcos 3 δl x D = 应用虚位移原理：0δδ12=?-?-D A x F y F 0cos 3sin 12=-θθF F ；θcot 312F F = 12－3 图示楔形机构处于平衡状态，尖劈角为θ和β，不计楔块自重与摩擦。求竖向力F 1与F 2的大小关系。 解：如图（a ），应用虚位移原理：0δδ2211=?+? r F r F 如图（b ）： β θt a n δδt a n δ2 a 1r r r == ；12 δtan tan δr r θ β = 0δtan tan δ1211=? -?r θβF r F ；θ β tan tan 21?=F F 12－4 图示摇杆机构位于水平面上，已知OO 1 = OA 。机构上受到力偶矩M 1和M 2的作用。机构在可能的任意角度θ下处于平衡时，求M 1和M 2之间的关系。 习题12-1图 （a ） 习题12-2解图 习题12－3 （a ） r a （b ） 习 题 4-1 如图4-19所示，在曲柄式压榨机的销钉B 上作用水平力F ，此力位于平面ABC 内，作用线平分∠ABC 。设 AB =BC ，∠ABC =θ2，各处摩擦及杆重不计，试求物体所受的压 力。 图4-19 0δ)90cos(δδN =--?=∑C B F s F s F W θ )90cos(δ)902cos(δθθ-?=?-C B s s θθsin δ2sin δC B s s = 虚位移原理 0δ)90cos(δδN =--?=∑C B F s F s F W θ 0δsin δN =-C B s F s F θ θ θθθtan 2 )2sin(sin sin δδ2N F F s s F F C B === 4-2 如图4-20所示，在压缩机的手轮上作用一力偶，其矩为M 。手轮轴的两端各有螺距同为h ，但方向相反的螺纹。螺纹上各套有一个螺母A 和B ，这两个螺母分别与长为l 的杆相铰接，四杆形成棱形框，如图所示，此棱形框的点D 固定不动，而点C 连接在压缩机的水平压板上。试求当棱形 框的顶角等于2f 时，压缩机对被压物体的压力。 图4-20 ??cos δ)290cos(δC A s s =-? C A s s δsin δ2=? 而 θ?δπ 2c o s δP s A = ?θ?θ?tan δπ sin δcos π22 δP P s C == 虚位移原理 0δδδN =-=∑C F s F M W θ 0tan δπ δN =?-?θθP F M ?cot π N P M F = 4-3 试求图4-21所示各式滑轮在平衡时F 的值，摩擦力及绳索质量不计。 图4-21 虚位移原理 0δδδ=+-=∑A B F s G s F W (a) A B s s δ2δ= 2 G F = (b) A B s s δ8δ= 8 G F = (c) A B s s δ6δ= 6 G F = (d) A B s s δ5δ= 5 G F =清华大学版理论力学课后习题答案大全_____第12章虚位移原理及其应用习题解
第十四章-虚位移原理讲义
清华大学版理论力学课后习题答案大全_____第12章虚位移原理及其应用习题解
理论力学(机械工业出版社)第四章虚位移原理习题解答