高等数学(东北大学出版社)第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案

第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案

第1章

函数、极限与连续

习题1.1

⒈下列各组函数，哪些是同一函数，哪些不是？

（1）y

x =与是同一函数 （2）y x =与

（3）2111

x y x x -=-+与y=不是同一函数 （4）

22ln ln y x x =与y=不是同一函数

⒉指出下列函数的定义域. （1）43)(+=x x f 的定义域是),34[+∞- （2）x

x f -=11

ln )(的定义域是)1,(-∞

（3）)1ln()(2-=

x x f 的定义域是),2[]2,(+∞⋃-∞

（4）)arcsin(ln )(x x f =的定义域是],1

[e e

-

（5）若)(x f 的定义域是]4,4[-，则)(2

x f 的定义域是]2,2[-

（6）若)(x f 的定义域是]3,0[a ，则)()(a x f a x f -++的定义域是]2,[a a 3.判别下列函数的奇偶性.

（1）()sin f x x x =+是奇函数 （2）()cos f x x x =⋅是奇函

数

（3）()2f x x x =-是非奇非偶函数 （4）()1lg 1x f x x

-=+是奇函数

（5）()cos(sin )f x x =是偶函数 （6）()sin x f x x

=是偶函数

（7）())f x x =是奇函数 （8）()

f x =

⒋下列函数哪些在其定义域内是单调的. （1）sin y x =在其定义域内不是单调的 （2）arcsin y x =在其定义域内是单调递增的

（3）2y x x =-在其定义域内不是单调的 （4）0≠a 时，ax y e =在其定义域内是单调的，其中 0a 时，ax y

e =在其定义域内是单调递增的

5.下列函数在给定区间中哪个区间上有界. （1）),1(1+∞=

在区间x

y 上有界

（2）)10,1()12ln(在区间-=x y 上有界 （3）)4,3(3

-=在区间x y 上有界

（4）)1,1(),,(),0,(sin -+∞-∞-∞=在区间x y 上分别有界 6.下列函数哪些是周期函数，如果是求其最小正周期. （1）sin 3y

x =是周期函数，最小正周期是

3

2π （2）cos y x =是周期函数，最小正周期是π （3）tan 2y x =是周期函数，最小正周期是

2

π （4）ln(cos 2)y x =+是周期函数，最小正周期是π 7.下列各对函数中，哪些可以构成复合函数.

（1）2

),2arcsin()(x u u u f =+=不可以构成复合函数 （2）x u u u f 2sin ),1ln()(=-=不可以构成复合函数

（3）2

21

ln

,)(x u u u f +==

不可以构成复合函数

（4）2

12,arccos )(x x

u u u f +==可以构成复合函数

8.将下列复合函数进行分解. （1）对复合函数43)(2--=x x x f 的分解结果是：43,)(2--==x x u u x f

（2）对复合函数3

2)(-=x e

x f 的分解结果是：32,)(-==x u e x f u

（3）对复合函数()ln(23)f x x =-的分解结果是：32,ln )(-==x u u x f （4）对复合函数()arcsin(1)f x x =+的分解结果是：1,sin )(+==x u u acc x f

9.求函数值或表达式. （1）已知函数1

2)(,2)0(,4-)2(,0)2(,12)(222+-=

==-=+-=

x x x f f f f x x x f 则.

（2）已知函数0)(,22

)4(,0)1(,1

,0

1,sin )(===⎩⎨

⎧≥<=ππf f f x x x x f 则.

（3）已知函数2

1-

)2

1

arcsin (,sin )(=-=f x x f 则. （4）已知函数x x f 2cos )(sin =，则[]1,1,21)(2

-∈-=x x x f

习题1.2

1.用观察法判断下列数列是否有极限，若有，求其极限. （1） ,67

,51,45,31,23,

1:n x 没有极限 （2）n x n 1=

有极限，01lim =∞→n

n （3）2sin

πn x n =没有极限 （4）1)1(3+-=n n x n

n 有极限，0]1

)1[(lim 3=+-∞→n n n n

2.分析下列函数的变化趋势，求极限 （1）0

1

lim

2=∞→x x （2）01

1lim =++∞→x x （3）+∞=++∞

→)2ln(lim x x （4）22

3

2lim

=++-∞→x x x

3.图略，)(lim 0

x f x →不存在

4.下列变量中，哪些是无穷小量，哪些是无穷大量？

（1）0→x 时，2

100x 是无穷小量 （2）+

→0x 时，

x

2是无穷大量

（3）∞→x 时，

1

12

--x x 是无穷小量 （4）+∞→x 时，x

e 是无穷大量 （5）∞→n 时，3)1(2+-n n n

是无穷大量 （6）∞→x 时，x

x

sin 是无穷小量

（7）∞→x 时，x

1sin 是无穷小量 （8）0→x 时，12-x

是无穷小量 5.已知函数2

)

3(1

)(--=

x x x f ，则)(x f 在-∞→x 或+∞→x 或∞→x 的过程中是无穷小量，在-

→3x 或+

→3x 或3→x 的过程中是无穷大量？