梯形与重心
梯形与重心
知识点一：梯形
要点诠释：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形。
知识点二：等腰梯形
要点诠释：两腰相等的梯形叫等腰梯形。
知识点三：直角梯形
要点诠释：有一个角是直角的梯形叫直角梯形。
知识点四：等腰梯形的性质
要点诠释：1.等腰梯形同一个底上的两个角相等。
2.等腰梯形的对角线相等。
知识点五：等腰梯形的判定
要点诠释：1.梯形的定义。
2.同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
知识点六：四边形的分类
要点诠释：
知识点七：线段、三角形、平行四边形的重心
要点诠释：
1、线段的中点是线段的重心；三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心；平行四边形
对角线的交点是平行四边形的重心。
2、三角形重心的性质：三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
三、规律方法指导
知识点回顾：
2．梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一
类型一：梯形中的辅助线
1、（平移一腰）已知等腰梯形的锐角等于
，它的两底分别是
和
，
求它的腰长
思路点拨：已知：如图，在梯形ABCD中，，，
.
求：AB的长.
解析：过点A作交BC于E，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AD∥BC
又∵，
∴四边形AECD是平行四边形.
∴
∵
∴
∵
∴是等边三角形.
又∵，
∴
∴
总结升华：在用平移线段的方法作梯形的辅助线时，无论是平移一腰还是平移一条对角线，都是将梯形问题转化成三角形和平行四边形的问题来解决；
举一反三：
【变式1】（平移对角线）已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_____________
【答案】梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥BC．设AD=x，BC=y，DB=z，
由题得：x+y+z=16，
，（熟记梯形面积公式）
解得x+y=8，z=8，
过D作DE∥AC交BC的延长线于E．
∴四边形ADEC是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用）
∴DE=AC，AD=CE．（将“上底+下底”转化到一条线段上）
在Rt△DBE中，∠DBE=90°，BE=BC+CE=x+y=8，BD=8，
根据勾股定理得，
∵AC=DE，
．
【变式2】（过顶点作高）已知AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC．求证：CD=CE．【答案】分析：这是一个直角梯形，通过作CF⊥AB，可以将梯形分成矩形和直角三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE的目的．
证明：如图，连结AC，过C作CF⊥AB于F．
在△CFB和△AEB中，（这是直角梯形中常见的辅助线）
∴△CFB≌△AEB（AAS）
∴CF=AE．
∵∠D=90°，CF⊥AB且AB∥CD，
∴AFCD是矩形
∴AD=CF，
∴AD=AE．
在Rt△ADC和Rt△AEC中，
∴Rt△ADC≌Rt△AEC（HL）
∴CD=CE．
【变式3】（延长两腰）如图，在梯形中，，，、
为、的中点。
求证：
【答案】如图，延长，相交于点，连结，.
∵
∵、为、的中点，∴，
∴，
∵∴∴
∴、、三点共线
∴
【变式4】（过一腰中点作底边平行线——构造中位线）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC的平分线过CD的中点E．
求证：AD＋BC=AB．
【答案】证明：过E作EF∥BC交AB于F，则EF∥BC∥AD，
∵E是CD的中点
∴EF为梯形ABCD的中位线,∠2=∠3
∴AD＋BC=2EF，AF=FB
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，则BF=EF．
∴BF=EF=AF
∴2EF=BF+AF=AB
∵AD＋BC=2EF
∴AD＋BC=AB．
【变式5】如图，E是梯形ABCD中腰DC上的中点，
【答案】证明：过E作MN∥AB交BC于N，交 AD的延长线于M，则四边形ABNM是平行四边形．
∵△ABE与□ABNM同底同高，
∵∠1=∠C，∠M=∠2，DE=CE，
∴△EMD≌△ENC．
∴S□ABNM=S梯形ABCD
类型二：不添加辅助线（多数与全等、面积、梯形中位线有关系）
1、已知：如图，四边形ABCD为矩形，四边形ABDE为等腰梯形，。
求证：
思路点拨：要证，则考虑这两个三角形中对应边、对应角的相等关系。
而，且，则问题得证，
本题要证对应的角相等也并不困难。
解析：∵四边形ABCD为矩形，
∴
∵四边形ABDE为等腰梯形，且为其对角线，
∴
在和中，，
又，
∴
举一反三：
【变式1】如图，已知：在梯形ABCD中，，AC、BD相交于点O.
求证：.
【答案】∵，
∴A、D两点到BC的距离相等.
即中BC边上的高与中BC边上的高相等.
∴（等底等高）.
∴
∴
说明本题中，我们也可以用和的面积相等，推出和的面积相等，等底等高的性质在证明三角形及四边形的面积问题时，起关键作用.
【变式2】如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形．请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法画出来：（1）不是正方形的菱形一个；（2）不是正方形的矩形一个；（3）梯形两个；（4）不是矩形、菱形的平行四边形一个；（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形一个。
【答案】
【变式3】如图，已知：AD是的平分线，，，. （1）求证：四边形ADCE是等腰梯形.
（2）若的周长为，求四边形ADCE的周长.
【答案】
证明：（1）∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等）
又∵（角平分线定义），
∴
∴（等角对等边）
∵（已知）
∴
即
∴（等边对等角）
又∵（对顶角相等）
∴
∴（内错角相等，两直线平行）
而
∴四边形ADCE是梯形
又∵
∴
∴（全等三角形的对应边相等）.
∴四边形ADCE是等腰梯形
解答：（2）∵四边形ADCE是等腰梯形
∴
∴梯形ADCE的周长
而的周长
∴
∵
∴
即
∴梯形ADCE的周长
说明：等腰梯形的判定，一般是先判定一个四边形是梯形，然后再由“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形，要判定一个四边形是梯形时，判定一组对边不平行常常有困难，所以可用判定平行的两边不相等的方法来解决．
一、填空题
1．等腰梯形的上底、下底和腰长分别为4cm、10cm、6cm，?则等腰梯形的下底角为________度．
2．如图，在梯形ABCD中，∠DCB=90°，AB∥CD，AB=25，BC=24．将该梯形折叠，点A
恰好与点D重合，
BE为折痕，那么AD的长度为________．
(第2题) (第3题)
3．如图所示，图（1）中梯形符合_________条件时，可以经过旋转和翻折形成图（2）．
4．如图所示，梯形纸片ABCD，∠B=60°，AD∥BC，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点B 与点D重合，折
痕为AE，则CE=________．
(第4题) (第5题) (第7题)
5．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB≠AD，对角线AC，BD相交于点O，?如下四个结论：
①梯形ABCD是轴对称图形；②∠DAC=∠DCA；③△AOB≌△DOC；④∠OAD=∠ODA．
请把其中正确结论的序号填在横线上：________．
二、选择题
6．若等腰梯形两底之差等于一腰的长，?那么这个梯形一内角是（）
A．90°B．60°C．45° D．30°
7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，CD=5，则AD的长是（）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AC⊥BC，点E是AB的中点，EC∥AD，则∠ABC
等于（）
A．75°B．70° C．60° D．30°
(第8题) (第9题)
9．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=2，BC=8，则此等腰梯形的周长为（）
A．19 B．20 C．21 D．22
三.判断下列命题是否正确．
①一组对边平行的四边形是梯形；( )
②一组对边平行且相等的四边形是梯形；( )
③一组对边平行且不相等的四边形是梯形．( )
答案与解析：
1．60°（经上底顶点向下底边作垂线）
2．30 （过D作DF垂直AB于F）
3．底角为60°且腰长等于上底长
4．4 （四边形ABED为菱形）
5．①，③，?④（由等腰梯形的性质和梯形面积求出结论）
6．B （过上底一个顶点做一腰的平行线）
7．B （可证AD=CD）
8．C （直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
9．D （做双高图）
三、①ד有且仅有一组对边平行”的四边形，才能称为梯形；
②×
③√
能力提升：
一、选择题.
1.下面命题中错误的命题是( )。
（A）等腰梯形同一底上的两个底角相等（B）等腰梯形的对角线相等
（C）有两个底角相等的梯形是等腰梯形（D）对角线相等的梯形是等腰梯形
2.等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则下底角的度数为( )。
（A）30°（B）45°（C）60°（D）不能确定
3.直角梯形的中位线长为a，一腰长为b，这腰和底所成的角为30°，则它的面积是( )。
（A）ab （B）ab （C）ab （D）ab
4.顺次连结等腰梯形两底的中点和两条对角线的中点所组成的四边形一定是( )。
（A）菱形（B）矩形（C）正方形（D）任意四边形
5.一个梯形中位线的长是高的2倍，面积是18cm2，则这梯形的高是( )。
（A）6cm （B）6cm （C）3cm （D）3cm
6.直角梯形的一条对角线把梯形分成两个三角形，其中有一个是边长为8的等边三角形，梯形中位线长
是( )
（A）4 （B）4（C）6 （D）8
7. 一个梯形的四边长分别为12，6，6，6，则这个梯形的面积是( )。
（A）54（B）27 （C）54 （D）27
二、解答题
1．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E是底边BC的中点，连接AE、DE．求证：△ADE是等腰三角形．
2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠ADC=120°．
求证：（1）BD⊥DC；（2）若AB=4，求梯形ABCD的面积．
答案与解析：
一、选择题
1．C （应该是：同一底上的两个角）
2. B （做双高图）
3. B （作高线）
4. A （使用：等腰梯形的对角线相等和三角形中位线的性质）
5. D （用：梯形的面积等于中位线乘以高）
6. C （作高线）
7. D （过上底的一个顶点做一腰的平行线）
二、解答题
1．△ABE≌△DCE（SAS），
∴∠AEB=?∠DEC，而∠DAE=∠AEB．∠ADE=∠DEC．∴∠DAE=∠ADE，∴△ADE是等腰三角形
2．（1）由∠ADC=120°，可得∠C=∠ABC=60°，
从而得到∠ADB=30°，∴BD⊥DC．
（2）12
几何常用定理
1. 勾股定理（毕达哥拉斯定理） 2. 射影定理（欧几里得定理） 在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的高，则有射影定理如下：①CD 2=AD ·DB;②BC 2=BD ·BA;③AC 2=AD ·AB;④AC ·BC=AB ·CD （等积式，可用面积来证明）。 3. 三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分。 4. 四边形两边中点的连线和两条对角线中点的连线交于一点。 5. 间隔的连接六边形的边的中点所做出的两个三角形的重心是重合的。 6. 三角形各边的垂直平分线交于一点。 三角形五心 重心定义：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。 外心定义：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。 垂心定义：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。 内心定义：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。 旁心定义：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。 三角形的内心 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外接三角形。 三角形的三条内角平分线有一个且只有一个交点，这个交点到三角形三边的距离相等，就是三角形的内心 三角形有且只有一个内切圆。 内切圆的半径公式： ()()()s a s b s c r s ???=(s 为三角形周长的一半)
三角形的外心 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 三角形三边的垂直平分线有一个且只有一个交点，这个交点到三角形三个顶点的距离相等，就是三角形的外心 三角形有且只有一个外接圆。 设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL。 三角形的垂心 三角形的三条高线交于一点。 三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心。 锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外。 三角形的旁心 与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。 三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，这个交点到三角形一边及其他两边延长线的距离相等，就是三角形的旁心。 三角形有三个旁切圆，三个旁心。 7. （九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中点、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上。
形心重心的理论计算公式
§3-4 重心和形心 一、重心的概念： 1、重心的有关知识，在工程实践中是很有用的，必须要加以掌握。 2、重力的概念：重力就是地球对物体的吸引力。 3、物体的重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。 无论物体怎样放置，重心总是一个确定点，重心的位置保持不变。 二、重心座标的公式： (1)、重心座标的公式 三、物体质心的坐标公式 在重心坐标公式中，若将G=mg，G i＝m i g代入并消去g，可得物体的质心坐标公式如下： 四、均质物体的形心坐标公式 若物体为均质的，设其密度为ρ，总体积为V,微元的体积为V i，则G=ρgV,G i＝ρgV i，代入重心坐标公式，即可得到均质物体的形心坐标公式如下：
式中V=∑Vi。在均质重力场中，均质物体的重心、质心和形心的位置重合。 五、均质等厚薄板的重心（平面组合图形形心）公式： 令式中的∑A i.x i＝A.x c＝S y； ∑A i.y i＝A.y c＝S x 则S y、S x分别称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一次矩。 六、物体重心位置的求法工程中，几种常见的求物体重心的方法简介如下： 1、对称法 凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简单形状的均质物体，其重心一定在它的对称面、对称轴和对称中心上。对称法求重心的应用见下图。 2、试验法对于形状复杂，不便于利用公式计算的物体，常用试验法确定其重心位置， 常用的试验法有悬挂法和称重法。 （1）、悬挂法 利用二力平衡公理，将物体用绳悬挂两次，重心必定在两次绳延长线的交点上。 悬挂法确定物体的重心方法见图 (2）、称重法 对于体积庞大或形状复杂的零件以及由许多构件所组成的机械，常用称重法来测定
梯形与重心
梯形与重心 知识点一：梯形 要点诠释：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形。 知识点二：等腰梯形 要点诠释：两腰相等的梯形叫等腰梯形。 知识点三：直角梯形 要点诠释：有一个角是直角的梯形叫直角梯形。 知识点四：等腰梯形的性质 要点诠释： 1.等腰梯形同一个底上的两个角相等。 2.等腰梯形的对角线相等。 知识点五：等腰梯形的判定 要点诠释： 1.梯形的定义。 2.同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 知识点六：四边形的分类 要点诠释： 知识点七：线段、三角形、平行四边形的重心 要点诠释： 1、线段的中点是线段的重心；三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重 心；平行四边形 对角线的交点是平行四边形的重心。 2、三角形重心的性质：三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。 三、规律方法指导 知识点回顾：
2 ?梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究, 类型一：梯形中的辅助线 1、（平移一腰）已知等腰梯形的锐角等于Jr ,它的两底分别是L■一，和「Ed，
求它的腰长 思路点拨： 已知：如图，在梯形 ABC ［中，』応一 ,?'1 / C - . r' :■ . -…. 求：AB 的长. 解析：过点A 作/I C I 1' D 交BC 于E, ???四边形ABCD 是等腰梯形， AB=CD ??? AD// BC 又??? m ?四边形AECD 是平行四边形? ?，■ -I ：-：：-' ..J-V ：- * _：■ ?厶一二 ??? ― -HN', ?二二】是等边三角形. 又???丄J —’w ?二丄 / √L ? 一 二- 总结升华：在用平移线段的方法作梯形的辅助线时， 无论是平移一腰还是平移一条对角 线，都是将梯形问题转化成三角形和平行四边形的问题来解决； 举一反三： 【变式1】（平移对角线）已知梯形 ABCe 的面积是32,两底与高的和为 一条对角线 与两底垂直，则另一条对角线长为 【答案】梯形 ABCD 中, AD// BC, BD ⊥ BC. 由题得：x+y+z=16 , 仗+ "二32 2 设 AD=X BC=y DB=z, （熟记梯形面积公式） 解得 χ+y=8 , z=8, 过D 作DE// AC 交BC 的延长线于 ?四边形ADEC 是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用） E. 16,如果其中 B
认识平面几何的61个著名定理
【认识平面几何的61个著名定理，自行画出图形来学习，★部分要求证明出来】 ★1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） ★2、射影定理（欧几里得定理） ★3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线和两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 ★6、三角形各边的垂直平分线交于一点。 ★7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC 的外心为O ，垂心为H ，从O 向BC 边引垂线，设垂足不L ，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 ★13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： ()()()s c s b s a s r ---=，s 为三角形周长的一半 ★14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC 的边BC 的中点为P ，则有AB 2+AC 2=2(AP 2+BP 2) 16、斯图尔特定理：P 将三角形ABC 的边BC 分成m 和n 两段，则有n×AB 2+m×AC 2=BC×（AP 2+mn ） 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD 的对角线互相垂直时，连接AB 中点M 和对角线交点E 的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m:n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m:n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上 ★19、托勒密定理：设四边形ABCD 内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD
三角形的重心定理及其证明
三角形的重心定理及其证明 积石中学王有华 同学们在学习几何时，常常用到三角形的重心定理.但很多同学不会证明这个定理？下面给出三种证明方法，你阅读后想一想，哪一种证明方法最好. 已知：（如图）设ABC V 中，L 、M 、N 分 别是BC 、CA 、AB 的中点. 求证：AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且 AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1. 证明1（平面几何法）：（如图1）假设中 线AL 与BM 交于G ，而且假设C 与G 的连线与AB 边交于N ，首先来证明N 是AB 的中点. 现在，延长GL ，并在延长线上取点D ，使GL=LD 。因为四边形BDCG 的对角线互相平分，所以BDCG 是平行四边形.从而，B G ∥DC ，即GM ∥DC.但M 是AC 的中点，因此，G 是AD 的中点. 另一方面，GC ∥BD ，即NG ∥BD.但G 是AD 的中点，因此N 是AB 的中点. 另外，G 是AD 的中点，因此AG ﹕GL=2﹕1.同理可证： BG ﹕GM=2﹕1， CG ﹕GN=2﹕1. 这个点G 被叫做ABC V 的重心. 证明2（向量法）：（如图2）在ABC V 中，设AB 边上的中B C
线为CN ，AC 边上的中线为BM ，其交点为 G ，边BC 的中点为L ，连接AG 和GL ，因 为B 、G 、M 三点共线，且M 是AC 的中点， 所以向量BG u u u r ∥BM u u u u r ，所以，存在实数1λ ，使得 1BG BM λ=uuu r uuu u r ，即 1()AG AB AM AB λ-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r 所以，11(1)AG AM AB λλ=+-u u u r u u u u r u u u r =111(1)2 AC AB λλ+-u u u r u u u r 同理，因为C 、G 、N 三点共线，且N 是AB 的中点. 所以存在实数2λ，使得 22(1)AG AN AC λλ=+-u u u r u u u r u u u r = 221(1)2 AB AC λλ+-uu u r uuu r 所以 111(1)2AC AB λλ+-u u u r u u u r = 221(1)2 AB AC λλ+-u u u r u u u r 又因为 AB uuu r 、 AC u u u r 不共线，所以 1221112112λλλλ=-=-??? 所以 1223λλ== ，所以 1133AG AB AC =+uuu r uu u r uuu r . 因为L 是BC 的中点，所以GL GA AC CL =++u u u r u u u r u u u r u u r =111()332AB AC AC CB -+++u u u r u u u r u u u r u u u r =121()332AB AC AB AC -++-uuu r uuu r uuu r uuu r =1166 AB AC +uuu r uuu r ，即2AG GL =u u u r u u u r ，所以A 、G 、L 三点共线.故AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1 C
重心与平衡
重心与平衡 活动内容：探讨重心与平衡的知识在实际生活中的应用． 活动目的： 1、了解考虑物体重心的意义，知道找物体重心的方法． 2、了解物体的平衡状态、平衡位置．知道不同平衡位置的稳定性不同，稳定性与重心的关系及在生活中的实际应用． 3、激发学生爱科学、学科学的兴趣；培养运用物理知识，分析、解决实际问题的能力． 活动准备： 长方形的塑料尺、心形卡片、中空的管子（圆环）、烟盒、奶瓶、细竹竿、硬币、梯形皮包、支架及茶杯、走索演员在一根高空钢丝上表演的投影片，在绳索上驾驶摩托车下挂载人“车厢”的投影片． 活动过程： 科学讲座，并进行讨论与思考 ①你能回答老师给你提出的问题吗？ ②你觉得重心和平衡的知识在生活中的应用广泛吗？你能举出实例吗？物理学中的其它知识呢？ 1、分析确定重心的问题 重心是重力在物体上的作用点也就是物体各部分所受重力的合力的作用点． 为什么要考虑物体的重心呢？当我们希望一个物体保持平衡时，就要用到重心的概念．例如，这里有一把尺子，为了把尺子支撑住，有一个办法就是把它放在桌子上．这时，桌子向尺子的各个部分都施加了支撑力，但是尺子的重力也可以被看作只作用在重心上．我们可以把一个手指尖放在尺子重心的下面，这时，仅仅支在一个点上就能把尺子支撑起来．你可以用手指尖按照上述办法使尺子保持平衡．下面，我们将用平衡点作为重心的别名． ①你可以用实验的方法来寻找尺子的平衡点．首先，把尺子放在互相隔开的两个食指尖上．然后，慢慢地让两个手指向一起靠拢，方法是先移动一个手指，再移动另一个手指．最后，这两个食指将在尺子的中点处靠在一块．于是，平衡点就是尺子的中点．就是那些非均匀物体，也可以用这种滑动手指的方法找到它们的平衡点．你可以采用同样的方法，试着找出铅笔、钢笔和高尔夫球棒的重心．你将会很容易地找到这些物体的平衡点．但是，在这些情况下手指每次应向前移动多少，可能估计得不很恰当．你可以先用一把扫帚试着估计一下，然后再进行实验． ②寻找不规则形状物的重心，还有一种方法可供使用．如寻找一个心形卡片重心的方法是用两个手指轻轻地把心形卡片捏起来，卡片就会前后摆动起来，最终它将静止下来．当卡片静止后，通过手捏卡片的那个点在卡片上画一条铅垂线．用手指在另外一点（这点不应在刚才画的那条铅垂线上）把卡片捏起来，待卡片静止后，再画一条铅垂线．这两条线相交的那一点，就是心形卡片的重心或平衡点．当你把手指支在这一点的下面，就可以把卡片平衡地支撑起来． ③任何物体都有一个重心．人的重心大约是在肚脐的后面、身体的中心处．假设让一个人躺在跷跷板上，让他的肚脐恰好在跷跷板支撑点的上方，这样，人体通常能够达到平衡，跷跷板的两端都将不接触地面． ④一段中空的管子，重心位于管的空心内，而不是在制作这管子的材料（管壁）上．这是与重心的定义相符合的．重心不一定要位于物体内．如果你试着使一段管子或圆环达到平衡，你可以用手指支撑它们的外侧，这是一种不稳定的平衡状态．如果一段管子处于竖直状态或圆环是处在水平状态（即它们的圆形截面处在水平面内），又要用一个手指支撑它们，就必须用一块硬纸板托在圆环（或管子）下面，再用手指支在纸板上即可． 任何物体的形状和物质结构的改变，都可以使它的重心发生移动．当我们把尺子从一端削掉
三角形重心性质定理题教案资料
三角形重心性质定理 1．三角形重心性质定理 课本原题（人教八年级《数学》下册习题19.2第16题） 在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于O。BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O？为什么？ （提示：作BO中点M，CO的中点N。连接ED、EM、MN、ND） 分析：三角形三条中线的交点是三角形的重心（第十九章课题学习《重心》）。这道习题要证明的结论是三角形 重心的一个重要数学性质：三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。 证法1：（根据课本上的提示证明） （点评：证法1是利用中点构造三角形中位线，从而得到平行四边形，再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。） （点评：利用线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等，从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。） 2.三角形重心性质定理的应用 ⑴求线段长 例1如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC 于点E，若BC=6cm，则GE= cm。 解： ⑵求面积 例2在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，求△ABC的面积。 解：
练习：1.如图5，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，G 是重心，如果AG=6，那么线段DG= 。 2.如图6，在△ABC 中，G 是重心，点D 是BC 的中点，若△ABC 的面积为6cm 2，则△CGD 的面积为 。 巧用中线的性质解题 我们知道三角形的一条中线将三角形分成的两个三角形等底同高，这样的两个三角形的面积相等.下面我们利用上述性质来巧解以下问题. 一、巧算式子的值 例1 在数学活动中，小明为了求23411112222++++…12n +的值（结果用n 表示），设计了如图1所示的几何图形.请你利用这个几何图形求 23411112222++++ (12) n +的值. 解析：从图中可以看出大三角形的面积为1，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，23411112222++++…12n +12 n +表示：组成面积为1的大三角形的所有小三角形的面积之和，于是23411112222++++ (12) n +112n =-. 【点评】此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算. 二、求图形的面积 例2 如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.
形心重心计算公式
形心重心计算公式
网络教程 绪论 第一章静力学基本概念 第二章平面力系 第三章重心和形心 第四章轴向拉伸与压缩 第五章剪切与挤压第六章圆轴的扭转第七章平面弯曲内力第八章梁的强度与刚度 第九章强度理论 第十章组合变形 第十一章质点的运动第十二章刚体基本运动 第十三章点的合成运动 第十四章刚体平面运动 第十五章功和动能定理 第十讲重心和形心 目的要求：掌握平面组合图形形心的计算。 教学重点：分割法和负面积法计算形心。 教学难点：对计算形心公式的理解。 教学内容： §3-4 重心和形心 一、重心的概念： 1、重心的有关知识，在工程实践中是很有用的，必须要加以掌握。 2、重力的概念：重力就是地球对物体的吸引力。 3、物体的重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。 无论物体怎样放置，重心总是一个确定点，重心的位置保持不变。 二、重心座标的公式： (1)、重心座标的公式 三、物体质心的坐标公式 在重心坐标公式中，若将G=mg，G i＝m i g代入并消去g，可得物体的质心坐标公式如下：
四、均质物体的形心坐标公式 若物体为均质的，设其密度为ρ，总体积为V,微元的体积为V i，则G=ρgV,G i＝ρgV i，代入重心坐标公式，即可得到均质物体的形心坐标公式如下： 式中V=∑Vi。在均质重力场中，均质物体的重心、质心和形心的位置重合。 五、均质等厚薄板的重心（平面组合图形形心）公式： 令式中的∑A i.x i＝A.x c＝S y； ∑A i.y i＝A.y c＝S x 则S y、S x分别称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一次矩。 六、物体重心位置的求法工程中，几种常见的求物体重心的方法简介如下： 1、对称法 凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简单形状的均质物体，其重心一定在它的对称面、对称轴和对称中心上。对称法求重心的应用见下图。 2、试验法对于形状复杂，不便于利用公式计算的物体，常用试验法确定其重心位置，常用的试验法有悬挂法和称重法。 （1）、悬挂法
形心重心的理论计算公式
形心重心的理论计算公式
式中V=∑Vi。在均质重力场中，均质物体的重心、质心和形心的位置重合。 五、均质等厚薄板的重心（平面组合图形形心）公式： 令式中的∑A i.x i＝A.x c＝S y； ∑A i.y i＝A.y c＝S x 则S y、S x分别称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一次矩。 六、物体重心位置的求法工程中，几种常见的求物体重心的方法简介如下： 1、对称法 凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简单形状的均质物体，其重心一定在它的对称面、对称轴和对称中心上。对称法求重心的应用见下图。 2、试验法对于形状复杂，不便于利用公式计算的物体，常用试验法确定其重心位置， 常用的试验法有悬挂法和称重法。 （1）、悬挂法 利用二力平衡公理，将物体用绳悬挂两次，重心必定在两次绳延长线的交点上。 悬挂法确定物体的重心方法见图 (2）、称重法 对于体积庞大或形状复杂的零件以及由许多构件所组成的机械，常用称重法来测定
其重心的位置。例如，用称重法来测定连杆重心位置。如图。 设连杆的重力为G ,重心C点与连杆左端的点相距为Xc，量出两支点的距离L，由磅秤读出B端的约束力F B, 则由∑M A(F)=0 F B.L－G.x c＝0 x c＝F B.L/G (3)、分割法： 工程中的零部件往往是由几个简单基本图形组合而成的，在计算它们的形心时，可先将其分割为几块基本图形，利用查表法查出每块图形的形心位置与面积，然后利用形心计算公式求出整体的形心位置。此法称为分割法。 下面是平面图形的形心坐标公式： (4)、负面积法： 仍然用分割法的公式，只不过去掉部分的面积用负值。 3、查表法在工程手册中，可以查出常用的基本几何形体的形心位置计算公式。 下面列出了几个常用的图形的形心位置计算公式和面积公式。
苏教版初中数学梯形和重心
梯形和重心 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ● 掌握梯形，等腰梯形，直角梯形的概念和等腰梯形的性质和判定，会用梯形的有关知识进行计算和证明． ● 会求梯形的面积． ● 培养化归的思想和添加辅助线的能力． ● 会找线段，三角形，平行四边形的重心，掌握三角形重心的性质并能加以应用． 重点： ● 掌握等腰梯形的性质和判定，并能不断优化推理论证． 难点： ● 把梯形或其它多边形的问题转化为三角形或平行四边形的问题求解，优化几何基本图形的组合； ● 熟练掌握梯形的常见辅助线添法． 学习策略： ● 经历探索梯形的有关性质、概念的过程，发展数学中的转换、化归思维方法，体会平移，轴对称的有关知识在梯形 中应用。 二、学习与应用 （一）平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质： （二）平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定 “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。 知识回顾---复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
知识点一：梯形 要点诠释：一组对边平行，另一组对边 的四边形叫梯形． 知识点二：等腰梯形 要点诠释：两腰 的梯形叫等腰梯形． 知识点三：直角梯形 要点诠释：有一个角是 的梯形叫直角梯形． 知识点四：等腰梯形的性质 要点诠释： （1）等腰梯形同一个底上的两个角 ． （2）等腰梯形的两条对角线 ． 知识点五：等腰梯形的判定 要点诠释： （1）两腰 的梯形是等腰梯形． （2）同一底上两个角 的梯形是等腰梯形． 知识点六：四边形的分类 要点诠释： 知识点七：线段、三角形、平行四边形的重心 知识要点——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补充填在右栏．详细内容请参看网校资源ID ：#tbjx5#246430．
重心法举例
一、简单重心法（运输量重心法） 单一物流中心选址---重心法 公式：x0 = ( ∑ xiwi ) / ( ∑ wi) y0 = ( ∑ yiwi ) / ( ∑ wi) ( x0 , y0 ) ----新设施的地址 ( xi , yi ) ----现有设施的位置 wi ----第i个供应点的运量 例题：某物流园区，每年需要从P1地运来铸铁，从P2地运来钢材，从P3地运来煤炭，从P4地运来日用百货，各地与某城市中心的距离和每年的材料运量如表 所示。请用重心法确定分厂厂址。 解： x0 = ( 20×2000+60×1200+20×1000+50×2500 ) / ( 2000+1200+1000+2500) = 35.4 y0 = ( 70×2000+60×1200+20×1000+20×2500 ) / ( 2000+1200+1000+2500) = 42.1 所以，分厂厂址的坐标为(35.4 , 42.1) 二、迭代重心法（“运输量—运输距离—运输费率”重心法） 单一物流中心选址---迭代重心法 单一物流中心选址---迭代重
公式：X = ( ∑Q i R i X i/D i) / ( ∑Q i R i/D i ) Y= ( ∑Q i R i Y i/D i) / ( ∑Q i R i/D i ) D i= ( ( X i-X)2+(Y i-Y)2 )1/2 F = ∑Q i R i D i (Xi , Yi)----现有目标的坐标位置 Qi----运输量 Ri----运输费率 F----总运费 (X , Y)----新仓库的位置坐标 Di----现有目标到新仓库的距离 解题方法： （1）令Di=1 A、求出仓库的初始位置； B、将求出的仓库位置（X，Y）代入Di公式中，求出客户到仓库初始位置的距离； C、计算出仓库初始位置的总运费ΣQiRiDi； ( 2 ) 迭代计算： A、将Di代入原公式，求出仓库的新位置坐标（X ，Y）； B、将求出的（X ，Y）代入Di公式中求出Di； C、计算出仓库新位置的总运费ΣiQiRiDi …不断迭代，直到求出的仓库位置和总运费越来越接近于不 变，即为所得； 注意：牵涉到运输费率要用重心法做；但如无费率，又要求 用迭代重心法计算，则令费率为1。 例题：某企业的两个工厂P1、P2分别生产A、B两种产品，供应三个市场M1、M2、M3。已知条件如表一所示。现需设置一个中转仓库，A、B两种产品通过该仓库间接向三个市场供货。请使用迭代重心法求出仓库的最优选址。 表一
有关三角形重心的公式结论
三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33 x x x y y y G ++++. 13.点的平移公式 ''''x x h x x h y y k y y k ??=+=-?????=+=-????''OP OP PP ?=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k . 14.“按向量平移”的几个结论 （1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++. (2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+. (3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-. (4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 15. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设O 为ABC ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 （1）O 为ABC ?的外心222 OA OB OC ?==. （2）O 为ABC ?的重心0OA OB OC ?++=. （3）O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=?. （4）O 为ABC ?的内心0aOA bOB cOC ?++=. （5）O 为ABC ?的A ∠的旁心aOA bOB cOC ?=+. 四．基本方法和数学思想 1.两个向量平行的充要条件,设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ为实数。（1）向量式：a ∥b (b ≠0)?a =λb ;（2）坐标式：a ∥b (b ≠0)?x 1y 2－x 2y 1=0; 2.两个向量垂直的充要条件, 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), （1）向量式：a ⊥b (b ≠
重心坐标的公式
由重心坐标的公式： i i C a x X G ? = ∑ 261 2.48499.2,0.3, 1.2 b b B G kN X m Y m =???=== ()3 0.250.47 2.224 6.39 c a m =+??= 6.3926166.14 c G kN =?=
110.25 2.228 1.810.22 2.22826.39 c C f X ???+????= 10.70.7 2.92 1.44 1.703 c C f X ++==?= 210.25 2.228 2.260.22 2.22826.39 C C f Y ???+????= 2 2.15 2.15 1.93 2.08 2.213 C C f Y ++==?= ()30.230.45 2.224 6.04 D a m =+??= 6.0426157.04D G kN =?= 20.23 2.228 1.810.50.23 2.2286.04 D f X ???+????= 10.230.230.450.3 1.743 D D f X ++==?= 20.23 2.2280.1150.50.23 2.2286.04 D f Y ???+????= 20.230.230.450.30.183D D f Y ++==?= 499.20.3166.14 1.7157.04 1.710.85499.2166.14157.04i i a x X a ??+?+?===++∑ 499.2 1.2166.14 2.21157.040.18 1.21499.2166.14157.04i i a y Y a ??+?+?===++∑ 则整个图形的重心在（0.85、1.3）处
梯形的几何重心公式
F o r p e s n a u s e o n y s u d y a n d r e s a c h n o f r c m me r c a u s e 梯形的几何重心公式：Y=h（2a+b）/3（a+b） a：较短的底边； b：较长的底边； h：梯形的高。
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。 For personal use only in study and research; not for commercial use. Nur für den pers?nlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden. Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales. толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях. 以下无正文
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。 For personal use only in study and research; not for commercial use. Nur für den pers?nlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden. Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales. толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях. 以下无正文
第三课 独体字的重心
第三课独体字的重心 教学内容：课本9—10页 教学目标： （1）能通过观察概括独体字的大致形状，总结出书写规律。（2）能在临摹，书写独体字时注意重心平衡，特别是字形倾斜的独体字；临摹字形较小的独体字时，笔画稍粗，但不能将字写大。 （3）培养学生的观察能力，归纳能力。 （4）培养学生审美素养，加深学生对书法艺术的理解力。教学重点：能抓住书写规律，正确地临摹，书写独体字。 教学难点：在临摹，书写独体字重心的平衡。 教学方法：讲授式、探究式、合作式。 教学用具：课件、实物投影、范字、书写用具、字帖等。 教学过程： 一、导入新课 要写好硬笔行楷字，从书法技法上讲，关键有两条。一是笔画，即要掌握好自然连带这一最基本的笔画组合规律；二是结构，即要掌握笔画之间的搭配、布白。总的来说，写好笔画是为结构服务的。因此，归根到底是要写好结构。 二、具体研习 1.教师介绍汉字的十一种形状。从结构上讲，汉字可分为独体字与合体字两种。独体字也叫单体字，它是由基本笔画、部件组成的字。从外形看，汉字可分为以下十一种形状。 正方形、长方形、扁方形、正三角、倒三角、梯形、倒梯形、圆形、棱形、左斜形、右斜形。 2.学生观察课本中独体字例字，说说它们分别属于哪种形状，有什么特点。
3.学生讨论交流后，教师点拨。 4.对照例字按照行楷字的书写原则进行书写。 5.展示学生的书写作品，学生点评，并交流自己书写中遇到的问题。 6.师生共同解答有关问题，总结书写时应注意的事项： （1）相对来说，独体字笔画比较少，书写时一定要注意重心平稳。字的重心是支撑字的中心点，重心平稳，字才能立得住，才能斜中求正，字自然也会端正平稳。 （2）很多独体字两边都有撇捺斜形笔画，书写时要注意两边的笔画搭配起支撑作用，整个字才显得端正舒展、美观大方。 （3）尽管硬笔字的书写笔画粗细反差不是很大，但一个字的笔画也要有轻有重，有细有粗，尤其是个别笔画在折处、捺处、钩处、起笔和收笔处都宜粗重，这样字才显得富有弹性。 7.学生参照范例，用行楷抄写有关课文，注意体会独体字在句子中的运用。评出优秀作品进行表扬。欣赏名家书法作品。 三、课堂小结 汉字作为一种文字符号体系，已有几千年的历史，无论是楷书，还是行楷书，都是经过长期发展后固定下来的记录汉语的书写形式。汉字书写是中国人启蒙教育的重要内容，写字水平是反映一个人文化素质高低的一个重要方面。因此，我们应该在使用硬笔熟练地书写正楷字的基础上，学写规范、通行的行楷字，提高书写速度。要知道，写字根本没有天才。写好字全靠信心+细心+恒心。希望同学们课后多加练习。
梯形图功能块的建立和使用
梯形图功能块的建立和使用 制作时间：2017.11 硬件设备：无 软件：CX-Programmer、CX-Simulator（离线模拟功能） 案例简介：①建立梯形图功能块实现程序的模块化编写； ②使用AT指定将变量映射到固定地址中。 1.系统概述，硬件搭建和接线 本案例使用离线模拟来测试编写的程序不需要实际硬件连接。 （1）模拟PLC机型 CJ2M-CPU33。 （2）功能块实现目的 将输入的两个变量值在输入使能位的控制下进行除法运算后进行输出。 2. 操作步骤 （1）硬件设置： （2）软件操作： ①在CX-Programmer中建立CJ2M-CPU33的工程，然后添加功能块 a．【功能块】分类右击——【插入功能块】——梯形图。 图2-1
b．在【通用】选项卡中，命名功能块名称为“Test1”。 图2-2 c．在【保护】选项卡中可以对功能块设置“禁止写入”或者“禁止写入和显示”。 图2-3 ②添加功能块所需要的变量 a.依次添加如图2-4所示的三个输入变量，过程如下图2-5、2-6所示。 图2-4
图2-5 图2-6 b.建立内部变量，并进行AT指定，将其映射到D0地址。 图2-7 图2-8
c.建立输出变量如下图2-9所示。 图2-9 ③编写功能块程序 编写功能块程序如下图2-10所示。 图2-10 ④在主程序中调用编写的功能块 a．新建接点作为功能块的使能接点，在使用如图2-11所示图标调用功能块。 图2-11
b．输入功能块实例名称（每次调用功能块都需要设置一个实例名，并且不可以功能块定义名重复）。 图2-12 c．选择图2-13所示图标，给功能块输入、输出变量赋值。 图2-13 赋值完成后，功能块梯形图程序如图2-14所示。 图2-14
几何中的著名定理大全
几何中的著名定理 1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） 2、射影定理（欧几里得定理） 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半 14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E 的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB 分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形， 21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。 22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。 23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有 BP/PC×CQ/QA×AR/RB=1 24、梅涅劳斯定理的逆定理：（略） 25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB 于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。 26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线 27、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1. 28、塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心M 29、塞瓦定理的逆定理：（略） 30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点 31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。 32、西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线）
梯形与重心(1)
梯形与重心 知识点六：四边形的分类 要点诠释： 知识点七：线段、三角形、平行四边形的重心 要点诠释： 1、线段的中点是线段的重心；三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心；平行四边形 对角线的交点是平行四边形的重心。 2、三角形重心的性质：三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。 三、规律方法指导 知识点回顾：
2．梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一 1、（平移一腰）已知等腰梯形的锐角等于，它的两底分别是 和 ， 求它的腰长 思路点拨：已知：如图，在梯形ABCD 中， ，， . 求：AB 的长. 解析：过点A 作 交BC 于E ， ∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴AD ∥BC 又∵ ，
∴四边形AECD是平行四边形. ∴ ∵ ∴ ∵ ∴是等边三角形. 又∵， ∴ ∴ 总结升华：在用平移线段的方法作梯形的辅助线时，无论是平移一腰还是平移一条对角线，都是将梯形问题转化成三角形和平行四边形的问题来解决； 举一反三： 【变式1】（平移对角线）已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_____________ 【答案】梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥BC．设AD=x，BC=y，DB=z， 由题得：x+y+z=16， ，（熟记梯形面积公式） 解得x+y=8，z=8， 过D作DE∥AC交BC的延长线于E． ∴四边形ADEC是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用） ∴DE=AC，AD=CE．（将“上底+下底”转化到一条线段上） 在Rt△DBE中，∠DBE=90°，BE=BC+CE=x+y=8，BD=8， 根据勾股定理得， ∵AC=DE， ． 【变式2】（过顶点作高）已知AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC．求证：CD=CE．【答案】分析：这是一个直角梯形，通过作CF⊥AB，可以将梯形分成矩形和直角三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE的目的． 证明：如图，连结AC，过C作CF⊥AB于F． 在△CFB和△AEB中，（这是直角梯形中常见的辅助线）