最优化方法复习题
最优化原理与方法
2h 4r 2rh 0 2r r 2 0 r 2 h 4 3 0
2 3
解得： r 3
, h 23
2 3
此时圆柱体的表面积是 6 2 3 3
2
以上都是微积分中典型的求极值问题。二次大战前，人们把优化狭隘地理解为，取 导数求极值，但是有些函数难以求导，或根本不可能求导，但又明显地具有极大值或极 小值，所以这种古典的极值理论或古典微分法就无能为力了。二次大战时，由于军事业 的需要，产生了运筹学，从而产生了解决多变量大型问题的新的最优化理论和方法，我 们把它称为近代最优化理论与方法，与此相对，我们把古典的极值理论或古典微分法就 称为经典最优化理论与方法。 二者之间的差别在于： 函数是否可微 变量个数的多少 带不带约束方程，特别是带不带不等式约束方程。 最优化是一门崭新的学科，有关的理论和方法还很不完善，有许多问题有待解决， 目前正处于迅速发展之中。
向量式：
(1-2)
min f (X) X h ( X ) 0 s.t s( X ) 0
(1-3)
式中 f(X)称为目标函数(或求它的极小，或求它的极大)。 优化过程就是优选 X，使目标函数达到最优值：f(X)->Optimization si(X)称为不等式约束，它的向量表示法可以写成： T s(X)=[ s1(X), s2(X), …,sm(X)] hj(X)称为等式约束 n X∈Ω,称为集约束，在我们的问题中集约束是无关重要的，这是因为有时Ω≡ R , 不然的话，Ω也可以用不等式约束表达出来，如：
*
f (X * ) min f (X) 。
对问题（1-3）的求解是指，在容许集中找一点 X ，使得目标函数 f(X)在该点取极 小值，即
优化设计复习题(原)
word 教育资料优化设计复习题一、单项选择题(在每小题列出的选项中只有一个选项是符合题目要求的)1.多元函数F(X)在点X *附近偏导数连续， F ’(X *)=0且H(X *)正定，则该点为F(X)的（ ） ①极小值点 ②极大值点 ③鞍点 ④不连续点 2.F(X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的（ ） ①凸函数 ②凹函数 3.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ） ①0.382 ②0.186 ③0.618 ④0.816 4.在单峰搜索区间[x 1,x 3](x 1<x 3)内，取一点x 2，用二次插值法计算得x 4(在[x 1,x 3]内)，若x 2>x 4,并且其函数值F （x 4）<F(x 2)，则取新区间为（ ） ①[x 1,x 4] ②[x 2,x 3] ③[x 1,x 2] ④[x 4,x 3] 5.用变尺度法求一n 元正定二次函数的极小点，理论上需进行一维搜索的次数最多为（ ） ①n 次 ②2n 次 ③n+1次 ④2次6.下列特性中，梯度法不具有的是（ ） ①二次收剑性 ②要计算一阶偏导数 ③对初始点的要求不高 ④只利用目标函数的一阶偏导数值构成搜索方向 8.对于极小化F(X)，而受限于约束g μ(X)≤0(μ=1,2,…,m)的优化问题，其内点罚函数表达式为（ ） ① Ф(X,r (k))=F(X)-r(k)11/()gX u u m=∑② Ф(X,r (k))=F(X)+r(k)11/()gX u u m =∑③ Ф(X,r (k))=F(X)-r(k)max[,()]01gX u u m=∑④ Ф(X,r (k))=F(X)-r (k)min[,()]01g X u u m=∑9.外点罚函数法的罚因子为（ ） ①递增负序列 ②递减正序列 ③递增正序列 ④递减负序列 10．函数F （X ）为在区间［10，20］内有极小值的单峰函数，进行一维搜索时，取两点13和16，若F （13）<F （16），则缩小后的区间为（ ） ①［10,16］ ②［10,13］ ③［13,16］ ④［16，20］ 11．多元函数F （X ）在X ＊处存在极大值的充分必要条件是：在X *处的Hesse 矩阵（ ） ①等于零 ②大于零 ③负定 ④正定 12．对于函数F （x ）=x 21+2x 22，从初始点x (0)={1,1}T 出发，沿方向s (0)={-1,-2}T进行一维搜索，最优步长因子为（ ）①10／16 ②5／9 ③9／34 ④1／213．目标函数F （x ）=x 21+x 22－x 1x 2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=x 1+x 2-1=0,则目标函数的极小值为（ ） ①1 ②0.5 ③0.25 ④0.1 14. 优化设计的自由度是指( )① 设计空间的维数 ② 可选优化方法数 ③ 所提目标函数数 ④ 所提约束条件数 15. 在无约束优化方法中，只利用目标函数值构成的搜索方法是( ) ①梯度法 ② Powell 法 ③共轭梯度法 ④变尺度法 17. 利用0.618法在搜索区间［a,b ］内确定两点a 1=0.382,b 1=0.618，由此可知区间［a,b ］的值是( ) ①［0,0.382］ ② ［0.382,1］ ③ ［0.618,1］④ ［0,1］18. 已知函数F(X)=x 12+x 22-3x 1x 2+x 1-2x 2+1，则其Hesse 矩阵是( ) ① ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2332 ② ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2332③ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112 ④ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3223 19. 对于求minF(X)受约束于g i (x)≤0(i=1,2,…,m)的约束优化设计问题，当取λi ≥0时，则约束极值点的库恩—塔克条件为( )①()i i 1F X g (X)mi λ=∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子② ()i i 1F X =g (X)mi λ=-∇∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子③ ()i i 1F X g (X)qi λ=∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子，q 为该设计点X 处的约束面数④()i i 1F X g (X)qi λ=-∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子，q 为该设计点X 处的约束面数20. 在共轭梯度法中，新构造的共轭方向S (k+1)为( ) ① S (k+1)= ∇F(X (k+1))+β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数② S (k+1)=∇F(X (k+1))－β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数 ③ S (k+1)=-∇F(X (k+1))+β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数④ S (k+1)=-∇F(X (k+1))－β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数 21. 用内点罚函数法求目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c-x ≤0的约束优化设计问题，其惩罚函数表达式为( ) ① (k)1ax b r c-x+-，r (k)为递增正数序列② (k)1ax b r c-x +-，r (k)为递减正数序列 ③ (k)1ax b r c-x ++，r (k)为递增正数序列word 教育资料④ (k)1ax b r c-x++，r (k)为递减正数序列22. f(x)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中的一点，x 4为利用二次插值法求得的近似极值点，若x 4-x 2＜0,且f(x 4)≥f(x 2)，则新的搜索区间为( )① ［x 1,x 4］ ② ［x 2,x 3］ ③ ［x 1,x 2］ ④［x 4,x 3］23. 已知F(X)=x 1x 2+2x 22+4,则F(X)在点X (0)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11的最大变化率为( )① 10 ② 4 ③ 2 ④ 1024.试判别矩阵1111⎡⎣⎢⎤⎦⎥，它是（ ）矩阵 ①单位 ②正定矩 ③负定 ④不定 ⑤半正定 ⑥半负定 25.约束极值点的库恩——塔克条件为：-∇=∇=∑F X g Xii qi()()**λ1，当约束函数是g i (X)≤0和λi>0时，则q 应为（ ）①等式约束数目 ②不等式约束数目 ③起作用的等式约束数目 ④起作用的不等式约束数目26.在图示极小化的约束优化问题中，最优点为（ ） ①A ②B ③C ④D27.内点罚函数(X,r (k))=F(X)-r (k)101g X g X u u u m(),(())≤=∑，在其无约束极值点X ·(r (k))逼近原目标函数的约束最优点时，惩罚项中（ ） ①r (k)趋向零，11g X u u m()=∑不趋向零 ②r (k)趋向零，11g X u u m()=∑趋向零 ③r (k)不趋向零，11g X u u m()=∑趋向零 ④r (k)不趋向零，11g X u u m()=∑不趋向零 29.0.618法在迭代运算的过程中，区间的缩短率是（ ）①不变的 ②任意变化的 ③逐渐变大 ④逐渐变小 30.对于目标函数F(X)受约束于g u (X) ≤0(u=1,2,…，m)的最优化设计问题，外点法惩罚函数的表达式是（ ）①()()(k)(k)2()1X,M F X M {max[(),0]},mk u u g X M =Φ=+∑为递增正数序列②()()(k)(k)2()1X,M F X M {max[(),0]},mk u u g X M =Φ=+∑为递减正数序列③()()(k)(k)2()1X,M F X M {min[(),0]},mk u u g x M =Φ=+∑为递增正数序列 ④()()(k)(k)2()1X,MF X M {min[(),0]},mk uu g x M=Φ=+∑为递减正数序列31.对于二次函数F(X)=12X T AX+b T X+c,若X *为其驻点，则▽F(X *)为（ ）①零 ②无穷大 ③正值 ④负值 32.在约束优化方法中，容易处理含等式约束条件的优化设计方法是（ ）①可行方向法 ②复合形法 ③内点罚函数法 ④外点罚函数法33．已知F(X)=(x 1-2)2+x 22,则在点X (0)=00⎧⎨⎩⎫⎬⎭处的梯度为（ ）①∇=⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()000 ②∇=-⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()020 ③∇=⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()040 ④∇=-⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()04034．Powell 修正算法是一种（ ）①一维搜索方法②处理约束问题的优化方法③利用梯度的无约束优化方法④不利用梯度的无约束优化方法 二、多项选择题(在每小题列出的多个选项中有两个以上选项是符合题目要求的，多选、少选、错选均无分) 35.下列矢量组中，关于矩阵A=105051--⎡⎣⎢⎤⎦⎥..共轭的矢量组是（ ）①s 1={0 1} ,s 2={1 0}T②s 1={-1 1}T ,s 2={1 1}T③s 1={1 0}T ,s 2={1 2}T④s 1={1 1}T ,s 2={1 2}T⑤.s 1={1 2}T ,s 2={2 1}T36. 对于只含不等式约束的优化设计问题，可选用的优化方法有( )① Powell 法 ② 变尺度法 ③ 内点罚函数法 ④ 外点罚函数法E. 混合罚函数法37. 根据无约束多元函数极值点的充分条件，已知驻点X*，下列判别正确的是( )①若Hesse矩阵H(X*)正定，则X*是极大值点②若Hesse矩阵H(X*)正定，则X*是极小值点③若Hesse矩阵H(X*)负定，则X*是极大值点④若Hesse矩阵H(X*)负定，则X*是极小值点⑤若Hesse矩阵H(X*)不定，则X*是鞍点38.下述Hesse矩阵中，正定矩阵为（）①3335⎡⎣⎢⎤⎦⎥②313153337⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦③3445⎡⎣⎢⎤⎦⎥④245434542⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⑤523222327⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦39.F(X)在区间［a,b］上为单峰函数，区间内函数情况如图所示：F1=F2。
《机械优化设计》复习题-答案
《机械优化设计》复习题解答一、填空题1、用最速下降法求f （X)=100（x 2— x 12) 2+(1— x 1） 2的最优解时，设X （0）＝[—0。
5，0。
5］T ，第一步迭代的搜索方向为 ［—47，-50]T 。
2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是寻找搜索方向，二是计算最优步长。
3、当优化问题是凸规划的情况下，任何局部最优解就是全域最优解.4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点,即为搜索区间的始点、中间点和终点,它们的函数值形成 高－低－高 趋势。
5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。
6、函数C X B HX X T T++21的梯度为B 。
7、设G 为n×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足（d 0）TGd 1=0，则d 0、d 1之间存在共轭关系.8、 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 是优化设计问题数学模型的基本要素.9、对于无约束二元函数),(21x x f ,若在),(x 20100x x 点处取得极小值,其必要条件是，充分条件是（正定 。
10、 K —T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点,初始搜索区间]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 ［—2.36 10] 。
12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、 目标函数 、 约束条件。
13、牛顿法的搜索方向d k = ,其计算量大 ,且要求初始点在极小点 附近 位置。
14、将函数f(X ）=x 12+x 22—x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T++21的形式 .15、存在矩阵H,向量 d 1,向量 d 2，当满足d 1T Hd 2=0，向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭. 16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列，具有单调递增特点。
图论与网络最优化算法答案
图论与网络最优化算法答案【篇一：《运筹学》复习题】一、名词解释1松弛变量为将线性规划问题的数学模型化为标准型而加入的变量。
2可行域满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
3人工变量亦称人造变量.求解线性规划问题时人为加入的变量。
用单纯形法求解线性规划问题，都是在具有初始可行基的条件下进行的,但约束方程组的系数矩阵a中所含的单位向量常常不足m个，此时可加入若干(至多m)个新变量，称这些新变量为人工变量。
4对偶理论每一个线性规划问题都存在一个与其对偶的问题，在求出一个问题解的同时，也给出了另一个问题的解。
研究线性规划中原始问题与对偶问题之间关系的理论5灵敏度分析研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。
在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。
通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。
6影子价格反映资源配置状况的价格。
影子价格是指在其他资源投入不变的情况下,每增加一单位的某种资源的投入所带来的追加收益。
即影子价格等于资源投入的边际收益。
只有在资源短缺的情况下,每增加一单位的投入才能带来收益的增加7产销平衡运输一种特殊的线性规划问题。
产品的销售过程中，产销平衡是指工厂产品的产量等于市场上的销售量。
8西北角法是运筹学中制定运输问题的初始调运方案（即初始基可行解）的基本方法之一。
也就是从运价表的西北角位置开始，依次安排m个产地和n个销地之间的运输业务，从而得到一个初始调运方案的方法。
9最优性检验检验当前调运方案是不是最优方案的过程。
10动态规划解决多阶段决策过程优化问题的方法：把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解11状态转移方程从阶段k到k+1的状态转移规律的表达式12逆序求解法在求解时，首先逆序求出各阶段的条件最优目标函数和条件最优决策，然后反向追踪，顺序地求出改多阶段决策问题的最优策略和最优路线。
最优化方法 第1章(4)
最优化问题的分类
对向量x=(1,–2,3)T,有 || x ||1= 6 || x ||2 = 14 ≈ 3.74166 || x ||3 = 3 36 ≈ 3.30193 || x ||∞= 3.
其中||x||p是p的单调递减函数.
根据数学模型中有无约束函数分为：无约束的最优 化问题和有约束的最优化问题.
m
n
∑ ∑ Q =
( yi −
a
ϕ
j
j
(
xi
))2
i =1
j =0
因此,由数据拟合问题得数学模型为
m
n
∑ ∑ min
( yi −
a
ϕ
j
j
(
xi
))2
i =1
j =0
其中xi,yi (i=1,2,…,m) 及 ϕ j (x), j = 1, 2,L, n 已知.
最优化问题的一般形式为:
P: min f ( x) s.t. hi (x) = 0, i = 1, 2,L, m g j (x) ≥ 0, j = 1, 2,L, p
26
可行点列的产生 在xk处求得一个方向pk(下降方向),在射线 xk+αpk (α >0) 上求一点：xk+1=xk+αk pk , 使得 f (xk+1)≤f (xk), 其中αk 称为步长.
定义1.2.1(下降方向) 在点xk处,对于方向pk≠0, 若存在实数b>0,使得任意的α∈(0,b),都有 f (xk+αpk)<f (xk), 则称pk为函数f (x)在点xk处的一个下降方向.
44
则总支出可表示为: S = ∑ ∑ cij xij i=1 j=1
-机械优化设计复习试题与答案
机械优化设计复习题一.单项选择题1．一个多元函数()F X 在X *附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（ ）A ．()*0F X ∇= B. ()*0F X ∇=,()*H X 为正定 C ．()*0H X = D. ()*0F X ∇=,()*H X 为负定2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n 维问题来说，复合形的顶点数K 应（ ）A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤- 3．目标函数F （x ）=4x 21+5x 22，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x 1+3x 2-6=0,则目标函数的极小值为（ ）A ．1B ． 19.05C ．0.25D ．0.14.对于目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c+x ≤0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解时，其惩罚函数表达式Φ(X,M (k))为( )。
A. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k)为递增正数序列B. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k)为递减正数序列C. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k)为递增正数序列hnD. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k)为递减正数序列1.B2.C3.B4.B5.A6.B7.D8.B9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B5.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ）。
A.0.382 B.0.186 C.0.618 D.0.8166.F(X)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中一点，x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。
2025年广东省九年级中考数学二轮专题复习课件：专题2方案设计与最优化问题
例1：某搬运公司计划购买A， B两种型号的机器搬运货物，每台A型机
器比每台B型机器每天少搬运10 t货物，且每台A型机器搬运450 t货物与
每台B型机器搬运500 t货物所需天数相同.
(2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购
[变式2](2024·荆州模拟)某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售.
已知1 400元采购A种饰品的件数是630元采购B种饰品件数的2倍，A种饰
品的进价比B种饰品的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；
计划采购这两种饰品共600件，采购B种饰品的件数不低于390件，且不超
过A种饰品件数的4倍.
设采购金额为 w 元，则 w ＝1.5 m ＋2(30－ m )＝－0.5 m ＋60.
∵－0.5＜0，∴ w 随 m 的增大而减小.
∴当 m ＝12时， w 有最小值为54.∴30－ m ＝18.
答：购买12台A型机器，18台B型机器时，最省钱.
[变式1](2024·怀化模拟)某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人
①求 x 的取值范围；
解：(2)①购进B种饰品(600－ x )件.
− ≥ ，
根据题意，得
解得120≤ x ≤210.
− ≤ ，
∴ x 的取值范围是120≤ x ≤210.
[变式2](2024·荆州模拟)某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售.
已知1 400元采购A种饰品的件数是630元采购B种饰品件数的2倍，A种饰
每台B型机器搬运500 t货物所需天数相同.
(1)求每台A型机器、B型机器每天分别搬运多少吨货物；
《机械优化设计》复习题-答案
机械优化设计复习题解答一、填空题1、用最速下降法求fX=100x 2- x 12 2+1- x 1 2的最优解时,设X 0＝,T ,第一步迭代的搜索方向为 -47,-50T ;2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是寻找搜索方向,二是计算最优步长;3、当优化问题是凸规划的情况下,任何局部最优解就是全域最优解;4、应用进退法来确定搜索区间时,最后得到的三点,即为搜索区间的始点、中间点和终点,它们的函数值形成 高－低－高 趋势;5、包含n 个设计变量的优化问题,称为 n 维优化问题;6、函数C X B HX X T T++21的梯度为HX+B ; 7、设G 为n×n 对称正定矩阵,若n 维空间中有两个非零向量d 0,d 1,满足d 0T Gd 1=0,则d 0、d 1之间存在共轭关系;8、 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 是优化设计问题数学模型的基本要素;9、对于无约束二元函数),(21x x f ,若在),(x 20100x x 点处取得极小值,其必要条件是,充分条件是正定 ;10、 库恩-塔克 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合; 11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点,初始搜索区间]10,10[],[-=b a ,经第一次区间消去后得到的新区间为 10 ; 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、 目标函数 、 约束条件;13、牛顿法的搜索方向d k= ,其计算量大 ,且要求初始点在极小点 附近 位置; 14、将函数fX=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T++21的形式 ;15、存在矩阵H,向量 d 1,向量 d 2,当满足d 1T Hd 2=0,向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭; 16、采用外点法求解约束优化问题时,将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列,具有单调递增特点;17、采用数学规划法求解多元函数极值点时,根据迭代公式需要进行一维搜索,即求最优步长;1k k H g --18、与负梯度成锐角的方向为函数值下降的方向,与梯度成直角的方向为函数值变化为零的方向;19、对于一维搜索,搜索区间为[]b a ,,中间插入两个点()()111111,,,b f a f b a b a <<计算出,则缩短后的搜索区间为11b a20、由于确定搜索方向和最佳步长的方法不一致,派生出不同的无约束优化问题数值求解方法;1、导出等式约束极值条件时,将等式约束问题转换为无约束问题的方法有消元法和拉格朗日法;2、优化问题中的二元函数等值线,从外层向内层函数值逐渐变小;3、优化设计中,可行设计点位可行域内内的设计点;4、方向导数定义为函数在某点处沿某一方向的变化率5、在n 维空间中互相共轭的非零向量个数最多有n 个;6、外点惩罚函数法的迭代过程可在可行域外进行,惩罚项的作用是随便迭代点逼近边界或等式约束曲面; 二、选择题1、下面C 方法需要求海赛矩阵; A 、最速下降法 B 、共轭梯度法 C 、牛顿型法 D 、DFP 法2、对于约束问题根据目标函数等值线和约束曲线,判断()1[1,1]T X =为 ,()251[,]22TX =为 ;D A ．内点；内点 B. 外点；外点 C. 内点；外点 D. 外点；内点3、内点惩罚函数法可用于求解B 优化问题; A 无约束优化问题B 只含有不等式约束的优化问题C 只含有等式的优化问题D 含有不等式和等式约束的优化问题4、对于一维搜索,搜索区间为a,b,中间插入两个点a1、b1,a1<b1,计算出fa1<fb1,则缩短后的搜索区间为D;A a1,b1B b1,bC a1,bD a,b15、D不是优化设计问题数学模型的基本要素;A设计变量B约束条件C目标函数D 最佳步长6、变尺度法的迭代公式为x k+1=x k-αk H k▽fx k,下列不属于H k必须满足的条件的是C ;A. Hk之间有简单的迭代形式B.拟牛顿条件C.与海塞矩阵正交D.对称正定7、函数)(Xf在某点的梯度方向为函数在该点的A;A、最速上升方向B、上升方向C、最速下降方向D、下降方向8、下面四种无约束优化方法中,D在构成搜索方向时没有使用到目标函数的一阶或二阶导数;A 梯度法B 牛顿法C 变尺度法D 坐标轮换法9、设)(Xf为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数,则)(Xf在R上为凸函数的充分必要条件是海塞矩阵GX在R上处处B;A 正定B 半正定C 负定D 半负定10、下列关于最常用的一维搜索试探方法——黄金分割法的叙述,错误的是D,假设要求在区间a,b插入两点α1、α2,且α1<α2;A、其缩短率为B、α1=b-λb-aC、α1=a+λb-aD、在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法;11、与梯度成锐角的方向为函数值A方向,与负梯度成锐角的方向为函数值B方向,与梯度成直角的方向为函数值 C方向;A、上升B、下降C、不变D、为零12、二维目标函数的无约束极小点就是 B;A、等值线族的一个共同中心B、梯度为0的点C、全局最优解D、海塞矩阵正定的点13、最速下降法相邻两搜索方向d k和d k+1必为 B 向量;A 相切B 正交C 成锐角D 共轭14、下列关于内点惩罚函数法的叙述,错误的是A;A 可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题;B 惩罚因子是不断递减的正值C初始点应选择一个离约束边界较远的点;D 初始点必须在可行域内三、问答题看讲义1、试述两种一维搜索方法的原理,它们之间有何区答：搜索的原理是：区间消去法原理区别：1、试探法：给定的规定来确定插入点的位置,此点的位置确定仅仅按照区间的缩短如何加快,而不顾及函数值的分布关系,如黄金分割法2、插值法：没有函数表达式,可以根据这些点处的函数值,利用插值方法建立函数的某种近似表达式,近而求出函数的极小点,并用它作为原来函数的近似值;这种方法称为插值法,又叫函数逼近法;2、惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么答,基本原理是将优化问题的不等式和等式约束函数经过加权转化后,和原目标函数结合形成新的目标函数——惩罚函数求解该新目标函数的无约束极值,以期得到原问题的约束最优解3、试述数值解法求最佳步长因子的基本思路;答主要用数值解法,利用计算机通过反复迭代计算求得最佳步长因子的近似值4、试述求解无约束优化问题的最速下降法与牛顿型方法的优缺点;答：最速下降法此法优点是直接、简单,头几步下降速度快;缺点是收敛速度慢,越到后面收敛越慢;牛顿法优点是收敛比较快,对二次函数具有二次收敛性;缺点是每次迭代需要求海塞矩阵及其逆矩阵,维数高时及数量比较大;5、写出用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式,并说明公式中各变量的意义,并说明迭代公式的意义;6、什么是共轭方向满足什么关系共轭与正交是什么关系四、解答题1、试用梯度法求目标函数fX=+ x1x2-2x1的最优解,设初始点x0=-2,4T,选代精度ε=迭代一步;解：首先计算目标函数的梯度函数,计算当前迭代点的梯度向量值梯度法的搜索方向为, 因此在迭代点x0的搜索方向为12,－6T 在此方向上新的迭代点为：===把新的迭代点带入目标函数,目标函数将成为一个关于单变量的函数令,可以求出当前搜索方向上的最优步长新的迭代点为当前梯度向量的长度, 因此继续进行迭代; 第一迭代步完成;2、试用牛顿法求f X =x1-22+x1-2x22的最优解,设初始点x0=2,1T;解1：注：题目出题不当,初始点已经是最优点,解2是修改题目后解法;牛顿法的搜索方向为,因此首先求出当前迭代点x0的梯度向量、海色矩阵及其逆矩阵不用搜索,当前点就是最优点;解2：上述解法不是典型的牛顿方法,原因在于题目的初始点选择不当;以下修改求解题目的初始点,以体现牛顿方法的典型步骤;以非最优点x0=1,2T作为初始点,重新采用牛顿法计算牛顿法的搜索方向为,因此首先求出当前迭代点x0的梯度向量、以及海色矩阵及其逆矩阵梯度函数：初始点梯度向量：海色矩阵：海色矩阵逆矩阵：当前步的搜索方向为：＝新的迭代点位于当前的搜索方向上：==＝＝把新的迭代点带入目标函数,目标函数将成为一个关于单变量的函数令,可以求出当前搜索方向上的最优步长新的迭代点为当前梯度向量的长度, 因此继续进行迭代;第二迭代步：因此不用继续计算,第一步迭代已经到达最优点;这正是牛顿法的二次收敛性;对正定二次函数,牛顿法一步即可求出最优点;3、设有函数 fX=x12+2x22-2x1x2-4x1,试利用极值条件求其极值点和极值;解：首先利用极值必要条件找出可能的极值点：令＝求得,是可能的极值点;再利用充分条件正定或负定确认极值点;因此正定, 是极小点,极值为fX=-84、求目标函数f X =x12+x1x2+2x22 +4x1+6x2+10的极值和极值点;解法同上5、试证明函数 f X =2x12+5x22 +x32+2x3x2+2x3x1-6x2+3在点1,1,-2T处具有极小值;解：必要条件：将点1,1,-2T带入上式,可得充分条件＝40正定;因此函数在点1,1,-2T处具有极小值6、给定约束优化问题min fX=x1-32+x2-22. g1X=－x12－x22＋5≥0g 2X=－x1－2x2＋4≥0g 3X= x1≥0g 4X=x2≥0验证在点TX]2[，１=Kuhn-Tucker条件成立; 解：首先,找出在点TX]2[，１=起作用约束：g1X ＝0g2X ＝0g3X ＝2g4X ＝1因此起作用约束为g1X、g2X;然后,计算目标函数、起作用约束函数的梯度,检查目标函数梯度是否可以表示为起作用约束函数梯度的非负线性组合;＝＝,求解线性组合系数得到均大于0因此在点T X ]2[，１=Kuhn-Tucker 条件成立 7、设非线性规划问题用K-T 条件验证[]TX 0,1*=为其约束最优点;解法同上8、已知目标函数为fX= x 1+x 2,受约束于：g 1X=-x 12+x 2≥0 g 2X=x 1≥0 写出内点罚函数; 解：内点罚函数的一般公式为其中： r 1>r 2 >r 3… >r k … >0 是一个递减的正值数列 r k ＝Cr k-1, 0＜C ＜1 因此 罚函数为：9、已知目标函数为fX= x 1-12+x 2+22受约束于：g 1X=-x 2-x 1-1≥0g 2X=2-x 1-x 2≥0 g 3X=x 1≥0 g 4X=x 2≥0试写出内点罚函数; 解法同上10、如图,有一块边长为6m 的正方形铝板,四角截去相等的边长为x 的方块并折转,造一个无盖的箱子,问如何截法x 取何值才能获得最大容器的箱子;试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB 软件求解的程序;11、某厂生产一个容积为8000cm 3的平底无盖的圆柱形容器,要求设计此容器消耗原材料最少,试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB 软件求解的程序;12、一根长l 的铅丝截成两段,一段弯成圆圈,另一段弯折成方形,问应以怎样的比例截断铅丝,才能使圆和方形的面积之和为最大,试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB 软件求解的程序;13、求表面积为300m 2的体积最大的圆柱体体积;试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB 软件求解的程序; 14、薄铁板宽20cm,折成梯形槽,求梯形侧边多长及底角多大,才会使槽的断面积最大;写出这一优化设计问题的数学模型,并用matlab软件的优化工具箱求解写出M文件和求解命令;15、已知梯形截面管道的参数是：底边长度为c,高度为h,面积A=64516mm2,斜边与底边的夹角为θ,见图1;管道内液体的流速与管道截面的周长s的倒数成比例关系s只包括底边和两侧边,不计顶边;试按照使液体流速最大确定该管道的参数;写出这一优化设计问题的数学模型;并用matlab软件的优化工具箱求解写出M文件和求解命令;16、某电线电缆车间生产力缆和话缆两种产品;力缆每米需用材料9kg,3个工时,消耗电能4kW·h,可得利润60元；话缆每米需用材料4kg,10个工时,消耗电能5kW·h,可得利润120元;若每天材料可供应360kg,有300个工时消耗电能200kW·h可利用;如要获得最大利润,每天应生产力缆、话缆各多少米写出该优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序;。
优化设计复习题(原)
优化设计复习题一、单项选择题(在每小题列出的选项中只有一个选项是符合题目要求的)1.多元函数F(X)在点X *附近偏导数连续， F ’(X *)=0且H(X *)正定，则该点为F(X)的（ ）①极小值点 ②极大值点 ③鞍点 ④不连续点2.F(X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的（ ）①凸函数 ②凹函数3.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ） ①0.382 ②0.186 ③0.618 ④0.8164.在单峰搜索区间[x 1,x 3](x 1<x 3)内，取一点x 2，用二次插值法计算得x 4(在[x 1,x 3]内)，若x 2>x 4,并且其函数值F （x 4）<F(x 2)，则取新区间为（ ）①[x 1,x 4] ②[x 2,x 3] ③[x 1,x 2] ④[x 4,x 3]5.用变尺度法求一n 元正定二次函数的极小点，理论上需进行一维搜索的次数最多为（ ）①n 次 ②2n 次 ③n+1次 ④2次 6.下列特性中，梯度法不具有的是（ ）①二次收剑性 ②要计算一阶偏导数 ③对初始点的要求不高 ④只利用目标函数的一阶偏导数值构成搜索方向 8.对于极小化F(X)，而受限于约束g μ(X)≤0(μ=1,2,…,m)的优化问题，其内点罚函数表达式为（ ） ① Ф(X,r (k))=F(X)-r(k)11/()gX u u m=∑② Ф(X,r (k))=F(X)+r(k)11/()g X u u m=∑③ Ф(X,r (k))=F(X)-r(k)max[,()]01gX u u m =∑④ Ф(X,r (k))=F(X)-r (k)min[,()]01g X u u m=∑9.外点罚函数法的罚因子为（ ） ①递增负序列 ②递减正序列 ③递增正序列 ④递减负序列 10．函数F （X ）为在区间［10，20］内有极小值的单峰函数，进行一维搜索时，取两点13和16，若F （13）<F （16），则缩小后的区间为（ ） ①［10,16］ ②［10,13］ ③［13,16］ ④［16，20］11．多元函数F （X ）在X ＊处存在极大值的充分必要条件是：在X *处的Hesse 矩阵（ ）①等于零 ②大于零 ③负定 ④正定 12．对于函数F （x ）=x 21+2x 22，从初始点x (0)={1,1}T 出发，沿方向s (0)={-1,-2}T进行一维搜索，最优步长因子为（ ）①10／16 ②5／9 ③9／34 ④1／213．目标函数F （x ）=x 21+x 22－x 1x 2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=x 1+x 2-1=0,则目标函数的极小值为（ ）①1 ②0.5 ③0.25 ④0.1 14. 优化设计的自由度是指( )① 设计空间的维数 ② 可选优化方法数 ③ 所提目标函数数 ④ 所提约束条件数15. 在无约束优化方法中，只利用目标函数值构成的搜索方法是( )①梯度法 ② Powell 法 ③共轭梯度法 ④变尺度法 17. 利用0.618法在搜索区间［a,b ］内确定两点a 1=0.382,b 1=0.618，由此可知区间［a,b ］的值是( ) ①［0,0.382］ ② ［0.382,1］ ③ ［0.618,1］④ ［0,1］18. 已知函数F(X)=x 12+x 22-3x 1x 2+x 1-2x 2+1，则其Hesse 矩阵是( ) ① ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2332 ② ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2332③ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2112 ④ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--322319. 对于求minF(X)受约束于g i (x)≤0(i=1,2,…,m)的约束优化设计问题，当取λi ≥0时，则约束极值点的库恩—塔克条件为( )① ()i i 1F X g (X)mi λ=∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子② ()i i 1F X =g (X)mi λ=-∇∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子③ ()i i 1F X g (X)qi λ=∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子，q 为该设计点X 处的约束面数④()i i 1F X g (X)qi λ=-∇=∇∑,其中λi 为拉格朗日乘子，q 为该设计点X 处的约束面数20. 在共轭梯度法中，新构造的共轭方向S (k+1)为( ) ① S (k+1)= ∇F(X (k+1))+β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数② S (k+1)=∇F(X (k+1))－β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数 ③ S (k+1)=-∇F(X (k+1))+β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数④ S (k+1)=-∇F(X (k+1))－β(k)S (K)，其中β(k)为共轭系数 21. 用内点罚函数法求目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c-x ≤0的约束优化设计问题，其惩罚函数表达式为( )① (k)1ax b r c-x +-，r (k)为递增正数序列 ② (k)1ax b r c-x +-，r (k)为递减正数序列 ③ (k)1ax b r c-x ++，r (k)为递增正数序列 ④ (k)1ax b r c-x ++，r (k)为递减正数序列22. f(x)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中的一点，x 4为利用二次插值法求得的近似极值点，若x 4-x 2＜0,且f(x 4)≥f(x 2)，则新的搜索区间为( )① ［x 1,x 4］ ② ［x 2,x 3］ ③ ［x 1,x 2］ ④［x 4,x 3］23. 已知F(X)=x 1x 2+2x 22+4,则F(X)在点X (0)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11的最大变化率为( )① 10 ② 4 ③ 2 ④ 1024.试判别矩阵1111⎡⎣⎢⎤⎦⎥，它是（ ）矩阵 ①单位 ②正定矩 ③负定 ④不定 ⑤半正定 ⑥半负定 25.约束极值点的库恩——塔克条件为：-∇=∇=∑F X g Xii qi()()**λ1，当约束函数是g i (X)≤0和λi >0时，则q 应为（ ）①等式约束数目 ②不等式约束数目 ③起作用的等式约束数目 ④起作用的不等式约束数目26.在图示极小化的约束优化问题中，最优点为（ ） ①A ②B ③C ④D27.内点罚函数(X,r (k))=F(X)-r(k)101gX g X u u u m(),(())≤=∑，在其无约束极值点X ·(r (k))逼近原目标函数的约束最优点时，惩罚项中（ ） ①r (k)趋向零，11g X u u m()=∑不趋向零 ②r (k)趋向零，11g X u u m()=∑趋向零 ③r (k)不趋向零，11g X u u m()=∑趋向零④r (k)不趋向零，11g X uu m()=∑不趋向零 29.0.618法在迭代运算的过程中，区间的缩短率是（ ） ①不变的 ②任意变化的 ③逐渐变大 ④逐渐变小 30.对于目标函数F(X)受约束于g u (X) ≤0(u=1,2,…，m)的最优化设计问题，外点法惩罚函数的表达式是（ ） ①()()(k)(k)2()1X,M F X M {max[(),0]},mk u u g X M =Φ=+∑为递增正数序列②()()(k)(k)2()1X,M F X M {max[(),0]},mk u u g X M =Φ=+∑为递减正数序列③()()(k)(k)2()1X,M F X M {min[(),0]},mk u u g x M =Φ=+∑为递增正数序列④()()(k)(k)2()1X,M F X M {min[(),0]},mk u u g x M =Φ=+∑为递减正数序列31.对于二次函数F(X)=12X T AX+b T X+c,若X *为其驻点，则▽F(X *)为（ ）①零 ②无穷大 ③正值 ④负值 32.在约束优化方法中，容易处理含等式约束条件的优化设计方法是（ ）①可行方向法 ②复合形法 ③内点罚函数法 ④外点罚函数法33．已知F(X)=(x 1-2)2+x 22,则在点X (0)=00⎧⎨⎩⎫⎬⎭处的梯度为（ ） ①∇=⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X()()000 ②∇=-⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()020③∇=⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X()()040 ④∇=-⎧⎨⎩⎫⎬⎭F X ()()040 34．Powell 修正算法是一种（ ）①一维搜索方法②处理约束问题的优化方法③利用梯度的无约束优化方法④不利用梯度的无约束优化方法 二、多项选择题(在每小题列出的多个选项中有两个以上选项是符合题目要求的，多选、少选、错选均无分) 35.下列矢量组中，关于矩阵A=105051--⎡⎣⎢⎤⎦⎥..共轭的矢量组是（ ）①s 1={0 1} ,s 2={1 0}T②s 1={-1 1}T ,s 2={1 1}T③s 1={1 0}T ,s 2={1 2}T④s 1={1 1}T ,s 2={1 2}T⑤.s 1={1 2}T ,s 2={2 1}T36. 对于只含不等式约束的优化设计问题，可选用的优化方法有( )① Powell 法 ② 变尺度法 ③ 内点罚函数法 ④ 外点罚函数法 E. 混合罚函数法37. 根据无约束多元函数极值点的充分条件，已知驻点X *，下列判别正确的是( )①若Hesse矩阵H(X*)正定，则X*是极大值点②若Hesse矩阵H(X*)正定，则X*是极小值点③若Hesse矩阵H(X*)负定，则X*是极大值点④若Hesse矩阵H(X*)负定，则X*是极小值点⑤若Hesse矩阵H(X*)不定，则X*是鞍点38.下述Hesse矩阵中，正定矩阵为（）①3335⎡⎣⎢⎤⎦⎥②313153337⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦③3445⎡⎣⎢⎤⎦⎥④245434542⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⑤523222327⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦39.F(X)在区间［a,b］上为单峰函数，区间内函数情况如图所示：F1=F2。
第5讲——二元函数最优化问题
第五讲 二元函数最优化问题§5.1 问题的引入一、 引例【引例】某厂生产两种型号的钢笔，甲种每支售价为10元，乙种每支售价为9元，而生产甲种笔x 支，乙种笔y 支的总费用为)33(01.032400),(22y xy x y x y x C +++++=元，问两种笔的产量各为多少时，企业利润最大？分析：此题讨论利润最大，属最优化问题，先建立函数关系——因变量为企业利润π由于C R -=π而成本为)33(01.03240022y xy x y x C +++++=——二元函数y x R 910+=——二元函数故C R -=π)]33(01.032400[91022y xy x y x y x +++++-+=40003.001.003.06822----+=y xy x y x ——二元函数故此问题为二元函数求最值问题二、 复习一元函数最值求法一元实际应用问题最值求法（步骤） 1、 建立函数关系式 2、 求最值(1) 求定义域 (2) 求一阶导 (3) 找所有可能极值点① 使一阶导＝0的点——驻点 ② 使一阶导不存在的点 实际问题通常可能极值点惟一 (4) 将惟一可能极值点转化为最值点因为实际问题存在最大（小）值 所以惟一可能极值点为最大（小）值点3、 答题显然，一元函数的最值与极值有关，若实际问题存在最值，则惟一可能极值点定是最值点，而可能极值点与一阶导有关二元函数与一元函数相类似，在二元函数中，若实际问题存在最值，则惟一可能极值点定是最值点，故二元实际问题应用，也将惟一可能极值点转化为最值点的一元函数可能极值点与一阶导有关，二元函数与一元函数相类似，只不过在一元函数中，为导数，而在二元函数中，不称为导数，而称为偏导数故二元函数极值的寻找也与一阶偏导数有关，判断仍与二阶偏导数有关故为了解最值，需先了解偏导数的概念及计算，以及如何根据偏导数寻找极值、判断极值§5.2 二元函数的偏导数一、二元函数一阶偏导数 (一) 复习一元函数一阶导数定义一元函数)(x f y =在点0x 处的导数定义为：xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00000其中：x ∆表示自变量x 在0x 处的改变量y ∆表示当自变量x 在0x 处有改变量x ∆时，函数相应改变量于是导数定义为：函数改变量比自变量改变量，当自变量改变量趋于0时的极限简称为：差商极限(二) 二元函数一阶偏导概念 1、二元函数改变量概念二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处的改变量分为两类——全改变量、偏改变量x 和y 都发生改变——),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆x 改变量；②偏y 改变量①偏x 改变量——仅x 发生改变（y 不变）——),(),(0000y x f y x x f z x -∆+=∆ ②偏y 改变量——仅y 发生改变（x 不变）——),(),(0000y x f y y x f z y -∆+=∆ 二元函数的导数，用的是偏改变量，因而称为偏导数 2、二元函数在一点处的偏导数值定义函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数表示为：),(00y x f x 或),(00y x x z∂∂，其定义如下：xy x f y x x f x z y x f x x x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆),(),(lim lim),(00000000函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数表示为：),(00y x f y 或),(00y x yz∂∂，其定义如下：yy x f y y x f yz y x f y y y y ∆-∆+=∆∆=→∆→∆),(),(limlim),(0000000一点处的偏导数),(00y x f x 、),(00y x f y 结果为——数值3、二元函数一阶偏导函数概念函数),(y x f z =在区域D 内每点对x 的偏导数都存在，则称函数在区域D 内对x 可偏导，于是对于区域D 内每一个点),(y x ，都有惟一确定的对x 的偏导函数值相对应，于是在D 内定义了一个新函数，以),(y x 为自变量，而对x 的偏导数值为因变量，称为函数),(y x f z =在区域D 内的对x 的偏导函数，记作：),(y x f x 或xz∂∂，其结果仍为y x ,的二元函数． 同理有函数),(y x f z =在区域D 内的对x 的偏导函数，记作：),(y x f y 或yz∂∂，其结果仍为y x ,的二元函数．4、一点处偏导数与导函数间关系),(0000)),((),(y xx x y x f y x f =， ),(0000)),((),(y x y y y x f y x f =(三) 二元函数一阶偏导的求法 1、 思想——转化为一元函数求导 2、 具体操作方法按照偏导数定义xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0000000——仅x 变，y 不变，故y 暂时看成常数，形成一元函数yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0000000——仅y 变，x 不变，故x 暂时看成常数，形成一元函数故二元函数求偏导的方法——转化为一元函数求导问题——对x 求偏导，将x 看成变量，y 暂时看成常数 ——对y 求偏导，将y 看成变量，y 暂时看成常数 ——对谁求偏导，将谁看成变量，另一变量暂时看成常数【例1】已知函数52332-+-+=y xy y x z ，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：y x y x xz3200302-=-+-+=∂∂【x 变量，y 常数】 2330233022+-=-+-+=∂∂x y x y yz【y 变量，x 常数】 【例2】已知厂商的生产函数为二元函数32316),(K L K L f y ==，其中L 表示劳动投入量，K 表示资本投入量，求L y ∂∂和Ky ∂∂． 解：3232323231322316)(6--=⋅='=∂∂L K L K L K L y L 【L 变量，K 常数】3131313132314326)(6--=⋅='=∂∂K L K L K L K y K 【K 变量，L 常数】 【例3】已知函数xye z =，求)2,1(xf 和)2,1(y f ． 解：xy xy x xy ye y e xy e xz=⋅='⋅=∂∂)(【x 变量，y 常数】 xy xy y xy xe x e xy e yz=⋅='⋅=∂∂)(【y 变量，x 常数】 )2,1(x f 2212e ye y x xy==== )2,1(y f 221e xe y x xy====二、二元函数的二阶偏导（数）二元函数的二阶偏导共有四个 1、符号及含义x x xxxx z x zx y x f z x z )()(),(22=∂∂∂∂===∂∂ 偏x 偏x ；先偏x 再偏x y x xy xy z x zy y x f z y x z )()(),(2=∂∂∂∂===∂∂∂ 偏x 偏y ；先偏x 后偏y x y yx yx z yzx y x f z x y z )()(),(2=∂∂∂∂===∂∂∂ 偏y 偏x ；先偏y 后偏x y y yy yy z y zy y x f z yz )()(),(22=∂∂∂∂===∂∂ 偏y 偏y ；先偏y 再偏y 其中y x z ∂∂∂2和xy z∂∂∂2称为二阶混合偏导2、求二阶偏导的方法(1) 先求一阶偏导；(2) 再对二阶偏导，即对一阶偏导结果再求一次偏导 【例4】已知函数52332-+-+=y xy y x z ，求各二阶偏导． 解：y x y x xz3200302-=-+-+=∂∂【x 变量，y 常数】2330233022+-=-+-+=∂∂x y x y yz【y 变量，x 常数】 2)32(22=-=∂∂x y x xz【x 变量，y 常数】 3)32(2-=-=∂∂∂y y x yx z【y 变量，x 常数】 3)233(22-=+-=∂∂∂x x y xy z【x 变量，y 常数】 y x y yz y 6)233(222=+-=∂∂【y 变量，x 常数】 此题中，两个混合偏导相等一般，只要两个混合偏导连续，则一定相等由于幂函数在定义域内一定连续，而幂函数的导数仍为幂函数，故幂函数的两个混合偏导一定相等故今后幂函数不需分别求两个混合偏导，只需求一个即可【例5】已知函数2234x y e z -=，求各二阶偏导．解：222222343422346)6()34(x yx yx x yx xe x e x y e z ----=-⋅=-⋅=【x 变量，y 常数】222222343422348)8()34(x yx yy x yy ye y e x y e z ---=⋅=-⋅=【y 变量，x 常数】x x yx yx x x yxx e x e x xe z ))(6()6()6(222222343434----+-=-= x x yx y x y xe e )34(662234342222-⋅--=--)6(6622223434x xe e x yx y---=--)16(623422-=-x e x y【x 变量，y 常数】y xe x y xe e x xe z x yy x yy x yy x yxy 86)34(6)(6)6(222222223422343434⋅-=--=-=-=----223448x yxye --=【y 变量，x 常数】)6(8)(8)8(222222343434x ye e y ye z x yx x yx x y yx -===---223448x y xye --=【x 变量，y 常数】y x yx yy x yx yy y x yyy x y ye e e y e y ye z )34(88)(8)8()8(2234343434342222222222-+=+==-----)81(88882343434222222y e y ye e x yx yx y+=+=---【y 变量，x 常数】§5.3 二元函数的极值一、 二元函数极值的概念设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有定义，对于该邻域内任何异于),(00y x 的点),(y x (),(y x ),(00y x ≠)① 若恒有),(),(00y x f y x f >，则称),(00y x f 为函数),(y x f z =的极大值并称),(00y x 为函数),(y x f z =的极大值点② 若恒有),(),(00y x f y x f <，则称),(00y x f 为函数),(y x f z =的极小值并称),(00y x 为函数),(y x f z =的极小值点注意：二元函数极值仍为局部概念 二、 二元函数极值的求法 1、 二元函数的驻点使⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00yz x z的点),(00y x 称为驻点2、 极值存在必要条件定理：若二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处取得极值，则),(00y x 为驻点，或在点),(00y x 处偏导不存在【注意】与一元函数相同，二元函数的驻点只是可能的极值点，是否为真正极值点，必须根据极值存在充分条件做进一步判定3、 极值存在充分条件使用条件——),(00y x 为驻点 使用方法——根据AC B -2的符号其中：),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy = ➢ 若02>-AC B ，则),(00y x 不是极值点 ➢ 若02<-AC B ，则),(00y x 是极值点，且① 若0>A ，则),(00y x 是极小值点 ② 若0<A ，则),(00y x 是极大值点➢ 若02=-AC B ，则),(00y x 是否为极值点不定 4、 二元函数求极值的步骤(1) 求两个一阶偏导x z ∂∂和yz ∂∂ (2) 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00yz x z，得驻点),(00y x找使一阶偏导不存在点（一般无，∵若一阶偏导不存在，则二阶更不存在，无法用二阶判断了） (3) 求二阶偏导函数：),(y x f xx ，),(y x f xy ，),(y x f yy(4) 将驻点),(00y x 代入二阶偏导函数求值，得),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =(5) 用充分条件(02>-AC B 还是0<)判断驻点是极小值点还是极大值点当有多个驻点时，重复(4)和(5) (6) 写出结论【例1】求函数124),(223+---=y xy x x y x f 的极值解：(1)y x x x z 2832--=∂∂，y x yz 22--=∂∂ (2) 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00yz xz，即⎩⎨⎧=--=--02202832y x y x x 得驻点)0,0(和)2,2(-无使一阶偏导不存在点(3) 86),(-=x y x f xx ，2),(-=y x f xy ，2),(-=y x f yy 在点)0,0(处：(4) 8)0,0(-==xx f A ，2)0,0(-==xy f B ，2)0,0(-==yy f C (5) ∵012)2()8()2(22<-=-⨯---=-AC B ，∴)0,0(为极值点又∵08<-=A ，∴)0,0(为极大值点，极大值为1)0,0(=f 在点)2,2(-处：(4) 4)2,2(=-=xx f A ，2)2,2(-=-=xy f B ，2)2,2(-=-=yy f C (5) ∵012)2(4)2(22>=-⨯--=-AC B ，∴)2,2(-不是极值点 (6) 函数有极大值1)0,0(=f ．【练习】求函数279),(33+-+=xy y x y x f 的极值．解：(1) y x y x f x 93),(2-=，x y y x f y 93),(2-=(2) 令⎩⎨⎧==0),(0),(y x f y x f y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-09309322x y y x ，得驻点)0,0(，)3,3(无使一阶偏导不存在点(3) x y x f xx 6),(=， 9),(-=y x f xy ， y y x f yy 6),(= 在点)0,0(处：(4) 0=A ，9-=B ，0=C(5) ∵0812>=-AC B ，∴)0,0(不是极值点 在点)3,3(处：(4) 18=A ，9-=B ，18=c(5) ∵02432<-=-AC B ，∴)3,3(是极值点又由于0>A ，∴)3,3()0,0(为极小值点 极小值为33(3,3)33933270f =+-⨯⨯+= (6) 函数有极小值0)3,3(=f ．§5.4 二元函数的最值及其应用一、二元函数最值概念若对于区域D 内的所有),(),(00y x y x ≠，都有),(),(00y x f y x f >，称),(00y x f 为二元函数),(y x f z =在区域D 内的最大值，),(00y x 称为最大值点若对于区域D 内的所有),(),(00y x y x ≠，都有),(),(00y x f y x f <，称),(00y x f 为二元函数),(y x f z =在区域D 内的最小值，),(00y x 称为最小值点最大值、最小值统称为极值，最大值点、最小值点统称为极值点二、实际问题求最值方法1、实际问题通常二元函数有惟一极值，则该惟一极值必为最值2、若实际问题存在最大（小）值，则惟一驻点定为最大（小）值点． 三、二元函数最值应用步骤 1、建立函数关系式 2、求极值(1) 求一阶偏导 (2) 找所有可能极值点① 找驻点② 使一阶偏导不存在的点 实际问题通常可能极值点惟一3、求最值因为实际问题存在最大（小）值 所以惟一可能极值点为最大（小）值点 4、答题四、经济学中二元函数最值应用举例【例1】某厂生产两种型号的钢笔，甲种每支售价为10元，乙种每支售价为9元，而生产甲种笔x 支，乙种笔y 支的总费用为)33(01.032400),(22y xy x y x y x C +++++=元，问两种笔的产量各为多少时，企业利润最大？解：1、建立函数关系——两种产品产量x 和y 为自变量，企业利润π为因变量收益函数为y x y x R 910),(+=总成本函数为)33(01.032400),(22y xy x y x y x C +++++= 利润函数),(),(),(y x C y x R y x -=π)]33(01.032400[91022y xy x y x y x +++++-+= 40003.001.003.06822----+=y xy x y x2、求极值 (1)y x x 01.006.08--=π，y x y 06.001.06--=π(2) 令⎩⎨⎧==00yx ππ，即⎩⎨⎧=--=--006.001.06001.006.08y x y x ，得惟一驻点)80,120(无使一阶偏导不存在点3、求最大值∵实际问题存在最大值∴惟一可能极值点)80,120(为最大值点4、答：甲种型号钢笔生产120支，乙种型号钢笔生产80支，可使企业利润最大．【例2】某商店销售A 、B 两种产品，A 产品的成本为2元／个，B 产品的成本是3元／个．A 产品的需求量为x ，价格为p ，B 产品的需求量为y ，价格为q ．两种产品的价格-需求方程分别为：q p x 254075+-=，q p y 302080-+=商店为得到最大利润，应如何对A 、B 两种产品定价？商店最大利润为多少？A 、B 两种产品的需求量各为多少？解：1、建立函数关系——两种产品价格p 和q 为自变量，企业利润π为因变量收益函数为qy px q p R +=),()302080()254075(q p q q p p -+++-= 总成本函数为y x q p C 32),(+=)302080(3)254075(2q p q p -+++-= 利润函数),(),(),(q p C q p R q p -=π)302080)(3()254075)(2(q p q q p p -+-++--=3903040451209522---++=q p pq q p2、求极值 (1)p q p 804595-+=π，q p q 6045120-+=π(2) 令⎪⎩⎪⎨⎧==00qp ππ，即⎩⎨⎧=-+=-+060451200804595q p p q ，得惟一驻点4=p ，5=q无使一阶偏导不存在点3、求最大值∵实际问题存在最大值∴惟一可能极值点4=p ，5=q 为最大值点此时A 产品需求量为：40=x ，B 种产品需求量为：10=y 商店最大利润为100)5,4(=π4、答：A 产品的销售价格为4元、B 产品销售价格为5元时，商店利润最大，最大利润为100元，此时A 产品需求量为40个，B 产品需求量为为10个．§5.5 二元函数条件极值 ——拉格朗日乘数法一、 问题的引入【引例】若某产品的产出函数为4.06.010),(y x y x N =，x 为人工数量，y 为资金数量．如果每个人工的费用30美元，每个单位资金的费用为60美元．如果总预算为300000美元，求：如何分配这个总预算，可以获得最大的生产率？该题目求函数4.06.010),(y x y x N =的最大值 已知变量x 和y 满足条件3000006030=+y x称问题为函数4.06.010),(y x y x N =在条件3000006030=+y x 下的极值——条件极值 二、 解决条件极值的方法——两种(1) 将条件代入函数，使函数减少一个变量，按极值方法计算 (2) 拉格朗日乘数法 三、 条件极值的拉格朗日乘数法以二元函数为例．求函数),(y x f z =在条件0),(=y x g 下的极值(1) 做拉格朗日函数),(),(),,(y x g y x f y x L λλ+=——三元函数(2) 求),,(λy x L 的驻点：即满足⎪⎩⎪⎨⎧===+==+=0),(),,(0),(),(),,(0),(),(),,(y x g y x L y x g y x f y x L y x g y x f y x L y y y x x x λλλλλλ的),(00y x(3) 由实际意义确定是极值【例1】若某产品的产出函数为4.06.010),(y xy x N =，x 为人工数量，y 为资金数量．如果每个人工的费用30美元，每个单位资金的费用为60美元．如果总预算为300000美元，求：如何分配这个总预算，可以获得最大的生产率？ 解：(1) 明确问题：极大值：4.06.010),(y xy x N =约束条件：03000006030),(=-+=y x y x g(2) 构造拉格朗日函数：)3000006030(10),(),(),,(4.06.0-++=+=y x y x y x g y x N y x L λλλ(3) 解一阶偏导数组成的方程组，求驻点⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=--03000006030060403066.06.04.04.0y x F y x F y x F y x λλλ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--6.06.04.04.015151y x y x λλ ∴6.06.04.04.015151---=-y x y x 则：y x 3=6000=x ，2000=y(4) 因为6000=x ，2000=y 为惟一驻点，故6000=x ，2000=y 为最大值点(5) 最大产出为4.38658)2000,6000(=N 【例2】某消费者购买甲、乙两种商品的价格为2=x p 和5=y p ，消费者用40个单位的费用购买这两种商品，又知当购买量分别为x 和y 时，消费者的效用函数2131),(y x y x =μ，问消费者如何购买，可以得到最大效用？最大效用为多少？ 解：(1) 明确问题：极大值：2131),(y x y x =μ约束条件：04052),(=-+=y x y x g(2) 构造拉格朗日函数函数：)4052(),,(2131-++=y x y x x x L λλ(3) 解一阶偏导数组成的方程组，求驻点⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+==+==+=--04052052102312131213221y x F y x F y x F Q Q λλλ⇒8=x ，524=y ，1201-=λ 因为实际问题存在最大值 所以惟一驻点8=x ，524=y 为最小值点 答：§5.6 最小二乘法Method of least squares一、问题的引入我们前面讨论了经济中常用函数，并且讨论了边际、弹性、最优化等问题．而这些问题讨论的前提是——已知一个函数关系式．如果没有这些关系，上述问题都将无法讨论．那么，这些函数关系是如何建立的呢？回归分析是经济分析中常用的一种方法，它是通过最小二乘法的原理将一组数据拟合为初等函数．引例：某种商品价格(x ：美元)与销售量(y ：件)间的数据如下表试确定销售量与价格间函数关系式．二、最小二乘法 (一) 画（散点）图(二) 根据散点图确定拟合图形形状（函数类型）——此题显然应拟合成直线可拟合为抛物线c bx ax y ++=2可拟合为指数函数bxae y =也可拟合为直线b ax y += 也可拟合为分段函数当不能确定拟合为何种类型函数更合适时，可拟合多个函数，然后比较哪个更好，更贴切 我们只将拟合为直线的方法，其他思想相同，请自学 拟合为直线（线性函数）的方法——线性回归(三) 拟合的最好标准为更能说明问题，采用下面图形1、图中各点依次称为),(11y x ，),(22y x ，……，),(n n y x2、设拟合的直线方程为b ax y +=，其中为待定系数要通过最小二乘法，找到最好的a 和b3、将1x 代入b ax y +=，得b ax y +=1，则),(),(111b ax x y x +=为拟合直线上的点实际点),(11y x 与拟合直线上的点),(11b ax x +间有一个误差——b ax y b ax y --=+-1111)(，该误差可能正，也可能负实际点),(22y x 与拟合直线上的点),(22b ax x +间有一个误差——b ax y b ax y --=+-2222)(，该误差可能正，也可能负……实际点),(n n y x 与拟合直线上的点),(b ax x n n +间有一个误差——b ax y b ax y n n n n --=+-)(，该误差可能正，也可能负每个实际点与拟合直线上的点都有误差，且误差有正有负 4、所谓最好，最贴切指——误差最小5、但不能将这些误差直接相加，因为其中必然有正有负——直接相加将相互抵消——平方之和6、所有点误差平方之和为∑=--=--++--+--ni i i n n b ax y b ax y b ax y b ax y 12222211)()()()( ——使其最小7、将∑=--ni i ib ax y12)(中的a 和b 看成变量——二元函数，问题转化为：——求a 和b 的值——使∑=--=ni i ib ax yb a F 12)(),(最小——二元函数求最小值问题8、a ni i i a ni i ia b ax y b ax yb a F ])[(])([),(1212∑∑==--=--=∑=-⋅--=ni i i i x b ax y 1)()(2∑=-⋅--=ni i i i x b ax y 1)()(2∑=+-=ni i i i i bx y x ax 12)(2][21112∑∑∑===+-=n i i n i i i n i ibx y x ax ][21112∑∑∑===+-=ni i n i i i n i ix b y x x ab ni i i b n i i i b b ax y b ax y b a F ])[(])([),(1212∑∑==--=--=∑=-⋅--=n i i i b ax y 1)1()(2∑=-⋅--=n i i i b ax y 1)1()(2∑=+-=ni i i b y ax 1)(2][2111∑∑∑===+-=n i n i i n i i b y ax ][211nb y x a ni i n i i +-=∑∑==令 ⎩⎨⎧==0),(0),(b a F b a F b a则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-∑∑∑∑∑=====0][20][2111112nb y x a x b y x x a ni in i i ni i n i i i n i i即：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====n i i n i i n i i i n i i n i i y nb x a y x x b x a 1111129、实际操作时，通常画表列出求a 和b 所需的参数：∑=ni ix 1，∑=ni iy 1，∑=ni ii y x 1，∑=ni ix12三、 用最小二乘法线性回归的步骤【例1】已知某种商品价格(x ：美元)与需求量(y ：件)间的数据如下表(1) 利用最小二乘法确定价格-需求关系的线性方程．(2) 如果每件产品的成本为3美元，欲取得最大利润的价格应该是多少？ 【解】(1) ① 设拟合的价格-需求关系的线性方程b ax y +=② 画表③ 计算a 和b8.16255.12756.12255.585)(22112111-=-⨯⨯-⨯=-⋅-=∑∑∑∑∑=====ni i n i i ni in i i n i i i x x n y x y x n a 92.10525)8.16(6.1211=⨯--=-=∑∑==nx a yb ni ini i④ 所求价格-需求关系为：92.1068.1+-=x y (2) ① 建立利润随价格变化函数关系)(x πx x x x xy x R 92.1068.1)92.1068.1()(2+-=+-==76.3204.5)92.1068.1(33)(+-=+-==x x y x C)76.3204.5(92.1068.1)()()(2+--+-=-=x x x x C x R x π76.3296.1568.12++-=x x② 求极值96.1536.3)(+-='x x π令0)(='x π，得惟一驻点75.4=x 无使)(x π'不存在点 ③ 求最值∵实际问题存在最大值∴惟一可能极值点75.4=x 为最大值点 ④ 答：价格为4.75美元时，利润最大。
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《最优化方法》复习题 第一章 概述(包括凸规划) 一、 判断与填空题 1 )].([arg)(argminmaxxfxfnnRxRx √
2 .:)(min:)(maxnnRDxxfRDxxf
3 设.:RRDfn 若nRx，对于一切nRx恒有)()(xfxf，则称x为最优化问题)(minxfDx的全局最优解.
4 设.:RRDfn 若Dx，存在x的某邻域)(xN，使得对一切)(xNx恒有)()(xfxf，则称x为最优化问题)(minxfDx的严格局部最
优解. 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √
6 非空集合nRD为凸集当且仅当D中任意两点连线段上任一点属于D. √ 7 非空集合nRD为凸集当且仅当D中任意有限个点的凸组合仍属于D. √
8 任意两个凸集的并集为凸集. 9 函数RRDfn:为凸集D上的凸函数当且仅当f为D上的凹函数. √
10 设RRDfn:为凸集D上的可微凸函数，Dx. 则对Dx，有).()()()(xxxfxfxfT
11 若)(xc是凹函数，则}0)( {xcRxDn是凸集。 √
12 设kx为由求解)(minxfDx的算法A产生的迭代序列，假设算法A为下降算法，则对,2,1,0k，恒有 )()(1kkxfxf . 13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。 14 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。 √
15 函数RRDfn:在点kx沿着迭代方向}0{\nkRd进行精确一维线搜索的步长k，则其搜索公式为 .
16 函数RRDfn:在点kx沿着迭代方向}0{\nkRd进行精确一维线搜索的步长k，则kTkkkddxf)( 0 .
17 设}0{\nkRd为点nkRDx处关于区域D的一个下降方向，则对于0，),0(
使得.Ddxkk
二、 简述题 1 写出Wolfe-Powell非精确一维线性搜索的公式。
2 怎样判断一个函数是否为凸函数. （例如: 判断函数2122212151022)(xxxxxxxf是否为凸函数）
三、 证明题 1 证明一个优化问题是否为凸规划.（例如
判断0 ..21)(minxbAxtsbxcGxxxfTT（其中G是正定矩阵）是凸规划. 2 熟练掌握凸规划的性质及其证明. 第二章 线性规划 考虑线性规划问题： ,0,..min)(xbAxtsxcLPT
其中，mnmnRbRARc,, 为给定的数据，且rank.,nmmA 一、 判断与选择题 1 (LP)的基解个数是有限的. √
2 若(LP)有最优解，则它一定有基可行解为最优解. √ 3 (LP)的解集是凸的. √ 4 对于标准型的(LP)，设kx由单纯形算法产生，则对,2,1,0k，有.1kTkTxcxc ×
5 若*x 为(LP)的最优解，*y 为(DP)的可行解，则.**ybxcTT √ 6 设0x是线性规划(LP)对应的基),,(1mPPB的基可行解，与基变量mxx,,1对应的规范式中，若存在0
k
，则线性规划(LP)没有最优解。×
7 求解线性规划(LP)的初始基可行解的方法：____________________. 8 对于线性规划(LP)，每次迭代都会使目标函数值下降. × 二、 简述题 1 将以下线性规划问题化为标准型：
.0,0,2,1242,6..32)(max32321321321321xxxxxxxxxxxtsxxxxf
2 写出以下线性规划的对偶线性规划： .0,,,,3342,6342..423)(max4321432143214321xxxxxxxxxxxxtsxxxxxf
三、 计算题 熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（包括大M法及二阶段法）. 见书本： 例2.5.1 (利用单纯形表求解); 例2.6.1 (利用大M法求解); 例2.6.2 (利用二阶段法求解).
四、 证明题 熟练掌握对偶理论（弱对偶理论、强对偶理论以及互补松弛条件）及利用对偶理论证明相关结论。 第三章 无约束最优化方法 一、 判断与选择题 1 设nnRG为正定矩阵，则关于G共轭的任意1n向量必线性相关. √ 2 在牛顿法中，每次的迭代方向都是下降方向. × 3 经典Newton法在相继两次迭代中的迭代方向是正交的. × 4 PRP共轭梯度法与BFGS算法都属于Broyden族拟Newton算法. × 5 用DFP算法求解正定二次函数的无约束极小化问题，则算法中产生的迭代方向一定线性无关. √ 6 FR共轭梯度法、PRP共轭梯度法、DFP算法、及BFGS算法均具有二次收敛性. × 7 共轭梯度法、共轭方向法、DFP算法以及BFGS算法都具有二次终止性. √ 8 函数RRfn:在kx处的最速下降方向为 . 9 求解)(minxfnRx的经典Newton法在kx处的迭代方向为kp .
10 若)(xf在*x的邻域内具有一阶连续的偏导数且0)(*xf，则*x为的局部极小点. × 11 若)(xf在*x的某邻域内具有二阶连续的偏导数且*x为)(xf的严格局部
极小点，则)(*2*xfGx正定. × 12 求解)(minxfnRx的最速下降法在kx处的迭代方向为kp . 13 求解)(minxfnRx的阻尼Newton法在kx处的迭代方向为kp .
14 用牛顿法求解)(21minnnnTTRxRGRbxbGxxn，时，至多迭代一次可达其极小点. × 15 牛顿法具有二阶收敛性. √ 16 二次函数的共轭方向法具有二次终止性. ×
17 共轭梯度法的迭代方向为：_____________________. 二、证明题 1 设RRfn:为一阶连续可微的凸函数，nRx且0)(xf，则x为)(minxfnRx
的全局极小点.
2 给定nRb和正定矩阵nnRG. 如果nkRx为求解xbGxxxfTTRxn21)(min的迭代点， 0\nkRd为其迭代方向，且
),0[k为由精确一维搜索所的步长，则.)()(kTkkTkkGdddxf
3 试证：Newton法求解正定二次函数时至多一次迭代可达其极小点. 四、 简述题
1 简述牛顿法或者阻尼牛顿法的优缺点. 2 简述共轭梯度法的基本思想. 五、 计算题 1 利用最优性条件求解无约束最优化问题. 例如：求解121222122123)(minxxxxxxf
2 用FR共轭梯度法无约束最优化问题. 见书本：例3.4.1. 3 用PRP共轭梯度法无约束最优化问题. 见书本：例3.4.1. 例如：01.0,)0,0( 22123)(min01212221Txxxxxxxf其中 第四章 约束最优化方法 考虑约束最优化问题： ,,,2,1,0)(,,,2,1,0)(..)(min)(mllIixclEixctsxfNLPii
其中，.:),,2,1(,RRmicfni
一、判断与选择题 1 外罚函数法、内罚函数法、及乘子法均属于SUMT. ×
2 使用外罚函数法和内罚函数法求解（NLP）时，得到的近似最优解往往不是（NLP）的可行解. ×
3 在求解（NLP）的外罚函数法中，所解无约束问题的目标函数为 .
4 在（NLP）中0l，则在求解该问题的内罚函数法中，常使用的罚函数为 .
5 在（NLP）中0l，则在求解该问题的乘子法中，乘子的迭代公式为ik)(1 ，对mi,,1.
6 在（NLP）中lm，则在求解该问题的乘子法中，增广的Lagrange函数为：_________________________________
7 对于(NLP)的KT条件为：_______________ 二、计算题 1 利用最优性条件(KT条件)求解约束最优化问题.
2 用外罚函数法求解约束最优化问题. 见书本：例4.2.1； 例4.2.2.
3 用内罚函数法求解约束最优化问题. 见书本：例4.2.3.
4 用乘子法求解约束最优化问题. 见书本：例4.2.7； 例4.2.8.
三、简述题 1 简述SUMT外点法的优缺点.
2 简述SUMT内点法的优缺点. 四、证明题 利用最优性条件证明相关问题. 例如：Q设为正定矩阵，A为列满秩矩阵.试求规划
bxAtsaxcQxxxfP .. 21)(min )(
的最优解，并证明解是唯一的.