北京理工大学级数学专业最优化方法期末试卷试题A卷MT.doc
最优化期末考试题及答案
最优化期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 最优化问题中的“最优解”指的是：A. 唯一的解B. 可行域中的任意解C. 使目标函数达到最大或最小值的解D. 任意解2. 线性规划问题中，目标函数和约束条件都是：A. 线性的B. 非线性的C. 部分线性，部分非线性D. 指数形式的3. 下列哪个不是线性规划的解的性质？A. 可行解B. 局部最优解C. 全局最优解D. 无界解4. 单纯形法是解决哪种类型问题的算法？A. 非线性规划问题B. 线性规划问题C. 动态规划问题D. 整数规划问题5. 拉格朗日乘数法主要用于解决：A. 线性规划问题B. 无约束优化问题C. 约束优化问题D. 多目标优化问题二、填空题（每空2分，共20分）6. 在最优化问题中，目标函数是我们要______的函数。
7. 可行域是指所有满足______条件的解的集合。
8. 单纯形法的每一步都通过______来寻找下一个基可行解。
9. 拉格朗日乘数法中，拉格朗日函数是原目标函数和约束条件的______。
10. 在多目标优化中，通常需要考虑目标函数之间的______。
三、简答题（每题10分，共20分）11. 简述单纯形法的基本步骤。
12. 解释拉格朗日乘数法的基本原理。
四、计算题（每题15分，共40分）13. 给定线性规划问题：最大化目标函数 \( z = 3x_1 + 2x_2 \) ，约束条件为 \( x_1 + x_2 \leq 10 \) ， \( x_1 \geq 0 \) ，\( x_2 \geq 0 \) 。
请使用单纯形法求解。
14. 给定约束优化问题：最小化目标函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) ，约束条件为 \( g(x, y) = x + y - 10 = 0 \) 。
请使用拉格朗日乘数法求解。
五、论述题（每题10分，共10分）15. 论述最优化理论在实际工程问题中的应用及其重要性。
答案一、选择题1. C2. A3. D4. B5. C二、填空题6. 最大化或最小化7. 约束8. 选择进入基和离开基的变量9. 线性组合10. 权衡三、简答题11. 单纯形法的基本步骤包括：（1）构造初始可行基；（2）计算目标函数的值；（3）选择进入基的变量；（4）选择离开基的变量；（5）进行基变换；（6）重复步骤（2）至（5），直到目标函数达到最优。
北京理工大学2012-2013学年第一学期工科数学分析期末试题(A卷)试题2012-2(A)
1 北京理工大学2012-2013学年第一学期 工科数学分析期末试题(A 卷)一. 填空题（每小题2分, 共10分）1. 设⎪⎩⎪⎨⎧<≥++=01arctan 01)(x x x x a x f 是连续函数，则=a ___________.2. 曲线θρe 2=上0=θ的点处的切线方程为_______________________________.3. 已知),(cos 4422x o bx ax ex x ++=- 则_,__________=a .______________=b 4. 微分方程1cos2=+y dx dy x 的通解为=y __________________________________. 5. 质量为m 的质点从液面由静止开始在液体中下降, 假定液体的阻力与速度v 成正比, 则质点下降的速度)(t v v =所满足的微分方程为_______________________________.二. (9分) 求极限 210)sin (cos lim xx x x x +→.三. (9分) 求不定积分⎰+dx e xx x x )1arctan (12. 四. (9分) 求322)2()(x x x f -=在区间]3,1[-上的最大值和最小值.五. (8分) 判断212arcsin arctan )(x x x x f ++= )1(≥x 是否恒为常数. 六. (9分) 设)ln(21arctan 22y x x y +=确定函数)(x y y =, 求22,dxy d dx dy . 七. (10分) 求下列反常积分. (1);)1(122⎰--∞+x x dx (2) .1)2(10⎰--x x dx八. (8分) 一垂直立于水中的等腰梯形闸门, 其上底为3m, 下底为2m, 高为2m, 梯形的上底与水面齐平, 求此闸门所受到的水压力. (要求画出带有坐标系的图形)九. (10分) 求微分方程x e x y y y 3)1(96+=+'-''的通解.十. (10分) 设)(x f 可导, 且满足方程a dt t f x x x f xa +=+⎰)())((2 ()0(>a , 求)(x f 的表达式. 又若曲线)(x f y =与直线0,1,0===y x x 所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为,67π 求a 的值. 十一. (8分) 设)(x f 在]2,0[上可导, 且,0)2()0(==f f ,1sin )(121=⎰xdx x f 证明在)2,0(内存在ξ 使.1)(='ξf。
北京理工大学数学专业最优化方法期末试题级A卷级B卷MTH
课程编号：MTH17171北京理工大学2014-2015学年第二学期2013级最优化方法期末试题A 卷一、（10分）设()f x 是凸集nS R ⊆上的凸函数，对12,x x S ∈，实数[]0,1α∉，令()121z x x ααα=+-，若z S α∈，证明()()()121f z f x x ααα≥+-。
二、（10分）设数列{}k x 的通项为：22121,2,0,1,!ii i x x x i i +===L ， 证明：（1）{}k x 收敛于*0x =； （2）令1,0,1,k k k xx d k +=+=L ，则*lim1k kk x x d →∞-=；（3）{}k x 不是超线性收敛于*x 的。
三、（10分）求解整数规划问题：1212121212min ..14951631,0,,z x x s t x x x x x x x x =-++≤-+≤≥∈Z。
（图解法，割平面法，分枝定界法均可）四、（10分）设f 连续可微有下界，且f ∇Lipschitz 连续，即：存在常数0L > ，使得,n x y R ∀∈，()()f x f y L x y ∇-∇≤-，设{}k x 由Wolfe-Powell 型搜索产生，k d 为下降方向，()()cos T k k k kkf xdf x dθ∇=-∇⋅，证明：（1）()220cos kk k f x θ∞=∇<∞∑；（2）若0δ∃>，使得k ∀，cos k θδ≥，则()lim 0k k f x→∞∇=。
五、（10分）设f 连续可微，序列{}k x 由最速下降法解()min f x ，并做精确搜索产生，证明：0,1,k ∀=L ，()()10Tk k f xf x +∇∇=。
六、（10分）已知线性规划：1234123412341234max 2347..23482673,,,0z x x x x s t x x x x x x x x x x x x =++++--=-+-=-≥。
北京理工大学数学专业解析几何期末试题(MTH17014-H0171006)
北京理工大学数学专业解析几何期末试题(MTH17014-H0171006)课程编号：MTH17014 北京理工大学2011-2012学年第一学期2011级本科生解析几何期末试题A 卷姓名--------------，班级------------，学号--------------，题目一 二三四五六总分得分一，单选题(30分)1,已知空间三点A,B,C,下面哪个条件能确定A,B,C 四点共面( ) (a),空间任意一点O,三点满足 (b),空间任意一点O,三点满足(c),空间任意一点O,三点满足(d),空间任意一点O,三点满足2, 已知三向量满足下面哪个条件说明这三向量共面( )(a), , (b),, (c), , (d), .3,在一仿射坐标系中,平面,点A(1,-2,-1)和点B(2,-1,3).则下面说法正确的是( )(a)点A 和点B 在平面π的两侧; (b)点A 和点B 在平面π的同侧;(c)线段AB 平行于平面π; (d)线段AB 垂直于平面π.4, 在仿射坐标系中,已知直线和直线,则下面说法正确的是( ).OA OB OC =+ 11.22OA OB OC =+0.OA OB OC ++= 110.23OA OB OC ++=,,,αβγ()0αβγ⋅=0.αββγγα⨯+⨯+⨯=()0αβγ⨯⨯=()()αβγβγα⨯∙=⨯∙:2430x y z π+++=2103260x z x y ++=⎧⎨+-=⎩2102140x y z x z +--=⎧⎨+-=⎩(a)两直线平行; (b)两直线相交; (c)两直线异面; (d)两直线重合.5, 在仿射坐标系中,已知平面和直线,则下面说法正确的是( )(a)直线和平面平行; (b)直线和平面相交; (c)直线在平面上; (d)直线和平面垂直.6,在平面仿射坐标中,直线与轴相交,则( )(a),(b),(c),(d)7，在空间直角坐标系下，方程的图形是（ ）(a),椭球面；(b),单叶双曲面；(c),双叶双曲面；(d),锥面。
北京理工大学数学专业数理统计期末试题（07000233）
北京理⼯⼤学数学专业数理统计期末试题（07000233）课程编号：07000233 北京理⼯⼤学2011-2012学年第⼆学期2010级数理统计期末试题A 卷⼀、设总体()20,X N σ，12,,,m n X X X +是抽⾃总体X 的简单随机样本，求常数c 使得随机变量2221222212mm m m n X X X Y c X X X ++++++=?+++服从F 分布，指出分布的⾃由度并证明。
⼆、设总体()2,X N µσ，其中220σσ=为已知常数，R µ∈为未知参数。
12,,,nX X X 是抽⾃总体X 的简单随机样本，12,,,n x x x 为相应的样本观测值。
1.求参数µ的矩估计；2.求参数µ和2EX 的极⼤似然估计；3.证明1n i i i X X α='=∑，其中11ni i α==∑和11ni i X X n ==∑都是µ的⽆偏估计；4.⽐较两个⽆偏估计X '和X 的有效性并解释结果。
三、设总体X 服从泊松分布()P λ，123,,X X X 是抽⾃总体X 的简单随机样本，设假设检验问题011:3;:3H H λλ==的否定域为(){}123,,0.5D X X XX =≤。
1.求该检验问题犯第⼀类错误的概率；2.求该检验问题犯第⼆类错误的概率和在1H 下的功效函数。
四、设总体X 的概率密度函数为()32,0,20,0xx e x f x x θθθ-?>?=??≤?，其中0θ>为未知参数，12,,,n X X X 是抽⾃总体X 的简单随机样本。
1.验证样本分布族是指数族，并写出其⾃然形式（标准形式）；2.证明()1nii T X X==∑是充分完全（完备）统计量，并求()ET X ；3.利⽤充分完全统计量法和Cramer-Rao 不等式⽅法证明113n i i X n =∑是1θ的⼀致最⼩⽅差⽆偏估计。
北京理工大学《高等数学》历年期末考试试题及答案解析(精编版)
x = (t − 1)et 八. 设曲线 C 的方程为 y = 1 − t4
求
dy dx
,
d2y dx2
及曲线
C
在参数
t
=
0
对应点处
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第 1 部分 北京理工大学试题集
的曲率半径.
九. 设 f ′(x).
f (x)
=
1 x
−
ex
1 −
1,
x
<
0
1
−
1 c2os x
x
,
, x
x= >0
等于
mg k
.
∫1
十一. 设 f (x) 在 [0, 1] 上连续, 在 (0, 1) 内可导, 且满足 f (1) = 2 2 xe1−x f (x)dx, 证明:
0
至少存在一点 ξ, 使得 f ′(ξ) = (1 − ξ−1) f (ξ).
1.2 2011 级秋季学期期末试卷
一. 填空题
1. 极限 lim
x→0
x
− ln(1 x2
+
x)
=
2. 设 y
=
x2 + ln x, 则
dx dy
=
dy =
∫∞
3. 广义积分
e
dx x ln2
x
=
4.
微分方程
y′′
=
1
1 + x2
的通解为
; lim
1
∫
x
(1
+
sin
2t)
1 t
dt
=
.
x→0 x 0
√ ; 设 f 可导,y = f (tan x) + 1 − x2, 则
最优化方法习题1
《最优化方法》期末考试练习题声明：仅供复习时参考。
实际考试题型类似，题量小于本练习。
一. 选择题：略第一题主要考察基本概念、定理，算法的基本思想和matlab 命令。
二.简答题1． 写出线性规划问题;0, ,94 3 ,5 32 4 s.t. ,823 max 21321321321≥≥-+-≥+-+-x x x x x x x x x x x 的对偶规划。
2．如果求解某整数规划问题的松弛问题得到如下的最优单纯形表：求以1x ，2x 为源行生成的割平面方程。
3．在区间[0，3]上用黄金分割法求函数12)(3+-=t t t ϕ的极小点，只要求求出 初始的迭代点和保留区间及此时的近似最优解。
4． 用tx ex y 21-=拟合下列数据1.0,24.0,11,07.2,1=======-=y t y t y t y t写出非线性最小二乘问题三.计算题1．分别用最速下降方法和修正的牛顿法求解无约束问题 22214)(min x x x f +=。
取初始点()()Tx2,21=，.1.0=ε2．讨论约束极值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤-≤++--+=0004..866)(min212121212221x x x x x x t s x x x x x f 的Kuhn-Tucker 点。
3．用外点法（外部惩罚函数法）求解2s.t.)3()1()(min 212221≤-+-+-=x x x x x f4．用内点法求解非线性规划03)( 03)( s.t. 296)(min 22112121≥-=≥-=++-=x x g x x g x x x x f5.用乘子法求解1s.t.6121)(min 212221=++=x x x x x f 6．用表格单纯形法求解线性规划⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥-≤++++=0,,34623max 3213231321321x x x x x x x x x x x x x Z并根据最优单纯形表格写出该线性规划的最优基和最优基的逆。
最优化方法试卷及答案5套.docx
《最优化方法》1一、填空题:1. _______________________________________________________ 最优化问题的数学模型一般为：_____________________________________________ ,其中___________ 称为目标函数，___________ 称为约束函数，可行域D可以表示为_______________________________ ，若 ________________________________ ，称/为问题的局部最优解，若为问题的全局最优解。
2.设f(x)= 2斤+2“2-兀|+5花，则其梯度为__________ ^x = (l,2)r?6/ = (l,0)r,则f(x)在壬处沿方向d的一阶方向导数为___________ ，几何意义为_____________________________________ ，二阶方向导数为____________________ ,几何意义为_____________________________3.设严格凸二次规划形式为：min /(%) = 2兀］2 + 2x； - 2兀］-x2s.t. 2%! 4- x2 < 1> 0x2 > 0则其对偶规划为_______________________________________________min%（d ） = f （x k +ad k ）的最优步长为务=—叫）F.d kT Gd k2. （10分）证明凸规划min/（x ）,x G D （其中子（兀）为严格凸函数，D 是凸集）的最优解是唯一的3. （13分）考虑不等式约束问题min /（x ）s.t. c i （x ） < 0, Z G / = {1,2,…，加}其中/（x ）,6 （兀）a e /）具有连续的偏导数，设X 是约束问题的可行点，若在元处 d 满足巧（计<0,VC,（元）（可则d 是元处的可行下降方向。
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课 程 编 号 : 0 7 0 0 0 2 0 3北 京 理 工 大 学 2 0 0 7 - 2 0 0 8 学 年 第 二 学 期2005 级数学专业最优化方法终考试卷（ A 卷）1． (20 分 )某化工厂有三种资源 A 、 B 、 C ，生产三种产品甲、乙、丙，设甲、乙、丙的产量分别为x 1,x 2,x 3 ,其数学模型为：max z 3 x 1 2 x 2 5 x 312 x 23 430 ( A 资源限制 )x x3 x 1 2 x 3 460 ( B 资源限制 )s.t 4 x 2 420 (C 资源限制 )x x 1 , x 2 , x 3 0请回答如下问题： （ 1）给出最优生产方案； （ 2）假定市场信息表明甲产品利润已上升了一倍，问生产方案应否调整？ （3）假定增加一种添加剂可显着提高产品质量，该添加剂的资源限制约束为：x 12x23x3800 问最优解有何变化？2． (12 分 )用 Newton 法求解 min f ( x )4 x 12 x 22 2 x 12 x 2 ，初始点取为 x 0 (1, 1)T ，迭代一步。
3．(10 分 )用 FR 共轭梯度法求解三个变量的函数 f ( x ) 的极小值，第一次迭代的搜索方向为 p 0 (1, 1,2)T ，沿 p 0 做精确线搜索，得 x 1( x 11 , x 21 , x 31 )T ， 设 f ( x 1 )2,f ( x 1 )2 ，求从 x 1 出发的搜索方向 p 1 。
x 11x 214． (15 分 ) 给定下面的BFGS 拟 Newton 矩阵修正公式：Hk 1( I s k y k T )H k ( I s k y k T )Ts k s k T ，y k T s ky k T s k y k T s k其中 s kxk 1x k , y kgk 1g k用对应的拟 Newton 法求解： min f ( x ) x 122x 1 x 2 2 x 22 4 x 1 ，初始点取为 x 0 (0,0) T ， H 0 I 。
5． (15 分 )写出问题 取得最优解的 Kuhn-Tucker （ K － T ）必要条件，并通过 K － T 条件求出问题 K － T 点及相应 Lagrange 乘子。
6(12 分 )．求约束问题在 x(0,0) T 及 x 2 (1,0) T 处的下降方向集合、可行方向集合以及可行下降方向集合，并画图表示出来17（ 8 分）考察优化问题min f ( x )s.t. x，D设 D 为凸集， f ( x ) 为 D 上凸函数，证明： f ( x) 在 D 上取得极小值的那些点构成的集合是凸集。
8（ 8 分）设 minf ( x ) 1 x T Ax b T x c ，其中 A 为对称正定矩阵， x * 为 f ( x ) 的极小值点，又设 x 0 ( x*) 可表示为2x 0 x *p ，其中R 1， p 是 A 对应于特征值 的特征向量，证明：若从 x 0 出发，沿最速下降方向做精确一维搜索， 则一步达到极小值点。
课程编号 :07000203北京理工大学 2008-2009 学年第一学期2006 级数学专业最优化方法终考试卷（ A 卷）1． (15 分 ) 用单纯形法求解线性规划问题2． (10 分 )写出线性规划问题的对偶问题并证明该对偶问题没有可行解。
3． (15 分 )考虑用最速下降法迭代一步 min f ( x) x 12 2x 22 ， 初始点取为 x 0( 1, 1)T 。
（ 1）采用精确一维搜索；（ 2）采用 Wolfe 条件进行不精确一维搜索，其中 0.1, 0.9 。
4． (15 分 )用 DFP 拟牛顿法求解min f ( x)x 12 2x 22 初始点取为 x 01，初始矩阵 H 02 1 。
11 15． (15 分 )证明集合 S { x | x 1 2x 2 4, 2x 1x 2 6} 是凸集，并计算原点(0,0) 到集合 S 的最短距离。
6． (15 分 ?) 考虑问题（1）用数学表达式写出在点( 1 , 5)T处的下降可行方向集。
3 3（ 2）假设当前点在 (0,0) T 处，求出用投影梯度法进行迭代时当前的下降可行方向（搜索方向）。
7（ 7 分）证明：在精确一维搜索条件下，共轭梯度法得到的搜索方向是下降方向。
a 11x1a 12 x2L a 1 n x n b 1a 21 x 1a 22 x 2 L a 2n x nb 28（ 8 分）已知线性不等式组.............................................其中b 1 , b 2 L , b m0 ，给出一种判断该不等式组是否相容（即a m 1 x 1 a m 2 x 2 L a mn x nb mx 1 , x 2 L , x n 0是否有解）的方法并说明理由。
课程编号 :07000203北京理工大学 2009-2010 学年第一学期2007 级数学专业最优化方法终考试卷（ A 卷）1．（ 8 分）将优化问题化为标准形式的线性规划问题。
2． (10 分 ) 给出一个判断任一线性不等式组是否相容（即是否有解）的一般条件，并利用其判断以下不等式组是否相容。
3． (12 分 )对于下面的线性规划（1）利用对偶单纯形法求解；（2）写出其对偶线性规划问题并利用对偶理论求出对偶问题的最优解。
4． (10 分 )考虑用最速下降法迭代一步 minf ( x) x 12 2 x 222x 1 x 2 ，初始点为 x 0 ( 1, 1)T 。
5． (15 分 )用 FR 共轭梯度法求解min f ( x )x 121 x 221x 32初始点取为 x 01,1,1T。
226． (10 分 ?) 考虑问题min f ( x ) ( x 1 1)2 x 22s.t . x 1x 22写出问题取得最优解的Kuhn-Tucker （ K － T ）必要条件，并通过K － T 条件求出问题 K － T 点及相应 Lagrange 乘子。
min f ( x ) x 2x 2 2 x1 4 x2127． (15 分 ?) 用简约梯度法求解问题s.t . 2 x 1 x 2 1,，初始点取为 (0, 2)T 。
x 1 x 2 2,x 10, x 2 0.8（ 10 分）基于单纯形算法，试给出一个判定线性规划问题具有唯一最优解的条件，并且举例说明之。
min f ( x)9(10 分 )．考虑优化问题Ax b, A R m n , x ，设 x k 为问题可行域中任一点，在 x k 处前 q 个约束为有效约束，记为s..t R nA q x k b q ，其中 A q 为行满秩矩阵，令 P I A T ( A A T ) 1 A ，证明：（ 1） P q 为投影阵。
q q q q q（2）若 p k P q f (x k ) 0 ，则为问题的下降可行方向。
课程编号 :07000203北京理工大学 2010-2011 学年第一学期2008 级数学专业最优化方法终考试卷（ A 卷）1(15 分 )求解线性规划2． (12 分 )给定一个线性规划问题（1）写出其对偶规划。
（2）假设已知该对偶规划的最优解为5 , 73 3T，试求出原始问题的最优解。
3． (15 分 )给定 Rosenbrock 函数 f ( x ) 100( x 2 x 12 )2(1 x 1 )2 (1) 求出 f ( x ) 的驻点，并判断驻点的最优性。
(2) 求出 f ( x ) 在点 x 1( 1, 2)T 处的最速下降方向4．(20 分 )无约束优化问题阻尼Newton 法迭代公式为 x k 1 x kkGK 1g k ，拟 Newton 法的思想可以是构造一个对称正定阵 B k近似替代 G k ，则搜索方向由 B p g k 求出。
初始 B0 I ，Bk 1 由 B k 修正得到， B k 1 要满足拟 Newton 方程 B sy k ，k kk 1 k其中 s k x k 1 x k , y kgk 1g k 。
假定正定阵 B k 是秩 2 修正的，即 B k 1 B kuu Tvv T ， u, v R n ，试推导出, , u, v 的一种取法满足拟Newton 方程，并用相应拟Newton 法计算 min f ( x )3x 121x 22 x 1 x 2 2 x 1 初始点取为 x 0 (0, 0)T 。
225． (12 分 ?) 考虑问题Kuhn-Tucker （ K － T ）必要条件，并通过 K － T 条件求出问题 K － T 点及相应 Lagrange 乘子。
写出问题取得最优解的6． (8 分 ?) 利用投影矩阵求出向量y(2, 5, 7)T 在超平面 H{ x | 2x 1 x 2 x 310} 上的投影向量。
7(10 分 )利用简约梯度法求解以下问题，初始点取为 (1,0) T ，迭代一步。
8（ 8 分）证明：在拟牛顿法中，若矩阵 H k 正定，则拟牛顿法得到的搜索方向（非零向量）是下降方向。
课程编号 : MTH17085北京理工大学 2010-2011 学年第二学期2009 级数学专业最优化方法终考试卷（ A 卷）max f ( x ) 2 x1 x 2 x 31(15 分 )．求解线性规划s. t . x1 x 2 x 3 6x1 2 x 2 4x1 , x 2 , x 3 0不用重新计算，给出发生下列变化后新的最优解。
（ 1）max f ( x ) 2x 1 3 x2 x 3。
（2）增加一个新约束x1 2 x 3 2 。
2．(18 分 )给定极小化问题min f ( x) 4 x12 4x1 x2 2 x22 2 x2 1初始点取为x0 (0, 0)T 。
(1) 针对初始点处的负梯度方向求出满足不精确一维搜索Wolfe 条件的步长区间，其中0.1, 0.9 。
(2) 用 PRP 共轭梯度法求解上述问题。
3．(15 分 ) 试推导无约束优化问题拟Newton 法对称秩 1 公式，即H k 1 H k uu T，u Rn，给出, u 的取法满足拟Newton方程 H k 1 y k s k，其中 s k x k 1 x k, y k g k 1 g k 。
并用相应拟Newton 法计算min f ( x) 4 x12 4 x1 x 2 2x22 2x2 1 初始点取为 x0 (0, 0)T 。
4． (10 分 ?) 用外罚函数法求解min f ( x) x1 x2s.t . x1 x22 0min f ( x ) x1 x25(12 分 )利用广义简约梯度法求解问题s.t . x12 x22 4 0 。