北京理工大学级数学专业最优化方法期末试卷试题A卷MT.doc

课 程 编 号 : 0 7 0 0 0 2 0 3

北 京 理 工 大 学 2 0 0 7 - 2 0 0 8 学 年 第 二 学 期

2005 级数学专业最优化方法终考试卷（ A 卷）

1． (20 分 )某化工厂有三种资源 A 、 B 、 C ，生产三种产品甲、乙、丙，设甲、乙、丙的产量分别为

x 1,x 2,x 3 ,其数学模型为：

max z 3 x 1 2 x 2 5 x 3

1

2 x 2

3 430 ( A 资源限制 )

x x

3 x 1 2 x 3 460 ( B 资源限制 )

s.t 4 x 2 420 (C 资源限制 )

x x 1 , x 2 , x 3 0

请回答如下问题： （ 1）给出最优生产方案； （ 2）假定市场信息表明甲产品利润已上升了一倍，问生产方案应否调整？ （3）假定增加一种添加剂可显着提高产品质量，该添加剂的资源限制约束为：

x 1

2

x

2

3x

3

800 问最优解有何变化？

2． (12 分 )用 Newton 法求解 min f ( x )

4 x 12 x 22 2 x 12 x 2 ，初始点取为 x 0 (1, 1)T ，迭代一步。

3．(10 分 )用 FR 共轭梯度法求解三个变量的函数 f ( x ) 的极小值，第一次迭代的搜索方向为 p 0 (1, 1,2)T ，沿 p 0 做精确线搜

索，得 x 1

( x 11 , x 21 , x 31 )T ， 设 f ( x 1 )

2,

f ( x 1 )

2 ，求从 x 1 出发的搜索方向 p 1 。

x 11

x 21

4． (15 分 ) 给定下面的

BFGS 拟 Newton 矩阵修正公式：

H

k 1

( I s k y k T )H k ( I s k y k T )T

s k s k T ，

y k T s k

y k T s k y k T s k

其中 s k

x

k 1

x k , y k

g

k 1

g k

用对应的拟 Newton 法求解： min f ( x ) x 1

2

2x 1 x 2 2 x 22 4 x 1 ，初始点取为 x 0 (0,0) T ， H 0 I 。 5． (15 分 )写出问题 取得最优解的 Kuhn-Tucker （ K － T ）必要条件，并通过 K － T 条件求出问题 K － T 点及相应 Lagrange 乘子。

6(12 分 )．求约束问题

在 x

(0,0) T 及 x 2 (1,0) T 处的下降方向集合、可行方向集合以及可行下降方向集合，并画图表示出来

1

7（ 8 分）考察优化问题

min f ( x )

s.t. x

，

D

设 D 为凸集， f ( x ) 为 D 上凸函数，证明： f ( x) 在 D 上取得极小值的那些点构成的集合是凸集。

8（ 8 分）设 min

f ( x ) 1 x T Ax b T x c ，其中 A 为对称正定矩阵， x * 为 f ( x ) 的极小值点，又设 x 0 ( x*) 可表示为

2

x 0 x *

p ，其中

R 1， p 是 A 对应于特征值 的特征向量，证明：若从 x 0 出发，沿最速下降方向做精确一维搜索， 则一步达到极小值点。

课程编号 :07000203

北京理工大学 2008-2009 学年第一学期

2006 级数学专业最优化方法终考试卷（ A 卷）

1． (15 分 ) 用单纯形法求解线性规划问题

2． (10 分 )写出线性规划问题

的对偶问题并证明该对偶问题没有可行解。

3． (15 分 )考虑用最速下降法迭代一步 min f ( x) x 12 2x 22 ， 初始点取为 x 0

( 1, 1)T 。（ 1）采用精确一维搜索；（ 2）

采用 Wolfe 条件进行不精确一维搜索，其中 0.1, 0.9 。

4． (15 分 )用 DFP 拟牛顿法求解

min f ( x)

x 12 2x 22 初始点取为 x 0

1

，初始矩阵 H 0

2 1 。

1

1 1

5． (15 分 )证明集合 S { x | x 1 2x 2 4, 2x 1

x 2 6} 是凸集，并计算原点

(0,0) 到集合 S 的最短距离。

6． (15 分 ?) 考虑问题

（1）用数学表达式写出在点

( 1 , 5)T

处的下降可行方向集。

3 3

（ 2）假设当前点在 (0,0) T 处，求出用投影梯度法进行迭代时当前的下降可行方向（搜索方向）。

7（ 7 分）证明：在精确一维搜索条件下，共轭梯度法得到的搜索方向是下降方向。

a 11

x

1

a 12 x

2

L a 1 n x n b 1

a 21 x 1

a 22 x 2 L a 2n x n

b 2

8（ 8 分）已知线性不等式组.............................................

其中

b 1 , b 2 L , b m

0 ，给出一种判断该不等式组是否相容（即

a m 1 x 1 a m 2 x 2 L a mn x n

b m

x 1 , x 2 L , x n 0

是否有解）的方法并说明理由。

课程编号 :07000203

北京理工大学 2009-2010 学年第一学期

2007 级数学专业最优化方法终考试卷（ A 卷）

1．（ 8 分）将优化问题

化为标准形式的线性规划问题。

2． (10 分 ) 给出一个判断任一线性不等式组是否相容（即是否有解）的一般条件，并利用其判断以下不等式组是否相容。 3． (12 分 )对于下面的线性规划

（1）利用对偶单纯形法求解；（

2）写出其对偶线性规划问题并利用对偶理论求出对偶问题的最优解。

4． (10 分 )考虑用最速下降法迭代一步 min

f ( x) x 12 2 x 22

2x 1 x 2 ，初始点为 x 0 ( 1, 1)T 。

5． (15 分 )用 FR 共轭梯度法求解

min f ( x )

x 12

1 x 22

1

x 32

初始点取为 x 0

1,1,1

T

。

2

2

6． (10 分 ?) 考虑问题

min f ( x ) ( x 1 1)2 x 22

s.t . x 1

x 2

2

写出问题取得最优解的

Kuhn-Tucker （ K － T ）必要条件，并通过

K － T 条件求出问题 K － T 点及相应 Lagrange 乘子。

min f ( x ) x 2

x 2 2 x

1 4 x

2

1

2

7． (15 分 ?) 用简约梯度法求解问题

s.t . 2 x 1 x 2 1,

，初始点取为 (0, 2)T 。

x 1 x 2 2,

x 1

0, x 2 0.

8（ 10 分）基于单纯形算法，试给出一个判定线性规划问题具有唯一最优解的条件，并且举例说明之。 min f ( x)

9(10 分 )．考虑优化问题

Ax b, A R m n , x ，设 x k 为问题可行域中任一点，在 x k 处前 q 个约束为有效约束，记为

s..t R n

A q x k b q ，其中 A q 为行满秩矩阵，令 P I A T ( A A T ) 1 A ，证明：（ 1） P q 为投影阵。

q q q q q

（2）若 p k P q f (x k ) 0 ，则为问题的下降可行方向。

课程编号 :07000203

北京理工大学 2010-2011 学年第一学期

2008 级数学专业最优化方法终考试卷（ A 卷）

1(15 分 )求解线性规划

2． (12 分 )给定一个线性规划问题

（1）写出其对偶规划。（

2）假设已知该对偶规划的最优解为

5 , 7

3 3

T

，试求出原始问题的最优解。

3． (15 分 )给定 Rosenbrock 函数 f ( x ) 100( x 2 x 12 )2

(1 x 1 )2 (1) 求出 f ( x ) 的驻点，并判断驻点的最优性。

(2) 求出 f ( x ) 在点 x 1

( 1, 2)T 处的最速下降方向

4．(20 分 )无约束优化问题阻尼

Newton 法迭代公式为 x k 1 x k

k

G

K 1

g k ，拟 Newton 法的思想可以是构造一个对称正定阵 B k

近似替代 G k ，则搜索方向由 B p g k 求出。初始 B

0 I ，B

k 1 由 B k 修正得到， B k 1 要满足拟 Newton 方程 B s

y k ，

k k

k 1 k

其中 s k x k 1 x k , y k

g

k 1

g k 。假定正定阵 B k 是秩 2 修正的，即 B k 1 B k

uu T

vv T ， u, v R n ，试推导出

, , u, v 的一种取法满足拟

Newton 方程，

并用相应拟

Newton 法计算 min f ( x )

3

x 12

1

x 22 x 1 x 2 2 x 1 初始点取为 x 0 (0, 0)T 。

2

2

5． (12 分 ?) 考虑问题

Kuhn-Tucker （ K － T ）必要条件，并通过 K － T 条件求出问题 K － T 点及相应 Lagrange 乘子。

写出问题取得最优解的

6． (8 分 ?) 利用投影矩阵求出向量

y

(2, 5, 7)T 在超平面 H

{ x | 2x 1 x 2 x 3

10} 上的投影向量。

7(10 分 )利用简约梯度法求解以下问题，初始点取为 (1,0) T ，迭代一步。

8（ 8 分）证明：在拟牛顿法中，若矩阵 H k 正定，则拟牛顿法得到的搜索方向（非零向量）是下降方向。

课程编号 : MTH17085

北京理工大学 2010-2011 学年第二学期