《1.1集合》 学案

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1.1集合
适用学科 数学 适用年级
高三

适用区域 新课标 课时时长（分钟） 60

知 识 点
集合的概念；集合中元素的性质（确定性、无序性、互异性）；属于与不属于的应用；常用数集及其记法；
列举法；描述法；Venn图法；两个集合相等的含义；证明集合相等的方法；子机、真子集、空集；包含
关系与属于关系的区别；子集个数问题；不包含关系的含义；并集、交集、补集；交、并、补的混合运
算

学习目标
1.集合的含义与表示
(1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述
法)描述不同的具体问题．
2.集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．
3.集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集
的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.

学习重点
集合的概念和集合的运算、Venn图

学习难点
集合的运算、Venn图
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学习过程
一、课堂导入
有一位牧民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义，于是他请教一位数学家：“尊敬的先生，请你告诉我集

合是什么？”集合是不定义的概念，数学家很难回答．一天，他看到牧民正在向羊圈里赶羊，等到牧民把羊全赶进羊圈并
关好门．数学家突然灵机一动，高兴地告诉牧民：“这就是集合”．你能理解集合了吗？集合就是把需要的东西拿到一起．
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二、复习预习
1．自然数的集合包含：零和 ；有理数的集合包含：整数和
2．在平面上，到一个定点的距离等于定长的点的集合
3．到一条线段的两个端点距离相等的点的集合是这条线段的
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二、知识讲解
考点1 元素与集合
(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．

(2)集合与元素的关系：若a属于A，记作a∈A；若b不属于A，记作b∉A.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集及其符号表示
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋
Z Q R
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考点2 集合间的基本关系
表示
关系
文字语言 符号语言

相等 集合A与集合B中的所有元素都相同
A⊆B且B⊆A⇔A
＝B
子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A⊆B或B⊇A

真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 AB或BA
空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ∅⊆A∅B(B≠∅)
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考点3 集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号表示 A∪B
A∩B

若全集为U，则集

合A的补集为∁UA

图形表示

意义 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且
x∉A}
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四、例题精析
【例题1】
【题干】(1)已知非空集合A＝{x∈R|x2＝a－1}，则实数a的取值范围是________．

(2)已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．
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【答案】(1)[1，＋∞) (2)(－∞，1]
【解析】(1)∵集合A＝{x∈R|x2＝a－1}为非空集合，
∴a－1≥0，即a≥1.
(2)∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，
即1－2＋a≤0，∴a≤1.
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【例题2】
【题干】若集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0，x∈R}，集合B＝{1,2}，且A⊆B，则实数a的取值范围是________．
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【答案】[－2,2)

【解析】(1)若A＝∅，则Δ＝a2－4<0，解得－2(2)若1∈A，则12＋a＋1＝0，解得a＝－2，此时A＝{1}，符合题意；

(3)若2∈A，则22＋2a＋1＝0，解得a＝－52，此时A＝2，12，不合题意．
综上所述，实数a的取值范围为[－2,2)
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【例题3】
【题干】

已知全集U＝R，函数y＝1x2－4的定义域为M，N＝{x|log2(x－1)<1}，则如图所示阴影部分所表示的集合是( )

A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|112 / 23

【答案】C
【解析】集合M＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，∁UM＝[－2,2]，集合N＝(1,3)，所以∁UM∩N＝(1,2].
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【例题4】

【题干】若x∈A，且11－x∈A，则称集合A为“和谐集”．已知集合M＝－2，－1，－12，0，1，12，23，2，3，则

集合M的子集中，“和谐集”的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
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【答案】C
【解析】当x＝－2时，11－x＝13∉M，故－2不是“和谐集”中的元素；

当x＝－1时，11－x＝12∈M；
当x＝12时，11－x＝2∈M；
当x＝2时，11－x＝－1∈M.
所以－1，12，2可以作为“和谐集”中的一组元素；
当x＝－12时，11－x＝23∈M；
当x＝23时，11－x＝3∈M；
当x＝3时，11－x＝－12∈M.
所以－12，23，3可以作为“和谐集”中的一组元素；
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当x＝0时，11－x＝1∈M，但x＝1时，11－x无意义，
所以0,1不是“和谐集”中的元素．
所以集合M的子集为“和谐集”，其元素只能从两组元素：－1，12，2与－12，23，3中选取一组或两组，

故“和谐集”有－1，12，2，－12，23，3，－1，12，2，－12，23，3三个．
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五、课堂运用
【基础】
1．(2012·辽宁高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁UA)∩(∁UB)＝( )

A．{5,8} B．{7,9}
C．{0,1,3} D．{2,4,6}
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2．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝( )
A．0或3 B．0或3
C．1或3 D．1或3
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3．(2012·湖北高考)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
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【巩固】
4．若1∈a－3，9a2－1，a2＋1，－1，则实数a的值为________．
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5．(2013·合肥模拟)对于任意的两个正数m，n，定义运算⊙：当m，n都为偶数或都为奇数时，m⊙n＝m＋n2，当m，

n为一奇一偶时，m⊙n＝mn，设集合A＝{(a，b)|a⊙b＝6，a，b∈N*}，则集合A中的元素个数为________．
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【拔高】

6．设全集U＝R，A＝{x|－x2－3x>0}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{x|x>0}
B．{x|－3C．{x|－3D．{x|x<－1}
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7．已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)·(x－3a)<0}．
(1)若A⊆B，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围；
(3)若A∩B＝{x|323 / 23
课程小结
1、在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系，在一定的情况下，集合的运算关系和包含

关系之间可以相互转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅，在解题中运用这种转化能有效简化解
题过程．
2、解答集合题目应注意的问题
(1)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．
(2)要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系．
(3)要注意空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．
(4)运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．
(5)在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.