2019-2020年人教A版高中数学必修一 1-2-1 函数的概念 教案

2019-2020年人教A版高中数学必修一 1-2-1 函数的概念 教案
教学目的：
1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；
2．理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。
教学重点：理解函数的概念
教学难点：函数的概念
教学过程：
一、复习回顾，新课引入：
初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？
设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它
对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，
和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的
函数定义我们称之为函数的传统定义.
初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。
问题1：1y（Rx）是函数吗？

问题2：xy与xxy2是同一函数吗？
观察对应：

0
30

0
45

0
60

0
90

2
1
2
2

2
3

9

4
1

1
-1
2
-23-33-32-21-11491231234
5
6

(1)
(2)

(3)
(4)

开平方求正弦求平方乘以2AAA

ABBBB
1

二、师生互动，新课讲解：
（一）函数的有关概念
设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，
在集合B中都有唯一确定的数)(xf和它对应，那么就称BAf:为从集合A到集合B的
函数，记作
)(xfy
， xA

其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数)(xfy的定义域；与x的值相对应的y的值
叫做函数值，函数值的集合Axxf|)(（B）叫做函数y=f(x)的值域.值域是集合B的
子集。
函数符号)(xfy表示“y是x的函数”，有时简记作函数)(xf.
(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应 BAf:
这里 A, B 为非空的数集.
（2）A：定义域；Axxf|)(：值域，其中Axxf|)( B ；f：对应法则 ，
x
A ， yB

（3）函数符号：)(xfyy是 x 的函数，简记 )(xf
例1：判断下列各式，哪个能确定y是x的函数？为什么？
（1）x2+y=1 （2）x+y2=1
答：（1）是；（2）不是。

（二）已学函数的定义域和值域
请填写下表：
函数 一次函数 二次函数 反比函数
a>0 a<0
对应关系
定义域

值域
abacyy44|2 



abacyy44

|
2
（三）函数的值：关于函数值 )(af
题：)(xf=2x+3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11
注意：1在)(xfy中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样。
2)(xf不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”。
3)(xf与)(af是不同的，前者为变数，后者为常数。
（四）函数的三要素： 对应法则f、定义域A、值域Axxf|)(
只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。
例题讲解
例2： 求下列函数的定义域：
① 21)(xxf；② 23)(xxf；③ xxxf211)(.
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定。如果只给出解析式)(xfy，而
没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合。

解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21x无意义，
而2x时，分式21x有意义，∴这个函数的定义域是2|xx.
②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23x无意义，
而023x，即32x时，根式23x才有意义，
∴这个函数的定义域是{x|32x}.
③∵当0201xx且，即1x且2x时，根式1x和分式x21 同时有
意义，
∴这个函数的定义域是{x|1x且2x}

另解：要使函数有意义，必须： 0201xx21xx
∴这个函数的定义域是： {x|1x且2x}
变式训练2：（课本P19练习NO：1）
强调：解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义.由本例可知，求函数的定
义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或
不等式组就得到所求的函数的定义域.
例3： 已知函数)(xf=32x-5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1).
解：f(3)=3×23-5×3+2=14；
f(-2)=3×(-2)2-5×(-2)+2=8+52；
f(a+1)=3(a+1) 2-5(a+1)+2=3a2+a.
变式训练3：（课本P19练习NO： 2）
例4：下列函数中哪个与函数xy是同一个函数？

⑴2xy；⑵33xy；⑶2xy（4）y=2xx
解：⑴2xy＝x（0x）,0y，定义域不同且值域不同，不是；
⑵33xy＝x（Rx）,Ry，定义域值域都相同，是同一个函数；
⑶2xy＝|x|=xx,00xx,0y；值域不同，不是同一个函数。
(4)定义域不同，所以不是同一个函数。
变式训练4：
①3)5)(3(1xxxy52xy （定义域不同）
②111xxy)1)(1(2xxy （定义域不同）
③21)52()(xxf52)(2xxf （定义域、值域都不同）
例5： 求下列函数的值域：
（1）xy3；（2）xy8；（3）54xy；（4）762xxy．
分析：在直角坐标系中画出函数的图象，发现（1）、（3）两个一次函数的函数值可以取
到一切实数；（2）这个反比例函数的函数值不能等于0；（4）这个二次函数有最小值．
解：（1）值域为实数集R；
（2）值域为Ryyy,0；
（3）值域为实数集R；
（4）函数762xxy的最小值是2，所以值域为2yy．
（五）区间的概念
研究函数时常会用到区间的概念．
设ba,是两个实数，而且ba．我们规定：
（1）满足不等式bxa的实数x的集合叫做闭区间，表示为],[ba；
（2）满足不等式bxa的实数x的集合叫做开区间，表示为),(ba；
（3）满足不等式bxa或bxa的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示
为),[ba，],(ba．

这里的实数ba,都叫做相应区间的端点．
实数集R可用区间表示为),(，我们把满足ax，ax，bx，bx的实
数x的集合分别表示为),[a，),(a，],(b，),(b．
“” 读作“无穷大”，“” 读作“负无穷大”，“+” 读作“正无穷大”．
区间可在数轴上表示（课本第17页）．
上面例4的函数值域用区间表示分别为：（1）),(，（2）),0()0,(，（1）
),(，（4）),2[
．

三、课堂小结，巩固反思：
函数是一种特殊的对应f：A→B，其中集合A，B必须是非空的数集；)(xfy表示y
是x的函数；函数的三要素是定义域、值域和对应法则，定义域和对应法则一经确定，值域
随之确定；判断两个函数是否是同一函数，必须三要素完全一样，才是同一函数；)(af表
示)(xf在x=a时的函数值，是常量；而)(xf是x的函数，通常是变量。
四、布置作业：
A组：
1、（课本P24习题1.2 A组NO：1）
2、（课本P24习题1.2 A组NO：2）
3、（课本P24习题1.2 A组NO：3）
4、（课本P24习题1.2 A组NO：4）