高中毕业班1月阶段性测试(二)--数学文
高二数学下学期第二次阶段性测试试题 文含解析 试题
绥德中学2021-2021学年高二数学下学期第二次阶段性测试试题 文〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
第I 卷〔选择题，一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，计60分；在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.〕1.集合{|ln(1)}A y y x ==-，{}2|40B x x =-≤，那么A B =〔 〕A. {|2}x x ≥-B. {|12}x x <<C. {|12}x x <≤D. {|22}x x -≤≤【答案】D 【解析】 【分析】化简集合,A B ,再根据交集的概念进展运算可得. 【详解】因为函数ln(1)y x =-的值域为R 所以A R =, 又集合[2,2]B =-,所以[2,2]A B B ⋂==-. 应选:D【点睛】此题考察了交集的运算,函数的值域,解一元二次不等式,属于根底题. 2.命题:,(0,1)∀∈P x y ，2x y +<，那么命题 P 的否认为〔 〕 A. ,(0,1)∀∈x y ，2x y +≥ B. ,(0,1)∀∉x y ，2x y +≥ C. 00,(0,1)∃∉x y ，002+≥x y D. 00,(0,1)∃∈x y ，002+≥x y【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否认是特称命题，可直接得出结果.【详解】命题:,(0,1)∀∈P x y ，2x y +<的否认为“00,(0,1)∃∈x y ，002+≥x y 〞． 应选D【点睛】此题主要考察全称命题的否认，只需改写量词与结论即可，属于根底题型. 3.假设{}n a 是首项为1的等比数列，那么“869a a >〞是“23a >〞的〔〕 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 由有2a q =，因为869a a >时，那么29q >，可得33q q ><-或，即“869aa >〞不能推出“23a >〞，由3q >可得869a a >，即“23a >〞能推出“869aa >〞，结合充分必要条件的判断即可得解. 【详解】解：假设869a a >时，那么29q >，那么33q q ><-或，又2a q = 那么23a <-或者23a >； 假设23a q =>时，那么6289a q a =>， 即“869a a >〞是“23a >〞的必要不充分条件， 应选B .【点睛】此题考察充分条件、必要条件，考察推理论证才能.4.以下函数中，在区间()0+∞，上为增函数的是〔 〕A. ln(2)y x =+B. y =C. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D. 1y x x=+【答案】A【解析】 【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数，对勾函数的单调性以及复合函数的单调性法那么，即可判断．【详解】对A ，函数ln(2)y x =+在()2-+∞，上递增，所以在区间()0+∞，上为增函数，符合； 对B，函数y =[)1,-+∞上递减，不存在增区间，不符合；对C ，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，不存在增区间，不符合；对D ，函数1y x x=+在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，不符合． 应选：A ．【点睛】此题主要考察指数函数，对数函数，幂函数，对勾函数的单调性以及复合函数的单调性法那么的应用，属于容易题．5.函数()13sin ,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，那么()()9f f =〔 〕A.12B. 12-C.2D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数()y f x =的解析式由内到外计算出()()9ff 的值.【详解】()13sin ,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()139log 92f ∴==-， 因此，()()()92sin sin 332ff f ππ⎛⎫=-=-=-=- ⎪⎝⎭，应选D. 【点睛】此题考察分段函数值的计算，对于多层函数值的计算，需充分利用函数解析式，由内到外逐层计算，考察计算才能，属于根底题.6.设f(x)为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()372xf x x b =-+〔b 为常数〕，那么f(-2)=〔 〕A. 6B. -6C. 4D. -4【答案】A 【解析】∴f(x)为定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()372xf x x b =-+，∵()0120f b =+=， ∴12b =-． ∴()371xf x x =--，∴()22(2)(3721)6f f -=-=--⨯-=．选A ．7.设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，那么有〔 〕A. 13()()(1)32f f f << B. 31(1)()()23f f f <<C. 13(1)()()32f f f <<D. 31()(1)()23f f f <<【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再利用函数在区间[1,0)-上是增函数可得答案.【详解】解：()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又(2)()f x f x +=-11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又1111023--<-<-≤，且函数在区间[1,0)-上是增函数，11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，应选A.【点睛】此题考察利用函数的单调性、奇偶性比拟函数值的大小，考察利用知识解决问题的才能.()212log 6y x x =-++的递增区间为〔 〕A. 1(,3)2B. 1(2,)2- C. 1()2+∞，D. 1()2-∞，【答案】A 【解析】【分析】设260x x t -++>=，可求出函数的定义域，由二次函数和对数函数的单调性，再结合复合函数的单调性法那么，即可得出函数的单调递增区间． 【详解】设260x x t -++>=，解得23x -<<． 由于函数26t x x =-++在12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在1,32⎛⎫⎪⎝⎭上递减，而函数12log y t =在()0,∞+上递减，根据复合函数的单调性可知，函数()212log 6y x x =-++的递增区间为1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭．应选：A ．【点睛】此题主要考察对数型复合函数的单调区间的求法，属于根底题．9.二次函数()224f x x x =-- 在区间[]2,a - 上的最小值为5-，最大值为4，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A. ()2,1-B. (]2,4-C. []1,4D. [)1,+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数对称轴与定义区间位置关系分析确定实数a 满足的条件. 【详解】因为()()()15244f f f =--==，，对称轴为1x =, 所以实数a 的取值范围是[]1,4,选C.【点睛】此题考察二次函数最值，考察根本分析求解才能，属根底题. 10.(32)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩, 对任意1212,(,),x x x x ∈-∞+∞≠,都有1212()()0f x f x x x -<-，那么实数a 的取值范围是 〔 〕 A. ()0,1B. 2(0,)3C. 1173⎡⎫⎪⎢⎣⎭,D. 22,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据题设条件可以得到()f x 为R 上的减函数，根据各自范围上为减函数以及分段点处的上下可得实数a 的取值范围.【详解】因为任意1212,(,),x x x x ∈-∞+∞≠,都有1212()()0f x f x x x -<-，所以对任意的12x x <，总有()()12f x f x >即()f x 为R 上的减函数，所以01320720a a a <<⎧⎪-<⎨⎪-≥⎩，故2273a ≤<，应选D.【点睛】分段函数是单调函数，不仅要求各范围上的函数的单调性一致，而且要求分段点也具有相应的上下分布，我们往往容易无视后者.11.()y f x =是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =+，当0x <，()f x =〔 〕 A. (1)x x -- B. (1)x x -C. (1)x x -+D. (1)x x +【答案】B 【解析】 【分析】任取(,0)x ∈-∞，那么(0,)x -∈+∞，由此求出()f x -，又()y f x =是定义在R 上的奇函数，故有()()f x f x =--即可解出(,0)x ∈-∞时的解析式． 【详解】()y f x =是定义在R 上的奇函数，故有()()f x f x =--，任取(,0)x ∈-∞，那么(0,)x -∈+∞， 当0x >时，()(1)f x x x =+()(1)f x x x ∴-=--， ()()(1)f x f x x x ∴=--=-应选B【点睛】此题考察利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式，是函数奇偶性的一个重要应用．3()f x x x =+，对任意的[22]m ∈-，，(2)()0f mx f x -+<恒成立，那么x 的取值范围为〔 〕 A. 2(2,)3- B. 2(2,)3C. 2(2,)3-D. 2(2,)3--【答案】A 【解析】【分析】先根据函数的解析式判断出函数的单调性和奇偶性，即可将不等式(2)()0f mx f x -+<变形得到关于x 的不等式20xm x +-<，构造函数()2g m xm x =+-，即可列出不等式组解出x 的取值范围．【详解】因为函数3()f x x x =+，()()f x f x -=-，易知函数3()f x x x =+为R 上单调递增的奇函数，所以(2)()0(2)()f mx f x f mx f x -+<⇒-<-，即20xm x +-<对任意的[22]m ∈-，恒成立，设()2g m xm x =+-，只需()()2020g g ⎧<⎪⎨-<⎪⎩即可．解不等式组220220x x x x +-<⎧⎨-+-<⎩，解得223x -<<．应选：A ．【点睛】此题主要考察函数的奇偶性和单调性的综合应用，以及更换主元法的应用，意在考察学生的转化才能，属于中档题．第II 卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，计20分〕13.{|A x y ==，{|1}B x x m =≤+，假设x A ∈是x B ∈的必要条件，那么m 范围是______. 【答案】(,0]-∞ 【解析】 【分析】根据函数的定义域求出集合A ，由x A ∈是x B ∈的必要条件可得B A ⊆，结合集合的包含关系得出参数的范围.【详解】由{}{|1A x y x x ===≤，{|1}B x x m =≤+ 又∵x A ∈是x B ∈的必要条件，∴B A ⊆，∴11m +≤，解得0m ≤，即m 的取值范围是(,0]-∞， 故答案为(,0]-∞.【点睛】此题主要考察函数定义域的求法、考察数学中的等价转化才能、集合的包含关系，属于中档题. 14.定义在R 上的偶函数()f x 满足()0f x >，1(2)()f x f x +=对任意x ∈R 恒成立，那么(2023)f =__________.【答案】1【分析】 先由1(2)()f x f x +=，得到()f x 以4为周期；再求出(1)(1)1f f =-=，根据函数周期性，即可求出结果.【详解】因为1(2)()f x f x +=对任意x ∈R 恒成立， 所以1(4)()(2)f x f x f x +==+，即函数()f x 以4为周期； 令1x =-，那么1(12)(1)f f -+=-，即(1)(1)1f f ⋅-=， 又()f x 为偶函数，且()0f x >，所以(1)(1)1f f ⋅=，即()(1)11f f =-=； 因此(2023)(15064)(1)1f f f =-+⨯=-=. 故答案为：1.【点睛】此题主要考察由函数奇偶性与周期性求函数值，属于根底题型. 15.给出以下结论：①命题“假设2340x x +-=，那么4x =〞的逆否命题“假设4x ≠，那么2340x x --≠〞； ②“4x =〞是“2340x x --=〞的充分条件；③命题“假设0m >，那么方程20x x m +-=有实根〞的逆命题为真命题； ④命题“假设220m n +=，那么0m =且0n =〞的否命题是真命题. 其中错误的选项是__________.〔填序号〕 【答案】③ 【解析】根据逆否命题的定义、充分条件的断定和四种命题的关系可依次判断各个选项得到结果.【详解】对于①，根据逆否命题的定义可知：“假设2340x x +-=，那么4x =〞的逆否命题为“假设4x ≠，那么2340x x --≠〞， ①正确；对于②，当4x =时，234161240x x --=--=，充分性成立，②正确； 对于③，原命题的否命题为“假设0m ≤，那么方程20x x m +-=无实根〞；当104m -≤≤时，140m ∆=+≥，此时方程20x x m +-=有实根，那么否命题为假命题；否命题与逆命题同真假，∴逆命题为假命题，③错误；对于④，原命题的逆命题为“假设0m =且0n =，那么220m n +=〞，可知逆命题为真命题； 否命题与逆命题同真假，∴否命题为真命题，④正确. 故答案为：③.【点睛】此题考察四种命题的关系及真假性的判断、充分条件的断定等知识；关键是纯熟应用四种命题真假性的关系来进展命题真假的判断.16.函数1()x x e f x e a-=+为奇函数，那么a =____________.【答案】1 【解析】 【分析】根据奇函数定义()()f x f x -=-可构造方程求得结果.【详解】()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，即1111x x x x xxe e e e a ae e a-----==-+++， 1x x ae e a ∴+=+恒成立，1a .故答案为：1.【点睛】此题考察根据函数奇偶性求解参数值的问题；解决此类问题常有两种方法：①定义法；②特殊值法.三、解答题.〔本大题一一共6道题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 3ρρθ-=.〔Ⅰ〕求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；〔Ⅱ〕直线l 与圆C 交于,A B 两点，点(1,2)P ，求||||PA PB ⋅的值.【答案】〔Ⅰ〕直线l 的普通方程为30x y +-=，圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=.〔Ⅱ〕2 【解析】 【分析】〔1〕求直线l 的普通方程，消去参数t 即可；求圆的直角坐标方程利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩互化即可.〔2〕根据直线所过定点，利用直线参数方程中t 的几何意义求解||||PA PB ⋅的值. 【详解】解：〔Ⅰ〕直线l 的普通方程为30x y +-=， 圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=.〔Ⅱ〕联立直线l 的参数方程与圆C的直角坐标方程可得22(1)(2)4(1)30++--=，化简可得220t +-=. 那么12||||||2PA PB t t ⋅==.【点睛】〔1〕直角坐标和极坐标互化公式：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩；〔2〕直线过定点P ，与圆锥曲线的交点为A B 、，利用直线参数方程中t 的几何意义求解：||||||AB PA PB 、，那么有12||||AB t t =-，12||||||PA PB t t =.18.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32x ty t=+⎧⎨=-+⎩〔t 为参数〕，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为54π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为24sin 0ρρθ+=. 〔1〕写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；〔2〕假设点Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l 的间隔 的最小值 【答案】〔1〕50x y --=，()2224x y ++=； 〔2〕1. 【解析】 【分析】〔1〕两式相减，消去t 后的方程就是直线l 的普通方程，利用转化公式222x y ρ=+，sin y ρθ= ，极坐标方程化为直角坐标方程；〔2〕32cos 52sin ,22M αα-+-+⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后写出点到直线的间隔 公式，转化为三角函数求最值.【详解】〔1〕直线l 的普通方程为：50x y --=，由线C 的直角坐标方程为：()2224x y ++=. 〔2〕曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=-+⎩〔α为参数〕，点P 的直角坐标为()3,3--，中点32cos 52sin ,22M αα-+-+⎛⎫⎪⎝⎭，那么点M 到直线l 的间隔d =， 当cos 14πα⎛⎫⎪⎝⎭+=时，d的最小值为1， 所以PQ 中点M 到直线l 的间隔的最小值为1.【点睛】此题考察了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及将间隔 的最值转化为三角函数问题，意在考察转化与化归的思想，以及计算求解的才能，属于根底题型.19.函数2()(21)3f x x a x =+--.〔1〕当[22]3a x =-∈，，时，求函数()f x 的值域； 〔2〕假设函数()f x 在[13]-，上的最大值为1，务实数a 的值. 【答案】(1) 21,154-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2) 13a =-或者1-. 【解析】 【分析】〔1〕利用二次函数，配方通过闭区间以及二次函数的对称轴求解函数最值即可.〔2〕求出函数的对称轴，利用对称轴与求解的中点，比拟，求解函数的最大值，然后求解a 的值即可.【详解】〔1〕当2a =时，22321()3324f x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，又2[]3x ∈-，，所以321()min 24f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， max 315f x f ==（）（），所以值域为21,154-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 〔2〕对称轴为212a x -=-. ①当2112a --≤，即12a ≥-时， max 363f x f a ==+（）（）， 所以631a +=，即13a =-满足题意； ②当2112a -->，即12a <-时，max 121f x f a ==（）（﹣）﹣﹣，， 所以211a =﹣﹣，即1a =﹣满足题意. 综上可知13a =-或者1-.【点睛】此题考察二次函数的性质的应用，考察计算才能，考察分类讨论的数学思想方法，属于中档题.20.函数()()2cos 2cos0ωωωω=+>f x x x x ，且()f x 的最小正周期为π.〔1〕求ω的值及函数()f x 的递减区间； 〔2〕将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，求当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的最大值.【答案】〔1〕1ω=，单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；〔2〕3.【解析】 【分析】〔1〕利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用函数()y f x =出最小正周期为π可求得ω的值，然后解不等式()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，即可解得函数()y f x =的单调递减区间； 〔2〕利用图象变换求得()2sin 216g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求得26x π-的取值范围，再利用正弦函数的根本性质可求得函数()y g x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【详解】〔1〕()2cos 2cos 2cos 212sin 216f x x x x x x x πωωωωωω⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，由于函数()y f x =出最小正周期为π，那么222Tπω==，1ω∴=， 那么()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，解不等式()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以，函数()y f x =的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；〔2〕将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()y g x =的图象， 那么()2sin 212sin 216666g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52666x πππ-≤-≤， 所以，当226x ππ-=时，函数()y g x =获得最大值，即()max 2sin 132g x π=+=. 【点睛】此题考察利用三角函数的周期性求参数，同时也考察了正弦型函数的单调区间和最值的求解，以及利用图象变换求函数解析式，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式，考察计算才能，属于中等题.21.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*2n n S a n n N=-+∈.〔Ⅰ〕求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；〔Ⅱ〕求数列{}1n a -的前n 项和n T .【答案】〔Ⅰ〕详见解析；〔Ⅱ〕111432nn n T ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】〔Ⅰ〕由112221n n n n n S S a a a ---==-++可以得出1111232n n a a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，进而得出结论. 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可推导出1111232nn a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，再利用分组求和法就能求出数列{}1n a -的前n 项和n T .【详解】〔Ⅰ〕2n n S a n =-+， 当2n ≥时，1121n n S a n --=-+-， 两式相减，得121n n n a a a -=-++，即11133n n a a -=+. ∴1111232n n a a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列． 〔Ⅱ〕由1121S a =-+，得113a =.由〔Ⅰ〕知，数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以16-为首项，13为公比的等比数列． 所以11111126323n nn a -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴111232nn a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴1111232nn a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，∴111631111243213nnnn n T ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 【点睛】此题考察了等比数列的证明，考察利用分组求和法求数列的前n 项和的求法. 22.函数()()22f x ax a x lnx =-++，(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(Ⅱ)当0a >时，假设()f x 在区间[]1,e 上的最小值为-2，其中e 是自然对数的底数，务实数a 的取值范围；【答案】(1)2y =-.(2)1a ≥. 【解析】【详解】分析：〔1〕求出()'f x ，由 ()1f 的值可得切点坐标，由()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；〔2〕分三种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间，根据单调性求得函数最小值，令所求最小值等于2-，排除不合题意的a 的取值，即可求得到符合题意实数a 的取值范围.详解：(Ⅰ)当1a =时，()()213,'23f x x x lnx f x x x=-+=-+， ()123f x x x=-+因为()()'10,12f f ==-， 所以切线方程是2y =-；(Ⅱ)函数()()22f x ax a x lnx =-++的定义域是()0,∞+当0a >时，()()()22211'22ax a x f x ax a x x-+-=-++=()()211(0)x ax x x --=>令()'0f x =得12x =或者1x a=当11a≤时，所以()f x 在[]1,e 上的最小值是12f ， 满足条件，于是1a ≥ ②当11e a <≤，即11a e ≤<时，()f x 在[]1,e 上的最小1()f a， 即1a ≥时，()f x 在[]1,e 上单调递增 最小值()112f f a ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，不合题意； ③当1e a >，即10a e<<时，()f x 在[]1,e 上单调递减， 所以()f x 在[]1,e 上的最小值是()()12f e f <=-，不合题意. 综上所述有，1a ≥.点睛：求曲线切线方程的一般步骤是：〔1〕求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P ()()00,x f x 处的切线斜率〔当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在0x x =处导数不存在，切线方程为0x x =〕；〔2〕由点斜式求得切线方程()()00•y y f x x x '-=-.本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
2025年上外版高一数学下册阶段测试试卷含答案
2025年上外版高一数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、过点且平行于直线的直线方程为().A.B.C.D.2、【题文】函数的值域为（）A.B.C.D.3、【题文】的零点在下列哪个区间内（）A. （0，1）B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4）4、函数的值域为（）A. （0，+∞）B. [0，+∞）C. （1，+∞）D. [1，+∞）5、设扇形的弧长为2面积为2则扇形中心角的弧度数是()A. 1B. 4C. 1或4D. 娄脨评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)6、已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1，且有f（x+1）-f（x）=2x．在区间[-1，2]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象下方，则实数m的取值范围为____．7、在△ABC中，∠A=90°，AC=1，AB=过A在三角形内作射线AM交线段BC于M，则∠AMC＞60°的概率是____．8、圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是____．9、在半径为3的圆中，弧AB为120°，则扇形 OAB 的面积为____．10、【题文】已知A＝{x|x2－2x－3≤0}，若实数a∈A，则a的取值范围是________．11、【题文】集合则集合A中所有元素之积为____.12、已知集合M={f（x）|f2（x）﹣f2（y）=f（x+y）f（x﹣y）；x，y∈R}，有下列命题。
①若f（x）= 则f（x）∈M；②若f（x）=2x；则f（x）∈M；③f（x）∈M；则y=f（x）的图象关于原点对称；④f（x）∈M，则对于任意实数x1， x2（x1≠x2），总有＜0成立；其中所有正确命题的序号是____．（写出所有正确命题的序号）13、已知长方形ABCD中，AB=2 AD=3，其水平放置的直观图如图所示，则A′C′=______ ．14、已知幂函数y=(m2鈭�2m鈭�2)xm2+4m的图象关于原点对称且与x轴、y轴均无交点，则整数m的值为 ______ ．评卷人得分三、证明题(共8题，共16分)15、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．求证：（1）∠CFD=∠CAD；（2）EG＜EF．16、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．17、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．（1）求证：E为的中点；（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．18、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．19、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：（1）AD=AE（2）PC•CE=PA•BE．20、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．21、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．22、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分四、作图题(共3题，共18分)23、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．24、作出下列函数图象：y=25、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）评卷人得分五、解答题(共2题，共10分)26、已知函数(1) 用函数单调性的定义证明在区间上为增函数(2) 解不等式27、【题文】（本小题满分15分）已知函数f(x)＝－1＋2sinxcosx＋2cos2x.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)求f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标；(3)若角α，β的终边不共线，且f(α)＝f(β)，求tan(α＋β)的值．评卷人得分六、综合题(共4题，共28分)28、如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax2+c与x轴正半轴交于点F（4；0）；与y轴正半轴交于点E（0，4），边长为4的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合；（1）求拋物线的函数表达式；（2）如图2；若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线与边AB交于点P 且同时与边CD交于点Q．设点A的坐标为（m，n）①当PO=PF时；分别求出点P和点Q的坐标及PF所在直线l的函数解析式；②当n=2时；若P为AB边中点，请求出m的值；（3）若点B在第（2）①中的PF所在直线l上运动；且正方形ABCD与抛物线有两个交点，请直接写出m的取值范围．29、设直线kx+（k+1）y-1=0与坐标轴所围成的直角三角形的面积为S k，则S1+S2+ +S2009=____．30、已知函数y1=px+q和y2=ax2+bx+c的图象交于A（1，-1）和B（3，1）两点，抛物线y2与x轴交点的横坐标为x1，x2，且|x1-x2|=2．（1）求这两个函数的解析式；（2）设y2与y轴交点为C，求△ABC的面积．31、（2011•青浦区二模）如图，已知边长为3的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是____．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、A【分析】所求直线方程为即【解析】【答案】A2、A【分析】【解析】试题分析：即，令则所以函数的值域为选A。
2024学年上海市普通高中高三1月教学质量检测试题数学试题
2024学年上海市普通高中高三1月教学质量检测试题数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（ ） A ．36B ．72C ．36-D ．36±2．已知复数21iz i=+，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -CD ．23．已知斜率为2-的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>交于,A B 两点，若()00,M x y 为线段AB 中点且4OM k =-（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．3CD 4．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=︒，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC 的外心，则2PC =；②ABC 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=︒时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π⎛⎤⎥⎝⎦；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（ ）． A ．1B ．1C ．3D ．45．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A ．413B ．21313C ．926D ．313266．已知函数()sin(2019)cos(2019)44f x x x ππ=++-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（ ）A ．2019πB ．22019π C ．42019πD ．4038π7．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()cos 2321f x x x =++，则下列判断错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 9．若2nx x ⎛⎝的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．410．记n S 为数列{}n a 的前n 项和数列{}n a 对任意的*,p q ∈N 满足13p q p q a a a +=++.若37a =-，则当n S 取最小值时，n 等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．911．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1B ．-3C ．1或53D ．-3或17312．已知函数2()ln(1)f x x x-=+-,则函数(1)=-y f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省费县二中高二数学1月阶段性检测试题
山东省费县二中2014-2015学年高二数学1月阶段性检测试题一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上． 1、“1a =”是“函数()lg()f x ax =在(0,)+∞单调递增”的 A.充分不必要条件 B.充分必要条件 C.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件2、设抛物线px y =2的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为 A. 4- B.4 C.8- D. 83、在等差数列{}n a 中，若12021062=++a a a ，则93a a +等于 A.30 B ．40 C ．60 D ．804、点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点(0,1)A -的距离与到直线1-=x 的距离和的最小值是B ． 2 D. 2 5、下列命题错误的是A. 命题“若0lg =x ，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则lg 0x ≠” B ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题C ．命题:p x R ∃∈，使得1sin >x ，则:p x R ⌝∀∈，均有1sin ≤xD ．“2x >”是“211<x ”的充分不必要条件 6、双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为C. 2D. 37、椭圆两焦点为 1(4,0)F -，2(4,0)F ，P 在椭圆上，若△12PF F 的面积的最大值为12，则该椭圆的标准方程为A.221259x y += B. 2212516x y += C. 221169x y += D. 161022=+y x8、下列结论正确的是 A. 当0x >且1x ≠时，2lg 1lg ≥+x x B. 当0x >2≥ C. 当2x ≥时，1x x +的最小值为2 D. 当02x <≤时，1x x-无最大值 9、ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，若A bccos <，则ABC ∆ 为A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形10、已知点(,)P x y 满足1110x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩,点Q 在曲线1(0)y x x =<上运动，则PQ 的最小值是A．2 BC ．2 D．二、填空题.本大题共有5个小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题卡的相应位置。
【Word版2014广州二模】广东省广州市2014届高三普通高中毕业班综合测试(二)数学文答案
2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．()1,2- 12．9 13．4 141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：∵()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. ……………2分 ∵x ∈R ，[]cos 1,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ……………3分4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭. ……………4分∴ 函数()f x 的值域为⎡⎣. ……………5分 （2）解法1：∵()12f θ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分∴cos 44πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………7分 ∴ sin 2cos 22πθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭……………9分 212cos 4πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭……………11分2124⎛⎫=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭34=. ……………12分解法2：∵()12f θ=，∴142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分1cos cossin sin442ππθθ⎫-=⎪⎭. ……………7分 ∴1cos sin 2θθ-=. ……………8分 两边平方得221cos 2cos sin sin 4θθθθ-+=. ……………10分∴ 3sin 24θ=. ……………12分17．（本小题满分12分）(1) 解：依题意，得5200.05,0.35,a b n n n===， 解得，100n =，35a =，0.2b =. ……………3分(2) 解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生， 则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名.…………6分 第三组的3名学生记为123,,a a a ，第四组的2名学生记为12,b b ，第五组的1名学生记为1c ， 则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………8分其中第三组的3名学生123,,a a a 没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：M O H F E D C B A{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………10分故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815-=. ……………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，连接,OH EO ， ∵H 是BC 的中点，∴OH ∥AB ，112OH AB ==. ……………1分 ∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB . ……………2分 ∵1EF =，∴OH ∥EF ，OH EF =.∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，EO =FH . ……………3分 ∵EO ⊂平面BDE ，FH ⊄平面BDE ，∴FH ∥平面BDE . ……………4分 （2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==， 由（1）知，EF ∥MB ，且EF =MB ， ∴四边形EMBF 是平行四边形.∴EM ∥FB ，EM FB =. ……………5分在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………6分在△AME中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==.∴AM EM ⊥. ……………7分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵FB BC B = ，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 证法2：在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，∴112FH BC ==. 在△AEO中，112AE AO AC EO FH =====, ∴222AO EO AE +=.∴AO EO ⊥. ……………5分OHFEDCBA ∵FH ∥EO ,∴AO FH ⊥. ……………6分∵,FH BC BC ⊥⊂平面ABCD , AO ⊂平面ABCD , AO BC C = , ∴FH ⊥平面ABCD . ∵AB ⊂平面ABCD ,∴FH ⊥AB . ……………7分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵BC ⊂平面BCF , FH ⊂平面BCF , BC FH H = ,∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 （3）解：连接EC ， 在Rt △BFC 中，112FH BC ==， ∴1EO FH ==.由（2）知AB ⊥平面BCF ，且EF ∥AB ，∴EF ⊥平面BCF . ……………10分 ∵FH ⊥平面ABCD , EO ∥FH ，∴EO ⊥平面ABCD . ……………11分 ∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =⋅⋅正方形2141233=⨯⨯=. ………12分 ∴三棱锥E BCF -的体积为213BCF V EF S =⋅⋅∆21111323=⨯⨯⨯=. ………13分∴五面体ABCDEF 的体积为1253V V V =+=. ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当1n =时，111a S p q ==++， ……………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- ……………2分 ()()221121n pn q n p n q n p ⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦. ………3分∵{}n a 是等差数列，∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =. ……………4分 又2353,5,9a p a p a p =+=+=+， ……………5分 ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()()2539p p p +=++， ……………6分 解得1p =-. ……………7分解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ……………1分 ∵2n S n pn q =++， ∴12d =，12da p -=，0q =. ……………4分 ∴2d =，11p a =-，0q =. ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =， ……………5分 即()()()2111428a a a +=++.解得10a =. ……………6分 ∴1p =-. ……………7分 （2）解法1：由（1）得22n a n =-. ……………8分 ∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，①……………10分()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅ 14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ .……………10分由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠- ，……………11分 两边对x 取导数得，012123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. …………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦ . ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()12f x x a x'=++. ……………2分 ∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴ ()0f x '≥, 即120x a x++≥对()0,x ∈+∞都成立. ……………3分 ∴ 12a x x-≤+对()0,x ∈+∞都成立. ……………4分 当0x >时,12x x +≥=当且仅当12x x=,即2x =时,取等号. ……………5分∴a -≤即a ≥-.∴a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()21212x ax f x x a x x++'=++=.……………2分方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-. ……………3分① 当0∆≤,即a -≤≤, 2210x ax ++≥,此时, ()0f x '≥对()0,x ∈+∞都成立,故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数. ……………4分② 当0∆>,即a <-或a >, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只需2210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.设()221h x x ax =++, 则()010,0,4h a ⎧=>⎪⎨-<⎪⎩得0a >.故a > ……………5分综合①②得a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分（2）解：当1a =时, ()()2ln ln 111f x x x x xg x x x x x x ++=-=-=+++. ()()211l n 1x x g x x +-'=+. ……………7分 ∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *)上有解,即方程11ln 0x x +-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解. ……………8分 令()11ln x x x ϕ=+-()0x >, 由于0x >, 则()2110x x xϕ'=--<,∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减. ……………9分∵()413ln 3ln33ϕ=-=4e 2741 2.5ln 0327>>, ……………10分 ()514ln 4ln44ϕ=-=5e 256513ln 04256<<, ……………11分 ∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈. ……………12分∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *)上有解, t ∈N *∴3t ≤. ……………13分 ∵t ∈N *，∴t 的最大值为3. ……………14分21．（本小题满分14分）（1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……………1分第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,2422k x k ±==± ∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分 令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x x x x x x kk---===+++. ……………6分∵ST =∴12x x -=. 由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …………… 7分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分 （3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………10分 而2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………2分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………3分 同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………5分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………7分∵ST =∴()12122k k k k -=∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+， 得()225124k k k +=+， 解得2k =±. ……………8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …………… 9分 （3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………10分 得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………11分整理得，()224410x x y k+-++=. ……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分。
2023届黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高三上学期1月阶段性测试数学试题(解析版)
2023届黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高三上学期1月阶段性测试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =（ ） A ．{1,2}- B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-【答案】B【分析】方法一：求出集合B 后可求A B ⋂. 【详解】[方法一]：直接法因为{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B =，故选：B. [方法二]：【最优解】代入排除法=1x -代入集合{}11B x x =-≤，可得21≤，不满足，排除A 、D ；4x =代入集合{}11B x x =-≤，可得31≤，不满足，排除C.故选：B.【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法； 方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．2．(22i)(12i)+-=（ ） A ．24i -+ B ．24i --C ．62i +D ．62i -【答案】D【分析】利用复数的乘法可求()()22i 12i +-. 【详解】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-， 故选：D.3．已知两个等差数列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ） A ．1460 B ．1472 C ．1666D ．1678【答案】C【分析】根据题意求出两个数列，相同的项组成的数列，求出项数，然后求出它们的和即可. 【详解】有两个等差数列2，6，10，...，198及2，8，14， (200)由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，182，194是两个数列的相同项. 共有194211712-+=个，也是等差数列， 它们的和为21941716662+⨯=， 这个新数列的各项之和为1666. 故选：C.4．已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =（ ） A ．6- B ．5- C ．5 D ．6【答案】C【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选：C5．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A ．12种 B ．24种C ．36种D ．48种【答案】B【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224⨯⨯=种不同的排列方式， 故选：B6．设4,0,,sin )25παβααβ⎛⎫∈=+=- ⎪⎝⎭，则cos β=（ ）A ．BCD ． 【答案】C【分析】先根据范围计算cos α=，3sin()5αβ+=，再直接利用和差公式计算得到答案.【详解】4,0,,sin )25παβααβ⎛⎫∈+=- ⎪⎝⎭，故cos α，()0,παβ+∈，3sin()5αβ+=，故()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++4355=-=故选：C7．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为表面积为（ ） A ．100π B ．128π C ．144π D ．192π【答案】A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以123432,260sin 60r r ==，即123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d 2d =故121d d -=或121d d +=1=1=，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==． 故选：A ．8．已知()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，且均不恒为零.()g x 为偶函数，()103f =-.若对任意的x ∈R ，都有()()()422f x f x x +++，设()()()2h x x g x =-⋅，若函数()2h x +的图象关于y 轴对称，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的一个周期为8 B ．函数()g x 的图象关于直线6x =对称 C ．函数()g x 的一个周期为4 D ．()()98983f g +=【答案】D【分析】根据代入法，结合函数的周期性、偶函数的性质进行求解即可.【详解】方法一：因为()()()422f x f x x +++.所以()()()422f x x f x ++-， 所以()()()()()()()()6242222222f x x f x x f x f x f x x ⎡⎤+=+-++--+=+⎣⎦.所以()()()()()()()84222222f x f x x x f x x f x +=++=+-+=-.所以()()()168f x f x f x +=-+=.故函数()f x 的一个周期为16，所以A 错误；因为()()()2h x x g x =-⋅，所以()()22h x x g x +=⋅+.由函数()2h x +的图象关于y 轴对称，知()2h x +为偶函数，所以()()22h x h x -+=+，即()()22xg x xg x --+=+，即()()22g x g x --+=+， 将x 替换为2x +，得()()4g x g x --=+，即()()4g x g x +=--.又()g x 是偶函数， 所以()()4g x g x +=-，则()()()84g x g x g x +=-+=.所以函数()g x 的一个周期为8，所以C 错误；因为函数()g x 为偶函数，且周期为8，所以()g x 的图象关于直线8x =对称.若函数()g x 的图象关于直线6x =对称，则()()()()()()12444g x g x g x g x g x g x =-=-=-=+=-.所以()0g x =，与函数()g x 不恒为零矛盾，所以B 错误；因为()103f =-，()()8f x f x -+=，所以()()2103f f =-=.又由()()4g x g x +=--，令2x =-，得()20g =，所以()()()()()()989861628122223f g f g f g +=⨯++⨯+=+=.故选D.方法二：因为()()()42f x f x x +++，所以()()()42f x x f x ++-，所以()()()()()()()()642222f x x f x x f x f x f x x ⎤+=+-++--+=+⎦.所以()()()()()()()84222f x f x x x f x x f x +=++=+-+=-.若A 正确， 则()()8f x f x +=，所以()0f x =，与()f x 不恒为零矛盾，所以A 错误；因为()()()2h x x g x =-⋅，所以()()22h x x g x +=⋅+.由函数()2h x +的图象关于y 轴对称，知()2h x +为偶函数，所以()()22h x h x -+=+，即()()22xg x xg x --+=+，即()()22g x g x --+=+，将x 替换为2x +，得()()4g x g x --=+，即()()4g x g x +=--.知()2,0为()g x 图象的对称中心， 又直线0x =为()g x 图象的对称轴，所以()2124k T k Z +=∈，得821T k =+（T 为最小正周期）. 因为()84,21mm k Z k ≠∈+，所以4不是()g x 的周期，所以C 错误； 若B 正确，则直线0x =，6x =均为()g x 的对称轴.所以()86,2221k k T k k Z k ==⨯∈+'''，所以4621k k '=+，即()3212k k +='.因为()321k +为奇数，2k '为偶数，两者矛盾，所以B 错误； 因为()103f =-，()()8f x f x -+=，所以()()2103f f =-=.又由()()4g x g x +=--，令2x =-，得()20g =.又()()()168f x f x f x +=-+=，所以()f x 的一个周期为16.当0k =时，8T =，所以()g x 的一个周期为8.所以()()()()()()989861628122223f g f g f g +=⨯++⨯+=+=. 故选：D【点睛】关键点睛：利用代入法求出函数的周期是解题的关键.二、多选题9．已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（ ）A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭有两个极值点C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D ．直线y x =-是曲线()y f x =的切线 【答案】AD【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：2π4πsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以4ππ3k ϕ+=，k ∈Z ， 即4ππ,3k k ϕ=-+∈Z ， 又0πϕ<<，所以2k =时，2π3ϕ=，故2π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对A ，当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2π2π3π2,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =在5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减；对B ，当π11π,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2ππ5π2,322x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =只有1个极值点，由2π3π232x +=，解得5π12x =，即5π12x =为函数的唯一极值点； 对C ，当7π6x =时，2π23π3x +=，7π()06f =，直线7π6x =不是对称轴；对D ，由2π2cos 213y x ⎛⎫'=+=- ⎪⎝⎭得：2π1cos 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 解得2π2π22π33x k +=+或2π4π22π,33x k k +=+∈Z , 从而得：πx k =或ππ,3x k k =+∈Z , 所以函数()y f x =在点⎛ ⎝⎭处的切线斜率为02π2cos 13x k y =='==-，切线方程为：(0)y x =--即y x =． 故选：AD ．10．已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ） A ．直线AB的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒【答案】ACD【分析】由AF AM =及抛物线方程求得3(4p A ，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线AB的方程，联立抛物线求得(,3p B ，即可求出OB 判断B 选项；由抛物线的定义求出2512p AB =即可判断C 选项；由0OA OB ⋅<，0MA MB ⋅<求得AOB ∠，AMB ∠为钝角即可判断D 选项.【详解】对于A ，易得(,0)2pF ，由AF AM =可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为3224p pp +=， 代入抛物线可得2233242p y p p =⋅=，则3(4p A ，则直线AB的斜率为2342p p =-A 正确； 对于B ，由斜率为AB的方程为2p x y =+，联立抛物线方程得220y py p -=， 设11(,)B x y1p y p +=，则1y =，代入抛物线得212p x ⎛=⋅ ⎝⎭，解得13p x =，则(,3p B ，则22673332p p p pOB OF ⎛⎫⎛⎫=+-=≠= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误； 对于C ，由抛物线定义知：325244312p p pAB p p OF =++=>=，C 正确； 对于D ，23663663(,)(,)0423343234p p p p p p p p p OA OB ⎛⎫⋅=⋅-=⋅+⋅-=-< ⎪ ⎪⎝⎭，则AOB ∠为钝角， 又26262665(,)(,)0423343236p p p p p p p p p MA MB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=-⋅-+⋅-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则AMB ∠为钝角， 又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠=，则180OAM OBM ∠+∠<，D 正确. 故选：ACD.11．如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（ ）A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =【答案】CD【分析】直接由体积公式计算12,V V ，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，由3A EFM C EFM V V V --=+计算出3V ，依次判断选项即可.【详解】设22AB ED FB a ===，因为ED ⊥平面ABCD ，FB ED ，则()2311114223323ACDV ED Sa a a =⋅⋅=⋅⋅⋅=， ()232111223323ABCV FB Sa a a =⋅⋅=⋅⋅⋅=，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，易得BD AC ⊥， 又ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则ED AC ⊥，又ED BD D =，,ED BD ⊂平面BDEF ，则AC ⊥平面BDEF ， 又122BM DM BD a ===，过F 作FG DE ⊥于G ，易得四边形BDGF 为矩形，则22,FG BD a EG a ===，则()()()2222226,23EM a aa FM a aa =+=+=，()22223EF a aa +=，222EM FM EF +=，则EM FM ⊥，21322EFMS EM FM =⋅=，22AC a =， 则33123A EFM C EFM EFMV V V AC S a --=+=⋅=，则3123V V =，323V V =，312V V V =+，故A 、B 错误；C 、D 正确. 故选：CD.12．若0,0x y >>，且2x y xy +=，则（ ） A ．221xy+> B ．2962x y xy ++≥+C ．8xy ≤ D ．12212x y +≥-- 【答案】ABD【分析】由题意可得121x y +=，根据2212x y x y+>+可判断A ；233x y xy x y ++=+，利用“乘1法”可判断B ；根据222x y xy +≥可判断C ；2x y xy +=可化为()()122x y --=，利用基本不等式可判断D.【详解】120,0,2, 1.x y x y xy x y >>+=∴+=∴22121x y x y+>+=，A 正确； ()12362333399y xx y xy x y x y x y x y ⎛⎫++=+=++=++≥+ ⎪⎝⎭y =时等号成立，B 正确；2x y xy +=≥8,C xy ≥错误；()()122x y --=，由题意知，10,20x y ->->，则12212x y +≥=--，当且仅当1212x y =--时等号成立，D 正确. 故选:ABD.三、填空题13．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=，则( 2.5)P X >=____________． 【答案】0.14##750． 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】因为()22,XN σ，所以()()220.5P X P X <=>=，因此()()()2.522 2.50.50.360.14P X P X P X >=>-<≤=-=．故答案为：0.14．14．设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．【答案】13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】首先求出点A 关于y a =对称点A '的坐标，即可得到直线l 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上， 所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离1d =≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MN ==l 的方程为___________． 【答案】0x +-【分析】令AB 的中点为E ，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到12OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，求出M 、N 的坐标，再根据MN 求出k 、m ，即可得解；【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法令AB 的中点为E ，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到12OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，求出M 、N 的坐标， 再根据MN 求出k 、m ，即可得解；解：令AB 的中点为E ，因为MA NB =，所以ME NE =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211163x y +=，2222631x y +=， 所以2222121206633x x y y -+-=，即()()()()12121212063x x x x y y y y -++-+= 所以()()()()1212121212y y y y x x x x +-=--+，即12OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，令0x =得y m =，令0y =得m x k =-，即,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,N m ， 所以,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1222mkm k ⨯=--，解得k =或k =，又MN =MN =2m =或2m =-（舍去），所以直线2:22AB y x =-+，即2220x y +-=；故答案为：220x +-=[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法解：由题意知，点E 既为线段AB 的中点又是线段MN 的中点， 设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，则,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,N m ，,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为23MN =3OE 联立直线AB 与椭圆方程得22163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消掉y 得222(12)4260k x mkx m +++-=其中2221224=4-4(12)260,12mkmk k m x x k ∆+-+=-+（）（）>， ∴AB 中点E 的横坐标2212E mk x k =-+,又,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴22=122Emk x k m k =-+- ∵0k <，0m >，∴2=-2k ,又22+=322O m m k E -（）（）m=2所以直线2:2AB y =+，即2220x +- [方法三]：令AB 的中点为E ，因为MA NB =，所以ME NE =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211163x y +=，2222631x y +=， 所以2222121206633x x y y -+-=，即()()()()12121212063x x x x y y y y -++-+= 所以()()()()1212121212y y y y x x x x +-=--+，即12OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，令0x =得y m =，令0y =得m x k =-，即,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,N m ，所以,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 即1222mk m k ⨯=--，解得22k =-或22k =（舍去），又23MN =，即()22223MN m m=+=，解得2m =或2m =-（舍去）， 所以直线2:22AB y x =-+，即2220x y +-=；故答案为：2220x y +-=四、双空题16．曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【答案】 1ey x =1e y x =-【分析】分0x >和0x <两种情况，当0x >时设切点为()00,ln x x ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x ，即可求出切线方程，当0x <时同理可得；【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求分0x >和0x <两种情况，当0x >时设切点为()00,ln x x ，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x ，即可求出切线方程，当0x <时同理可得；解： 因为ln y x =，当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x'=，所以001|x x y x ='=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =； 当0x <时()ln y x =-，设切点为()()11,ln x x -，由1y x'=，所以111|x x y x ='=，所以切线方程为()()1111ln y x x x x --=-， 又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x --=-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e ey x -=+-，即1e y x =-；故答案为：1ey x =；1e y x =-[方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x'=，所以001|x x y x ='=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =； 因为ln y x =是偶函数，图象为：所以当0x <时的切线，只需找到1ey x =关于y 轴的对称直线1e y x =-即可.[方法三]： 因为ln y x =，当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x'=，所以001|x x y x ='=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =； 当0x <时()ln y x =-，设切点为()()11,ln x x -，由1y x'=，所以111|x x y x ='=，所以切线方程为()()1111ln y x x x x --=-， 又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x --=-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e ey x -=+-，即1ey x =-；故答案为：1ey x =；1e y x =-.五、解答题17．已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-． (1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数． 【答案】(1)证明见解析； (2)9．【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程组即可证出； （2）根据题意化简可得22k m -=，即可解出．【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，所以，()11111111224283a d b a d b a d b b a d +-=+-⎧⎨+-=-+⎩，即可解得，112db a ==，所以原命题得证． （2）由（1）知，112d b a ==，所以()1111121k k m b a a b a m d a -=+⇔⨯=+-+，即122k m -=，亦即[]221,500k m -=∈，解得210k ≤≤，所以满足等式的解2,3,4,,10k =，故集合{}1|,1500k m k b a a m =+≤≤中的元素个数为10219-+=．18．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S，已知12313S S S B -+==．(1)求ABC 的面积； (2)若sin sin 3A C =，求b ． 【答案】(2)12【分析】（1）先表示出123,,S S S，再由123S S S -+=2222a c b +-=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b ac B A C=，即可求解.【详解】（1）由题意得22221231,,2S a S S =⋅===，则222123S S S -+==， 即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则cos B ==1cos ac B ==1sin 2ABCS ac B ==（2）由正弦定理得：sin sin sin b a cB A C==，则229sin sin sin sin sin 4b a c ac B A C A C =⋅===，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==.19．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 【答案】(1)47.9岁； (2)0.89； (3)0.0014．【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，根据对立事件的概率公式()1()P A P A =-即可解出；（3）根据条件概率公式即可求出．【详解】（1）平均年龄(50.001150.002250.012350.017450.023x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 550.020650.017750.006850.002)1047.9+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（岁）． （2）设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以()1()1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89P A P A =-=-+++⨯=-=．（3）设B =“任选一人年龄位于区间[40,50)”，C =“从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得：()()16%0.16,0.1%0.001,(|)0.023100.23P B P C P B C =====⨯=,则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，此人患这种疾病的概率为()(|)()()0.0010.23(|)0.00143750.0014()0.16P BC P C P B C C B P B B P P ⨯====≈．20．如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1113【分析】（1）连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，根据三角形全等得到OA OB =，再根据直角三角形的性质得到AO DO =，即可得到O 为BD 的中点从而得到//OE PD ，即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】（1）证明：连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，因为PO 是三棱锥-P ABC 的高，所以PO ⊥平面ABC ，,AO BO ⊂平面ABC ， 所以PO AO ⊥、PO BO ⊥，又PA PB =，所以POA POB ≅△△，即OA OB =，所以OAB OBA ∠=∠，又AB AC ⊥，即90BAC ∠=︒，所以90OAB OAD ∠+∠=︒，90OBA ODA ∠+∠=︒， 所以ODA OAD ∠=∠所以AO DO =，即AO DO OB ==，所以O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，所以//OE PD ， 又OE ⊄平面PAC ，PD ⊂平面PAC ， 所以//OE 平面PAC（2）解：过点A 作//Az OP ，如图建立空间直角坐标系， 因为3PO =，5AP =，所以224OA AP PO -，又30OBA OBC ∠=∠=︒，所以28BD OA ==，则4=AD ，43AB = 所以12AC =，所以()23,2,0O ，()43,0,0B ，()23,2,3P ，()0,12,0C ， 所以333,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则333,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()43,0,0AB =，()0,12,0AC =，设平面AEB 的法向量为(),,n x y z =，则33302430n AE x y z n AB x ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2z =，则=3y -，0x =，所以()0,3,2n =-；设平面AEC 的法向量为(),,m a b c =，则33302120m AE a b c m AC b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令3a =6c =-，0b =，所以()3,0,6m =-；所以43cos ,1339n m n m n m⋅-===⨯设二面角C AE B --的大小为θ，则43cos cos ,=13n m θ=， 所以211sin 1cos 13θθ=-=，即二面角C AE B --的正弦值为1113.21．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为5线与C 的左支交于点A ，且()12120F F F A AF +⋅=． (1)求C 的渐近线方程；(2)若126F F =，P 为x 轴上一点，是否存在直线l ：()10y kx k =+>与C 交于M ，N 两点，使得PM PN =，且PM PN ⊥？若存在，求出点P 的坐标和直线l 的方程；若不存在，说明理由．【答案】(1)2y x =±(2)存在，9,07P ⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 的方程为1y x =+．【分析】（1）由直线2AF 的斜率为5212cos 3AF F ∠=，再由()12120F F F A AF +⋅=与双曲线的定义结合余弦定理建立关系，求得22b a =，即可求解；（2）先求得双曲线方程，再把双曲线与直线联立，利用根与系数的关系，结合垂直的向量表示即可求解【详解】（1）因为()12120F F F A AF +⋅=， 所以()()1211210F F F A F F F A +⋅-=，所以221210F F F A -=，即1122F A F F c ==（c 为半焦距）， 又212AF AF a -=，所以222AF a c =+， 因为直线2AF的斜率为所以21tan AF F ∠=， 所以212cos 3AF F ∠=，由余弦定理，得2221122122212cos AF F F AF F F AF AF F =+-⋅∠， 即()()2222442222223c c a c c a c =++-⨯⨯+⨯所以22230c ac a --=，所以3c a =， 所以2229a b a +=，所以b =， 所以C的渐近线方程为y =±．（2）由126F F =，得3c =，所以1a =，b =， 所以双曲线C 的方程为2218y x -=． 联立22181y x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得()228290k x kx ---=， 由题意知280k -≠，且()()()2224890k k ∆=---⨯->，即29k <且28k ≠，又0k >，所以(()k ∈⋃．设()11,M x y ，()22,N x y ，线段MN 的中点为()00,Q x y ， 所以12228kx x k +=-，12298x x k =--， 所以028k x k =-，0228188k y k k k =⋅+=--． 假设存在直线l ：()10y kx k =+>，设点(),0P m ，使得PM PN =，且PM PN ⊥成立， 则PQ l ⊥，所以1PQ k k ⋅=-， 所以001y x m k =--，所以298k m k=-， 又PM PN ⊥，所以0PM PN ⋅=， 所以()()12120x m x m y y --+=，所以()()()221212110k x x k m x x m ++-+++=，所以()22222291929108888k k k k k k k k k +⎛⎫⎛⎫-+-⋅++= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，化简，得4880k -=，所以1k =，此时97m =，即9,07P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的方程为1y x =+．22．已知函数ln ()a xf x x+=，R a ∈在e x =处取到极值． (1)求a ，并指出()f x 的单调递增区间；(2)若()f x 与y b =有两个交点12,x x ，且12x x <，证明：()()21 4e 11e x x b ->--． 【答案】(1)0a =，函数()f x 的单调递增区间为()0,e (2)证明见解析【分析】（1）利用极值点导数为0求a 的值，再利用导数大于0求单调递增区间即可； （2）设()()11:1e e 1l y x =--，()()21:4e e e 4e l y x =--，1l 、2l 与y b =交点横坐标分别为3x ，4x ，利用作差法比较1()()f x l x -和2()()f x l x -的大小进而比较1x 与3x 和2x 与4x 的大小即可.【详解】（1）由题意可得21ln ()a xf x x '--=， 因为()f x 在e x =处取到极值，所以21ln e(e)0e a f --'==，解得0a =， 所以21ln ()xf x x -'=， 令()0f x '>，解得0e x <<，即函数()f x 的单调递增区间为()0,e . （2）过极值点e 1,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(1,0)设()()11:1e e 1l y x =--， 过极值点e 1,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(4e,0)设()()21:4e e e 4e l y x =--， 1l 、2l 与y b =交点横坐标分别为3x ，4x ，联立()()11:1e e 1l y x =--与y b =得()23e e 1x b =-+，联立()()21:4e e e 4e l y x =--与y b =得243e 4e x b =-+，令()()()()11e e 1g x f x x =---，所以()()()2221ln ln 1e e 1e e x x x x g x x x x---=--=- 令()()221ln e em x x x x =---，()()()2222112e e 21e e e e x x m x x x x -++-'=--=--，二次函数222e e y x x =-++-对称轴为14x =，且1x =时0y >，e x =时0y <，所以()m x 在()1,e 上先单调递增再单调递减，又因为()10m =，()e 0m =，所以()()00m x g x >⇒>在()1,e 恒成立， 所以()()1f x l x >在()1,e 恒成立，所以()()()11311f x l x l x =>，所以31x x >，令()()1(4e)e(e 4e)h x f x x =---，所以()2224e ln ln 13e (4e)3e x x x x h x x x x-+=+-=， 令()224e ln 3e x x n x x -=+，()2222124e 24e 3e 3e 3e x x x n x x x--+'=+=， 二次函数2224e 3e y x x =-+对称轴为e x =，且e x =时0y >，所以()0n x '>恒成立， 所以()n x 单调递增，又(e)0n =，所以()0h x >在(e,4e)上恒成立， 所以2()()f x l x >在(e,4e)恒成立，所以2242()()()f x l x l x =>，所以42x x <， 所以()()21434e 11e x x x x b ->-=--.【点睛】本题难点在于第二问，()()214e 11e x x b ->--可看作过4e x =和1x =的两条割线，且两条割线交于极值点e 1,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而构造()()11:1e e 1l y x =--，()()21:4e e e 4e l y x =--即可求解.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
高中毕业班1月阶段性测试（二）
数 学（文科）
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在
答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效．考试结束后，将本试题卷和
答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符
合题目要求的．
1．已知全集U＝R，集合A＝{x｜y＝11x＋}，B＝{x｜y＝ln（x＋2）}，则集合（CUA）∩
（CUB）＝
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－2] C．(－∞，－1] D．(－2，＋∞)
2．下列说法正确的是
A．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以4为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函
数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的充要条件
B．命题“若m＞0，则方程2x＋x－m＝0有实根”的逆否命题为“若方程2x＋x－m＝
0无实根，则m＜0”
C．若命题p：“0x∈R，20x＋0x＋1＜0”，则p：“0x∈R，20x＋0x＋1≥0”
D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且coscosBC＝－2bac＋，则B＝
A．3 B．23 C．6 D．56
4．平分圆2x2＋y－2x－6y＋9＝0且与直线x－2y＋3＝0平行的直线的方程为
A．－x＋2y＋5＝0 B．x＋2y＋6＝0
C．x－2y＋5＝0 D．x－2y＋7＝0
5．如图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，侧视图是直角边长
分别为1与3的直角三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为
2
A．36 B．33
C．433 D．2
6．已知数列{na}的前n项和为nS，且nS＝2na－1
（n∈N﹡），则a4与a6的等差中项为
A．8 B．16 C．20 D．32
7．若函数f（x）＝2log(2)axx+（a＞0，且a≠1），且在区间（0，a）上恒有f（x）＞0，
则a的取值范围为
A．（0，12] B．（12，1） C．（1，2） D．（0，12）
8．已知F1，F2是椭圆C：2221xab2y＋＝（a＞b＞0）的两个焦点，P是椭圆C上的一点，且
∠F1PF2＝60°，若△F1PF2的面积为3，则椭圆C的短轴长为
A．3 B．4 C．23 D．3
9．已知函数f（x）＝Asin（ωx＋）（A＞0，ω＞0，－2＜＜2）的部分图象如图所
示，则下列结论正确的是
A．f （x）的图象关于直线x＝－3对称
B．f（x）的图象关于点（4，0）对称
C．f（x）的最小正周期为π，且在[－6，0]上
为增函数
D．把f（x）的图象向左平移12个单位长度，得到一个偶函数的图象
10．已知四面体ABCD的棱长均相等，且所有顶点都在球O的球面上，E是底面ABC内一
点，点E到平面DAB，DBC，DCA的距离之和为63，则球O的体积为
3
A．924 B．68 C．968 D．2768
11．定义在R上的函数f（x）满足：f（1）＝－2，且对于任意的x∈R，都有()fx＞2，则
不等式f（2x）＞12x＋－4的解集为
A．（1，＋∞） B．（－∞，0） C．（0，＋∞） D．（－∞，1）
12．设F1，F2分别是双曲线214x2y－＝的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（OP
＋2OF）·2PF＝0（O为坐标原点），则△F1PF2的面积是
A．4 B．3 C．2 D．1
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知向量OA＝（1，2），OB＝（－1，x），CD＝（－1，12），若AB∥CD，则x
的值是____________
14．已知x＞0，y＞0，且满足4x＋y－xy＝0，那么x＋2y的最小值为____________________.
15．已知点P的坐标（x，y）满足20500xyxa－－≤＋2y－≥y－≤，点A（2，1），O为坐标原点，且向量OP
在OA方向上的投影的最大值为25，则a的值是______________．
16．已知等比数列{na}的公比为q，且0＜q＜12，a1＝2，对任意正整数k，ka－(1ka＋＋ka＋2)
仍是{na}中的某一项，则q＝_________________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知向量a＝（2sinx－1, 12）, b＝（34，cosx）．
（Ⅰ）当a⊥b时，求2cosx－32sin2x的值；
4
（Ⅱ）设函数f（x）＝a·b，在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且A为锐
角，f（A）＝34，b＝1，c＝3，求角A和边a．
18．（本小题满分12分）
已知数列{na}中的项与正整数n构成的点（n，na）均在同一条斜率大于零的直线上，
且a1＝1，a3＝22a－4．
（Ⅰ）求数列{na}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{2nna}的前n项和nT．
19．（本小题满分12分）
四棱锥A－BCDE中，侧面ABC是等边三角形且垂直于底面BCDE，底面BCDE是直
角梯形，且CD∥BE，BC⊥CD，BC＝CD＝2BE＝2．
（Ⅰ）若F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，是否总有BF⊥CM?请说明理由；
（Ⅱ）求三棱锥C－ADE的高．
20．（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝x－a，g（x）＝ax，a∈R．
（Ⅰ）若方程｜f（x）｜＝g（x）有一解，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若a＞0，记h（x）＝g（x）·f（x），试求函数h（x）在区间[1，＋∞）上的最小
值．
21．（本小题满分12分）
设O为坐标原点，椭圆C：2221xab2y＋＝（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，点P
5
在椭圆上且异于A，B两点，直线AP与BP的斜率之积为－12，抛物线42x2y＝的准
线过椭圆的左焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l是圆O：243x2＋y＝上动点N（0x，0y）（0x·0y≠0）处的切线，直
线l与椭圆C交于不同的两点Q，R，证明：∠QOR＝2．
22．（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝lnxxme＋（m为常数，e＝2．718 28„是自然对数的底数），函数g（x）
＝x＋lnx＋()xefx的最小值为1，其中()fx为f（x）的导函数．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设P是函数f （x）图象上的任意一点，Q是g（x）图象上的任意一点，试求｜PQ｜
的最小值．
6
7
8
9