初三数学难题
常熟市中考初三数学大题难题常考知识点
常熟市中考初三数学大题难题常考知识点一、知识概述1. 《二次函数》①基本定义：二次函数就是形如y = ax²+ bx + c（a≠0）这样的函数，a、b、c是常数。
简单说，就是函数里x的最高次数是2。
②重要程度：在初三数学里超级重要。
它是函数里一块很大的内容，和很多实际生活中的问题对着呢，像抛物线的形状可以表示一些物体的运动轨迹啥的。
③前置知识：要先把一元二次方程学好，因为二次函数里很多知识是和一元二次方程相联系的。
函数的一些基本概念也得懂，像自变量、因变量这些。
④应用价值：在建筑领域，比如设计拱桥的形状，就可以用二次函数来描述拱的曲线。
2. 《相似三角形》①基本定义：说实话，相似三角形就是形状一样，大小不一样的三角形。
对应角相等，对应边成比例的三角形就是相似三角形。
②重要程度：在中考里经常出现。
学会它能解决很多几何里的测量问题，比如测树高、楼高之类的。
③前置知识：三角形的基本性质得清楚，像三角形内角和是180度，还有什么是角平分线之类的概念。
④应用价值：在地图绘制里面，会用到相似三角形的知识，为了把实际的地理形状按比例缩小到地图上。
3. 《圆的相关知识》①基本定义：圆就是平面内到一个定点的距离等于定长的所有点组成的图形。
这个定点就是圆心，定长就是半径。
②重要程度：圆在几何部分占了挺大块儿。
在生活里到处都是圆的东西，在考试里也是必考。
③前置知识：直线、角、三角形这些知识要是没掌握好，圆的很多题也做不出来。
④应用价值：车轮为什么是圆的，这里头就用到圆的知识。
因为圆心到圆上任意一点距离相等，车轮滚动起来才稳。
二、知识体系1. 二次函数①知识图谱：在函数这个板块里它是特别重要的一个分支。
和一次函数、反比例函数共同组成函数体系。
②关联知识：和一元二次方程关系超级密切，根的判别式在二次函数图象和x轴交点个数判断上有用处。
和二次三项式也有关，ax²+ bx + c是二次三项式，y = ax²+ bx + c就是二次函数。
初三下学期数学好题难题集锦及答案
初三下学期数学好题难题集锦一、分式：1、如果abc=1，求证++=1．2、已知+=，则+等于多少？3、一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度．4、（2009•邵阳）已知M=、N=，用“+”或“﹣”连接M、N，有三种不同的形式，M+N、M﹣N、N﹣M，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中x：y=5：2．二、反比例函数：5、一张边长为16cm正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E”图案如图1所示．小矩形的长x（cm）与宽y（cm）之间的函数关系如图2所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）“E”图案的面积是多少？（3）如果小矩形的长是6≤x≤12cm，求小矩形宽的范围．6、（2009•邵阳）如图是一个反比例函数图象的一部分，点A（1，10），B（10，1）是它的端点．（1）求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例．7、如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于_________．8、（2009•郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y 轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP 面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．9、如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B，与反比例函数y在第一象限的图象交于点c（1，6）、点D（3，x）．过点C作CE上y轴于E，过点D 作DF上X轴于F．（1）求m，n的值；（2）求直线AB的函数解析式．三、勾股定理：10、清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，则第一步：=m；第二步：=k；第三步：分别用3、4、5乘以k，得三边长”．（1）当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗请写出证明过程．11、（2009•温州）一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A、第4张B、第5张C、第6张D、第7张12、（2009•茂名）如图，甲，乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A 处目测得点A与甲，乙楼顶B、C刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是_________米．13、（2009•恩施州）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X 垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1=PA+PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2=PA+PB．（1）求S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S2=PA+PB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．14、（2009•重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．（1）求证：BG=FG；（2）若AD=DC=2，求AB的长．四、四边形：15、（2008•佛山）如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．（1）当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．16、（2008•山西）如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．17、（2008•资阳）如图，在△ABC中，∠A，∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．（1）点D是△ABC的_________心；（2）求证：四边形DECF为菱形．18、（2008•哈尔滨）在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE=30°，BE=DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．（1）当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE=PD+PQ；（2）若BC=6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与x 的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（3）在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求线段PG的长．19、（2008•常州）如图，这是一张等腰梯形纸片，它的上底长为2，下底长为4，腰长为2，这样的纸片共有5张．打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形，那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形？分别画出它们的示意图，并写出它们的周长．20、（2008•常州）已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．21、（2008•潍坊）如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，BG=10．（1）当折痕的另一端F在AB边上时，如图．求△EFG的面积；（2）当折痕的另一端F在AD边上时，如图．证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF 的长．22、（2008•新疆）（1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上．（保留作图痕迹）（2）写出你的作法．23、（2008•海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB．（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）设AP=x，△PBE的面积为y．①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．24、（2008•义乌市）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4﹣6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（a≠b，k ＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由；（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=，求BE2+DG2的值．五、几何：25、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）26、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）27、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）28、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A F G CEBO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 BF29、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）30、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）31、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）32、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．33、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）34、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）35、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）36、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）E37、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5． 求：∠APB 的度数．（初二）38、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）39、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）40、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）41、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．42、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．43、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．44、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．AP CB ACBPDEDCB A A CBPD五、数据的分析：45、（2005•南平）为了帮助贫困失学儿童，宿迁市团委发起“爱心储蓄”活动，鼓励学生将自己的压岁钱和零花钱存入银行，定期一年，到期后取回本金，而把利息捐赠给贫困失学儿童．某中学共有学生1200人，图1是该校各年级学生人数比例分布的扇形统计图，图2是该校学生人均存款情况的条形统计图．（1）求该学校的人均存款数；（2）已知银行一年定期存款的年利率是2.25%（“爱心储蓄”免收利息税），且每351元能提供给1位失学儿童一年的基本费用，那么该学校一学年能够帮助多少位失学儿童？46、（2005•河北）如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图．教练组规定：体能测试成绩70分以上（包括70分）为合格．（1）请根据图中所提供的信息填写右表：（2）请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断：①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙，_________的体能测试成绩较好；②依据平均数与中位数比较甲和乙，_________的体能测试成绩较好．③依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果较好．47、（2005•重庆）如图所示，A、B两个旅游点从2001年至2005年“五•一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示．根据图中所示解答以下问题：（1）B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？（2）求A、B两个旅游点从2001到2005年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；（3）A旅游点现在的门票价格为每人80元，为保护旅游点环境和游客的安全，A旅游点的最佳接待人数为4万人，为控制游客数量，A旅游点决定提高门票价格．已知门票价格x（元）与游客人数y（万人）满足函数关系y=5﹣．若要使A旅游点的游客人数不超过4万人，则门票价格至少应提高多少？答案与评分标准一、分式：1、如果abc=1，求证++=1．考点：分式的混合运算。
（完整版）初中数学几何题（超难）及答案分析
（完整版）初中数学⼏何题（超难）及答案分析⼏何经典难题1、已知：如图，O 是半圆的圆⼼，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初三）2、已知：如图，P 是正⽅形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三⾓形．（初⼆）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正⽅形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正⽅形．（初⼆）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．5、已知：△ABC 中，H 为垂⼼（各边⾼线的交点）（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初三）A P C D BA FG CE B O D D 2C 2 B 2 A 2D 1C 1B 1C B DA A 1 BF6、设MN 是圆O 外⼀直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，⾃A，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初三）7、如果上题把直线MN 由圆外平移⾄圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初三）8、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为⼀边，在△ABC 的外侧作正⽅形ACDE 和正⽅形CBFG ，点P是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的⼀半．N9、如图，四边形ABCD 为正⽅形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初⼆）10、如图，四边形ABCD 为正⽅形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．11、设P 是正⽅形ABCD ⼀边BC求证：PA ＝PF ．（初⼆）12、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）E E P13、已知：△ABC 是正三⾓形，P 是三⾓形内⼀点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初⼆）14、设P 是平⾏四边形ABCD 内部的⼀点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初⼆）15、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）16、平⾏四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的⼀点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．17、设P 是边长为1的正△ABC 内任⼀点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．AP C B PA D CB CB D AFPDECBA18、已知：P 是边长为1的正⽅形ABCD 内的⼀点，求PA ＋PB ＋PC 的最⼩值．19、P 为正⽅形ABCD 内的⼀点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正⽅形的边长．20、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．CCD解答1.如下图做GH ⊥AB,连接EO 。
初三数学难题英语阅读理解 30 题
初三数学难题英语阅读理解30 题1<背景文章>Mathematical problems have always been a crucial part of the development of the discipline of mathematics. One of the most famous mathematical problems is the Goldbach Conjecture. Proposed by the German mathematician Christian Goldbach in 1742, it states that every even integer greater than 2 can be expressed as the sum of two prime numbers. For example, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, etc.Over the years, many mathematicians have attempted to prove this conjecture. It has attracted the attention of some of the greatest minds in mathematics. Although it has not been proven completely yet, the efforts made in exploring this conjecture have led to the development of many new mathematical theories and methods.Another significant problem is Fermat's Last Theorem. Pierre de Fermat, a French mathematician in the 17th century, claimed that for any integer n greater than 2, the equation xⁿ + yⁿ = zⁿ has no non - zero integer solutions for x, y, and z. It took mathematicians over 350 years to finally prove this theorem. The process of proving Fermat's Last Theorem involved the combination of many different areas of mathematics, such as number theory, algebraic geometry, etc.These difficult mathematical problems play an extremely important role in the field of mathematics. They not only stimulate the curiosity of mathematicians but also drive the continuous progress of mathematical research. They are like beacons guiding mathematicians to explore the unknown areas of the mathematical world.1. <问题1>A. The Goldbach Conjecture was proposed in _.A. 1724B. 1742C. 1762D. 1782答案：B。
初三数学九上九下压轴题难题提高题培优题(含答案)
初三数学九上压轴题难题提高题培优题一．解答题（共 8 小题）2+bx+c（a≠0）经过点 A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，11．如图，抛物线 y=ax ），交 y 轴于点 M．（1）求抛物线的表达式；，交线段 AM垂直 x 轴于点 ED （2）为抛物线在第二象限部分上的一点，作 DE长度的最大值，并求此时点于点 F，求线段 DF 的坐标；D（3）抛物线上是否存在一点 P，作 PN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 P、A、N 为顶点的三角形与△ MAO 相似（不包括全等）？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．2+bx （a＞0）经 M 2．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，顶点为的抛物线 y=ax过点 A 和 x 轴正半轴上的点B， AO=OB=4 ，∠AOB=120 °．（1）求这条抛物线的表达式；，求∠AOM 的大小；）联结（ 2 OM的坐标． C 相似，求点AOM 与△ABC 轴上，且△ x 在 C ）如果点3（．2+bx+c 交 x 轴于 Ay=ax （2，0），3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线B（ 6， 0）两点，交 y 轴于点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线 y=2x 交于点D，作⊙D 与 x 轴相切，⊙ D 交 y轴于点 E、 F 两点，求劣弧 EF 的长；（3） P 为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG 垂直于 x 轴，垂足为点 G，试确定 P 点的位置，使得△ PGA 的面积被直线AC 分为 1 ：2 两部分？2+bx+c，抛物线 y=ax 4），OB=2 A．如图，在平面直角坐标系中，已知点（﹣2，﹣4经过点 A、O、B 三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 M 是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM 的最小值；（ 3）在此抛物线上，是否存在点 P，使得以点 P 与点 O、A、 B 为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2+bx+c 经过点 A（0，1），B （4，5．已知抛物线y= ﹣x3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求 tan ∠ABO 的值；（3）过点 B 作 BC ⊥x 轴，垂足为 C，在对称轴的左侧且平行于 y 轴的直线交线段AB 于点 N，交抛物线于点 M，若四边形 MNCB 为平行四边形，求点 M 的坐标．6．如图 1，已知抛物线的方程C：y=﹣（x+2 ）（x ﹣m）（m＞ 0）与 x 轴交于点1B、 C，与 y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧．（1）若抛物线 C 过点 M（2，2），求实数 m 的值；1（2）在（ 1）的条件下，求△ BCE 的面积；（3）在（1 ）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BH+EH 最小，求出点 H 的坐标；（ 4）在第四象限内，抛物线 C 上是否存在点 F，使得以点 B、C、F 为顶点的1三角形与△BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由．2﹣（b+1 x）x+7．如图，已知抛物线 y= （b 是实数且 b＞ 2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、 B（点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴的正半轴交于点C．（ 1）点 B 的坐标为，点 C 的坐标为（用含 b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且△PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO ，△QOA 和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q的坐标；如果不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点 B（ 1，0），C（3，2+bx+c 过点 C．动点 P A 为顶点的抛物线 y=ax 从点 A 出发，4D0），（3，）．以沿线段 AB 向点 B 运动．同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D 运动．点P，Q 的运动速度均为每秒 1 个单位．运动时间为t 秒．过点 P 作 PE⊥AB 交 AC于点 E．（1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点 E 作 EF⊥AD 于 F，交抛物线于点 G，当 t 为何值时，△ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点 P ，Q 运动的过程中，当 t 为何值时，在矩形 ABCD 内（包括边界）为顶点的四边形为菱形？请直接写出 H ，，，，使以存在点 H CQ E的值．t初三数学九上压轴题难题提高题培优题参考答案与试题解析一．解答题（共 8 小题）2 +bx+c（a≠0）经过点 A（﹣3，0）、 y=ax B（1，0）、C（﹣2，1），1．如图，抛物线交 y 轴于点 M．（1）求抛物线的表达式；（2）D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE 垂直 x 轴于点 E，交线段 AM于点 F，求线段 DF 长度的最大值，并求此时点D 的坐标；（3）抛物线上是否存在一点 P，作 PN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 P、A、N 为顶点的三角形与△ MAO 相似（不包括全等）？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：由题意可知．解得．∴抛物线的表达式为 y=﹣．0，1）．的坐标为y=1．∴点M 代入抛物线表达式，得）将（ 2 x=0（，则 MA 设直线的表达式为 y=kx+b．解得．∴直线MA 的表达式为 y=x+1 ．设点 D 的坐标为（），则点 F 的坐标为（）．DF==．当 DF 的最大值为．时，此时，即点 D 的坐标为（）．（3）存在点 P，使得以点 P、A、N 为顶点的三角形与△ MAO 相似．设 P（ m，）．在 Rt△MAO 中， AO=3MO ，要使两个三角形相似，由题意可知，点 P 不可能在第一象限．①设点 P 在第二象限时，∵点 P 不可能在直线MN 上，∴只能 PN=3AN ，2（舍去）或3．解得 m=﹣ +11m+24=0 m∴，即3．又﹣m=﹣8＜ m＜0 ，故此时满足条件的点不存在．②当点 P 在第三象限时，∵点 P 不可能在直线MA 上，∴只能 PN=3AN ，2+11m+24=0 ． m∴，即解得 m=﹣3 或 m=﹣8．此时点 P 的坐标为（﹣8，﹣15）．23时，则﹣AN=3PN ③当点 P 在第四象限时，若+m ﹣m，即6=0 ．解得 m=﹣3（舍去）或m=2 ．m=22，﹣）．的坐标为（P ．此时点时，当，则﹣ PN=3NA 若．﹣30=07m m ﹣，即2解得 m=﹣3（舍去）或 m=10 ，此时点 P 的坐标为（ 10，﹣39）．综上所述，满足条件的点P 的坐标为（﹣8，﹣15 ）、（2，﹣）、（10 ，﹣39 ）．2（a的抛物线中，顶点为 2．如图，在平面直角坐标系xOy M y=ax +bx ）经＞0轴正半轴上的点和过点 A x °． AO=OB=4 B，，∠AOB=120（1）求这条抛物线的表达式；2（，求∠AOM 的大小； OM ）联结的坐标． C 相似，求点AOM 与△ABC 轴上，且△ x 在 C ）如果点3（．【解答】解：（1）如图，过点 A 作 AD⊥y 轴于点 D，∵AO=OB=4 ，∴B（4，0）．∵∠AOB=120 °，∴∠AOD=30 °，∴AD= OA=2 ，OD=OA=2．∴A（﹣2，2）．2+bx，得： y=ax ）代入（4，02 将A（﹣2，），B，，解得：，﹣Ex x；2 y= ∴这条抛物线的表达式为轴于 ME ⊥x （ 2）过点 M 作点x=，﹣（x2）﹣M∵y= x﹣∴22），即．，OE=2 tan ∴，﹣（2EM= ．=EOM=∠∴∠EOM=30 °．∴∠AOM= ∠AOB+ ∠EOM=150 °．（ 3）过点 A 作 AH ⊥x 轴于点 H，∵AH=2，HB=HO+OB=6 ，∴tan ∠ABH==．∴∠ABH=30 °，∵∠AOM=150 °，∴∠OAM ＜30 °，∴∠OMA ＜30 °，∴点C 不可能在点 B 的左侧，只能在点 B 的右侧．∴∠ABC=180 °﹣ABH=150∠°，∵∠AOM=150 °，∴∠AOM= ∠ABC ．∴△ABC 与△AOM 相似，有如下两种可能：①△BAC 与∽△OAM ，②△BAC 与∽△OMA ∵OD=2 ， ME=，∴OM=，∵AH=2，BH=6 ，∴AB=4．①当△BAC 与∽△OAM 时，由= 得，解得 BC=4 ．∴C（8，0）．1②当△BAC 与∽△OMA 时，由= 得，解得 BC=12 ．∴C ）． 0， 16（2．综上所述，如果点 C 在 x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，则点 C 的坐标为（ 8 ，0）或（ 16， 0）．2+bx+c 交 x 轴于 A（2，3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax 0），B（ 6， 0）两点，交 y 轴于点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线 y=2x 交于点D，作⊙D 与 x 轴相切，⊙ D 交 y轴于点 E、 F 两点，求劣弧 EF 的长；（3） P 为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG 垂直于 x 轴，垂足为点 G，试确定 P 点的位置，使得△ PGA 的面积被直线AC 分为 1 ：2 两部分？2+bx+c 经过点 A（2，0），B（6，0），； y=ax 1【解答】解：（）∵抛物线∴，；解得；∴抛物线的解析式为：（2）易知抛物线的对称轴是 x=4 ，把 x=4 代入 y=2x ，得 y=8，∴点D 的坐标为（ 4， 8）；∵⊙D 与 x 轴相切，∴⊙D 的半径为 8；；轴，垂足为点 M，作 DM ⊥y 、连接 DE DF在Rt△MFD 中， FD=8 ，MD=4 ，∴cos ∠MDF= ；∴∠MDF=60 °，∴∠EDF=120 °；∴劣弧EF 的长为：；（ 3）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b ；经过点∵直线AC ，∴，；解得∴直线AC 的解析式为：；，PG 交直线 AC 于 N，设点坐标为则点 N ，∵S ： S =PN： GN ；GNAPNA△△∴①若PN ：GN=1 ：2，则 PG： GN=3 ： 2， PG=GN ；即；=解得： m =﹣3，m=2（舍去）；21时，3 m=﹣当；=∴此时点P 的坐标为；②若 PN ：GN=2 ：1，则 PG ：GN=3 ：1，PG=3GN ；即；=解得： m =﹣12， m=2（舍去）；21时，12 当 m=﹣；=∴此时点P 的坐标为；时，△PGA 坐标为的面积被直线综上所述，当点 P 或两部分． 1AC 分成：22+bx+c，抛物线），，﹣（﹣已知点在平面直角坐标系中，．如图，4 A24OB=2 y=ax经过点 A、O、B 三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 M 是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM 的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点 P，使得以点 P 与点 O、A、 B 为顶点的四边形是梯形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．），， B（20，可知解：（【解答】 1）由 OB=22 +bx+c ， y=ax 0）三点坐标代入抛物线 0 0B 2将A（﹣，﹣4），（2，），O（，得解得：．∴抛物线的函数表达式为．答：抛物线的函数表达式为，（2）由，可得，抛物线的对称轴为直线x=1的垂直平分线，是线段 x=1 且对称轴 OB点即为所求． M于点 x=1 AB 连接交直线，M MO+MA=MA+MB=AB∴，则MO=MBAB=⊥ AC 作x AC=4 ，则 C轴，垂足为BC=4 ，，∴的最小值为∴MO+MA ．的最小值为 MO+MA 答：．（3）①若 OB∥AP ，此时点 A 与点 P 关于直线x=1 对称，由 A（﹣2，﹣4），得 P（4，﹣4），则得梯形 OAPB ．②若 OA ∥BP，设直线 OA 的表达式为 y=kx ，由 A（﹣2，﹣4）得， y=2x ．设直线 BP 的表达式为 y=2x+m ，由 B（2 ，0）得，0=4+m ，即 m= ﹣4，∴直线BP 的表达式为 y=2x ﹣4由，解得 x=﹣4，x=2 （不合题意，舍去）21当 x=﹣4 时， y=﹣12，∴点P （﹣4，﹣12），则得梯形 OAPB ．③若 AB ∥OP，设直线 AB 的表达式为 y=kx+m ，则，解得，∴AB 的表达式为 y=x ﹣2．∵AB ∥OP ，∴直线OP 的表达式为 y=x ．2=0 ，解得 x=0 ， x由，得（不合题意，舍去），此时点 P 不存在．综上所述，存在两点P（ 4，﹣4）或 P（﹣4，﹣12 ）使得以点 P 与点 O、A、 B 为顶点的四边形是梯形．答：在此抛物线上，存在点P，使得以点 P 与点 O、A、B 为顶点的四边形是梯形，点 P 的坐标是（ 4，﹣4）或（﹣4，﹣12 ）．2（x﹣．已知抛物线5 y= +bx+c 0，4（B A经过点），1，）．31（）求抛物线的函数解析式；的值；ABO ∠ tan ）求2（．B 作 BC ⊥x 轴，垂足为 C，在对称轴的左侧且平行于 y 轴的直线交线）过点（3N，交抛物线于点 M，若四边形 MNCB 为平行四边形，求点 M 的坐于点AB段标．21 3，），， +bx+c 经过点 A（0 B （ 4），x﹣解：（【解答】1）∵抛物线 y=，∴，解得2；x + x+1y=所以，抛物线的函数解析式为﹣⊥2）如图，过点 B OB ， D作轴于⊥作 BC x C，过点 A AD 于（），，（∵A01B ），，（43，，OA=1 ∴ OC=4 ， BC=3= OB=根据勾股定理，，=5°，∠OAD+ ∵∠AOD=90 ∠AOD+ °，∠BOC=90 ，OAD= ∠BOC ∴∠°，∠ADO= 又∵∠OCB=90，AOD ∴△∽△OBC∴= = ，即==，解得 OD= ，AD= ，∴BD=OB ﹣OD=5 ﹣ =，=；=tan ∠ABO=∴（ 3）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b （k≠0 ，k、b 是常数），则，解得，所以，直线 AB 的解析式为 y=x+1 ，2，（aa+1 ），N+ a，﹣ M设点（ a），a+122+4a ，﹣a + a+1 ﹣ a﹣1=a﹣则MN=∵四边形MNCB 为平行四边形，∴MN=BC ，2+4a=3 ，﹣∴a2﹣4a+3=0 ，整理得， a解得 a=1，a=3 ，21∵MN 在抛物线对称轴的左侧，抛物线的对称轴为直线x=﹣=，∴a=1，2+×1+1= ，﹣∴1∴点M 的坐标为（ 1，）．6．如图 1，已知抛物线的方程C：y=﹣（x+2 ）（x ﹣m）（m＞ 0）与 x 轴交于点1B、 C，与 y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧．（1）若抛物线 C 过点 M（2，2），求实数 m 的值；1（2）在（ 1）的条件下，求△ BCE 的面积；（3）在（1 ）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BH+EH 最小，求出点 H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线 C 上是否存在点 F，使得以点 B、C、F 为顶点的三角1形与△BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将 x=2 ，y=2 代入抛物线的解析式得：﹣×4×（2﹣m）=2，解得： m=4 ，经检验： m=4 是分式方程的解．∴m 的值为 4．（2） y=0 得： 0=﹣（x+2 ）（x﹣m），解得 x=﹣2 或 x=m ，）．，0，0），C（m ∴B（﹣2，由（ 1）得： m=4）．，0（∴C4， y=﹣×2×（m =2﹣）代入得：将 x=0）．E（0，2∴．， OE=2 ∴BC=6BC?OE= = ∴S．2=6×6×BCE△，设对称轴与 BH x EC 3（）如图 1 所示：连接交抛物线的对称轴于点，连接H．轴的交点为 P， x=∵﹣． x=1 ∴抛物线的对称轴是直线．∴CP=3对称，∵点关于 C B 与点 x=1．∴BH=CH．∴BH+EH=EH+HC的值最小．H ∴当 EC 落在线段上时， BH+EH，OE ∵HP ∥．EOC PHC ∽△∴△．．解得 HP= ，即∴。
初三数学九上九下压轴题难题提高题培优题有答案解析
初三数学九上压轴题难题提高题培优题一．解答题（共8小题）1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF 长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO 相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=4，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B 三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．6．如图1，已知抛物线的方程C：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于1点E，且点B在点C的左侧．过点M（2，2），求实数m的值；（1）若抛物线C1（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标；上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？（4）在第四象限内，抛物线C1若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B （点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A 为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P 作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．初三数学九上压轴题难题提高题培优题参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF 长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO 相似（不包括全等）？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：由题意可知．解得．∴抛物线的表达式为y=﹣．（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M的坐标为（0，1）．设直线MA的表达式为y=kx+b，则．解得．∴直线MA的表达式为y=x+1．设点D的坐标为（），则点F的坐标为（）．DF==．当时，DF的最大值为．此时，即点D的坐标为（）．（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，）．在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3AN，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．又﹣3＜m＜0，故此时满足条件的点不存在．②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MA上，∴只能PN=3AN，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3或m=﹣8．此时点P的坐标为（﹣8，﹣15）．③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则﹣3，即m2+m﹣6=0．解得m=﹣3（舍去）或m=2．当m=2时，．此时点P的坐标为（2，﹣）．若PN=3NA，则﹣，即m2﹣7m﹣30=0．解得m=﹣3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，﹣39）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=4，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥y轴于点D，∵AO=OB=4，∴B（4，0）．∵∠AOB=120°，∴∠AOD=30°，∴AD=OA=2，OD=OA=2．∴A（﹣2，2）．将A（﹣2，2），B（4，0）代入y=ax2+bx，得：，解得：，∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣x；（2）过点M作ME⊥x轴于点E，∵y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣，∴M（2，﹣），即OE=2，EM=．∴tan∠EOM==．∴∠EOM=30°．∴∠AOM=∠AOB+∠EOM=150°．（3）过点A作AH⊥x轴于点H，∵AH=2，HB=HO+OB=6，∴tan∠ABH==．∴∠ABH=30°，∵∠AOM=150°，∴∠OAM＜30°，∴∠OMA＜30°，∴点C不可能在点B的左侧，只能在点B的右侧．∴∠ABC=180°﹣∠ABH=150°，∵∠AOM=150°，∴∠AOM=∠ABC．∴△ABC与△AOM相似，有如下两种可能：①△BAC与∽△OAM，②△BAC与∽△OMA∵OD=2，ME=，∴OM=，∵AH=2，BH=6，∴AB=4．①当△BAC与∽△OAM时，由=得，解得BC=4．（8，0）．∴C1②当△BAC与∽△OMA时，由=得，解得BC=12．（16，0）．∴C2综上所述，如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，则点C的坐标为（8，0）或（16，0）．3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线y=2x交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交y轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分？【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，0），B（6，0），；∴，解得；∴抛物线的解析式为：；（2）易知抛物线的对称轴是x=4，把x=4代入y=2x，得y=8，∴点D的坐标为（4，8）；∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8；连接DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M；在Rt△MFD中，FD=8，MD=4，∴cos∠MDF=；∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°；∴劣弧EF的长为：；（3）设直线AC的解析式为y=kx+b；∵直线AC经过点，∴，解得；∴直线AC的解析式为：；设点，PG交直线AC于N，则点N坐标为，∵S△PNA ：S△GNA=PN：GN；∴①若PN：GN=1：2，则PG：GN=3：2，PG=GN；即=；解得：m1=﹣3，m2=2（舍去）；当m=﹣3时，=；∴此时点P的坐标为；②若PN：GN=2：1，则PG：GN=3：1，PG=3GN；即=；解得：m1=﹣12，m2=2（舍去）；当m=﹣12时，=；∴此时点P的坐标为；综上所述，当点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1：2两部分．4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣4），OB=2，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B 三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由OB=2，可知B（2，0），将A（﹣2，﹣4），B（2，0），O（0，0）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得解得：∴抛物线的函数表达式为．答：抛物线的函数表达式为．（2）由，可得，抛物线的对称轴为直线x=1，且对称轴x=1是线段OB的垂直平分线，连接AB交直线x=1于点M，M点即为所求．∴MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB作AC⊥x轴，垂足为C，则AC=4，BC=4，∴AB=∴MO+MA的最小值为．答：MO+MA的最小值为．（3）①若OB∥AP，此时点A与点P关于直线x=1对称，由A（﹣2，﹣4），得P（4，﹣4），则得梯形OAPB．②若OA∥BP，设直线OA的表达式为y=kx，由A（﹣2，﹣4）得，y=2x．设直线BP的表达式为y=2x+m，由B（2，0）得，0=4+m，即m=﹣4，∴直线BP的表达式为y=2x﹣4由，解得x1=﹣4，x2=2（不合题意，舍去）当x=﹣4时，y=﹣12，∴点P（﹣4，﹣12），则得梯形OAPB．③若AB∥OP，设直线AB的表达式为y=kx+m，则，解得，∴AB的表达式为y=x﹣2．∵AB∥OP，∴直线OP的表达式为y=x．由，得 x2=0，解得x=0，（不合题意，舍去），此时点P不存在．综上所述，存在两点P（4，﹣4）或P（﹣4，﹣12）使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．答：在此抛物线上，存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形，点P的坐标是（4，﹣4）或（﹣4，﹣12）．5．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3），∴，解得，所以，抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+1；（2）如图，过点B作BC⊥x轴于C，过点A作AD⊥OB于D，∵A（0，1），B （4，3），∴OA=1，OC=4，BC=3，根据勾股定理，OB===5，∵∠OAD+∠AOD=90°，∠AOD+∠BOC=90°，∴∠OAD=∠BOC，又∵∠ADO=∠OCB=90°，∴△AOD∽△OBC，∴==，即==，解得OD=，AD=，∴BD=OB﹣OD=5﹣=，∴tan∠ABO===；（3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数），则，解得，所以，直线AB的解析式为y=x+1，设点M（a，﹣a2+a+1），N（a，a+1），则MN=﹣a2+a+1﹣a﹣1=﹣a2+4a，∵四边形MNCB为平行四边形，∴MN=BC，∴﹣a2+4a=3，整理得，a2﹣4a+3=0，解得a1=1，a2=3，∵MN在抛物线对称轴的左侧，抛物线的对称轴为直线x=﹣=，∴a=1，∴﹣12+×1+1=，∴点M的坐标为（1，）．6．如图1，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将x=2，y=2代入抛物线的解析式得：﹣×4×（2﹣m）=2，解得：m=4，经检验：m=4是分式方程的解．∴m的值为4．（2）y=0得：0=﹣（x+2）（x﹣m），解得x=﹣2或x=m，∴B（﹣2，0），C（m，0）．由（1）得：m=4，∴C（4，0）．将x=0代入得：y=﹣×2×（﹣m）=2，∴E（0，2）．∴BC=6，OE=2．∴S△BCE=BC•OE=×6×2=6．（3）如图1所示：连接EC交抛物线的对称轴于点H，连接BH，设对称轴与x轴的交点为P．∵x=﹣，∴抛物线的对称轴是直线x=1．∴CP=3．∵点B与点C关于x=1对称，∴BH=CH．∴BH+EH=EH+HC．∴当H落在线段EC上时，BH+EH的值最小．∵HP∥OE，∴△PHC∽△EOC．∴，即．解得HP=．∴点H的坐标为（1，）．（4）①如图2，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．∵BF∥EC，∴∠BCE=∠FBC．∴当，即BC2=CE•BF时，△BCE∽△FBC．设点F的坐标为（x，﹣（x+2）（x﹣m）），由，得．解得x=m+2．∴F′（m+2，0）．∵∠BCE=∠FBC．∴，得，解得：．又∵BC2=CE•BF，∴，整理得：0=16．此方程无解．②如图3，作∠CBF=45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，∵OE=OB，∠EOB=90°，∴∠EBO=45°．∵∵∠CBF=45°，∴∠EBC=∠CBF，∴当，即BC2=BE•BF时，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′=BF′，得（x+2）（x﹣m）=x+2，解得x=2m．∴F′（2m，0）．∴BF′=2m+2，∴BF=2m+2．由BC2=BE•BF，得（m+2）2=2×（2m+2）．解得．∵m＞0，∴m=2+2．综上所述，点m的值为2+2．7．如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B （点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为（b，0），点C的坐标为（0，）（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y=0，即y=x2﹣（b+1）x+=0，解得：x=1或b，∵b是实数且b＞2，点A位于点B的左侧，∴点B的坐标为（b，0），令x=0，解得：y=，∴点C的坐标为（0，），故答案为：（b，0），（0，）；（2）存在，假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．设点P的坐标为（x，y），连接OP．则S四边形PCOB =S△PCO+S△POB=••x+•b•y=2b，∴x+4y=16．过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°．∴四边形PEOD是矩形．∴∠EPD=90°．∴∠EPC=∠DPB．∴△PEC≌△PDB，∴PE=PD，即x=y．由解得由△PEC≌△PDB得EC=DB，即﹣=b﹣，解得b=＞2符合题意．∴P的坐标为（，）；（3）假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴．∵b＞2，∴AB＞OA，∴∠Q0A＞∠ABQ．∴只能∠AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°，由QA⊥x轴知QA∥y轴．∴∠COQ=∠OQA．∴要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．（I）当∠OCQ=90°时，△CQO≌△QOA．∴AQ=CO=．由AQ2=OA•AB得：（）2=b﹣1．解得：b=8±4．∵b＞2，∴b=8+4．∴点Q的坐标是（1，2+）．（II）当∠OQC=90°时，△OCQ∽△QOA，∴=，即OQ2=OC•AQ．又OQ2=OA•OB，∴OC•AQ=OA•OB．即•AQ=1×b．解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意，∴点Q的坐标是（1，4）．∴综上可知，存在点Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A 为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P 作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．【解答】解：（1）A（1，4）．由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4∵抛物线过点C（3，0），∴0=a（3﹣1）2+4，解得，a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3．（2）∵A（1，4），C（3，0），∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6．∵点P（1，4﹣t）．∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+．∴点G的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4﹣．∴GE=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣．又∵点A到GE的距离为，C到GE的距离为2﹣，即S△ACG =S△AEG+S△CEG=•EG•+•EG（2﹣）=•2（t﹣）=﹣（t﹣2）2+1．当t=2时，S△ACG的最大值为1．（3）第一种情况如图1所示，点H在AC的上方，由四边形CQEH是菱形知CQ=CE=t，根据△APE∽△ABC，知=，即=，解得t=20﹣8；第二种情况如图2所示，点H在AC的下方，由四边形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t，PE=t，EM=2﹣t，MQ=4﹣2t．则在直角三角形EMQ中，根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（2﹣t）2+（4﹣2t）2=t2，解得，t1=，t2=4（不合题意，舍去）．综上所述，t=20﹣8或t=．。
初三下学期数学好题难题集
初三下学期数学好题难题集锦收藏试卷下载试卷试卷分析显示答案一、分式：1、如果abc=1，求证+ + =1．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：由于abc=1，因此可以把题目中的分母分别变为+ + ，然后化简变为+ + ，最后利用同分母的分式的加减法则计算即可求解．解答：解：原式= + += + + ==1．点评：此题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是会利用abc=1把题目中的分母变为同分母，然后利用同分母的分式加减法则即可解决问题．答题：Liuzhx老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题2、已知+ = ，则+ 等于多少？考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：根据已知条件可求出（a2+b2）的值，再将+ 通分，代值计算即可解答．解答：解：∵+ = ，= ∴2（a+b）2=9ab即2a2+4ab+2b2=9ab∴2（a2+b2）=5ab∴=即+ = ．点评：本题主要考查分式的化简求值，根据已知条件求出（a2+b2）的值是解答本题的关键．答题：bjf老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题3、一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度．考点：分式方程的应用．分析：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x，一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分可列方程求解．解答：解：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x．由题意得：解之得：经检验得：是原方程解．∴小口径水管速度为，大口径水管速度为．点评：本题考查理解题意的能力，设出速度以时间做为等量关系列方程求解．答题：fzf老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题4、已知M= 、N= ，用“+”或“-”连接M、N，有三种不同的形式，M+N、M-N、N-M，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中x：y=5：2．考点：分式的化简求值．专题：计算题；开放型．分析：本题的实质是分式的加减运算，无论选择哪种形式，最后结果都包含2个字母，所以应该把x：y=5：2转化为x= y，再代入求值．解答：解：选择一：M+N= + = = ，当x：y=5：2时，x= y，原式= ；选择二：M-N= - = = ，当x：y=5：2时，x= y，原式= =- ；选择三：N-M= - = = ，当x：y=5：2时，x= y，原式= ．注：只写一种即可．点评：这是比较典型的“化简求值”的题目，着眼于对运算法则的掌握和运算能力的直接考查，有着很好的基础性和效度．这是个分式混合运算题，运算顺序是先乘除后加减，加减法时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分．答题：lf2-9老师★☆☆☆☆隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题二、反比例函数：5、一张边长为16cm正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E”图案如图1所示．小矩形的长x（cm）与宽y（cm）之间的函数关系如图2所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）“E”图案的面积是多少？（3）如果小矩形的长是6≤x≤12cm，求小矩形宽的范围．考点：反比例函数综合题．专题：开放型；待定系数法．分析：（1）根据图象信息利用待定系数法可以确定函数解析式；（2）根据（1）的函数关系式可以知道小矩形的面积，从而可以求出“E”图案的面积；（3）根据（1）的函数关系式可以确定小矩形的宽的取值范围．解答：解（1）设函数关系式为（1分）∵函数图象经过（10，2）∴∴k=20（2分）∴（3分）（2）∵∴xy=20（4分）∴SE=S正=162-2×20=216（6分）；（3）当x=6时，（7分）当x=12时，（8分）∴小矩形的长是6≤x≤12cm，小矩形宽的范围为．（9分）点评：此题主要考查了利用待定系数法确定函数的解析式，也考查了利用函数的性质求点的坐标．答题：Liuzhx老师★☆☆☆☆隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题6、如图是一个反比例函数图象的一部分，点A （1，10），B（10，1）是它的端点．（1）求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例．考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的应用．专题：开放型；待定系数法．分析：观察图象，函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式（k≠0）即可求得k的值．解答：解：（1）设，∵A（1，10）在图象上，∴10= ，即k=1×10=10，∴y= ，其中1≤x≤10；（2）答案不唯一．例如：小明家离学校10km，每天以vkm/h的速度去上学，那么小明从家去学校所需的时间t= ．点评：本题考查用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式．答题：wdxwzk老师☆☆☆☆☆隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题7、如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于．考点：反比例函数图象的对称性．分析：根据反比例函数的对称性，阴影部分的面积正好构成圆，利用圆的面积公式即可求解．解答：解：阴影部分的面积正好构成圆，圆的半径r=1，则面积S=πr2=π．故答案是：π．点评：本题主要考查了反比例函数的对称性，理解阴影部分的面积正好构成圆是关键．答题：zhjh老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题8、如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M （-2，-1），且P（-1，-2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．考点：反比例函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），设出正比例函数和反比例函数的解析式，运用待定系数法可求它们解析式；（2）因为P（-1，-2）为双曲线Y= 上的一点，所以△OBQ、△OAP面积为2，依据反比例函数的图象和性质，点Q在双曲线上，即符合条件的点存在，是正比例函数和反比例函数的图象的交点；（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQOQ=PC，而点P（-1，-2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．解答：解：（1）设正比例函数解析式为y=kx，将点M（-2，-1）坐标代入得k= ，所以正比例函数解析式为y= x，同样可得，反比例函数解析式为；（2）当点Q在直线OM上运动时，设点Q的坐标为Q（m，m），于是S△OBQ= |OB×BQ|= ×m×m= m2，而S△OAP= |（-1）×（-2）|=1，所以有，m2=1，解得m=±2，所以点Q的坐标为Q1（2，1）和Q2（-2，-1）；（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，而点P（-1，-2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值，（8分）因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q（n，），由勾股定理可得OQ2=n2+ =（n- ）2+4，所以当（n- ）2=0即n- =0时，OQ2有最小值4，又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值，所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP= ，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2（OP+OQ）=2（+2）=2 +4．（10分）点评：此题难度稍大，考查一次函数反比例函数二次函数的图形和性质，综合性比较强．要注意对各个知识点的灵活应用．答题：sch老师★☆☆☆☆隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题9、如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B，与反比例函数y在第一象限的图象交于点c（1，6）、点D（3，x）．过点C作CE上y轴于E，过点D作DF上X轴于F．（1）求m，n的值；（2）求直线AB的函数解析式．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：数形结合．分析：（1）将C点坐标代入y= ，即可求出m的值，将D（3，n）代入解析式即可求出n的值．（2）将C、D的坐标分别代入解析式y=kx+b，列方程组解答即可．解答：解：（1）由题意得1= ，∴m=6，∴函数解析式为y= ，将D（3，n）代入解析式得n=2．（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，由题意得，解得，∴直线AB的函数解析式为y=-2x+8．点评：本题考查了函数图象的交点坐标与其解析式组成的方程组的解得关系、用待定系数法求函数解析式等内容，难度不大，注重基础，值得关注．答题：CJX老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题三、勾股定理：10、清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，则第一步：=m；第二步：=k；第三步：分别用3、4、5乘以k，得三边长”．（1）当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗请写出证明过程．考点：勾股定理；勾股定理的证明．专题：阅读型．分析：先由题中所给的条件找出字母所代表的关系，然后套用公式解题．解答：解：（1）当S=150时，k= = = = =5，所以三边长分别为：3×5=15，4×5=20，5×5=25；（2）证明：三边为3、4、5的整数倍，设为k倍，则三边为3k，4k，5k，而三角形为直角三角形且3k、4k为直角边．其面积S= （3k）•（4k）=6k2，∴k2= ，k= （取正值），即：将面积除以6，然后开方，即可得到倍数．点评：此题信息量较大，解答此类题目的关键是要找出所给条件，然后解答．答题：CJX老师☆☆☆☆☆隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题11、一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A、第4张B、第5张C、第6张D、第7张考点：等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：方程思想．分析：根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．解答：解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，则，解得x=4.5，所以另一段长为22.5-4.5=18，因为18÷3=6，所以是第六张．故选C．点评：本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用．答题：算术老师★★☆☆☆隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题12、如图，甲，乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A处目测得点A与甲，乙楼顶B、C刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是米．考点：相似三角形的应用．分析：由于两楼是平行的，△ABD和△ACE构成两个相似三角形，可以利用相似比解题．解答：解：根据题意，易得：△ABD∽△ACE，所以，所以，解得：CE=60，所以乙楼的高度是60米．点评：本题难度中等，考查应用相似三角形的性质解决实际问题．答题：lanyan老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题13、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1=PA+PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2=PA+PB．（1）求S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S2=PA+PB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．考点：轴对称-最短路线问题；作图—应用与设计作图．专题：方案型．分析：（1）根据勾股定理分别求得S1、S2的值，比较即可；（2）在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA'，由轴对称知MA=MA，∴MB+MA=MB+MA'＞A'B，∴S2=BA'为最小；（3）过A作关于X轴的对称点A'，过B作关于Y轴的对称点B'，连接A'B'，交X轴于点P，交Y轴于点Q，求出A'B'的值即可．解答：解：（1）图（1）中过B作BC⊥X于C，垂足为C；AD⊥BC于D，垂足为D，则BC=40，又AP=10，∴BD=BC-CD=40-10=30．在△ABD中，AD= =40，（1分）在Rt△PBC中，∴BP= ，S1= ．（2分）图（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50，又BC=40，∴BA'= ，由轴对称知：PA=PA'，∴S2=BA'= ，（3分）∴S1＞S2．（4分）（2）如图（2），在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA'，由轴对称知MA=MA'，∴MB+MA=MB+MA'＞A'B，∴S2=BA'为最小．（7分）（3）过A作关于X轴的对称点A'，过B作关于Y轴的对称点B'，连接A'B'，交X轴于点P，交Y轴于点Q，则P，Q即为所求．（8分）过A'、B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G，A'B'= ，∴所求四边形的周长为．（10分）点评：此题考查了线路最短的问题，确定动点为何位置是关键，综合运用勾股定理的知识．答题：lf2-9老师☆☆☆☆☆隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题14、已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．（1）求证：BG=FG；（2）若AD=DC=2，求AB的长．考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：计算题；证明题．分析：（1）由题中可求得AE和AC所在的三角形全等，进而得到BG和FG所在三角形全等的条件；（2）求得AF长即可求得AB长．利用等腰三角形的三线合一定理可得AF= AC= AE，进而求得一些角是30°，主要利用AD 长，直角三角形勾股定理来求解．解答：证明：（1）∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE．（1分）在△ABC和△AFE中，∴△ABC≌△AFE（2分）∴AB=AF．（3分）连接AG，（4分）在Rt△ABG和Rt△AFG中，∴Rt△ABG≌Rt△AFG．（5分）∴BG=FG；（6分）（2）解：∵AD=DC，DF⊥AC，AF= AC= AE．（7分）∴∠E=30°．∵∠EAD=90°，∴∠ADE=60°，∴∠FAD=∠E=30°，（8分）∴AF= ．（9分）∴AB=AF= ．（10分）点评：本题考查直角梯形、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定，知识点多，综合性强．突破此题的关键在于第一问通过两次全等证Rt△ABG≌Rt△AFG，第二问求AB的长应充分利用等腰△ADC的性质得AF= AC= AE．从而得出∠E=30°．答题：lanchong老师★☆☆☆☆隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题四、四边形：15、如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．（1）当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：证明题．分析：（1）要证明ADEF是平行四边形，可通过证明EF=AD，DF=AE来实现，AD=AC，AE=AB，那么只要证明△ABC≌△DFC以及△FEB≌△CAB即可．AD=DC，CF=CB，又因为∠FCB=∠ACD=60°，那么都减去一个∠ACE后可得出∠BCA=∠FCD，那么就构成了SAS，△ABC≌△DFC，就能求出AE=DF，同理可通过证明△FEB≌△CAB得出EF=AD．（2）可按∠BAC得度数的不同来分情况讨论，如果∠BAC=60°，∠EAD+∠BAC+∠DAC=180°，因此，A与F重合A、D、F、E四点所构成的图形为一条线段．当∠BAC≠60°时，由（1）AE=AB=AC=AD，因此A、D、F、E四点所构成的图形是菱形．解答：证明：（1）∵△ABE、△BCF 为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．∴∠CBA=∠FBE．∴△ABC≌△EBF．∴EF=AC．又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC．∴EF=AD．同理可得AE=DF．∴四边形AEFD是平行四边形．（2）构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段．当图形为菱形时，∠BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）当图形为线段时，∠BAC=60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）．点评：本题的关键是通过三角形的全等来得出线段的相等，要先确定所要证得线段所在的三角形，然后看证明三角形全等的条件是否充足，缺少条件的要根据已知先求出了．答题：MMCH老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题16、如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定．专题：证明题．分析：（1）从图上及已知条件容易看出△BDE≌FEC，△BCE≌△FDC，△ABE≌△ACF．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，所以此题的关键是找出相等的边．（2）由（1）的结论容易证明AB∥DF，BD∥AF，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（3）EF∥AB，EF≠AB，四边形ABEF是梯形，只要求出此梯形的面积即可．解答：解：（1）（选证-）△BDE≌FEC．证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60度．∵CD=CE，∴BD=AF=AE，△EDC是等边三角形．∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°∴∠BDE=∠FEC=120度．又EF=AE，∴BD=FE．∴△BDE≌△FEC．（选证二）△BCE≌△FDC．证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60度．又∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形．∴∠BCE=∠FDC=60°，DE=CE．∵EF=AE，∴EF+DE=AE+CE．∴FD=AC=BC．∴△BCE≌△FDC．（选证三）△ABE≌△ACF．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60度．∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形．∴∠AEF=∠CED=60度．∵EF=AE，△AEF是等边三角形．∴AE=AF，∠EAF=60度．∴△ABE≌△ACF．（2）解：四边形ABDF是平行四边形．理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形．∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60度．∴AB∥DF，BD∥AF．∴四边形ABDF是平行四边形．（3）解：由（2）知，四边形ABDF是平行四边形．∴EF∥AB，EF≠AB．∴四边形ABEF是梯形．过E作EG⊥AB于G，则EG= ．∴S四边形ABEF= EG•（AB+EF）= （6+4）=10 ．点评：此题考查了全等三角形的判定，平行四边行的判定，及梯形面积的求解，用到的知识点比较多，较复杂．答题：littlenine老师★★★★★隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题17、如图，在△ABC中，∠A，∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F．（1）点D是△ABC的心；（2）求证：四边形DECF为菱形．考点：菱形的判定；平行线的性质；角平分线的性质．专题：综合题．分析：（1）由AD、BD分别是∠A、∠B的平分线，可知点D是△ABC的内心；（2）连接CD，根据平行线的性质，角平分线的性质证明▱DECF为菱形．解答：解：（1）点D是△ABC的内心．（2分）（2）证法一：连接CD，（3分）∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF为平行四边形，（4分）又∵点D是△ABC的内心，∴CD平分∠ACB，即∠FCD=∠ECD，（5分）又∠FDC=∠ECD，∴∠FCD=∠FDC∴FC=FD，（6分）∴▱DECF为菱形．（7分）证法二：过D分别作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I．（3分）∵AD，BD分别平分∠CAB，∠ABC，∴DI=DG，DG=DH．∴DH=DI．（4分）∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF为平行四边形，（5分）∴S□DECF=CE•DH=CF•DI，∴CE=CF．（6分）∴▱DECF为菱形．（7分）点评：解答此题需要熟知以下概念：（1）三角形的内心：三角形三个内角平分线的交点叫三角形的内心；（2）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形；（3）菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；答题：CJX老师☆☆☆☆☆隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题18、在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE=30°，BE=DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点Q．（1）当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE=PD+ PQ；（2）若BC=6，设PQ长为x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（3）在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求线段PG的长．考点：二次函数综合题；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．专题：综合题．分析：（1）过点E作EM ⊥QP垂足为M；在Rt△EQP中，易得∠EBD=∠EDB=30°；进而可得PE= PQ，且BE=DE．故可证得BE=PD+ PQ．（2）点P从点E出发沿射线ED运动，所以分当点P在线段ED上时与当点P在线段ED的延长线上时两种情况讨论，根据所做的辅助线，可得y与x的关系；（3）连接PC交BD于点N，可得∠QPC=90°，进而可得△PNG∽△QPC；可得；解可得PG的长．解答：解：（1）证明：∵∠A=90°∠ABE=30°，∴∠AEB=60°．∵EB=ED，∴∠EBD=∠EDB=30°．∵PQ∥BD，∴∠EQP=∠EBD．∠EPQ=∠EDB．∴∠EPQ=∠EQP=30°，∴EQ=EP．（1分）过点E作EM⊥OP垂足为M．则PQ=2PM．∵∠EPM=30°，∴PM= PE，PE= PQ．（1分）∵BE=DE=PD+PE，∴BE=PD+ PQ．（1分）（2）解：由题意知AE= BE，∴DE=BE=2AE．∵AD=BC=6，∴2AE=DE=BE=4．（1分）当点P在线段ED上时（如图1），过点Q做QH⊥AD于点H，则QH= PQ= x．由（1）得PD=BE- ，PQ=4- x．∴y= PD•QH= ．（1分）当点P在线段ED的延长线上时（如图2），过点Q作QH⊥DA交DA延长线于点H′，∴QH′= x．过点E作EM′⊥PQ于点M′，同理可得EP=EQ= PQ，∴BE= PQ-PD，∴PD= x-4y= PD•QH′= ．（1分）（3）解：连接PC交BD于点N（如图3）．∵点P是线段ED中点，∴EP=PD=2，PQ= ．∵DC=AB=AE•tan60°= ，∴PC= =4．∴cos∠DPC= = ．∴∠DPC=60°．∴∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90°．（1分）∵PQ∥BD，∴∠PND=∠QPC=90°．∴PN= PD=1．（1分）QC= = ．∵∠PGN=90°-∠FPC，∠PCF=90°-∠FPC，∴∠PGN=∠PCF．（1分）∵∠PNG=∠QPC=90°，∴△PNG∽△QPC，∴，∴PG= = ．点评：本题结合矩形的性质考查二次函数的综合应用，注意某个图形无法解答时，常常放到其他图形中，利用图形间的角、边关系求解．答题：lzhzkkxx老师☆☆☆☆☆隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题19、如图，这是一张等腰梯形纸片，它的上底长为2，下底长为4，腰长为2，这样的纸片共有5张．打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形，那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形？分别画出它们的示意图，并写出它们的周长．考点：等腰梯形的性质．分析：根据题意，可考虑等积的分割与拼接．解答：解：一共可以拼出4种不同的等腰梯形．示意图为：②周长为34．①周长为22．注：每画出一个正确图形，得（1分）；正确计算出相应图形的周长，得（1分）．点评：这类题要在动手实践的基础上进行探索，要求学生具备动手实验操作能力和熟悉图形、具备推理论证的能力．答题：csiya老师☆☆☆☆☆隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题20、已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：要证AE平分∠BAD，可转化为△ABE为等腰直角三角形，得AB=BE，又AB=CD，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定，和矩形的性质，可确定ASA．即求证．解答：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠BAD=90°，AB=CD，（1分）∴∠BEF+∠BFE=90°．∵EF⊥ED，∴∠BEF+∠CED=90°．（2分）∴∠BFE=∠CED．∴∠BEF=∠CDE．（3分）又∵EF=ED，∴△EBF≌△DCE．∴BE=CD．（4分）∴BE=AB．∴∠BAE=∠BEA=45°．（5分）∴∠EAD=45°．∴∠BAE=∠EAD．（6分）∴AE平分∠BAD．（7分）点评：三角形全等的判定是中考的热点．求证的结果可一步步转化为全等三角形的对应边、对应角相等．答题：lihongfang老师☆☆☆☆☆隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题21、如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，BG=10．（1）当折痕的另一端F在AB边上时，如图．求△EFG的面积；（2）当折痕的另一端F在AD边上时，如图．证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长．考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；菱形的判定；矩形的性质．专题：计算题．分析：根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变和矩形的性质及直角三角形的性质，同角的余角相等，相似三角形的判定和性质，平行四边形和菱形的判定和性质求解．解答：解：（1）过点G作GH⊥AD，则四边形ABGH为矩形，∴GH=AB=8，AH=BG=10，由图形的折叠可知△BFG≌△EFG，∴EG=BG=10，∠FEG=∠B=90°；∴EH=6，AE=4，∠AEF+∠HEG=90°，∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠HEG=∠AFE，又∵∠EHG=∠A=90°，∴△EAF∽△GHE，∴，∴EF=5，∴S△EFG= EF•EG= ×5×10=25．（2）由图形的折叠可知四边形ABGF≌四边形HEGF，∴BG=EG，AB=EH，∠BGF=∠EGF，∵EF∥BG，∴∠BGF=∠EFG，∴∠EGF=∠EFG，∴EF=EG，∴BG=EF，∴四边形BGEF为平行四边形，又∵EF=EG，∴平行四边形BGEF为菱形；连接BE，BE，FG互相垂直平分，在Rt△EFH中，EF=BG=10，EH=AB=8，由勾股定理可得FH=AF=6，∴AE=AF+EF=16，∴BE= =8 ，∴BO=4 ，∴OG= =2 ，∵四边形BGEF是菱形，∴FG=2OG=4 ，答：折痕GF的长是4 ．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称变化，对应边和对应角相等．答题：zhehe老师★★★☆☆隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题22、（1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上．（保留作图痕迹）（2）写出你的作法．考点：作图—复杂作图．分析：作矩形A1B1C1D1四条边的中点E1，F1，G1，H1；连接H1E1，E1F1，G1F1，G1H1．四边形E1F1G1H1即为菱形；还可以在B2C2上取一点E2，使E2C2＞A2E2且E2不与B2重合；以A2为圆心，A2E2为半径画弧，交A2D2于H2；以E2为圆心，A2E2为半径画弧，交B2C2于F2；连接H2F2，则四边形A2E2F2H2为菱形．解答：解：（1）所作菱形如图①，②所示．说明：作法相同的图形视为同一种．例如类似图③，图④的图形视为与图②是同一种．（作出一个图形得3分）（2）图①的作法：作矩形A1B1C1D1四条边的中点E1，F1，G1，H1；连接H1E1，E1F1，G1F1，G1H1．四边形E1F1G1H1即为菱形．图②的作法：在B2C2上取一点E2，使E2C2＞A2E2且E2不与B2重合；以A2为圆心，A2E2为半径画弧，交A2D2于H2；以E2为圆心，A2E2为半径画弧，交B2C2于F2；连接H2F2，则四边形A2E2F2H2为菱形．（写对一个作法得2分）（此题答案不惟一，只要画法及作法合理，正确，均可酌情得分．）点评：此题综合考查了菱形和矩形形的性质以及一些基本作图的综合应用．答题：lf2-9老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题23、如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB．（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）设AP=x，△PBE的面积为y．①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．考点：二次函数综合题．专题：动点型．分析：（1）可通过构建全等三角形来求解．过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F，那么可通过证三角形GPD和EFP全等来求PD=PE以及PE⊥PD．在直角三角形AGP中，由于∠CAD=45°，因此三角形AGP是等腰直角三角形，那么AG=PG，而PB=PE，PF⊥BE，那么根据等腰三角形三线合一的特点可得出BF=FE=AG=PG，同理可得出两三角形的另一组对应边DG，PF相等，因此可得出两直角三角形全等．可得出PD=PE，∠GDP=∠EPF，而∠GDP+∠GPD=90°，那么可得出∠GPD+∠EPF=90°，由此可得出PD⊥PE．（2）求三角形PBE的面积，就要知道底边BE和高PF的长，（1）中已得出BF=FE=AG，那么可用AP在等腰直角三角形AGP 中求出AG，GP即BF，FE的长，那么就知道了底边BE的长，而高PF=CD-GP，也就可求出PF的长，可根据三角形的面积公式得出x，y的函数关系式．然后可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最大值以及对应的x的取值．解答：证明：（1）①过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F．如图所示．∵四边形ABCD是正方形，∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90度．又∵PB=PE，∴BF=FE，∴GP=FE，∴△EFP≌△PGD（SAS）．∴PE=PD．②∴∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=90度．∴∠DPE=90度．∴PE⊥PD．（2）①∵AP=x，∴BF=PG= ，PF=1- ．∴S△PBE=BF•PF= x×（1- x）=- x2+ x．即y=- x2+ x．（0＜x＜）．②y=- x2+ x=- （x- ）2+∵a=- ＜0，∴当x= 时，y最大值= ．点评：本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定以及二次函数的综合应用等知识点，通过构建全等三角形来得出相关的边和角相等是解题的关键．答题：MMCH老师☆☆☆☆☆隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题24、如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD 边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4-6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由；（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k= ，求BE2+DG2的值．考点：正方形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：动点型；操作型．分析：（1）四边形ABCD是正方形推出△BCG≌△DCE．然后得出∠DOH=90°，推出BG⊥DE．（2）依题意得出AB=a，BC=b，CG=kb，CE=ka的线段比例，然后再推出∠CDE+∠DHO=90°即可．（3）依题意得出BE2+DG2=BD2+GE2，从而可求解．解答：解：（1）①BG=DE，BG⊥DE．②BG=DE，BG⊥DE仍然成立．在图（2）中证明如下∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形，∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，。
初三数学二次函数难题
【导语】以下是⽆忧考为您整理的初三数学⼆次函数难题，供⼤家学习参考。
1、变化后的⼆次函数，配⽅得到y=(x+3/2)^2-13/4因为是由原函数向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的，所以将变化后的函数：3/2-3=-3/2-13/4+2=-5/4得到y=(x-3/2)^2-5/4展开后，即得到⽅程y=x^2-3x+1所以b=-3c=12、依题意得，设C(0，y)，坐标原点为O因为三⾓形ABC是直⾓三⾓形所以有三⾓形OAC与变化后的⼆次函数，配⽅得到 y=(x+3/2)^2-13/4 因为是由原函数向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的，所以将变化后的函数： 3/2-3=-3/2 -13/4+2=-5/4 得到y=(x-3/2)^2-5/4 展开后，即得到⽅程y=x^2-3x+1 所以 b=-3 c=1 2、 依题意得，设C(0，y)，坐标原点为O 因为三⾓形ABC是直⾓三⾓形...显⽰剩下8⾏ 1、 变化后的⼆次函数，配⽅得到 y=(x+3/2)^2-13/4 因为是由原函数向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的，所以将变化后的函数： 3/2-3=-3/2 -13/4+2=-5/4 得到y=(x-3/2)^2-5/4 展开后，即得到⽅程y=x^2-3x+1 所以 b=-3 c=1 2、 依题意得，设C(0，y)，坐标原点为O 因为三⾓形ABC是直⾓三⾓形 所以有三⾓形OAC与三⾓形OCB相似 所以|OA|：|OC|=|OC|：|OB| 2：y=y：4 解得C(0，正负2根号2) 将三点坐标代⼊⽅程y=ax^2+bx+c 解之得 y=-根号2/6x^2+5根号2/6x+2根号2 或y=根号2/6x^2-根号2/6x-2根号2 y=ax^2+4ax+t, 0=a-4a+t, t=3a, 即Y=a(x^2+4x+3)=a(x+3)(x+1), 抛物线与x轴的另⼀个交点B的坐标为(-3,0). D是抛物线与y轴的交点.则 点D坐标为(0,3a). 当Y=3a时,3a=ax^2+4ax+3a, x1=0,x2=-4. 则点C的坐标为(-4,3a), |AB=|-3+1|=2, |CD|=|-4-0|=4. 梯形ABCD的⾯积为9,有 9=1/2*(|AB|+|CD|)*|3a|, a1=1,a2=-1. 此抛物线的函数关系式为 Y=X^2+4X+3,或Y=-X^2-4X-3.。
初三九年级中考数学压轴题：“反”胡不归
“反”胡不归
“胡不归”是线段和差最值问题里面比较重要的一个模型，其本质是求时间的最小值，之前的已经说到过。
当学生将这类题型掌握的比较透彻的时候，其实这类题目的解题思路并不难，但是给出题者制造了很多“麻烦”，然后我们就会发现命题者绞尽脑汁出了以下一类题目，我给其命名为“反”胡不归。
我们知道，一般情况下，线段和差最值问题中：“差最大，和最小”，但是以下题目都是让我们求“差最大”，但本质还是胡不归，只是我们“不识庐山真面目”。
接下来，我们一起看看以下几道题：
分析：看到这道题的结论的时候，如果最开始没有积累经验，我们其实会“走偏”，但是通过分析知道Q是线段BC上的动点，所以QC=BC-BQ，这样我们就能将减法变成加法，那么上面的难题也就迎刃而解了。
思路：
通过解题，我们根据数据之间的关系，可以知道，只用作PR⊥AB于R，交BC于点Q，此时PR=PQ+3/5BQ；
思路：
最后转化为平移型线段和差最值问题进行求解。
这道题的思路跟上面的题目一致，感兴趣的可以自行进行计算。
初三奥赛班数学难题训练一
初三奥赛班数学训练（一）1、已知：如图1，直线y=kx+3(k>0)交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，以A 点为圆心，AB 为半径作⊙A 交x 轴于另一点D ，交y 轴于点E 、F 两点，交直线AB 于C 点，连结BE 、CF ，∠CBD 的平分线交CE 于点H. （1）求证：BE=HE ；（2）若AH ⊥CE ，Q 为 BF ⌒上一点，连结DQ 交y 轴于T ，连结BQ 并延长交y 轴于G ，求AT •AG 的值；（3）如图2, P 为线段AB 上一动点(不与A 、B 两点重合)，连结PD 交y 轴于点M ，过P 、M 、B 三点作⊙O 1交y 轴于另一点N ，设⊙O 1的半径为R ，当k=34 时，给出下列两个结论：①MN的长度不变；②MNR 的值不变.其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值.QO HG FEDCBAxyT2．（本题满分12分）如图15，点P 在y 轴上，P 交x 轴于A B ，两点，连结B P 并延长交P 于C ，过点C 的直线2y x b =+交x 轴于D ，且P，4A B =．（1）求点B P C ，，的坐标； （2）求证：C D 是P 的切线；（3）若二次函数2(1)6y x a x =-+++的图象经过点B并写出使二次函数值小于一次函数2y x b =+值的x 的取值范围．图151、证明：(1)∵AE ⊥BD ，∴BE ⌒ =DE ⌒，∴∠EBD=∠ECB.∵∠ABH=∠DBH ，∠BHE=∠ECB+∠CBH ，∠HBE=∠DBH+∠EBD ，∴∠BHE=∠HBE. ∴BE=HE.解： (2)连结QC 、TB ，则∠BCQ+∠CBQ=90°，又∠BDQ+∠ATD=90°，而∠BCQ=∠BDQ ，∴∠CBQ=∠ATD=∠ATB ，∴ΔABG ∽ΔATB ，∴AB 2=AG •AT ，∵AH ⊥CE ，∴H 为CE 的中点，∴BE=12 EC ，∴ΔBEO ∽ΔCBE ，∴OE BO =BE EC =12. 设⊙A 的半径为R ，由AB 2－OA 2=BO 2，OE=R －3，得R 2－32=4(R －3)2，解得，R=5，或R=3(不合题意，舍去).∴AT •AG=AB 2=25. (方法二提示:可连结AD,CD 证ΔBAG ∽ΔTAD) (3)答：②MNR的值不变.证明：作O 1K ⊥MN 于K ，连结O 1N 、PN 、BM ，则MN=2NK ， 且∠N O 1K=∠NPM∴MN R =2NK O 1N =2sin ∠NO 1K=2sin ∠NPM ， 由直线y=34 x+3 得 OB=OD=4，OM ⊥BD ∴∠BMO=∠DMO ，又∠BMO=∠ABM+∠BAM ，∠DMO=∠MPN+∠PNM ，∵∠ABM=∠PNM ，∴∠MPN=∠BAM=∠NO 1K ，MN R =2sin ∠BAM=2×BO AB = 85 ， 所以MN R 的值不变，其值为 85.2、解：（1）如图4，连结C AO P A B ∵⊥ 2O B O A ==∴ ·················································································································· 1分222OP BO BP +=∵ 2541OP =-=∴，1O P = ········································································· 2分 B C ∵是P 的直径90CAB ∠= ∴（也可用勾股定理求得下面的结论）C P BP =∵，O B O A = 22AC O P ==∴ ······················································································· 3分(20)B ，∴，(01)P ，，(22)C -，（写错一个不扣分） ················································································· 4分 （2）2y x b =+∵过C 点6b =∴ 26y x =+∴ ··············································································· 5分∵当0y =时，3x =- (30)D -，∴ ∴1AD =················································································· 6分 21OB AC AD OP ====，∵，90CAD POB ∠=∠=D A C P O B ∴△≌△ D C A A B ∠=∠∴90ACB CBA ∠+∠=∵90DCA ACB ∠+∠=∴（也可用勾股定理逆定理证明）······································································· 7分 D C ∴是P 的切线 ··········································································································································· 8分（3）2(1)6y x a x =-+++∵过(20)B ，点 202(1)26a =-++⨯+∴ 2a =-∴········ 9分26y x x =--+∴ ··········································································································································· 10分。
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初三数学难题
初三数学作为初中阶段的重要科目之一，在学生中普遍被认为是最具挑战性的学科之一。
作为数学学科的核心，数学难题一直是学生们感到头疼的问题之一。
下面就让我们来看看初三数学中的一些难题吧。
1. 解方程
解方程是初三数学中的一个难点。
虽然解方程本质上是一个基础的数学概念，但是在实际操作中却需要学生能够掌握大量的数学知识和技巧。
此外，解方程也需要学生具备较强的逻辑思维和分析能力，这对于初中生来说是一项较为困难的任务。
2. 几何问题
几何问题也是初三数学中的难点之一。
初三的几何学内容包括平面几何和立体几何两部分。
其中，平面几何主要涉及到角度、三角形、四边形、圆形等概念的运用，需要学生能够熟练掌握相关的定理和公式。
而立体几何主要涉及到空间几何中的各种图形和关系，需要学生具备较强的空间想象力和几何直觉。
3. 统计概率
统计概率也是初三数学中的难点之一。
统计概率涉及到随机事件的概率、概率的加法和乘法原理、样本空间等概念，需要学生具备熟练的计算能力和较强的数学思维能力。
此外，统计概率还需要学生能够理解和应用相应的概率分布函数和统计方法，对于初中生来说是一项相对较难的任务。
总的来说，初三数学中的难点主要集中在解方程、几何问题和统计概率等方面。
对于学生来说，要想取得好成绩，需要下大力气加强相关知识的学习和掌握，同时也要注重实践和应用。
只有通过不断的努力和提高，才能够在初三数学中取得优异的成绩。