作已知线段的垂直平分线
1.3线段的垂直平分线
回顾 思考 线段的垂直平分线
我们曾经利用折纸的方法得到:
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.
你能证明这一结论吗?
已知:如图,直线MN⊥AB,垂足为C, 且AC=CB.
P是MN上任意一点.
求证:PA=PB.
M P
分析:要证明PA=PB,
1.3线段的垂直平分线
第１课时
驶向胜利 的彼岸
• 1. 掌握线段垂直平分线的性质定理和判 定定理的证明方法．
• 2.会用尺规作已知线段的垂直平分线．
• 3、会用线段垂直平分线的性质定理和 判定定理进行计算或证明。
1.什么是线段垂直平分线？
垂直 并且 平分 一条线段的直线称为这条 线段的垂直平分线，简称 中垂线 .
这条线段的垂直平分线上.
P
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条
线段两个端点距离相等的点,在这条
线段的垂直平分线上).
A
B
老师提示:这个结论是经常用来
证明点在直线上(或直线经过某一点) 的根据之一.
从这个结果出发,你还能联想到什么?
你能根据上述定
M
理和逆定理，说出
线段的垂直平分线
A
AE
B D
E BD C
2.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点,且 BE=CE,则ABC为 等腰 三角形.
巩固练习 ２
挑战自我
3.如图，已知点D在AB的垂直平分线上，如
果AC=5cm,BC=4cm,则△BDC的周长为
_９__cm__。
C
P
Байду номын сангаас
M
19.3.5作已知线段的垂直平分线 学案
19.3.5《作已知线段的垂直平分线》学案学习目标1.掌握作已知线段的垂直平分线的方法及一般步骤，并熟练掌握基本作图语言。
2.通过动手操作、合作探究，培养学生的作图、语言表达、逻辑思维和推理能力。
3.激情投入，全力以赴，让学生认识到尺规作图与实际生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
重点：掌握作已知线段的垂直平分线的作法。
难点：尺规作图的理论依据。
课堂研讨一、复习导学1.线段的垂直平分线的性质是： 。
2.如图19．3．9，对已知线段AB 的垂直平分线上的任意两点C 、D ，总有CA ＝CB ， DA ＝DB.由此，你能发现作垂直平分线的方法吗？二、研讨过程问题1：作已知线段的垂直平分线如图19．3．10，已知线段AB ，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出线段AB 的垂直平分线． 作法： 第一步： ． 第二步： ． 则直线CD 就是所要作的线段AB 的垂直平分线． 我们可以证明这样作出来的直线是符合要求的，即证明直线CD 垂直平分线段AB ． 如图19．3．11，连结CA 、CB 、DA 、DB ， ∵ AC ＝BC ， AD ＝BD ，CD ＝CD ， ∴ △ ≌△ （S ．S ．S ．）， ∴ ∠ACD ＝∠BCD （全等三角形的对应角相等）， ∴ CD 垂直平分线段AB （等腰三角形“三线合一”）． 由于直线CD 与线段AB 的交点就是AB 的中点，因此我们可以用这种方法作出线段AB 的中点，从而也可以作出任一个三角形的三条中线．图19.3.9图19.3.10图19.3.11三、练习1．四等分已知线段AB．2．如图，作△ABC边BC的垂直平分线．(第2题)完成下列作图，并写出作法．1．如图，已知线段AB和CD，求作一条线段，使它等于AB－2CD．（第1题）（第2题）2．如图，已知∠A和∠B，求作一个角，使它等于∠A－2∠B．3．如图，已知线段a和b，求作一个等腰三角形，使它的腰长等于a，底边长等于b．（第3题）（第4题）4.如图，已知线段a和b，求作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于线段a和b．5.已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠A≠90°，在AC所在的直线上求作一点P，使PA＝PB．四、小结与作业课本第86页习题19.3第6题。
用尺规作图(作线段的垂直平分线)
2.画一个直角三角形，使其斜边和直 角边分别等于已知的两条线段.
(第 4 题)
E F B D C
2，书本上的练习
作业
课堂作业：书本P37 上的7,9,11题 （画在书本上） 家庭作业（方便居民的生 活，计划在三个住宅小区A、B、 C之间修建一个购物中心，试问， 该购物中心应建于何处，才能 使得它到三个小区的距离相等。
A
·
B
C
问题探讨
以C为圆心，任一线段的长为半径 画弧，交l于A、B两点，则C是线段 AB的中点．因此，过C画直线l的垂 线转化为画线段AB的垂直平分线．
图 24.4.9
作法：(1)以点C为圆心，任一线段的 长为半径画弧，交直线l于点A、B； (2)以点A为圆心，以CB长为半径在 直线一侧画弧; (3)以点D为圆心，以同样的长为半径 在直线的同一侧画弧，两弧交于点D； (4)经过点C、D作直线CD． 则直线CD即为所求．
你能做出下面五角星的一条对称轴吗？
A
A’
生活中的数学
A
在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便 于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医 院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选 在何处？你的方案是什么?
B
L
高 速 公 路
1，已知，如图，AD是△ABC的角平分线， DE,DF,分别是△ABD和△ACD的高。 求证：AD垂直平分EF A
思考：
有时我们感觉两个平面图形是轴对称图形，如何验 证呢？不折叠图形，你能准确的作出轴对称图形的对称 轴吗？
如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何 一对对应点所连线段的垂直平分线.因此，我们 只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的 垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴。
用尺规作图(作线段的垂直平分线)
我们已熟悉尺规的四个基本作图：画 线段，画角．画角平分线、画线段的 垂线，那么利用尺规还能解决什么作 图问题呢？
画线段的垂直平分线；
如图，已知线段AB，画出它的垂直平 分线.
作法：(1)以点图A为2 4 .圆4 .7心，以大于AB一 半的长为半径画弧； (2)以点B为圆心，以同样的长为半径 画弧，两弧的交点记为C、D； (3)经过点C、D作直线CD． 直线CD即为所求．
·
B
C
问题探讨
在V型公路（∠AOB）内部，有两个村 庄C、D。你能选择一个纺织厂的厂址P，使P 到V型公路的距离相等，且使C、D两村的工 人上下班的路程一样吗？
A
O
C. D.
B
1，已知，如图，AD是△ABC的角平分线，
DE,DF,分别是△ABD和△ACD的高。
求证：AD垂直平分EF
A
E F
B
D
C
你能做出下面五角星的一条对称轴吗？
A
A’
生活中的数学
A
在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便
于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医 院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选 在何处？你的方案是什么?
B
L
高速公路
生活中的数学
A
某区政府为了方便居民的生 活，计划在三个住宅小区A、B、 C之间修建一个购物中心，试问， 该购物中心应建于何处，才能 使得它到三个小区的距离相等。
思考：
有时我们感觉两个平面图形是轴对称图形，如何验 证呢？不折叠图形，你能准确的作出轴对称图形的对称 轴吗？
如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何 一对对应点所连线段的垂直平分线.因此，我们 只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的 垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴。
尺规作图(画线段的垂直平分线)PPT教学课件
长为半径画弧，两弧相交于D点； 2
❖ （4）过C、D两点作直线CD。 ❖ 所以，直线CD就是所求作的。
练习 ❖ 1、如图，过点P画∠O两边的
垂线.
(第 1 题)
❖ 2、如图，画△ABC边 BC上的高.
（第 2 题）
挑战自我 ❖如图，已知线段a，h， ❖求作：△ABC，使AB=AC，
❖已知线段AB，画出它的垂直平分线.
说出你的 作图思路
议一议；能否说出这 种画法的依据，小组 讨论交流一下。
试一试你的能力
1、如图，点C在直线上，试过 点C画出直线的垂线。
2、如图，如果点C不在直线上，试和同学 讨论，应采取怎样的步骤，过点C画出直 线的垂线？
作法：
❖ （1）任取一点M，使点M和点C在的两侧； ❖ （2）以C点为圆心，以CM长为半径画弧，
且BC=a，高为h
h
a
动手实践
❖ AB、AC分别是菱形 ABCD的一条边和对角线， 请你用尺规把这个菱形补 充完整。
C
A
B
生活离不开数学
❖ A、B是两个村庄，要从灌 溉总渠引两条水渠便于灌溉， 请你选择最佳方案。
B A
灌溉总渠
❖教学反思 ❖ 本节课你掌握了哪些知识？ ❖ 还有哪些疑惑？
华师大版九年级上24.3《命题与定理》
❖（1）定义、命题、公理、定理的概 念。
❖（2）命题的真假。 ❖（3）命题的形式与命题的题设和结
论。
(4) 说明一个命题是假命题,只需举一 反例
❖
小考卷3
细心！
判断下列命题的真假：
1、相等的两角是对顶角。 （假）
2、若XY=0，则X=0。
线段垂直平分线的作法
D
E
AK
B
.
F
课堂练习
练习4 如图，过点P 画∠AOB 两边的垂线，并和 同桌交流你的作图过程．
A
P
O
B
.
【跟踪训练】
1.下图中的五角星有几条对称轴？作出
n
这些对称轴．
A
B
作法：（1）找出五角星的一对
对应点A和B，连接AB．
Байду номын сангаас（2）作出线段AB的垂直平分线n．
则n就是这个五角星的一条对称轴．
用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五 条对称轴．
.
课堂小结
本节课你有什么收获？
.
布置作业 P65、66 习题13.1第6、9题．
.
只要我们找到一对对应 点，作出连接它们的线段的 垂直平分线，就可以得到这 两个图形的对称轴了．
.
尺规作图
如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线 的垂线？
（1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直线两旁？
（2）为什么要以大于 1 D E 的长为半径作弧？ 2
（3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？ C
作线段的垂直平分线.
C
已知：线段AB.
求作：线段AB的垂直平分线.
A
B
作法：（1）分别以点A，B为圆心，
以大于 1 AB的长为半径作弧，
D
2
两弧交于C，D两点.
（2）作直线CD.
结论：对于轴对称图形，只要 找到任意一组对应点，作出对
CD即为所求.
应点所连线段的垂直平分线， 就得到此图形的对称轴.
.
问题思考：既然轴对称图形的对称轴是任何 一对对称点所连线段的垂直平分线，那么轴对称 图形的对称轴如何来作呢？
19.3_用尺规作图(作线段的垂直平分线)
图 24.4.9
以C为圆心，任一线段的长为半径 画弧，交l于A、B两点，则C是线段 AB的中点．因此，过C画直线l的垂 线转化为画线段AB的垂直平分线．
作法：(1)以点C为圆心，任一线段的 长为半径画弧，交直线l于点A、B； (2)以点A为圆心，以CB长为半径在 直线一侧画弧; (3)以点D为圆心，以同样的长为半径 在直线的同一侧画弧，两弧交于点D； (4)经过点C、D作直线CD． 则直线CD即为所求．
E F B D C
2，书本上的练习
作业
课堂作业：书本P37 上的7,9,11题 （画在书本上） 家庭作业（周末）：精析精练
生活中的数学
某区政府为了方便居民的生 活，计划在三个住宅小区A、B、 C之间修建一个购物中心，试问， 该购物中心应建于何处，才能 使得它到三个小区的距离相等。
A
·
B
C
问题探讨
你能做出下面五角星的一条对称轴吗？
A
A’
生活中的数学
A
在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便 于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医 院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选 在何处？你的方案是什么?
B
L
高 速 公 路
1，已知，如图，AD是△ABC的角平分线， DE,DF,分别是△ABD和△ACD的高。 求证：AD垂直平分EF A
2.如图，如果点C不在直线l上，试和 同学讨论，应采取怎样的步骤，过点 C画出直线l的垂线？
图 24.4.10
作法：(1)以点C为圆心，以适当长为 半径画弧，交直线l于点A、B； (2)以点A为圆心，以CB长为半径在 直线另一侧画弧． (3)以点B为圆心，以CB长为半径在直 线另一侧画弧，交前一条弧于点D． (4)经过点C、D作直线CD． 则直线CD即为所求．
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作已知线段的垂直平分线教学设计
课 题
13.4.4作已知线段的垂直平分线
教学目标
1、会画线段的垂直平分线
2、探究三角形的三边垂直平分线的交点位置
重点难点
重点：线段的垂直平分线的画法
难点：线段的垂直平分线的画法依据
教学设想 自主探究 动手实践
教 学 过 程 一：自学质疑： 导入：回忆轴对称和轴对称图形，引出线段的垂直平分线的定义 1、.自学目标： 会画线段的垂直平分线 探究三角形的三边垂直平分线的交点位置 2、自学提示： 用3-5分钟时间认真阅读教材P90 -91页，对重点及疑难问题做出标记，并完
成下列问题
（1）画线段垂直平分线关键是找什么？如何找出的？
（2）尺规作线段垂直平分线的依据是什么？
3、尝试练习：
（1）如图，点A,B关于某直线成轴对称，你能只用圆规和直尺作出这条直线吗？
●
A ● B
（2）、你能把线段AB四等分吗？
（3）、分别画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，再分别作出三边的垂直平
分线
观察：
你有什么发现？（三条垂直平分线的交点位置；这点到三个顶点的距离之间的关
系。）
二：合作释疑：
各小组学生探讨上述问题，对疑难问题做出标记
三：展示评价：
小组中等水平学生展示作图内容，优等生进行点评，老师进行总结，说明注意问题
注意：这个作图方法就是线段垂直平分线的尺规作图，可以用来确定线段的中点
四：挑战自我
如图，已知线段a，h，
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，且BC边上高为h
a
h
五：拓展提升，请你出题
结合本节知识出一题考考同桌
六：巩固深化（题目）
有一如图的地块，在∠AOB内有点M、N，小强想确定点P，使点P到角两边的距离
相等且到M、N的距离相等。（不写作法，但要保留作图痕迹）
a) 如图，∠AOB与点E、F，请利用尺规作图找一点P，使点P到∠AOB两边
距离相等，且到点E、F点的距离也相等。
教 学 过 程 五、课堂小结：
本节课你学到了哪些内容？
注意：满足条件（到角两边距离相等地，到两点距离相等）的点在（角的平分线、线
段的垂直平分线）图形上，作图时要先搞准要求，再一步步进行，不要看少了条件。
板书设计及作业布置 板书：
12.1.3线段垂直平分线的作法
一：线段的垂直平分线的画法及作图过程
作业布置：
教材习题13.4 第3题，第5题
教学反思 线段的垂直平分线的作法比较简单，但日常生活中十分有用，特别是与角平分线作图相结合，是生活中与测试中考查的热点，学生除了会作图外，更要理解其现实意义，
本节课学生通过作线段AB的垂直平分线，作线段的四等分点，巩固深化了训练，基本
掌握了本节内容，但尺规作图还要加强的点训练。
B O
A
M
N