高考数学向量部分知识点梳理
高考向量的基本知识点总结
高考向量的基本知识点总结一、引言向量是高中数学中非常重要的概念，也是高考数学必考的知识点之一。
理解和掌握向量的基本概念和运算规则对于学生在高考中取得好成绩至关重要。
本文将从向量的定义、向量的表示、向量的运算以及向量的应用等方面进行综述。
二、向量的定义向量是有大小和方向的量。
向量通常用一个有向线段表示，线段的长度表示向量的大小，而线段的方向则表示向量的方向。
在平面上，向量可以用坐标表示，例如一个二维向量可以表示为 (x, y)。
在空间中，向量可以用坐标表示为 (x, y, z)。
三、向量的表示1. 平面向量的表示平面向量的表示常用坐标表示法，例如 (a, b) 表示一个平面向量，其中 a 和 b 分别表示向量在 x 和 y 方向上的分量。
2. 空间向量的表示空间向量的表示同样使用坐标表示，例如 (a, b, c) 表示一个空间向量，其中 a、b 和 c 分别表示向量在 x、y 和 z 方向上的分量。
四、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
即对于任意向量 a、b 和 c，有 a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
向量的加法可以用坐标方式进行计算，即将对应位置的坐标相加。
2. 向量的数乘向量的数乘是指向量与一个实数的乘法运算。
即对于任意向量 a 和实数 k，有 k a = a k。
向量的数乘可以用坐标方式进行计算，即将向量的每个坐标乘以实数 k。
3. 向量的减法向量的减法可以转化为向量的加法和数乘运算，即 a - b = a + (-b)，其中 -b 表示向量 b 的反向向量。
五、向量的应用向量广泛应用于物理学、几何学等领域。
以下是向量在几何学中的常见应用：1. 向量的共线和共面若两个向量共线，则它们的方向相同或相反；若三个向量共面，则它们在同一平面上。
2. 平面向量的数量积平面向量的数量积定义为两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
高考向量知识点归纳总结
高考向量知识点归纳总结高考数学中，向量作为一个重要的概念和工具，是学生们必须掌握的知识点之一。
在考试中，掌握向量的基本概念和运算方法，能够帮助学生们解决许多与几何相关的问题。
本文将对高考数学中的向量知识点进行归纳总结，帮助同学们加强对向量的理解和应用。
一、向量的基本概念向量可以看作是有大小和方向的量，通常用箭头表示。
在数学上，向量可以表示为一个有序数对，也可以用粗体字母表示，如向量a。
向量有起点和终点，我们通常用向量的终点减去起点，可以得到向量的表示方法：$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}$。
二、向量的加法与减法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
对于两个向量a、b，向量的加法满足交换律和结合律，即$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$，$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} +(\vec{b} + \vec{c})$。
向量的减法即加上相反向量，即$\vec{a} -\vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$。
三、数量积和向量积向量的数量积（内积）是指两个向量的数量之间的乘积。
对于向量a和b，数量积可以表示为$\vec{a} \cdot \vec{b} =|\vec{a}||\vec{b}| \cos\theta$，其中$|\vec{a}|, |\vec{b}|$是向量a、b的模长，$\theta$是两个向量之间的夹角。
同时，数量积还可以用向量的坐标表示为$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$，其中$a_x, a_y$是向量a的横纵坐标，$b_x, b_y$是向量b的横纵坐标。
向量的向量积（外积）是指两个向量的积得到一个新的向量。
对于向量a和b，向量积可以表示为$\vec{a} \times \vec{b} =|\vec{a}||\vec{b}| \sin\theta \vec{n}$，其中$\vec{n}$是垂直于a、b所在平面的单位向量。
高职高考向量知识点
高职高考向量知识点一、引言高职高考作为一种职业技能水平考试，旨在培养和选拔高素质的技能型人才。
在数学科目中，向量是一个重要的知识点，它在实际问题中具有广泛的应用。
本文将详细介绍高职高考中向量的基本概念、性质以及相关应用。
二、向量的概念与表示1. 向量的定义：向量是有方向和大小的量，可以用带箭头的线段来表示。
2. 向量的表示方法：向量可以用坐标表示、法线表示或者分解成分量表示。
三、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则。
2. 向量的减法：向量的减法可以转化为加法，即将减去的向量取相反数，然后进行向量的加法运算。
3. 向量的数乘：向量的数乘是将向量的大小与方向同时进行伸缩。
四、向量的性质1. 平行向量：具有相同或相反的方向的向量称为平行向量。
2. 共线向量：共线向量是指两个或多个向量在同一直线上。
3. 相等向量：具有相同大小和相同方向的向量称为相等向量。
4. 零向量：大小为零的向量称为零向量，它的方向是任意的。
五、向量的应用1. 几何意义：向量可以用来描述平面或空间中的点、线、面等几何图形。
2. 物理应用：在物理学中，向量用来描述物体的位移、速度、加速度等物理量。
3. 工程应用：向量可以应用于工程问题中，如力的平衡、力的合成等。
六、向量积1. 向量的数量积：向量的数量积满足交换律和分配律，可以用来求两个向量夹角的余弦。
2. 向量的向量积：向量的向量积结果是一个新的向量，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形。
七、向量的解析几何表达式1. 向量的解析几何表达式：向量的解析几何表达式是将向量的起点移至坐标原点，以坐标表示向量。
2. 向量的线性相关与线性无关关系：若存在不全为0的实数k1、k2、……、kn，使得k1a1+k2a2+……+knan=0，则向量组a1、a2、……、an是线性相关的。
八、总结向量作为高职高考数学的一个重要知识点，涉及到向量的概念、运算、性质以及应用等方面。
高考向量必考知识点
高考向量必考知识点在高考数学考试中，向量是一个必考的重要知识点。
掌握好向量的相关概念和运算规则，对于解题和提高数学成绩都有极大的帮助。
下面将介绍高考中向量的必考知识点，帮助考生全面复习和准备考试。
1. 向量的定义和表示方法向量是具有大小和方向的量，常用有向线段来表示。
向量通常用大写字母加箭头表示，如→AB，表示从A点指向B点的向量。
在二维平面上，向量可以用坐标表示，如→AB = (x, y)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
2. 向量的运算规则(1) 向量的加法：向量的加法满足共线三角形法则，即将两个向量首尾相连，所得的结果向量的起点和终点与原向量的起点和终点重合。
向量的加法可以通过坐标运算和三角函数运算进行。
(2) 向量的数乘：向量的数乘指的是将向量的长度乘以一个实数。
若向量→AB的长度为a，那么实数k与向量的数乘结果为k→AB，其长度为ka。
(3) 向量的减法：向量的减法可以通过向量加法和数乘的运算规则来表示，即a - b = a + (-1) × b。
其中，-1表示方向相反的单位向量。
3. 向量的性质和运算规律(1) 零向量的性质：零向量是长度为0的向量，用0表示。
对于任意向量a，有a + 0 = 0 + a = a。
(2) 向量相等的条件：两个向量相等的充分必要条件是它们的长度相等且方向相同。
(3) 三角不等式：对于任意两个向量a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
即两个向量的和的长度小于等于它们的长度之和。
4. 向量的数量积和向量积(1) 数量积：数量积也称为点积或内积，是两个向量相乘得到一个实数的运算。
向量a与向量b的数量积用a·b表示，其结果为a·b = |a| |b| cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的长度，θ表示a和b之间的夹角。
(2) 向量积：向量积也称为叉积或外积，是两个向量相乘得到一个向量的运算。
向量a与向量b的向量积用a×b表示，其结果为一个新的向量c，满足c的长度等于|a| |b| sinθ，c的方向垂直于a和b所确定的平面，遵循右手法则。
数学向量知识点总结高考
数学向量知识点总结高考在高考数学中，向量是一个重要的概念和工具。
理解和掌握向量的性质和运算规则，不仅可以解决向量的几何问题，还可以帮助我们解决许多复杂的数学问题。
下面，我们对高考数学中的向量知识点进行总结。
1. 向量的定义和表示方法向量是一个有大小和方向的量。
在平面上，向量可以用有向线段来表示，写作AB，其中A为向量的起点，B为终点。
可以用坐标表示向量，也可以用分量表示。
例如，向量AB可以表示为⃗AB=(x₁,y₁)。
向量的模表示向量的大小，记作|⃗ AB|。
2. 向量的运算（1）向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即⃗ AB + ⃗ BC = ⃗ AC。
几何上，将两个向量按顺序相接，起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点，得到一个新的向量。
（2）向量的数乘：将一个向量与一个实数相乘，得到的向量的大小是原向量大小的绝对值倍，并且方向与原向量相同（当实数为正）或相反（当实数为负）。
3. 向量的性质和判定（1）向量共线：如果两个向量的方向相同或者相反，则称它们共线。
可以通过判断两个向量的比值是否相等来判定两个向量是否共线。
（2）向量垂直：如果两个向量的内积为0，则称它们垂直。
内积计算公式为⃗AB · ⃗ CD = AB × CD × cosθ，其中θ为两个向量的夹角。
（3）平行四边形法则：向量的加法满足平行四边形法则，即两个向量相加所得的结果向量的起点是两个向量起点的共同点，终点是两个向量终点连线的对角线的交点。
4. 平面向量的基本定理（1）平面向量的表示定理：对于平面上的三个非零向量⃗ a，⃗ b和⃗ c，它们共线的充分必要条件是存在不全为零的实数k₁和k₂，使得⃗ c = k⃗⃗ a +k⃗⃗ b。
（2）平面向量的共线定理：对于平面上的三个非零向量⃗ a，⃗ b和⃗ c，它们共线的充分必要条件是存在不全为零的实数m，n和p，使得m⃗ a + n⃗ b + p⃗ c = ⃗ 0。
数学高考总复习向量知识点
数学高考总复习向量知识点向量是高考数学中的重要知识点，也是中学数学学科的基础内容之一。
它不仅在几何问题中有重要应用，还广泛运用于物理学、计算机科学等学科领域。
在高考复习中，掌握向量的概念、运算法则以及相关应用是非常关键的。
一、向量的概念向量是有大小和方向的物理量。
在几何上，可以用有向线段来表示一个向量，通常用字母加箭头来表示。
例如，向量a可以记作→a。
其中，→表示该线段有方向。
二、向量的运算法则1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
即，对于任意向量a、b和c，有以下运算法则成立：→a+ →b = →b + →a （交换律）(→a + →b) + →c = →a + (→b + →c) （结合律）2. 向量的数乘一个向量乘以一个实数，称为向量的数乘。
向量数乘的结果是一个新的向量，其大小等于原向量的大小与实数的乘积，其方向与原向量的方向相同（如果实数为正）或相反（如果实数为负）。
例如，若有向量→a和数字k，则有：k→a = →a + →a + ... + →a （共有k个→a相加）3. 向量的减法向量的减法是向量的加法的逆运算。
用向量b减去向量a得到的新向量为b-a。
即：→b - →a = →b + (-→a)其中，-→a表示向量a的反向向量。
三、向量的重要性质1. 平行向量两个向量的方向相同或相反时，称它们为平行向量。
平行向量的大小相等或成比例。
2. 共线向量如果两个向量的方向相同或相反，且它们的起点和终点均在同一直线上，那么称这两个向量为共线向量。
3. 零向量大小为零的向量称为零向量，用0来表示，零向量没有方向。
4. 向量的模向量的模（大小）表示向量的长度。
在平面直角坐标系中，向量→a = (a1, a2)的模记作|→a|。
5. 单位向量模为1的向量称为单位向量。
任何一个非零向量都可以通过除以其模得到一个单位向量。
四、线性相关与线性无关1. 线性相关如果存在不全为零的实数k1、k2、...、kn，使得(k1→a1 + k2→a2 + ... + kn→an) = →0，其中→a1、→a2、...、→an是n个向量，那么称这n个向量线性相关。
高考数学三角与平面向量知识点总结
高考数学(三角与平面向量)知识点总结1高考数学中，三角与平面向量是必考的内容，这部分知识点的考察重点主要集中在以下一些方面：一、三角函数1.定义和基本性质：重点掌握正弦、余弦、正切等基本三角函数的定义，及其基本性质，如周期性、振幅、相位等。
2.三角恒等变换：需要掌握三角函数的和差倍角公式，例如两角和与差的三角函数公式，二倍角公式等。
这些公式在解决三角问题时极为重要。
3.三角函数的图像和性质：重点掌握正弦、余弦、正切等函数的图像，理解它们的性质，如单调性、最值等。
4.三角函数的应用：需要理解如何将实际问题转化为三角函数问题，例如利用三角函数解决最值问题、周期问题等。
二、平面向量1.向量的基本概念：需要理解向量的定义，掌握向量的表示方法，如坐标表示法、几何表示法等。
2.向量的基本运算：需要掌握向量的加法、减法、数乘等基本运算，理解它们的几何意义。
3.向量的数量积：重点掌握向量的数量积的定义和性质，理解其几何意义和应用。
4.向量的应用：需要理解如何将实际问题转化为向量问题，例如利用向量解决平面几何问题、立体几何问题等。
三、总结在高考数学中，对于三角与平面向量的考察通常会结合其他知识点一起出现，例如与函数、不等式、数列等知识点结合，形成综合性题目。
因此，在学习这部分内容时，需要注重以下几点：1.掌握基础：对于任何知识点来说，掌握基础是至关重要的。
对于三角和平面向量，需要理解并熟练运用各种基本概念和性质。
2.培养分析能力：学会分析问题是解决问题的关键。
对于三角和平面向量问题，需要学会从题目条件中分析出有用的信息，并进行合适的转化。
3.重视应用：理论知识只有在实践中才能发挥出其价值。
因此，需要重视将所学的三角和平面向量的理论知识应用到实际问题中。
4.温故知新：对于任何学过的知识点，都需要不断复习巩固，才能真正掌握。
因此，在平时的学习和练习中，要经常回顾和巩固三角与平面向量的知识点。
5.系统总结：在学习过程中，要时常进行系统总结，将学过的知识点形成系统化的知识网络，以便于在解题时能快速准确地调用相关知识。
高考数学专题复习《空间几何中的向量方法》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)
变式1：
如图，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC＝120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两 点，BE⊥平面 ABCD，DF⊥平面 ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. (1)证明：平面 AEC⊥平面 AFC； (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值．
在 Rt△FDG 中，可得 FG＝ 6. 2
在直角梯形 BDFE 中，由 BD＝2，BE＝ 2，DF＝ 2，可得 EF＝3 2.
2
2
从而 EG2＋FG2＝EF2，所以 EG⊥FG. ②
又因为 AC∩FG＝G，③所以 EG⊥平面 AFC.（一）
因为 EG ⫋ 平面 AEC，（二）所以平面 AEC⊥平面 AFC.
例 1 如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1⊥底面 ABC，AB＝BC＝AA1，∠
ABC＝90°，点 E，F 分别是棱 AB，BB1 的中点，则直线 EF 和 BC1 所成的角是
()
A．30°
B．45°
C．60° D．90°
解析：选 C 以 B 为坐标原点，以 BC 所在直线为 x 轴，BA 所在直线为 y 轴，BB1 所 在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系如图所示． 设 AB＝BC＝AA1＝2，则 C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，∴ E→F＝(0，－1，1)，B→C1＝(2，0，2)，∴E→F·B→C1＝2，设直线 EF 与
[解] (1)证明：如图，连接 BD，设 BD∩AC＝G，连接 EG，FG，EF.
在菱形 ABCD 中，不妨设 GB＝1.
由∠ABC＝120°，可得 AG＝GC＝ 3. 由 BE⊥平面 ABCD，AB＝BC，可知 AE＝EC.
空间向量高考知识点总结
空间向量高考知识点总结一、空间向量的定义与性质1. 空间向量的定义：空间中的向量是指有大小和方向的线段，可以用有向线段来表示，通常用小写字母表示。
2. 空间向量的性质：空间中的向量满足向量的相等、相反、共线和共面的性质。
3. 空间向量的运算：空间向量的加法、数量乘法、内积和叉乘等运算。
二、空间向量的坐标表示1. 空间向量的坐标表示：空间中的向量可以用坐标表示，一般用三元组表示。
2. 空间向量的坐标运算：空间向量的坐标运算包括向量相加、数量乘法和点积等运算。
三、空间向量的数量积1. 空间向量的数量积定义：两个向量的数量积又称内积，记作a·b，表示为|a||b|cosθ，其中θ为a、b之间的夹角。
2. 空间向量的数量积的性质：数量积具有对称性、分配律和数量乘法结合律等性质。
3. 空间向量的数量积的几何意义：数量积可以用来计算向量的夹角、向量的投影以及向量的长度等。
4. 空间向量的数量积的应用：数量积可以用来解决空间中的几何问题，如判断两个向量的方向、判断点的位置、计算三角形的面积等。
四、空间向量的叉积1. 空间向量的叉积定义：两个向量的叉积，记作a×b，是另一个向量c，其大小等于以a、b为邻边的平行四边形的面积，方向垂直于a和b所在的平面。
2. 空间向量的叉积的性质：叉积具有反对称性、分配律和数量乘法结合律等性质。
3. 空间向量的叉积的几何意义：叉积可以用来计算平行四边形的面积、判断向量的方向以及判断向量的共线性等。
4. 空间向量的叉积的应用：叉积可以用来计算平行四边形和平行六面体的体积、判断三角形的面积、判断四边形的面积等。
五、空间向量的应用1. 空间向量在几何中的应用：空间向量可以用来解决空间中的共线、共面、投影、距离、面积、体积等几何问题。
2. 空间向量在物理中的应用：空间向量可以用来描述力的合成、速度的方向、加速度的方向、质心的位置等物理问题。
3. 空间向量在工程中的应用：空间向量可以用来解决工程中的坐标系、平面构图、体积计算、力矩计算等问题。
数学高考大题向量知识点
数学高考大题向量知识点数学高考大题-向量知识点在数学高考中，向量是一个重要的知识点。
考察向量的题目涉及到向量的定义、运算、性质等方面。
下面我们将逐一介绍。
1. 向量的定义和表示方法向量是有大小和方向的量，可以用有序数对来表示。
如一个向量A 可以表示为(A1, A2)，其中A1表示向量在x轴上的分量，A2表示向量在y轴上的分量。
2. 向量的加法和减法向量的加法就是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
向量的减法类似，只是将对应分量相减。
例如，向量A(A1, A2)和向量B(B1, B2)的和为(A1+B1, A2+B2)，差为(A1-B1, A2-B2)。
3. 向量的数量积和向量的夹角向量的数量积是向量与标量的乘积，结果是一个数。
向量A(A1, A2)和向量B(B1, B2)的数量积为A1*B1+A2*B2。
向量的夹角是指通过顶点连线形成的两个向量之间的夹角。
夹角的计算公式为cosθ=(A1*B1+A2*B2)/(|A|*|B|)，其中|A|表示向量A的模，|B|表示向量B的模。
4. 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算是指将向量进行平移、旋转、缩放等操作。
平移是通过向量加减法来实现的。
旋转是通过变换向量的分量来实现的。
缩放是通过乘以一个标量来实现的。
5. 向量的线性相关与线性无关如果存在不全为0的实数k1，k2，使得k1*A+k2*B=0，则称向量A和B线性相关；否则，称向量A和B线性无关。
6. 向量的共线如果两个向量A和B的夹角为0度或180度，则称它们共线。
共线的向量可以用倍数关系表示，即向量A=k*B，其中k为倍数。
上述是数学高考中常见的向量知识点。
在解答相关题目时，应首先理解向量的定义和表示方法，熟练掌握向量的加减法和数量积的计算方法。
在进行平面向量的坐标运算时，要灵活运用平移、旋转和缩放的操作。
另外，对于线性相关与线性无关的判断，需要应用线性代数的知识，将向量组的系数矩阵进行行列变换，判断矩阵的秩是否等于向量个数，从而确定向量的线性相关性。
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高考数学平面向量部分知识点梳理一、向量的概念： (1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ； 坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O. 单位向量aO 为单位向量⇔｜aO ｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同 (ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6) 相反向量：a=-b ⇔b=-a ⇔a+b=0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b.平行向量也称为共线向量. (8)向量的运算： 运算类型 几何方法 坐标方法运算性质向量的 加法1.平行四边形法则2.三角形法则1212(,)a b x x y y +=++ a b b a +=+()()a b c a b c ++=++ AC BC AB =+向量的 减法三角形法则1212(,)a b x x y y -=--()a b a b -=+- AB BA =- ,AB OA OB =- 数 乘 向 量1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ=2.λ>0时, a a λ与同向;λ<0时, a a λ与异向;λ=0时, 0a λ=. (,)a x y λλλ=()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+ ()a b a b λλλ+=+ //a b a b λ⇔=向 量 的 数 量 积 a b ∙是一个数 1.00a b ==或时， 0a b ∙=.2.00||||cos(,)a b a b a b a b ≠≠= 且时，1212a b x x y y ∙=+a b b a ∙=∙()()()a b a b a b λλλ∙=∙=∙ ()a b c a c b c +∙=∙+∙ 2222||||=a a a x y =+ 即 ||||||a b a b ∙≤二、重要的公式、定理： (1)平面向量基本定理：e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2.(2)两个向量平行的充要条件：a ∥b ⇔a ＝λb(b ≠0)⇔x1y2－x2y1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔x1x2＋y1y2＝O.(4)线段的定比分点公式：设点P 分有向线段21P P所成的比为λ，即P P 1＝λ2PP ，则 OP ＝λ+111OP ＋λ+112OP (线段的定比分点的向量公式)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式) 当λ＝1时，得中点公式：OP ＝21（1OP ＋2OP ）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x(5)平移公式：设点P(x ，y)按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P ′（x ′，y ′），则P O '＝OP +a 或⎩⎨⎧+='+='.,k y y h x x曲线y ＝f （x ）按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为： y －ｋ＝f （x －ｈ) (6)正、余弦定理：正弦定理：.2sin sin sin R C cB b A a ===余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA ， b2＝c2＋a2－2cacosB ， c2＝a2＋b2－2abcosC. （7）三角形面积计算公式：设△ABC 的三边为a ，b ，c ，其高分别为ha ，hb ，hc ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r.①S △=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S △=Pr ③S △=abc/4R ④S △=1/2sinC ·ab=1/2ac ·sinB=1/2cb ·sinA ⑤S △=()()()c P b P a P P --- [海伦公式]⑥S △=1/2（b+c-a ）ra[如下图]=1/2（b+a-c ）rc=1/2（a+c-b ）rb（8）三角形的五个“心”：①重心：三角形三条中线交点.②外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.③内心：三角形三内角的平分线相交于一点.④垂心：三角形三边上的高相交于一点.⑤旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.三、常用的判定：（1）已知⊙O 是△ABC 的内切圆，若BC=a ，AC=b ，AB=c [注：s 为△ABC 的半周长,即2c b a ++]则：①AE=a s -=1/2（b+c-a ）②BN=b s -=1/2（a+c-b ） ③FC=c s -=1/2（a+b-c ）综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边.特例：已知在Rt △ABC ，c 为斜边，则内切圆半径r=c b a abc b a ++=-+2. （2）在△ABC 中，有下列等式成立C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++(3)在△ABC 中，D 是BC 上任意一点，则DCBD BC BCAB BD AC AD ⋅-+=222（4）平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.)(22222b a b a b a +=-++四、空间向量：（1）概念：具有大小和方向的量叫做向量（2）运算：b a AB OA OB +=+=；b a OB OA BA -=-=；)(R a OP ∈=λλ （3）运算律：加法交换律：a b b a+=+；加法结合律：)()(c b a c b a ++=++；数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(（4）共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O ，点P在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 t OA OP +=a ．其中向量a 叫做直线l 的方向向量.向量与平面平行：已知平面α和向量a，作OA a = ，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α ．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量（说明：空间任意的两向量都是共面的）（6）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+ 或对空间任一点O ，有O P O M x M A y M B =++ 叫做平面MAB 的向量表达式（7）空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++（8）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b，在空间任取一点O ，作,OA a OB b == ，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <> ；且规定0,a b π≤<>≤ ，显然有,,a b b a <>=<> ；若,2a b π<>= ，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥ . 向量的模：设OA a = ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a .（9）向量的数量积： a b ⋅= ||||cos ,ab a b ⋅⋅<> ．已知向量AB a = 和轴l ，e是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B在l 上的射影B '，则A B '' 叫做向量AB 在轴l 上或在e上的正射影.可以证明A B '' 的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅ ． （10）空间向量数量积的性质：||cos ,a e a a e ⋅=<> ；0a b a b ⊥⇔⋅= ；2||a a a =⋅ ．（11）空间向量数量积运算律：()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ；a b b a ⋅=⋅ （交换律）；()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）．五、空间向量的坐标运算： （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）. ①令a =(a1,a2,a3),),,(321b b b b =，则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅ a ∥)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b ab a ==⇔ 0332211=++⇔⊥b a b a b a b a222321a a a a a a ++=⋅=(用到常用的向量模与向量之间的转化：aa a a a a ⋅=⇒⋅=2)232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a ba b a ++⋅++++=⋅⋅>=<②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量. （3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α的距离为||||n n AB ⋅.②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.α▲nBCAαβ▲n 2n 1αCED AB。