复变函数积分方法总结材料

标准文档

复变函数积分方法总结

[键入文档副标题]

acer

[选取日期]

复变函数积分方法总结

数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：

z=x+iy i²=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作

x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ₁θ₁称为主值 -π＜θ₁≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsin θ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。z=re i θ。

1.定义法求积分：

定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…，z k-1，z k，…，z n=B，在每个弧段z k-1 z k(k=1,2…n)上任取一点ξk并作和式S n=ξ(z k-z k-1)=ξ∆z k记∆z k= z k- z k-1，弧段z k-1 z k的长度δ={∆S k}(k=1,2…,n),当δ0时，不论对c的分发即ξk的取法如何，S n有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为：

ξ∆z k

=

δ

设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作 (C圆周正方向为逆时针方向)

例题：计算积分,其中C表示a到b的任一曲线。

（1）解：当C为闭合曲线时，=0.

∵f(z)=1 S n=ξ(z k-z k-1)=b-a

∴=b-a,即=b-a.

(2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设ξk=z k-1,则

∑1= （）(z k-z k-1)

有可设ξk=z k，则

∑2= （）(z k-z k-1)

因为S n的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以

S n= (∑1+∑2)==b2-a2

∴=b2-a2

1.2 定义衍生1：参数法：

f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得：

= - vdy + i + udy

再设z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t≤β)

=β

α

参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+re iθ，(0≤θ≤2π) 例题1：积分路线是原点到3+i的直线段

解：参数方程 z=（3+i）t

=′

=(3+i)3

=6+i

例题2：沿曲线y=x2计算（）

解：参数方程或z=t+it2 (0≤t≤1)

=（）

=(1+i) + 2i]

=-+i

1.3定义衍生2 重要积分结果：

z=z0+ re iθ，(0≤θ≤2π)

由参数法可得：

=

θ

（）θ

πdθ=θdθ

=

π

例题1：例题2：

解： =0 解 =2πi

2.柯西积分定理法：

2.1 柯西-古萨特定理：若f(z)dz在单连通区域B内解析，则对B内的任意一条封闭曲线有：

=0

2.2定理2：当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点z0与终点z1来确定。

2.3闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D内解析，C与

C 1是

D 内两条正向简单闭曲线，C 1在C 的内部，且以复合闭路Γ=C+C 1所围成的多连通区域G 全含于D 则有：

Γ= +

=0 即 =

推论：

=

例题：

C 为包含0和1的正向简单曲线。

解： 被积函数奇点z=0和z=1.在C 内互不相交，互不包含的正向曲线c 1和c 2。

=

+

=

=

+

+

+

=0+2πi+2πi+0

=4πi

2.4原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：

定理2.2可知，解析函数在单连通域B 内沿简单曲线C 的积分只与起点z 0与终点z 1有关，即

ξ ξ = ξ

ξ 这里的z 1和z 0

积分的上下限。当

下限z0固定，让上限z1在B内变动，则积分ξξ在B内确定了一个单值函数F(z),即F(z)=ξξ所以有

若f(z)在单连通区域B内解析，则函数F(z)必为B内的解析函数，且=f(z).根据定理2.2和2.4可得= F(z1) - F(z0). 例题：求

解：函数zcosz在全平面内解析

∴=zsinz-

= isin i+cosz=isin i+cos i-1

=i+-1=e-1-1

此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法，但是要注意复变适合此方法的条件。

2.5柯西积分公式法：

设B为以单连通区域，z0位B中一点，如f(z)在B内解析，则函数在z0不解析，所以在B内沿围绕z0的闭曲线C的积分一般不为零。取z0位中心，以δ>0为半径的正向圆周=δ位积分，由于f(z)的连续性，所以

曲线

δ

=2πif(z0)

=

δ

2.5.1定理：若f(z)在区域D内解析，C为D内任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，z0为C内的任一点，有：

f(z0)=

π

例题：1））