平面向量学习笔记

平面向量知识要点

1.本章知识网络结构

2.向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向 . (2) 向量的表示：几何表示法AB ；字母表示：a；坐标表示

法a＝ｘｉ＋ｙj ＝( ｘ，ｙ) .

(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜ .

(4)特殊的向量：零向量a＝O ｜a｜＝ O. 单位向量a O为单位向量｜a O｜＝ 1.

x1 x2

(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1) ＝( ｘ2，ｙ2) 1 2

y1 y2

(6) 相反向量：a=- b b=- a a+b=0

(7) 平行向量 ( 共线向量 ) ：方向相同或相反的向量，称为平行向量 . 记作a∥b. 平行向量也称为共线向量 .

3.向量的运算

=0 时 , a 0.

a b b a

a b 是一个数

向

量 1.

a 0或

b 0 时，

( a) b a ( b) (a b)

的

数 a b 0.

a b x 1x 2 y 1y 2

(a b) c a c b c

量 积

a 0且

b 0时，

2

2 2 2 a |a|2 即 |a|= x 2 y 2

2.

a b |a||b|cos(a,b)

|a b| |a||b|

4. 重要定理、公式 (1) 平面向量基本定理

e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对 实数λ1， λ 2，使 a ＝λ 1e 1＋ λ 2e 2.

(2) 两个向量平行的充要条件

a ∥

b a ＝λ b(b ≠0) x 1y 2－ x 2y 1＝ O.

(3) 两个向量垂直的充要条件 a ⊥ b a ·b ＝O x 1x 2＋y 1y 2＝O. (4) 线段的定比分点公式

设点

P

分有向线段

P 1P 2 所成的比为 λ，即P 1P ＝λPP 2 ，则

11

OP ＝1

1 OP 1＋1

1

OP 2 ( 线段的定比分点的向量公式 )

x

1 x 2

x

1 y 1 y

2 y

1

当λ＝ 1 时，得中点公式：

OP ＝ 1 ( OP 1 ＋ OP 2 )或

2

12

(5) 平移公式

设点 P ( x ， y)按向量 a ＝(ｈ，ｋ)平移后得到点 P ′( x ′， y ′)，

( 线段定比分点的坐标公式

x

1 x 2

x

2 y 1 y 2 y 1 2

2

x x h, 则 OP ＝ OP +a 或 y y k.

曲线 y ＝f （x ）按向量 a ＝（ ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为： y －ｋ＝f （x －ｈ） （6） 正、余弦定理 正弦定理： a b c

2R

.

sin A sin B sinC

余弦定理： a 2＝b 2＋ c 2－ 2bc cos A ， b

2＝c 2＋a 2－2cacos B ， 222 c ＝ a ＋b － 2abcos C .

（7）三角形面积计算公式：

设△ ABC 的三边为 a ，b ，c ，其高分别为 h a ，h b ，h c ，半周长为 P ，外接圆、 内切圆的半径为 R ， r. ① S △=1/2ah a =1/2bh b =1/2ch c ②S △=Pr ③ S △=abc/ 4R ④ S △=1/2sinC ·ab=1/2ac ·sinB=1/2cb ·sinA ⑤S △= P P a P b P c ［海伦公式 ］ ⑥S △=1/2（b+c-a ）r a ［如下图］=1/2（b+a-c ） r c =1/2（a+c-b ）r b

图 2 中的 I 为 S △ ABC 的一个旁心， S △=1/2 附：三角形的五个“心” ； 重心：三角形三条中线交点 .

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点 . 内心：三角形三内角的平分线相交于一点 . 垂心：三角形三边上的高相交于一点 . 旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点 .

a b c

⑸已知⊙ O 是△ ABC 的内切圆，若 BC=a ，AC=b ，AB=c ［注： s 为△ ABC 的半周长 ,即 a b c

］

2 则：

① AE=s a =1/2（b+c-a ） ② BN=s b =1/2（ a+c-b ） ③ FC=s c =1/2（a+b-c ）

［注］： 如图：

到三角形三边的距离相等

的点有 图

2

4 个，一个是内心，其余

F

O

图

3

图4

3 个是旁心 .A

图 1 中的 I 为 S △ABC 的内心， S △=Pr

b+c-a ）r a

综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图 4） . 特例：已知在 Rt △ ABC ，c 为斜边，则内切圆半径 r= a b c ab （如图 3）.

2 a b c

⑹在△ ABC 中，有下列等式成立 tan A tanB tanC tan Atan B tanC . 证明：因为 A B C,所以 tanA B tan C ，所以 tanA tanB tanC ， 结论！

1 tan Atan B

22

⑺在△ ABC 中， D 是 BC 上任意一点，则 AD

2 AC BD AB BC

BD DC .

BC

证明：在△ ABCD 中，由余弦定理，有 AD 2 AB 2 BD 2 2 AB BD cosB ①

222

在△ ABC 中，由余弦定理有 cosB AB BC AC

②，②代入①，化简 2AB BC

22

可得，

AD

2 AC BD AB BC

BD DC

（斯德瓦定理） BC

① 若 AD 是 BC 上的中线， m a 1 2b 2 2c 2 a 2 ；

2

②若 AD 是∠ A 的平分线， t a 2 bc p p a ，其中 a

b c

③若 AD 是BC 上的高， h a 2

p p a p b p c ，其中 p 为半周长 . a ⑻△ ABC 的判定：

c 2

b 2

△ABC 为钝角△

∠A + ∠B<

2 c 2

>a 2

b 2

△ABC 为锐角△

∠A + ∠B>

2

a

2 b 2 c 2

附：证明： cosC

a b c

，得在钝角△ ABC 中， 2ab

⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和

a b 2

a b 2

2(a 2

b 2

)

空间向量

1．空间向量的概念：

具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移

就是一个向量

⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量

⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下 OB OA AB a b BA OA OB a b

2 2 2

c 2 a 2 b 2

△ABC 为直角

∠A + ∠B

=

cosC 0 a

2

b 2

c 2 0, a 2 b 2 c 2

C

5

OP a( R) 运算律：⑴加法交换律： a b b a ⑵加法结合律： (a b) c a (b c) ⑶数乘分配律： (a b) a b

3 共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线

向量或平行

向量．a平行于b 记作a//b．

当我们说向量a、b 共线(或a// b )时，表示a、b 的有向线段所在的直线可能是同

一

直线，也可能是平行直线．

4．共线向量定理及其推论：

共线向量定理：空间任意两个向量a、b (b≠0)，a// b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .

推论：如果l 为经过已知点 A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点 O，点 P在直线l 上的充要条件是存在实数 t满足等式

OP OA t a ．

其中向量a 叫做直线l 的方向向量 .

5．向量与平面平行：

已知平面和向量a，作OA a ，如果直线OA 平行于或在内，那么我们说向量a 平行于平面，记作：a// ．

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的

6．共面向量定理：

如果两个向量a,b 不共线， p 与向量a,b 共面的充要条件是存在实数x,y 使 p xa yb

推论：空间一点 P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对x, y ，使MP xMA y MB或对空间任一点O，有 OP OM xMA yMB ① ①式叫做平面 MAB 的向量表达式

7．空间向量基本定理：

如果三个向量 a,b,c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，

使 p xa yb zc

推论：设 O,A,B,C 是不共面的四点，则对空间任一点 P ，都存在唯一的三个有序实数 x,y,z ，使

OP xOA yOB zOC

8 空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量 a,b ，在空间任取一点 O ，作OA aOB, b ，则 AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作 a,b ；且规定 0 a,b ，显然有 a,b b,a ；若 a,b ，

2

则称 a 与b 互相垂直，记作： a b . 9．向量的模：

设 OA a ，则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模，记作： |a|. 10．向量的数量积： a b |a| |b| cos a,b ．

11．空间向量数量积的性质：

（1）a e |a|cos a,e ．（2） a b a b 0．（3）|a|2 a a ． 12．空间向量数量积运算律：

（1）（ a ） b （a b ） a （ b ）．（2）a b b a （交换律）（ 3） a （b c ） a b a c 分配律）

空间向量的坐标运算

一．知识回顾：

（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的 x 轴是横轴（对应为横坐标） ，y 轴是纵轴（对应为

纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标） . ①令 a=(a 1,a 2,a 3),b (b 1,b 2,b 3) ，则

a b (a 1 b 1,a 2 b 2 ,a 3 b 3) a ( a 1, a 2, a 3)( R) a b a 1b 1 a 2b 2 a 3b 3 a ∥

b

a 1

b 1,a 2 b 2 ,a 3 b 3 (

R)

a1

a2

a3

a b a 1b 1 a 2b 2 a 3b 3 0

1 1

2 2

3 3

b

1 b

2 b

3

1 1

2 2

3 3

a a a

a 12 a 22 a 32 (用到常用的向量模与向量之间的转化： a 2 a a a a a )

已知向量 AB a 和轴 l ， e 是l 上与 l 同方向的单位向量，作点 A 在l 上的射影 A ，作 点 B 在 l 上的射影 B ，则 AB 叫做向量 AB 在轴 l 上或在 e 上的正射影 可以证明 AB 的长度 |AB | | AB |cos a,

a b

a 1

b 1 a 2b 2 a 3b 3

2）法向量：若向量 a 所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作 a ，如

②空间两点的距离公 d (x 2 x 1)2 (y 2 y 1)2 (z 2 z 1 )2 .

cos a,b

|a| |b | a 12 a 22 a 32 b 12 b 22 b 32

果 a 那么向量 a 叫做平面 的法向量 . （3）用向量的常用方法：

①利用法向量求点到面的距离定理： 如图，设 n 是平面 的法向量， AB 是平面 的一条射线， 其中 A ，则点 B 到平面 的距离为 | AB n|.

|n|

② 利用法向量求二面角的平面角定理：设 n 1,n 2 分别

是二面角

l 中平面 , 的法向量，

则

n 1

,n 2 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小 （ n 1,n 2 方向相同， 则为补角，

n 1,n 2

反方，则为其夹角） .

③ 证直线和平面平行定理：已知直线 a 平面 ， A B a,C D ，且 CDE 三点不共线， 则 a ∥ 的充要条件是存在有序实数对 使 AB CD CE .（常设 AB CD CE 求解

不论做什么事情都应该讲究方法，科学的方法能够加速问题解决的速度，学 生学习更是如此。我们在教学过程经常会遇到这样的现象，有的学生尽管学习也 很认真刻苦，花了大量的时间，但学习效率不高，成绩并不是很理想。究其原因 也许很多，学习的方法不当应是关键的因素之一。科学的学习方法，往往能取得 事半功倍的效果。基于这个认识，我在教学过程中很注重学习方法研究，也经常 有意识地对学生进行学习方法指导，不少学生取得了良好的效果。现把其定名为 “十六字学习法”。公布的目的有二： 一是希望得到行家的指教， 以便进一步完善； 二是希望对想上进的求知学子有所帮助。具体内容是： 一预习：“学、做、练、标”

（1）学：学书本上的内容和例题，要看清和看全，甚至连书本上的注解也要看， 尤其是文科后面的注释一定要看，对于知识要点要多看几遍，多想想为什么，最 好能弄清楚来龙去脉，对于书上的黑体字、定理、定律和公式要动手抄写，力求 能先背诵和默写，英语中的单词和短语尤其要如此。

（2）做：做书本上的例题，要把自己的解题过程和书本上的例题对照一下，看看 差异在什么地方，要找出差距。语文和英语自己结实关键的词语和整个句子更好， 自己的解释和自己造的句子要和书本上的规范句子对照，看看有没有错误，如果 有，看错误的原因是什么，自己容易弄错的地方，也许就是上课要重点解决的问 题。

掌握科学方法， 提高

学习成绩

, 若 , 存在即证毕，若 , 不存在，则直线 AB 与平面相

交） B

（3）练：书本上的简单题目在预习时应该完成，独立完成后要检查对错，发现自己在什么地方还没有弄懂。也可以找一套有标准答案的课外资料来练习，做好的作业也要对照答案检查，看看正误，及时了解自己预习中存在的问题。预习时做的题目选题目要典型，不要过多。本阶段的重点是通过联系来发现自己预习中存在的问题，如果自己看书能解决的，应该自己再看书解决，否则要做记录，留请教老师和同学，帮助自己解决。本次做错的题目做为一级错题，打一个

“ ?”，可以在资料和课本上标注，等待上课时候解决，彻底解决了，就不用上“总结提高本”，也可以解除标出的星号。

（4）标：在课本上标出学习的知识要点，和自己没有弄懂的难点，以及自己不够清楚的疑问点，以便上课时候重点突破。不同类型的最好用不同颜色的笔标出，要引起自己的重视。

二上课：“看、听、记、想”

（1）看：看书本和老师在黑板上板书的重点内容，弄清出那些是自己以前没有弄懂的和不清楚的内容，如果是课本上的可以在上面标出，如果是老师补充的就应该认真记录，如果需要背诵的内容一定要准确无误。

（2）听：认真听老师的讲解，教师的讲解是自己学习无法替代的，对于同学的发言也要认真地听，这其中也有别人的长处和智慧的火花。认真听取老师的讲解和同学的发言，及时筛选对自己的有用的信息，必要的要做记录。

（3）记：课堂笔记是学习的基础，也是将来复习的最好资料，这里有老师的汗水，也有自己的智慧，自己不理解的和老师反复强调的重点内容一定要认真记录，尤其是教师补充的课外内容更不能放过。只要自己还没有掌握的，课本上也没有现成内容的就应该记录。自己熟悉的，课本上有现成内容的就不要记录，重做深刻了理解和灵活运用。

（4）想：到下课的时候，一定要想一想，老师今天讲课的重点内容是什么，自己还有没有不懂的地方，如果有就应该及时请教老师和同学，把自己要学习的内容全部搞懂，不留任何遗憾。身边的同学是最好的老师，取长不短，是学习的科学方法。

三课后：“练、测、补、结”

（1）练：认真完成老师布置的作业，教师提供的作业应该是最好的资料，自己购买的资料如果和课本、老师布置的作业、以及做过的资料有重复的，最好不做，免得浪费时间。做过的题目一定要对照标准答案，找出错误的原因，自己不能顺利正确的完成的题目才是自己巩固练习的重点，自己很容易正确完成的题目看看就可以了，重复的也可以不看。重点攻克的应该是自己历次做错的题目，这些才反复学习的重点。此次做错的题目可以做为第二级错题，打上两个“??”，在请教老师和同学后，如果能弄懂了，可以不上总结提高本，但资料上的星号要保留，留以后复习时候，看看有没有忘记。

（2）测：选择适合自己水平的同步测试试卷，在学习完相应的内容后，自己找时间限时完成，要尽量少用时间，提高自己的答卷速度，一般以规定的时间一半为好。完成后要对照标准答案进行认真的自我的批改，找出失误的原因，采取响应的解决办法，需要看书的还要认真看书，需要死记的内容就应该准确的记忆，理解不透的要深刻理解，题目太难的做不出来的，可以在标准答案的提示下，反复做做，直到彻底弄懂为止，试卷出现的任何失误，都应该搞清楚来

龙去脉。次此做错的题目应该是第三级别，应打上三个“ ??? ”，”应该上“总“结提高本”，并要在本子上及时订正，有知识缺陷的，应写出相应的知识，文科尤其要注意做好这项工作，理科应该注重规律总结。反复出现错误的知识和题目，级别应该更高，补救发工作应该更全面。

（3）补：针对自己检查和学校作业、检测中出现的失误，属于自己不懂和不会造成的要集中到一个本子上，并认真订正，还要写出失误的原因，提示自己在以后的学习中不要出现类似的错误。善于发现自己的不错，并能够及时弥补的人，才会不断进步，最后取得成功。

（4）结：没有总结就没有提高，对于自己收集好的错误题目，光订正了还不够，还要分析原因，进行总结和提高。对于在错题中暴露出来的属于知识不清的，要分类进行总结，内容不多的就可以写在相应的题目后面，如果内容太多，书本上有的就可以标出页码，课外资料上的，自己没有的可以复印。要善于总结规律性的东西，只要掌握规律，就可以举一反三。

四复习：看、背、默，理（1）看：看课本上的知识要点、自己的课堂笔记和自己的总结提高本，还可以看有标准解答的题解，最好是看带有规律性的题解资料。级别越多的内容看的次数就应该越多，越应该是掌握的重点。当然基础知识也不能丢掉不管，如果在基础出现知识性错误，那就更不应该了，考试前最好能快速浏览基础知识，在掌握基础的前提下，在突出重点。文科中的背诵和默写错误级别，也可以看写错次数的多少来确定级别，这样也才能突出复习重点。

（2）背：对于课本上要求背诵的知识应该会背诵。

（3）默：看看要求背诵的内容能否准确无误的默写出来，死的内容应该一字不差的掌握，理解性的记忆内容要掌握要点。

（4）理：如果能把要记忆的内容，整理出来，采用条目和图表形式记忆的效果。相信掌握了科学的方法，加上刻苦努力的精神，一定能打造出学习高手。