浙江省历年高考立体几何大题总汇

1.（本题满分15分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ?是以AC 为斜边的等腰直角三角形。,,E F O 分别为,,PA PB PC 的中点，16,10AC PA PC ===。

（I ） 设C 是OC 的中点，证明：//PC 平面BOE ；

（II ）证明：在ABO ?内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点M 到OA ,OB 的距离。

2.如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP=m ，

（Ⅰ）试确定m ，使得直线AP 与平面BDB 1D 1所成角的正切值为

（Ⅱ）在线段A 1C 1上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP ，并证明你的结论。

3. 如图甲，△ABC 是边长为6的等边三角形，E ，D 分别为AB 、AC 靠近B 、C 的三等分点，

点G 为BC 边的中点．线段AG 交线段ED 于F 点，将△AED 沿ED 翻折，使平面AED ⊥平面BCDE ，连接AB 、AC 、AG 形成如图乙所示的几何体。 （I ）求证BC ⊥平面AFG ；

（II ）求二面角B －AE －D 的余弦值．

.

4在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点．

（1）求证：CM EM ⊥； （2）求CM 与平面CDE 所成的角

5. 如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE CF ∥，

90BCF CEF ∠=∠=o ，3AD =2EF =．

（Ⅰ）求证：AE ∥平面DCF ；

（Ⅱ）当AB 的长为何值时，二面角A EF C --的大小为60o

？

6. 如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，AE=EB=AF=.43

2

=FD 沿直线EF 将AEF ?翻折成,'EF A ?使平面⊥EF A '平面BEF. （I ）求二面角C FD A --'的余弦值；

（II ）点M ，N 分别在线段FD ，BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C

与'A 重合，求线段FM 的长.

7. 如图，在三棱锥P-ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2

（Ⅰ）证明：AP⊥BC；

D

A B

E

F

C

（第18题）

（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A-MC-B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由。

8. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面是边长为

∠BAD=120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA=, M ，N 分别为PB,PD 的中点。 （1）证明：MN ∥平面ABCD ；

（2）过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A-MN-Q 的平面角的余弦值。

9. 如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，

BC CD ⊥，2AD =，BD =M 是AD 的中点，P 是BM 的中

点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =． （Ⅰ）证明：//PQ 平面BCD ；

（Ⅱ）若二面角C BM D --的大小为60?，求BDC ∠的大小．

10. 如图，在五面体ABCDEF 中，已知DE ⊥平面ABCD ，//AD BC ，o 60BAD ∠=，

2AB =，1DE EF ==．

（1）求证：//BC EF ；

（2）求三棱锥B DEF -的体积．

11. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1CA CB ==，12AA =，o 90BCA ∠=． （1）求异面直线1BA 与1CB 夹角的余弦值； （2）求二面角1B AB C --平面角的余弦值．

（第16题图）

F

A

C

D

E B

（第22题图）

A

B

C A 1

B 1

C 1

12(本小题14分)在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，12

AD BC =

，60ABC ∠=o ，N 是BC

的中点．将梯形ABCD 绕AB 旋转90o ，得到梯形ABC D ''（如图）．

（1）求证：AC ⊥平面ABC '； （2）求证：//C N '平面ADD '； （3）求二面角A C N C '--的余弦值．

13. （本题满分14分） 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，

(II )若线段EC 上一点M 在平面BDF 上的射影恰好是BF 的中点N ,试求二面角 B-MF-C 的余弦值.

1.证明：（I ）如图，连结OP ，以O 为坐标原点，分别以OB 、OC 、OP 所在直线为x 轴，y 轴，

z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，

则()0,0,0,(0,8,0),(8,0,0),(0,8,0),O A B C -(0,0,6),(0,4,3),P E -()4,0,3F ，由题意得，

A

C

D

B N D '

C '

P

A B

C D

Q

M

()0,4,0,G 因(8,0,0),(0,4,3)OB OE ==-u u u r u u u r ，因此平面BOE 的法向量为(0,3,4)n =r

，

(4,4,3FG =--u u u r

得0n FG ?=r u u u r ，又直线FG 不在平面BOE 内，因此有//FG 平面BOE

（II ）设点M 的坐标为()00,,0x y ，则00(4,,3)FM x y =--u u u u r

，因为FM ⊥平面BOE ，所以

有//FM n u u u u r r ，因此有0094,4x y ==-，即点M 的坐标为94,,04?

?- ??

?，在平面直角坐标系xoy

中，AOB ?的内部区域满足不等式组0

08x y x y >??

，经检验，点M 的坐标满足上述不等式组，

所以在ABO ?内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，由点M 的坐标得点M 到OA ，OB 的距离为94,

4

． 2. 解法１：（１）,,AC AC BD O =I 连设

1.AP B G OG 1与面BDD 交于点，连

1111//,,PC BDD B BDD B APC OG =I 因为面面面

故//OG PC 。所以122

m

OG PC =

=。 又111,,AO DB AO BB AO BDD B ⊥⊥⊥所以面　. 故11AGO AP BDD B ∠即为与面所成的角。

在Rt

△2tan 2

AOG AGO m ==中，

1

3m =. 故当1

3

m =

时，直线AP 11与平面BDD B

（Ⅱ）依题意，要在11A C 上找一点Q ，使得1D Q AP ⊥. 可推测11A C 的中点1O 即为所求的Q 点。

因为1111.D O A C ⊥111D O AA ⊥，所以111.D Q ACC A ⊥面 又11.AP ACC A ?面,故11D O AP ⊥。 从而111D O AD P AP 在平面上的射影与垂直。

解法二：（１）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0), D(0,0,0),B 1(1,1,1),D 1(0,0,1).

所以1(1,1,0),(0,0,1),BD BB =--=u u u u r u u u r

(1,1,),(1,1,0).AP m AC =-=-u u u r u u u r

又由110,0AC BD AC BB AC D D ?=?=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

1知为平面BB 的一个法向量.

设AP 与11BDD B 面　所成的角为θ，

则||sin cos()2||||AP AC AP AC πθθ?=-==?u u u r u u u r

u u u r u u u r

=

13

m =

. 故当1

3

m =

时，直线AP 11与平面BDD B （２）若在11A C 上存在这样的点Q ，设此点的横坐标为x ，

则1

(,1,1),(,1,0)Q x x DQ x x -=-u u u u r

。 依题意，对任意的m 要使D1Q 在平面APD1上的射影垂直于AP 。等价于

11AP 10(1)02

D Q AP D Q x x x ⊥??=?+-=?=u u u u r u u u r u u u u r

即Q 为11A C 的中点时，满足题设的要求.

3. (Ⅰ) 在图甲中，由△ABC 是等边三角形，E ，D 分别为AB ，AC 的三等分点，点G 为BC 边的中点，易知DE ⊥AF ，DE ⊥GF ，

DE I I z y x ,,xyz F -)32,0,0(A )0,3,3(-B )0,2,0(-E )

32,3,3(--=,1,3(-=),,(z y x n =????

?=?=?0

AB n ????

?=+-=--030

3233y x z y x 1=x 3=y 1-=z )1,3,1(-=n )0,0,1(=m 5

5

,cos =

（1）证明：因为AC=BC ，M 是AB 的中点，所以CM⊥AB．

又EA ⊥平面ABC ，所以CM⊥EM．

（2）解：过点M 作MH⊥平面CDE ，垂足是H ，连结CH 并延长交ED 于点F ，连结MF 、MD ，∠FCM 是直线CM 和平面CDE 所成的角．

因为MH⊥平面CDE ，所以MH⊥ED， 又因为CM⊥平面EDM ，所以CM⊥ED， 则ED⊥平面CMF ，因此ED⊥MF．

设EA ＝a ，BD ＝BC ＝AC ＝2a ，

在直角梯形ABDE 中，AB ＝

a ，M 是AB 的中点， 所以DE ＝3a ，EM

，MD

， 得△EMD 是直角三角形，其中∠EMD＝90° 所以MF

＝

EM MD

DE

?=．

在Rt△CMF 中，tan∠FCM =

MF

MC

=1，所以∠FCM=45°， 故CM 与平面CDE 所成的角是45°．

方法二：

如图，以点C 为坐标原点，以CA ，CB 分别作为x 轴和y 轴，过点C 作与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立直角坐标系C-xyz ，设EA=a ，则 A （2a ，0，0）， B （0，2a ，0）， C （2 a ，0，a ），

A （0，2 a ，2 a ）， A （a ，a ，0）. （1）证明：因为EM u u u r =（-a ，a ，-a ），CM u u r

=（a ，a ，0）， 所以

EM u u u r ·CM u u r

=0，

故EM CM ⊥.

（2）解：设向量n=（1，o y ，0x ）与平面CDE 垂直， 则n CE ⊥u u r

，n CD ⊥u u r

，

即·n

CE u u r =0，·n CD u u r

=0.

因为E C u u r =（2a,0,a ）, CD u u r

=(0,2a,2a),

所以y 0=2，z 0=-2， 即n=（1，2，-2），

cos ,2

CM n n CM M n

<>==

u u r

u u r

g u r

g ， 直线CM 与平面CDE 所称的角是45°. 5. 方法一：

（Ⅰ）证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结DG ， 可得四边形BCGE 为矩形， 又ABCD 为矩形，

D

A B E

F

C

H

G

所以AD EG

∥，从而四边形ADGE 为平行四边形， 故AE DG ∥．

因为AE ?平面DCF ，DG ?平面DCF ， 所以AE ∥平面DCF ．

（Ⅱ）解：过点B 作BH EF ⊥交FE 的延长线于H ，连结AH ． 由平面ABCD ⊥平面BEFC ，AB BC ⊥，得 AB ⊥平面BEFC ， 从而AH EF ⊥．

所以AHB ∠为二面角A EF C --的平面角．

在Rt EFG △

中，因为EG AD ==2EF =，所以60CFE ∠=o

，1FG =．

又因为CE EF ⊥，所以4CF =， 从而3BE CG ==．

于是sin BH BE BEH =∠=g ．

因为tan AB BH AHB =∠g ，

所以当AB 为92

时，二面角A EF C --的大小为60o

．

方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CB CF ，和CD 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -． 设AB a BE b CF c ===，，，

则(000)C ，，

，)A a ，

，0)B ，

，0)E b ，，(00)F c ，，． （Ⅰ）证明：(0)AE b a =-u u u r ，，

，0)CB =u u u r ，，(00)BE b =u u u r

，，， 所以0CB CE =u u u r u u u r g

，0CB BE =u u u r u u u r

g ，从而CB AE ⊥，CB BE ⊥， 所以CB ⊥平面ABE ．

因为CB ⊥平面DCF ，

所以平面ABE ∥平面DCF ． 故AE ∥平面DCF ．

（Ⅱ）解：因为(0)EF c b =-u u u r ，

，0)CE b =u u u r

，

， 所以0EF CE =u u u r u u u r g ，||2EF =u u u r

，从而

3()02b c b -+-=?=，，

解得34b c ==，．

所以0)E ，，(040)F ，，．

设(1)n y z =，，与平面AEF 垂直，

则0n AE =u u u r g ，0n EF =u u u r

g ，

解得(1n =． 又因为BA ⊥平面BEFC ，(00)BA a =u u u r

，

，，

所以||1

|cos |2

||||BA n n BA BA n <>===u u u r

u u u r g u u u r g ，， 得到9

2

a =

． 所以当AB 为92

时，二面角A EF C --的大小为60o

．

6. 方法一：

（Ⅰ）解：取线段EF 的中点H ，连结A H ' 因为A E A F ''=及H 是EF 的中点， 所以A H EF '⊥

又因为平面A EF '⊥平面BEF ，及A H '?平面.A EF ' 所以A H '⊥平面BEF 。

如图建立空间直角坐标系.A xyz -

则(2,2,(10,8,0),(4,0,0),(10,0,0).A C F D '

故(2,2,(6,0,0)FN FD =-=u u u r u u u r

设(,,)n x y z =r

为平面A FD '的一个法向量

所以22060

x y x ?-++=??=??

取(0,z n ==-r

则

又平面BEF 的一个法向量(0,0,1)m =u r

故cos ,3||||

n m n m n m ?<>==

?r u r

r u r r u r

所以二面角的余弦值为

3

（Ⅱ）解：设￡?(4,0,0)FM x M x =+则 因为翻折后，C 与A 重合，所以CM=A M '

故222222

(6)80(2)2x x -++=--++，

得214

x =

经检验，此时点N 在线段BG 上 所以21.4

FM =

方法二：

（Ⅰ）解：取截段EF 的中点H ，AF 的中点G ，连结A G '，NH ，GH 因为A E A F ''=及H 是EF 的中点，

所

以

A 'H A '⊥A '⊥AF ?A H AF '⊥AF ⊥AF ⊥A 'A GH '∠A 'Rt A GH

'

?2,A H GH A G ''==

=cos 3

A GH '∠=

A

'3FM x =A 'CM A M

'⊥22222

8(6)CM DC DM x =+=+

-222222222

(2)2A M A H MH A H MG GH x '''=+=++-+++21

4

x =

21

.4

FM =

解：（Ⅰ）证：Q AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴BC⊥AD Q PO⊥平面ABC ∴ PO⊥BC，而PO∩AD=O ∴BC⊥平面ADP ∴AP⊥BC

（Ⅱ）当CM⊥AP 时，二面角A-MC-B 为直二面角，

OB OC ==6PB PC ==

，AB AC ==，5AP =

PAB PAC AMC AMB AM MB ∴∠=∠∴???∴⊥∴AM⊥平面MBC ∴平面A MC⊥平面MBC

cos PAB ∠=

=

cos 3AM PAB AB ∴=∠?==

方法二：

8. （Ⅰ）因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MN 是PBD ?的中位线，所以 //MM BD 又因为MN ?平面ABCD ，所以

//MM 平面ABCD ． （Ⅱ）方法一：

连结AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC ，OD 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示

在菱形ABCD 中，120BAD ∠=?，得

AC AB ==

6BD ==． 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以 PA AC ⊥．

在直角PAC ?

中，AC =

PA =AQ PC ⊥，得 2QC =，4PQ =． 由此知各点坐标如下，

(,0,0)A ，(0,3,0)B -，

,0,0)C ，(0,3,0)D ，

(,0,P

，3

(,,22

M -

-，

3(,,2N

，,0,Q ． 设(,,)x y z =m 为平面AMN 的法向量．

由3,,2AM =-u u u u r

，3,,2

AN =u u u r 知

3

0223

02

x y y -=??

++= 取1x =-，得

,0,1)=-m

设(,,)x y z =n 为平面QMN 的法向量．

由3(,,2QM =-u u u u r

，3(,,2QN =u u u r 知

3062

3

302x y z x y z ?--+=???

?+=??

取5z =，得

0,5)=n 于是

cos ,|||33

?<>=

=

?m n m n m n |． 所以二面角A MN Q --

． 方法二：

在菱形ABCD 中，120BAD ∠=?，得 AC AB BC DA ===

，BD =， 有因为PA ⊥平面ABCD ，所以

PA AB ⊥，PA AC ⊥，PA AD ⊥， 所以PB PC PD ==． 所以PBC PDC ???．

而M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以 MQ NQ =，且11

22

AM PB PD AN =

==． 取线段MN 的中点E ，连结AE ，EQ ，则 AE MN ⊥，QE MN ⊥，

所以AEQ ∠为二面角A MN Q --的平面角．

由AB =

PA = 在AMN ?中，3AM AN ==，1

32

MN BD =

=，得

2

AE =

．

在直角PAC ?中，AQ PC ⊥，得

AQ =2QG =，4PQ =，

在PBC ?中，2225

cos 26

PB PC BC BPC PB PC +-∠=

=?，得

MQ =

=

在等腰MQN ?中，MQ NQ ==3MN =，得

2

QE =

=

．

在AEQ ?中，AE =

，2

QE =，AQ =

222cos 2AE QE AQ AEQ AE QE +-∠==

?．

所以二面角A MN Q --的平面角的余弦值为33

． 9. 方法一：

（Ⅰ）取BD 中点O ，在线段CD 上取点F ，使得3DF FC =，连结OP ，OF ，FQ

因为3AQ QC =，所以//QF AD ，且1

4

QF AD =

． 因为O ，P 分别为BD ，SM 的中点，所以OP 是BDM ?的中位线，

所以//OP DM ，且1

2

OP DM =．

又点M 是AD 的中点，所以//OP AD ，且1

4

OP AD =．

从而//OP FQ ，且OP FQ =．

所以四边形OPQF 为平行四边形，故//FQ QF

又PQ ?平面BCD ，OF ?平面BCD ，所以//PQ 平面BCD ．

（Ⅱ）作CG BD ⊥于点G ，作GH BM ⊥于点H ，连结CH

因为AD ⊥平面BCD ，CG ?平面BCD ，所以AD CG ⊥， 又CG BD ⊥，AD BD D ?=，故CG ⊥平面ABD ，

又BM ?平面ABD ，所以CG BM ⊥．

又GH BM ⊥，CG GH G ?=，故BM ⊥平面CGH ，所以GH BM ⊥，

CH BM ⊥．

所以CHG ∠为二面角C BM D --的平面角，即60CHG ∠=?． 设BDC θ∠=．

在Rt BCD ?

中，cos CD BD θθ==，

cos sin CG CD θθθ==，

2

sin BG BC θθ==．

在Rt BDM ?

中，BG DM HG BM ?==．

在Rt CHG ?

中，3cos tan sin CG CHG HG θ

θ

∠===．

所以tan θ=．

从而60θ=?，即60BDC ∠=?．

方法二：

（Ⅰ）如图，取BD 中点O ，以O 为原点，OD ，OP 所在射线为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz ．

由题意知(02)A

，(00)B ，

，(00)D ． 设点C 的坐标为00(0)x y ，，，因为3AQ QC =u u u r u u u r ，所以00331

()4442Q x y +，，．

因为M 是AD

的中点，故(01)M ．又P 是BM 的中点，故1

(00)2

P ，，．

所以0033

(0)444

PQ x y =+u u u r ，，

． 又平面BCD 的一个法向量为(001)a =r ，

，，故0PQ a ?=u u u r r

． 又PQ ?平面BCD ，所以//PQ 平面BCD ．

（Ⅱ）设()m x y z =u r

，

，为平面BMC 的一个法向量．

由

00(1)

CM x y =-u u u u r

，

，

(01)

BM =u u u u r

知

00)0

x x y y z z ?-++=??

+=??， 取1y =-

，得00

(1y m x +=-u r ．

又平面BDM 的一个法向量为(100)n =r

，

，，于是

||

1

|cos<>|=2

||||

m n m n m n ?==

u r r

u r r u r r ，，

即2

003y x ?+= ??

． （1）

又

BC CD

⊥，所以

CB CD ?=u u u r u u u r

，

故

0000(0)(0)0x y x y -?-=，，，，

即22

002x y +=． （2）

联立（1），（2）

，解得000x y =???=??

022

x y ?=±???

?=??．

所以tan BDC ∠=

=

又BDC ∠是锐角，所以60BDC ∠=?．

10（1）因为//AD BC ，AD ?平面ADEF ，BC ?平面ADEF ，

所以//BC 平面ADEF ， ………………………………3分

又BC ?平面BCEF ，平面BCEF I 平面ADEF EF =， 所以//BC EF ． ………………………………6分

（2）在平面ABCD 内作BH AD ⊥于点H ，

因为DE ⊥平面ABCD ，BH ?平面ABCD ，所以DE BH ⊥， 又AD ，DE ?平面ADEF ，AD DE D =I ，

所以BH ⊥平面ADEF ， 所以BH 是三棱锥B DEF -的高． ………………9分 在直角三角形ABH 中，o 60BAD ∠=，2AB =，所以BH = 因为DE ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，所以DE AD ⊥，

又由（1）知，//BC EF ，且//AD BC ，所以//AD EF ，所以DE EF ⊥，……12分

所以三棱锥B DEF -的体积11111332DEF V S BH ?=??=??? ……14分

11. 如图，以{}

1,,CA CB CC u u u r u u u r u u u u r

为正交基底，建立空间直角坐标系C xyz -．

则(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，1(1,0,2)A ，1(0,1,2)B ，所以1CB u u u r u u u r

1(1,1,2)AB =-u u u u r ，1(1,1,2)BA =-u u u r

． H （第16题图）

F

A C

D E B

（1

）因为111111cos ,CB BA CB BA CB BA ?==

=u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r u u u r 所以异面直线1BA 与1CB

． …………………………4分

（2）设平面1CAB 的法向量为(,,)x y z =m ，

则110,0,

AB CB ??=???=??u u u u r u u u r m m 即20,20,x y z y z -++=??+=?

取平面1CAB 的一个法向量为(0,2,1)=-m ；

所以二面角1B AB C --

． …………………………10分

12. （1）证明：因为1

2

AD BC =

，N 是BC 的中点 所以AD NC =，又//AD BC

所以四边形ANCD 是平行四边形，所以AN DC =

又因为等腰梯形，60ABC ∠=o ，

所以 AB BN AD ==，所以四边形ANCD 是菱形，所以1

302

ACB DCB ∠=

∠=o 所以90BAC ∠=o ，即AC AB ⊥

由已知可知 平面C BA '⊥平面ABC ， 因为 平面C BA 'I 平面ABC AB =

所以AC ⊥平面ABC ' ……………………4分 （2）证明：因为//AD BC ，//AD BC ''，

,AD AD A BC BC B ''==I I

所以平面//ADD '平面BCC '

又因为C N '?平面BCC ',所以 //C N '平面ADD ' ………………8分 （3）因为AC ⊥平面ABC ',同理AC '⊥平面ABC ，建立如图如示坐标系 设1AB =，

则(1,0,0)B

,C

, C '

，1(2N ，…………………9分

则(BC '=-u u u u r

，(0,CC '=u u u u r

设平面C NC '的法向量为(,,)n x y z =r ，有 0BC n '?=u u u u r r ，0C C n '?=u u u u r r

得

n =r

设平面'ANC 的法向量为),,(z y x m =ρ

，有0,0=?=? 得

)0,1,3(-= ………………12分

所以5

5

cos -=??=n m m n ρρρρ ………………13分

由图形可知二面角A C N C '--为钝角 所以二面角A C N C '--

的余弦值为- …………………14分 13.

（

I

）

∵

AD

12

?

(0,0,1)

n =r

(0,0,0)

Q

P

B (

C -(,,)

M x y

z (,,PM x y z =u u u u

r (1,)MC x y z =---u u u u r PM tMC =u u u u r u u u u

r (1))(x t x y t y z t z =--??=??

=-?

）1t x t y z ?=-?+?

?

=

???=?

?QB =u u u

r

(1t QM t =-+u u u u

r )

m t =u

r

cos30n m n m ??==

=r u r r u r 3t =20．解：（Ⅰ）证明：∵，且， ∴且； …1分

又由，可知

∵，∴是等腰三角形，且，

∴，即；

…3分

∵底面ABCD 于D ，平面ABCD ，∴， …4分 ∴平面DBF.又∵平面DBF ，∴可得. …6分

（Ⅱ）解：如图，以点C 为原点，直线CD 、CB 、CE 方向为x 、y 、z 轴建系. 可得， …8分

又∵ N 恰好为BF 的中点，∴ . …

设，∴. 又∵，∴可得.

故M为线段CE的中点. …11分

设平面BMF的一个法向量为，

且，

，由可得，

取得. …13分

又∵平面MFC的一个法向量为，…14分

∴.

故所求二面角B-MF-C的余弦值为. …15分