根轨迹法习题及答案
第四章 根轨迹法习题及答案 4-1 系统的开环传递函数为
)4s)(2s)(1s(K)s(H)s(G* 试证明3j1s1在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K和开环增益K。 解 若点1s在根轨迹上，则点1s应满足相角条件 )12()()(ksHsG
，如图所示。
对于31js，由相角条件 )s(H)s(G11)13j1(0
)43j1()23j1( 6320
满足相角条件，因此311js在根轨迹上。 将1s代入幅值条件：
143j123j113j1KsH)s(G*11）（
解出 ： 12K* ， 238KK* 4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出2b时系统的闭环传递函数。
（1）)bs)(4s(02)s(G （2）)bs)(2s(s)b2s(01)s(G
解 (1) )4j2s)(4j2s()4s(b20s4s)4s(b)s(G2
28s6s20)s(G1)s(G)s(2 (2) )10s2s(s)20s2s(b)s(G22=)3j1s)(3j1s(s)19j1s)(19j1s(b 40s14s4s)4s(10)s(G1)s(G)s(23
4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数)bs)(4s(s2)s(G，试绘制参数b从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。 解 )6s(s)4s(b)s(G 根轨迹如图。 2s时4b，
)8s)(2s(s216s10ss2)s(2
4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 ⑴ )1s5.0)(1s2.0(sk)s(G (2) )1s2(s)1s(k)s(G
(3) )3s)(2s(s)5s(k)s(G* (4) )1s(s)2s)(1s(*k)s(G 解 ⑴ )2s)(5s(sK10)1s5.0)(1s2.0(sK)s(G 三个开环极点：0p1,2p2,5p3 ① 实轴上的根轨迹：5,, 0,2
② 渐近线： ,33)1k2(373520aa ③ 分离点： 02d15d1d1 解之得：88.0d1，7863.3d2(舍去)。 ④ 与虚轴的交点： 特征方程为 0k10s10s7s)s(D23
令 010)]j(DIm[0k107)]j(DRe[32
解得7k10 与虚轴的交点（0，j10）。 根轨迹如图所示。
⑵ )21s(s2)1s(K)1s2(s)1s(K)s(G 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹：1,, 0,5.0 ② 分离点： 1d15.0d1d1
解之得：707.1d,293.0d
。
根轨迹如图所示。 ⑶根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹：3,5, 0,2 ② 渐近线： 22)12(02)5(320kaa ③ 分离点： 5131211dddd 用试探法可得 886.0d。 根轨迹如图所示。 (4) 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹：[0, 1],[-1,-2]
②分离点：2d11d11d1d1
求解得：37.1d37.0d21， 根轨迹如图所示。
4-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为 )101s.0)(102s.0(sk)s(G 要求：(1) 绘制系统的根轨迹；(2) 确定系统临界稳定时开环增益k的值； (3) 确定系统临界阻尼比时开环增益k的值。
解 (1) )100s)(50s(sk5000)1s01.0)(1s02.0(sk)s(G ① 实轴上的根轨迹：[0, -50],[-100,-] ② 分离点：0100d150d1d1
求解得87.78d13.21d21， ③ 渐近线：ooaa1806050，， 根轨迹如图所示。 (2) 系统临界稳定时150k750000k*， (3) 系统临界阻尼比时62.9k5.48112k*， 4-6 已知系统的开环传递函数为)20s8s(sk)s(H)s(G2*，要求绘制根轨迹并确定系统阶跃响应无超调时开环增益k的取值范围。 解 )20s8s(sK)s(H)s(G2 ① 实轴上的根轨迹： 0, ② 渐近线：
,33
)1k2(
383)2j4()2j4(0aa
③分离点： 02j4d12j4d1d1
解之得：33.3d,2d
。
④与虚轴交点：ks20s8s)s(D23 把js代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：
020))j(DIm(08k))j(DRe(
32
解得：0k0 160k52 ⑤起始角： 由相角条件632p，633p。
根轨迹如图所示。 所有根为负实根时阶跃响应无超调，此时，16k8.14* 所以8.0k74.0
4-7 单位反馈系统的开环传递函数为)1s74()1s()1s2(k)s(G2， 试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的k值范围。 解 ：根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹： 4/75.0， ② 渐近线：
22)1k2(812)5.0(4/711
aa
③ 与虚轴交点：闭环特征方程为 01ks)710k2(s71s74)s(D23 把js代入上方程，
令074)710K2())j(DIm(0711K))j(DRe(32
解得： 1K0 ， 79K2 根轨迹如图所示。由图可知使系统稳定的K值范围为 79K1。 4-8 已知控制系统的开环传递函数如下，试绘制系统根轨迹（要求求出起始角）。 22)9s4s(2sK)s(H)s(G
）（
解 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹： 2,
② 渐近线：
,33
)1k2(
323)2(5j25j2aa
③ 分离点：2d15j2d25j2d2 解之得：29.3d 71.0d (舍去) ④ 与虚轴交点：闭环特征方程为 02sK)9s4s()s(D22）（ 把js代入上方程，
令08)K72())j(DIm(0K28134))j(DRe(324
解得： 96K21 ⑤ 起始角： ）（）（1k29022901p 解出 135,4521pp 根轨迹如图所示。
4-9 已知系统开环传递函数如下，试分别绘制以a和T为变化参数的根轨迹。 (1) )1s(s)as(4/1)s(G2，0a；(2) )1Ts)(11s.0(s6.2)s(G，0T
解 (1) 2)5.0s(s4/a)s(G ① 实轴上的根轨迹： )0(， ② 渐近线：ooaa180603/1，， ③ 分离点：6/1d 根轨迹如图所示。 (2) 26s10s)10s(Ts)s(G22 ① 实轴上的根轨迹： )0(， ② 起始角终止角：
oop11o180)90(51tg)51tg180(2
解得起始角op7.78 o11oz180)51tg51tg(02 解得终止角oz90 根轨迹如图所示。
4-10 已知系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹， 并求出所有根为负实根时开环增益k的取值范围及系统稳定时k的值。
)18s()1s()1s(k)s(H)s(G2
解 ① 实轴上的根轨迹： ]118[， ② 分离点：22.4d1，28.6d2 ③ 渐近线：5.7a，oa90 ④ 与虚轴交点：j86.1s2,1，7.37k* 根轨迹如图所示。
6.116kd*1处，6.117kd*2处，18/kk* 结论：53.6k48.6时所有根为负实根，095.2k时系统稳定。
第4章 控制系统根轨迹法习题
即： (s −s2)(s −s3) = s2 + s +1
−1+ j 3 则：s2 = 2 −1− j 3 s2 = 2
为系统另外
两个极点的值。 两个极点的值。
(s +2)(s +1 ) (s +2)(s +1 ) s(s +1 ) ϕ(s) = = (s +2)(s +1 s(s +1 +(s +2)(s +1 ) ) ) 1+ s(s +1 ) (s +2)(s +1 ) s +2 = = (2s +2)(s +1 2s +2 )
三.绘制下图所示系统的概略根轨迹，并用根轨迹 绘制下图所示系统的概略根轨迹， 的模值方程确定使系统的三个根均为负实根的 k* 取值范围。 取值范围。
2.系统在欠阻尼状态下，也就是根轨迹在复平面 2.系统在欠阻尼状态下， 系统在欠阻尼状态下 上变化， 上变化，而不在实轴上变化 0 <T <1 3.闭环极点出现重根时，也就是根轨迹在分离点 3.闭环极点出现重根时 闭环极点出现重根时， s1 = s2 =−1 系统此时为临 处，此时闭环极点 界阻尼 T =1 。 则闭环传递函数为： 则闭环传递函数为：
二.系统结构如下图所示： 系统结构如下图所示： 1.绘制T从 0 →∞ 变化的根轨迹。 1.绘制 绘制T 变化的根轨迹。 2.确定系统在欠阻尼状态下T的取值范围。 2.确定系统在欠阻尼状态下 的取值范围。 确定系统在欠阻尼状态下T 3.求闭环极点出现重根时的闭环传递函数。 3.求闭环极点出现重根时的闭环传递函数 求闭环极点出现重根时的闭环传递函数。
解：特征方程为： 特征方程为：
根轨迹例题——精选推荐
根轨迹例题题4-1 求下列各环传递函数所对应的负反馈系统根轨迹。
（1）2(2)()23g K K s W s s s +=++解1）起点：两个开环极点1211p p -=-+-=--。
终点：系统有一个 2 z -=-开环零点。
2）实轴上根轨迹区间为 (2]-∞-，。
3）渐近线计算由公式()()1118012 0,1,2,n mj i j i k n m p z n m μϕμσ==⎧+==⎪-⎪⎪⎨-⎪⎪-=-⎪-⎩∑∑ 求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为180(12)18021μϕ+==-22021k σ--=-=- 4）求分离点，会合点 由'()()'()()0D s N s N s D s -=得223(2)(22)0s s s s ++-++=整理得2410s s ++=解得12s =--22s =-+。
由于实轴上的根轨迹在()2-∞，区间内，所以分离点应为12 3.7s =-≈-。
5）出射角计算由111180n m sc j i j i ββα-==⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑得()11809054.7144.7sc β=--=同理，2144.7sc β=- 。
根轨迹如图4-1所示。
图4-1 题4-1(1) 根轨迹图（2）)22)(2()(2+++=s s s s K s W gK解1） 起点：系统四个开环极点为12340,2,1,1p p p j p j -=-=--=---=-+；终点：四个无限零点。
2） 渐近线计算由公式()()1118012 0,1,2,n mj i j i k n m p z n m μϕμσ==⎧+==⎪-⎪⎪⎨-⎪⎪-=-⎪-⎩∑∑求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为180(12)451354o μϕ+==±± 、21114k σ+-=-=-＋ 3） 分离点，会合点计算'()()'()()0D s N s N s D s -=整理得 3 (1)0s += 解得1,2,3 1s =- 4） 出射角计算由111180n m sc j i j i ββα-==⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑得()1180901354590sc β=-++=-同理，290sc β=+ 。
第四章 根轨迹法4-1
C (s)
G (s)
闭环特征方程： 或
1 G (s)H (s) 0
H (s)
G (s)H (s) 1
由于
G (s)H (s)
是复数，可以用向量表示:
j arg G s H s
G s H s e
1e
j 2 k 1
, k 0 ,1, 2 ,
稳态特性 开环传递函数在坐标原点有一个极点，所以 属I型系统，根轨迹上的值就是Kv。如果已知ess，则在根 轨迹图上可以确定闭环极点取值的容许范围。
7
7
分析表明，根轨迹与系统性能之间有着较密切的 联系。然而，对于高阶系统，用解析的方法绘制系统 根轨迹图，显然是不适用的。我们希望能有简便的图 解方法，迅速绘出闭环系统的根轨迹。
c (t )
2
0
t
系统性能与闭环极点（即闭环特征方程 的根）在s平面上的位置有密切关系。
1
r (t )
0
t
c (t )
0
t
3
4.1 根轨迹的定义与幅相条件
4.1.1 根轨迹的定义 例 设一系统
闭环传递函数 特征方程 特征方程的根：
(s)
K s sK
2
s sK 0
2
s 1, 2 0 . 5 0 . 5 1 4K
16
arctan(
) arctan( ) arctan( ) 2 1
即：
arctan(
2
) arctan(
) arctan(
1
)
第4章根轨迹法[4.3-4.5]
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as 1 2 0 s K
令
as G02 ( s ) 2 s K
G02 ( s) 的开环 ) 比较 G01 (s)与G02 (s，可知 极点就是 G01 ( s) 对应的闭环极点，因而 G02 (s) 对应根轨迹的起点都在 G01 ( s) 的根轨迹曲 线上。为了做出 G02 ( s)对应的根轨迹，通 常先令K为某一定值，然后根据 G02 ( s) 零、 极点的分布做出参变量 a由0 时的 根轨迹。如令K=4，则
C ( s) G ( s) R( s) 1 G ( s) H ( s)
相应的特征方程为
1 G( s) H ( s ) 0
即
G( s) H ( s) 1
(4-40)
由上式可知，正反馈回路根轨迹的幅 值条件与负反馈回路完全相同，但其相 角却变为
arg[G(s) H (s)] 2k ，k 0,1, 2,
用例4-3的方法，不难证明该系统根轨迹的复数部 分为一圆弧，其方程为 该系统的根轨迹。
。图 2 4-15为
2 2 2
图4-15 例4-5的根轨迹
在系统设计中有时会遇到两个或两个以上 可变参数的情况，这类问题也可以用根轨 迹方法来研究。下面的例子说明有两个可 变参数时如何绘制根轨迹。 例4-6 一单位反馈控制系统如图4-16所示， a 试绘制以K和 为参变量的根轨迹。
非最小相位系统 nonminimum-phase system
在平面右半平面具有开环极点(或零点)的反馈系统，称 为非最小相位系统(nonminimum-phase system)，反之 若反馈系统的全部开环极点与零点均位于平面左半平面， 则称这类系统为最小相位系统。上面涉及的系统都属于 最小相位系统。 绘制非最小相位系统根轨迹的基本规则与绘制最小相位 系统根轨迹的基本规则完全相同。在控制工程中出现非 最小相位系统，通常有如下三种情况。 (1) 系统中存在局部的正反馈回路。 (2) 系统中含有非最小相位元件。 (3) 系统中含有滞后环节。 在这三种情况下，系统根轨迹绘制的规则与上述的绘制 规则有所不同，下面分别给予说明。
时域分析法与根轨迹练习题
1． 自动控制系统对输入信号的响应，一般都包含两个分量，即一个是____________，另一个是__________分量。
2． 函数f(t)=te63-的拉氏变换式是________________________________。
3． 积分环节的传递函数表达式为G （s ）=_________________________。
4．在斜坡函数的输入作用下，___________型系统的稳态误差为零。
四、控制系统结构图如图2所示。
（1）希望系统所有特征根位于s 平面上s ＝－2的左侧区域，且ξ不小于0.5。
试画出特征根在s 平面上的分布范围（用阴影线表示）。
（2）当特征根处在阴影线范围内时，试求,K T 的取值范围。
（20分）五、已知系统的结构图如图3所示。
若()21()r t t =⨯时，试求（1）当0f K =时，求系统的响应()c t ，超调量%σ及调节时间s t 。
（2）当0f K ≠时，若要使超调量%σ＝20％，试求f K 应为多大？并求出此时的调节时间s t 的值。
（3）比较上述两种情况，说明内反馈f K s 的作用是什么？ （20分）图3六、系统结构图如图4所示。
当输入信号()1()r t t =，干扰信号()1()n t t =时，求系统总的稳态误差e ss 。
（15分）图41、 根轨迹是指_____________系统特征方程式的根在s 平面上变化的轨迹。
2、 线性系统稳定的充分必要条件是闭环传递函数的极点均严格位于s______________半平面3、在二阶系统中引入比例-微分控制会使系统的阻尼系数________________。
9、已知单位反馈系统的开环传递函数50 ()(0.11)(5)G ss s s=++，则在斜坡信号作用下的稳态误差为_________。
3、某控制系统的方框图如图所示，试求(16分)(1)该系统的开环传递函数)(sGk、闭环传递函数)()(sRsC和误差传递函数)()(sRsE。
根轨迹绘制例题
Im 4
2 三重 极点 -4 -2 0 -2 Re
-6.65 -6
-4
2．当－∞≤kg≤0时，绘制0o等相角根轨迹。
实轴上的根轨迹区间为：[-3，-1]和[0，+∞) 渐近线：开环极点数-开环零点数=1，则该根轨迹有一条 渐进线。渐进线的倾角为： 2k 0 nm 分离（会合）点：计算方法如1。s=-6.65不在根轨迹上， 应该舍去。 s=-1.35是会合点。
实轴上的根轨迹区间为： [-4，0]
根轨迹的渐近线：开环极点与开 环零点的数目相同，该根轨迹没有 渐进线。
z2
-4
p1
Im
116.57 1 Re 0
1
2
-3 -2 实轴上根轨迹
z1
-1
1
p2
-1
分离（会合）点：令 s4 kgs ' 2 1 N( s )2 s4 N (s )s 4 s 2 s 2 s2 2 ' D ( s ) s 2 s 2 D ( s )2 s 2 2 ' ' 代入方程 N 有： ( s ) D ( s ) N ( s ) D ( s ) 0 s 2 s 4 0
根轨迹与虚轴的交点：
2 1 k ) s ( 2 4 k ) s 2 0 系统的闭环特征方程为： ( g g
劳斯阵列如下： s2 1 kg 2
s1 2 4k g 0 s0 2 0 由于kg≥0，劳斯阵列中没有全为零的行。所以，根 轨迹与虚轴没有交点。根轨迹如下：
Im 1 -1.24 -4 -3 -2 -1 0 -1 Re
2 三重 极点 -4 -2 0 -2 Re
根轨迹选择题练习
1. 设系统开环传递函数为：12*()()H(s)=
(22)
K s z G S s s s -++当附加的开环实数零点1z 趋近无穷时，对应的根轨迹图为
2. 选出下例中正确的根轨迹图是
3. 下面关于稳定性的叙述不正确的有
A. 如果闭环极点全部位于S 左半平面，则系统一定是稳定的。
B. 系统稳定只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置无关。
C. 附加位置适当的开环零点，可以改善系统的稳定性能。
D. 线性系统的稳定性与输入信号的类型有关。
4. 系统的瞬态响应的基本特征取决于系统（）在S 复平面上的位置。
A. 开环零点
B.开环极点
C. 闭环零点
D.闭环极点
5．选出下例中正确的根轨迹图是
6．选出下例中正确的根轨迹图是
7．选出下例中正确的根轨迹图是
8．选出下例中正确的根轨迹图是
9．选出下例中正确的根轨迹图是。
自动控制_根轨迹(例题)
n
m
n
m
nm
j 1
i 1
nm
这是与实轴交点为－，斜率为 tg
(2k 1) nm
是渐近线方程。渐近线与实轴的夹角(称为渐近线的倾斜角为
k 0,1,2
( 2k 1) 的直线方程。也就 nm
180
0
n m 1
nm 2
90 0
和
实轴上的会合点和分离点的求法
由此得： D( d ) K gd N ( d ) 0 ' ' D ( ) K N ( d ) 0 d gd 即：
N ' ( s ) D( s ) N ( s ) D ' ( s ) 0 D( s ) K gd N ( s) s d
二．根据相角条件确定根轨迹上的点
设某一系统的开环零极点如图，在Ｓ 平面中的任意一点 S0 ，用相角条件可
s0
O
× p2
以判断 S0 是不是根轨迹的点。
1、从 S0 到各零极点连直线
2、用量角器量 (s0 p1 )，…等各个角 3、将量好的值代入（＊＊）式，若等
式成立，则 S0 就是根轨迹上的点
j 1 i 1 i
当 Kg= 0 时，有 s = pj ( j =1, 2, … , n) 上式说明Kg= 0时，闭环特征方程的根就是开环极点。
将特征方程改写为：
1 Kg
(s p ) (s z ) 0
j 1 j i 1 i
n
m
当 Kg 时，有
s = zi
( i =1, 2, … , m)
z1
o
自控原理练习题-根轨迹40
1， GH=)4S 3(S )2S 1(102-+，画反馈系统根轨迹，求渐进线交点，夹角 2， GH=)4S 3(S )2S 1(102--，画反馈系统根轨迹，求渐进线交点，夹角3， P={-1,-2±j1,-3}，Z={-2}，画正反馈系统根轨迹，求渐进线交点，夹角4， P={-1,-2±j1,-3}，Z={-2}，画负反馈系统根轨迹，求渐进线交点，夹角5， P={-1,-2±j1,-3}，Z={-2}，画负反馈系统根轨迹，求出射角6， P={-1,-2±j1,-3}，Z={-2}，画正反馈系统根轨迹，求出射角7， P={-1,-2±j1,-2}，Z={-3}，画负反馈系统根轨迹，求出射角8， P={-1,-2±j1,-2}，Z={-3}，画正反馈系统根轨迹，求出射角9， P={-1,-3,-3}，Z={-2±j1}，画正反馈系统根轨迹，求入射角10， P={-1,-3,-3}，Z={-2±j1}，画负反馈系统根轨迹，求入射角11， P={-1,-3,-3}，Z={-2±j1}，画正反馈系统根轨迹，求入射角12， P={-1,-3,-3,-3}，Z={-2±j1}，画正反馈系统根轨迹，求入射角13， P={-1,-3,-3,-3}，Z={-2±j1}，画负反馈系统根轨迹，求入射角14， P={-1,-1,-1,-3}，Z={-2±j1}，画正反馈系统根轨迹，求入射角15， P={-1,-1,-1,-3}，Z={-2±j1}，画负反馈系统根轨迹，求入射角16， P={±j1,0}，Z={-2±j1}，画正反馈系统根轨迹，求出、入射角17， P={±j1,0}，Z={-2±j1}，画负反馈系统根轨迹，求出、入射角18， P={±j1}，Z={-2±j1}，画正反馈系统根轨迹，求出、入射角19， P={±j1}，Z={-2±j1}，画负反馈系统根轨迹，求出、入射角20， P={0,-1,-2,-3,-4}，画负反馈系统根轨迹，求渐进线交点，夹角21， P={0,-1,-2,-3,-4}，画正反馈系统根轨迹，求渐进线交点，夹角22， P={0,-1,-2}，画正反馈系统根轨迹，求分合点23， P={0,-1,-2}，画负反馈系统根轨迹，求虚轴交点24， P={2,0,-2}，画正反馈系统根轨迹，求分合点25， P={2,0,-2,-2}，Z={-1}，画负反馈系统根轨迹，求虚轴交点26， P={-2,-2,-2,-2}，Z={-1}，画正反馈系统根轨迹，求渐进线交点，夹角27， P={-2,-2,-2,-2}，Z={-1}，画负反馈系统根轨迹，求渐进线交点，夹角28， P={-2,-2,-2,-2}，Z={-1}，正反馈系统，问(-1+j3)是否在根轨迹上29， P={-2,-2,-2,-2}，Z={-1}，负反馈系统，问(-1+j3)是否在根轨迹上30， P={-2,-2,-2,-2}，Z={-1}，正反馈系统，问(-10+j30)是否在根轨迹上, Σθ=?31， P={-2,-2,-2,-2}，Z={-1}，负反馈系统，问(-10+j30)是否在根轨迹上,Σθ=?32， P={0,0}，Z={-5}，负反馈系统，求阻尼比=0.5的闭环根33， P={-1±j10}，Z={-5}，负反馈系统，求阻尼比=0.5的闭环根34， P={-2,-2,-2,-50}，Z={-50.1}，正反馈系统，求Kg=10时的全部闭环根35， P={-2,-2,-2,-2}，正反馈系统，求Kg=10时的全部闭环根36， P={-2,-2,-2,-2}，负正反馈系统，求Kg=20时的全部闭环根37， GH= -）（2S S AS 1++，画广义根轨迹 38， GH= -2S AS1+，画广义根轨迹39， GH= -）（A S S S 1++，画广义根轨迹 40， GH= -）（2S S A S ++，画广义根轨迹。
自动控制原理-题库-第四章-线性系统根轨迹-习题
4-1将下述特征方程化为适合于用根轨迹法进行分析的形式，写出等价的系统开环传递函数。
（1）210s cs c +++=，以c 为可变参数。
（2）3(1)(1)0s A Ts +++=，分别以A 和T 为可变参数。
（3）1()01I D P k k s k G s ss τ⎡⎤+++=⎢⎥+⎣⎦，分别以P k 、I K 、T 和τ为可变参数。
4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为(31)()(21)K s G s s s +=+试用解析法绘出开环增益K 从0→+∞变化时的闭环根轨迹图。
4-2已知开环零极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。
4-3设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求确定分离点坐标）。
（1）()(0.21)(0.51)KG s s s s =++（2）(1)()(21)K s G s s s +=+（3）(5)()(2)(3)K s G s s s s +=++4-4已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求算出起始角）。
（1）(2)()(12)(12)K s G s s s j s j +=+++-（2）(20)()(1010)(1010)K s G s s s j s j +=+++-4-5设单位反馈控制系统开环传递函数如为*2()()(10)(20)K s z G s s s s +=++试确定闭环产生纯虚根1j ±的z 值和*K 值。
4-6已知系统的开环传递函数为*22(2)()()(49)K s G s H s s s +=++试概略绘出闭环根轨迹图。
4-7设反馈控制系统中*2()(2)(5)KG s s s s =++（1）设()1H s =，概略绘出系统根轨迹图，判断闭环系统的稳定性（2）设()12H s s =+，试判断()H s 改变后的系统稳定性，研究由于()H s 改变所产生的影响。