根轨迹法习题及答案
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第四章 根轨迹法习题及答案
4-1 系统的开环传递函数为 )
4s )(2s )(1s (K
)s (H )s (G *
+++=
试证明3j 1s 1+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。
解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件
π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图所示。
对于31j s +-=，由相角条件 =∠)s (H )s (G 11-++-∠-)13j 1(0
=
++-∠-++-∠)43j 1()23j 1(
π
π
π
π
-=-
-
-
6
3
2
满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。 将1s 代入幅值条件：
14
3j 123j 113j 1K
s H )s (G *
11=++-⋅++-⋅++-=
）（
解出 ： 12K *
= ， 2
38
K K *
=
=
4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出2b =时系统的闭环传递函数。 （1）)
b s )(4s (02)s (G ++=
（2）)
b s )(2s (s )b 2s (01)s (G +++=
解 (1) )4j 2s )(4j 2s ()
4s (b 20s 4s )4s (b )s (G 2
-++++=
+++=
'
28
s 6s 20
)
s (G 1)
s (G )s (2
++=
+=
Φ
(2) )
10s 2s (s )20s 2s (b )s (G 22
++++=
'=
)
3j 1s )(3j 1s (s )
19j 1s )(19j 1s (b -+++-+++
40
s 14s 4s )4s (10)
s (G 1)s (G )s (2
3
++++=
+=
Φ
4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数)
b s )(4s (s 2)s (G ++=
，试绘制参数b 从零变
化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。 解 )
6s (s )4s (b )s (G ++=
'
根轨迹如图。 2s -=时4b =， )
8s )(2s (s 216
s 10s s 2)s (2
++=
++=Φ
4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。
⑴ )
1s 5.0)(1s 2.0(s k
)s (G ++=
(2) )
1s 2(s )1s (k )s (G ++=
(3) )
3s )(2s (s )5s (k )s (G *
+++=
(4) )
1s (s )
2s )(1s (*k )s (G -++=
解 ⑴ )
2s )(5s (s K 10)
1s 5.0)(1s 2.0(s K
)s (G ++=
++=
三个开环极点：0p 1=,2p 2-=,5p 3-= ① 实轴上的根轨迹：(]5,-∞-, []0,2- ② 渐近线： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧ππ±=π+=ϕ-=--=σ,33)1k 2(3
73520a
a
③ 分离点：
02
d 15
d 1d 1=++
++
解之得：88.0d 1-=，7863.3d 2-(舍去)。 ④ 与虚轴的交点： 特征方程为
0k 10s 10s 7s )s (D 2
3
=+++=
令 ⎩⎨⎧=ω+ω-=ω=+ω-=ω0
10)]j (D Im[0k 107)]j (D Re[3
2 解得⎩⎨
⎧==
ω7
k 10
与虚轴的交点（0，j 10±）
。 根轨迹如图所示。
⑵ )
21s (s 2)1s (K )
1s 2(s )1s (K )s (G +
+=
++=
根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：(]1,-∞-, []0,5.0- ② 分离点：
1
d 15
.0d 1
d
1+=
++
解之得：707.1d ,293.0d -=-=。 根轨迹如图所示。
⑶根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：[]3,5--, []0,2- ② 渐近线： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
±=+==----=22)12(02
)5(320ππϕσk a a
③ 分离点：
5
13
12
11+=
++
++
d d d d
用试探法可得 886.0-=d 。 根轨迹如图所示。
(4) 根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：[0, 1],[-1,-2] ②分离点：
2
d 11
d 11
d 1d 1++
+=
-+
求解得：37.1d 37.0d 21-==， 根轨迹如图所示。
4-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为 )
101s .0)(102s .0(s k
)s (G ++=
要求：(1) 绘制系统的根轨迹；(2) 确定系统临界稳定时开环增益k 的值； (3) 确定系统临界阻尼比时开环增益k 的值。 解 (1) )
100s )(50s (s k 5000)
1s 01.0)(1s 02.0(s k
)s (G ++=
++=
① 实轴上的根轨迹：[0, -50],[-100,-∞] ② 分离点：
0100
d 150
d 1d 1=++
++
求解得87.78d 13.21d 21-=-=，
③ 渐近线：o o a a 1806050，
，±=ϕ-=σ 根轨迹如图所示。
(2) 系统临界稳定时150k 750000k *
==， (3) 系统临界阻尼比时62.9k 5.48112k *==，