运筹学08-整数规划
运筹学：整数规划习题与答案
一、单选题1、下列说法正确的是（）。
A.分枝定界法在处理整数规划问题时，借用线性规划单纯形法的基本思想，在求相应的线性模型解的同时，逐步加入对各变量的整数要求限制，从而把原整数规划问题通过分枝迭代求出最优解B.用割平面法求解整数规划问题，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解C.用分枝定界法求解一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界，再进行比较剪枝D.整数规划问题最优值优于其相应的线性规划问题的最优值正确答案：A2、整数规划的最优解中，决策变量满足（）。
A.决策变量不是整数B.没有要求C.决策变量至少有一个是整数D.决策变量必须都是整数正确答案：D3、下列（）可以求解指派问题。
A.梯度法B.牛顿法C.单纯形法D.匈牙利法4、整数规划中，通过增加线性约束条件将原规划可行域进行切割，切割后的可行域的整数解正好是原规划的最优解的方法是（）。
A.隐枚举法B.0-1规划法C.分支定界法D.割平面法正确答案：D5、标准指派问题（m人，m件事）的规划模型中，有（）个决策变量。
A.都不对B. m*mC. mD.2m正确答案：B二、判断题1、匈牙利法可以直接求解极大化的指派问题。
（）正确答案：×2、整数规划的可行解集合是离散型集合。
（）正确答案：√3、用分支定界法求一个极大化的整数规划时，任何一个可行解的目标函数值是该问题的目标函数值的下界。
（）4、用分支定界法求一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可以任取一个作为下界值，在进行比较和剪枝。
（）正确答案：×5、用割平面求纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量都取整数。
（）正确答案：√。
第八章：整数规划
分枝定界法
例 maxZ= 6x1 +5 x2
2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数
• 第一步,不考虑变量的整数约束,求相应LP(问题1)的最优解：
x1=28/9，x2 =25/9，Z1=293/9
• 第二步,定界过程
这个解不满足整数约束，这时目标函值Z1是整数规划的目标上界； 因为x1=x2=0是整数规划问题的可行解，所以下界为0。
16
分枝定界法
问题6：maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1≤3 x2 ≥3 x1≤2 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数 问题7： maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1 ≤3 x2 ≥3 x1 ≥ 3 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数
• 第六步，定界过程
LP4的解满足整数约束，不必再分枝，它的目标函数值是28， 小于原有下界29，则下界仍为29； 现有上界为未分枝子问题中目标函数最大值，即为159/5。 LP5的解仍不满足整数约束的要求，它的目标函数值159/5大于 现有下界29，则应继续分枝。
• 第七步，分枝过程
将不满足整数约束的变量x1 进行分枝，构造两个新的约束条件： x1≤ [14/5]=2，x1≥ [14/5] +1=3
3 2 1
• • •
1
• • பைடு நூலகம் •
2x1 + 3 x2 =14.66
• •
• •
2x1 +3 x2 =14
2 +3 x =6 2x1 3 2 4
第8章_整数规划(带答案)
1 2 3 4 5 6
1 2 3 0 10 16 10 0 24 16 24 0 28 32 12 27 17 27 20 10 21
4 28 32 12 0 15 25
5 27 17 27 15 0 14
6 20 10 21 25 14 0
18
二、背包问题（补充）
背包可装入 8 单位重量， 10 单位体积物品。若 背包中每件物品至多只能装一个，怎样才能使背包 装的物品价值最高。 物品 名称 重量 体积 价值
4
§1 整数规划的图解法
例1. 某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物， 这两种货物每件的体积、重量、可获利润以及 托运所受限制如表所示。
货物
甲 乙 托运限制
每件体积 (立方米) 195 273 1365
每件重量 (百千克) 4 40 140
每件利润 （百元） 2 3
甲种货物至多托运 4 件，问两种货物各托运多 少件，可使获得的利润最大。
例6．有四个工人，要分别指派他们完成四项 不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间 如下表所示，问应如何指派工作，才能使总 的消耗时间为最少。
工作 工人 甲 乙 丙 丁 A 15 19 26 19 B 18 23 17 21 C 21 22 16 23 D 24 18 19 17
1 2 3 4 5 6
1 2 3 0 10 16 10 0 24 16 24 0 28 32 12 27 17 27 20 10 21
4 28 32 12 0 15 25
5 27 17 27 15 0 14
6 20 10 21 25 14 0
第2个地区建一个（地区1、2、6都解决了）
第4个地区建一个（地区3、4、5都解决了）
运筹学第5章：整数规划
则问题可表示为：
max z c j x j
j 1 n
n a j x j B j 1 x1 x2 0 s.t. x3 x4 1 x x x 2 7 5 6 x j 0或1 j 1,2, , n 【例5-3】工厂A1和A2生产某种物资，由于该种物资供不应 求，故需要再建一家工厂，相应的建厂方案有A3和A4两个。这 种物资的需求地有B1、B2、B3、B4四个。各工厂年生产能力、各 地年需求量、各厂至各需求地的单位物资运费cij(j=1,2,3,4) 见表5-2。
三、割平面法的算法步骤
步骤1：将约束条件系数及右端项化为整数，用单纯形法求 解整数规划问题(ILP)的松弛问题(LP)。设得到最优基B，相应 的基最优解为X*。 步骤2：判别X*的所有分量是否全为整数？如是，则X*即为 (ILP)的最优解，算法终止；若否，则取X*中分数最大的分 量 x * ，引入割平面(5.7)。
表5-2
Ai cij A1 A2 Bj B1 2 8 B2 9 3 B3 3 5 B4 4 7 生产能力 (千吨/年) 400 600
A3
A4 需求量(千吨/年)
7
4 350
6
5 400
1
2 30025 150200200工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万元或 1500万元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年 的总费用(即全部物资运费和新工厂生产费用之和)最少。
一般来说，整数线性规划可分为以下几种类型：
1. 纯整数线性规划(Pure Integer Linear Programming)： 指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划，也称为全整 数规划。 2. 混合整数线性规划(Mixed Integer Linear Programming)：指决策变量中一部分必须取整数值，而另一部 分可以不取整数值的整数线性规划。 3. 0-1整数线性规划(Zero-one Integer Linear Programming)：指决策变量只能取0或1两个值的整数线性规划。
运筹学概论 第5章 整数规划
匈牙利法解题步骤如下：
于是建立下列模型:
xi=0或1, i=1,2,…,8
课堂练习
• 某钻井队要从10个可供选择的井位中确定5个钻 井探油，使总的钻探费用最少。若10个井位的代 号为s1－s10，相应的钻探费用为c1－c10，并且 井位选择应满足以下条件：
• 1) s1，s4，s5，s10井位中最多选择两个。 • 2) s2，s8，s9井位中最少选择一个 • 3) 如s3和s5都选择，则s8不选择 • 4) s6号和s7井位至少有一个不选择 • 建立该问题的数学模型。
第5章 整数规划
第一节 整数规划的数学模型及解的特点
在求解线性规划问题时，得到的最优解可能 是分数或小数，但许多实际问题要求得到的解为 整数才行。这种要求线性规划有整数解的问题,称
为整数规划(Integer Programming)或简称IP。
整数规划的数学模型
n
max(minf)(x) cjxj
指派问题的每个可行解，可用矩阵表示如下：
x11
X
(xi j )nn
x21
xn1
x12 x22 xn2
x1n
x2n
xnn
矩阵X中，每行各元素中只有1个元素为1,其余各 元素等0；每列各元素中也只有1个元素为1,其余各元 素等0 。
指派问题有n！个可行解。
例1 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄 四种文字。分别记作E、J、G、R。现有甲、乙、丙、 丁四人，他们将中文说明书翻译成不同语种的说明书 所需时间如下表。问应指派何人去完成何工作，使所 需总时间最少？
运筹学中整数规划问题的近似算法
运筹学中整数规划问题的近似算法近似算法在运筹学中整数规划问题的解决中起着重要的作用。
整数规划问题是指决策变量为整数的最优化问题，它在实际问题中具有广泛的应用，如物流配送、生产调度以及网络优化等领域。
然而，由于整数规划问题的困难性，寻求精确解的方法可能需要耗费大量的时间和计算资源。
因此，近似算法成为一种有效的求解整数规划问题的方式。
一、整数规划问题的定义与特点整数规划问题可以定义为在约束条件下，目标函数为整数线性函数的最优化问题。
它与线性规划问题相比，多了一个要求决策变量为整数的限制条件。
这使得整数规划问题的解空间不连续，增加了问题的难度。
二、整数规划问题的近似算法分类在运筹学领域，有多种近似算法被提出来解决整数规划问题。
根据算法的思想和方法，这些算法可以分为以下几类：1. 分支定界算法分支定界算法是一种广泛运用于整数规划问题求解的近似算法。
该算法的基本思想是通过将整数规划问题分解为多个子问题，并对每个子问题进行线性规划求解。
通过对每个子问题的目标函数值进行判断和优化，最终得到整数规划问题的近似解。
2. 近似拉格朗日算法近似拉格朗日算法是一种基于拉格朗日乘子法的近似算法。
该算法的核心思想是通过求解相应的拉格朗日松弛问题来逼近整数规划问题的最优解。
这种方法可以有效地简化整数规划问题的复杂度，提高问题求解的效率。
3. 启发式算法启发式算法是一种利用经验或专业知识来指导求解过程的近似算法。
它不保证可以找到问题的最优解，但可以快速找到较好的解。
常见的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法和蚁群算法等。
三、近似算法的优缺点近似算法在解决整数规划问题中具有以下优点：1. 时间复杂度低：与精确算法相比，近似算法可以大大减少计算时间，加快问题的求解速度。
2. 解的质量较高：虽然近似算法不能保证找到问题的最优解，但通常能够找到接近最优解的较好解。
然而，近似算法也存在一些缺点：1. 解的质量不能保证：近似算法在求解整数规划问题时，无法提供问题的最优解。
运筹学 第五章 整数规划
M是足够大的整数，y 是0-1变量
14
f(x)-5 0
f(x) 0
(1)
(2)
-f(x)+5 M（1-y)
f(x) My
(3)
(4)
当y=1时,(1)(3)无差别,(4)式显然成立;
当y=0时,(2)(4)无差别,(3)式显然成立。
以上方法可以处理绝对值形式的约束
f(x) a (a>0)
31
5.1 分枝定界法 （Branch and Bound Method)
原问题的松驰问题： 任何整数规划（IP），凡放弃某些约束 条件（如整数要求）后，所得到的问题 （P） 都称为（IP）的松驰问题。 最通常的松驰问题是放弃变量的整数性 要求后，（P）为线性规划问题。
32
去掉整数约束,用单纯形法 IP LP
23
解法概述
当人们开始接触整数规划问题时，常会有 如下两种初始想法： 因为可行方案数目有限，因此经过穷举 法一一比较后，总能求出最好方案，例如， 背包问题充其量有2n种方式，实际上这种 方法是不可行。
设想计算机每秒能比较1000000个方式，那 么比较完260种方式，大约需要360世纪。
24
先放弃变量的整数性要求，解一个 线性规划问题，然后用“四舍五入” 法取整数解，这种方法，只有在变量 的取值很大时，才有成功的可能性， 而当变量的取值较小时，特别是0-1规 划时，往往不能成功。
Yes xI* = xl*
xl*
判别是否整数解
No 去掉非整数域 多个LP ……
33
分枝定界法步骤
一般求解对应的松驰问题，可能会出现 下面几种情况：
若所得的最优解的各分量恰好是整数， 则这个解也是原整数规划的最优解，计 算结束。
工学运筹学整数规划
第1节 整数规划的数学模型及解的特点
例3：用完全枚举法求解下述整数规划 问题。
max z =x1+4x2 -2x1+3x2≤3 x1+2x2≤8 x1，x2≥0 x1，x2整数
整数规划的松弛问题 不考虑整数条件，由余下的目标函数和
约束条件构成的规划问题。若松弛问 题是一个线性规划，则称该整数规划 为整数线性规划。
第1节 整数规划的数学模型及解的特点
整数线性规划的数学模型
n
max(或 min)z c j x j j 1
n
aij x j
(或 ，或 )bi，i 1，2， ，m
第1节 整数规划的数学模型及解的特点
三、整数规划的解法
例2：某宝石加工厂最近新到6粒大小、质量等级相似 的钻石毛料，管理层有两种选择，一是切磨成一般 的皇冠形，每粒可获利2.5千元；一是切磨成虽然 较难切磨但当前市场较流行的心形，每粒可获利4 千元。若切磨成皇冠形则每粒需要5个工作日，若 切磨成心形则每粒需要9个工作日，由于工厂切工 师傅较忙，最多只有45个工作日来做这批工作。另 外，由于毛料自身形状的关系，其中只有4粒毛料 可以切磨成皇冠形，而6粒毛料中任何一粒都可以 切磨成心形。那么，管理层应如何决策才能使这批 钻石获利最大？
第五章 整数规划
Integer Programming
第五章 整数规划
第1节 整数规划的数学模型及解的特点 第2节 分支定界法 第3节 0-1型整数规划 第4节 指派问题
第1节 整数规划的数学模型及解的特点
一、整数规划的含义 要求一部分或全部决策变量必须取整数
运筹学中的整数规划
制作与教学 武汉理工大学管理学院 熊伟
xiongw@
3.1 整数规划的数学模型 Mathematical Model of IP
Ch3 整数规划 Integer Programming
Page 9 2013年6月18日星期二
式中M为充分大的正数。从上式可知，当使用背包时(y1=1， y2=0)，式(b)和(d)是多余的；当使用旅行箱时(y1=0，y2=1)，式 (a)和(c)是多余的。上式也可以令： y
(3-1)
制作与教学 武汉理工大学管理学院 熊伟
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3.1 整数规划的数学模型 Mathematical Model of IP
Ch3 整数规划 Integer Programming
Page 5 2013年6月18日星期二
如果不考虑x1、x2取整数的约束（称为（3-1）的松弛问题）， 线性规划的可行域如图3-1中的阴影部分所示。
1 yj 0 采用第j种加工方式，x j 0时 不采用在第j种加工方式，x j＝0时 j 1, 2,3
数学模型为 min Z (500y1 8x1 ) (800y2 5x2 ) (600y3 7 x3 )
j 1,2,3 x j My j 0 x1 x 2 x3 4000 , x1 1500 x 2 2000 x j 0, y j 1或0，j 1,2,3
j j j j
( x j 0)
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3.1 整数规划的数学模型 Mathematical Model of IP
Ch3 整数规划 Integer Programming
Page 14 2013年6月18日星期二
运筹学 第4章 整数规划与分配问题
匈牙利法思路：若能在 [Cij] 中找出 n 个位于
不同行不同列的0元素(称为独立0元素)，则
令解矩阵[xij]中对应这n个独立0元素的元素
取值为 1 ，其他元素取值为 0 ，则它对应目
标函数zb=0是最小的。这就是以[Cij]为系数
矩阵分配问题的最优解，也得原问题的最
优解。
定理1 若从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去 (或加上)一个常数ui(称为该行的位势)，从每一列分别减去 (或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到一个新效率矩阵 [bij]，若其中bij=cij-ui-vj，则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解
第1步：找出效率矩阵每行的最小元素，并分别从每行
中减去。
第2步：再找出矩阵每列的最小元素，并分别从各列中 减去。
2 10 9 7 2 15 4 14 8 4 13 14 16 11 11 4 15 13 9 4
0 8 7 5 11 0 10 4 0 3 5 0 0 11 9 5
表明m个约束条件中有(m-k)个的右端项为( bi+M )，不起约 束作用，因而，只有k个约束条件起作用。 ② 约束条件的右端项可能是r个值b1 , b2 ,, br 中的某一个 即： 定义：
n
aij x j b1 或b2或或br
j 1
1 假定约束右端项为 bi yi 否则 0
现用下例来说明： max z=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2≤70 x1，x2≥0 x1，x2整数 ① ② ③ ④ ⑤
解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B,①～④(见图5-2)， 得最优解x1=4.81，x2=1.82，z0=356