2020届高三数学(文)“大题精练”2
全国大联考 2020 届高三 2 月联考文科数学试卷
♦ ♦ 全国大联考2020届高三2月联考文科数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号 一 二 三 总分 得分一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合 A ={x |x 2≤x }，B ={x ||x |≥1}，则 A ∩B = A ．∅B ． [0，1]C ．{1}D ． (-∞，+ ∞)2．已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z (1+i)=2i ，则 z = A ．2B ．1+iC ．-1+iD ．1-i3．自改革开放以来，我国综合国力显著提升，人民生活水平有了极大提高，也在不断追求美好生活。
某研究所统计了自 2013 年至 2019 年来空气净化器的销量情况，绘制了如图的统计图．观察统计图，下列说法中不正确的是900 800 700 600♦500 ♦400 300 200 100 100%90% 80% 70%60% 50% 40% 30% 20%10%2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年 2018 年 2019 年 0% 空气净化器销售量（万台 ♦ 同比增长率（%）A ．2013 年——2019 年空气净化器的销售量逐年在增加B ．2017 年销售量的同比增长率最低C ．与 2018 年相比，2019 年空气净化器的销售量几乎没有增长D ．有连续三年的销售增长率超过 30% 4．“0<x <1”是“sin x 2<sin x ”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件♦ ♦222 2 左视图C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．某公司的班车分别在 8:00，8:30 时刻发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 15 分钟的概率是（ ）A ．13B ．38C ．23D ．586．下列函数中，其图像与函数 y = ln x 的图像关于(2,0) 对称的是（）A ． y = - ln(2 - x ) C ． y = - ln(4 + x )7．我国古代木匠精于钻研，技艺精湛， 常常设计出巧夺天工的建筑．在一座宫殿中，有一件特别的“ 柱脚” 的三视图如右图所示，则其体积为 A ．83 +4πB ．83 +8πB ． y = - ln(2 + x ) D ． y = - ln(4 - x )C ．8+4πD ．8+8π8．将函数 f (x ) = sin 2x + 3 cos 2x 的图象向右平移ϕ ( ϕ >0)个单位，再向上平移 1 个单位，所得图象经过点( π8，1)，则ϕ 的最小值为A ．5π12B ．7π12C ．5π24D ． 7π249．已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 作 x 2+y 2=a 2 的切线，交双曲线右支于点 M ，若∠F 1MF 2=45º，则双曲线的离心率为 A ．2B ．3C ．D ．10．有一个长方体木块，三个侧面积分别为 8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则该正四面体模型棱长的最大值为 A ．2B ． 2C ．4D ． 4 11．已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，A (0，2)，|OB |2+|OA |2=20，若平面内点 P 满足 PB = 3PA ，则|PO |的最大值为 A ．7B ．6C ．5D ．412．已知函数 f (x ) = x 2 - 2x - m ln x (m ∈R )存在两个极值点 x 1，x 2(x 1<x 2)，g (x )=(x -12)e x ， 则 g (x 1 - x 2 ) 的最小值为A ．-1e 2B ． -1eC ．1e 2D ．1e二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.23 24 主视图俯视图。
2020届湖北省武汉市高三下学期2月调考仿真模拟数学(文)试题(解析版)
2020届湖北省武汉市高三下学期2月调考仿真模拟数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|ln 2}A x x =>， {|B x y ==，则()R C A B ⋂=（ ）A ．()20,eB ．(20,e ⎤⎦C ．22,e ⎡⎤⎣⎦D ．(2,)+∞【答案】C【解析】利用集合的补集，交集运算即可求解; 【详解】由题意知,{}2A x x e =>，{}2B x x =≥，∴{}2R A x x e=≤ð，∴()22,R A B e ⎡⎤=⎣⎦I ð.故选:C 【点睛】本题考查集合交集和补集运算;属于基础题.2．已知复数z 满足2(1)1z i i -=+(i 为虚数单位)，则z = ( ) A ．1122i -+ B ．1122i -- C ．1122i + D ．1122i - 【答案】B【解析】先计算出z ，再利用共轭复数及概念计算出z . 【详解】由于2(1)1z i i -=+，因此2111(1)22i i i z i i ++-+===--，因此11z 22i =--，故选B. 【点睛】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的相关概念，难度不大.3．某中学有高中生4200人，初中生1200人，为了解学生学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ） A ．100 B ．150C ．200D ．90【答案】D详解：由题得420070,9042001200n n=∴=+.故答案为D.点睛：（1）本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)分层抽样时，一般根据个体抽样前后的比例相等列方程.4．设x ，y 满足22022020x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值是（ ）A ．8B ．-2C ．-4D ．-8【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域,利用目标函数的几何意义,向上平移直线0:30l x y -=至最高点时的z 即为目标函数的最小值.【详解】根据题意,作出不等式组表示的平面区域如图所示：向上平移直线0:30l x y -=，由图可知,当直线3z x y =-经过可行域的顶点时， 目标函数3z x y =-有最小值,联立方程220220x y x y --=⎧⎨-+=⎩,解得 22x y =⎧⎨=⎩, 即2x y ==时，min 2324z =-⨯=-. 故选:C 【点睛】本题考查简单的线性规划问题;考查数形结合思想;其中作出可行域,找到使z 取得最值的点是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.5．已知数列{}n a 为等差数列，若1598a a a ++=π，则()28cos a a +的值为（ ）A ．-12B ．3-C ．12D ．3 【答案】A【解析】利用等差数列的性质可知,1952a a a += ,求出5a ,再由2852a a a +=即可求解. 【详解】∵数列{}n a 为等差数列，1598a a a ++=π， ∴由等差数列的性质可得,1952a a a +=， 所以538a π=，即583a π=, 因为2852a a a +=,所以28163a a π+=， ∴281621cos()cos cos 332a a ππ+===-.故选：A 【点睛】本题考查等差数列的性质和三角函数的诱导公式;属于基础题. 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4πB ．2π C ．πD ．2π【答案】B【解析】根据几何体的三视图可知：直观图为半径为1，高为2的圆柱的14，再计算体积即可. 【详解】由题知：几何体为半径为1，高为2的圆柱的14. 21=12=42V ππ⨯⨯.故选：B本题主要考查三视图的还原，弄清直观图的形状为解题的关键，属于简单题. 7．右图是一个算法的程序框图，如果输入0i =，0S =，那么输出的结果为A ．23B ．34C ．45D ．56【答案】C【解析】模拟程序框图运行过程，如下；当i=1时,112S =⨯ ，满足循环条件，此时i=2； 当i=2时,111223S =+⨯⨯ ，满足循环条件，此时i=3； 当i=3时,111122334S =++⨯⨯⨯ ，满足循环条件，此时i=4； 当i=4时,111112233445S =+++⨯⨯⨯⨯ ，不满足循环条件， 此时11111111111141112233445223344555S =+++=-+-+-+-=-=⨯⨯⨯⨯ 本题选择C 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路 (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 8．设,a b v v 为向量，则“a b a b ⋅=v vv v ”是“//a b v v ” （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由向量数量积运算，求得向量的夹角，进而判断向量是否平行；根据向量平行，即夹角为0，即可判断向量的数量积与模的乘积是否相等．根据向量数量积运算，a b ⋅=vv a b cos θv v 若a b a b ⋅=v v v v ，即a b cos θv v =a b v v 所以cosθ=± 1，即=0180θ︒︒或所以//a b vv若//a b v v ，则a b v v 与的夹角为0°或180°，所以“0a b a b cos a b ⋅=︒=v v v v v v 或180a b a b cos a b ⋅=︒=-v v vv v v即a b a b cos θ⋅=v vv v 所以“a b a b ⋅=v v v v ”是“//a b v v ”的充分必要条件 所以选C 【点睛】本题考查了向量数量积的运算，充分必要条件的判定，属于基础题．9．甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（ ）A ．35B ．59C ．25D ．34【答案】A【解析】首先求得甲的平均数，然后结合题意确定污损的数字可能的取值，最后利用古典概型概率求解其概率值即可 【详解】由题意可得甲的平均数：188+87+85+92+93+95==906x被污损的数字设为x ，则乙的平均数为：28586868890998966x xx ++++++==+ 满足题意时，12x x >，即90896x>+，解得6x <即x 可能的取值为0,1,2,3,4,5x =，由古典概型概率计算公式可得满足题意的概率值为：63105p == 故选：A 【点睛】本题主要考查茎叶图的识别与阅读、平均数的计算方法、古典概型概率计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力。
福建省漳州市2020届高三毕业班第二次高考适应性测试数学(文)试题(word版,含扫描解析)
漳州市2020届高中毕业班第二次高考适应性测试文科数学试题学校 班级 姓名本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分。
共5页150分，请考生把答案填写在答题纸上。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N U = A ．{1}B ．[0，1]C ．(0，1]D ．(,1]-∞2．复数z 满足||(1)i 2z z +-=，则z = A ．31i 4+B ．31i 4-C． D ．i -3．下图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图．若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列{}n a ，{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法中正确的是A . 数列{}n a 是递增数列B . 数列{}n S 是递增数列C . 数列{}n a 的最大项是11aD . 数列{}n S 的最大项是11S4．若6log 7a =，5log 4b =，13log 4c =，则 A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<5．在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形ΑΒCD 是平行四边形，()1,2ΑΒu u u r =-，()2,1ΑD u u u r=，则ΑD ΑC u u u r u u u r ⋅=A ．5B ．4C ．3D ．26．函数()1()cos f x x x x=-（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为xyOπ-πxyOπ-πx yOπ-πxyOπ-πA ．B ．C ．D ．7．中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法．古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币（如图1）做统计，现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为cm 2，正方形的边长为cm 1，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的近似值为 A ．14(1)p -B ．11p- C ．114p-D ．41p- 8．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且423,,a a a -成等差数列，则2020S 与2020a 的关系是A . 2020202021S a =-B . 2020202021S a =+C . 2020202043S a =-D . 2020202041S a =+9．若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，外接球的表面积为40π，四边形ABCD 和11BCC B 的外接圆的圆心分别为,M N ，则直线MN 与1CD 所成的角的余弦值是A ．79-B ．13-C ．31 D ．7910．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞上单调递增，若实数a 满足)2()2(|1|->-f f a ，则a 的取值范围是A ．)21,(-∞B ．),23(+∞ C ．)23,21(D ．),23()21,(+∞-∞Y11．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则A ．2号学生必进入30秒跳绳决赛B ．5号学生必进入30秒跳绳决赛C ．8号学生必进入30秒跳绳决赛D ．9号学生必进入30秒跳绳决赛12．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，[0,]2πϕ∈）的图象经过点1(0,)2，若关于x 的方程()1f x =-在π[,π]6上恰有一个实数解，则ω的取值范围是A . 410[,)33B . 4[,8]3C . 10[,20]3D . 4[,20]3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届吉林省高三数学(文科)二模试题以及答案汇总
2020年高考等值试卷★预测卷文科数学（全国Ⅱ卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔书写作答．若在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，请将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
{{}221,650=A xB y y y A B x ⎫=≥=-+≤⎬⎭1若，则．（ ）A ．(]0,5B ．(],5-∞C ．(]0,3D ．(],3-∞2．若复数512iz i=-（i 为虚数单位），则z 在复平面中对应的点在第（ ）象限．A ．一B ．二C ． 三D ．四3．抛物线214y x =的焦点坐标为（ ） A ．(1,0) B ．(0,1) C ．1016（，） D ．116（0，）4．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）A ．B ．C ．D ．5．实数x y ，满足22202y x x y x ≤+⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则z x y=-的最大值是（ ）A ．2B ． 4C ． 6D ．86．执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为20192020，则输入m 的值为（ ） A ．2017 B ． 2018 C ． 2019 D ．20207．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，m ＝(a ＋b ，sin C )，若m ∥n ，则角B 的大小为（ ）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π38．函数1()l n ||f x x x=+的图象大致为（ ）9．给出下列四个命题：①方程22184x y a a -=+-表示双曲线的一个充分不必要条件是4a >； ②命题 :p “存在0x R ∈，使得20010x x ++<” 的否定是“对任意x R ∈，210x x ++均有＜”；③回归直线ˆˆˆya bx =+ 恒过样本数据的中心(),x y ； ④若直线a 平行于平面α内的一条直线b ，则a ∥.α其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 10．下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量“优良”,空气质量指数大于200表示空气“重度污染”．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天（于第二天晚上离开）． 由统计图表所做的以下推断中，说法不正确的是（ ）是1S S =+0;1S n ==n m<m输入A ．此人停留的2天空气质量都“优良”的概率为413； B ．此人到达当日空气“重度污染”的概率为213； C ．此人到达当日空气质量“优良”的条件下，次日空气质量“优良”的概率为23； D ．此人停留的2天至少一天空气“优良”的概率为713． 11．数列{}n a 的前n 项和为S n ,若11a ＝，1(2)1n n a S n ≥＋＝，则2019a 等于（ ） A ． 20183B ． 201813+ C ．201723⨯ D ． 2017123+⨯12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的()(),11x R f x f x ∈+=-都有． 当01x ≤≤时，()2f x x =．若直线()=f x x m +与函数()y f x =的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数m 的值是（ ）A ．0B ． 0或14-C ．14-12-或D ． 0或12-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）13．在科学史上，阿基米德是公认的排在首位的大科学家．他在自己许许多多的科学发现当中，以圆柱容球定理最为得意，甚至希望在自己的墓碑上刻上圆柱容球的图形．圆柱容球是这样的:“圆及其外切正方形绕过切点的一条对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球．”若从此圆柱中任取一点，则该点并非取自球内的概率是 ．14．我国古代数学名著《九章算术》记载：“勾股各自乘，并之，为弦实”，用符号表示为a 2＋b 2＝c 2 (a ，b ，c ∈N *)，把a ，b ，c 叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41，以此类推，可猜测第5组勾股数的第二个数是________．15．已知函数()()()2f x sinx cosx f x f x +='＝，，()f x '（其中()f x 是的导函数)，则21+cos 2cos sin 2xx x -=____．16．设△ABC 的三个顶点A ，B ，C 对应三边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c (a<b<c )成等差数列，A ，C 两点的坐标分别是((,0,,则顶点B 的轨迹方程为_____________________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020届高三数学(文)“小题精练”21
概率是( )
A. 1
B. 2
π
π
C. 1 2π
D.1－ 1 π
7.我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈.欲斩末为方亭，
令上方六尺.问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现
从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底边长为六尺，则截去的正四棱锥的
则下列判断中不正确的是( )
1
A.该公司 2019 年度冰箱类电器营销亏损 B.该公司 2019 年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C.该公司 2019 年度净利润主要由空调类电器销售提供 D.剔除冰箱类电器销售数据后，该公司 2019 年度空调类电器销售净利润占比将会降低
6.若在 x2＋y2≤1 所表示的区域内随机取一点，则该点落在|x|＋|y|≤1 所表示的区域内的
4.在△ABC 中，―BD→＝1―B→C ，若―A→B ＝a，―A→C ＝b，则―AD→＝( ) 3
4
A.2a＋1b 33
C.1a－2b 33
B.1a＋2b 33
D.2a－1b 33
解析：选 A 法一：如图，过点 D 分别作 AC，AB 的平行线交 AB，
―→ ―→ ―→ AC 于点 E，F，则四边形 AEDF 为平行四边形，所以 AD ＝ AE ＋ AF .
14.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 3a5－a1＝10，则 S13＝________.
3
15.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 cos C＝1，c＝3，且 a ＝
4
cos A
b ，则△ABC 的面积等于________. cos B
16.已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆 C 上一点， π
2020届高考数学(文)“大题精练”(6)含答案
2020届高三数学（文）“大题精练”617．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为()122n n S n N ++=-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，21AB DE AD ===，，平面CDE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，BC ∥EF ，点G 在线段CE上，且23EG GC AB ==．(1)求证：DE ⊥平面ABCD ；(2)若2EF BC =，求多面体ABCDEF 被平面BDG 分成的大、小两部分的体积比．19．（本小题满分12分）一项针对某一线城市30～50岁都市中年人的消费水平进行调查，现抽查500名（200名女性，300名男性）此城市中年人，最近一年内购买六类高价商品（电子产品、服装、手表、运动与户外用品、珠宝首饰、箱包）的金额（万元）的频数分布表如下：（1）将频率视为概率，估计该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于5000元的概率．（2）把购买六类高价商品的金额不低于5000元的中年人称为“高收入人群”，根据已知条件完成2⨯2列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“高收入人群”与性别有关？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++参考附表：20．（本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在y 轴的正半轴上，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足3.4OA OB ⋅=-u u u v u u u v（1）求抛物线C 的方程；（2）若P 是抛物线C 上的动点，点,M N 在x 轴上，圆2211x y +-=（）内切于PMN ∆，求PMN ∆面积的最小值．21．（本小题满分12分）已知函数()2(12)ln af x x a x x=+-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解12,x x ，且12x x <，证明：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为4212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρ=（1）在曲线1C 上任取一点Q ，连接OQ ，在射线OQ 上取一点P ，使4OP OQ =g ，求P 点轨迹的极坐标方程；（2）在曲线1C 上任取一点M ，在曲线2C 上任取一点N ，求MN 的最小值．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知函数()2f x x x t =-+-（0t >）的最小值为2． （Ⅰ）求不等式()48f x x +-≥的解集； （Ⅰ）若22252352a b c t ++=，求23ac bc +的最大值．2020届高三数学（文）“大题精练”6（答案解析）17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为()122n n S n N ++=-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【解析】（1）由122n n S +=-可得：当2n ≥时，122n n S -=-，上述两式相减可得2nn a =． 当1n =时：111112222a S +==-==成立，故所求()2nn a n N +=∈．（2）2nn a =，22log 2n nb a n ==，()11111122241n n b b n n n n +⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭， 故所求111111111141223141n T n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()41n n N n +=∈+．18．（本小题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，21AB DE AD ===，，平面CDE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，BC ∥EF ，点G 在线段CE上，且23EG GC AB ==．(1)求证：DE ⊥平面ABCD ；(2)若2EF BC =，求多面体ABCDEF 被平面BDG 分成的大、小两部分的体积比． 【解析】（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴CD =AB ．∵AB =DE =2，∴CD =DE =2． ∵点G 在线段CE 上，且EG =2GC=3AB ， ∴EC=222DE CD EC +=，即DE CD ⊥．又平面CDE ⊥平面ABCD ，平面CDE I 平面ABCD =CD ，DE ⊂平面CDE ，∴DE ⊥平面ABCD ．(2)设三棱锥G -BCD 的体积为1，连接EB ，AE ． ∵EG =2GC ，∴CG =13EC ，∴33E BCD G BCD V V --==． 易知 3.E BCD E ABD V V --==又EF =2BC ，BC ∥EF ，∴2ABD EFA S S ∆∆=，故2B ABD B AEF V V --=，又3B ABE E ABD V V --==，∴6B AEF V -=，故633111.B AFE E ABD E BDG V V V ---++=++-= 故多面体ABCDEF 被平面BDG 分成的大、小两部分的体积比为11：1． 19．（本小题满分12分）一项针对某一线城市30～50岁都市中年人的消费水平进行调查，现抽查500名（200名女性，300名男性）此城市中年人，最近一年内购买六类高价商品（电子产品、服装、手表、运动与户外用品、珠宝首饰、箱包）的金额（万元）的频数分布表如下：（1）将频率视为概率，估计该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于5000元的概率．（2）把购买六类高价商品的金额不低于5000元的中年人称为“高收入人群”，根据已知条件完成2⨯2列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“高收入人群”与性别有关？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++参考附表：【解析】（1）该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于5000元的频数为805010906030320+++++=，∴该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于5000元的概率为：3201650025P ==． （2）根据频数分布表得：高收入人群中女性有140人，男性有180人，非高收入人群中女性有60人，男性有120人，完成列联表如下：根据列联表中的数据，计算得22500(14012060180) 5.208 3.841200300180320K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为“高收入人群”与性别有关． 20．（本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在y 轴的正半轴上，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足3.4OA OB ⋅=-u u u v u u u v（1）求抛物线C 的方程；（2）若P 是抛物线C 上的动点，点,M N 在x 轴上，圆2211x y +-=（）内切于PMN ∆，求PMN ∆面积的最小值．【解析】（1）由题意，设抛物线C 的方程为22(0)x py p =>，则焦点F 的坐标为02p（，）．设直线l 的方程为()()11222py kx A x y B x y =+，，，，， 联立方程得222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得2222220,440x pkx p p k p --=∆=+>，∴221212122.4p x x pk x x p y y +==-=，，∵121234OA OB x x y y ⋅=+=-u u u v u u u v，∴ 1.p =故抛物线的方程为22x y =．(2)设()()()()0000000P x y x y M m N n ≠,,,,,，易知点M N ,的横坐标与P 的横坐标均不相同，不妨设m n >，易得直线PM 的方程为()00y y x m x m=--化简得()0000y x x m y my ---=， 又圆心（0，1）到直线PM 的距离为11=，∴()()()222220000002x m y x m my x m m y -+=-+-+，不难发现02y >，故上式可化为()2000220y m x m y -+-=，同理可得()2000220y n x n y -+-=，,m n ∴可以看作是()2000220y t x t y -+-=的两个实数根，则0000222x y m n mn y y --+==--,,∴()()()2222000204484.2x y y m n m n mn y +--=+-=- ∵()00P x y ，是抛物线C 上的点，∴2002x y =，则()()222042y m n y -=-，又02y >，∴002,2y mn y =- 从而()02000000014242222PMNy y S m n y y y y y y ∆=-=⋅==-++---48≥=，当且仅当()2024y -=时取得等号，此时004,y x ==±，故△PMN 面积的最小值为8． 21．（本小题满分12分）已知函数()2(12)ln af x x a x x=+-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解12,x x ，且12x x <，证明：1202x x f +⎛⎫'>⎪⎝⎭．【解析】（1）2222122(12)()(21)()2(0)a a x a x a x a x f x x x x x x-+---+'=+-==>． ①当0a …时，(0,),()0,()x f x f x '∈+∞>单调递增；②当0a >时，(0,),()0,()x a f x f x '∈<单调递减；(,),()0,()x a f x f x '∈+∞>单调递增．综上：当0a „时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增． （2）由（1）知，当0a „时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=．不妨设120x a x <<<，要证1202x x f +⎛⎫'>⎪⎝⎭，即证122x x a +>，即证122x x a +>，即证212x a x >-． ∵()f x 在(,)a +∞单调递增，即证()()212f x f a x >-，∵()()21f x f x =，∴即证()()112f x f a x >-，即证()()f a x f a x +<-． 令()()()g x f a x f a x =+--2()(12)ln()2()(12)ln()a a a x a a x a x a a x a x a x ⎡⎤⎡⎤=++-++--+--+⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦4(12)ln()(12)ln()a ax a a x a a x a x a x=+-+---+-+-， 221212()4()()a a a ag x a x a x a x a x --'=++--+-+-()()22222222222242(12)4()()()()a a x x x a a a a a x a x a x a x a x +---=+-=-+-+-． 当(0,)x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，又(0)(0)(0)0g f a f a =+--=，∴(0,)x a ∈时，()(0)0g x g <=，即()()f a x f a x +<-，即()(2)f x f a x >-．又1(0,)x a ∈，∴()()112f x f a x >-，∴1202x x f +⎛⎫'>⎪⎝⎭．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为412x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρ=（1）在曲线1C 上任取一点Q ，连接OQ ，在射线OQ 上取一点P ，使4OP OQ =g ，求P 点轨迹的极坐标方程；（2）在曲线1C 上任取一点M ，在曲线2C 上任取一点N ，求MN 的最小值．【解析】（1）∵曲线1C的参数方程为412x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），∴1C化为普通方程为40x --=，故1C 的极坐标方程为cos 23πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 设()()00,,,Q P ρθρθ，则004,ρρθθ=⎧⎨=⎩，即04ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 00cos 23πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭Q ，4cos 23πθρ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，∴ P 点轨迹的极坐标方程为()2cos 03πρθρ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭．（2）∵曲线2C的极坐标方程为ρ=，∴2C 化为直角坐标方程为2214x y +=．故2C 可化为参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），MN 的最小值为椭圆2C 上的点N 到直线1C 距离的最小值．设()2cos ,sin N ϕϕ，则()42a d ϕ-===min d =minMN ∴=． 23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知函数()2f x x x t =-+-（0t >）的最小值为2． （Ⅰ）求不等式()48f x x +-≥的解集； （Ⅰ）若22252352a b c t ++=，求23ac bc +的最大值． 【解析】（Ⅰ）∵()()2222x x t x x t t -+-≥---=-=，∴4t =（0t =舍去），∴()103,22246,24310,4x x f x x t x x x x x x -<⎧⎪+-=-+-=-≤≤⎨⎪->⎩，当2x <时，令1038x -≥，得23x ≤，∴23x ≤； 当24x ≤≤时，令68x -≥，得2x -≤，无解； 当4x >时，令3108x -≥，得6x ≥，∴6x ≥． ∴不等式的解集为2| 63x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或． （Ⅰ）22223510a b c ++=，∴()()2222222102352346a b c a cbc ac bc =++=+++≥+，∴235ac bc +≤，当且仅当1a b c ===±时等号成立，∴23ac bc +的最大值为5.。
2020年5月湖南师范大学附属中学2020届高三毕业班高考模拟考试数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前 炎德·英才大联考湖南师范大学附属中学2020届高三毕业班下学期高考模拟考试数学(文)试题(解析版)2020年5月本试卷共6页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合(){}(){}2,2,,A x y x y B x y y x =+===，则A B =（ ） A. (){}1,1B. (){}2,4-C. ()(){}1,1,2,4-D. ∅ 【答案】C【解析】【分析】 首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x +=⎧⎨=⎩，解得方程组的解，从而得到结果.【详解】首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x +=⎧⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=⎩， 从而集合{(1,1),(2,4)}A B =-，故选C.【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查二元方程组的解法，属于基础题.2. 已知2(1)i z-=1i +（i 为虚数单位），则复数z = （ ） A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i --【答案】D【解析】 试题分析：由2(1)1i i z-=+，得2(1)22(1)111(1)(1)i i i i z i i i i i --====--+++-，故选D. 考点：复数的运算.3. 现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁 【答案】B【解析】【分析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人.【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意； 若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意； 若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意； 若丁获奖，则说假话人为：甲乙丙丁，不合题意；。
2020届高三开学摸底大联考全国卷数学(文)试题(解析版)
C． c a b
D． c b a
【答案】A
【解析】由题得函数 f (x) 的图像关于 y 轴对称，且 x (0, ) 时， f (x) 单调递增，再
求出
4ln 3
4
，0
1 e 3
1 ， 2
ln
1
1 ，即得解.
【详解】
因为函数 y f (x 2) 的图像关于直线 x 2 对称，
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节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：
现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米
量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为（ ）
A．1 升
3
B． 升
2
2
C． 升
3
4
D． 升
3
础题.
5．函数 f (x) log1 x2 6x 8 的单调递增区间为（ ）
2
A． (4, )
B． (, 2)
C． (3, )
D． (3, 4)
【答案】A 【解析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性原理求解. 【详解】
由题得函数 f (x) 定义域为 (, 2) (4, ) ，
2020 届高三开学摸底大联考全国卷数学（文）试题
一、单选题
1．若复数 z1
2 2i ， z2
1 i ，则
z1 z2
（
）
A． 2i
B． 2i
C． 2 2i
【答案】B
D． 2 2i
【解析】直接利用复数的除法计算得解.
【详解】
由题得
z1 z2
(2 2i)(1 i) (1 i)(1 i)
2020届高三数学(文)“小题精练”25
2020届高三数学（文）“小题速练”2513. 14. 15. 16.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知集合A ＝{x |x －a ≤0}，B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围为( ) A.(－∞，1] B.[1，＋∞) C.(－∞，3] D.[3，＋∞)2.z 是z ＝1＋2i1－i 的共轭复数，则z 的虚部为( )A.－12B.12C.－32D.323.已知点M ⎝⎛⎭⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ＝( )A.－13B.±13C.－3D.±34.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为( )A.215 B.25 C.415 D.155.设函数f (x )＝x ·ln x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，0)处的切线方程为( ) A.y ＝－x －1B.y ＝x ＋1C.y ＝－x ＋1D.y ＝x －16.已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n 是奇数，2a n ，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为( )A.1 121B.1 122C.1 123D.1 1247.两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的可以是( )A.25，26B.33，34C.64，65D.72，738.已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点M 在双曲线E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝14，则双曲线E 的离心率为( )A.153B.32C.132D.29.函数f (x )＝e x ＋1x （e x －1）(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )10.已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0).将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数，则关于函数f (x )，下列命题正确的是( )A.函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上有最小值B.函数f (x )的图象的一条对称轴为直线x ＝π12C.函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增D.函数f (x )的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π3，011.如图，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则下列四个结论错误的是( )A.直线A 1C 1与AD 1为异面直线B.A 1C 1∥平面ACD 1C.BD 1⊥ACD.三棱锥D 1ADC 的体积为8312.设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(0，1)B.(－1，0)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(－1，0)D.(0，1)∪(1，＋∞)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知向量a ＝(1，1)，b ＝(－2，3)，若k a －b 与b 垂直，则实数k ＝________.14.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ＋2y ≤2，x ≤a ，目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为2，则a ＝________，z 的最大值是________.15.已知三棱锥P ABC 中，AB ⊥平面APC ，AB ＝42，P A ＝PC ＝2，AC ＝2，则三棱锥P ABC 外接球的表面积为________.16.在△ABC 中，∠ABC ＝90°，延长AC 到D ，使得CD ＝AB ＝1，若∠CBD ＝30°，则AC ＝________.2020届高三数学（文）“小题速练”25（答案解析）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知集合A ＝{x |x －a ≤0}，B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围为( ) A.(－∞，1] B.[1，＋∞) C.(－∞，3]D.[3，＋∞)解析：选B 法一：集合A ＝{x |x ≤a }，集合B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A 中，若2或3在集合A 中，则1一定在集合A 中，因此只要保证1∈A 即可，所以a ≥1.故选B.法二：集合A ＝{x |x ≤a }，B ＝{1，2，3}，a 的值大于3时，满足A ∩B ≠∅，因此排除A 、C.当a ＝1时，满足A ∩B ≠∅，排除D.故选B.2.z 是z ＝1＋2i1－i 的共轭复数，则z 的虚部为( )A.－12B.12C.－32D.32解析：选C z ＝1＋2i 1－i ＝（1＋2i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋3i 2＝－12＋32i ，则z ＝－12－32i ，所以z的虚部为－32.故选C.3.已知点M ⎝⎛⎭⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ＝( )A.－13B.±13C.－3D.±3解析：选C 因为点M ⎝⎛⎭⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，所以a ＝log 313＝－1，即M ⎝⎛⎭⎫13，－1，所以tan θ＝－113＝－3，故选C. 4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为( )A.215 B.25 C.415D.15解析：选A 由题意可得邪田的面积S ＝12×(10＋20)×10＝150，圭田的面积S 1＝12×8×5＝20，则所求的概率P ＝S 1S ＝20150＝215.故选A.5.设函数f (x )＝x ·ln x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，0)处的切线方程为( ) A.y ＝－x －1 B.y ＝x ＋1 C.y ＝－x ＋1D.y ＝x －1解析：选D f ′(x )＝ln x ＋1，∴切线的斜率k ＝f ′(1)＝1，则曲线y ＝f (x )在点(1，0)处的切线方程为y ＝x －1.故选D.6.已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n 是奇数，2a n，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为( )A.1 121B.1 122C.1 123D.1 124解析：选C 由题意可知，数列{a 2n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{a n }的前20项和为1×（1－210）1－2＋10×1＋10×92×2＝1 123.故选C.7.两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的可以是( )窗口12 过道3 4 5 窗口6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …….........A.25，26B.33，34C.64，65D.72，73解析：选C 设靠左、右窗的座位号码分别为a n ，b n ，则由火车上的座位号码规律可得，a n ＝5n －4，b n ＝5n .因此33号与72号都不是靠左窗的座位号，所以选项B 和D 均不符合；25号与65号都是靠右窗的座位号码，所以25号，26号是不相邻的，64号与65号是相邻的.故选C.8.已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点M 在双曲线E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝14，则双曲线E 的离心率为( )A.153B.32C.132D.2解析：选A 如图，由题意知F 1(－c ，0)，因为MF 1与x 轴垂直，且M 在椭圆上，所以|MF 1|＝b 2a .在Rt △MF 2F 1中，sin ∠MF 2F 1＝14，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝115，即b 2a 2c ＝b 22ac ＝115，又b 2＝c 2－a 2，所以15c 2－15a 2－2ac ＝0，两边同时除以a 2，得15e 2－2e －15＝0，又e >1，所以e ＝153.故选A. 9.函数f (x )＝e x ＋1x （e x －1）(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )解析：选D 法一：由题意得函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).∵f (－x )＝e －x ＋1－x （e －x －1）＝－1＋e x x （1－e x ）＝e x ＋1x （e x －1）＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数，可排除选项A 、C.又f (x )＝e x ＋1x （e x －1）＝（e x －1）＋2x （e x －1）＝1x ＋2x （e x －1），∴f ′(x )＝－1x 2－2[（x ＋1）e x －1]x 2（e x －1）2，∴x >0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，可排除选项B.故选D.法二：由题意得函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).f (x )＝1x ·e x ＋1e x －1，易知y ＝1x 和y ＝e x ＋1e x －1均为奇函数，所以函数f (x )是偶函数，可排除选项A 、C.当x →＋∞时，1x →0，e x ＋1e x－1→1，所以e x ＋1x （e x －1）→0，则可排除B.故选D.10.(2019·河北六校联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0).将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数，则关于函数f (x )，下列命题正确的是( ) A.函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上有最小值B.函数f (x )的图象的一条对称轴为直线x ＝π12C.函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增D.函数f (x )的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π3，0解析：选C 将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后所得图象对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＋φ，又g (x )为偶函数，－π＜φ＜0，所以φ＝－π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝sin π2＝1，故排除D ；f ⎝⎛⎭⎫π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12－π6＝0，故排除B ；当－π6＜x ＜π3时，－π3＜2x ＜2π3，－π3－π6＜2x －π6＜2π3－π6，即－π2＜2x －π6＜π2，故函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增，选C. 11.如图，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则下列四个结论错误的是( )A.直线A 1C 1与AD 1为异面直线B.A 1C 1∥平面ACD 1C.BD 1⊥ACD.三棱锥D 1ADC 的体积为83解析：选D 对于A ，直线A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，AD 1⊂平面ADD 1A 1，D 1∉直线A 1C 1，则易得直线A 1C 1与AD 1为异面直线，故A 正确；对于B ，因为A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊄平面ACD 1，AC ⊂平面ACD 1，所以A 1C 1∥平面ACD 1，故B 正确；对于C ，连接BD (图略)，因为正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，BD ∩DD 1＝D ，所以AC ⊥平面BDD 1，所以BD 1⊥AC ，故C 正确；对于D ，三棱锥D 1ADC 的体积V 三棱锥D 1ADC ＝13×12×2×2×2＝43，故D 错误.综上.故选D.12.设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(0，1)B.(－1，0)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(－1，0)D.(0，1)∪(1，＋∞)解析：选A 令F (x )＝f （x ）x ，因为f (x )为奇函数，所以F (x )为偶函数，由于F ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，所以F (x )＝f （x ）x 在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F (x )＝f （x ）x 在(－∞，0)上单调递增，又f (－1)＝0，f (1)＝0，数形结合可知，使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知向量a ＝(1，1)，b ＝(－2，3)，若k a －b 与b 垂直，则实数k ＝________. 解析：因为k a －b 与b 垂直，所以(k a －b )·b ＝k a ·b －b 2＝k －13＝0，所以k ＝13. 答案：1314.(2019·山东枣庄薛城区月考改编)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ＋2y ≤2，x ≤a ，目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为2，则a ＝________，z 的最大值是________.解析：x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ＋2y ≤2，x ≤a 的可行域如图，目标函数z ＝2x ＋3y 经过可行域内的点A 时，z 取得最小值，经过点B 时，z 取得最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，2x ＋3y ＝2解得A (1，0).又点A 在直线x ＝a 上，可得a ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋2y ＝2解得B ⎝⎛⎭⎫1，12，则z 的最大值是z ＝2×1＋3×12＝72. 答案：1 7215.已知三棱锥P ABC 中，AB ⊥平面APC ，AB ＝42，P A ＝PC ＝2，AC ＝2，则三棱锥P ABC 外接球的表面积为________.解析：∵P A ＝PC ＝2，AC ＝2，∴P A ⊥PC ，又AB ⊥平面P AC ，∴把三棱锥P ABC 放在如图所示的长方体中，且长方体的长、宽、高分别为2，2，42，则三棱锥P ABC 的外接球即长方体的外接球，长方体的体对角线即长方体外接球的直径，易得长方体体对角线的长为（2）2＋（2）2＋（42）2＝6，则外接球的半径R ＝3，∴外接球的表面积S ＝4πR 2＝36π.答案：36π16.在△ABC 中，∠ABC ＝90°，延长AC 到D ，使得CD ＝AB ＝1，若∠CBD ＝30°，则AC ＝________.解析：如图，设AC ＝x (x >0)，在△BCD 中，由正弦定理得BDsin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，所以BD ＝2sin ∠BCD ，又sin ∠BCD ＝sin ∠ACB ＝1x，所以BD ＝2x .在△ABD 中，(x ＋1)2＝1＋⎝⎛⎭⎫2x 2－2·2x ·cos(90°＋30°)，化简得x 2＋2x ＝2x ＋4x 2，即x 3＝2，故x ＝32，故AC ＝3 2.答案：32。
2020届广东省湛江市高三二模数学（文）试题
2020届广东省湛江市高三二模数学（文）试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 已知集合A＝{x|}，B＝{x|x≤1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，1）C．（﹣1，1] D．（﹣∞，1]2. （）A．4i B．﹣4i C．﹣4i D．4i3. 已知函数f（x）＝ax2+2bx的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝4x+3，则b﹣a＝（）A．﹣8 B．20 C．8 D．﹣204. 高二某班共有45人，学号依次为1、2、3、…、45，现按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，已知学号为6、24、33的同学在样本中，那么样本中还有两个同学的学号应为（）A．B．C．D．5. 已知a＝lg2，b＝ln2，c＝e，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c6. 下列图象为函数y，y，y，y的部分图象，则按顺序对应关系正确的是（）A．①②③④B．①②④③C．①③②④D．②①④③7. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异“．意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为3的圆的三分之一，则该几何体的体积为（）A．πB．πC．4D．8. 执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的x的值为（）A．﹣2 B．2 C．5或﹣2 D．7或﹣29. 若双曲线E：1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣4）2+y2＝16所截得的弦长为4，则E的离心率为（）A．2 B．C．D．10. 在中，角的对边分别是，若，则的面积为（）A．B．C．D．11. 已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象的一个最高点为（），与之相邻的一个对称中心为，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则（）A．g（x）为偶函数B．g（x）的一个单调递增区间为C．g（x）为奇函数D．函数g（x）在上有两个零点12. 已知正方体的棱长为2，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．二、填空题13. 已知向量，若，则____________.14. 已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x+2）＝﹣f （x），且f（x），则f（7）＝_____．15. 已知，则____________.三、双空题16. 已知抛物线C：y2＝2x，过点E（a，0）的直线l与C交于不同的两点P （x1，y1），Q（x2，y2），且满足y1y2＝﹣4，以Q为中点的线段的两端点分别为M，N，其中N在x轴上，M在C上，则a＝_____．|PM|的最小值为_____．四、解答题17. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+a n﹣1．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n，求数列{b n}的前n项和T n．18. 如图，已知直三棱柱，，分别是棱，的中点.（1）证明：平面；（2）若，，求三棱锥的体积.19. 冠状病毒是一个大型病毒家族，已知的有中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重的疾病，新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，某小区为进一步做好新型冠状病毒肺炎疫情知识的教育，在小区内开展“新型冠状病毒防疫安全公益课”在线学习，在此之后组织了“新型冠状病毒防疫安全知识竞赛”在线活动．已知进入决赛的分别是甲、乙、丙、丁四位业主，决赛后四位业主相应的名次为第1，2，3，4名，该小区为了提高业主们的参与度和重视度，邀请小区内的所有业主在比赛结束前对四位业主的名次进行预测，若预测完全正确将会获得礼品，现用表示某业主对甲、乙、丙、丁四位业主的名次做出一种等可能的预测排列，记．（1）求出的所有可能情形；（2）若会有小礼品赠送，求该业主获得小礼品的概率，20. 已知函数在处取得极小值．（1）求f（x）；（2）令函数，若f（x）≤g（x）对x∈[1，4]恒成立，求m的取值范围．21. 已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，点M（a，0），N （0，b），O（0，0），且△OMN的面积为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A，B是x轴上不同的两点，点A（异于坐标原点）在椭圆C内，点B 在椭圆C外．若过点B作斜率不为0的直线与C相交于P，Q两点，且满足∠PAB+∠QAB＝180°．证明：点A，B的横坐标之积为定值．22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）设射线l的极坐标方程为，若射线l与曲线C交于A，B两点，求AB的长；（2）设M，N是曲线C上的两点，若∠MON，求的面积的最大值．23. 已知函数f（x）＝|2x+4|﹣|2x﹣2|．（1）求不等式|f（x）|＜4的解集；（2）记f（x）的最大值为m，设a，b，c＞0，且a+2b+3c＝m，证明：．。
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第1页共9页2020届高三数学（文）“大题精练”217.已知等比数列na的各项均为正数，nS为等比数列na的前n项和，若223a，3462aaa.(1)n
St恒成立，求t的最小值；(2)设nnnba，求数列nb的前n项和nT.
18.为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值；（2）估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？
优秀非优秀合计男生40
女生50第2页共9页
合计100参考公式及数据：22()
,
()()()()
nadbcKnabcd
abcdacbd
20()PKK
0.100.050.0250.0100.0050.001
0K2.7063.8415.0246.6357.87910.828
19.如图，在三棱锥PABC中，22ABBC
，4PAPBPCAC，
O为AC的中点．
（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且2MCMB，求点C到平面POM的距离．
20.已知椭圆C：222210xy
ab
ab的左右顶点分别为,0Aa，,0Ba，点P是椭圆C上异于A、
B的任意一点，设直线PA，PB的斜率分别为1k、2k，且1213kk，椭圆的焦距长为4.（1）求椭圆C的离心率；（2）过右焦点F且倾斜角为30°的直线l交椭圆C于M、N两点，分别记ABM，ABN的面积第3页共9页
为1
S、2S，求12SS的值.
21．在直角坐标系xOy中，曲线1
C的参数方程为
22
12xt
yt
（t为参数），以原点O为极点，以x轴正
半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2
C的极坐标方程为
π2cos
4
.
（1）判断曲线1C与曲线2C的位置关系；（2）设点,Mxy为曲线2
C上任意一点，求2xy的最大值.
22．已知实数正数x,y满足1xy．（1）解关于x的不等式52
2xyxy
；（2）证明：
22
11119
xy
第4页共9页
2020届高三数学（文）“大题精练”2（答案解析）17.已知等比数列na的各项均为正数，nS为等比数列na的前n项和，若223a，3462aaa.(1)n
St恒成立，求t的最小值；(2)设nnnba，求数列nb的前
n
项和n
T.
【解】(1)因为na
为等比数列，所以3416aaaa，所以
341662aaaaa，60a，所以12a，
又223a，所以13q，所以121313131313nnnS，因为n
St恒成立，所以3t，即t的最小值是3.
(2)由(1)可知221
23nnn
aaq
，所以132nnnb，
故01113233222nnnT①11213
13233
3
2222
nn
nn
n
T
②
1-②得：0111333322222nnnnT，1
0313
1313
22132nnn
整理得，21318nnnT
18.为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值；第5页共9页
（2）估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？
优秀非优秀合计男生40
女生50
合计100参考公式及数据：22()
,
()()()()
nadbcKnabcd
abcdacbd
20()PKK
0.100.050.0250.0100.0050.001
0K2.7063.8415.0246.6357.87910.828
【解】（1）由题可得0.0050.0100.0200.0300.010101a，解得0.025a．（2）平均成绩为：450.05550.1650.2750.3850.25950.174（3）由（2）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有1000.3535人，由此可得完整的22列联表：
优秀非优秀合计男生104050女生252550第6页共9页
合计3565100∵2K的观测值2100102525409009.89010.8283565505091k，∴没有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．19.如图，在三棱锥PABC中，22ABBC
，4PAPBPCAC，
O为AC的中点．
（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且2MCMB，求点C到平面POM的距离．【解】（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=23．
连结OB．因为AB=BC=22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=12AC=2．
由222OPOBPB知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题设可知OC=12AC=2，CM=23BC=423，∠ACB=45°．
所以OM=253，CH=sinOCMCACBOM=455．所以点C到平面POM的距离为455．20.已知椭圆C：222210xy
ab
ab的左右顶点分别为,0Aa，,0Ba，点P是椭圆C上异于A、第7页共9页
B的任意一点，设直线PA，PB的斜率分别为1k、2k，且1213kk，椭圆的焦距长为4.（1）求椭圆C的离心率；（2）过右焦点F且倾斜角为30°的直线l交椭圆C于M、N两点，分别记ABM，ABN的面积为1
S、2S，求12SS的值.
【解】（1）设点000,Pxyxa，则2200221xyab，①∵2000122200013yyykkxaxaxa，②∴联立①②得2222030baxa，∴2203aabx，∴22222212133abeaac，∴63e.
（2）由题意知，24c，即2c，由（1）知，223ab=，∴22224abcb
，
∴22b，26a，∴椭圆C的方程为：22162xy，由已知得l：32
3yx
.
联立22323162yxxy，可得2210xx.设11,Mxy，22,Nxy，根据韦达定理，得122xx，
于是1212121342663233SSyyxx236223.
21.在直角坐标系xOy中，曲线1
C的参数方程为
22
12xt
yt
（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半
轴为极轴，建立极坐标系，曲线2
C的极坐标方程为
π2cos
4
.
（1）判断曲线1C与曲线2
C的位置关系；
（2）设点,Mxy为曲线2
C上任意一点，求2xy的最大值.