1.5.2 求函数y=asin(ωx+φ) 的解析式
高中 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质 知识点+例题 全面
辅导讲义――函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质教学内容1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图 五个特征点的取法：设X =ωx ＋φ，由X 取0，2π，π，23π，π2来求出相应的x 的值，及对应的y 值，再描点作图.如下表所示.x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：[例1] 函数)421sin(2π+=x y 的周期，振幅，初相分别是______________.[巩固1] 函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则ω=______；ϕ=______知识模块1 y ＝A sin(ωx ＋φ)精典例题透析[巩固] 若关于x 的方程01sin sin 2=+-+m x x 有解，则实数m 的取值范围为_____________.[例5] 要得到)21sin(x y -=的图象，只需将)621sin(π--=x y 的图象_______________.[巩固1] 为得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象_____________________.[巩固2] 为得到函数)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象_____________________.[例6] 已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对的函数解析式为_____________.[巩固1] 函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为____________.[巩固2] 已知函数),0,)(sin()(πϕπωϕω<<->∈+=R x x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式 是_______________.[例7] 设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)[例]（1）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝_____，φ＝_______.（2）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．[巩固] 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．（1）求其解析式；（2）若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．题型三：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质[例] (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和φ的值；（2）当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．[巩固] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．1．(2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π42．(2013·浙江)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是__________.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是______________.4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是_____________.5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________________.6．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°， KL ＝1，则f (16)的值为________．，7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值 为________℃.夯实基础训练。
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象
1.5函数sin()y A x ωϕ=+的图象形如sin()y A x ωϕ=+的函数： （1）几个物理量：A ―振幅；1f T=―频率（周期的倒数）；x ωϕ+—相位；ϕ―初相； （2）函数sin()y A x ωϕ=+表达式的确定：A 由最值确定；ω由周期确定；ϕ由图象上的特殊点确定，如()sin()(0,0f x A x A ωϕω=+>>，||)2πϕ<图所示，则()f x ＝_____（答：15()2sin()23f x x π=+）；（3）函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法： ①“五点法”――设Xx ωϕ=+，令X ＝0，3,,,222ππππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象； ②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
（4）函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图象；②函数()sin y x ϕ=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象； ③函数()sin y x ωϕ=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ωϕ=+的图象；④函数sin()y A x ωϕ=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ωϕ=++的图象。
要特别注意，若由()siny x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图象，则向左或向右平移应平移||ϕω个单位例：以sin yx =变换到4sin(3)3y x π=+为例sin y x =向左平移3π个单位 （左加右减） sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变） sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） 4sin 33y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭sin y x =横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变）()sin 3y x =向左平移9π个单位（左加右减） sin39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 33x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）4sin 33y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭注意：在变换中改变的始终是x 。
函数y=Asin(ωx+φ)的性质
关 的
②确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调 单 调
2
与 正
区间的方法：采用“换元”法整体代换，将 区 弦
ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”， 即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的 单调区间.若ω<0，则可利用诱导公式先将x 的系数转变为正数，再求单调区间.
间 的 求 解 技
例2.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色， 如图某摩天轮最高点距离地面高度为120m , 转盘直径为110m ，设置有48 个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的 距离进舱。转一周大约需要30 min . (1)游客甲坐上摩天轮的座舱开始转动t min 后距离地面的高度为Hm, 求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；
函 数
图
区间－π6，23π上存在零点，求实数 k 的取值范围.
象 的 特
解（1）f(x)＝ 3sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－12 ＝ 23sin 2ωx＋cos 2ω2 x＋1－12
点
＝
3 2 sin
2ωx＋21cos
2ωx＝sin2ωx＋π6，
， 因为函数图象上两条相邻对称轴之间的距离为π2. 所以函数y＝f(x)的最小正周期T＝π
令 2x＋π6＝kπ(k∈Z)，则 x＝k2π－1π2(k∈Z)， 所以对称中心为k2π－1π2，45(k∈Z).
（3）当 sin2x＋π6＝－1，即 2x＋6π＝－π2＋2kπ(k∈Z)，x＝－π3＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为34，
此时 x 的取值集合是xx＝－π3＋kπ，k∈Z
15正弦型函数的图像和性质(二)讲解
栏 点的横坐标)或第二，第三(或第四，第五)点横坐标，可以
目
开 直接解出 ω 和 φ，或由方程(组)求出．
关
②代入点的坐标，通过解最简单的三角函数方程，再结合
图象确定 ω 和 φ.
(3)A 的求法一般由图象观察法或代入点的坐标通过解 A 的
方程求出．
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§1.5（二）
例如，已知函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|
本 讲
C．2kπ＋π2，k∈Z
D．kπ＋π2，k∈Z
栏 目
(2)若函数 f(x)＝cos(3x＋φ)是奇函数，则 φ 等于 ( B )
关
四个步骤．请完成下面的填空．
ωx
π
＋φ 0
2
3
π
2π
2π
x －___ωφ_ －__ωφ__＋__2_πω_ _－__ωφ__＋__ωπ_ －_ω_φ_＋__23_ωπ_ －_ωφ__＋__2ω_π
y0
A
0
－A
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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§1.5（二）
本
所以，描点时的五个关键点的坐标依次是__－__ωφ__，__0__，
x 轴上升的即为“第一零点”(x1,0)．从左到右依次为第 二、三、四、五点分别有 ωx2＋φ＝π2，ωx3＋φ＝π，ωx4 ＋φ＝32π，ωx5＋φ＝2π.
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§1.5（二）
(2)由图象确定系数 ω，φ 通常采用两种方法：
本 讲
①如果图象明确指出了周期的大小和初始值 x1(第一个零
目 开 关
②函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)是偶函数⇔f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的图象关于 y 轴对称⇔f(0)＝A 或 f(0)＝－A⇔φ＝kπ＋π2
课件4：1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图象
y=sinx
决定函数的周期: T 2
探究： A 对函数图象的影响
y=Asinx与y=sinx的图象关系:
作下列函数图象:
y 2sin x
x
0
2
3
2
2
y 1 sin x 2
y 2
1
sinx 0 1 0 1 0
2sinx 0 2 0 2 0
1 sin x
2
0
1 2
0
1 2
0
O
3
-1
2
2
-2 y 1 sin x
y=sin(
1 2
x
-
4
)的图象
各点的纵坐标伸长到原来的3倍
第3步:
y=sin( 12
x
-
4
)的图象
(横坐标不变)
y=3sin(
1 2
x
-4
)的图象
巩固练习:
练习2. 为了得到y=3sin(2x+π/5)的图象,只需将函数
y=3sin(x+π/5)的图象上各点的 ( B )而得到.
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变. B.横坐标缩短到原来的1/2倍,纵坐标不变. C.纵坐标伸长到原来的1/2倍,横坐标不变.
③再把所得图象各点的纵坐标_伸__长(A>1时)或缩__短_(0<A<时) 到原来的___A__倍(横坐标不变),而得的Y=Asin(ωx+φ) 的图象.
课堂小节: 3、由y sin x到y Asin(x )的图像变换步骤
步骤1 步骤2 步骤3 步骤4 步骤5
画出y sin x在0，2 上的简图
y=Asinx，xR的值域是[－A, A]， 最大值是A，最小值是－A.
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用讲义
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用一、知识梳理1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈R振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径注意：1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin )4(π-x 的图象是由y ＝sin )4(π+x 的图象向右平移π2个单位长度得到的．( ) (2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( ) (3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求函数解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( ) 题组二：教材改编2．为了得到函数y ＝2sin )32(π-x 的图象，可以将函数y ＝2sin 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度3．]函数y ＝2sin )321(π-x 的振幅、频率和初相分别为( )A ．2,4π，π3B ．2，14π，π3C ．2，14π，－π3D ．2,4π，－π34．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为__________________________．题组三：易错自纠 5．要得到函数y ＝sin )34(π-x 的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度6．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________．三、典型例题题型一：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换 典例 已知函数y ＝2sin )32(π+x .(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明y ＝2sin )32(π+x 的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．思维升华：(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标． (2)由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．跟踪训练：(1)若把函数y ＝sin )6(πω-x 的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是( )A ．2 B.32 C.23 D.12(2)把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位长度，得到的函数图象的解析式是________．题型二：由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式典例 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则y ＝________________.(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ))2,0(πϕω<>的部分图象如图所示，则y ＝f )6(π+x 取得最小值时x 的集合为________．思维升华：y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 跟踪训练 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B )2,0,0(πϕω<>>A 的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )的图象关于点)23,3(π对称，则m 的值可能为( )A.π6B.π2C.7π6D.7π12 题型三：三角函数图象性质的应用 命题点1：三角函数模型典例 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin )6(ϕπ+x ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10 命题点2：函数零点(方程根)问题典例 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在),2(ππ上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是____________．引申探究：本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________． 命题点3：三角函数图象性质的综合 典例 已知函数f (x )＝3sin )32(πω+x (ω>0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点)0,3(π-，求当m 取得最小值时，g (x )在]127,6[ππ-上的单调递增区间．思维升华：(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ))2,0(πϕω≤>的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点)21,2(-，则函数f (x )的解析式为__________．四、反馈练习1．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin )322(π+x ，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 22．若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8 B.π4 C.3π8D.5π43．若函数y ＝sin(ωx －φ))2,0(πϕω<>在区间],2[ππ-上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝－2π3C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝－2π34．函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移的单位长度是( ) A.π2 B.2π3 C.π3D.π45．将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象沿着x 轴向右平移a (a >0)个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则a 的最小值是( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 6．函数f (x )＝sin(2x ＋φ))2(πϕ<的图象向左平移π6个单位长度后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在]2,0[π上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.327．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是______________． 8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ))20,0(πϕω<<>的部分图象如图所示，已知图象经过点A (0，1)，B )1,3(-π，则f (x )＝________.9．已知函数f (x )＝cos )33(π+x ，其中x ∈],6[m π，若f (x )的值域是]23,1[--，则m 的取值范围是________． 10．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． 11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ))2,0,0(πϕω<>>A 的图象过点P )0,12(π，图象上与点P 最近的一个最高点是Q )5,3(π.(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的单调递增区间． 12．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ))2(πϕ<的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P )23,0(，则φ的值为________． 13．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为________．14.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f )61(的值为________．.15．设函数f (x )＝sin )6(πω-x ＋sin )2(πω-x ，其中0＜ω＜3.已知f )6(π＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在]43,4[ππ-上的最小值．。
函数y=Asin(wx+)的图像与性质
函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用I 、基本知识点一、y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念二、用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点三、函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤II 、教材回归1、[课本改编]得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( ) A 、向右平移π8个单位长度 B 、向左平移π8个单位长度C 、向左平移π4个单位长度D 、向右平移π4个单位长度2、[课本改编]将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ等于( )A 、π6B 、11π6C 、7π6D 、5π63、[2015·沈阳质检]设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A 、13B 、3C 、6D 、94、[2015·西安模拟]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A 、关于点(π3，0)对称B 、关于直线x ＝π4对称C 、关于点(π4，0)对称 D 、关于直线x ＝π3对称 5、[课本改编]已知简谐振动f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象经过点(0,1)，则该简谐振动的初相φ为________．III 、基本例题一、三角函数的图象变换例1(1)[2014·四川高考]为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( )A 、向左平行移动12个单位长度B 、向右平行移动12个单位长度C 、向左平行移动1个单位长度D 、向右平行移动1个单位长度(2)[2014·重庆高考]将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)（ω>0，−π2≤∅≤π2）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.二、求函数y ＝A sin ωx ＋φ的解析式例2(1)[2013·四川高考]函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是A 、2，－π3B 、2，－π6C 、4，－π6D 、4，π3(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，|φ|<π2的图象如图所示，则f (x )的表达式是f (x )＝( ) A 、52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 B 、52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3C 、32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1 D 、32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋1三、函数y ＝A sinωx ＋φ的图象与性质的综合应用例3[2015·湖南模拟]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12的单调递增区间．IV 、基本练习1、[2015·无锡模拟]函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )2、[2015·哈尔滨质检]已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如下图所示，则f (x )的函数解析式为( )A 、f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋π4 B 、f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4 C 、f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋π8 D 、f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π8 3、[2015·台州质检]已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则 A 、ω＝1，φ＝π6 B 、ω＝1，φ＝－π6 C 、ω＝2，φ＝π6 D 、ω＝2，φ＝－π64、[2014·南宁模拟]如图是周期为2π的三角函数y ＝f (x )的图象，那么f (x )可以写成( ) A 、f (x )＝sin(1＋x ) B 、f (x )＝sin(－1－x ) C 、f (x )＝sin(x －1) D 、f (x )＝sin(1－x )5、[2014·郑州质检]要得到函数y ＝cos2x 的图象，只需将函数y＝sin2x 的图象沿x 轴( )A 、向右平移π4个单位B 、向左平移π4个单位C 、向右平移π8个单位D 、向左平移π8个单位6、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝( )A 、－π6B 、π6C 、－π3D 、π37、[2015·太原月考]将y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6的图象向左平移π4个单位，向上平移2个单位，则平移后所得图象的解析式为( )A 、y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π4＋2B 、y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π4＋2C 、y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π12－2D 、y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π12＋28、[2015·石家庄模拟]若ω>0，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向右平移2π3个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值为( )A 、43B 、23 C 、3 D 、49、[2015·山东模拟]将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A 、3π4B 、π4C 、0D 、－π410、[2014·荆州质检]将函数y ＝sin(2x ＋π4)的图象向左平移π4个单位，再向上平移2个单位，则所得图象的一个对称中心是( )A 、(π4，2)B 、(π3，2)C 、(π8，2)D 、(π2，2)11、(2014·高考辽宁卷)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A 、在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减B 、在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C 、在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D 、在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 12、(2015·高考湖南卷)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( ) A 、5π12 B 、π3 C 、π4 D 、π613、(2015·洛阳期末考试)把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A 、x ＝－π2B 、x ＝－π4C 、x ＝π8D 、x ＝π414、[2015·郑州质检]把y ＝sin 12x 的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图象，则ω的值为( )A 、1B 、4C 、14 D 、215、(2015·高考安徽卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A 、f (2)<f (－2)<f (0)B 、f (0)<f (2)<f (－2)C 、f (－2)<f (0)<f (2)D 、f (2)<f (0)<f (－2)16、[2015·银川模拟]若将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图象向右平移π4个单位后得到的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，则|φ|的最小值是________．17、[2014·广东梅州二模]把函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断：①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；②该函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为3，则a ＝2 3.其中，正确判断的序号是________．18、[2015·皖南八校联考]将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图象向左平移π2个单位得到函数g (x )的图象，则g (x )的解析式为________．19、已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝________.20、已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝________.21、[2015·长春调研]函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R )的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围．22、[2015·潍坊模拟]已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)画出函数y ＝f (x )在[0，π]上的图象，并说明y ＝f (x )的图象是由y ＝sin2x 的图象怎样变换得到的．23、(2016·龙岩模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．24、(2015·沈阳一检)已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．25、(2015·高考安徽卷)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．26、(2015·高考湖北卷)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．。
第4讲 三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的简单应用
第20讲 三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质及三角函数模型的简单应用知识梳理1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要把ωx ＋φ看成一个整体，要找五个特征点，如表格所示.x ____ ____ ____ ____ ____ ωx ＋φ 0π2π3π22πy ＝A sin(ωx ＋φ) 0 A 0 －A 02．图象变换(1)y ＝sin x ――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ) ――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变 y ＝sin(ωx ＋φ)――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．(2)y ＝sin x ――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin ωx ――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)． 例 已知2()3sin cos sin f x x x x =-，把()f x 的图象向右平移12π个单位，再向上平移2个单位，得到()y g x =的图象，若对任意实数x ，都有()()g x g x αα-=+成立， 则()()44g g ππα++= _____________3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中各个量的物理意义当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表： 简谐振动振幅周期 频率 相位 初相 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)____________________4．三角函数模型的简单应用对具有周期变化规律的实际问题用三角函数模型进行表示，根据三角函数的图象和性质得到实际问题的结论．■ 链接教材1．[教材改编] 把函数y ＝sin x 的图像上每个点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到函数________的图像．2．[教材改编] 将某函数的图像向右平移π2个单位长度得到函数y ＝sin(x ＋π4)的图像，则原函数的解析式是________．3．[教材改编] 已知简谐运动y ＝2sin(π3x ＋φ)|φ|<π2的图像经过点(0，1)，则该简谐运动的初相φ为________．■ 易错问题4．正弦型函数的最小正周期若函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，则ω＝________． 5．自变量的系数为负值的函数单调性函数y ＝sin(π4－2x )的单调递增区间是________．6．函数图像变换的先后次序 把y ＝sin x 的图像向左平移π4个单位长度，再将各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数____________的图像；把y ＝sin x 的图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移π4个单位长度，得到函数____________的图像． ■ 通性通法图3-19-17．由图像求函数解析式已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图3-19-1所示，则函数的解析式是________________________________________________________________________．8．利用换元法研究函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质函数f (x )＝sin(4x ＋π4)的对称轴方程为________．► 探究点一 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像及变换例1 (1)使用五点法作出函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3在区间⎣⎡⎦⎤－2π3，10π3内的图像，并说明如何由函数y ＝sin x 的图像经过变换得到函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图像．(2)[2017·郑州二模] 将函数f (x )＝cos x －3sin x (x ∈R )的图像向左平移a (a >0)个单位长度后，所得到的图像关于原点对称，则a 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6 (3)将函数x y 2cos =的图象向左平移4π个单位，得到函数x x f y cos )(⋅=的图象，则)(x f 的表达式可以是( )A ．x x f sin 2)(-=B ．x x f sin 2)(=C ．x x f 2sin 22)(=D ．)2cos 2(sin 22)(x x x f += (4)[2015·湖南卷] 将函数f (x )＝sin 2x 的图像向右平移φ0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图像，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6变式题 (1)使用五点法作出函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4在区间[－1，7]内的图像，并说明由y ＝sin x 的图像得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4的图像的变换过程．(2)[2017·太原模拟] 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为________．(3)设函数f (x )＝2＋2 6sin x cos x －2 2sin 2x (x ∈R )，对f (x )的图象作如下变换：先将f (x )的图象向右平移π12个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝________．(4)函数)cos 3(sin sin 21)(x x x x f +-=的图象向左平移3π个单位得函数)(x g 的图象，则函数)(x g 的解析式是( ) A ．)22sin(2)(π-=x x g B ．x x g 2cos 2)(= C ．)322cos(2)(π+=x x g D ．)2sin(2)(π+=x x g► 探究点二 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式的求法 例2 (1)[2017·哈尔滨模拟] 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω>0，0＜φ＜π)的图象的两个相邻零点为⎝⎛⎭⎫－π6，0和⎝⎛⎭⎫π2，0，且该函数的最大值为2，最小值为－2，则该函数的解析式为______________________．(2)函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为( )A ．)48sin(4π-π-=x y B ．)48sin(4π-π=x y C ．)48sin(4π+π=x y D ．)48sin(4π+π-=x y(3)[2017·宜昌高三质检] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ⎝⎛⎭⎫A >0，0<φ<π2的部分图象如图3－19－1所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(2，A )，点R 的坐标为(2，0)．若∠PRQ ＝2π3，则y ＝f (x )的最大值及φ的值分别是( )A ．23，π6 B.3，π3 C.3，π6 D ．23，π3图3－19－1 题4图 (4)已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）的部分图象如图，则20161()6n n f π==∑___ (5)已知点3,,,,,444M A N A P A πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是函数 ()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭ 的图象上相邻的三个最值点，MNP ∆是正三角形，且x π=-是函数()f x 的一个零点，若函数()f x 的导函数为()'f x ，则函数()()()23'h x f x f x =+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是( )A ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．3,22ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦ C.3,32ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．3,32ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦6π 512π1-1变式题 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图像如图3-19-2所示，则此函数的解析式为( )图3-19-2 图3-19-3A ．y ＝3sin(π4x ＋π4)B ．y ＝3sin(π4x ＋3π4)C ．y ＝3sin(π2x ＋π4)D ．y ＝3sin(π2x ＋3π4)(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图像如图3-19-3所示，为了得到g (x )＝3sin 2x 的图像，只需将f (x )的图像( )A ．向左平移2π3个单位长度B ．向左平移π3个单位长度C ．向右平移2π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度题3图 题4图(3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k ⎝⎛⎭⎫A >0，|φ|<π2的图像如图3所示，则f (x )的表达式是f (x )＝( )A.52sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B.52sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 C.32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1 D.32sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋1 (4)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________．(5)已知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象与y ＝1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝sin ωx 的图象( )A ．向右平移11π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移11π12个单位长度D ．向左平移5π12个单位长度(6)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为( )A ．－34 B ．－14 C ．－12 D.34(7)如图，函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中2||,0,0πϕω≤>>A ）与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足)2,2(),0,1(-M P 为线段QR 的中点，则=A ()题7图 题6图A. 32B.337 C.338D. 34► 探究点三 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质应用例3 (1)函数)0,2)(2sin()(>≤+=A x A x f πφφ部分图象如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的[]b a x x ,,21∈，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则( ) A ．)(x f 在)12,125(ππ-上是减函数 B ．)(x f 在)12,125(ππ-上是增函数 C ．)(x f 在)65,3(ππ上是减函数 D ．)(x f 在)65,3(ππ上是增函数 (2)已知函数2()cos ()1f x A x ωϕ=++（0A >，0ω>，02πϕ<<）的最大值为3，2ab xy O()f x 的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则 (1)(2)(3)(2016)f f f f ++++…的值为( )A ．2468B ．3501C ．4032D ．5739(3)设函数()Asin(),f x x x R ωϕ=+∈(其中0,0A ω>>)在(,)62ππ上既无最大值，也无最小值，且()(0)()26f f f ππ-==，则下列结论成立的是( )A ．若12()()()f x f x f x ≤≤对x R ∀∈恒成立，则21min x x π-=；B ．)(x f y =的图象关于点2(,0)3π-中心对称； C ．函数()f x 的单增区间为：7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； D ．函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是2π. (4)已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为_______(5)已知函数x x x x y 22sin cos cos sin 32+-=的图象在],0[m 上恰有两个点的纵坐标为1，则实数m 的取值范围是 ．(6)(G196) 若函数)0(sin >=ωωx y 在区间]1,0[上至少出现50次最大值，则ω的最小值 是_________________．(7)(G198)若函数x x f ωtan )(=的图像在线段)100(0π≤≤=x y 上恰有10个对称中心，则正实数ω的取值范围是______________．(8)已知函数()()()πϕωϕω≤≤>+=0,0sin x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,43πM 对称，且在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调函数，求ω和ϕ的值．(9)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ，23cos ωx )．设函数f (x )＝a·b＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.①求函数f (x )的最小正周期；②若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围．变式题 (1)已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f fππ<，则下列结论正确的是( )A ．11()112f π=-B ．7()()105f f ππ>C ．()f x 是奇函数D ．()f x 的单调递增区间是[,]()36k k k Z ππππ-+∈(2)函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中A 、C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．若在曲线段ABC ︵与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为___________．(3)已知函数()2sin()1(0,||)f x x ωϕωϕπ=--><的一个零点是,3x π=直线6x π=-函数图象的一条对称轴，则ω取最小值时，()f x 的单调增区间是( ) A. [3,3],36k k k Z ππππ-+-+∈ B. 5[3,3],36k k k Z ππππ-+-+∈ C. 2[2,2],36k k k Z ππππ-+-+∈ D. [2,2],36k k k Z ππππ-+-+∈ (4)已知函数()()sin 0,463f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω=___________．(5)已知函数()()cos2sin R f x x a x a =+∈在()0n π，内恰有2017个零点，则正整数n 的值 为 ．(6)存在实数ϕ，使得圆面224x y +≤恰好覆盖函数sin()y x kπϕ=+图象的最高点或最低点共三个，则正数k 的取值范围是 ．(7)已知函数()x a x a x f cos 123sin 321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，将()x f 图像向右平移3π个单位 长度得到函数()x g 的图像，若对任意R x ∈，都有()⎪⎭⎫⎝⎛≤4πg x g 成立，则a 的值为 ．(8)(G198) 若函数24tan 3)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=πωx x f 的图像在线段)100(2π≤≤-=x y 上恰有10个对称中心，则正实数ω的取值范围是______________．(9)(G199) 若函数x y ωsin =在区间]2,0[上恰好出现100次最大值和99次最小值，求正数ω的取值范围．(10)已知函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6与函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图像的对称轴相同，求实数a 的值．(11)设函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx ＋a (0<ω<1，a ∈R)，f (x )的图像向左平移π4个单位后得到函数g (x )，若g (x )的图像关于y 轴对称，解答以下问题：①求ω的值．②如果f (x )在区间⎣⎡⎦⎤34π，54π上的最小值为3，求a 的值．(12)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin 2x －cos 2x . ①求函数f (x )的最小正周期及图像的对称轴方程；②设函数g (x )＝[f (x )]2＋f (x )，求g (x )的值域．(13)已知函数()4sin cos 2424f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()3124x g x -=+，若()f x 与()g x 的图象的交点分别为()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，则()1ni i i y x =-=∑ ．► 探究点四 三角函数模型的简单应用例4 湄洲湾港被誉为“世界不多，中国少有”的天然良港．港口各泊位每天的水深(水面与洋底的距离)f (x )(单位：m)与时间x (单位：h)的函数关系近似地满足f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋B (A ，B >0，0≤φ<2π)．在通常情况下，港口各泊位能正常进行额定吨位的货船的装卸货任务，而当货船的吨位超过泊位的额定吨位时，货船需在涨潮时驶入航道，靠近码头卸货，在落潮时返回海洋．该港口某五万吨级泊位接到一艘七万吨货船卸货的紧急任务，货船将于凌晨0点在该泊位开始卸货．已知该泊位当天水深的最小值为12 m ，水深的最大值为20 m ，并在凌晨3点达到最大水深．(1)求该泊位当天的水深f (x )的解析式．(2)已知该货船的吃水深度(船底与水面的距离)为12.5 m ，安全条例规定，当船底与洋底距离不足1.5 m 时，货船必须停止卸货，并将船驶向较深的水域．据测算，一个装卸小队可使货船吃水深度以每小时0.1 m 的速度减少．①如果只安排一个装卸小队进行卸货，那么该船在什么时间必须停止卸货，并将船驶向较深的水域(精确到小时)?②如果安排三个这样的装卸小队同时执行该货船的卸货任务，问能否连续不间断地完成卸货任务？说明你的理由．变试题1．如图3－20－4，为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.(1)求h与θ间的函数关系式；图3－20－4(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？2．某港口水的深度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据：t时03691215182124y米10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经长期观察，y＝f(t)的曲线可以近似地看成函数y＝A sin ωx＋b的图像．(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似表达式；(2)一般情况下船舶航行时，船底离海底的距离为5 m或5 m以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5 m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?(3)[2017·广州模拟] 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.课时作业(二十A) 第20讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用(时间：45分钟 分值：100分)1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( )A ．－1B ．12C ．－12D ．12．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图像如图K191所示，则ω＝( )图K191A ．5B ．4C ．3D ．2 3．[2017·青岛质检] 函数y ＝2sin 2x 的图像的一条对称轴方程为( )A ．x ＝π4B ．x ＝π3C ．x ＝34π D ．x ＝π4．[2017·内蒙古通辽模拟] 将函数y ＝sin(x ＋π6) (x ∈R )图像上所有点的横坐标向左平行移动π6个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则得到的图像的解析式为( )A ．y ＝sin(2x ＋π3)B ．y ＝sin(x 2＋π3)C ．y ＝sin x 2D ．y ＝cos x25．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________．6．有一种波，其波形为函数y ＝sin π2x 的图像，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t 的最小值是________．7．已知函数f (x )＝sin(2x ＋α)在x ＝π12时取得极大值，且f (x －β)为奇函数，则α，β的一组可能值为( )A ．α＝π6，β＝－π12B ．α＝π6，β＝π12C ．α＝π3，β＝－π6D ．α＝π3，β＝π68．将函数y ＝f (x )sin x 的图像向右平移π4个单位，再作关于x 轴的对称曲线，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图像，则f (x )＝( )A ．2sin xB ．sin xC ．2cos xD ．cos x9．[2017·赣州四校联考] 设函数f (x )＝sin(ωx ＋2π3)＋sin(ωx －2π3) (ω＞0)的最小正周期为π，则( )A ．f (x )在区间(0，π4)上单调递增B ．f (x )在区间(0，π4)上单调递减C ．f (x )在区间(0，π2)上单调递增D ．f (x )在区间(0，π2)上单调递减10．图K192是函数y ＝sin(ωx ＋φ)，0<φ<π2的图像的一部分，A ，B 分别是图像上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为( )图K192 图K193A ．12πB ．19π2＋1C ．19π2－1D ．13π2－111．[2017·郑州二检] 已知直线x ＝5π12和点(π6，0)恰好是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像的相邻的对称轴和对称中心，则f (x )的表达式可以是( )A ．f (x )＝2sin(2x －π6)B ．f (x )＝2sin(2x －π3)C ．f (x )＝2sin(4x ＋π3)D ．f (x )＝2sin(4x ＋π6)12．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图像如图K193所示，则φ＝________．13．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是________(填序号)．①y ＝4sin4(x ＋π6)；②y ＝2sin(2x ＋π3)＋2；③y ＝2sin(4x ＋π3)＋2；④y ＝2sin(4x ＋π6)＋2.14．(10分)[2017·温州二模] 如图K194所示，点P (0，A2)是函数y ＝A sin(2π3x ＋φ) (其中A >0，φ∈[0，π))的图像与y 轴的交点，点Q ，点R 是它与x 轴的两个交点．(1)求φ的值；(2)若PQ ⊥PR ，求A 的值．图K19415．(13分)[2017·湛江二模] 设函数f (x )＝2sin(ωx －π4) (ω>0)，f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为π4.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．16．(12分)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．课时作业(二十B) 第20讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用(时间：45分钟 分值：100分)1．为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )A ．98π B.1972π C.1992π D ．100π2．[2016·太原五中月考] 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)的部分图像如图K191所示，其中A ，B 两点之间的距离为5，图K191则f (x )的单调递增区间是( )A ．[6k －1，6k ＋2](k ∈Z )B ．[6k －4，6k －1](k ∈Z )C ．[3k －1，3k ＋2](k ∈Z )D ．[3k －4，3k －1](k ∈Z )3．要得到函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的图像，只需将函数y ＝2sin 2x 的图像( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度4．函数y ＝12sin(π4－2x3)的单调递减区间是________．5．将函数f (x )＝sin(3x ＋π4)的图像向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，则函数y ＝g (x )在区间[π3，2π3]上的最小值为________．6．一观览车的主架示意图如图K192所示，其中O 为巨轮的中心，距地面32 m(即OM 长)，巨轮的半径为30 m ，AM ＝BP ＝2 m ，巨轮逆时针旋转且每12 min 转动一圈．若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t min ，该吊舱距离地面的高度为h (t )(单位：m)，则h (t )＝( )图K192A ．30sin(π12t －π2)＋30B ．30sin(π6t －π2)＋30C ．30sin(π6t －π2)＋32D ．30sin(π6t －π2)7．[2017·福州三中月考] 将函数f (x )＝sin 2x 的图像向左平移π6个单位长度后，得到函数y ＝g (x )的图像，下列关于y ＝g (x )的说法正确的是( )A ．图像关于点(－π3，0)中心对称B ．图像关于直线x ＝－π6对称C ．在区间(－5π12，－π6)上单调递增D ．在区间(－π6，π3)上单调递减8．[2017·九江三模] 将函数y ＝sin(2x ＋π6)的图像向右平移m (m >0)个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图像，若函数y ＝f (x )在区间[－π6，π3]上单调递增，则m 的最小值为( )A.π3B.π4C.π6D.π129．[2017·泰安二模] 将函数f (x )＝sin x cos x 的图像向左平移π4个单位长度，得到函数g (x )的图像，则g (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π2，k π](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k π－π4，k π＋π4](k ∈Z )D ．[k π＋π4，k π＋3π4](k ∈Z )10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的部分图像如图K193所示，则得到y ＝f (x )的图像需将y ＝cos 2x 的图像( )图K193 图K194A ．向右平移π3个单位长度B ．向左平移π3个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向左平移π6个单位长度11．[2017·北京朝阳区二模] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图K194所示，则φ＝________．12．[2017·大庆二模] 将函数y ＝14sin x ＋34cos x (x ∈R )的图像向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是________．13．将函数f (x )＝2sin(ωx －π3)(ω>0)的图像向左平移π3ω个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像．若y ＝g (x )在区间[0，π4]上为增函数，则ω的最大值为________．14．(10分)[2017·茂名二模] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋π6)(A >0，ω>0)的部分图像如图K195所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α，β∈[－π2，0]，f (3α＋π)＝1013，f (3β＋5π2)＝65，求sin(α－β)的值．图K19515．(13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0，0<φ<π2)的部分图像如图K196所示，P 是图像的最高点，Q 为图像与x 轴的交点，O 为坐标原点．若OQ ＝4，OP ＝5，PQ ＝13.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图像向右平移2个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图像，当x ∈(－1，2)时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的值域．图K19616．(12分)如图K197所示，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形区域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要面向市政府大楼．设扇形的半径OM ＝R ，∠MOP ＝45°，OB 与OM 之间的夹角为θ.(1)将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数． (2)若R ＝45 m ，求当θ为何值时，矩形ABCD 的面积S 有最大值？其最大值是多少？(精确到0.01 m 2)．图K19717．若函数()sin()(0,0)22f x A x A ππωφωφ=+>>-<<，的部分图象如图所示，,B C分别是图象的最低点和最高点， 其中164||2+=πBC .(1)求函数)(x f 的解析式；(2)在锐角ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A 、、的对边，若3)(=A f ,2=a ,求ABC∆周长的取值范围．18．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中70,2312f f ππ⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，给出下列结论：①最小正周期为π；②()01f =；③函数6y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数； ④12141113f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑤()403f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 其中正确结论的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2yxCBA O3π-125π 第17题19．已知函数()()2.5cos f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，M ，N 两点之间的距离为13，且()30f =，若将函数()f x 的图象向右平移()0t t >个单位长度后所得函数的图象关于坐标原点对称，则t 的最小值为（ ）A.7B.8C.9D.1020. 已知函数()sin()(0,(0,π))f x x ωϕωϕ=+>∈满足π5π()()066f f ==，给出以下四个结论:○1 3ω=； ○26k ω≠，k *∈N ； ○3 ϕ可能等于3π4； ○4符合条件的ω有无数个，且均为整数. 其中所有正确的结论序号是______.21．已知函数()2sin 2f x x =，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像. （Ⅰ）求函数()y g x =的解析式（Ⅱ）若对任何实数x ，不等式()2()mg x m g x +≥恒成立，求实数m 的取值范围. （Ⅲ）若区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值．22.若函数1)62sin(2)(-++=m x x f π)(R m ∈在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个零点21,x x )(21x x ≠，则m x x -+21的取值范围是（ ）.A )13,13(+-ππ .B )13,3[+ππ .C )132,132(+-ππ .D )132,32[+ππ第20讲 例题 4知识聚焦1．－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω3．A T ＝2πωf ＝1T ＝ω2π ωx ＋φ φ正本清源1．y ＝2sin x [解析] 根据函数图像变换法则可得．2．y ＝sin x ＋3π4 [解析] 将函数y ＝sin x ＋π4的图像向左平移π2个单位长度得到函数y＝sin x ＋π2＋π4，即y ＝sin x ＋3π4的图像．3.π6[解析] ∵函数图像经过点(0，1)，∴将点(0，1)代入函数表达式可得2sin φ＝1，∴sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.4．±2 [解析]2π|ω|＝π，解得ω＝±2. 5．k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z [解析] sin π4－2x ＝－sin2x －π4，由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z ，故所求的单调递增区间为k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z .6．y ＝sin 12x ＋π4 y ＝sin 12x ＋π8 [解析] y ＝sin x →y ＝sin x ＋π4→y ＝sin 12x ＋π4；y ＝sin x →y ＝sin 12x →y ＝sin 12x ＋π4＝sin 12x ＋π8.7．f (x )＝2sin2x ＋π3 [解析] 易知A ＝2，2πω＝2×π3＋π6，∴ω＝2.又函数f (x )的图像过点π3，0，∴2×π3＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π3.∵|φ|<π2，∴φ＝π3.故所求函数的解析式为f (x )＝2sin2x ＋π3.8．x ＝k π4＋π16，k ∈Z [解析] 令4x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π4＋π16，k ∈Z .例1 (1)略 (2) B 函数f (x )＝cos x －3sin x ＝2×12cos x －32sin x ＝2cos x ＋π3，将函数f (x )的图像向左平移a 个单位长度得到函数y ＝2cos x ＋a ＋π3的图像，又该图像关于原点对称，所以a ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得a ＝k π＋π6(k ∈Z )．又a >0，所以a min ＝π6.(3)A (4) D 由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，又|f (x 1)－g (x 2)|＝2，0<φ<π2，所以当|x 1－x 2|取最小值时，刚好是取两个函数相邻的最大值与最小值点．令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，则|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，得φ＝π6.变试题 (1)略 (2)π4(3)2 2sin x (4)A例2 (1) y ＝2sin （32x ＋π4） (2)D (3)A (4) B 解析：()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．易得2ω=，由五点法作图可知262ππϕ⨯+=，得6πϕ=．即()s i n (2)6f x x π=+． 故()16f π=，21()62f π=，31()62f π=-，4()16f π=-，51()62f π=-，61()62f π=，201611111()336(11)062222n n f π==⨯+---+=∑(5)D 变试题 (1)A (2)B (3)C (4)3 (5)D (6)D (7)C例3 (1)B (2)C (3)B (4)9 解析：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤接下来用排除法若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减(5)⎪⎭⎫⎢⎣⎡67,2ππ (6)2197π (7) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,209 (8)解：()x f 是偶函数，∴y 轴是其对称轴，即y 轴经过函数图象的波峰或波谷， ∴(),1sin ±==ϕx f 又πϕ≤≤0 ，∴2πϕ=．由()x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,43πM 对称，∴,043=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，即043c o s 243s i n ==⎪⎭⎫⎝⎛+⋅ωπππω，又0>ω，∴,2,1,0,243=+=k k ππωπ．∴() ,2,1,0,1232=+=k k ω 当0=k 时，32=ω， ()x x x f 32cos 232sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π是减函数；当1=k 时，2=ω，()x x x f 2cos 22sin =⎪⎭⎫⎝⎛+=π在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是减函数； 当2≥k 时， 103ω≥，()x x x f ωπωcos 2sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=在 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上不是单调函数． 综上所述，32=ω或2=ω，2πϕ=． (9)①ω＝56. 最小正周期是6π5 ②[－1－2，2－2]．变试题 (1)D(2)【解析】由f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)知|AC |＝πω，|y B |＝ω，所以S △ABC ＝12·|AC |·|y B |＝π2，设A (x 0，0) ，则ωx 0＋φ＝π2，C ⎝⎛⎭⎫x 0＋πω，0， 设曲线段ABC ︵与x 轴所围成的区域的面积为S ，则S ＝|∫x 0＋πωx 0f ′(x )d x |＝－∫x 0＋πωx 0f ′(x )d x ＝－f (x )|x 0＋πωx 0＝f (x 0)－f ⎝⎛⎭⎫x 0＋πω ＝sin (ωx 0＋φ)－sin ⎝⎛⎭⎫ω⎝⎛⎭⎫x 0＋πω＋φ＝sin π2－sin 3π2＝2. 所以该点在△ABC 内的概率P ＝S△ABCS ＝π22＝π4. (3)B (4)1 (5)1345 (6)⎥⎦⎤ ⎝⎛3,23 (7)2 (8) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡4021,4019 (9) ⎪⎭⎫⎢⎣⎡4399,4397ππ (10)a ＝－33. (11)①ω＝13. ②a ＝1＋32. (12)解：（Ⅰ） πϕπω=+⋅3①23127πϕπω=+⋅② 解得2=ω，3πϕ=. （Ⅱ）)32sin()(π+=x x f ，)32sin(2sin π++-=x x kx x x x x 2cos 232sin 213sin2cos 3cos2sin 2sin +-=++-=ππ)32sin(π--=x ，因为]2,12[ππ∈x 时，]32,6[32πππ-∈-x ，由方程恰有唯一实根，结合图象可知 2123≤<-k 或1-=k ． (13) 5例4 解：(1)因为泊位的最小水深为12 m ，最大水深为20 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋B ＝12，A ＋B ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝4，B ＝16，所以f (x )＝4sin(πx6＋φ)＋16.又当x ＝3时，f (x )取到最大值20，所以f (3)＝4sin （π2＋φ)＋16＝20，又0≤φ<2π，所以φ＝0，f (x )＝4sin πx6＋16，x ∈[0，24]．(2)设货船的吃水深度以每小时a m 的速度下降， 令g (x )＝f (x )－(12.5－ax )－1.5，则g (x )＝4sin πx6＋ax ＋2.要使货船能在泊位正常卸货，只需g (x )≥0.①只安排一个装卸小队进行卸货时，a ＝0.1，g (x )＝4sin πx6＋0.1x ＋2.当x ∈(0，7]时，因为4sin πx 6≥4sin 7π6＝－2，所以g (x )≥－2＋0.1x ＋2>0. 又g (8)＝4sin8π6＋0.8＋2＝－2 3＋2.8<0， 所以该船必须在上午7点停止卸货，并将船驶向较深的水域． ②若安排三个装卸小队进行卸货，则能按要求完成卸货的任务． 此时a ＝0.3，g (x )＝4sin πx6＋0.3x ＋2.因为泊位的水深f (x )＝4sin πx6＋16在当天上午9：00时第一次达到水深的最小值，所以要使卸货任务能连续不间断地完成，只需当x ∈[0，9]时能正常卸货．当x ∈(0，7]时，因为4sin πx 6≥4sin 7π6＝－2，所以g (x )≥－2＋0.3x ＋2>0.当x ∈[7，9]时，因为4sin πx6≥－4，0.3x ＋2≥0.3×7＋2＝4.1，两式相加得g (x )≥0.1，所以当∈[7，9]时，g (x )>0成立．综上，对任意的x >0，g (x )>0恒成立，即安排三个这样的装卸小队同时执行该货船的卸货任务，能按要求完成卸货任务． 变试题 1.解：(1)以圆心O 为原点，水平方向为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫4.8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π2，4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2， ∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. (2)点A 在圆上转动的角速度是π30，故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)． 到达最高点时，h ＝10.4 m.由sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＝1得π30t －π2＝π2，∴t ＝30， ∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30 s.2．解：(1)由已知数据，易知函数y ＝f (t )的周期T ＝12，振幅A ＝3，b ＝10，所以y ＝3sinπ6t ＋10.(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5 m ，所以3sin π6t ＋10≥11.5，所以sin π6t ≥12，解得2k π＋π6≤π6t ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，12k ＋1≤t ≤12k ＋5(k ∈Z )．在同一天内，取k ＝0或k ＝1，所以1≤t ≤5或13≤t ≤17.所以该船可在当日凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时． 3.[答案] 20.5课时作业(二十A)1．C [解析] f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以函数f (x )的最小值为－12.2．B [解析] 根据对称性可得π4为已知函数的半个周期，所以2πω＝2×π4，解得ω＝4.3．D [解析] y ＝2sin 2x ＝－cos 2x ＋1，由2x ＝k π(k ∈Z )得对称轴方程为x ＝k π2(k ∈Z )，所以x ＝π是其一条对称轴．4．B [解析] 向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin x ＋π3的图像；将所得图像的横坐标扩大为原来的2倍，得y ＝sin 12x ＋π3的图像．5.5π6 [解析] 函数可化为y ＝2sin x －π3，由x ∈[0，2π)得x －π3∈⎣⎡⎭⎫－π3，5π3，∴当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，函数取得最大值2. 6．5 [解析] 函数y ＝sin π2x 的最小正周期T ＝4，若在区间[0，t ]上至少出现2个波峰，则t ≥54T ＝5.7．D [解析] 由函数f (x )＝sin(2x ＋α)在x ＝π12时取得极大值，得2×π12＋α＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴α＝π3＋2k π(k ∈Z )．由f (x －β)＝sin(2x －2β＋α)为奇函数，得－2β＋α＝k π(k ∈Z )．令k ＝0，得α＝π3，β＝π6.8．C [解析] 与函数y ＝1－2sin 2x ＝cos 2x 的图像关于x 轴对称的为函数y ＝－cos 2x的图像，将其向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝－cos 2x ＋π4＝sin 2x ＝2sin x cos x 的图像，所以有y ＝f (x )sin x ＝2sin x cos x ，所以f (x )＝2cos x .9．B [解析] f (x )＝sin ωx ＋23π＋sin ωx －23π＝－sin ωx ，又其最小正周期为π，所以ω＝2，故f (x )＝－sin 2x ，易知其在区间0，π4上单调递减．10．C [解析] 由图知T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π，∴B 2π3，－1.∵A π6，1，B 2π3，－1，∴OA →·OB →＝π29－1.11．B [解析] 据题意可知14T ＝512π－π6＝π4，所以T ＝π，所以ω＝2πT＝2.又f (x )的图像过点π6，0，所以有2sin2×π6＋φ＝0，得φ＝－π3＋k π(k ∈Z )，可知B 满足． 12.9π10 [解析] 由图像知函数y ＝sin(ωx ＋φ)的周期为22π－3π4＝5π2，∴2πω＝5π2，∴ω＝45. ∵当x ＝34π时，y 有最小值－1，∴45×3π4＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )． ∵－π≤φ<π，∴φ＝9π10.13．④ [解析] 因为函数的最大值为4，最小值为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧A ＋m ＝4，m －A ＝0，解得A ＝m ＝2.又最小正周期T ＝2πω＝π2，所以ω＝4.又直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，将x ＝π3代入得sin4×π3＋φ＝±1，所以φ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π－5π6(k ∈Z )，当k ＝1时，φ＝π6.14．解：(1)∵函数图像经过点P 0，A 2，∴sin φ＝12.又∵φ∈[0，π)，且点P 在增区间上，∴φ＝π6.(2)由(1)可知y ＝A sin 2π3x ＋π6，令y ＝0，得sin 2π3x ＋π6＝0，∴2π3x ＋π6＝k π(k ∈Z )，∴x ＝－14＋32k (k ∈Z )， ∴Q －14，0，R 54，0.又∵P 0，A2，∴PQ →＝－14，－A 2，PR →＝54，－A 2.∵PQ ⊥PR ，∴PQ →·PR →＝－516＋14A 2＝0，∴A ＝52.15．解：(1)由f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为π4，可知π4为函数f (x )的最小正周期的14，所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)知ω＝2ππ＝2，又函数y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )， 由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )． 16．解：(1)由题意知，f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图像过点π12，3和点2π3，－2，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin2x ＋π6.由题意知，g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin2x ＋2φ＋π6.设y ＝g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0，2)．由题意知，x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．将其代入y ＝g (x )得，sin2φ＋π6＝1.因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此，g (x )＝2sin2x ＋π2＝2cos 2x .由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 课时作业(二十B)1．B [解析] 设函数的最小正周期为T ，由题意知49＋14T ≤1，即1974×2πω≤1，∴ω≥197π2.2．B [解析] 设函数的最小正周期为T ，根据已知可得x B －x A ＝3＝T2，所以T ＝6，x A＝－1，所以f (x )的单调递增区间是[6k －4，6k －1](k ∈Z )．3．C [解析] 函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin2x ＋π6的图像可由函数y ＝2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度得到的．故选C.4．3k π－3π8，3k π＋9π8(k ∈Z ) [解析] 由2k π－π2≤2x 3－π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得3k π－3π8≤x ≤3k π＋9π8(k ∈Z )，所以函数y ＝12sin π4－2x3的单调递减区间为3k π－3π8，3k π＋9π8(k ∈Z )．5．－22 [解析] g (x )＝sin3x －π3＋π4＝sin3x －3π4，由π3≤x ≤2π3，得π4≤3x －3π4≤5π4，所以当3x －3π4＝5π4时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝sin 5π4＝－22. 6．B [解析] 由题意可设h (t )＝A sin(ωt ＋φ)＋l (A >0，ω>0)，则2πω＝12，所以ω＝π6.易知初相φ＝－π2，振幅A ＝30，又OM ＝32，AM ＝BP ＝2，故h (t )＝30sin π6t －π2＋30.7．C [解析] y ＝g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2x ＋π6＝sin2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，得g (x )的图像的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π6＋k π2，0(k ∈Z )，故A 不正确；当x ＝－π6时，g －π6＝sin 0＝0，所以g (x )的图像不关于直线x ＝－π6对称，故B 不正确；当－5π12≤x ≤－π6时，－π2≤2x ＋π3≤0，所以函数g (x )在区间－5π12，－π6上单调递增，故C 正确；当－π6≤x ≤π3时，0≤2x ＋π3≤π，函数g (x )在此区间上先增后减，故D 不正确．故选C.8．C [解析] 根据已知，得f (x )＝sin2(x －m )＋π6＝sin2x －2m ＋π6，由2k π－π2≤2x －2m ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π＋m －π3≤x ≤k π＋m ＋π6(k ∈Z )，即函数y ＝f (x )的单调递增区间是k π＋m －π3，k π＋m ＋π6(k ∈Z )，根据题意，得－π6，π3⊆kπ＋m －π3，k π＋m ＋π6(k ∈Z )，所以k π＋m －π3≤－π6且k π＋m ＋π6≥π3(k ∈Z )，解得m ≤－k π＋π6且m ≥－k π＋π6(k ∈Z )，故m ＝－k π＋π6(k ∈Z )．由于m >0，取k ＝0，得m的最小值为π6.9．A [解析] f (x )＝12sin 2x ，将其图像向左平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝12sin 2x＋π4＝12cos 2x 的图像，由2k π－π≤2x ≤2k π(k ∈Z )，解得k π－π2≤x ≤k π(k ∈Z )，故函数g (x )的单调递增区间是k π－π2，k π(k ∈Z )．10．A [解析] 7π12－π3＝π4＝14×2πω，解得ω＝2.由sin2×π3＋φ＝1，－π2<φ<π2，得φ＝－π6，即f (x )＝sin2x －π6，又y ＝cos 2x ＝sin2x ＋π2，且sin2x －π6＝sin2x －π3＋π2，故只要把y ＝cos 2x 的图像向右平移π3个单位长度即可得到f (x )的图像．11.π3 [解析] 由图像得14×2πω＝π3－π12＝π4，得ω＝2.再由2×π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，|φ|<π2，得φ＝π3.12.π6 [解析] 把y ＝12sin x ＋π3的图像向左平移m 个单位长度后得到函数y ＝12sin(x ＋m )＋π3＝12sin x ＋m ＋π3的图像，由题意得m ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即m ＝k π＋π6，k ∈Z ，又m >0，取k ＝0，得m 的最小值为π6.13．2 [解析] 函数g (x )的解析式为g (x )＝2sin ωx ＋π3ω－π3＝2sin ωx ，易知函数g (x )的一个单调递增区间是－π2ω，π2ω.又函数y ＝g (x )在区间0，π4上为增函数，则0，π4⊆－π2ω，π2ω，所以π2ω≥π4，得ω≤2.所以ω的最大值为2. 14．解：(1)由图像可知A ＝2，∵34T ＝11π2－π＝92π，∴T ＝6π＝2πω，∴ω＝13， ∴f (x )＝2sin 13x ＋π6.(2)∵f (3α＋π)＝2sin α＋π2＝2cos α＝1013，∴cos α＝513.又∵f 3β＋5π2＝2sin(β＋π)＝－2sin β＝65，∴sin β＝－35.∵α，β∈－π2，0，∴sin α＝－1－cos 2α＝1－5132＝－1213，cos β＝1－sin 2β＝1－－352＝45，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－1213×45－513×－35＝－3365.15．解：(1)由条件知cos ∠POQ ＝42＋（5）2－（13）22×4×5＝55，所以P (1，2)，由此可得A ＝2，最小正周期T ＝4×(4－1)＝12，则2πω＝12，得ω＝π6.将(1，2)代入y ＝2sin π6x ＋φ，得sin π6＋φ＝1，因为0<φ<π2，所以φ＝π3，于是f (x )＝2sin π6x ＋π3.(2)由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π6（x －2）＋π3＝2sin π6x ，所以h (x )＝f (x )·g (x )＝4sin π6x ＋π3·sin π6x ＝2sin 2π6x ＋2 3sin π6x ·cos π6x ＝1－cos π3x＋3sin π3x ＝1＋2sin π3x －π6.当x ∈(－1，2)时，π3x －π6∈－π2，π2，所以sin π3x －π6∈(－1，1)，即1＋2sin π3x －π6∈(－1，3)．故函数h (x )的值域为(－1，3)．16．解：(1)由题意可知，点M 为PQ 的中点，所以OM ⊥AD .设OM 与AD ，BC 的交点分别为E ，F ，则BC ＝2R sin θ，OF ＝R cos θ，易知△OAE 为等腰直角三角形，OE ＝AE ＝12BC ＝R sin θ，则AB ＝EF ＝OF －OE ＝R cos θ－R sin θ， 所以S ＝AB ·BC ＝2R sin θ(R cos θ－R sin θ)＝R 2(2sin θcos θ－2sin 2θ)＝R 2(sin 2θ－1＋cos 2θ)＝2R 2sin2θ＋π4－R 2，θ∈0，π4.(2)因为θ∈0，π4，所以2θ＋π4∈π4，3π4.所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，S 取得最大值，S max ＝(2－1)R 2＝(2－1)×452＝(2－1)×2025≈838.78(m 2)．故当θ＝π8时，矩形ABCD 的面积S 有最大值，其最大值约为838.78 m 2.。
第九讲 函数y=Asin(ωx+φ)的性质
第九讲 函数y ＝Asin(ωx＋φ)的性质学习目标1.会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.2.能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，确定其解析式.3.了解y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相． 知识点一 “五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象思考1 用“五点法”作y ＝sin x ，x ∈[0,2π]时，五个关键点的横坐标依次取哪几个值？ 答案 依次为0，π2，π，3π2，2π.思考2 用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)时，五个关键的横坐标取哪几个值？答案 用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )的简图，先令t ＝ωx ＋φ，再由t 取0，π2，π，3π2，2π即可得到所取五个关键点的横坐标依次为－φω，－φω＋π2ω，－φω＋πω，－φω＋3π2ω，－φω＋2πω.梳理 用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象的步骤 第一步：列表：第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象． 知识点二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A >0，ω>0的性质知识点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义1．函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的振幅是－2.( × ) 提示 振幅是2.2．函数y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的初相是π4.( × ) 提示 初相是－π4.3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象的对称轴方程是x ＝π4＋k π，k ∈Z .( √ ) 提示 令x ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π4＋k π，k ∈Z ，即f (x )的图象的对称轴方程是x ＝π4＋k π，k ∈Z .类型一 用“五点法”画y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象例1 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋3(x ∈R )，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象． 考点 正弦函数的图象 题点 五点法作正弦函数图象 解 (1)列表：(2)描点画图：反思与感悟 (1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx ＋φ分别为0，π2，π，3π2，2π，解出x ，从而确定这五点．(2)作给定区间上y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，若x ∈[m ，n ]，则应先求出ωx ＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x ，y 的值，描点、连线并作出函数的图象．跟踪训练1 已知f (x )＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，画出f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象． 考点 正弦函数的图象题点 五点法作正弦函数图象解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－54π，34π. 列表如下：(2)描点，连线，如图所示．类型二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象，求A ，ω，φ的值，并确定其函数解析式．考点 求三角函数的解析式 题点 根据三角函数的图象求解析式 解 方法一 (逐一定参法) 由图象知振幅A ＝3，又T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，∴ω＝2πT＝2. 由点⎝⎛⎭⎫－π6，0可知，－π6×2＋φ＝2k π，k ∈Z ， ∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z .又|φ|<π2，得φ＝π3，∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 方法二 (待定系数法)由图象知A ＝3，又图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有⎩⎪⎨⎪⎧π3·ω＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，5π6·ω＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z ，|φ|<π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3. ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 方法三 (图象变换法)由T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0，A ＝3可知， 图象是由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得到的，∴y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.反思与感悟 若设所求解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A ，ω，φ.(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)由函数图象与x 轴的交点确定T ，由T ＝2π|ω|，确定ω.(3)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的初相φ的值的两种方法①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω已知)或代入图象与x 轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝⎛⎭⎫－φω，0作为突破口．“五点”的ωx ＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.跟踪训练2 (2018·牌头中学月考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，A >0，ω>0，|φ|<π2的图象(部分)如图，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6(x ∈R ) B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π6(x ∈R )C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3(x ∈R ) D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π3(x ∈R ) 考点 求三角函数的解析式 题点 根据三角函数的图象求解析式 答案 A类型三 函数y ＝A sin ()ωx ＋φ，|φ|<π2性质的应用例3 设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间及最值． 考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用 解 (1)由2x ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π4－φ2，k ∈Z ，令k π2＋π4－φ2＝π8，k ∈Z ，得φ＝k π＋π4，k ∈Z . ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4. 由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，故函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．同理可得函数的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋5π8，k π＋9π8(k ∈Z )．当2x －3π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π8(k ∈Z )时，函数取得最大值1；当2x －3π4＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，函数取得最小值－1.反思与感悟 有关函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想．跟踪训练3 已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|≤π2上最高点为(2，2)，该最高点与相邻的最低点间的曲线与x 轴交于点(6,0)． (1)求函数的解析式；(2)求函数在x ∈[－6,0]上的值域． 考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用解 (1)由题意可知A ＝2，T4＝6－2＝4，∴T ＝16，即2πω＝16，∴ω＝π8，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ. 又图象过最高点(2，2)，∴sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1， 故π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π4＋2k π，k ∈Z ， 由|φ|≤π2，得φ＝π4，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4. (2)∵－6≤x ≤0，∴－π2≤π8x ＋π4≤π4，∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4≤1.即函数在x ∈[－6,0]上的值域为[－2，1].。
第15讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(学生版)
第15讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质一，基础知识回顾的最小正周期为 ．的最小正周期为 ．3．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图4得到：（1）相位变换：y ＝sin x →y ＝sin(x ＋φ)，把y ＝sin x 图象上所有的点向____(φ>0)或向____(φ<0)平行移动__________个单位．（2）周期变换：y ＝sin (x ＋φ)→y ＝sin(ωx ＋φ)，把y ＝sin(x ＋φ)图象上各点的横坐标____(0<ω<1)或____(ω>1)到原来的________倍(纵坐标不变)．（3）振幅变换：y ＝sin (ωx ＋φ)→y ＝A sin(ωx ＋φ)，把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上各点的纵坐标______(A >1)或______(0<A <1)到原来的____倍(横坐标不变)．5.确定y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b 的解析式的步骤：(1)求A ，b.确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝ ，b ＝ .(2)求ω.确定函数的周期T ，则ω＝ .(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ ＝π2；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2.6．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)性质（1）单调性： （2）最值： （3）周期：（4）对称性： （5）奇偶性： 二，典例精析题型一：五点法作图及图象变换例1：已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到.变式迁移1：(1)要得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D 向左平移π12个单位(2)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________． 题型二：由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2：(1)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象如图所示，则f (x )的解析式为(2)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝变式训练2：(1)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A >0，ω>0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相分别是(2)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω＝题型三：三角函数图象与性质的综合应用例3：设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋33sin 2x －33cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期及其图象的对称轴；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，求g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的值域．变式训练3：已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间．题型四：三角函数模型的简单应用例4：如图所示，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，φ∈(0，π)．(1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．变式训练4.：某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？题型五：三角函数背景下的创新问题例5：设函数f (x )＝3sin πx m.若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2<m 2，则m 的取值范围是变式训练5：已知函数f (x )＝2sin x ＋1(x ∈[0，2π])，设h (x )＝|f (x )|－a ，则当1<a <3时，函数h (x )的零点个数为三．方法规律总结1．五点法作函数图象及函数图象变换问题：(1)当明确了函数图象基本特征后，“描点法”是作函数图象的快捷方式．运用“五点法”作正、余弦型函数图象时，应取好五个特殊点，并注意曲线的凹凸方向．(2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．2．由图象确定函数解析式：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A 、ω、φ的题型，常常以“五点法”中的第一零点⎝⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．3．对称问题：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离)．4．由函数y ＝sin x (x ∈R )的图象经过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，在具体问题中，可先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但要注意：先伸缩，后平移时要把x 前面的系数提取出来．5．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质是本节考查的重点，也是高考热点，复习时尽可能使用数形结合的思想方法，如求解对称轴、对称中心和单调区间等．6．注意复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性． 四、课后练习作业 一、选择题1．函数y ＝sin(2x －π3)在区间[－π2，π]上的简图是( )2．函数y ＝sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A 、B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则ω的值为( )A. πB.π4C.π3 D ．π23．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 B 关于直线x ＝π4对称C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 D 关于直线x ＝π3对称 4.要得到函数cos(21)y x =+的图象，只要将函数cos 2y x =的图象（ ）1212个单位 5．将函数y ＝f (x )·sin x 的图象向右平移π4个单位后，再作关于x 轴对称变换，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图象，则f (x )可以是( D )．A ．sin xB ．cos xC ．2sin xD ．2cos x6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( A )．A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数7．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( C )． A.13B ．3C ．6D ．9 8．将函数y ＝sin(x ＋φ)的图象F 向左平移π6个单位长度后得到图象F ′，若F ′的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，则φ的一个可能取值是( D ) A.π12 B.π6 C.5π6 D.7π129．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为( D )A.π3B.23πC.43πD.π3或43π 10．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的取值范围是( B )A ．)185,92[ππ B ．]185,92(ππ C ．)185,92(ππ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡185,92ππ 二、填空题11．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________．12．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________．13．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.14．若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象重合，则ω的最小值为________． 三、解答题15．设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜0)的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．(3) 若f(x)>22，求x 的取值范围．16．已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x .(1)将f (x )的图象向右平移π12个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数g (x )的图象，求g (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．17．已知函数f (x )＝23·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．18．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入，为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？。
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1
1.5.2 求函数Asin()yx的解析式
一教学目标
1. 知识Asin()yx中参数的物理意义；
2. 会三角函数的图象，逆用“五点法” 求出Asin()yx的解析式
二教学过程
（一）复习
1. 如何由y=sinx的图象得到函数. )sin(A的图象xy
. )sin(A A 2.图象的影响对函数、、xy
（二）新课讲解
1.Asin()[0,)(0,0)yxxA函数，其中的物理意义：
函数表示一个振动量时：
A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”.
T：. 2T间，称为“周期”往复振动一次所需的时
f ：. 2T1次数，称为“频率”单位时间内往返振动的f
:x
称为“相位” . : x=0时的相位，称为“初相”.
2例题讲解
例1、 用“五点法”画函数3sin2,3yxxR的图象；
变式：用“五点法”画函数3sin2,,322yxx的图象；
分析：(1)令320,,,,2322x，从而求出x值.
(2) ,22x,可得242333x
令242,,0,,,33223x
例2 图示是某简谐运动的图象，
(1) 这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
(2) 从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
(3) 求这个简谐运动的函数表达式.
2
例3已知函数sin()(0,0,||)2yAxbA的图象如图所示，求这个函数的
解析式.
解析：难点求
方法一：利用图象过点,06，相当于“五
点法”中的第一个点
方法二：利用图象过点,03，相当于“五点
法”中的第三个点
方法三：利用图象过点5,06，相当于“五点
法”中的第二个点
变式：已知函数sin()(0,0,||)yAxbA的图象如图所示，求这个函数
的解析式.
π
3
2
1
y
x
-
5π
6
-
π
6
O
x/s y/cm O
A
B
C
D
E
F
2-
0.4 0.8
1.2
3
练习：
1、如图：函数y＝Asin(ωx＋)0,0A其中｜｜＜2的图象，求函数解析式：
3. 求()sin(2)3fxx的对称轴和对称中心；
变式：已知函数()sin()03fxx的最小正周期为，则该图象（ ）
A．关于点,03对称 B．关于4x对称 C．关于,04 D．关于直线3x对称
例4、已知函数()sin(),fxAxxR（其中0,0,0A）,图象最
低点的纵坐标是3,相邻两个对称中心是,03和5,06
（1） 求这个函数的解析式;(2)求()fx的对称轴
变式:已知0，0，直线3x和56x是函数()sin()fxx图象的
两条相邻的对称轴,求值
四、课堂小结：
的表达式：求函数)sin(xAy
;.1由图像中的振幅确定A
;.2由图像的周期确定
3.利用五点法的逆用
4
五、课后作业
补充作业:
1.函数sin()(||)yAx的图象如图所示，求这个函数的解析式.
解析：
法一:由图象可知A=2，
7(),8822.(,0)822284,42sin(2).4TkkkZyx
即，
又为五点作图的第一个点，
因此（），
因此所求函数的表达式为
法二:图象过点,28,所以sin(2)18,即242kkZ,
解得24kkZ,,4
2sin(2).4yx因此所求函数的表达式为
2．若函数()sin(),fxAxxR（其中0,0,02A）的图象与x轴
的交点中相邻两个交点之间的距离为2，且图象上一个最低点为2,23
（1）求这个函数的解析式 （2）当,122x时求()fx的值域。
教学建议:在具体的过程中，需要安排一到两个课时。
37
2
1
2
y
o
x
8
88
5
备用:
当堂检测：
1、函数)33sin(51xy的定义域是 ； 最小值是 ，相应x集合为 ；
单调递减区间是 ；图象对称轴方程： k∈Z；
对称中心： k∈Z；周期 ；振幅 ；频率 ；相位 ；
初相 .
2.已知函数）＋xsin(y，在一个周期内，当x12时，取得最大值2，当7x12时
取得最小值-2，那么（ ）.
A. 1ysin(x)23 B. y2sin(2x)3
C. y2sin(2x)6 D. xy2sin()26
3、
.已知函数)xAsin(y（A>0，>0，0<）的两个邻近的最值点为（26，）和
（232，），则这个函数的解析式为____________________.
4：已知如图是函数y＝2sin(ωx＋)(｜｜＜2)的图象，那么
( )
A.ω＝1110，＝6 B.ω＝1110，＝－6
C.ω＝2，＝6 D.ω＝2， ＝－6
5、已知函数y＝Asin(ωx＋)，在同一周期内，当x＝9时函数
取得最大值2，当x＝94时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为( )
A.y＝2sin(3x－6) B.y＝2sin(3x＋6)
C.y＝2sin(3x＋6) D.y＝2sin(3x－6)
6、已知函数y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0，0＜＜2π)图象的一个最高点(2，3)，
由这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点(6，0)，试求函数的解析式.