湖北省部分重点中学2015届高三上学期起点考试数学(理)试题 Word版含答案

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湖北省重点中学2015届高三上学期第三次月考数学理试题

湖北省重点中学2015届高三上学期第三次月考数学理试题总分150分，考试用时120分钟。

一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的． 1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U = 集合{}1,2,3,4,5,6A = 集合{}3,4,5,6,7,8B =，则集合U UAB 痧为（）A ． {}3,4,5,6B ． {}1,2,7,8,9C ． {}1,2,3,4,5,6,7,8D ． {}9 2．已知点()1,3A ，()4,1B -则与AB 同方向的单位向量是（） A ． 34,55⎛⎫-⎪⎝⎭B ． 43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ． 34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ． 43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭3．命题“对任意x R ∈都有21x ≥”的否定是（） A ．对任意x R ∈，都有21x <B ．不存在x R ∈，使得21x <C ．存在0x R ∈，使得201x ≥D ．存在0x R ∈，使得201x <4．已知函数()21f x +的定义域为12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()f x 的定义域为（） A ． 31,24⎛⎫-⎪⎝⎭ B ． 31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ． ()3,2- D ． ()3,3-5．已知角x 的终边上一点坐标为55sin ,cos 66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则角x 的最小正值为（） A ．56π B ． 53π C ． 116π D ． 23π6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()()2=32ln f x x xf x '++，则()2f '的值等于（）A ．2B ． 2-C ．94 D ． 94- 7．已知向量()2,8a b +=-，()8,16a b -=-，则a 与b 夹角的余弦值为（） A ．6365 B ． 6365- C ． 6365± D ． 5138．已知点(),a b 在圆221x y +=上，则函数()2cos sin cos 12af x a x b x x =+--的最小正周期和最小值分别为（）A ． 32,2π-B ． 3,2π-C ． 5,2π- D ． 52,2π-9．函数()3f x m x =-+有零点，则实数m 的取值范围是（）A ． ⎛ ⎝⎭B ．⎡⎢⎣⎦ C ．⎡⎢⎣⎦ D ．⎛ ⎝⎭10．设分程220xx ++=和方程2log 20x x ++=的根分别为p 和q ，函数()()()2f x x p x q =+++，则（）A ． ()()()203f f f =<B ． ()()()023f f f <<C ． ()()()302f f f <=D ． ()()()032f f f <<二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分．请把答案填在答题卡上． 11．已知()tan 2θπ-=，则22sin sin cos 2cos 3θθθθ+-+的值为13．ABC 中，60A =︒，1b =，三角形ABC 面积S =sin sin sin a b cA B C++=++14．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处取得极值10，则a b +取值的集合为 15．若关于x 的方程43210x ax ax ax ++++=有实根，则实数a 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）17．（本小题满分12分）已知函数()2cos cos f x x x x ωωω-，其中ω为使()f x 能在23x π=时取得最大值的最小正整数．（1）求ω的值；（2）设ABC 的三边长a 、b 、c 满足2b ac =，且边b 所对的角θ的取值集合为A ，当x A ∈时，求()f x 的值域．18．（本小题满分12分）ABC 中，设a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，角A 的平分线AD 交BC 边于D ，60A =︒．（1）求证：AD b c=+；（2）若2BD DC =，AD =a 、b 、c 的值． 19．（本小题满分12分）工厂生产某种产品，次品率P 与日产量x （万件）间的关系()()10623x c xP x c ⎧<≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩（c 为常数，且06c <<），已知每生产一件合格产品盈利3元，每出现一件次品亏损1.5元（1）将日盈利额y （万元）表示为日产量x （万件）的函数；（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注： 100⨯次品数次品率=%产品总数）20．（本小题满分13分）已知()()20f x ax bx c a =++>，当1x ≤时，()1f x ≤．（1）证明1c ≤；（2）若224442a b a b ab ++=+-成立，请先求出c 的值，并利用c 值的特点求出函数()f x 的表达式． 21．（本小题满分14分）已知函数()()()()()1212ln ,x f x a x x g x xe -=---=（a 为常数，e 为自然对数的底）（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值；（3）若对任意的(]00,x e ∈，在(]0,e 上存在两个不同的()1,2i x i =使得()()0i f x g x =成立，求a的取值范围．数学（理）参考答案11．19512．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦13．314．{}7-15．[)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦16．若命题p 为真 ()()210a x a x +-= 显然0a ≠2x a ∴=-或1x a=[]1,1x ∈- 故有21a -≤或11a≤ 1a ∴≥………………………5分若命题q 为真，就有()22420a x a -=0a ∴=或2a =∴命题“p 或q ”为假命题时，()()1,00,1a ∈-………………………12分17．（1）()1sin 262f x x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，依题意有()42362k k Z πωπππ-=+∈ 即()312k k Z ω+=∈ ω的最小正整数值为22ω∴=………………………5分（2）2b ac = 又 2222c o s b a c a B =+-222cos a c ac B ac ∴+-= 即22212cos 2a c ac B ac ac++=≥= 12cos 2B ∴+≥ 1c o s2B ∴≥ 03B π∴<≤ 即0,3A π⎛⎤= ⎥⎝⎦……………………………………8分()1sin 462f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 03x π<≤74666x πππ∴-<-≤1sin 4,162x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ …………………………10分()11,2f x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦故函数()f x 的值域是11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦…………………………12分18．（1）S ABC S ABD S ACD =+ 即111sin 60sin 30sin 30222b c cAD bAD ︒=︒+︒AD ∴=………………………………5分（2）2BD DC = 2c B D b D C∴== 2c b ∴= ①……………………7分又()4bc b c b c=∴=++ ②…………………………9分由①②解得6,12b c ==…………………………………………10分又在ABC 中 2222212c o s 61226122a b c b B =+-=+-⨯⨯⨯a ∴= ……………………………………………………12分19．（1）当x c >时，23p =，222130333y x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭…………2分当0x c <≤时，16p x=-()()23921131366226x x y x xx x x -⎛⎫⎛⎫∴=--= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭……………4分 ∴日盈利额y （万元）与日产量x （万件）的函数关系式为()()()()23920260x x x c y x x c ⎧-⎪<≤=-⎨⎪>⎩……………………………………5分（2）当x c >时，日盈利额为0当0x c <≤时，()()239226x x y x -=-()()()2239326x x y x --'∴=- 令0y '=得3x =或9x =（舍去）∴当03c <<时，0y '> ∴y 在(]0,c 上单增 ∴y 最大值()()()239226c c f c c -==- ………………………………9分当36c ≤<时，y 在()0,3上单增，在()3,c 上单减 ∴y 最大值()932f ==……………………………………10分综上：当03c <<时，日产量为c 万件y 日盈利额最大当36c ≤<时，日产量为3万件时日盈利额最大20．（1）1x ≤时 ()()101f x f ≤∴≤ 0c ∴≤ ……………………………………………………4分（2）由224442a b a b ab ++=+-得到()220a b +-=2a b ∴+= ……………………………………………………5分又1x ≤时 ()11f ∴≤ 即11a b c -≤++≤将2a b +=代入上式得31c -≤≤- 又 11c -≤≤1c ∴=- ……………………………………………………8分又()01f c ==- 1x ≤时()1f x ≥()()0f x f ∴≥对1x ≤均成立0x ∴=为函数()f x 为对称轴 ………………………………10分002bb a∴-=∴= 又22a b a +=∴= 201a b c ∴===- ………………………………………………12分 ()221f x x ∴=- ………………………………………………13分21．（1）1a =时，()()22ln 11f x x x f x x'=--=-由()0f x '>得2x > ()0f x '<得02x <<故()f x 的减区间为()0,2 增区间为()2,+∞ …………………………3分（2）因为()0f x <在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立不可能故要使()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对任意的10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x >恒成立即10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2ln 21x a x >-- …………………………………5分令()2ln 120,12x l x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭则()()222ln 21x x l x x +-'=- 再令()212ln 20,2m x x x x⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭()()2210x m x x --'=< 于是在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上()m x 为减函数故()122ln 202m x m ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭()0l x '∴>在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立()l x ∴在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数()12l x l ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭ 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立又124ln 22l ⎛⎫=- ⎪⎝⎭故要使ln 21xa x >--恒成立，只要[)24ln 2,a ∈-+∞若函数()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，a 的最小值为24ln 2-………………8分（3）()()11xf x x e -'=-当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x ∴为增函数当()1,x e ∈时，()0g x '<，()g x ∴为减函数()()()100,110e g g g e e e -===>∴函数()g x 在(]0,e 上的值域为(]0,1 …………………………………9分当2a =时，不合题意当2a ≠时，()()()2220,a x a f x x e x⎛⎫--⎪-⎝⎭'=∈故202e a <<- 22a e∴<-① ……………………………………………………10分此时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下0x →时，()f x →+∞，2ln 22f a a a ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()()()212f e a e =---∴任意定的(]00,x e ∈，在区间(]0,e 上存在两个不同的()1,2i x i =使得()()0i f x g x =成立，当且仅当a 满足下列条件202f a ⎛⎫< ⎪-⎝⎭即22ln 02a a ⎛⎫-< ⎪-⎝⎭② ()1f e >即()()2121a e ---≥ ③……………………11分令()222ln ,22h a a a a e ⎛⎫⎛⎫=-∈-∞-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()2ah a a '=- 令()0h a '=得0a = 当(),0a ∈-∞时，()0h a '> 函数()h a 为增函数当20,2a e ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0h a '< 函数()h a 为减函数所以在任取2,2a e ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时有()()00h a h ≤=即②式对2,2a e ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭恒成立 ……………………………………13分由③解得3,21a e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭ ④由①④ 当3,21a e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时对任意(]00,x e ∈，在(]0,e 上存在两个不同的()1,2i x i =使()()0i f x g x =成立。

湖北省教学合作2015届高三上学期10月联考数学(理)试题

教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（理科）本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷（选择题，50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、已知集合2{|{|0}2x A x y B x x +===≤-，则A B = A ．[]1,1- B ．[)1,2- C ．[)1,2 D ．[]2,1-- 2、下列命题中真命题的个数是（1）若命题,p q 中有一个是假命题，则()p q ⌝∧是真命题．（2）在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“90C =”的必要不充分条件．（3）C 表示复数集，则有2,11x C x ∀∈+≥． A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、已知四个函数：①sin y x x =；②cos y x x =；③cos y x x =；④2x y x =⋅的图象如下，但顺序打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数正确的一组是A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①4、已知12515111(),log ,log 533a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >> 5、将函数2cos2y x x -的图象向右平移4π个单位长度，所得图象对应的函数()g x A1 B ．对称轴方程是7,12x k k Z ππ=+∈ C ．是周期函数，周期2T π= D ．在区间7[,]1212ππ上单调递增6、已知函数()log (01)a f x x a =<<的导函数()f x '，(),(1)()A f a b f a f a '==+-(1),(2)(1)C f a D f a f a '=+=+-+，则,,,A B C D 中最大的数是A ．AB ．BC ．CD ．D 7、已知a b <，若函数()(),f x g x 满足()()bbaaf x dxg x dx =⎰⎰，则称()(),f x g x 为区间[],a b 上的一组“等积分”函数，给出四组函数：①()()2,1f x x g x x ==+； ②()()sin ,cos f x x g x x ==； ③()()234f xg x x π==； ④函数()(),f x g x 分别是定义在[]1,1-上的奇函数且积分值存在．其中为区间[]1,1-上的“等积分”函数的组数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．48、已知2221a b c ++=，21c x x m++≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立，则实数m的取值范围是A ．[)8,+∞B ．(][),42,-∞-+∞ C ．(][),18,-∞-+∞ D ．[)2,+∞9、已知由不等式组00240x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩，确定的平面区域Ω的面积为7，定点M 的坐标为()1,2-，若N ∈Ω，O 为坐标原点，则OM ON ⋅的最小值是A ．8-B ．7-C ．6-D ．4- 10、已知函数()()2212,3ln 2f x x axg x a x b =+=+设两曲线()(),y f x y g x ==有公共点，且在该点处的切线相同，则(0,)a ∈+∞时，实数b 的最大值是A ．6136eB ．616eC ．2372eD ．2332e第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上11、已知向量a 与向量b 的夹角为120，若()(2)a b a b +⊥-且2a =，则b 在a 上的投影为 12、已知偶函数()f x 在(],0-∞上满足：当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，总有12120()()x x f x f x -<-，则不等式()()1f x f x -<的解集为 13、点O 是锐角ABC ∆的外心，812,3AB AC A π===，若AO xAB yAC =+，则23x y +=14、定义在正整数集上的函数()f n 满足（1）(())43()f f n n n N +=+∈；（2）(125)()f m m N +=∈，则有()f m = (2015)f = 15、（选修4-4：坐标系与参数方程）曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，且(,2)θππ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的方程为sin()04πρθ+=，取线C 与曲线D 的交点为P ，则过交点P 且与曲线C 相切的极坐标方程是三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分12分）已知集合U R =，集合{|(2)(3)0}A x x x =--<，函数2(2)lg x a y a x-+=-的定义域为集合B ．（1）若12a =，求集合()U A C B ；（2）命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(cos ,sin )m A A =，向量(2sin ,cos )n A A =- 若2m n +=．（1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆外接圆的半径为2，2b =，求边c 的长．18、（本小题满分12分）据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风已知向正南方向移动，其移动速度(/)v km h 与时间()t h 的函数图象如图所示，过线段OC 上一点(,0)T t 作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为()t h 内台风所经过的路程()s km ．（1）当4t =时，求s 的值，并将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；（2）若N 城位于M 地正南方向，且距N 地650km ，试判断这场台风师父会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多出时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．19、（本小题满分12分）某地一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：小时）的变化近似满足函数关系：()[]244sin ,0,24f t t t t ωω=--∈，且早上8时的温度为24C ，(0,)8πω∈．（1）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？（2）当地有一通宵营业的超市，我节省开支，跪在在环境温度超过28C 时，开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？20、（本小题满分13分）已知函数()()22(),(1)f x x x a g x x a x =-=-+-（其中a 为常数）（1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值，并写出函数()y f x =的单调区间；（2）求方程()()0f x g x -=在区间[]1,3-上实数解的个数．21、（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：当1x >时，12ln x x x<-；（Ⅱ）若不等式(1)ln(1)a t a t++>对任意的正实数t 恒成立，求正实数a 的取值范围；（Ⅲ）求证：19291()10e<教学合作2015届高三年级十月联考试题数学（理科）答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．解析：D 依题意；化简集合{|13}A x x x =≤-≥或，{|22}B x x =-≤<，利用集合的运算可得：{|21}AB x x =-≤≤-.故选D.2．解析：C 命题（1）（2）是真命题，（3）是假命题，故选C3．解析：A ①sin y x x =是偶函数，其图象关于y 轴对称；②cos y x x =是奇函数，其图象关于原点对称；③|cos |y x x =是奇函数，其图象关于原点对称．且当0x >时，0y ≥；④2x y x =⋅为非奇非偶函数，且当0x >时，0y >；当0x <时，0y <；故选A.4．解析：B 由指数函数和对数函数的性质可知01,0,01a b c <<<<<，而1211()52a ==<，155511log log 3log 32c ==>=，所以有c a b >>，故选B.5．解析：D化简函数得2cos 22sin(2)6y x x x π=-=-，所以2()2sin(2)3g x x π=-易求最大值是2，周期是π，由22()32x k k Z πππ-=+∈，得对称轴方程是7()122k x k Z ππ=+∈ 由27222()2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤-≤+⇔+≤≤+∈，故选D. 6．解析：A 由于函数()log (01)a f x x a =<<是可导函数且为单调递减函数，,A C 分别表示函数在点,1a a +处切线的斜率，因为(1)()(1)f a f a B a a +-=+-，(2)(1)(2)(1)f a f a D a a +-+=+-+，故,B D 分别表示函数图象上两点(,()),(1,(1))a f a a f a ++和两点(1,(1)),(2,(2))a f a a f a ++++连线的斜率，由函数图象可知一定有A B C D <<<，四个数中最大的是D ，故选D .7．解析：C 对于①，1101111()2||2()22f x dx x dx x dx xdx ---==-+=⎰⎰⎰⎰，或者利用积分的几何意义（面积）直接可求得11()2f x dx -=⎰，而11121111()(+1)()|22g x dx x dx x x ---==+=⎰⎰，所以①是一组“等积分”函数；对于②，1111()sin 0f x dx xdx --==⎰⎰，而1111()cos 2sin10g x dx xdx --==≠⎰⎰，所以②不是一组“等积分”函数；对于③，由于函数()f x 的图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，故111()2f x dx π--==⎰⎰，而1112311131()|442g x dx x dx x πππ---===⎰⎰，所以③是一组“等积分”函数；对于④，由于函数(),()f x g x 分别是定义在[1,1]-上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分1111()()0f x dx g x dx --==⎰⎰，所以④是一组“等积分”函数，故选C8．解析：B 由柯西不等式得, 9))(432()232(2222=++++≤++c b a c b a ,即3232≤++c b a ,即2c +的最大值为3，当且仅当22221c a b c ==++=⎩时等号成立；21||c x x m ++≤-++对任意实数,,,a b c x 恒成立等价于1||3x x m -++≥对任意实数x 恒成立，又因为1|||(1)()||1|x x m x x m m -++≥--+=+对任意x 恒成立，因此有即13m +≥，解得24m m ≥≤-或，故选B.9．解析： B 依题意：画出不等式组0040x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域（如右图所示）可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为8，由直线2y kx =+恒过点(0,2)B ，且原点的坐标恒满足2y kx -≤，当0k =时，2y ≤，此时平面区域Ω的面积为6，由于67<，由此可得0k <.由240y kx y x -=⎧⎨--=⎩可得242(,)11k D k k ---，依题意应有122||121k ⨯⨯=-，因此1k =-（3k =，舍去）故有(1,3)D -，设(,)N x y ，故由2z OM ON x y =⋅=-，可化为1122y x z =-，112<所以当直线1122y x z =-过点D 时，截距12z -最大，即z 取得最小值7-，故选B ． 10．解析：D依题意：()2f x x a '=+，23()a g x x'=，因为两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，设为00(,)P x y ，所以220000020000001()()23ln 23()()23f x g x x ax a x b a f x g x x a x a x a x ⎧=⇔+=+⎪⎪⎨⎪''=⇔+=⇔==-⎪⎩或，因为00x >，0a > 所以0x a =，因此22220001523ln 3ln (0)22b x ax a x a a a a =+-=-> 构造函数225()3ln (0)2h t t t t t =->，由()2(13l n )h tt t '=-，当130t e <<时，()0h t '>即()h t 单调递增；当13t e >时，()0h t '<即()h t 单调递减，所以1233max 3()()2h t h e e ==即为实数b 的最大值.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.11．解析：因为向量a 与向量b 的夹角为︒120，所以b 在a 上的投影为01||cos120||2b b =-，问题转化为求||b ，因为2()(2)()(2)02||||40a b a b a b a b b b +⊥-⇔+⋅-=⇔--= 故331||b +=所以b 在a 上的投影为.12．解析：1{|}2x R x ∈> 依题意：偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，直接构造函数2()f x x =，问题转化为解不等式22(1)x x -<，解之得：12x >，所以不等式(1)()f x f x -<的解集为1{|}2x R x ∈>.另解：依题意：偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，由于(1)()f x f x -<，即1(|1|)(||)|1|||2f x f x x x x -<⇔-<⇔> 所以不等式(1)()f x f x -<的解集为1{|}2x R x ∈>. 13．解析：53如图，O 点在,AB AC 上的射影是点,D E ，它们分别为,AB AC 的中点，由数量积的几何意义，可得|||A B A O A⋅=⋅，||||72AC AO AC AE ⋅=⋅=依题意有2644832AB AO x AB y AC AB x y ⋅=+⋅=+=，即432x y +=，同理24814472AC AO x AB AC y AC x y ⋅=⋅+=+=，即263x y += 综上，将两式相加可得：695x y +=，即5233x y +=14．解析：503 (2分) 1615m +（3分）注意到(())43f f n n =+和(125)f m =，易求得()((125))41253503f m f f ==⨯+=；因为(())43f f n n =+，所以((()))(43)4()3f f f n f n f n =+=+ 故有2(2015)(45033)4(503)34(41253)34(125)4331615f f f f f m =⨯+=+=⨯++=+⨯+=+15．解析： sin 2ρθ=-曲线Γ即直线的普通方程为0x y +=，又曲线C 即圆心为()2,0C ，半径为2的半圆，其方程为22(2)4x y -+=，注意到(,2)θππ∈，所以0y <，联立方程组得220(2)40x y x y y +=⎧⎪-+=⎨⎪<⎩，解之得22x y =⎧⎨=-⎩，故交点P 的坐标为(2,2)-.过交点P 且与曲线C 相切的直线的普通方程是2y =-，对应的极坐标方程为sin 2ρθ=-.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）解析：（1）因为集合{|23}A x x =<<，因为12a =函数29(2)4lg =lg12x x a y a x x --+=--，由9412x x -->0，可得集合19={|}24B x x <<…………2分19{|}24U B x x x =≤≥或ð， …………………………………………4分故9(){|3}4UA B x x =≤<ð. ……………………………6分（2）因为q 是p 的必要条件等价于p 是q 的充分条件，即A B ⊆由{|23}A x x =<<，而集合B 应满足2(2)0x a a x-+>-，因为22172()024a a a +-=-+> 故2{|2}B x a x a =<<+， ……………………8分依题意就有：2223a a ≤⎧⎨+≥⎩， ………………………………………10分即1a ≤-或12a ≤≤所以实数a 的取值范围是∞(-,-1][1,2]. …………………12分17．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）依题意：(cos sin sin )m n A A A A +=-+，因为||2m n += 所以22(cos sin (cos sin )4A A A A -++=，化简得：sin cos tan 1A A A =⇒=，故有4A π=. …………………6分（Ⅱ）依题意，在ABC ∆中，由正弦定理24sin aR A==，所以a = 由余弦定理可得：2222cos a b c b c A =+-⋅⋅，化简得：240c --=，解得：c =分18．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）由图象可知：直线OA 的方程是：3v t =，直线BC 的方程是：270v t =-+ 当4t =时，12v =，所以1412242s =⨯⨯=. …………………………………2分当010t ≤≤时，213322s t t t =⨯⨯=； ………………………3分当1020t <≤时，11030(10)30301502s t t =⨯⨯+-⨯=-…………………4分当2035t <≤时，21150300(20)(27030)705502s t t t t =++⨯-⨯-++=-++ …………5分综上可知s 随t 变化的规律是223[0,10]230150(10,20]70550(20,35]tt s t t t t t ⎧∈⎪⎪⎪=-∈⎨⎪⎪-+-∈⎪⎩………………………………………7分（Ⅱ）[0,10]t ∈，2max 3101506502s =⨯=<， …………………………………………8分 (10,20]t ∈,max 3020150450650s =⨯-=< …………………………9分当(20,35]t ∈时，令270550650t t -++=，解得30t =，（40t =舍去）…………………………11分即在台风发生后30小时后将侵袭到N 城. ……………………12分19．（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）依题意()244sin 248sin()3f t t t t πωωω=--=-+ ……………………2分因为早上8时的温度为24C ，即(8)24f =， 11sin(8)08()()3383k k k Z ππωωπωπ+=⇒+=⇒=-∈……………………3分 (0,)8πω∈，故取1k =，12πω=，所求函数解析式为()248sin(),(0,24]123f t t t ππ=-+∈. …………………………………5分由sin()1123t ππ+=-，7(,)12333t ππππ+∈，可知3141232t t πππ+=⇒=，即这一天在14时也就是下午2时出现最高温度，最高温度是32C .…………7分（Ⅱ）依题意：令248sin()28123t ππ-+=，可得 1sin()1232t ππ+=- ……………………………9分 7(,)12333t ππππ+∈，71236t πππ∴+=或111236t πππ+=，即10t =或18t =，………………11分故中央空调应在上午10时开启，下午18时（即下午6时）关闭…………12分20．（本小题满分13分）解析：（Ⅰ）2322()()2f x x x a x ax a x =-=-+，则22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--， ……………………1分令()0f x '=，得x a =或3a ，而二次函数()g x 在12a x -=处有极大值， ∴112a a a -=⇒=-或1323a a a -=⇒=；综上：3a =或1a =-． ………………………4分当3a =时，()y f x =的单调增区间是(,1],[3,)-∞+∞，减区间是(1,3)……5分当1a =-时，()y f x =的单调增区间是1(,1],[,)3-∞--+∞，减区间是1(1,)3--； ………………6分（Ⅱ）22()()()[(1)]f x g x x x a x a x a -=---+-+2()()(1)x x a x a x =-+-+ 2()[(1)1]x a x a x =-+-+， …………8分2()(1)1h x x a x =+-+， (1)(3)a a ∆=+- 1 当13a -<<时，0∆<，()0h x =无解，故原方程的解为[1,3]x a =∈-，满足题意，即原方程有一解，[1,3]x a =∈-； …………………9分 2 当3a =时，0∆=，()0h x =的解为1x =，故原方程有两解，1,3x =； 3 当1a =-时，0∆=，()0h x =的解为1x =-，故原方程有一解，1x =-； 4 当3a >时，0∆>，由于(1)14,(0)1,(3)133h a h h a -=+>==- 若1313303a a -≤⇒≥时，()0h x =在[1,3]-上有一解，故原方程有一解；若13133033a a ->⇒<<时，()0h x =在[1,3]-上无解，故原方程有无解； 5 当1a <-时，0∆>，由于(1)10,(0)1,(3)1330h a h h a -=+<==->()0h x =在[1,3]-上有一解，故原方程有一解； …………………11分综上可得：当1333a <<时，原方程在[1,3]-上无解；当3a <或133a ≥时，原方程在[1,3]-上有一解；当3a =时，原方程在[1,3]-上有两解.……………13分21．（本小题满分14分）解析：（Ⅰ）令函数1()2ln f x x x x=-+，定义域是{|1}x R x ∈> 由22221(1)()10x f x x x x--'=--=≤，可知函数()f x 在(1,)+∞上单调递减故当1x >时，1()2ln (1)0f x x x f x =-+<=，即12ln x x x <-. ……………………………3分（Ⅱ）因为0,0t a >>，故不等式(1)ln(1)a t a t ++>可化为ln(1)at t t a+>+……()* 问题转化为()*式对任意的正实数t 恒成立，构造函数()ln(1)(0)at g t t t t a=+->+，则2221[(2)]()1()(1)()a t t a a g t t t a t t a --'=-=++++，……………6分（1）当02a <≤时，0,(2)0t a a >-≤，()0g t '∴≥即()g t 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0g t g >=，即不等式ln(1)at t t a +>+对任意的正实数t 恒成立. （2）当2a >时，(2)0a a ->因此(0,(2))()0t a a g t '∈-<，，函数()g t 单调递减；((2),+)()0t a a g t '∈-∞>，，函数()g t 单调递增，所以min (2)()((2))2ln(1)1a a g t g a a a a -=-=--- 2,11a a >∴->，令11x a =->，由(Ⅰ)可知2min (2)11()2ln(1)2ln 2ln ()01a a x g t a x x x a x x--=--=-=--<-，不合题意. 综上可得，正实数a 的取值范围是(0,2]. ………………10分（Ⅲ）要证19291()10e <，即证910119ln 2ln 19ln 219ln(1)21099e <-⇔>⇔+>，由（Ⅱ）的结论令2a =，有2(1)ln(1)2t t++>对0t >恒成立，取19t =可得不等式119ln(1)29+>成立，综上，不等式19291()10e <成立. ………………………………14分。

湖北省部分重点中学2015届高三上学期起点考试数学(文)试题 Word版含答案

湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高三起点考试数学试卷（文科）命题人：武汉中学审题人：武汉四中考试时间：8月10日 14:00-16:00 本卷满分150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,4}，N ＝{2,3}，则集合{5,6}等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∪(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N ) 2. i 为虚数单位，512iz i=-, 则z 的共轭复数为 ( ) A. 2-i B. 2+i C. -2-i D. -2+i 3．若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是 ( )A. 3B. 4C. 5D. 64．已知命题 p ：,cos 1,x R x ∀∈≤则 ( )A. 00:,cos 1p x R x ⌝∃∈≥B. :,cos 1p x R x ⌝∀∈≥C. :,cos 1p x R x ⌝∀∈>D. 00:,cos 1p x R x ⌝∃∈>5．若,x y 满足10210y x y x y m -≥⎧⎪--≥⎨⎪+≤⎩，若目标函数z x y =-的最小值为－2，则实数m 的值为（）A. 0B. 2C. 8D. －16．直线:1l y k x =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7. 若函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是 ( )A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e x －1D ．f (x )＝ln(x －0.5)8. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(1D ，若(第3题图)1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D A B C -在xO y ，yO z ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则 ( )A. 123S S S ==B. 23S S =且 31S S ≠C. 13S S =且 32S S ≠D. 12S S =且 13S S ≠9．已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之积，则2C 的渐近线方程为 ( )A.0y ±=B. 0x =C.20x y ±=D.20x y ±=10．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且()f x 的导函数()f x '在R 上恒有()1f x <'，则不等式 ()1f x x <+的解集为 ( )A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(1,1)-D ．(,1)(1,)-∞-+∞二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）11. 不等式521≥++-x x 的解集为 .12. 某几何体的三视图如右图所示，根据所给尺寸（单位：cm ），则该几何体的体积为 3cm 。

湖北省黄冈中学2015届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含解析

黄冈中学2014年秋季高三年级11月月考数学（理科）本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、导数数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、数列等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）【题文】1. 设集合{}|12A x x =-<，{}|2,[0,2]x B y y x ==∈，则AB =( )A ．[0,2]B ．(1,3)C ．[)1,3D ．(1,4)【知识点】集合及其运算A1【答案解析】C A={13x x -<<},B={14y y ≤≤}则A B =[)1,3故选C.【思路点拨】先分别求出集合A,B 再求结果。

【题文】2. 若α是第三象限角，且1tan 3α=，则cos α=（）Ａ. ＢＣ.Ｄ. 【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2【答案解析】C α是第三象限角，且1tan 3α=所以cos α=10-【思路点拨】根据同角三角关系，再根据角所在象限求出余弦值。

【题文】3. 函数3()log (21)xf x =+的值域为（）A. (0,)+∞B. [)0,+∞C. (1,)+∞D. [)1,+∞【知识点】函数及其表示B1【答案解析】A ∵2x +1＞1恒成立，∴函数的定义域是R ，∵函数y=log 3x 在定义域上是增函数，∴y ＞log 31=0，则原函数的值域是（0，+∞）．故选：A ．【思路点拨】先判断出真数大于1恒成立，再由以3为底对数函数是增函数，求出原函数的值域．【题文】4. 已知向量i 与j 不共线，且,,1AB i m j AD ni j m =+=+≠，若,,A B D 三点共线，则实数,m n 满足的条件是（）Ａ.1m n += Ｂ.1m n +=- Ｃ.1mn =Ｄ.1mn =-【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2【答案解析】C 由,,1AB i m j AD ni j m =+=+≠，且A 、B 、D 三点共线，所以存在非零实数λ，使AB =λAD ，即()i m j ni j λ+=+，所以1n m λλ=⎧⎨=⎩，所以mn=1．故答案为C ．【思路点拨】因为AB 与AD 共起点A ，所以要使A 、B 、D 三点共线，只需存在非零实数λ，使AB =λAD 成立即可，代入整理后可得mn 的值．【题文】5. 函数1()lg f x x x=-的零点所在的区间是（） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,10【知识点】函数与方程B9 【题文】6. 若数列{}n a 满足110n npa a +-=，*,n N p ∈为非零常数，则称数列{}n a 为“梦想数列”。

【名师解析】湖北省黄冈中学2015届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含解析

湖北黄冈中学2014年秋季高三年级11月月考数学（理科）本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、导数数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、数列等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）【题文】1. 设集合{}|12A x x =-<，{}|2,[0,2]xB y y x ==∈，则AB =( )A ．[0,2]B ．(1,3)C ．[)1,3D ．(1,4)【知识点】集合及其运算A1【答案解析】C A={13x x -<<},B={14y y ≤≤}则A B =[)1,3故选C.【思路点拨】先分别求出集合A,B 再求结果。

【题文】2. 若α是第三象限角，且1tan 3α=，则cos α=（）Ａ. ＢＣ.Ｄ. 【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2 【答案解析】Cα是第三象限角，且1tan 3α=所以cos α= 【思路点拨】根据同角三角关系，再根据角所在象限求出余弦值。

【题文】3. 函数3()log (21)x f x =+的值域为（） A. (0,)+∞B. [)0,+∞C. (1,)+∞D. [)1,+∞【知识点】函数及其表示B1【答案解析】A ∵2x +1＞1恒成立，∴函数的定义域是R ，∵函数y=log 3x 在定义域上是增函数，∴y ＞log 31=0，则原函数的值域是（0，+∞）．故选：A ．【思路点拨】先判断出真数大于1恒成立，再由以3为底对数函数是增函数，求出原函数的值域．【题文】4. 已知向量i 与j 不共线，且,,1AB i m j AD ni j m =+=+≠，若,,A B D 三点共线，则实数,m n 满足的条件是（）Ａ.1m n += Ｂ.1m n +=- Ｃ.1mn =Ｄ.1mn =-【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2【答案解析】C 由,,1AB i m j AD ni j m =+=+≠，且A 、B 、D 三点共线，所以存在非零实数λ，使AB =λAD ，即()i m j ni j λ+=+，所以1n m λλ=⎧⎨=⎩，所以mn=1．故答案为C ．【思路点拨】因为AB 与AD 共起点A ，所以要使A 、B 、D 三点共线，只需存在非零实数λ，使AB =λAD 成立即可，代入整理后可得mn 的值．【题文】5. 函数1()lg f x x x=-的零点所在的区间是（） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,10【知识点】函数与方程B9 【题文】6. 若数列{}n a 满足110n npa a +-=，*,n N p ∈为非零常数，则称数列{}n a 为“梦想数列”。

湖北省六校联考2015届高三上学期1月调考数学(理)试卷Word版含解析

2014-2015学年湖北省六校联考高三（上）1月调考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设复数z满足，则=( )A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2+i D．2﹣i2．设集合P={x|∫0x（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，则集合P的非空子集个数是( )A．2 B．3 C．7 D．83．下列结论正确的是( )A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使得=2λB．已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“，＜0”C．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1D．若命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＞04．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是( )A．36πB．9πC．πD．π5．等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=( ) A．27 B．81 C．243 D．7296．设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则以下结论正确的个数( )（1）f（x）的图象过点（0，）（2）f（x）的一个对称中心是（）（3）f（x）在[]上是减函数（4）将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象．A．4 B．3 C．2 D．17．若x、y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是( )A．（﹣4，2）B．（﹣1，2）C．（﹣4，0）D．（﹣2，4）8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的个数是( )（1）AC⊥BE．（2）若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为．（3）三棱锥A﹣BEF的体积为定值．（4）在空间与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条．（5）过CC1的中点与直线AC1所成角为40°并且与平面BEF所成角为50°的直线有2条．A．0 B．1 C．2 D．39．已知椭圆C1：+=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣=1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，a1，a2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为( )A．B．4 C．D．910．已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为( )A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．平面向量与的夹角为120°，=（2，0），||=1，则|﹣2|=__________．12．已知tanβ=，sin（α+β）=，且α，β∈（0，π），则sinα的值为__________．13．设正数a，b，c满足++≤，则=__________．14．已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若p＞q＞0，经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n为正整数），则m+n的值为__________．(15，16为选做题，二选一即可)15．如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l 的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为__________．16．直线l的参数方程是（其中t为参数），若原点O为极点，x正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+），过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是__________．三、解答题（本大题共6小题，共75分）17．在△ABC中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，c=2，sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB．（1）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC面积；（2）求AB边上的中线长的取值范围．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？19．已知x∈[0，1]，函数，g（x）=x3﹣3a2x﹣4a．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和值域；（Ⅱ）设a≤﹣1，若∀x1∈[0，1]，总存在，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．21．（13分）如图，已知点A（﹣2，0）和圆O：x2+y2=4，AB是圆O的直经，从左到右M、O和N依次是AB的四等分点，P（异于A、B）是圆O上的动点，PD⊥AB交AB于D，=λ，直线PA与BE交于C，|CM|+|CN|为定值．（1）求λ的值及点C的轨迹曲线E的方程；（2）一直线L过定点S（4，0）与点C的轨迹相交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，连接Q1与R两点连线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．22．（14分）已知函数f（x）=ax++（1﹣2a）（a＞0）（1）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（2）证明：1+++…+≥ln（n+1）+（n≥1）；（3）已知S=1+++…+，求S的整数部分．（ln2014≈7.6079，ln2015≈7.6084）2014-2015学年湖北省六校联考高三（上）1月调考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设复数z满足，则=( )A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2+i D．2﹣i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：先设出复数的代数形式，再由题意求出复数z，根据共轭复数的定义求出即可．解答：解：设z=a+bi（a、b∈R），由题意知，，∴1+2i=ai﹣b，则a=2，b=﹣1，∴z=2﹣i，=2+i，故选C．点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，以及虚数单位i 的幂运算性质，共轭复数的概念，难度不大，属于基础题．2．设集合P={x|∫0x（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，则集合P的非空子集个数是( )A．2 B．3 C．7 D．8考点：定积分的简单应用；子集与真子集．专题：计算题．分析：先根据定积分求出集合P，根据集合子集的公式2n（其中n为集合的元素），求出集合A的子集个数，然后除去空集即可得到集合A的非空真子集的个数．解答：解：∵P={x|∫0x（3t2﹣10t+6）dt=0，x＞0}，∴P={2，3}因为集合A中有2个元素，所以集合A子集有22=4个，则集合A的非空子集的个数是4﹣1=3．故选B．点评：此题考查学生掌握子集与真子集的定义，会利用2n﹣1求集合的非空子集，是一道基础题．3．下列结论正确的是( )A．若向量∥，则存在唯一的实数λ使得=2λB．已知向量，为非零向量，则“，的夹角为钝角”的充要条件是“，＜0”C．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1D．若命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＞0考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A．若，则不存在实数λ使得=2λ；B．若，＜0，则与反向共线，此时夹角为平角；C．利用逆否命题的定义即可判断出；D．利用命题的否定即可判断出．解答：解：A．若向量∥，，则不存在实数λ使得=2λ，不正确；B．若，＜0，则与反向共线，此时夹角为平角，不正确；C．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1，正确；D．命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1≥0，不正确．故选：C．点评：本题考查了向量共线定理及其夹角公式、逆否命题的定义、命题的否定，考查了推理能力，属于基础题．4．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是( )A．36πB．9πC．πD．π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，求出底面外接圆半径和棱锥的高，进而利用勾股定理，求出其外接球的半径，代入球的体积公式，可得答案．解答：解：∵俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，故底面外接圆半径r=，由主视图中棱锥的高h=1，故棱锥的外接球半径R满足：R==，故该几何体外接球的体积V==π，故选：C点评：解决三视图的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状及度量长度，进而求出外接球半径，是解答的关键．5．等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1），a1a2a3=27，则a6=( ) A．27 B．81 C．243 D．729考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27 从而可求a2，结合S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）考虑n=1可得，S2=a1+a2=4a1从而可得a1及公比q，代入等比数列的通项公式可求a6解答：解：利用等比数列的性质可得，a1a2a3=a23=27 即a2=3因为S2n=4（a1+a3+…+a2n﹣1）所以n=1时有，S2=a1+a2=4a1从而可得a1=1，q=3所以，a6=1×35=243故选C点评：本题主要考查了等比数列的性质，等比数列的前n项和公式及通项公式，属基础题．6．设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则以下结论正确的个数( )（1）f（x）的图象过点（0，）（2）f（x）的一个对称中心是（）（3）f（x）在[]上是减函数（4）将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象．A．4 B．3 C．2 D．1考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的周期求出ω，再由图象关于直线x=对称结合φ的范围求得φ，则函数解析式可求．①求得f（0）=说明命题①错误；②由f（）=0说明命题②正确；③求出原函数的减区间，由[]是一个减区间的子集说明命题③正确；④通y=Asin（ωx+φ）图象的平移说明命题④错误．解答：解：∵f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的周期是π，∴ω=2，又图象关于直线x=对称，则2×φ=kπ+，即φ=，k∈Z．∵﹣＜φ＜，∴取k=1得φ=．∴f（x）=3sin（2x+）．①∵f（0）=3sin=．∴f（x）的图象过点（0，）错误；②∵f（）=3sin（2×+）=3sinπ=0．∴f（x）的一个对称中心是（）正确；③由，得：．取k=0，得．∵[]⊆，∴f（x）在[]上是减函数正确；④∵φ=＞0，∴f（x）=3sin（ωx+φ）=3sinω（x+）是把y=3sinωx向左平移个单位得到，则f（x）的图象向右平移个单位得到函数y=3sinωx的图象．∴命题④错误．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了复合函数的单调性的求法，是中档题．7．若x、y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是( )A．（﹣4，2）B．（﹣1，2）C．（﹣4，0）D．（﹣2，4）考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，将z=ax+2y化为y=﹣x+，相当于直线y=﹣x+的纵截距，由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，将z=ax+2y化为y=﹣x+，相当于直线y=﹣x+的纵截距，则由目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值可知，﹣1＜﹣＜2，则﹣4＜a＜2，故选A．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的个数是( )（1）AC⊥BE．（2）若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为．（3）三棱锥A﹣BEF的体积为定值．（4）在空间与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条．（5）过CC1的中点与直线AC1所成角为40°并且与平面BEF所成角为50°的直线有2条．A．0 B．1 C．2 D．3考点：命题的真假判断与应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意，依次分析：如图可知BE⊂平面BB1D1D，AC⊥BE，进而判断出（1）正确；根据AA1∥BB1，判断出AA1∥平面BB1DD1，即AA1∥平面BEF，计算出A1到平面BEF 的距离，即可判断出（2）项；设AC，BD交于点O，AO⊥平面BB1D1D，可分别求得S△BEF和AO，则三棱锥A﹣BEF 的体积可得判断（3）项正确；再利用正方体中线线，线面的位置关系，即可判定（4）和（5）项正确．解答：解：对于（1），∵AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D，∴AC⊥BE．故（1）正确．对于（2），∵AA1∥BB1，AA1⊄平面BB1DD1，BB1⊂平面BB1DD1，∴AA1∥平面BB1DD1，即AA1∥平面BEF，又∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，A1到平面BEF的距离为A1到B1D1的距离，∴若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离为，故（2）正确；对于（3），∵S△BEF==，设AC，BD交于点O，AO⊥平面BB1D1D，AO=，∴V A﹣BEF==，故（3）正确；对于（4）在正方体中，AA1∥DD1，AD∥B1C1，则AC，AA1，AD相交于A点，故空间中与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条．故（4）正确；对于（5）由于过CC1的中点与直线AC1所成角为40°的直线有2条．并且这两条直线与平面BEF所成角为50°，故（5）正确；故答案为：A．点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直，考查线面角、线线角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．9．已知椭圆C1：+=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣=1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，a1，a2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为( )A．B．4 C．D．9考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出，由此能求出4e12+e22的最小值．解答：解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2a2，①由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1，②又∵PF1⊥PF2，∴=4c2，③①2+②2，得=，④将④代入③，得，∴4e12+==+=≥=．故选：C．点评：本题考查4e12+e22的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．10．已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为( )A．2 B．3 C．4 D．5考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意转化为：＞，对于x＞1恒成立，构造函数h（x）=x•求导数判断，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，y=x﹣2﹣lnx在x ＞1单调递增，利用零点判断方法得出存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，即可选择答案．解答：解：∵f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），∴可得：＞，对于x＞1恒成立．设h（x）=x•，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，∴即3﹣2﹣ln3＜0，4﹣2﹣ln4＞0，故存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，∴k的最大值为3．故选：B点评：本题考查了学生的构造函数，求导数，解决函数零点问题，综合性较强，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共25分）11．平面向量与的夹角为120°，=（2，0），||=1，则|﹣2|=2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得=||•||•cos120°的值，再根据|﹣2|=，计算求得结果．解答：解：由题意可得=||•||•cos120°=2×1×（﹣）=﹣1，∴|﹣2|====2，故答案为：．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．12．已知tanβ=，sin（α+β）=，且α，β∈（0，π），则sinα的值为．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：求得sinβ和cosβ的值，根据已知条件判断出α+β的范围，进而求得cos（α+β）的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．解答：解：∵α，β∈（0，π），tanβ=，sin（α+β）=，∴sinβ=，cosβ=，0＜β＜，∴0＜α+β＜，∵0＜sin（α+β）=＜，∴0＜α+β＜，或＜α+β＜π，∵tanβ=＞1，∴＞β＞，∴＜α+β＜π，∴cos（α+β）=﹣=﹣，∴sinα=sin（α+β﹣β）=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ=×+×=．故答案为：．点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数．解题过程中判断出α+β的范围是解题的最重要的一步．13．设正数a，b，c满足++≤，则=．考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质“取等号的条件”即可得出．解答：解：∵a，b，c为正数，∴（a+b+c）=14+++++=36．当且仅当a：b：c=1：2：3．∵++≤，∴++=，∴==．故答案为：．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．14．已知两个正数a，b，可按规则c=ab+a+b扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作．若p＞q＞0，经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n为正整数），则m+n的值为21．考点：数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：p＞q＞0 第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）﹣1；第二次得：c2=（p+1）2（q+1）﹣1；所得新数大于任意旧数，故经过6次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）13﹣1，故可得结论．解答：解：因为p＞q＞0，所以第一次得：c1=pq+p+q=（q+1）（p+1）﹣1，因为c＞p＞q，所以第二次得：c2=（c1+1）（p+1）﹣1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）2（q+1）﹣1，所得新数大于任意旧数，所以第三次可得c3=（c2+1）（c1+1）﹣1=（p+1）3（q+1）2﹣1，第四次可得：c4=（c3+1）（c2﹣1）﹣1=（p+1）5（q+1）3﹣1，故经过6次扩充，所得数为：（q+1）8（p+1）13﹣1，因为经过6次操作后扩充所得的数为（q+1）m（p+1）n﹣1（m，n为正整数），所以m=8，n=13，所以m+n=21．故答案为：21．点评：本题考查新定义，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，求出经过6次操作后扩充所得的数是关键．(15，16为选做题，二选一即可)15．如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l 的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为4．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：连接OC，BE，由圆角定定理，我们可得BE⊥AE，直线l是过C的切线，故OC⊥直线l，△OBC为等边三角形，结合等边三角形的性质及30°所对的直角边等于斜边的一半，我们易求出线段AE的长．解答：解：连接OC，BE，如下图所示：则∵圆O的直径AB=8，BC=4，∴△OBC为等边三角形，∠COB=60°又∵直线l是过C的切线，故OC⊥直线l又∵AD⊥直线l∴AD∥OC故在Rt△ABE中∠A=∠COB=60°∴AE=AB=4故答案为：4点评：本题考查的知识点是切线的性质，圆周角定理，其中根据切线的性质，圆周角定理，判断出△ABE是一个∠B=30°的直角三角形是解答本题的关键．16．直线l的参数方程是（其中t为参数），若原点O为极点，x正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+），过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是2．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：将圆的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离，要使切线长最小，必须直线l上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心到直线的距离d，求出d，由勾股定理可求切线长的最小值．解答：解：∵圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+），∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，∴x2+y2=x﹣y，即（x﹣）2+（y+）2=1，∴圆C是以M（，﹣）为圆心，1为半径的圆…2分化直线l的参数方程（t为参数）为普通方程：x﹣y+4=0，…4分∵圆心M（，﹣）到直线l的距离为d==5，…6分要使切线长最小，必须直线l上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心M（，﹣）到直线的距离d，由勾股定理求得切线长的最小值为==2．故答案为：2．点评：本题考查圆的极坐标方程，直线的参数方程、直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分）17．在△ABC中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，c=2，sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB．（1）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC面积；（2）求AB边上的中线长的取值范围．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosC，将得出关系式代入求出cosC的值，确定出C的度数，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A化简后，根据cosA为0与cosA不为0两种情况，分别求出三角形ABC面积即可；（2）根据CD为AB边上的中线，得到=，两边平方并利用平面向量的数量积运算法则变形得到关系式，利用余弦定理列出关系式，将cosC与c的值代入得到关系式，代入计算即可确定出|CD|的范围．解答：解：（1）由sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB，利用正弦定理化简得：a2+b2﹣c2=ab，∴cosC===，即C=，∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sin2A，∴sinBcosA=2sinAcosA，当cosA=0，即A=，此时S△ABC=；当cosA≠0，得到sinB=2sinA，利用正弦定理得：b=2a，此时此时S△ABC=；（2）∵=，∴|CD|2==，∵cosC=，c=2，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即a2+b2﹣ab=4，∴|CD|2==＞1，且|CD|2=≤3，则|CD|的范围为（1，]．点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，熟练掌握定理是解本题的关键．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？考点：数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．专题：计算题．分析：（I）由题意，n=1时，由已知可知a1（λa1﹣2）=0，分类讨论：由a1=0，及a1≠0，结合数列的和与项的递推公式可求（II）由a1＞0且λ=100时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项解答：解（I）当n=1时，∴a1（λa1﹣2）=0若取a1=0，则S n=0，a n=S n﹣S n﹣1=0∴a n=0（n≥1）若a1≠0，则，当n≥2时，2a n=，两式相减可得，2a n﹣2a n﹣1=a n∴a n=2a n﹣1，从而可得数列{a n}是等比数列∴a n=a1•2n﹣1==综上可得，当a1=0时，a n=0，当a1≠0时，（II）当a1＞0且λ=100时，令由（I）可知∴{b n}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2∴b1＞b2＞…＞b6=＞0当n≥7时，∴数列的前6项和最大点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力．19．已知x∈[0，1]，函数，g（x）=x3﹣3a2x﹣4a．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和值域；（Ⅱ）设a≤﹣1，若∀x1∈[0，1]，总存在，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．分析：（1）利用导数研究函数的单调区间的方法步骤求解f（x）的单调区间和值域．（2）在a≤﹣1，x∈[0，1]的条件下，判断g（x）的单调性，进而求解g（x）的值域，依题意得f（x）的值域是g（x）值域的子集，列出关于a的不等式组，解出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）令f'（x）=0解得：（舍去）列表：可知f（x）的单调减区间是，增区间是；因为，所以当x∈[0，1]时，f（x）的值域为（Ⅱ）g′（x）=3（x2﹣a2）因为a≤﹣1，x∈（0，1）所以g′（x）＜0，g（x）为[0，1]上的减函数，g（1）≤g（x）≤g（0）所以g（x）∈[1﹣4a﹣3a2，﹣4a]因为当x∈[0，1]时，f（x）的值域为由题意知：所以又a≤﹣1，得．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、值域等函数知识，对于（2）解答的关键是，f （x）的值域是g（x）的值域的子集，在学习中，同学们应熟练掌握这一方法，本题是一道好题，属于教学中的重点和难点．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM=tMC，试确定t的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题．分析：（Ⅰ）法一：由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知QB⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，知BQ⊥平面PAD．由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．法二：由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知∠AQB=90°．由PA=PD，知PQ⊥AD，故AD⊥平面PBQ．由此证明平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）由PA=PD，Q为AD的中点，知PQ⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，知PQ⊥平面ABCD．以Q为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出t=3．解答：解：（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．…证法二：AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°．∵PA=PD，∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；Q（0，0，0），，，．设M（x，y，z），则，，∵，∴，∴…在平面MBQ中，，，∴平面MBQ法向量为．…（13分）∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，∴t=3．…点评：本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．21．（13分）如图，已知点A（﹣2，0）和圆O：x2+y2=4，AB是圆O的直经，从左到右M、O和N依次是AB的四等分点，P（异于A、B）是圆O上的动点，PD⊥AB交AB于D，=λ，直线PA与BE交于C，|CM|+|CN|为定值．（1）求λ的值及点C的轨迹曲线E的方程；（2）一直线L过定点S（4，0）与点C的轨迹相交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，连接Q1与R两点连线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）根据，|CM|+|CN|为定值，建立条件关系即可求λ的值及点C的轨迹曲线E的方程；（2）根据直线和椭圆的位置关系，转化为一元二次方程问题即可．解答：解：（1）易得B（2，0），M（﹣1，0），N（1，0），设P（x0，y0），C（x，y），则E（x0，），直线PA与BE交于C，故x≠±2，①且，②①②相乘得，又因为点P（异于A，B）是圆O上的动点，故，即，要使|CM|+|CN|为定值，则4﹣，解得，此时，（x≠±2），即时，点C的轨迹曲线E的方程为，（x≠±2），（2）联立，消x得（3m2+4）y2+24my+36=0，判别式△=（24m）2﹣4×36（3m2+4）=144（m2﹣4）＞0，即m2＞4 设Q（x1，y1），R（x2，y2，则Q′（x1，﹣y1），由韦达定理有直线RQ的方程为y=，令y=0，得x===将①②代人上式得x=1，又====当时取得．点评：本题主要考查直线和圆以及直线和圆锥曲线的位置关系，考查学生的运算能力．22．（14分）已知函数f（x）=ax++（1﹣2a）（a＞0）（1）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（2）证明：1+++…+≥ln（n+1）+（n≥1）；（3）已知S=1+++…+，求S的整数部分．（ln2014≈7.6079，ln2015≈7.6084）考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）利用f（x）≥lnx，构造g（x）=f（x）﹣lnx，问题转化为g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，利用导数求出函数在[1，+∞）上的最小值大于0，求a的取值范围；（2）由（1）可知a≥时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当a=时，（x﹣）≥lnx 在[1，+∞）上恒成立，对不等式的左侧每一项裂项，然后求和，即可推出要证结论；（3）运用（2）的结论和S=1+++…+＜1×2++…+×28=9，即可得到整数部分．解答：解：（1）∵函数f（x）=ax++（1﹣2a），f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，设g（x）=f（x）﹣lnx，则g（x）=f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，∴g（x）min≥0，又∵g′（x）=a﹣﹣=，而当=1，即a=时，①当≤1即a时，g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，∴g（x）min=g（1）=0≥0；②当＞1即0＜a＜时，g′（x）=0时x=；且1≤x＜时，g′（x）＜0，当x＞时，g′（x）＞0；则g（x）min=g（）≥0①，又∵g（）≤g（1）=2a﹣1＜0与①矛盾，不符题意，故舍．∴综上所述，a的取值范围为：[，+∞）．（2）证明：由（1）可知a时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，则当a=时，（x﹣）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，令x依次取，，，…，时，则有×（﹣）≥ln ，×（﹣）≥ln ，…×（﹣）≥ln ，由同向不等式可加性可得[（+++…+）﹣（+++…+）]≥ln（n+1），即[（1+++…++n）﹣（n﹣﹣﹣﹣…﹣）]≥ln（n+1），也即[2（1+++…+）+﹣1]≥ln（n+1），也即1+++…+＞ln（n+1）+（n≥1）．（3）由（2）的结论，可得，S=1+++…+≥ln2015+∈（8，9），又S=1+++…+＞dx=lnx|=ln2014≈7.6，则有S的整数部分为9．点评：本题是难题，考查函数与导数的关系，曲线切线的斜率，恒成立问题的应用，累加法与裂项法的应用，数学归纳法的应用等知识，知识综合能力强，方法多，思维量与运算量以及难度大，需要仔细审题解答，还考查分类讨论思想．。

湖北省襄阳市2015届高三上学期第一次调研考试数学(理)试题扫描版含答案

2015年1月襄阳市普通高中调研统一测试数学(理工类)参考答案及评分标准说明1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。

当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。

一．选择题：BCACB DDBAC二．填空题：11．3 12．1 13．92 14．(1) (0，2) 2分(2)0ln x 3分 15．45° 16．1三．解答题： 17．(1)解：当2[]36x ππ∈-，时，由图象知：A = 2，2()4632T πππ=---= ∴2T π=，故1ω=2分又()sin()f x A x ωϕ=+过(2)(0)6πϕπ-<<，，∴2623πππϕϕ-+=⇒= ∴2()2sin()3f x x π=+ 4分 ∵函数y = f (x )的图象关于直线6x π=对称，∴()()3f x f x π=- 6分当6x ππ≤≤时，2336x πππ--≤≤，∴2()()2sin()2sin 333f x f x x x πππ=-=-+= ∴222sin()336()2sin 6x x f x x x πππππ⎧+-<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩≤≤≤ 8分 (2)解：∵[]62ππθ∈，，∴由6()5f θ=得：632sin sin 55θθ=⇒= 因此，4cos 5θ= 10分22sin(2)sin 2cos cos 2sin sin cos sin )333πππθθθθθθθ+=+=-34169()552525=⨯+-=． 12分 18．(1)证：由11122333n n n a a --=+-得：122133223n n n n n a a ----=+-⨯ 2分 ∴111222113(1)333233(1)2n n n n n n n n n n a a a a --------+=+=++=++即1122(2)n n n n b b b b n --=+⇒-=≥ 4分又11113(1)2b a -=+=∴数列{b n }是首项为2，公差为2的等差数列．6分 (2)解：由(1)知，2(1)22n b n n =+-⨯=，∴1123(1)213n n n n n a n a --+=⇒=- 8分记2124621333n n n T -=++++，则211242(1)233333n n n n n T --=++++ 两式相减得：21211122(1)33333n n n n T -=++++- 10分 12[1()]2233313313n n n n n -+=-=-- ∴1923223n n n T -+=-⨯ 因此，1923223n n n n S T n n -+=-=--⨯ 12分19．(1)解：()x f x e a '=-，∵(0)10f a '=-=，∴a = 1 2分令()10x f x e '=->得：x > 0；令()10x f x e '=-<得：x < 0 4分 ∴f (x )的单调递增区间为(0，+∞)；单调递减区间为(－∞，0) 6分(2)解：∵2121()()g x g x m x x ->-∴当x 1 < x 2时，有：2211()()g x mx g x mx ->-当x 1 > x 2时，有：1122()()g x mx g x mx ->- 8分令()()F x g x mx =-，则F (x )在R 上单调递增 9分 ∴()()0F x g x m ''=-≥，即()m g x '≤在R 上恒成立 10分而()()()20x x g x f x f x e e -'''=+-=+-≥(当且仅当x = 0时取“=”)∴m ≤0． 12分20．(1)证：∵P A ⊥平面ABC ，BC 在平面ABC 内，∴P A ⊥BC 1分又∵AD ⊥平面PBC ，BC 在平面ABC 内，∴AD ⊥BC 2分 P A 、AD 在平面P AB 内且相交于A ，∴BC ⊥平面P AB 3分而PB 在平面P AB 内，∴BC ⊥PB ． 4分(2)解：由(1)知BC ⊥平面P AB ，AB 在平面P AB 内，∴BC ⊥AB∵AD ⊥平面PBC ，其垂足D 落在直线PB 上，∴AD ⊥PB设P A =x ，则42x x x +⨯⇒=以AB AP 、为x 轴、Q (1，1，0)，P (0，0，23)，C (2，2，0) (2023)(11PB PQ =-=，，，，，设平面()(2023)0()(110x y z x y x y z ⎧⋅-=⎪⇒==⎨⋅-=⎪，，，，，，，，∴在Rt △∴由已知DA 是平面PBC 的法向量3(33(0cos DA ⋅-<>=，，，，n =∴二面角Q －PB －C 12分BC = (0，2，0)()(020)0()(2000x y z x x y z y ⋅=⎧⎧=⇒⎨⎨⋅-==⎩⎩，，，，，，，，21．(1)解：在方程28x y =-+中令y = 0得：x =±∴A (-0)，B (0)2分设P (x ，y )，则12AP BP k k ==-整理得：22184x y +=∴动点P 的轨迹C 的方程为22184x y +=4分 (2)解：设直线MN 的方程为：y = kx + m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2) 由22184y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：222(12)4280k x kmx m +++-=5分 ∴21212224281212km m x x x x k k -+=-=++，2222212122222848()()121212m km m k y y kx m kx m k km m k k k ---=++=⋅+⋅+=+++ 6分 ∵12OM ON k k =- ，∴121212y y x x ⋅=- 即222222281284212212m k m m k k k --=-⋅⇒=+++7分 222121222229842121212m m k OA OB x x y y k k k --⋅=+=+=-+++8分 ∴22OM ON -⋅<≤9分当直线MN 的斜率不存在时，设M (x 1，y1)，则N (x1，－y 1)则22211121122OM ON y k k x y x =-=-⇒=10分又2211184x y +=，∴212y =2221112OM ON x y y ⋅=-==∴OM ON ⋅的最大值为211分OMN S ===当直线MN 的斜率不存在时，111|||2|2OMN S x y ==∴△OMN 的面积为13分 22．(1)解：1()1f x x '=+，(0)1f '=∴f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y = x2分由21y xy x bx =⎧⎨=++⎩得：2(1)10x b x +-+=∵y = x 与函数g (x )的图象相切，∴2(1)40b =--=，b =－1或b = 34分 (2)解：当b =－2时，2()ln(1)21h x x x x =+-+- 2132()2211x h x x x x -'=-+=++5分当x ∈[0，1]时，()0h x '<，∴h (x )在[0，1]上单调递增 max min ()(1)ln 2()(0)1h x h h x h ====-，6分 ∴12max max min [()()]()()1ln 2h x h x h x h x -=-=+ 7分 ∵∃x 1、x 2∈[0，1]使得h (x 1)－h (x 2)≥M 成立 ∴M 的最大值是1 + ln28分 (3)证：因为h (x )的图象与x 轴交于两个不同的点A (x 1，0)、B (x 2，0)所以方程2ln(1)10x x bx +---=的两个根为x 1、x 2，故21112222ln(1)10ln(1)10x x bx x x bx ⎧+---=⎨+---=⎩ 两式相减得：121212ln(1)ln(1)()x x b x x x x +-+=-+-10分 1()21h x x b x '=--+121212121212ln(1)ln(1)22()()222x x x x h x x b x x x x x x ++-+'=-+-=-++++- 要证：12()02x x h +'<，即121212ln(1)ln(1)202x x x x x x +-+-<++- 也就是2111222()1ln 021x x x x x x -++<+++ 令121(01)1x t t x +=<<+，则22()ln 01tu t t t -=+<+在(0，1)上恒成立12分 ∵2222(1)2(1)1(1)()(1)(1)t t t u t t t t t -+---'=+=++又0 < t < 1，∴()0u t '>因此u (t )在(0，1)上是增函数，则u (t ) < u (1) = 0，即2111222()1ln 021x x x x x x -++<+++ 故121212ln(1)ln(1)202x x x x x x +-+-<++-，即12()02x x h +'<成立 14分。

【名师解析】湖北省部分重点中学2015届高三上学期起点考试数学文试题 Word版含解析

湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高三起点考试数学试卷（文科）【试卷综评】全面考查了考试说明中要求的内容，明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向,适度综合考查，提高试题的区分度.通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求.突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,4}，N ＝{2,3}，则集合{5,6}等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∪(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N ) 【知识点】补集及其运算；并集及其运算．【答案解析】D 解析：解：由题意全集{}1,2,3,4,5,6{1,4}{2,3}U M N ＝，＝，＝，观察知，集合(){56}U C M N = ，,又()()()U UUC M N C M C N ?∴()(){56}U UC MC N =，．故选D ．【思路点拨】利用直接法求解．观察发现，集合{56}，恰是M N È的补集，再由()()()U UUC M N C M C N ?选出答案．2. i 为虚数单位，512iz i=-, 则z 的共轭复数为 ( ) A. 2-i B. 2+iC. -2-iD. -2+i 2i =-+，故z 的共轭复数为2i --，故选C.【思路点拨】先把原式化简，再利用共轭复数的概念即可求得结果.3．若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是 ( )A. 3B. 4C. 5D. 6【知识点】程序框图，等差数列的前n 项和公式.【答案解析】C 解析：解：框图首先给循环变量n 赋值1，给累加变量p 赋值1，执行n=1+1=2，p=1+（2×2-1）=1+3=4；判断4＞20不成立，执行n=2+1=3，p=1+3+（2×3-1）=1+3+5=9；判断9＞20不成立，执行n=3+1=4，p=1+3+5+（2×4-1）=1+3+5+7=16； …由上可知，程序运行的是求首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和，由()2121202n np n +-==>，且n ∈N *，得n=5．(第3题图)【思路点拨】框图首先给循环变量n 赋值1，给累加变量p 赋值1，然后执行运算n=n+1，p=p+2n-1，然后判断p ＞20是否成立，不成立循环执行n=n+1，p=p+2n-1，成立时算法结束，输出n 的值．且由框图可知，程序执行的是求等差数列的前n 项和问题．当前n 项和大于20时，输出n 的值．4．已知命题 p ：,cos 1,x R x ∀∈≤则 ( )A. 00:,cos 1p x R x ⌝∃∈≥B. :,cos 1p x R x ⌝∀∈≥C. :,cos 1p x R x ⌝∀∈>D. 00:,cos 1p x R x ⌝∃∈> 【知识点】命题的否定.【答案解析】D 解析：解：根据全称命题的否定是特称命题可知：,cos 1x R x "危的否定为00,cos 1x R x $?,故选D.【思路点拨】直接把语句进行否定即可.5．若,x y 满足10210y x y x y m -≥⎧⎪--≥⎨⎪+≤⎩，若目标函数z x y =-的最小值为－2，则实数m 的值为（）A. 0B. 2C. 8D. －1 【知识点】简单线性规划．【答案解析】C 解析：解：画出x ，y 满足的可行域如下图：可得直线21y x =-与直线x y m +=的交点使目标函数z x y =-取得最小值，故21y x x y m ì=-ïí+=ïî，解得1,3m x +=代入x y -=-2=-⇒8m =【思路点拨】由目标函数z x y =-的最小值为-2，我们可以画出满足条件的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数m 的方程组，消参后即可得到m 的取值．【典型总结】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值． 6．直线:1l y k x =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12的 ( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【知识点】充分、必要条件的判断.【答案解析】A 解析：解：若1k =，则直线与圆交于()()0,1,1,0两点，所以111122ABOS=创=,充分性成立；若△ABO 的面积为12，易知1k = ，必要性不成立，故选A.【思路点拨】看两命题是否能够互相推出，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．7. 若函数f (x )的零点与()422x g x x ＝＋－的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是( )A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e x －1D ．f (x )＝ln(x －0.5)【知识点】判断函数零点所在的区间;求函数零点的方法. 【答案解析】A 解析：解：∵()422xg x x ＝＋－在R 上连续，且1112<0,422g g 骣骣琪琪琪琪桫桫－=2+1-2>0．设()422xg x x ＝＋－的零点为x 0x <014x <-014-又()41f x x ＝－零点为x =()2(1)f x x ＝－零点为1x =； ()e 1x f x ＝－零点为=0x ；()ln(0.5)f x x ＝－零点为 1.5x =，故选A ．【思路点拨】先判断()g x 的零点所在的区间，再求出各个选项中函数的零点，看哪一个能满足与()422xg x x ＝＋－的零点之差的绝对值不超过0.25．8. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(1D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D A B C -在xO y ，yO z ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则 ( )A. 123S S S ==B. 23S S =且 31S S ≠C. 13S S =且 32S S ≠D. 12S S =且 13S S ≠【知识点】空间直角坐标系．【答案解析】B 解析：解：设()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(1D ，则各个9．已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C，则2C 的渐近线方程为 ( )A.0y ±= B. 0x = C.20x y ±= D.20x y ±===0?选B.【思路点拨】由已知椭圆、双曲线的几何性质可得双曲线的渐近线方程.10．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且()f x 的导函数()f x '在R 上恒有()1f x <'，则不等式 ()1f x x <+的解集为 ( ) A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)- D ．(,1)(1,)-∞-+∞【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质；导数的加法与减法法则．【答案解析】B 解析：解：令()()1g x f x x =--，∵()1f x <'()x R ∈， ∴()()10g x f x ''=-<，∴()()1g x f x x =--为减函数，又(1)2f =，∴()1(1)110g f =--=，∴不等式()1f x x <+的解集⇔()()()101g x f x x g =--<=的解集，即()()1g x g <，又()()1g x f x x =--为减函数， ∴1x >，即()1,x ∈+∞．故选B ．【思路点拨】构造函数()()1g x f x x =--，求导，从而可得()g x 的单调性，结合(1)2f =，可求得()()1g x g <，然后求出不等式的解集即可．二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）11. 不等式521≥++-x x 的解集为 .[)2,+ 1x ++对应点的距离之和，而数轴上满足125x -++=的点的坐标为-3和2，故不等式521≥++-x x 的解集为(][),32,-?+ ，故答案为(][),32,-?+ ．-12x -++=12. 则该几何体的体积为【知识点】三视图.【答案解析】15解析：解：根据右图的几何体的三视图我们可以画出原几何体的立体图形如下图：上部分是一个放倒的三棱柱，下部分是一个长方体.俯视图左视图所以该几何体的体积为1322213152⨯⨯+⨯⨯⨯=3cm ，故答案为15. 【思路点拨】根据三视图还原原几何体，再由体积公式计算即可.13．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校抽取6所学校对学生进行视力调查.若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，则抽取的2所学校均为小学的概率为_________14. 已知1sin cos 5αα-=- ,则 sin 2________α=【知识点】平方关系；二倍角正弦公式.1sin cos 5αα-=-两边平方可得112sin cos 25αα-=，即in 2s α=【思路点拨】把原等式两边平方可得结果.15．设,x y ∈R ，(,1)x a =r ，(1,)y =r b ，(2,4)=-r c ，且⊥r r c a ，rb ∥c ，则⋅（）r r r a-2b c =____【知识点】向量的运算；向量的坐标表示.【答案解析】20-解析：解：因为(,1)x a =r ，(1,)y =r b ，(2,4)=-r c ，又因为⊥r r c a ，所以240x -=，即2x =，故(2,1)a =；又因为//b c ，所以()1420y ⨯--=，即2y =-，故(1,2)=-b ，则()()(1,2)2,122,420（）⋅-=-⋅-=-⎡⎤⎣⎦a -2b c ，故答案为20-.【思路点拨】先利用⊥r r c a ，rb ∥c 解出,x y 的值，再进行坐标运算即可.16．过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段21222211y by b ==，∵过点(1,1)M 作斜率为-：22221(0)x yab a b+=>>相交于A ，B 两点，M 是线段AB 212()02b-?，∴,a ∴c b =，∴c e a =【思路点拨】利用点差法，结合M 是线段AB 的中点，斜率为-C 的离心率．17．如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x ，都有 1122122()()()()x f x x f x x f x x f x+>+，则称函数()f x 为“H 函数”. 给出下列函数①xy e x =+;②2y x =;③3sin y x x =-;④ln 0()00x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩.以上函数是“H 函数”的所有序号为 .【知识点】函数单调性的性质．【答案解析】①③解析：解：∵对任意两个不相等的实数12,x x ，都有 1122122()()()()x f x x f x x f x x f x +>+恒成立，∴不等式等价为()()()12120x x f x f x 轾-->臌恒成立，即函数()f x 是定义在R 上的增函数．①函数x y e x =+在定义域上为增函数，满足条件． ②函数2y x =在定义域上不单调．不满足条件．③3sin y x x =-，y ′=3-cosx ＞0，函数单调递增，满足条件．④ln 0()00x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩．当x ＞0时，函数单调递增，当x ＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H 函数”的函数为②③，故答案为：②③．【思路点拨】先判断出满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．三、解答题：本大题共5小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．18.（本小题满分12分）在ΔABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知2cos(A )cosCa b C c ++= (Ⅰ) 求角C 的大小;(Ⅱ) 若c=2，求使ΔABC 面积最大时，a, b 的值. 【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形面积公式. 【答案解析】（1）23C p =（2 解析：解：（1）c o s (A C )c o s (B )c o s Bπ+=-=-,由题意及正弦定理 2s i n s i n c o s s i n c o s C A B BC +-∴=即 2s i n c o s C (s i n B c o s C c o s B s i n C )s i n (B C A =-+=-+=- (0,)A π∈ s i n 0A ∴> 从而 1c o s 2C =-又(0,)C π∈ 23C π∴=…………………6分（2）由余弦定理 2222c o s ca b a bC =+- 22142()2a b a b ∴=+-⋅-即 224a b a b =++,22423a b a b a b a b a b∴=++≥+=4433a b a b ∴≥≤， (当且仅当a b =时成立) 1s i n C 2A B CS a b b = a b ∴=当时ΔABC ，此时 a b =故当=a b =ΔABC. 【思路点拨】（1）利用诱导公式和正弦定理以及两角和的正弦公式可求得结果；（2）根据余弦定理可判断出当a b =，ΔABC 面积最大，再求出最大值即可.19．（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列{}n a 满足：28432=++a a a ，且23+a 是42,a a 的等差中项.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 若n n n a a b 21log =，n n b b b S +++= 21，求使1262n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值.【知识点】数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；数列的求和．【答案解析】(Ⅰ) 2.n n a = (Ⅱ) 6解析：解：(Ⅰ)设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为.q依题意，有3242(2)a a a +=+，代入23428a a a ++=，可得38a =，2420a a ∴+=，∴213118,20,a q a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解之得12,2q a =⎧⎨=⎩ 或11,232.q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩又数列{}n a 单调递增，∴ 2q =，12a =，∴数列{}n a 的通项公式为2.nn a =…………………6分(Ⅱ) 122log 22n n n n b n ==-⋅，∴2(12222)n n S n =-⨯+⨯++⋅，2312[1222(1)22]n n n S n n +=-⨯+⨯++-⋅+⋅，两式相减，得2311122222222.n n n n n S n n +++=++++-⋅=--⋅1262n n S n +∴+⋅>即12262n +->，即162642n +>=16n ∴+> 16n ∴+> 从而5n > 故正整数n 的最小值为6.∴使1262n n S n +∴+⋅>成立的正整数n 的最小值为6. …………………12分【思路点拨】（I ）由题意，得23428a a a ++=，由此能求出数列{a n }的通项公式．（Ⅱ）结合已知可得数列{b n }的前项和S n =2n +1-2-n •2n +1，使1262n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值．20．（本小题满分13分）如图，ABC ∆中，90,1,B AB BC D E ∠===、两点分别是线段AB AC 、的中点，现将ABC ∆沿DE 折成直二面角A DE B --。

湖北省百所重点中学2015届高三十月联合考试数学(理)试题

湖北省百所重点中学2015届高三十月联合考试试题理科试题考生注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟2、请将各题答案填在卷后面的答案卡上．3、本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数（60%）；三角函数与平面向量（40%）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|20}{|1}1xM x x x N x x =-+>=<-，则M N 等于A ．()0,2B ．()0,1C ．()1,2D ．()1,1- 2、2014cos()3π的值为A ．12 B ．2 C ．12- D ． 2-3、已知a 为常数，则使得11aa dx x>⎰成立的一个充分而不必要条件是（） A ．0a > B ．0a < C ．a e > D ．a e <4、已知α为第三象限角，且2sin cos 2,sin 2m m ααα+==，则m 的值为A ．．13- D ．-5、在ABC ∆中，角角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22a b -且sin C B =，则A 等于 A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π6、已知定义在R 上的奇函数()f x 满足3()()2f x f x -=+，且当302x <≤时，()2log (31)f x x =+，则()2015f 等于A ．1-B ．2-C ．1D ．2 7、给出下列命题，其中错误的是A ．在ABC ∆中，若AB >，则sin sin A B > B ．在锐角ABC ∆中， sin sin A B >C ．把函数sin 2y x =的图象沿x 轴向左平移4π个单位，可以得到函数cos 2y x =的图象 D．函数sin (0)y x x ωωω=≠最小正周期为π的充要条件是2ω= 8、已知幂函数()1()n f x x n N -=∈的图象如图所示，则()y f x =在1x =的切线与两坐标轴围成的面积为 A ．43 B ．74 C ．94D ．4 9、已知,a b R ∈，函数()tan f x x =在4x π=-处于直线2y ax b π=++相切，设()x g x e =2bx c ++，若在区间[]1,2上，不等式()22m g x m ≤≤-恒成立，则实数mA ．有最小值e -B ．有最小值eC ．有最大值eD ．有最大值1e +10、对于函数()f x ，若,,a b c R ∀∈，()()(),,f a f b f c 为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”，已知函数()1x x e t f x e +=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是A ．[)0,+∞B ．[]0,1C ．[]1,2D ．1[,2]2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答案卡中的横线上 11、已知,3sin 22cos 2παπαα<<=，则cos()απ-=12、化简2log2lg5lg2lg2+-的结果为13、已知:p 关于x 的方程210x mx ++=有两个不等的负实数根；:q 关于x 的方程244(2)10x m x +-+=的两个实数根，分别在区间()0,2与()2,3内（1）若p ⌝是真命题，则实数m 的取值范围为（2）若()()p q ⌝∧⌝是真命题，则实数m 的取值范围为14、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2c o s 2B a b =+，若ABC ∆的面积为S =，则ab 的最小值为15、已知函数()2111[0,]24221,122x x f x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩，()3sin()22(0)32g x a x a a ππ=+-+>，给出下列结论：①函数()f x 的值域为2[0,]3； ②函数()g x 在[]0,1上是增函数；③对任意0a >，方程()()f x g x =在[]0,1内恒有解；④若存在[]12,0,1x x ∈，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是44[,]95．其中所有正确的结论的序号是三、解答题：本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分11分）已知函数()sin()(,0,0,||)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示．（1）试确定函数()f x 的解析式；（2）若1()23a f π=，求2cos()3πα-的值．17、（本小题满分12分）2014世界园艺博览会在青岛举行，某展销商在此期间销售一种商品，根据市场调查，当每套商品售价为x 元时，销售量可达到150.1x -万套，供货商把该产品的供货价格分为来那个部分，其中固定价格为每套30元，浮动价格与销量（单位：万套）成反比，比例系数为k ，假设不计其它成本，即每套产品销售利润=售价-供货价格（1）若售价为50元时，展销商的总利润为180元，求售价100元时的销售总利润；（2）若10k =，求销售这套商品总利润的函数()f x ，并求()f x 的最大值． 18、（本小题满分12分）如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且(,)62ππα∈，将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ，记1122(,),(,)A x y B x y ．（1）若113x =，求2x ；（2）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足一次为C 、D ，记AOC ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积为2S ，若122S S =，求角α的值．19、（本小题满分12分）已知函数()2(0)2mx nf x m x +=≠+是定义在R 上的奇函数．（1）若0m >，求()f x 在(,)m m -上递增的充要条件；（2）若()21sin cos cos 2f x θθθ≤+对任意的实数θ和正实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．20、（本小题满分14分）已知()(ln 1)x f x e x =+（1）求()()y f x f x '=-的单调区间与极值；（2）若0k <，试分析方程()()2f x f x kx k e '=+-+在[)1,+∞上是否有实根，若有实数根，求出k 的取值范围；否则，请说明理由．21、（本小题满分14分）已知()ln (,1mf x n x m n x =++为常数)，在1x =处的切线方程为20x y +-=．（1）求()y f x =的单调区间；（2）若任意实数1[,1]x e ∈，使得对任意的1[,2]2t ∈上恒有()3222f x t t at ≥--+成立，求实数a 的取值范围；（3）求证：对任意正整数n ，有124()(ln1ln 2ln )2231nn n n +++++++≥+．。

2015年湖北省高考数学试卷及解析(理科)

2015年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、（5分）i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A、iB、﹣iC、1D、﹣12、（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A、134石B、169石C、338石D、1365石3、（5分）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A、212B、211C、210D、294、（5分）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示、下列结论中正确的是（）A、P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B、P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C、对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D、对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y ≥t）5、（5分）设a1，a2，…，a n∈R，n≥3、若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则（）A、p是q的充分条件，但不是q的必要条件B、p是q的必要条件，但不是q的充分条件C、p是q的充分必要条件D、p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6、（5分）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A、sgn[g（x）]=sgnxB、sgn[g（x）]=﹣sgnxC、sgn[g（x）]=sgn[f（x）]D、sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]7、（5分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）A、P1＜P2＜P3B、P2＜P3＜P1C、P3＜P1＜P2D、P3＜P2＜P18、（5分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A、对任意的a，b，e1＞e2B、当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C、对任意的a，b，e1＜e2D、当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e29、（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A、77B、49C、45D、3010、（5分）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数、若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A、3B、4C、5D、6二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分、请将答案填在答题卡对应题号的位置上、答错位置，书写不清，模棱两可均不得分、11、（5分）已知向量⊥，||=3，则•=、12、（5分）函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数为、13、（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=m、14、（5分）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B （B在A的上方），且|AB|=2、（1）圆C的标准方程为；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：①=；②﹣=2；③+=2、其中正确结论的序号是、（写出所有正确结论的序号）选修4-1：几何证明选讲15、（5分）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=、选修4-4：坐标系与参数方程16、在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系、已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（t 为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=、三、解答题：本大题共6小题，共75分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、17、（11分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）05﹣50（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x）的图象、若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值、18、（12分）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100、（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n、19、（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑、如图，在阳马P ﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE、（1）证明：PB⊥平面DEF、试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值、20、（12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品、生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元、要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时、假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量、（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率、21、（14分）一种画椭圆的工具如图1所示、O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系、（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点、若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由、22、（14分）已知数列{a n}的各项均为正数，b n=n（1+）n a n（n∈N+），e为自然对数的底数、（1）求函数f（x）=1+x﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令c n=（a1a2…a n），数列{a n}，{c n}的前n项和分别记为S n，T n，证明：T n＜eS n、参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、（5分）i为虚数单位，i607的共轭复数为（）A、iB、﹣iC、1D、﹣1题目分析：直接利用复数的单位的幂运算求解即可、试题解答解：i607=i604+3=i3=﹣i，它的共轭复数为：i、故选：A、点评：本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查、2、（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A、134石B、169石C、338石D、1365石题目分析：根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论、试题解答解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B、点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础、3、（5分）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A、212B、211C、210D、29题目分析：直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可、试题解答解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得，可得n=3+7=10、（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：=29、故选：D、点评：本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力、4、（5分）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示、下列结论中正确的是（）A、P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B、P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）C、对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）D、对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y ≥t）题目分析：直接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可、试题解答解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1＜μ2，从图中容易得到P（X≤t）≥P（Y≤t）、故选：C、点评：本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质、5、（5分）设a1，a2，…，a n∈R，n≥3、若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则（）A、p是q的充分条件，但不是q的必要条件B、p是q的必要条件，但不是q的充分条件C、p是q的充分必要条件D、p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件题目分析：运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到、试题解答解：由a1，a2，…，a n∈R，n≥3、运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，若a1，a2，…，a n成等比数列，即有==…=，则（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=a n=0，则a1，a2，…，a n不成等比数列、故p是q的充分不必要条件、故选：A、点评：本题考查充分必要条件的判断，同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不等式解题是关键、6、（5分）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A、sgn[g（x）]=sgnxB、sgn[g（x）]=﹣sgnxC、sgn[g（x）]=sgn[f（x）]D、sgn[g（x）]=﹣sgn[f（x）]题目分析：直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可、试题解答解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[g（x）]=﹣sgnx、所以A不正确，B正确，sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；sgn[g（x）]=sgn（﹣x）=，﹣sgn[f（x）]=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B、点评：本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题、7、（5分）在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）A、P1＜P2＜P3B、P2＜P3＜P1C、P3＜P1＜P2D、P3＜P2＜P1题目分析：作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可、试题解答解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：P1：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），则阴影部分的面积S1=1×1﹣=1﹣=，S2=1×1﹣2×=1﹣=，S3=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2，∴S2＜S3＜S1，即P2＜P3＜P1，故选：B、点评：本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键、本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小、8、（5分）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）A、对任意的a，b，e1＞e2B、当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2C、对任意的a，b，e1＜e2D、当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2题目分析：分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论、试题解答解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，∴=﹣=，∴当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2，故选：B、点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础、9、（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（）A、77B、49C、45D、30题目分析：由题意可得，A={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}，根据定义可求试题解答解：解法一：∵A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素；解法二：因为集合A={（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素，即图中圆中的整点，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，中有5×5=25个元素，即图中正方形ABCD中的整点，A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整点（除去四个顶点），即7×7﹣4=45个、故选：C、点评：本题以新定义为载体，主要考查了集合的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素、10、（5分）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数、若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A、3B、4C、5D、6题目分析：由新定义可得t的范围，验证可得最大的正整数n为4、试题解答解：若[t]=1，则t∈[1，2），若[t2]=2，则t∈[，）（因为题目需要同时成立，则负区间舍去），若[t3]=3，则t∈[，），若[t4]=4，则t∈[，），若[t5]=5，则t∈[，），其中≈1.732，≈1.587，≈1.495，≈1.431＜1.495，通过上述可以发现，当t=4时，可以找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）上，但当t=5时，无法找到实数t使其在区间[1，2）∩[，）∩[，）∩[，）∩[，）上，∴正整数n的最大值4故选：B、点评：本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题、二、填空题：本大题共4小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分、请将答案填在答题卡对应题号的位置上、答错位置，书写不清，模棱两可均不得分、11、（5分）已知向量⊥，||=3，则•=9、题目分析：由已知结合平面向量是数量积运算求得答案、试题解答解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴、故答案为：9、点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题、12、（5分）函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|的零点个数为2、题目分析：利用二倍角公式化简函数的解析式，求出函数的定义域，画出函数的图象，求出交点个数即可、试题解答解：函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}、f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|=2sinx﹣|ln（x+1）|=sin2x﹣|ln（x+1）|，分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，由函数的图象可知，交点个数为2、所以函数的零点有2个、故答案为：2、点评：本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用、13、（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=100m、题目分析：设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h、试题解答解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600、根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100、点评：本题主要考查了解三角形的实际应用、关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解、14、（5分）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B （B在A的上方），且|AB|=2、（1）圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：①=；②﹣=2；③+=2、其中正确结论的序号是①②③、（写出所有正确结论的序号）题目分析：（1）取AB的中点E，通过圆C与x轴相切于点T，利用弦心距、半径与半弦长之间的关系，计算即可；（2）设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），计算出、、的值即可、试题解答解：（1）∵圆C与x轴相切于点T（1，0），∴圆心的横坐标x=1，取AB的中点E，∵|AB|=2，∴|BE|=1，则|BC|=，即圆的半径r=|BC|=，∴圆心C（1，），则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2，故答案为：（x﹣1）2+（y﹣）2=2、（2）∵圆心C（1，），∴E（0，），又∵|AB|=2，且E为AB中点，∴A（0，﹣1），B（0，+1），∵M、N在圆O：x2+y2=1上，∴可设M（cosα，sinα），N（cosβ，sinβ），∴|NA|=====，|NB|====，∴===，同理可得=，∴=，①成立，﹣=﹣（）=2，②正确、+=+（）=，③正确、故答案为：①②③、点评：本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题、选修4-1：几何证明选讲15、（5分）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC=3PB，则=、题目分析：利用切割线定理推出PA=2PB，利用相似三角形求出比值即可、试题解答解：由切割线定理可知：PA2=PB•PC，又BC=3PB，可得PA=2PB，在△PAB与△PAC中，∠P=∠P，∠PAB=∠PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等），可得△PAB∽△PAC，∴==、故答案为：、点评：本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力、选修4-4：坐标系与参数方程16、在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系、已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（t 为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=、题目分析：化极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标，由两点间的距离公式得答案、试题解答解：由ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，得y﹣3x=0，由C的参数方程为（t为参数），两式平方作差得：x2﹣y2=﹣4、联立，得，即、∴A（），B（），∴|AB|=、故答案为：、点评：本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题、三、解答题：本大题共6小题，共75分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、17、（11分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）05﹣50（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x）的图象、若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值、题目分析：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣、从而可补全数据，解得函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）、（2）由（Ⅰ）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）、令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z、令=，解得θ=，k∈Z、由θ＞0可得解、试题解答解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣、数据补全如下表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）050﹣50且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）、（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）、因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z、令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z、由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z、由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值、点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查、18、（12分）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100、（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n、题目分析：（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d＞1时，由（1）知c n=，写出T n、T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可、试题解答解：（1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，a n=2n﹣1，b n=2n﹣1；当时，a n=（2n+79），b n=9•；（2）当d＞1时，由（1）知a n=2n﹣1，b n=2n﹣1，∴c n==，∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，∴T n=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣、点评：本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题、19、（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑、如图，在阳马P ﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE、（1）证明：PB⊥平面DEF、试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值、题目分析：解法1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF，即可判断DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，确定直角、（2）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线、利用直线平面的垂直判断出DG⊥DF，DG⊥DB，根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可、解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断即可、2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量、根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案、试题解答解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD、而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE、又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC、而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC、而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE、又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF、由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB、（2）如图1，在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线、由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG、又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG、而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD、所以DG⊥DF，DG⊥DB故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PD=DC=1，BC=λ，有BD=，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPB=∠FDB=，则tan=tan∠DPF===，解得、所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=、（解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系、设PD=DC=1，BC=λ，则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，﹣1），点E是PC的中点，所以E（0，，），=（0，，），于是=0，即PB⊥DE、又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF、因=（0，1，﹣1），=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC、由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB、（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量、若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，则运用向量的数量积求解得出cos==，解得、所以所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=、点评：本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题、20、（12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品、生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元、要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时、假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量、（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率、题目分析：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，列出可行域，目标函数，通过当W=12时，当W=15时，当W=18时，分别求出目标函数的最大获利，然后得到Z的分布列、求出期望即可、（2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可、试题解答（12分）解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y、当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）、将z=1000x+1200y变形为，当x=2.4，y=4.8时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160、当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（7.5，0）、、将z=1000x+1200y变形为，当x=3，y=6时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200、当W=18时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）、将z=1000x+1200y变形为：，当x=6，y=4时，直线l：y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800、故最大获利Z的分布列为：Z81601020010800P0.30.50.2因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708（2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率P1=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：、点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力、21、（14分）一种画椭圆的工具如图1所示、O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系、（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点、若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由、题目分析：（1）根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可、试题解答解：（1）设D（t，0），|t|≤2，N（x0，y0），M（x，y），由题意得=2，且||=||=1，∴（t﹣x，﹣y）=2（x0﹣t，y0），且，即，且t（t﹣2x0）=0，由于当点D不动时，点N也不动，∴t不恒等于0，于是t=2x0，故x0=，y0=﹣，代入x02+y02=1，得方程为、=，（2）①当直线l的斜率k不存在时，直线l为：x=4或x=﹣4，都有S△OPQ②直线l的斜率k存在时，直线l为：y=kx+m，（k），由消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，∵直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4，①，由，可得P（，），同理得Q（，），原点O到直线PQ的距离d=和|PQ|=•|x P﹣x Q|，=|PQ|d=|m||x P﹣x Q|=|m|||=||②，可得S△OPQ将①代入②得S=||=8||，△OPQ=8（）=8（1+）＞8，当k2＞时，S△OPQ=8||=﹣8（）=8（﹣1+），当0≤k2＜时，S△OPQ∵0≤k2＜时，∴0＜1﹣4k2≤1，≥2，∴S=8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，△OPQ的最小值为8，∴当k=0时，S△OPQ综上可知当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，三角形OPQ的面积存在最小值为8、点评：本题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键、综合性较强，运算量较大、22、（14分）已知数列{a n}的各项均为正数，b n=n（1+）n a n（n∈N+），e为自然对数的底数、（1）求函数f（x）=1+x﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（3）令c n=（a1a2…a n），数列{a n}，{c n}的前n项和分别记为S n，T n，证明：T n＜eS n、题目分析：（1）求出f（x）的定义域，利用导数求其最大值，得到1+x＜e x、取x=即可得到答案；（2）由b n=n（1+）n a n（n∈N+），变形求得，，，由此推测=（n+1）n、然后利用数学归纳法证明、（3）由c n的定义、=（n+1）n、算术﹣几何平均不等式、b n的定义及，利用放缩法证得T n＜eS n、试题解答（1）解：f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1﹣e x、当f′（x）＞0，即x＜0时，f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞0时，f（x）单调递减、故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）、当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即1+x＜e x、令，得，即、①（2）解：；=；、由此推测：=（n+1）n、②下面用数学归纳法证明②、（1）当n=1时，左边=右边=2，②成立、（2）假设当n=k时，②成立，即、当n=k+1时，，由归纳假设可得=、∴当n=k+1时，②也成立、根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立、（3）证明：由c n的定义，②，算术﹣几何平均不等式，b n的定义及①得T n=c1+c2+…+c n=====＜ea1+ea2+…+ea n=eS n即T n＜eS n点评：本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法证明数列不等式，是压轴题31/ 31。

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开始 p＝1，n＝1 n＝n＋1

p>20 ? 输出n 结束 (第3题图)

是否 p=p+2n1

麻城实验高中2015届高三起点考试数学试卷（理科）一、选择题： 1 . i为虚数单位，512izi, 则z的共轭复数为 ( ) A. 2-i B. 2+i C. -2-i D. -2+i 2．若二项式的展开式中的常数项为70，则实数a可以为( )

D．22 A．2 B．12 C． 3．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

4. .直线:1lykx与圆22:1Oxy相交于,AB两点，则"1"k是“△ ABO的面积为 1

2”的（）

.A充分而不必要条件 .B必要而不充分条件

.C充分必要条件 .D既不充分又不必要条件

5．已知函数 y = 2sinx 的定义域为[a,b] ,值域为[-2,1] ，则 b-a的值不可能是( ) A. 56 B.π C. 76 D. 2π

6.若,xy满足20200xykxyy且zyx的最小值为－2，则k的值为（） A. 1 B.－1 C. 2 D. --2 7.在空间直角坐标系Oxyz中，已知2,0,0A，2,2,0B，0,2,0C，1,1,2D，若

1S，2S，3S分别表示三棱锥DABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的

面积，则（） A 123SSS B 12SS且 31SS

2x+ax8

2C 13SS且 32SS D 23SS且 13SS

8．已知ab，椭圆1C的方程为22221xyab，双曲线2C的方程为22221xyab，1C与2C

的离心率之积为32，则2C的渐近线方程为( ) A . 20xy B. 20xy C.20xy D.20xy 9. 已知向量，满足 =1，与的夹角为，若对一切实数 x , ≥ 恒成立，则的取值范围是( )

A. B. C. D. 10．已知()ln(1)ln(1)fxxx，(1,1)x。现有下列命题： ①()()fxfx；②22()2()1xffxx；③|()|2||fxx。其中的所有正确命题的序号是( ) A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②

二、填空题：

（一）必考题（11—14题） 11．.不等式521xx的解集为 .

12. 已知偶函数fx在0,单调递减，20f.若10fx，则x的取值集合是__________. 13．过点(1,1)M作斜率为12的直线与椭圆C：22221(0)xyabab相交于A,B，若M 是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为 14. 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数()x组成的集合：对于函数()x，存在一个正数M，使得函数()x的值域包含于区间[,]MM。例如，当31()xx，2()sinxx时，1()xA，2()xB。现有如下命题： ①设函数()fx的定义域为D，则“()fxA”的充要条件是“bR，aD，()fab”；

②函数()fxB的充要条件是()fx有最大值和最小值； ③若函数()fx，()gx的定义域相同，且()fxA，()gxB，则()()fxgxB

④若函数 2()ln(2)1xfxaxx （2x，aR）有最大值，则()fxB。其中的真命题有__________________.（写出所有真命题的序号）

abaabπ3xa+2ba+bb

1,∞1,∞12,∞12,∞（二）选考题（第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15．（选修4-1：几何证明选讲）已知AB，BC是圆O的两条弦， AOBC，AB= 3， BC=22，则圆O的半径等于________。

16．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C的参数方程是







33tytx

为参数t，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立

极坐标系，曲线2C的极坐标方程是2，则1C与2C交点的直角坐标为________ 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2cos(A)cosCabCc

（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使ΔABC面积最大时，a,b的值。

18．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}na满足：nS为数列{}na的前n项和，且 2，na，nS成等差数列. （1）求数列{}na的通项公式；

(2) 若21()2nbna，nnnbca 求数列{}nc的前n项和.

19．（本小题满分12分）如图，ABC中，90,2,1,BABBCDE、两点分别是线段ABAC、的中点，现将ABC沿DE折成直二面角ADEB。 (1) 求证：ADCABE面面； (2) 求直线AD与平面ABE所成角的正切值。 A

B C D E A

B C D E 20．（本小题满分12分）某省进行高考改革，外语实行等级考试，其他学科分值如下表：科目语文数学科目A 科目B 科目C 科目D 分值 180 150 120 100 100 100

(1) 有老师建议语文放在首场，数学与科目A不相邻，按这位老师的建议安排考试，前三科总分不小于400的概率为多少？ (2) 若前三场科目中要安排语文，求前三场考试总分ξ的分布列及期望值。

21．（本小题满分13分）已知点A（0，-2），椭圆E：22221(0)xyabab的离心率为32，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.

(1) 求E的方程； (2) 设过点A的直线l与E相交于,PQ两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.

22．（本小题满分14分）已知函数 f (x) = + ax (a<0) （1）若 f (x) 在 x =0处取极值，求a的值，（2）讨论 f(x) 的单调性，

（3）证明 ⋯ < ,

( e为自然对数的底数, n∈N∗ )

ln(1+2x)1+131+1

91+1

3ne湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期新高三起点考试数学试卷（理科）答案

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C A D B D A C A

11. ( —∞ , —3] U [ 2, + ∞ ) 12. ( -- 1 , 3 ) 13. 14. (1)(3)(4)

15. 16。( 3, 1 ) 17.解：(Ⅰ)cos(AC)cos(B)cosB 由题意及正弦定理 2sinsincossincosCABBC 即 2sincosC(sinBcosCcosBsinC)sin(BC)sinAA (0,)A sin0A 从而 1cos2C

又(0,)C 23C …………………6分 (Ⅱ) 由余弦定理 2222coscababC 22142()2abab 即 224abab

22423ababababab

4433abab， (当且仅当ab时成立)

13sinC24ABCSabab

ab当时ΔABC面积最大为33，此时 23=3ab

故当23=3ab时，ΔABC的面积最大为33. 18．．解：(1) ∵ 2an=Sn+2 ∴ N=1 ,a1=2

n≥2,an=Sn- Sn-1

∴an=2an-1(n≥2)

∴ 通项公式为2.n

na …………………6分

2232 19. 解：(Ⅰ) 由90,BDE、两点分别是线段ABAC、的中点，得//,DEBCDEADDEBD，

ADB为二面角ADEB平面角，2ADB 。

,,ADBCDBEBCDADBE面又面又21,,1,,22BDBCBDDEBCBDEDBCDEBD即 ,EBDDCBBEDC ,BEADC面 ,BEABEABEADC又面面面 ……………7分

(Ⅱ) 连结BE交CD于H，连结AH 过点D作DOAH于O。 ,ADBEBEDHBEADH面 ,DOADHBEDO面，

,DOAHDO又面ABE 所以DAO为AD与平面ABE所成角。

RtBDE中，216,226BDDEBDDEDHBE，

RtADH中，63tan263DHDAODA.

所以直线AD与平面ABE所成角的正切值为33 。 ……………13分

20.(1) P=1— = 247223

A B C D E H