山东师范大学附属中学2016届高三第五次模拟考试数学(理)试题及答案
2016届高考模拟试题及答案_山东省山东师范大学附属中学2016届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题
2 y 8x m 2 2m 恒成立，则实数 m x y
2
m
f x1 f x2 g x1 g x2 ，现有如下命题： ,n x1 x2 x1 x2
（1）对于任意不相等的实数 x1 , x2 ，都有 m ； （2）对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1 , x2 ，都有 n 0 ； （3）对于任意的 a，存在不相等的实数 x1 , x2 ，使得 m n ； （4）对于任意的 a，存在不相等的实数 x1 , x2 ，使得 m n 。 其中的真命题有_________（写出所有真命题的序号） 。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分 12 分）已知 m 2 cos x
1 时，夹角 的取值范围是 5
C.
3
B.
, 3 2
2 , 2 3
D. 0,
2 3
第 II 卷（非选择题 共 100 分）
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11. 已 知 数 列 an 是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 ， a1 2 ， 且
a , g x 2 ln x m . x
（I）已知 m 0 ，若存在 x0 , e ，使 x0 f x0 g x0 ，求 a 的取值范围； e （II）已知 a m 1 ， （1）求最大正整数 n，使得对任意 n 1 个实数 xi i 1, 2, , n 1，当xi e 1, 2 时，
x y 3 0.
（I）求函数 f x 的解析式； （II）设 g x ln x，当x 1, 时，求证： g x f x ； （III）已知 0 a b ，求证：
吉林省东北师范大学附属中学2016届高三第五次模拟考试数学(文)试题 含答案
数学（文)试卷第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合1,2,3,4,5,2,4,6P Q，若M P Q ，则M 的子集个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．22。
复数z 满足12i z (i 是虚数单位）,则z 的共轭复数在复平面内对应的点是( ） A ．1,1B ．1,1 C ．1,1D ．1,1 3。
已知命题若0:p x R ，使05sin 2x ;命题:0,,sin q xx x ,则下列判断正确的是（ ）A ．p 为真B ．q 为假C ．p q 为真D ．p q 为假4。
已知442log 6,log 0.2,log 3a b c ，则这三个数的大小关系是（ ）A ．ca bB ．ac b C ．ab cD ．bc a5。
已知数列na 的前n 项和为nS ,且21nn Sa nN，则4S 等于( ）A ．7B ．8C ．15D ．16 6. 设点,Mx y满足约束条件13300x yx y xy ，且点1,2N ，则OM ON 的取值范围是（ ） A ．4,1B ．2,0C ．1,2D ．3,37。
函数2sin0,2f xx的部分图像如图所示，则04ff（ ）A ．13B ．13C ．312 D ．3128。
已知平面向量,a b 满足0b a b,且2,1ab，则a b（）A ．1B ． 3C 5D 79。
下列函数中，在定义域内是偶函数,且值域为0+，的是（ )A ．21f xx B ．sin fxx xC ．2cos fxx x D ．222x xfx10。
双曲线222210,0x y a b ab 的一条渐近线与圆22131x y 相切，则此双曲线的离心率为（ ） A 5 B ．2 C 23 D 211. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,正多边形的面积可无限逼近于圆的面积,并创立了割圆术，即所谓“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”。
2016届山东师大附中高三(上)第三次模拟数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年山东师大附中高三（上）第三次模拟数学试卷（理科）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分）.1．设集合A={a，a2，﹣2}，B={2，4}，A∩B={4}，则a=（）A．2 B．﹣2 C．4 D．2．在复平面内，复数z=（1+2i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设平面向量，，均为非零向量，则“•（﹣）=0”是“=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S6=36，则a6=（）A．9 B．10 C．11 D．125．已知命题p：函数y=2﹣a x+1（a＞0，a≠1）恒过定点（﹣1，1）：命题q：若函数f（x﹣1）为偶函数，则f（x）的图象关于直线x=1对称．下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．¬p∧¬q C．¬p∧q D．p∧¬q6．已知P（x，y）是不等式组表示的平面区域内的一点，A（1，2），O为坐标原点，则•的最大值（）A．2 B．3 C．5 D．67．为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位8．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角9．设=（）A．B．C．D．210．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，2）D．（1，2）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．在正项等比数列{a n}中，前n项和为=．12．已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于．13．设=．14．在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．15．已知，动点P满足，且λμ≥0，|λ+μ|≤1，点P所在平面区域的面积为．三、解答题（本题满分75分）16．已知函数（1）求函数的单调递增区间（2）在，求三角形的面积S△AB C．17．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．（1）证明：﹣3≤f（x）≤3；（2）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，AP=，AB=AD=1，BC=2，．（I）求证：平面PAC⊥平面PDE（II）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值．19．数列{a n}中，a1=3，a n+1=2a n+2．（I）求证：{a n+2}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（II）设，求和S n=b1+b2+…+b n，并证明：．20．已知函数f（x）=（x+1）|lnx|．（I）讨论函数f（x）的单调性；（II）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≥a（x﹣1）恒成立，求a的范围．21．设函数．（I）求函数y=f（x）的最大值；（II）对于任意的正整数n，求证：（III）当﹣1＜a＜b时，成立，求实数m的最小值．2015-2016学年山东师大附中高三（上）第三次模拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分）.1．设集合A={a，a2，﹣2}，B={2，4}，A∩B={4}，则a=（）A．2 B．﹣2 C．4 D．【考点】交集及其运算．【分析】由A，B，以及两集合的交集，确定出a的值即可．【解答】解：∵A={a，a2，﹣2}，B={2，4}，A∩B={4}，∴a=4或a2=4，即a=2或﹣2，当a=2时，A={2，4，﹣2}，B={2，4}，此时A∩B={2，4}，不合题意；当a=﹣2时，A={﹣2，4，﹣2}，与集合互异性矛盾，舍去，则a=4，故选：C．2．在复平面内，复数z=（1+2i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，得到复数z对应点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=﹣3+4i，∴复数z=（1+2i）2对应的点的坐标为（﹣3，4），位于第二象限．故选：B．3．设平面向量，，均为非零向量，则“•（﹣）=0”是“=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据向量的数量积关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若=，则•（﹣）=0成立，必要性成立，若•（﹣）=0得•=•，则=不一定成立，充分性不成立．故“•（﹣）=0”是“=”的必要而不充分条件，故选：B．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S6=36，则a6=（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列可得×6=36，从而求得a4=7，从而求得．【解答】解：∵S6=×6=36，a3=5，∴a4=7，∴a6=a4+（6﹣4）×（7﹣5）=11，故选：C．5．已知命题p：函数y=2﹣a x+1（a＞0，a≠1）恒过定点（﹣1，1）：命题q：若函数f（x﹣1）为偶函数，则f（x）的图象关于直线x=1对称．下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．¬p∧¬q C．¬p∧q D．p∧¬q【考点】复合命题的真假．【分析】复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再进一步进行判断，则答案可求．【解答】解：函数y=2﹣a x+1的图象可看作把y=a x的图象先沿轴反折，再左移1各单位，最后向上平移2各单位得到，而y=a x的图象恒过（0，1），∴函数y=2﹣a x+1恒过（﹣1，1）点，∴命题p假，则￢p真．函数f（x﹣1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f （x﹣1）向左平移了1各单位，∴f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，∴命题q假，则命题￢q真．综上可知，命题￢p∧￢q为真命题．故选：B．6．已知P（x，y）是不等式组表示的平面区域内的一点，A（1，2），O为坐标原点，则•的最大值（）A．2 B．3 C．5 D．6【考点】简单线性规划．【分析】设z=•=x+2y，作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=•，则z=x+2y，即y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B（0，3），y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．代入z=x+2y=0+2×3=6．即•的最大值最大值为6．故选：D7．为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x=的图象向右平移个单位，得到y==的图象．故选：A．8．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．【解答】解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；∵SD⊥底面ABCD，∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的，而△SAO≌△CSO，∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确；故选D．9．设=（）A．B．C．D．2【考点】数列与向量的综合．【分析】运用三角函数的诱导公式，化简向量，，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：=（cos，sin+cos）=（cos，﹣sin+cos）=（，），=（cos，sin+cos）=（cos0，sin0+cos0）=（1，1），即有•=×1+×1=﹣．故选：B．10．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，2）D．（1，2）【考点】抽象函数及其应用．【分析】由f（x+2）=f（x），得到函数的周期是2，利用函数的周期性和奇偶性作出函数f（x）的图象，由ax+2a﹣f（x）=0等价为f（x）=a（x+2），利用数形结合即可得到结论．【解答】解：若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，等价为f（x）=a（x+2）有四个不相等的实数根，即函数y=f（x）和g（x）=a（x+2），有四个不相同的交点，∵f（x+2）=f（x），∴函数的周期是2，当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，此时f（﹣x）=﹣2x，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=﹣2x=f（x），即f（x）=﹣2x，﹣1≤x≤0，作出函数f（x）和g（x）的图象，当g（x）经过A（1，2）时，两个图象有3个交点，此时g（1）=3a=，解得a=当g（x）经过B（3，2）时，两个图象有5个交点，此时g（3）=5a=2，解得a=，要使在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则，故选：A二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．在正项等比数列{a n}中，前n项和为=．【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列的性质列出方程组，求出首项和公比，即可求出S5的值．【解答】解：∵正项等比数列{a n}中，前n项和为S n，a5=，a6+a7=3，∴，解得q=2，a1=，∴S5===．故答案为：．12．已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于4π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由已知中S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，易S、A、B、C四点均为长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，可得球O的直径（半径），代入球的表面积公式即可得到答案．【解答】解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴四面体S﹣ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径∵SA=AB=1，BC=，∴2R==2∴球O的表面积S=4•πR2=4π故答案为：4π13．设=．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的化简求值．【分析】由三角函数公式化简可得sin（α﹣β）=sin（﹣α），由角的范围和正弦函数的单调性可得．【解答】解：∵α，β∈（0，），且tanα=，∴=，∴sinαcosβ=cosα+cosαsinβ，∴sinαcosβ﹣cosαsinβ=cosα，∴sin（α﹣β）=cosα=sin（﹣α），∵α，β∈（0，），∴α﹣β∈（﹣，），∴﹣α∈（0，），∵函数y=sinx在x∈（﹣，）单调递增，∴由sin（α﹣β）=sin（﹣α）可得α﹣β=﹣α，变形可得2α﹣β=故答案为：．14．在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．【考点】余弦定理的应用．【分析】利用已知条件求出A，C，然后利用正弦定理求出AC即可．【解答】解：由题意以及正弦定理可知：，即，∠ADB=45°，A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC是等腰三角形，AC=2=．故答案为：．15．已知，动点P满足，且λμ≥0，|λ+μ|≤1，点P所在平面区域的面积为5．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据条件可以求出，可分别以线段AB，AC所在直线为λ轴，μ轴，建立坐标系，然后以向量为一组基底，可得到P（λ，μ），根据条件λ，μ≥0时便有0≤λ+μ≤1，这样便可得到对应的P点所在区域为△ABC及其内部，并可求出S△AB C，而λ，μ≤0，﹣1≤λ+μ≤0时便可得到对应的点P所在区域面积等于S△AB C，这样即可求出点P 所在平面区域的面积．【解答】解：，；∴；∴；如图，分别以边AB，AC所在的直线为λ轴，μ轴建立如图所示坐标系：以向量为一组基底，则P点的坐标为P（λ，μ）；若λ≥0，μ≥0，则0≤λ+μ≤1，对应的P点所在区域为图中阴影部分所示；；同理，λ≤0，μ≤0时，﹣1≤λ+μ≤0，此时点P所在区域面积应等于；∴点P所在平面区域的面积为5．故答案为：5．三、解答题（本题满分75分）16．已知函数（1）求函数的单调递增区间（2）在，求三角形的面积S△AB C．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性．【分析】（1）利用二倍角公式化简得f（x）=sin（2x+）+，结合正弦函数的单调区间列出不等式解出；（2）根据f（A）=1解出A，代入向量的数量积公式解出AB•AC，代入面积公式．【解答】解：（1）=，令∴f（x）的单调增区间为．（2），，∴．∵=AB•AC•cosA=4，∴AB•AC=8，∴．17．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．（1）证明：﹣3≤f（x）≤3；（2）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；（2）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|=．当2＜x＜5时，﹣3＜2x﹣7＜3．所以﹣3≤f（x）≤3．（2）由（1）可知，当x≤2时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x＜5}；当x≥5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5≤x≤6}．综上，不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x≤6}．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，AP=，AB=AD=1，BC=2，．（I）求证：平面PAC⊥平面PDE（II）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面PAC⊥平面PDE．（2）求出平面PDE的法向量，利用向师法能求出直线PC与平面PDE所成角的正弦值．【解答】证明：（1）∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB⊥AD，建立空间直角坐标系，则，，，∴DE⊥AC，PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DE，∴DE⊥平面PAC，DE⊂平面PDE，∴平面PAC⊥平面PDE．解：（2）设平面PDE的法向量为，，则，设直线PC与平面PDE所成角为θ，，∴直线PC与平面PDE所成角的正弦值为．19．数列{a n}中，a1=3，a n+1=2a n+2．（I）求证：{a n+2}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（II）设，求和S n=b1+b2+…+b n，并证明：．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【分析】（Ⅰ）把原数列递推式变形，可得{a n+2}是等比数列，求出其通项公式后可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）把数列{a n}的通项公式代入，整理后利用错位相减法求S n=b1+b2+…+b n，然后放缩得答案．【解答】（Ⅰ）证明：由a n+1=2a n+2，得a n+1+2=2（a n+2），∵a1+2=5≠0，∴，∴{a n+2}是首项为5，公比为2的等比数列，则，∴；（Ⅱ）解：，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣①﹣﹣﹣﹣﹣﹣②①﹣②得：．∴；∵，∴{S n}单调递增，则，∴．20．已知函数f（x）=（x+1）|lnx|．（I）讨论函数f（x）的单调性；（II）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≥a（x﹣1）恒成立，求a的范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I）通过x≥1与0＜x＜1，化简函数的表达式，求出函数的导数，判断导数的符号，推出函数的单调性．（II）利用x≥1，转化f（x）≥a（x﹣1）为（x+1）lnx﹣a（x﹣1）≥0，构造函数g（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1），求出函数的导数，利用（I）的结果，推出a的范围．【解答】解：（I）当，f（x）在（1，+∞）上递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，，f′（x）在（0，1）递增，f′（x）＜f′（1）=﹣2＜0，f（x）在（0，1）上递减所以f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）x≥1，f（x）=（x+1）lnx，f（x）≥a（x﹣1）⇔（x+1）lnx﹣a（x﹣1）≥0设由（I）知，g′（x）在（1，+∞）上递增，g′（x）≥g′（1）=2﹣a若2﹣a≥0，即a≤2，g′（x）≥0，g（x）在[1，+∞）上递增，∴g（x）≥g（1）=0，所以不等式成立﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若a＞2，存在x0∈（1，+∞），使得g′（x0）=0，当x∈[1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）是减函数，∴g（x）＜g（1）=0，这与题设矛盾﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上所述，a≤2．21．设函数．（I）求函数y=f（x）的最大值；（II）对于任意的正整数n，求证：（III）当﹣1＜a＜b时，成立，求实数m的最小值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明；比较法．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得单调区间和极值，也为最值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知≤，令x=n可得＜，即为＜=﹣，运用累加法，即可得证；（Ⅲ）由题意可得f（b）﹣mb＜f（a）﹣ma，即有函数上是减函数，求出导数h′（x）≤0在（﹣1，0）恒成立，求出导数，可得最大值，即可得到所求m的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数为，当x＜0，f'（x）＞0，f（x）递增；x＞0，f'（x）＜0，f（x）递减．即有x=0处取得最大值，即f（x）≤f（0）=1，∴f（x）ma x=1；（Ⅱ）证明：由（1）知，，，则；（Ⅲ）当，即函数上是减函数，，，当x∈（﹣1，1），u′（x）＜0，u（x）递减；x∈（1，+∞），u′（x）＞0，u（x）递增．则，u（x）＜u（﹣1）=e，所以m≥e，即m的最小值为e．2016年7月3日。
山师附中2016届高三数学上学期三模试题理科有答案
山师附中2016届高三数学上学期三模试题（理科有答案）山师大附中2013级高三第三次模拟考试理科数学本试卷分第一卷和第二卷两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.第I卷（共50分）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分）.1.设集合A.2B.C.4D.2.在复平面内，复数对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设平面向量均为非零向量，则“”是“”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.即不充分又不必要条件4.等差数列的前n项和为A.9B.10C.11D.125.已知命题p:函数恒过定点：命题q：若函数为偶函数，则的图像关于直线对称.下列命题为真命题的是A.B.C.D.6.已知是不等式组的表示的平面区域内的一点，，O为坐标原点，则的最大值A.2B.3C.5D.67.为了得到函数的图像，可以将函数的图像A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位8.如图，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD，则下列结论中不正确的是A.B.C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角9.设A.B.C.D.210.函数是定义在R上的偶函数，且满足当，若在区间上方程恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是A.B.C.D.第II卷（共100分）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11.在正项等比数列中，前n项和为________12.已知S,A,B,C是球O表面上的点，平面ABC，,,则球O的表面积等于______________13.设___________14.在中，，A的平分线，则AC=_________15.已知，动点P满足，且，点P所在平面区域的面积为__________.三、解答题（本题满分75分）16.（本题满分12分）已知函数（1）求函数的单调递增区间（2）在，求三角形的面积17.（本题满分12分）已知函数.（I）证明：；（II）求不等式的解集.18.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，（I）求证：平面平面PDE（II）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值19.（本题满分12分）数列（I）求证：是等比数列，并求数列的通项公式（II）设，求和，并证明：20.（本题满分13分）已知函数（I）讨论函数的单调性；（II）若对于任意的恒成立，求的范围.21.（本题满分14分）设函数（I）求函数的最大值；（II）对于任意的正整数n，求证：（III）当时，成立，求实数m的最小值.理科数学第三次模拟参考答案11.;12.;13.;14.;15.16.解：------------------------------------------------------------4分单调增区间为------------------------6分（2）-------------------------------------------9分------------------------12分17.解(1)------3分所以----------------------------------------6分(2)若可化为-------------------------------------------------8分若,可化为--------------------------------10分若,可化为不等式无解综上所述:的解集为---------------12分18解:(1)建立空间直角坐标系,则------------2分,------------4分所以---------------------6分（2）设平面的法向量为-------9分设直线与平面所成角为直线与平面所成角的正弦值为19解(1),所以是首项为5,公比为2的等比数列,-------------------------------4分(2)------①------②------------------------------------------6分①-②-----8分---------------------------9分单调递增,,所以-------------------------12分20解:(1)在上递增;------------------------3分递增,上递减所以在上递减,在上递增.------------------------6分(2)设由(I)知,上递增,若,上递增,所以不等式成立---------------------------9分,存在,当时,,这与题设矛盾------------12分综上所述,21解（1）-----------------1分-------------3分------------------4分（2）由（1）知，-------8分（3）当即函数上是减函数----------------------10分-------12分所以，即的最小值为--------------------------------14分。
2016年高考山东理科数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试〔##卷〕数学〔理科〕第Ⅰ卷〔共50分〕一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 〔1〕[2016年##,理1,5分]若复数z 满足232i z z +=-,其中i 为虚数为单位,则z =〔〕〔A 〕12i +〔B 〕12i -〔C 〕12i -+〔D 〕12i -- [答案]B[解析]设(),,z a bi a b R =+∈,则2()i 23i 32i z z z z z a b a a b +=++=++=+=-,所以1,2a b ==-,故选B ． [点评]本题考查复数的代数形式混合运算,考查计算能力．〔2〕[2016年##,理2,5分]已知集合{}{}22,,10x A y y x R B x x ==∈=-<,则AB =〔〕〔A 〕()1,1-〔B 〕()0,1〔C 〕()1,-+∞〔D 〕()0,+∞ [答案]C[解析]由题意()0,A =+∞,()1,1B =-,所以()1,AB =-+∞,故选C ．[点评]本题考查并集与其运算,考查了指数函数的值域,考查一元二次不等式的解法,是基础题． 〔3〕[2016年##,理3,5分]某高校调查了200名学生每周的自习时间〔单位：小时〕,制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的X 围是[]17.5,30,样本数据分组为[)17.5,20,[)20,22.5,[)22.5,25,[)25,27.5,[]27.5,30．根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是〔〕 〔A 〕56〔B 〕60〔C 〕120〔D 〕140 [答案]D[解析]由图可知组距为2.5,每周的自习时间少于22.5小时的频率为(0.020.1) 2.50.30+⨯=, 所以,每周自习时间不少于22.5小时的人数是()20010.30140⨯-=人,故选D ． [点评]本题考查的知识点是频率分布直方图,难度不大,属于基础题目．〔4〕[2016年##,理4,5分]若变量x ,y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则22x y +的最大值是〔〕〔A 〕4〔B 〕9〔C 〕10〔D 〕12 [答案]C[解析]由22x y +是点(),x y 到原点距离的平方,故只需求出三直线的交点()()()0,2,0,3,3,1--,所以()3,1-是最优解,22x y +的最大值是10,故选C ．[点评]本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法,是中档题． 〔5〕[2016年##,理5,5分]有一个半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如右图所示,则该几何体的体积为〔〕〔A 〕1233+π〔B 〕1233+π〔C 〕1236+π〔D 〕216+π[答案]C[解析]由三视图可知,半球的体积为26π,四棱锥的体积为13,所以该几何体的体积为1236+π,故选C ．[点评]本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状是解答的关键．〔6〕[2016年##,理6,5分]已知直线,a b 分别在两个不同的平面α,β内,则"直线a 和直线b 相交〞是"平面α和平面β相交〞的〔〕〔A 〕充分不必要条件〔B 〕必要不充分条件〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分也不必要条件 [答案]A[解析]由直线a 和直线b 相交,可知平面αβ、有公共点,所以平面α和平面β相交．又如果平面α和平面β相交,直线a 和直线b 不一定相交,故选A ．[点评]本题考查的知识点是充要条件,空间直线与平面的位置关系,难度不大,属于基础题． 〔7〕[2016年##,理7,5分]函数()()()3sin cos 3cos sin f x x xx x =+-的最小正周期是〔〕〔A 〕2π〔B 〕π〔C 〕32π〔D 〕2π[答案]B[解析]由()2sin cos 3cos 22sin 23f x x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,所以,最小正周期是π,故选B ．[点评]本题考查的知识点是和差角与二倍角公式,三角函数的周期,难度中档．〔8〕[2016年##,理8,5分]已知非零向量,m n 满足143,cos ,3m n m n =<>=,若()n tm n ⊥+则实数t 的值为〔〕〔A 〕4〔B 〕4-〔C 〕94〔D 〕94-[答案]B[解析]因为21cos ,4nm m n m n n =⋅<>=,由()n tm n ⊥+,有()20n tm n tmn n +=+=,即2104t n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,4t =-,故选B ．[点评]本题考查的知识点是平面向量数量积的运算,向量垂直的充要条件,难度不大,属于基础题．〔9〕[2016年##,理9,5分]已知函数()f x 的定义域为R ,当0x <时,3()1f x x =-；当11x -≤≤时,()()f x f x -=-；当12x >时,1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()6f =〔〕〔A 〕2-〔B 〕1-〔C 〕0〔D 〕2 [答案]D[解析]由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,知当12x >时,()f x 的周期为1,所以()()61f f =．又当11x -≤≤时,()()f x f x -=-,所以()()11f f =--．于是()()()()3611112f f f ⎡⎤==--=---=⎣⎦,故选D ．[点评]本题考查函数值的计算,考查函数的周期性,考查学生的计算能力,属于中档题． 〔10〕[2016年##,理10,5分]若函数()y f x =的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称()y f x =具有T 性质．下列函数具有T 性质的是〔〕〔A 〕sin y x =〔B 〕ln y x =〔C 〕x y e =〔D 〕3y x = [答案]A[解析]因为函数ln y x =,x y e =的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数3y x =的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直,即不具有T 性质,故选A ．[点评]本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,转化思想,难度中档．第II 卷〔共100分〕二、填空题：本大题共5小题,每小题5分〔11〕[2016年##,理11,5分]执行右边的程序框图,若输入的的值分别为0和9,则输出i 的值为． [答案]3[解析]i 1=时,执行循环体后1,8a b ==,a b >不成立；i 2=时,执行循环体后3,6a b ==,a b >不成立；i 3=时,执行循环体后6,3a b ==,a b >成立；所以i 3=,故填 3.[点评]本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程序法进行解答． 〔12〕[2016年##,理12,5分]若521ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数是80-,则实数a =．[答案]2-[解析]由()23222355551C C 80ax a x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,得2a =-,所以应填2-．[点评]考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数,属常规题型．〔13〕[2016年##,理13,5分]已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>,若矩形ABCD 的四个顶点在E 上,,AB CD 的中点为E 的两个焦点,且23AB BC =,则E 的离心率为．[答案]2[解析]由题意BC 2c =,所以2AB 3BC =,于是点3,2c c ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线E 上,代入方程,得2222914c c a b -=,在由222a b c +=得E 的离心率为2ce a==．[点评]本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用方程的思想,正确设出A B C D ，，，的坐标是解题的关键,考查运算能力,属于中档题．〔14〕[2016年##,理14,5分]在[]1,1-上随机的取一个数k ,则事件"直线y kx =与圆()2259x y -+=相交〞发生的概率为． [答案]34[解析]首先k 的取值空间的长度为2,由直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交,得事件发生时k 的取值空间为33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,其长度为32,所以所求概率为33224=． [点评]本题主要考查了几何概型的概率,以与直线与圆相交的性质,解题的关键弄清概率类型,同时考查了计算能力,属于基础题．〔15〕[2016年##,理15,5分]在已知函数()2,24,x x mf x x mx m x m⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩,其中0m >,若存在实数b ,使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根,则m 的取值X 围是．[答案]()3,+∞[解析]因为()224g x x mx m =-+的对称轴为x m =,所以x m >时()224f x x mx m =-+单调递增,只要b 大于()224g x x mx m =-+的最小值24m m -时,关于x 的方程()f x b =在x m >时有一根；又()h x x =在x m ≤,0m >时,存在实数b ,使方程()f x b =在x m ≤时有两个根,只需0b m <≤；故只需24m m m -<即可,解之,注意0m >,得3m >,故填()3+∞，． [点评]本题考查根的存在性与根的个数判断,数形结合思想的运用是关键,分析得到24m m m -<是难点,属于中档题．三、解答题：本大题共6题,共75分．〔16〕[2016年##,理16,12分]在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为a,b,c ,已知()tan tan 2tan tan cos cos A BA B B A+=+． 〔1〕证明：2a b c +=； 〔2〕求cos C 的最小值．解：〔1〕由()tan tan 2tan tan cos cos A B A B B A +=+得sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A BA B A B A B⨯=+,2sin sin sin C B C =+, 由正弦定理,得2a b c +=．〔2〕由()222222cos 22a b ab ca b c C ab ab +--+-==222333111122222c c ab a b =-≥-=-=+⎛⎫⎪⎝⎭．所以cos C 的最小值为12． [点评]考查切化弦公式,两角和的正弦公式,三角形的内角和为π,以与三角函数的诱导公式,正余弦定理,不等式222a b ab +≥的应用,不等式的性质．〔17〕[2016年##,理17,12分]在如图所示的圆台中,AC 是下底面圆O 的直径,EF 是上底面圆O '的直径,FB 是圆台的一条母线．〔1〕已知,G H 分别为,EC FB 的中点,求证：//GH 平面ABC ；〔2〕已知123,2EF FB AC AB BC ====,求二面角F BC A --的余弦值．解：〔1〕连结FC ,取FC 的中点M ,连结,GM HM ,因为//GM EF ,EF 在上底面内,GM 不在上底面内,所以//GM 上底面,所以//GM 平面ABC ；又因为//MH BC ,BC ⊂平 面ABC ,MH ⊄平面ABC ,所以//MH 平面ABC ；所以平面//GHM 平面ABC ,由GH ⊂平面GHM ,所以//GH 平面ABC ．〔2〕连结OB ,AB BC =OA OB ∴⊥,以为O 原点,分别以,,OA OB OO '为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系．123,2EF FB AC AB BC ====,22()3OO BF BO FO '=--=,于是有()23,0,0A ,()23,0,0C -,()0,23,0B ,()0,3,3F ,可得平面FBC 中的向量()0,3,3BF =-, ()23,23,0CB =,于是得平面FBC 的一个法向量为()13,3,1n =-,又平面ABC 的一个法向量为()20,0,1n =,设二面角F BC A --为θ, 则121217cos 77n n n n θ⋅===⋅．二面角F BC A --的余弦值为77． [点评]本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用．〔18〕[2016年##,理18,12分]已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+,{}n b 是等差数列,且1n n n a b b +=+．〔1〕求数列{}n b 的通项公式；〔2〕令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+．求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：〔1〕因为数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+,所以111a =,当2n ≥时,221383(1)8(1)65n n n a S S n n n n n -=-=+----=+,又65n a n =+对1n =也成立,所以65n a n =+．又因为{}n b 是等差数列,设公差为d ,则12n n n n a b b b d +=+=+．当1n =时,1211b d =-；当2n =时,2217b d =-,解得3d =,所以数列{}n b 的通项公式为312n n a db n -==+． 〔2〕由111(1)(66)(33)2(2)(33)n n n n n n nn a n c n b n +++++===+⋅++,于是23416292122(33)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅,两边同乘以２,得341226292(3)2(33)2n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅,两式相减,得2221232(12)(33)232n n n n T n n ++=-+⋅-++⋅=⋅．[点评]本题考查数列的通项与求和,着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用,考查分析与运算能力,属于中档题．〔19〕[2016年##,理19,12分]甲、乙两人组成"星队〞参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则"星队〞得3分；如果只有一人猜对,则"星队〞得1分；如果两人都没猜对,则"星队〞得0分．已知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响．假设"星队〞参加两轮活动,求： 〔1〕"星队〞至少猜对3个成语的概率；〔2〕"星队〞两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ． 解：〔1〕"至少猜对3个成语〞包括"恰好猜对3个成语〞和"猜对4个成语〞．设"至少猜对3个成语〞为事件A ；"恰好猜对3个成语〞和"猜对4个成语〞分别为事件C B ,,则1122332131225()4433443312P B C C =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=；33221()44334P C =⋅⋅⋅=．所以512()()()1243P A P B P C =+=+=．〔2〕"星队〞两轮得分之和X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,6,于是11111(0)4343144P X ==⋅⋅⋅=；112212*********(1)4343434314472P X C C ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==；1211223311132125(2)443344334433144P X C ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=；123211121(3)434314412P X C ==⋅⋅⋅==； 12321231605(4)()43434314412P X C ==⋅⋅⋅+⋅==；3232361(6)43431444P X ==⋅⋅⋅==； XX 的数学期望01234614472144121241446EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==． [点评]本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,属中档题．〔20〕[2016年##,理20,13分]已知221()(ln ),x f x a x x a R x-=-+∈．〔1〕讨论()f x 的单调性； 〔2〕当1a =时,证明3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立．解：〔1〕求导数3122()(1)x f x a x x'=－－－23(1)(2x ax x =－－),当0a ≤时,x ∈(0,1),()0f x '>,()f x 单调递增,x +∞∈(1,),()0f x '<,()f x 单调递减当0a >时,()()()233112()a x x x x ax f x x x⎛--+ --⎝⎭⎝⎭'== ①当02a<<时,1,x ∈(0,1)或x ⎫+∞⎪⎪⎭∈,()0f x '>,()f x 单调递增,x ⎛ ⎝∈,()0f x '<,、()f x 单调递减；②当a =２时1,x ∈+∞(0,),()0f x '≥,()f x 单调递增, ③当a >２时,01<,x ⎛∈ ⎝或()x ∈+∞1,,()0f x '>,()f x 单调递增,x ⎫∈⎪⎪⎭1,()0f x '<, ()f x 单调递减．〔2〕当1a =时,221()ln x f x x x x=+－－,2323(1)(212()1x x f x x x x x '==+－－)2－－, 于是2232112()()ln 1)x f x f x x x x x x x '=++－2－－－(－－23312ln 1x x x x x =--++-,[1,2]x ∈令()g ln x x x =-,2332h()x x x x=-++-11,[1,2]x ∈,于是()()g(()f x f x x h x '-=+）, 1g ()10x x x x-'=-=≥1,()g x 的最小值为()11g =；又22344326326()x x h x x x x x --+'=--+=, 设()2326x x x θ=--+,[1,2]x ∈,因为()11θ=,()210θ=-,所以必有0[1,2]x ∈,使得()00x θ=,且01x x <<时,()0x θ>,()h x 单调递增；02x x <<时,()0x θ<,()h x 单调递减；又()11h =,()122h =, 所以()h x 的最小值为()122h =．所以13()()g(()g(1(2)122f x f x x h x h '=+>+=+=））－． 即3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立． [点评]本题考查利用导数加以函数的单调性,考查了利用导数求函数的最值,考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法,是压轴题．〔21〕[2016年##,理21,14分]平面直角坐标系xOy 中,椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率是,抛物线2:2E x y =的焦点F 是C 的一个顶点．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点,A B ,线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． 〔i 〕求证：点M 在定直线上；〔ii 〕直线l 与y 轴交于点G ,记PFG ∆的面积为1S ,PDM ∆的面积为2S ,求12SS 的最大值与取得最大值时点P 的坐标．解：〔1,有224a b =,又抛物线22x y =的焦点坐标为10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭,所以12b =,于是1a =,所以椭圆C 的方程为2241x y +=．〔2〕〔i 〕设P 点坐标为()2,02m P m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭,由22x y =得y x '=,所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ,因此切线l 的方程为22m y mx =-,设()()1122,,,A x y B x y ,()00,D x y ,将22m y mx =-代入2241x y +=,得()223214410m x m x m +-+-=．于是3122414m x x m +=+,312022214x x m x m +==+, 又()220022214m m y mx m -=-=+,于是直线OD 的方程为14y x m =-． 联立方程14y x m =-与x m =,得M 的坐标为1,4M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以点M 在定直线14y =-上．〔ii 〕在切线l 的方程为22m y mx =-中,令0x =,得22m y =-,即点G 的坐标为20,2m G ⎛⎫- ⎪⎝⎭,又2,2m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以211(1)24m m S m GF +=⨯=；再由()32222,41241m m D m m ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭,得 ()()22232222112122441841m m m m m S m m +++=⨯⨯=++于是有()()()221222241121m m S S m ++=+．令221t m =+, 得()12221211122t t S S t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==+-,当112t =时,即2t =时,12S S 取得最大值94．此时212m =,m =所以P点的坐标为14P ⎫⎪⎪⎝⎭．所以12S S 的最大值为94,取得最大值时点P的坐标为14P ⎫⎪⎪⎝⎭． [点评]本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标,考查直线和抛物线斜的条件,以与直线方程的运用,考查三角形的面积的计算,以与化简整理的运算能力,属于难题．。
2016年山东省高考数学试卷(含文理及解析)
2016山东数学文理试题及解析（一）2016年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i解：复数z满足2z+=3﹣2i，设z=a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．解得a=1，b=﹣2．z=1﹣2i．故选：B．2．设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（0，+∞）解：∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞），B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1），∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．故选：C．3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56 B．60 C．120 D．140解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140，故选：D4．若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．10 D．12解：由约束条件作出可行域如图，∵A（0，﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC|，联立，解得B（3，﹣1）．∵，∴x2+y2的最大值是10．故选：C．5．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）A．+πB．+πC．+πD．1+π解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=．故R=，故半球的体积为：=π，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积V=，故组合体的体积为：+π，故选：C6．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：当“直线a和直线b相交”时，“平面α和平面β相交”成立，当“平面α和平面β相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立，故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，故选：A7．函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（）A．B．πC．D．2π解：数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）=2sin（x+）•2cos（x+）=2sin（2x+），∴T=π，故选：B8．已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0，解得：t=﹣4，故选：B．9．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．∴f（6）=f（1），∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），∴f（1）=﹣f（﹣1），∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，∴f（﹣1）=﹣2，∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，∴f（6）=2．故选：D．10．若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．y=sinx B．y=lnx C．y=e x D．y=x3解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件；当y=e x时，y′=e x＞0恒成立，不满足条件；当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i=1．第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件a＜b，故i=2；第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a＜b，故i=3；第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件a＜b，故输出的i值为：3，故答案为：312．若（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a= ．解：（ax2+）5的展开式的通项公式T r+1=（ax2）5﹣r=a5﹣r，令10﹣=5，解得r=2．∵（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80∴a3=﹣80，得a=﹣2．13．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD 的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由2|AB|=3|BC|，可得2•=3•2c，即为2b2=3ac，由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，解得e=2（负的舍去）．故答案为：2．14．在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．圆心到直线y=kx的距离为，要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜．∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为=．故答案为：．15．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．三、解答题,：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．解：（Ⅰ）证明：由得：；∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；∴2sin（A+B）=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC（1）；根据正弦定理，；∴，带入（1）得：；∴a+b=2c；（Ⅱ）a+b=2c；∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，=；∴cosC的最小值为．17．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，∵G、H为EC、FB的中点，∴GQ，QH∥，又∵EF BO，∴GQ BO，∴平面GQH∥平面ABC，∵GH⊂面GQH，∴GH∥平面ABC．解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又∵OO′⊥面ABC，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），O′（0，0，3），F（0，，3），=（﹣2，﹣，﹣3），=（2，2，0），由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3），设=（x0，y0，z0）为面FCB的法向量，则，即，取x0=1，则=（1，﹣1，﹣），∴cos＜，＞===﹣．∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为．18．已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；∵a n=b n+b n+1，∴a n﹣1=b n﹣1+b n，∴a n﹣a n﹣1=b n+1﹣b n﹣1．∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴b n=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）c n===6（n+1）•2n，∴T n=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，∴2T n=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①﹣②可得﹣T n=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]=12+6×﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，∴T n=3n•2n+2．19．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，故概率P=++=++=，（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，则P（X=0）==，P（X=1）=2×[+]=，P（X=2）=+++=，P（X=3）=2×=，P（X=4）=2×[+]=P（X=6）==故X的分布列如下图所示：X 0 1 2 3 4 6P∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×==20．已知f（x）=a（x﹣lnx）+，a∈R．（I）讨论f（x）的单调性；（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．（Ⅰ）解：由f（x）=a（x﹣lnx）+，得f′（x）=a（1﹣）+==（x＞0）．若a≤0，则ax2﹣2＜0恒成立，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；若a＞2，当x∈（0，）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；（Ⅱ）解：∵a=1，令F（x）=f（x）﹣f′（x）=x﹣lnx﹣1=x﹣lnx+．∵e x＞1+x，∴x＞ln（1+x），∴e x﹣1＞x，则x﹣1＞lnx，∴F（x）＞=．令φ（x）=，则φ′（x）=（x∈[1，2]）．∴φ（x）在[1，2]上为减函数，则，∴F（x）＞恒成立．即f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．21．平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．解：（I）由题意可得e==，抛物线E：x2=2y的焦点F为（0，），即有b=，a2﹣c2=，解得a=1，c=，可得椭圆的方程为x2+4y2=1；（Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y0），可得x02=2y0，由y=x2的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0，则切线的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），可化为y=x0x﹣y0，代入椭圆方程，可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，即有中点D（，﹣），直线OD的方程为y=﹣x，可令x=x0，可得y=﹣．即有点M在定直线y=﹣上；（ii）直线l的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），则S1=|FG|•|x0|=x0•（+y0）=x0（1+x02）；S 2=|PM|•|x 0﹣|=（y 0+）•=x 0•，则=，令1+2x 02=t （t ≥1），则====2+﹣=﹣（﹣）2+，则当t=2，即x 0=时，取得最大值，此时点P 的坐标为（，）．（二）2016年山东省高考数学试卷（文科）第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
山东省山东师范大学附属中学2016届高三最后一模文数试
第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分．共50分． 1.已知集合5{||1|2},|11M x x N x x ⎧⎫=-≤=≥⎨⎬+⎩⎭，则N M 等于（ ） A.[]3,1- B. (]3,1- C.[]4,1- D. (]4,1-【答案】B 【解析】 试题分析：[](](]5{||1|2}1,3,|11,4,M N 1,31M x x N x x ⎧⎫=-≤=-=≥=-∴=-⎨⎬+⎩⎭，故选B.考点：集合的运算2.已知i 为虚数单位，a R ∈，若2ia i-+为纯虚数，则复数()21z a =++的模等于（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．11 【答案】D考点：复数的运算性质3.已知函数()1,0,,0.xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩若()()11f f =-，则实数a 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 试题分析：()()()11,112f f a =-∴=--=，故选B.考点：分段函数的图像与性质4.命题“若220a b +=，则0a =且0b =”的逆否命题是（ ）A ．若220a b +≠，则0a ≠且0b ≠B ．若220a b +≠，则0a ≠或0b ≠C ．若0a ≠且0b ≠，则220a b +≠D ．若0a ≠或0b ≠，则220a b +≠ 【答案】D 【解析】试题分析：根据逆否命题的形式是条件、结论同时否定并交换，写出命题的逆否命题． “若220a b +=，（a ，b ∈R ），则a =0且b =0”的逆否命题是：若a ≠0，或b ≠0（a ，b ∈R ），则a 2+b 2≠0，故答案为若a ≠0，或b ≠0（a ，b ∈R ），则a 2+b 2≠0．故选D. 考点：四种命题5.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和左视图完全相同时,它的俯视图可能是（）A. B. C. D.【答案】B考点：三视图6.下列说法中正确的个数为（） ①若样本数据12,,,n x x x 的平均数5x =，则样本数据1221,21,,21n x x x +++的平均数为10②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60 A ．0B ．1C ． 2D ．3【答案】B考点：命题真假的判断7.函数()()sin ln 1f x x x =⋅+的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】试题分析：根据函数值的符号即可判断，当当-1<x <0时，f （x ）>0，故排除C ，D ，当x =0时，f （0）=0，故排除B ，问题得以解决．f （x ）=sinx •ln （x +1）的定义域为x >-1，当-1＜x ＜0时，sinx <0，ln （x+1）<0，所以f （x ）>0，故排除C ，D ，当x =0时，sin 0=0，ln （0+1）=0，所以f （0）=0，故排除B ，故选：A ． 考点：函数图像【方法点睛】识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．8.函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后与原函数的图象关于x 轴对称，则ω的最小正值是（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】D考点：函数y =Asin （ωx +φ）的图象变换；y =Asin （ωx +φ）中参数的物理意义． 9.执行如图所示的程序框图，若输入K=5，则输出的S 是( ) A.18B.50C.78D.306【答案】A 【解析】试题分析：由题n=1时，S=2，n=2时，S=6,n=3时，S=2，n=4时，S=18，所以输出18，故选A.考点：程序框图 10.设函数[],0(),(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩其中][x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]-=-2，]2.1[=1，]1[=1，若直线(0)y kx k k =+>与函数y=)(x f 的图象恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是（）A ．]31,41( B ．]41,0( C ．]31,41[ D ．)31,41[ 【答案】D考点：根的存在性及根的个数的判断 【名师点睛】分段函数“两种”题型的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.在ABC ∆中，若sinA sinB sinC sin a b c B +-=．则角C 等于 . 【答案】6π【解析】试题分析：根据正弦定理和余弦定理将条件进行化简即可得到结论．222asinA bsinB csinC a b c +-=∴+-=．，22202226a b c cosC C C ab ab ππ+-===<<∴=，.考点：正弦定理；余弦定理12.设x ，y 满足约束条件110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则目标函数2z x y =-的取值范围为．【答案】[]-1,2考点：简单的线性规划13.在区间[]1,2上随机取一个数r ，则使得圆222x y r +=与直线20x y ++=存在公共点的概率为【答案】2【解析】,r r ≤∴≥2=. 考点：几何概型【方法点睛】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解． 14.四边形ABCD 中，BD AC ⊥且3,2==BD AC ，则⋅的最小值为.【答案】134-考点：平面向量的坐标运算【方法点睛】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．15.1F 、2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线右支上一点，满足()220OP OF PF+⋅=（O 为坐标原点），且1234PF PF =，则双曲线的离心率为． 【答案】5 【解析】试题分析：由于点P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义可得12||2PF PF a -=，12124863PF PF PF a PF a =∴==，，，222222200OP OF PF OP OF OF OP OP OF +⋅=∴+⋅-=∴=（），（）（），，则12PF F ∆中，21||OP OF OF ==，则1290FPF ∠=︒， 由勾股定理得2221212||||||PF PF F F +=，即有22264364a a c +=，55c a e ∴=∴=，．考点：双曲线的简单性质三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本题满分12分）已知函数()2sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（I ）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）若()0002x x x f x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭为的一个零点，求0cos 2x 的值.【答案】（I ）[,],63k k k Z ππππ-+∈；（Ⅱ）18因为222,,26263k x k k x k k Z πππππππππ-≤-≤+∴-≤≤+∈函数()f x 的单调递增区间是[,],63k k k Z ππππ-+∈；考点：三角函数中的恒等变换；正弦函数的周期性与单调性【方法点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝A sin(ωx＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．17.(本题满分12分)某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格．数据分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 .第6小组的频数是7.（Ⅰ）求这次铅球测试成绩合格的人数；（Ⅱ）若参加测试的学生中9人成绩优秀，现要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知学生a、b的成绩均为优秀，求两人a、b至少有1人入选的概率.【答案】（Ⅰ）36；（Ⅱ）512【解析】试题分析：（Ⅰ）利用频率和为1求出第六组的频率；利用频率等于频数除以样本容量求出此次测试总人数；考点：频率分布直方图、中位数及古典概型【方法点睛】解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算． 18.(本题满分12分)如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，且//AB EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==.（I ）求证：AF ⊥平面CBF ；（Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；（III ）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为F ABCD V -，F CBE V -，求:F ABCD F CBE V V --．【答案】（I ）略；（Ⅱ）略；（III ）4:1【解析】试题分析：（I ）可以先由平面ABCD ⊥平面ABEF 以及CB ⊥AB 证得CB ⊥平面ABEF ，⇒AF ⊥CB ．又因为AB 为圆O 的直径⇒AF ⊥BF ，就可证：AF ⊥平面CBF ；（Ⅱ）取DF 的中点为N ，利用MN AO ⇒MNAO 为平行四边形⇒OM ∥AN 即可．既用线线平行来证线面平行；（3）先把两个锥体的体积套公式求出来，就可求出其体积之比试题解析：（I ）证明： 平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥,平面 ABCD 平面ABEF =AB ，⊥∴CB 平面ABEF ，⊂AF 平面ABEF ，CB AF ⊥∴ ,又AB 为圆O 的直径，BF AF ⊥∴，⊥∴AF 平面CBF .考点：空间中的线面关系【名师点睛】本题是对立体几何知识的综合考查，涉及到线面垂直，线面平行和棱锥体积公式．是道综合性极强的好题．在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线．当然也可以用面面平行来推导线面平行．19.（本题满分12分）用部分自然数构造如图的数表：用()ij a i j ≥表示第i 行第j 个数（,i j N +∈），使得1.i ii a a i ==每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和.设第n （n N +∈）行的第二个数为(2)n b n ≥，（I ）写出1n b +与n b 的关系，并求()2n b n ≥； （Ⅱ）设()21n n c b n =-+，证明：2462111112n c c c c ++++<【答案】（I ）(1)12n n -+；（Ⅱ）略 考点：数列的递推关系；放缩证明不等式20.（本题满分13分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线06=+-y x 相切． （I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线1l 与椭圆交于A B 、，过F 与1l 垂直的直线2l 与椭圆交于C D 、，与34l x =：交于P ，（1）求证：直线PA PF PB 、、的斜率,,PA PF PB k k k 成等差数列（2）是否存在常数λ使得||||||||AB CD AB CD λ+=⋅成立,若存在,求出λ的值,若不存在,说明理由.【答案】（I ）略；（Ⅱ）存在712λ=使得等式成立(2)由题意知直线1l 的斜率存在且不为0，则直线1l 的方程为(1)y k x =-．由22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)84120k x k x k +-+-=．①设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则),(11y x A -．利用根与系数的关系得2122843k x x k +=+，=21x x 2241243k k -+，由题意知直线2l AE 的斜率为1k-，则直线2l 的方程为1(1)y x k =--令4x =，得P 点的坐标34,P k ⎛⎫-⎪⎝⎭()()12121212123311311444444PA PBy y k x k x k k k k x x x x k x x ++--⎛⎫+=+=+++ ⎪------⎝⎭ =()()()1212121212121225883416416x x x x x x k x x x x k x x x x ++++-⨯+⨯-++-++ =2222222222222241288258834343434128412841641643434343k k k k k k k k k k k k k k k k --⨯+-+++⨯+⨯---⨯+-⨯+++++ =()()22203242422361361PF k k k k k k k --=⨯+⨯=-=++即2PA PB PF k k k +=，所以PA PF PB k k k 、、成等差数列;考点：直线与圆锥曲线的关系；等差数列的通项公式；直线的斜率；椭圆的标准方程． 21.（本题满分14分）已知函数a x x a x x x f +--=22ln )(（a ∈R ）在其定义域内有两个不同的极值点． （I ）求a 的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为1x ,2x ,且21x x <．已知0>λ,若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立,求λ的范围． 【答案】（I ）10ea <<；（Ⅱ）1λ≥（解法一）转化为,函数ln y x =与函数y ax =的图象在(0,)+∞上有两个不同交点,如图．可见,若令过原点且切于函数ln y x =图象的直线斜率为k ,只须0a k <<． 令切点00A(,ln )x x ,所以001|x x k y x ='==,又00ln x k x =,所以000ln 1x x x =,解得0e x =, 于是1e k =,所以10ea <<．（2）因为112e x x λλ+<⋅等价于121ln ln x x λλ+<+． 由（1）可知12,x x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根, 即11ln x ax =,22ln x ax =所以原式等价于121ax ax λλ+<+12()a x x λ=+,因为0>λ,120x x <<, 所以原式等价于121a x x λλ+>+．又由11ln x ax =,22ln x ax =作差得,1122ln ()xa x x x =-,即1212lnx x a x x =-．所以原式等价于121212ln1x x x x x x λλ+>-+,因为120x x <<,原式恒成立,即112212(1)()lnx x x x x x λλ+-<+恒成立．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．。
2016年云南师范大学附属中学高三理科数学适应性月考试卷(五)
2016年云南师范大学附属中学高三理科数学适应性月考试卷（五）一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合满足，则符合题意的集合的子集最多有A. 个B. 个C. 个D. 个2. 已知复数（是虚数单位），则复数的虚部是A. B. C. D.3. 已知函数为偶函数，当时，，若，，，则，，的大小关系为A. B. C. D.4. 已知为的一个内角，且，则的形状是A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不确定5. 已知随机变量服从正态分布，若，则A. B. C. D.6. 下列命题：①已知两个不同的平面，和两条不同的直线，，若，，且，则；②已知两个不同的平面，和两条不同的直线，，若，，且，则；③若一个二面角的两个半平面分别与另一个二面角的两个半平面平行，则这两个二面角的平面角相等或互补；④若一个二面角的两个半平面分别与另一个二面角的两个半平面垂直，则这两个二面角的平面角相等或互补．其中正确命题的个数是A. B. C. D.7. 如图甲所示的茎叶图为高三某班名学生某次数学模拟考试的成绩，算法框图（图乙）中输入的为茎叶图中学生的成绩，则输出的，，分别是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. B. C. D.9. 等比数列的前项和为，若，，则A. B. C. D.10. 已知函数的两个极值点分别位于区间与内，则的取值范围是A. B.C. D.11. 已知圆，点在直线上，若在圆上存在点，使，则的取值范围是A. B. C. D.12. 函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使在的值域为，则称函数为“域倍函数”．若是“域倍函数”，则实数的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 的展开式中常数项为．14. 已知，，，则与的夹角为．15. 函数在内满足的的最大值是．16. 已知数列的各项均为正整数，其前项和为，若是奇数是偶数，且，则．三、解答题（共7小题；共91分）17. 已知函数，．（1）求函数的最小正周期；（2）设的内角，，的对边分别为，，，若，，求边上的高的最大值．18. 某同学在研究性学习中，收集到某工厂今年前个月某种产品的产量（单位：万件）的数据如下表：月份产量（1）若从这组数据中随机抽出组，求抽出的组数据恰好是相邻两个月的数据的概率；（2）求出关于的线性回归方程，并估计今年月份该种产品的产量．参考公式：，．19. 如图甲，在边长为的等边三角形中，点，分别为，上一点，且，，沿将三角形折起，使得平面平面，形成一个如图乙所示的四棱锥，设为的中点．（1）求证：；（2）求二面角的正弦值．20. 已知抛物线：，倾斜角为且过点的直线与相交于，两点，且．（1）求抛物线的方程；（2）抛物线与直线相切，求点到直线的距离的最小值．21. 已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若，设，对于任意的，都有恒成立，求的取值范围．22. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线：，过点的直线的参数方程为（为参数），且直线与曲线分别交于点，．（1）求；（2）若点是曲线上任意一点，是线段的中点，过点作轴的垂线段，为垂足，点在射线上，且满足，求点的轨迹的参数方程，并说明它表示什么曲线．23. 已知，且对于任意都有恒成立．（1）求的取值范围；（2）若，求证：．答案第一部分1. A 【解析】集合是集合的子集，为使集合的子集个数最多，当且仅当时，的子集最多，有个．2. C 【解析】方法一：因为，所以，的虚部为．方法二：因为，所以，即，所以，的虚部为．3. D 【解析】当时，在上单调递增．又函数为偶函数，所以．因为，所以．4. B 【解析】因为，所以，所以．所以为钝角，所以的形状为钝角三角形．5. D【解析】由服从正态分布，得，．因为，所以根据正态曲线的对称性可得．6. C 【解析】对于①，由，，可得，因为，所以，所以①为真命题．对于②，因为，，所以或．所以在内存在直线，因为，所以，所以，所以②为真命题．对于③，如果两个二面角方向相同，那么这两个二面角的平面角相等；如果两个二面角方向相反，那么这两个二面角的平面角互补．所以③为真命题．对于④，如图所示，平面，，两两垂直，，且，，过直线作平面，此时，，二面角为，而满足条件的平面有无穷多个，所以其二面角无法确定，故④为假命题．7. B 【解析】根据程序框图，可知表示数学成绩的学生人数，则；表示数学成绩的学生人数，则；表示数学成绩的学生人数，则．8. B 【解析】如图，几何体的直观图为三棱柱和三棱锥的组合体，其体积为．9. C 【解析】由等比数列的性质，得，所以．由已知，当时，，所以，所以，所以，所以．10. A【解析】因为函数的两个极值点分别位于区间与内，所以的两个零点分别位于区间与内，所以即设点，，则（为直线的斜率）．如图所示，由线性规划知，，所以．11. A 【解析】对于圆外的点和圆上点，当时，最大，由，得．当时，，所以，即．又，即，所以，解得．12. B 【解析】由“域倍函数”定义及单调递增，得即方程有两个不同实根，即方程有两个不同实根．设函数，则．令，解得．当时，，所以在上是减函数；当时，，所以在上是增函数．所以当时，，，所以方程有两个不同实根的充要条件为，即．第二部分13.【解析】的展开式的通项为（）．令，解得，所以，故的展开式中的常数项为．14.【解析】由题意，得所以，所以．设与的夹角为，，所以．15.【解析】方法一：满足的的个数即为函数与的图象的交点个数，但不含原点．作出函数，与的图象如图所示，使得取到最大值．方法二：由题意，函数上的任一点坐标为，故表示曲线上任一点与坐标原点连线的斜率．若，则曲线上存在个点与原点连线的斜率相等，即过原点的直线与曲线有个交点．数形结合可得的最大值为．16.【解析】当为奇数时，，此时若为奇数，则，所以，解得，此时数列为，，，，，，．当为奇数时，，此时若为偶数，则，所以，解得，此时数列为，，，，，，．当为偶数时，，此时为奇数，则，所以，解得，此时数列为，，，，，，．上述三种情况中，数列均为周期数列．因为，所以．第三部分17. （1）所以函数的最小正周期．（2）因为，所以，所以．因为，，所以，即．设的边上的高为，又因为，所以．由余弦定理知，（当且仅当时取“”），所以（当且仅当时取“”），即边上的高的最大值为．18. （1）设事件为“抽出的组数据恰好是相邻两个月的数据”，所有的基本事件（其中，表示月份）有，，，，，，，，，，共种，其中事件包含的基本事件有，，，，共种，所以．（2），，，，所以，，所以．当时，．故今年月份该种产品的产量大约为万件．19. （1）因为为等边三角形，，所以为等边三角形．因为为的中点，所以．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．又因为平面，所以．（2）如图，取的中点，连接，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，所以，．设平面的法向量为，则令，则，，．易知平面的法向量为，所以，所以二面角的正弦值为．20. （1）方法一：设点，，则有因为，，，所以即将上式代入，得所以或因为直线的倾斜角为，即，，解得，所以抛物线的方程为．方法二：由题意，得直线的方程为．直线与抛物线相交于，两点，设点，．因为所以，所以因为，，，所以，即解得所以抛物线的方程为．（2）因为，即，所以．设抛物线上任意一点，，则在点处的切线的方程为，即：．所以点到直线的距离．令，则，所以（当且仅当时取等号），所以当时，．所以点到直线的距离的最小值为．21. （1）函数的定义域为，．令，得，．①当时，，，所以在上为减函数．②当时，，有两个不相等的实数根，，．当时，，当时，，则在上单调递增；当或时，，则在，上单调递减．当时，，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减．综合①②得，当时，在上是减函数；当时，在，上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上是减函数．（2）对于任意的，都有恒成立，等价于任意，．由（）知，当时，在上为减函数，所以．下面求当时的最小值．，．令，则．因为当时，，所以在上为减函数，所以当时，．所以当时，，所以在上为减函数，所以．所以，所以．又因为，所以，即当时，对于任意的，都有恒成立．22. （1）因为且曲线：，即，所以曲线的直角坐标方程为，即，曲线是圆心为，半径为的圆．因为直线的参数方程为（为参数），所以直线的普通方程为，所以圆心到直线的距离，所以．（2）由题意，可得圆的参数方程为（其中为参数，）．设圆上的任意一点，则线段的中点．因为轴，所以．因为点在射线上，且满足，所以所以点的轨迹的参数方程为（其中为参数，），轨迹是焦点在轴，长轴长为，短轴长为的椭圆．23. （1）由绝对值三角不等式，得．因为对于任意都有恒成立，所以，所以，解得．（2）因为，所以，．因为，所以由对数函数的性质，可得，，所以因为，所以，所以，所以，即．。
2016年高考山东卷理数试题(解析版)
绝密★启用前本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z =（A ）1+2i（B ）1-2i（C ）12i -+ （D ）12i --【答案】B考点：注意共轭复数的概念.（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则AB =（A ）(1,1)-（B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞【答案】C 【解析】试题分析：}0|{>=y y A ，}11|{<<-=x x B ，则}1|{->=x x B A ，选C. 考点：本题涉及到求函数值域、解不等式以及集合的运算.（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 （A ）56（B ）60（C ）120（D ）140【答案】D考点：频率分布直方图（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C 【解析】试题分析：不等式组表示的可行域是以A (0,-3),B (0,2),C (3, -1)为顶点的三角形区域,22x y +表示点（x ,y ）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值210OC =,故选C.考点：线性规划求最值（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A ）1233+π （B ）13+ （C ）13+ （D ）1+【答案】C考点：根据三视图求体积.（6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：直线a 与直线b 相交,则,αβ一定相交,若,αβ相交,则a ,b 可能相交，也可能平行,故选A.考点：直线与平面的位置关系；充分、必要条件的判断.（7）函数f （x ）=sin x +cos x ）x –sin x ）的最小正周期是（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π 【答案】B试题分析：()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B. 考点：三角函数化简求值，周期公式（8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为 （A ）4 （B ）–4 （C ）94 （D ）–94【答案】B考点：平面向量的数量积（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2 【答案】D 【解析】 试题分析：当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为1的周期函数，所以(6)(1)f f =，又因为函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D.考点：本题考查了函数的周期性、奇偶性，灵活变换求得函数性质是解题的关键.（10）若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 （A ）y =sin x （B ）y =ln x （C ）y =e x （D ）y =x 3【解析】试题分析：当sin y x =时，cos y x '=，cos0cos 1π⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故A 正确；函数3ln ,,xy x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A.考点：本题注意实质上是检验函数图像上存在两点的导数值乘积等于-1.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2019届山东省山东师范大学附属中学高三上学期第五次模拟考试数学理试题(PDF版)
山师大附中2016级第五次模拟考试（2019.1.14）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则=A. B. C. D.2. 已知复数满足，则A. B. C. D.3. 若则下列不等式错误的是A B C D4.命题充分不必要条件；命题下列命题为真命题的是A B C D5. 过双曲线：的右顶点作轴的垂线，与的一条渐近线相交于点，以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过，两点(为坐标原点，则双曲线的方程为A. B. C. D.6.已知实数的最小值为，则实数的值为A B C D7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B.C. D.8.已知点表示除以余，例如，，则如图所示的程序框图的功能是（）A. 求被除余且被除余的最小正整数B. 求被除余且被除余的最小正整数C. 求被除余且被除余的最小正奇数D. 求被除余且被除余的最小正奇数9.关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是A B C D10.若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（）A. B. C. D.11.是双曲线的左、右焦点，在双曲线的右支上存在一点,满足,则双曲线的离心率为A . B. C. D .12.已知是所在平面上的一定点，若动点满足，则点的轨迹一定通过的A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心卷II（满分90分）二、填空题（每题5分，满分20分）13.从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为______________.(用数字作答)14.已知，则二项式展开式中的常数项是__________．15.设函数，若，则实数的范围16.已知是定义域为的奇函数，满足, 若，则( )A. B. C. D.三、解答题（满分70分）17．（满分12分）已知等差数列的前项的和为，(I)求数列的通项公式；(II)设(III)设，表示不超过的最大整数，求的前1000项的和18（满分12分）四棱锥中，底面是平行四边形侧面，是等边三角形（I）证明：（II）若求二面角的余弦值19（满分12分）某读书协会共有1200人，现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间（分钟），其中某一周的数据记录如下：75 、60 、35、 100、 90 、50 、85 、170、 65、 70、 125、 75 、70、 85、 155、 110、 75 、130 、80、 100；对这20个数据按组距30进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表（设阅读时间为分钟）≤≤(I）写出、的值，请估计该读书协会中人均每周的课外阅读时长，以及该读书协会中一周阅读时长不少于90分钟的人数；(II）该读书协会拟发展新成员5人，记新成员中每周阅读时长在[60,90）之间的人数为，以上述统计数据为参考，求的分布列和数学期望；(Ⅲ）完成下面的2 2列联表，并回答能否有90％的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”?附：20(满分12分)已知函数（I）求函数的单调区间和极值（II）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值21. （满分12分）设椭圆的离心率为，且椭圆过点.过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于四点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，探究：直线是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.选做题（考生从22、23中任选一题作答，满分10分）22.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的参数方程：，曲线的极坐标方程：，且直线交曲线于两点.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)巳知点，求当直线倾斜角变化时，的值.23. 已知函数(1)解不等式.(2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.山师大附中2016级第五次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.三、填空题（每题5分，满分20分）13 5040. 14. 240 15. 16. 2三、解答题（满分70分）17．（满分12分）解析：（1）-----------4分（2） ---6分-----8分（3）----10分------12分解析：（1）作为垂足，平面-------2分-----4分，------6分（2），，是等腰直角三角形的中点，两两垂直，以所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系----8分----------------------------10分二面角的大小等于，二面角的余弦值为-------------12分解析：（1） ---------------------------------1分该读书协会中人均每周的课外阅读时长（分钟）----------分一周阅读时长不少于90分钟的人数为480人 ----3分（2）,,,--------------------6分-----------------------8分(3)0.808,所以没有90％的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关-----------------------------12分20（满分12分）解析：（1） -------------1分所以------------------3分-----------------------------4分（2）等价于：当，设-----------5分①若，上单调递增，但---------------------------------------8分②若-------------------10分，时，所以实数的最小值为1 --------------------------------------12分21. （满分12分）试题解析：（Ⅰ）由题意知，，解得，故椭圆的方程为.（Ⅱ）∵，，∴、分别为、的中点.当两直线的斜率都存在且不为0时，设直线的方程为，则直线的方程为，，，，，联立，得，∴，∴，，∴中点的坐标为；同理，中点的坐标为，∴，∴直线的方程为，即，∴直线过定点；当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线的方程为，也过点；综上所述，直线过定点.22. （满分10分）解析（1） -------3分（2）代入------------------------5分=-------------------10分23.（满分10分）详解：(1)不等式可化为.当时，解得即；当时，解得即：当时，解得即;综上所述:不等式的解集为或.-----------5分(2)由不等式可得，，即解得或故实数的取值范围是或. -----------------10分- 11 -。
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山东师范大学附属中学2016届高三第五次模拟考试
数学（理）试题
本试卷分第I卷和第II卷两部分，共5页，满分为150分，考试用时120分钟，考试结束后将
答题卡交回。
注意事项：
1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。
3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需
改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔。
4.不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的，答案无效。
第I卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.把正确答案涂在答题卡上.
1.若复数z满足45izi（i为虚数单位），则z的共轭复数z为
A. 54i B. 54i C. 54i D. 54i
2.已知集合203xMxx，集合23Nxx，则MN为
A. 2,3 B. 3,2 C. 2,2 D. 3,3
3.已知a，b，c，d为实数，且cb，则“ab”是“acbd”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产
品净重（单位：克）数据绘制的频率分散直方图，其中产品净重的
范围是96,106，样本数据分组为
96,98,98,100,100,102,102,104104,106
.已知样本中
产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克
并且小于102克的产品的个数是
A.90 B.75 C.60 D.45
5.已知平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若
2,4,1,3,ABACADBD则
A. 8 B. 6 C.6 D.8
6.某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果是26，则判断框内应
为
A. 1K B. 2K
C. 3K D. 4K
7. 一个多面体的直观图和三视图所示，M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF-BCE内自由飞翔，
由它飞入几何体F-AMCD内的概率为
A. 34 B. 23 C. 13 D. 12
8.函数cos0fxxx在，内
A.没有零点 B.有且仅有一个零点
C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点
9.已知双曲线22122:100yxCabab，的离心率为2，若抛物线22:20Cypxp的焦点到
双曲线1C的涟近线的距离是2，则抛物线2C的方程是
A. 28yx B. 21633yx C. 2833yx D. 216yx
10.将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有一个小球，且每个盒子里的小球
个数都不相同，则不同的放法有（ ）种
A.15 B.18 C.19 D.21
第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题卡相应的位置上.
11.设0sincosaxxdx，则二项式61axx的展开式的常数项是_________.
12. 设曲线1*11nyxnN在点，处的切线与x轴的交点的横坐标为
12399,lgnnn
xaxaaaa令，则
的值为_________.
13.若将函数sin2yx的图象向右平移0个单位，得到的图象关于直线6x对称，则的
最小值为_________.
14. 设,xy满足约束条件36020,0,00,0xyxyabxy若z=ax+by的最大值为12，则1123ab的最
小值为________.
15.若对任意,,xAyBABR、有唯一确定的,fxy与之对应，称,fxy为关于x、y的
二元函数.现定义满足下列性质的二元函数,fxy为关于实数x、y的广义“距离”：
（1）非负性：,0fxy，当且仅当0xy时取等号；
（2）对称性：,,fxyfyx；
（3）三角形不等式：,,,fxyfxzfzy对任意的实数z均成立.
今给出四个二元函数：①22,;fxyxy②2,fxyxy③,fxyxy；④
,sinfxyxy
.
能够成为关于的x、y的方义“距离”的函数的所有序号是___________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16.在ABC中，角,,ABC的对边分别为a，b，c。已知5sin13B，且a，b，c成等比数列.
（1）求11tantanAC求的值；
（2）若cos12,acBac求的值。
17.已知等边三角形的边长为3，点D，E分别在边AB,AC上，且满足
1
1,2ADCE
ADEDEDEDBEA将沿折叠到A
的位置，使平面1ADE平面BCDE，连接11,ABAC。
1
AD
平面BCDE； （1）证明：
（2）在线段BD上是否存在点P，使得PA1与平面1ABD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；
若不存在，说明理由。
18.某品牌电视机代理销售商根据近年销售和利润情况得出某种型号电视机的利润情况有如下规律：
每台电视机的最终销售利润与其无故障使用时间T（单位：年）有关.若1T，则每台销售利润为0
元；若13T，则每台销售利润为100元；若，则每台销售利润为200元.设每台该种电视
机的无故障使用时间1,13,3TTT这三种情况发生的概率分别为12312,,,,PPPPP又知是方程
2
23
1060,xxaPP且
.
（1）求123,,,PPP的值；
（2）记表示销售两台这种电视机的销售利润总和，求出的分布列和数学期望。
19.用部分自然数构造如图的数表：用,ijaijiijN表示第行第j个数，使得
1.i
aaiji
每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和。设第
nnN
行中的各数之和为nb.
（1）写出12341,,,nnbbbbbb，并写出与的递推关系（不要求证明）；
（2）令2nnncbc，证明是等比数列，并求出nb的通项公式；
（3）数列nb中是否存在不同的三项,,,,pqrbbbpqrN恰好成等差数列？若存在，求出p，q，
r的关系；若不存在，说明理由。
20.已知函数lnfxmxx，其中m为常数，e为自然对数的底数。
（1）当1mfx时，求的最大值；
（2）若0fxe在区间，上的最大值为3，求m的值；
（3）当m=-1时，g(x)=112nxx,试证明函数y=fx的图像恒在函数y=g(x)的图像的上方。
21.设椭圆2222:1xyCab的左右焦点分别为12,=x-1FFy，直线过椭圆的焦点2F且与椭圆交于P,Q
两点，若142FPQ周长为。
（1）求椭圆的方程；
（2）圆221CxyykxmC：直线与圆相切且与椭圆C交于不同的两点A,B，O为坐标原点。
若2334OAOB，且，求△OAB的取值范围.