山东省山东师范大学附属中学2016届高三上学期第一次模拟考试数学(理)及答案

山师附中2013级高三第一次模拟考试试题数 学（理工农医类）2015.9本试卷共5页，分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分共150分。

考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}12340U =----，，，，，集合{}{}120340A B =--=∞--，，，，，，则()U C A B ⋂=A. {}0B. {}3,4--C. {}1,2--D. φ2.已知()2,f x x i =是虚数单位，则在复平面中复数()13f i i++对应的点在A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<= A.12p +B. 1p -C. 12p -D.12p - 4.设02x π<<，则“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5.设()0sin cos k x x dxπ=-⎰，若()82801281kx a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则1238a a a a +++⋅⋅⋅+=A. 1-B.0C.1D.2566.要得到函数()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象 A. 向左平移2π个单位长度 B. 向右平移2π个单位长度C. 向左平移4π个单位长度 D. 向右平移4π个单位长度 7.设函数()2,0,2,0.x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩若()()()40,22f f f -=-=-，则关于x 的方程()f x x =的解的个数为A.4B.3C.2D.18.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加.当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻.那么不同的发言顺序的和数为 A.360 B.520 C.600 D.720 9.定义在R 上的函数()f x 满足：()()()1,04f x f x f '+>=，则不等式()3xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 A. ()0,+∞B. ()(),03,-∞⋃+∞C. ()(),00,-∞⋃+∞D. ()3,+∞10.已知向量OA OB uu r uu u r与的夹角为()2,1,1,OA OB OP tOAOQ t OB PQ θ====-uu r uu u r uu u r uu r uuu r uu u r uu u r ，，在0t 时取得最小值.当0105t <<时，夹角θ的取值范围是A. 0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭D. 20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，12a =，且248,,a a a 成等比数列.则数列{}n a 的通项公式为___________；12.如图给出的是计算11112462014+++⋅⋅⋅+的值的程序框图，其中判断框内应填入的是_______.13.已知实数,x y 满足1,21.y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为1,-则实数m 等于_________.14.已知0,0x y >>，若2282y x m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是_______. 15.已知函数()()22,x f x g x x ax ==+（其中a R ∈）。

对于不相等的实数12,x x ，设()()()()12121212,f x f x g x g x m n x x x x --==--，现有如下命题： （1）对于任意不相等的实数12,x x ，都有m >0；（2）对于任意的a 及任意不相等的实数12,x x ，都有0n >； （3）对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =； （4）对于任意的a ，存在不相等的实数12,x x ，使得m n =-。

其中的真命题有_________（写出所有真命题的序号）。

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知)2cos ,cos ,cos ,2sin 22m x x n x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭⎝⎭u r r ，且函数()1f x m n =⋅+u r r（1）设方程()()100,f x π-=在内有两个零点12,x x ，求12x x +的值； （2）若把函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向下平移2个单位，得函数()g x 图像，求函数()g x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间.17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是,,a b c ，且22212a c b ac +-=. （I ）求2sincos 22A C B ++的值；（II ）若b=2，求ABC ∆面积的最大值.18. （本小题满分12分）在每场比赛之前，世界杯组委会都会指派裁判员进行执法.在某场比赛前，有10名裁判可供选择，其中欧洲裁判3人，亚洲裁判4人，美洲裁判3人.若组委会要从这10名裁判中任选3人执法本次比赛。

求： （1）选出的欧洲裁判人数多于亚洲裁判人数的概率；（2）选出的3人中，欧洲裁判人数x 的分布列和数学期望。

19. （本小题满分12分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰，已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为432,,555，且各轮问题能否正确回答互不影响. （I ）求该同学被淘汰的概率；（II ）该同学在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望.20. （本小题满分13分）已知函数()21ax bf x x +=+在点()()1,1f --的切线方程为30x y ++=.（I ）求函数()f x 的解析式；（II ）设()[)ln 1,g x x x =∈+∞，当时，求证：()()g x f x ≥； （III ）已知0a b <<，求证：22ln ln 2b a ab a a b->-+.21. （本小题满分14分）已知函数()()(),2ln af x xg x x m x=-=+. （I ）已知0m =，若存在01,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()000x f x g x ≥，求a 的取值范围；（II ）已知1a m ==，（1）求最大正整数n ，使得对任意1n +个实数()[]1,2,,11,2i i x i n x e =⋅⋅⋅+∈-，当时，都有()()112014nin i f x g x +=<∑恒成立；（2）设()()()()H x x f x g x H x =+，在的图象上是否存在不同的两点()()()112212,,,1A x y B x y x x >>-，使得()()()1212122x x H x H x H x x +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.2013级高三一模数学（理）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共50分）1、B2、A3、D4、B5、B6、C7、B8、C9、A 10、C 二、填空题（每小题5分，共25分）11、2n a n = 12、2014i ≤ 13、5 14、42m -<< 15、 ①④三、解答题：本大题共六小题，共75分。

16．解：（1）由题设知2)42cos(212cos 12sin )(++=+++-=πx x x x f ， (2)分12)42cos(2,01)(=++∴=-πx x f ，22)42cos(-=+∴πx ，…………………3分或43242πππ+=+∴k x Z k k x ∈+=+,45242πππ 得4ππ+=k x 或2ππ+=k x ， (5)分43,2,4),,0(2121ππππ=+∴==∴∈x x x x x .…………………………………………6分（2）)(x f y =图像向左平移6π个单位，得 2c o s [2()]22c o s (2)22s i n (2)2643412y x x x πππππ=+++=+++=-++ 再向下平移2个单位得)122sin(2)(π+-=x x g ………………………8分πππππ23212222+≤+≤+k x k Z k k x k ∈+≤≤+∴,2417245ππππ……………9分当1-=k 时2472419ππ-≤≤-x ;当0=k 时,ππ2417245≤≤x (10)分]2,2[ππ-∈x ∴)(x f 在]2,2[ππ-的增区间为]247,2[ππ--,]2,245[ππ.………………………………12分17（Ⅰ）在△ABC 中，由余弦定理可知，B ac b c a cos 2222=-+，由题意知ac b c a 21222=-+，∴41cos =B ；………………2分又在△ABC 中π=++C B A ，∴1cos 22cos 12cos 2cos 2cos 2sin 2cos 2sin 2222-++=+=+-=++B BB B B B BC A π212cos cos 22-+=B B ，又41cos =B ，∴412cos 2sin 2-=++B C A (6)分（Ⅱ）∵b =2 ，∴由ac b c a 21222=-+可知，ac c a 21422=-+， 即4221-≥ac ac ，∴38≤ac ，……………………8分 ∵41cos =B ，∴415sin =B ………………10分 ∴3154153821sin 21=⋅⋅≤⋅=∆B ac S ABC . ∴△ABC 面积的最大值为315．…………………………12分 18.（Ⅰ）解：设“选出的3名裁判中欧洲裁判人数多于亚洲裁判人数”为事件A ，“恰好选出1名欧洲裁判和2名美洲裁判”为事件A 1“恰好选出2名欧洲裁判“为事件A 2，”恰好取出3名欧洲裁判”为事件A 3由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A=A 1∪A 2∪A 3而,403)(31023131=C C C A P P(A 2)=P(X=2)= 407,P(A3)=P(X=3)= 1201,所以选出的3名裁判中欧洲裁判人数多于亚洲裁判人数的概率为 P(A)=P(A 1)+P(A 2)+P(A 3)=403+407+1201=12031（Ⅱ）解：由于从10名裁判中任选3人的结果为310C ，从10名裁判中任取3人，其中恰有k 名欧洲裁判的结果数为337k k C C -，那么从10人任选3人，其中恰有k 名欧洲裁判的概率为P(X=k)= C C C kk310373-,k=0,1,2,3. 所以随机变量X 的分布列是X 0123P247 4021 407 1203X 的数学期望EX=109120134072402112470=⨯+⨯+⨯+⨯19、解：（Ⅰ）记“该同学能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，， 则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =，………………3分∴该同学被淘汰的概率112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++142433101555555125=+⨯+⨯⨯=．……………………６分 （Ⅱ）ξ的可能值为1,2,3，11(1)()5P P A ξ===，1212428(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=，12124312(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=．………………8分∴ξ的分布列为ξ1 2 3P15 825 1225……………………１０分 ∴1812571235252525E ξ=⨯+⨯+⨯=……………………１２分 20解：（Ⅰ）将1-=x 代入切线方程得2-=y ， ∴211)1(-=+-=-ab f ，…………1分化简得4-=-a b . 222)1(2)()1()(x xb ax x a x f +⋅+-+='，……………2分12424)(22)1(-===-+=-'bb a b a f ，解得：2,2-==b a .∴122)(2+-=x x x f . …………4分（Ⅱ）由已知得122ln 2+-≥x x x 在),1[+∞上恒成立，化简22ln )1(2-≥+x x x ，即022ln ln 2≥+-+x x x x 在),1[+∞上恒成立.…………5分设22ln ln )(2+-+=x x x x x h ，21ln 2)(-++='xx x x x h ， …………7分 ∵1≥x ∴21,0ln 2≥+≥xx x x ，即0)(≥'x h ， ∴)(x h 在),1[+∞上单调递增，0)1()(=≥h x h ，∴)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立 .…………１０分（Ⅲ）∵b a <<0， ∴1ba>，由（Ⅱ）知有222ln ()1b b a b a a->+， ……12分整理得222ln ln b a a a b a b +>--，∴当b a <<0时，222ln ln ba aa b a b +>--. …………13分21:(I) ()()22ln xf x g x x a x ≥⇔-≥22ln a x x ⇔≤-令()22ln h x x x =-则()()()()'211220x x h x x x x x-+=-=>----------------------2分 ∴当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()'0h x <,当()1,x e ∈时, ()'0h x >------------------3分()()221112,2h h e e h e h e e e ⎛⎫⎛⎫=+=-∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22max 2,2h x e a e =-∴≤-----------------------------------------5分(II) (1)()()112014nin i f x g x +=<∑()()()1min 1max2014n i n i f x g x +=⎛⎫⇔< ⎪⎝⎭∑-------------------------6分 ()(),f x g x ∴均为增函数∴()1max13222n i i f x n n =⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑---------------------------7分()1min 2014201424028n g x +=⨯=⎡⎤⎣⎦---------------------------------8分314028,268523n n ∴<∴<+ ∴n 的最大值为2685.-------------------------------------------------9分(2) ()()22ln 1H x x x a =++-()'221H x x x =++ ()()()()()()1212121212122ln 1ln 1x x x x x x H x H x x x x x +-+++-⎡⎤-⎣⎦=-- ()11212212ln 1x x x x x x +=++-+()'121212421x x H x x x x +⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭原式()112212112ln 12x x x x x x +⇔=-+++()()()()121212111ln 2111x x x x x x +-++⇔=++++①-------------------------------------------------------------------------12分令()()1211,1x t t x +=∈+∞+ ①式12ln 22111t t t t -⎛⎫=⨯=- ⎪++⎝⎭令()4ln 21u t t t =+-+ ()()()()2'22114011t u t t t t t -=-=>++()u t ∴在()1,+∞上是增函数 ()()10u t u ∴>=()u t ∴无零点,故A 、B 两点不存在-------------------------------------14分。