江苏省苏州市高三上学期期中数学试卷(文科)
2020年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷
高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={−2,−1,0，1，2}，B ={x|x >0}，则A ∩B =______．2. 已知复数z 满足z2+i =i(i 为虚数单位)，则复数z 的实部为______． 3. 已知向量a ⃗ =(x,2)，b ⃗ =(2,−1)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则实数x 的值是______． 4. 函数y =√2−x的定义域为______．5. 在等比数列{a n }中，a 1=1，a 4=8，则前5项和S 5= ______ ．6. 已知tanα=2，则sinαcosα+2sinα的值为______．7. “x >2”是“x >1”的______ 条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个)8. 已知函数y =sin2x 的图象上每个点向左平移φ(0<φ<π2)个单位长度得到函数y =sin(2x +π6)的图象，则φ的值为______． 9. 设函数f(x)={e x ,x ≥02x +1,x <0，则不等式f(x +2)>f(x 2)的解集为______．10. 已知函数f(x)=lnx −mx 的极小值大于0，则实数m 的取值范围为______． 11. 已知各项都为正数的等差数列{a n }中，a 5=3，则a 3a 7的最大值为______． 12. 已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6，则cosC =______．13. 若方程cos(2x −π6)=35在(0,π)的解为x 1，x 2，则cos(x 1−x 2)=______．14. 已知函数f(x)=3x 2−x 3，g(x)=e x−1−a −lnx ，若对于任意x 1∈(0,3)，总是存在两个不同的x 2，x 3∈(0,3)，使得f(x 1)=g(x 2)=g(x 3)，则实数a 的取值范围为______．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C =120°，c =7，a −b =2．(1)求a ，b 的值； (2)求sin(A +C)的值．16.已知向量a⃗=(cosx,√3cosx)，b⃗ =(cosx,sinx)．]，求x的值；(1)若a⃗//b⃗ ，x∈[0,π2]，求f(x)的最大值及相应x的值．(2)若f(x)=a⃗⋅b⃗ ，x∈[0,π217.已知等比数列{a n}满足a2=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=|a n−2n+1|，求数列{b n}的前n项和为T n．18.如图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD，下部是一个矩形ABCD，圆弧CD所米，∠COD=120°，现根据需要把此窑在圆的圆心为O.经测量AB=4米，BC=√33洞窗口形状改造为矩形EFGH，其中E，F在边AB上，G，H在圆弧CD上．设∠OGF=θ，矩形EFGH的面积为S．(1)求矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式；(2)求cosθ为何值时，矩形EFGH 的面积S 最大？19. 已知函数f(x)=√x −1√x ．(1)求f(x)的图象在x =1处的切线方程； (2)求函数F(x)=f(x)−x 的极大值；(3)若af(x)≤lnx 对x ∈(0,1]恒成立，求实数a 的取值范围．20. 已知数列{a n }满足(n −1)a n+1=na n −a 1,n ∈N ∗．(1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2−a 1=1，且对任意的正整数n ，都有13<1S 1+1S 2+1S 3+⋯+1S n<43，求整数a 1的值；(3)设数列{b n }满足b n =a n +310，若a 2−a 1=15，且存在正整数s ，t ，使得a s +b t 是整数，求|a 1|的最小值．21. 已知二阶矩阵M =[a13b ]的特征值λ=−1所对应的一个特征向量为[−13]． (1)求矩阵M ；(2)设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C′的方程为y 2=x ，求曲线C 的方程．22. 已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosα+2√3sinα(α为参数)，直线l 的参数方程为{x =1+tcosβy =tsinβ(t 为参数，0<β<π2)，若曲线C 被直线l 截得的弦长为√13，求β的值．23. 设正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求证：ab+c +bc+a +ca+b ≥32．24. 某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14.甲乙丙是否击中目标相互独立．(1)求乙、丙二人各自击中目标的概率；(2)设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．25. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =a ，AA 1=b ，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上，且BE =13BB 1，C 1F =13CC 1.设λ=ba ．(1)当λ=3时，求异面直线AE 与A 1F 所成角的大小； (2)当平面AEF ⊥平面A 1EF 时，求λ的值．答案和解析1.【答案】{1,2}【解析】解：∵集合A ={−2,−1,0，1，2}，B ={x|x >0}， ∴A ∩B ={1,2}． 故答案为：{1,2}． 利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】−1【解析】解：由z2+i =i ，得z =i(2+i)=−1+2i ． ∴复数z 的实部为−1． 故答案为：−1．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】1【解析】解：∵向量a ⃗ =(x,2)，b ⃗ =(2,−1)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴2x −2=0，求得x =1， 故答案为：1．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出x 的值． 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．4.【答案】(1,2)【解析】解：函数y =√2−x中，令{x −1>02−x >0， 解得1<x <2，所以函数y 的定义域为(1,2)． 故答案为：(1,2)．根据函数的解析式列出不等式组，求出解集即可．本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题．5.【答案】31【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=1,a4=8，∴q3=a4a1=8，解得q=2，则前5项和S5=1×(1−25)1−2=25−12−1=31．故答案为：31．6.【答案】25【解析】解：∵tanα=2，∴sinαcosα+2sinα=tanα1+2tanα=21+2×2=25．故答案为：25．由已知利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．7.【答案】充分不必要【解析】解：当x>2时，x>1一定成立．当x>1时，x>2不一定成立，比如当x=32时，满足x>1时，但x>2不成立．∴“x>2”是“x>1”充分不必要条件．故答案为：充分不必要根据充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．8.【答案】π12【解析】解：把函数y=sin2x的图象上每个点向左平移φ(0<φ<π2)个单位长度，得到函数y=sin(2x+π6)=sin(2x+2φ)的图象，∴2φ=π6，则φ=π12，故答案为：π12．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．9.【答案】(−1,2)【解析】解：根据题意可知函数f(x)在R上单调递增，则不等式f(x+2)>f(x2)等价于x+2>x2，即x2−x−2<0，解得−1<x<2，即不等式的解集为(−1,2)利用该分段函数的单调性可得x+2>x2，解出即可本题考查利用分段函数特征解不等式，涉及函数单调性，不等式解法，属于中档题．10.【答案】(−∞,−1e)【解析】解：由f(x)=lnx−mx ，得f′(x)=x+mx2(x>0)．令f′(x)=0，则x=−m，因为f(x)=lnx−mx的极小值大于0，所以−m>0，所以m<0，所以当x>−m时，f′(x)>0，当0<x<−m时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,−m)上单调递减，在(−m,+∞)上单调递增，所以f(x)极小值=f(−m)=ln(−m)+1>0，所以m<−1e，综上，m的取值范围为(−∞,−1e).故答案为：(−∞,−1e).对f(x)求导，根据f(x)=lnx−mx的极小值大于0，可得m<0，然后判断f(x)的单调性求出极小值，再由f(x)的极小值大于0，建立关于m的不等式，求出m的范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了运算能力，属中档题．11.【答案】9【解析】解：依题意，等差数列{a n }各项都为正数， 所以a 3>0，a 7>0， 所以a 3a 7≤(a 3+a 72)2=(a 5)2=9．当且仅当a 3=a 7=3时等号成立． 故答案为：9．因为等差数列{a n }各项都为正数，所以a 3a 7≤(a 3+a 72)2=(a 5)2=9．本题考查了等差中项的性质，考查了基本不等式，属于基础题．12.【答案】13【解析】解：如图，∵CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CE =2ED ， 由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EB⃗⃗⃗⃗⃗ =−6得 (DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CE⃗⃗⃗⃗⃗ )=−6， 得DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−6， 得−ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2−9+CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE⃗⃗⃗⃗⃗ =−6， 得13CD ⃗⃗⃗⃗⃗⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1， ∴13×3×3cosC =1，∴cosC =13， 故答案为13．利用E 为三等分点结合向量加减法把所给数量积转化为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 之间的关系即可解决． 此题考查了向量数量积的定义，向量加减法法则，难度不大．13.【答案】−35【解析】解：由方程cos(2x −π6)=35在(0,π)的解为x 1，x 2， 得cos(2x 1−π6)=cos(2x 2−π6)， ∵x ∈(0,π)，∴2x −π6∈(−π6,11π6)，∴2x 1−π6+2x 2−π62=π，∴x 1=7π6−x 2．∴cos(x 1−x 2)=cos(7π6−2x 2).又cos(2x 2−π6)=35．∴cos(x 1−x 2)=cos(7π6−2x 2)=−cos(2x 2−π6)=−35． 故答案为：−35． 由已知可得x 1+x 2=7π6，得到x 1=7π6−x 2，则cos(x 1−x 2)=cos(7π6−2x 2)，结合已知得答案．本题考查y =Acos(ωx +φ)型函数的图象与性质，考查函数零点的判定及其应用，是中档题．14.【答案】[1,e 2−4−ln3)【解析】解：f(x)=3x 2−x 3，x ∈(0,3)， f′(x)=6x −3x 2=3x(2−x)，可得：函数f(x)在(0,2]上单调递增，在(2,3)上单调递减． 而f(0)=f(3)=0，f(2)=4． ∴f(x)∈(0,4]=A ．g(x)=e x−1−a −lnx ，x ∈(0,3)， g′(x)=e x−1−1x ，在x ∈(0,3)上单调递增， g′(1)=0，∴函数g(x)在(0,1]上单调递减，在(1,3)上单调递增．x →0+时，g(x)→+∞；g(1)=1−a ，g(3)=e 2−a −ln3． 令B =[1−a,e 2−a −ln3)．对于任意x 1∈(0,3)，总是存在两个不同的x 2，x 3∈(0,3)，使得f(x 1)=g(x 2)=g(x 3)⇔A ⊆B ．∴1−a ≤0，且4<e 2−a −ln3． 解得1≤a <e 2−4−ln3．∴实数a 的取值范围为[1,e 2−4−ln3)． 故答案为：[1,e 2−4−ln3)．f(x)=3x2−x3，x∈(0,3)，f′(x)=6x−3x2=3x(2−x)，可得其单调性极值与最值，设其值域为A.g(x)=e x−1−a−lnx，x∈(0,3)，g′(x)=e x−1−1x，在x∈(0,3)上单调递增，g′(1)=0，x→0+时，g(x)→+∞；g(1)=1−a，g(3)=e2−a−ln3.令B= [1−a,e2−a−ln3).对于任意x1∈(0,3)，总是存在两个不同的x2，x3∈(0,3)，使得f(x1)=g(x2)=g(x3)⇔A⊆B.即可得出实数a的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．15.【答案】解：(1)∵余弦定理cosC=a2+b2−c22ab，且c=7，C=120°，∴可得a2+b2+ab=49，∵a−b=2，∴b2+2b−15=0，∵b>0，∴可得b=3，a=5．(2)∵由(1)可知a=5，b=3，c=7，∴cosB=a2+c2−b22ac =1314，∵B为△ABC的内角，∴sinB=√1−cos2B=3√314，∵sin(A+C)=sin(π−B)=sinB=3√314，∴sin(A+C)的值为3√314．【解析】(1)由已知利用余弦定理可得a2+b2+ab=49，结合a−b=2，即可解得a，b的值．(2)由(1)及余弦定理可求cos B，根据同角三角函数基本关系式可求sin B的值，利用两角和的正弦函数公式，诱导公式可求sin(A+C)的值．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】解：(1)∵a⃗=(cosx,√3cosx)，b⃗ =(cosx,sinx)，a⃗//b⃗ ，∴cosxsinx=√3cos2x，∴cosx(sinx−√3cosx)=0，∴cosx =0或sinx −√3cosx =0， 即cosx =0；或tanx =√3， ∵x ∈[0,π2]，∴x =π2或x =π3；(2)f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ =cos 2x +√3cosxsinx =1+cos2x 2+√32sin2x =sin(2x +π6)+12∵x ∈[0,π2]，∴2x +π6∈[π6,7π6]，∴sin(2x +π6)∈[−12,1]， ∴f(x)∈[0,32]，故f(x)的最大值为32，此时x =π6．【解析】(1)利用向量共线得到三角方程，转化为三角函数求值问题，易解； (2)把数量积转化为三角函数，利用角的范围结合单调性即可得到最大值． 此题考查了向量共线，数量积，三角函数求值等，难度不大．17.【答案】解：(1)设等比数列的公比为q(q ≠0)，∵a 2，a 3+1，a 4成等差数列，∴2(a 3+1)=a 2+a 4， ∵a 2=2，∴2(2q +1)=2+2q 2，解得q =2或q =0(舍)． ∴a 1=a 2q=1．∴数列{a n }的通项公式为a n =2n−1； (2)设c n =a n −2n +1=2n−1−2n +1，∴c n+1−c n =2n −2(n +1)+1−(2n−1−2n +1)=2n−1−2． ∴当n ≥3时，c n+1>c n ． 又c 4=1>0，∴当n ≥4时，c n >0，即n ≥4时，b n =c n =2n−1−2n +1． ∵c 1=0，c 2=c 3=−1，∴b 1=0，b 2=b 3=1． ∴T 1=0，T 2=1，T 3=2，当n ≥4时，T n =b 1+b 2+b 3+b 4+⋯+b n=2+b 4+b 5+⋯+b n =2+(23+24+⋯+2n−1)−(7+9+⋯+2n −1) =2+23(1−2n−3)1−2−7+2n−12(n −3)=2n −n 2+3．综上，T n ={0,n =11,n =22,n =32n −n 2+3,n ≥4．【解析】(1)由已知列式求得等比数列的公比，进一步求得首项，则数列{a n }的通项公式可求；(2)设c n =a n −2n +1=2n−1−2n +1，作差可得当n ≥4时，c n >0，即n ≥4时，b n =c n =2n−1−2n +1，再求出数列{b n }的前3项，然后分类利用数列的分组求和求数列{b n }的前n 项和为T n ．本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和，考查数列的函数特性，是中档题．18.【答案】解：(1)如下图所示，作OP ⊥CD 分别交AB ，GH 于点M ，N ，由四边形ABCD ，EFGH 是矩形，O 为圆心，∠COD =120°， 故OM ⊥AB.ON ⊥GH ，P 、M 、N 分别为CD ，AB ，GH 的中点． ∠CON =60°，在Rt △COP 中，CP =2，∠COP =60°，所以OC =43√3，OP =23√3， ∴OM =OP −PM =OP −BC =√33， 在Rt △ONG 中，∠GON =∠OGF =θ，OG =OC =43√3， ∴GN =43√3sinθ，ON =43√3cosθ，∴GH=2GN=83√3sinθ，GF=MN=ON−OM=43√3cosθ−√33，∴S=GF⋅GH=(43√3cosθ−√33)⋅83√3sinθ=83(4cosθ−1)sinθ，θ∈(0,π3).∴S关于θ的函数关系式为：S=83(4cosθ−1)sinθ，θ∈(0,π3).(2)根据(1)，知：S′=83(4cos2θ−4sin2θ−cosθ)=83(8cos2θ−cosθ−4)，∵θ∈(0,π3)，∴cosθ∈(12,1)．故令S′=0，解得cosθ=1+√12916∈(12,1)．设θ0∈(0,π3)且cosθ=1+√12916，∴S′>0，得0<θ<θ0，即S在(0,θ0)单调递增，S′<0，得θ0<θ<π3，即S在(θ0,π3)单调递减，∴当θ=θ0时，S取得最大值，∴当cosθ0=1+√12916时，矩形EFGH的面积S最大．【解析】本题第(1)题结合几何图形计算的直角三角形勾股定理，找出矩形EFGH的面积S关于变量θ的函数关系式；第(2)题要对S关于变量θ的函数关系式进行求导分析，算出S′=0时的cosθ的值，三角计算即可得出结果．本题主要考查根据图形进行计算，掌握运用直角三角形勾股定理知识，三角函数的计算，函数的一阶导数分析能力．本题属中档题．19.【答案】解：(1)函数f(x)=√x√x f′(x)=2√x+2x√x，∴f′(1)=1．f(1)=0，∴切点(1,0)．∴f(x)的图象在x=1处的切线方程为：y=x−1．(2)F(x)=f(x)−x=√x√x−x(x>0)．F′(x)=2√x2x√x1，∴F′(x)在(0,+∞)上单调递减，又F′(1)=0．x∈(0,1)时，F′(x)>0，函数F(x)在(0,1)上单调递增；x∈(1,+∞)时，F′(x)<0，函数F(x)在(0,1)上单调递减．∴x=1时，函数F(x)取得极大值，F(1)=−1．(3)令g(x)=lnx−af(x)=lnx−a(√x√x)，x∈(0,1]，∴g′(x)=1x −a2(x x x)=√x)2√x−a2x x．①a≤0时，g′(x)>0，对x∈(0,1]恒成立，∴g(x)在x∈(0,1]单调递增．又g(1)=0，∴∃x0∈(0,1]时，g(x0)<0，与af(x)≤lnx对x∈(0,1]恒成立矛盾，舍去．②a≥1时，设u(x)=−a(√x)2+2√x−a，x∈(0,1]，△=4−4a2≤0，∴u(x)≤0，∴g′(x)≤0，对x∈(0,1]恒成立，∴g(x)在x∈(0,1]单调递减．又g(1)=0，∴g(x)≥g(1)=0，这与af(x)≤lnx对x∈(0,1]恒成立，∴a≥1成立．③0<a<1时，设u(x)=−a(√x)2+2√x−a，x∈(0,1]，△=4−4a2>0，由u(x)=0，解得：√x1=1−√1−a2a =2∈(0,1)；√x2=1+√1−a2a>1．∴0<x1<1<x2．∴x∈(x1,1)时，u(x)>0，∴g′(x)>0，∴g(x)在x∈(x1,1)单调递增．又g(1)=0，∴g(x1)<g(1)=0，这与af(x)≤lnx对x∈(0,1]恒成立，舍去．综上可得：a≥1成立．【解析】(1)函数f(x)=√x√x f′(x)=2√x2x√x，可得f′(1)=1.切点(1,0).利用点斜式即可得出切线方程．(2)F(x)=f(x)−x=√x√x −x(x>0).F′(x)=2√x+2x√x1，F′(x)在(0,+∞)上单调递减，而F′(1)=0.即可得出单调性与极值．(3)令g(x)=lnx−af(x)=lnx−a(√x√x )，x∈(0,1]，∴g′(x)=1x−a2(√x+x√x)=√x)2√x−a2x√x.a分类讨论，令u(x)=−a(√x)2+2√x−a，x∈(0,1]，△=4−4a2，利用导数研究其单调性即可得出实数a的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、方程的实数根与判别式的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.【答案】证明：(1)数列{a n}满足(n−1)a n+1=na n−a1,n∈N∗.①当n≥2时，(n−2)a n=(n−1)a n−1−a1,n∈N∗②①−②得(n−1)a n+1−2(n−1)a n+(n−1)a n−1=0，所以a n+1−2a n+a n−1=0，所以数列{a n}为等差数列．(2)由(1)得a2−a1=1，所以数列的公差为1，由于对任意的正整数n ，都有13<1S 1+1S 2+1S 3+⋯+1S n<43，所以13<1S 1<43，则34<S 1<3，即34<a 1<3．所以1S 1+1S 2=1+13=43，这与题意相矛盾，所以a 1≠1．当a 1=2时，a n =n +1， 所以S n =n(n+3)2>0，1S 1=12>13，1S 1+1S 2+1S 3+⋯+1S n>13恒成立．由于1S n=23(1n −1n+3)，所以1S 1+1S 2+1S 3+⋯+1S n=23(1−14+12−15+13−16+⋯+1n−2−1n+1+1n−1−1n+2+1n −1n+3)，=23(1+12+13−1n+1−1n+2−1n+3)<119<43．综上所述a 1=2．(3)由于a 2−a 1=15，所以数列{a n }的公差d 为15， 所以a n =a 1+15(n −1)， 则b n =a 1+15n +110，由题意知设存在正实数s 和t ，使得a s +b t =l ， 则a 1+s5+a 1+t5+110=l ，则20a 1=2(5l −s −t)+1由于5l −s −t ∈Z ，所以2(5l −s −t)为偶数，所以|20a 1|≥1，所以|a 1|≥120． 当a 1=120时，b 4=1920， 所以存在a 1+b 4=l ∈Z ， 综上所述，|a 1|=120．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式的应用，利用等差中项进行证明． (2)利用放缩法的应用和裂项相消法在数列求和中的应用进行证明． (3)利用假设法的应用和存在性问题的应用求出最小值．本题考查的知识要点：等差数列的证明和通项公式的应用，裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用，假设法在数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．21.【答案】解：(1)依题意，得[a 13b]⋅[−13]=[1−3]，即{−a +3=1−3+3b =−3，解得{a =2b =0， ∴M =[2130]．(2)设曲线C 上一点P(x,y)在矩阵M 的作用下得到曲线y 2=x 上一点P′(x′,y′)，则 [x′y′]=[2130]⋅[xy ]，即{x′=2x +y y′=3x ．∵y′2=x′， ∴9x 2=2x +y ，∴曲线C 的方程为y =9x 2−2x ．【解析】本题第(1)题根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得a 、b 的值，即可得到矩阵M ；第(2)题根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程．本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程．本题属中档题．22.【答案】解：曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosα+2√3sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为(x −1)2+(y −√3)2=4．转换为直角坐标方程为y =k(x −1)(k =tanβ)， 由于曲线C 被直线l 截得的弦长为√13， 所以圆心到直线的距离d =√4−134=√32=√3−k|2，解得k =±√3， 由于0<β<π2， 所以k =tanβ=√3， 解得β=π3．【解析】首先利用转换关系式的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用和垂径定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】证明：由于a +b +c =1，则a b+c +b c+a +c a+b =1−(b+c)b+c+1−(c+a)c+a+1−(a+b)a+b=1b+c+1c+a +1a+b −3，对于正数a ，b ，c ，由柯西不等式 [(b +c)+(c +a)+(a +b)](1b+c+1c+a+1a+b)≥(√b +c √b+c√c +a ⋅√c+a√a +b ⋅√a+b )2=9， 所以1b+c +1c+a +1a+b ≥92，从而ab+c +bc+a +ca+b ≥92−3=32，当且仅当a =b =c =13时取等号，【解析】根据条件及要证的不等式左端结构，可先将分子化为1，再配凑柯西不等式． 本题主要考查柯西不等式，关键在于配凑出柯西不等式的代数结构．24.【答案】解：(1)设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A ，B ，C ，则P(A)=34，且有{P(A −)P(C −)=112P(B)P(C)=14，即{(1−34)[1−P(C)]=112P(B)P(C)=14， 解得P(B)=38，P(C)=23．∴乙击中目标的概率为38，丙击中目标的概率为23． (2)由题意X 的可能取值为0，1，2， P(X =2)=14，P(X =0)=P(B −)P(C −)=58×13=524， P(X =1)=1−P(X =0)−P(X =2)=1324，∴X 的分布列为：E(X)=0×524+1×1324+2×14=2524．【解析】(1)设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A ，B ，C ，则P(A)=34，且{P(A −)P(C −)=112P(B)P(C)=14，由此能求出乙、丙二人各自击中目标的概率．(2)由题意X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E(X)． 本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.【答案】解：(1)∵直三棱柱ABC −A 1B 1C 1，∴AA 1⊥平面ABC ，∵AB ，AC ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ， ∵∠BAC =90°，∴建立分别以AB ，AC ，AA 1为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系，设a =1，则AB =AC =1，AA 1=3，∴A(0,0，0)，E(1,0，1)，A 1(0,0，3)，F(0,1，2)， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，1)，A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−1)， ∵|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1， ∴cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1F⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√2=−12，∴向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 和A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所成角为120°． ∴异面直线AE 与A 1F 所成角为60°．(2)∵E(a,0，b3)，F(0,a ，2b3)，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0，b3)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a ，2b3)， 设平面AEF 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =ax +b3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =ay +2b3z =0，取z =1，得m ⃗⃗⃗ =(−λ3,−2λ3,1)， 同理得平面A 1EF 的一个法向量p ⃗ =(2λ3,λ3,1)，∵平面AEF ⊥平面A 1EF ， ∴m ⃗⃗⃗ ⋅p ⃗ =−2λ29−2λ29+1=0，解得λ=23．∴当平面AEF ⊥平面A 1EF 时，λ的值为23．【解析】(1)推导出AA 1⊥平面ABC ，AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ，建立分别以AB ，AC ，AA 1为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系，利用法向量能求出异面直线AE 与A 1F 所成角． (2)推导出平面AEF 的法向量和平面A 1EF 的一个法向量，由平面AEF ⊥平面A 1EF ，能求出λ的值．本题考查异面直线所成角的大小、实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
江苏省苏州市高三上学期期中数学试卷
江苏省苏州市高三上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共12题；共12分)1. （1分）(2017·苏州模拟) 已知全集U=Z，集合A={x|0＜x＜5，x∈U}，B={x|x≤1，X∈U}，则A∩（∁UB）=________．2. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知函数（）的图像经过点，函数的图像经过点，则 ________.3. （1分） (2019高一上·赣榆期中) 已知是上的奇函数，当时， .若在区间上的值域为，则实数的取值范围是________．4. （1分） (2016高一上·浦东期末) 若集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}满足A∩B={1}，则实数a=________．5. （1分）在正三棱柱△ABC﹣△A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，若BD=1，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为________6. （1分）(2017·南开模拟) 某人5次下班途中所花的时间（单位：分钟）分别为m，n，5，6，4．已知这组数据的平均数为5，方差为2，则|m﹣n|的值为________．7. （1分）(2017·温州模拟) 若关于x的不等式|x|+|x+a|＜b的解集为（﹣2，1），则实数对（a，b）=________．8. （1分） (2015高二上·柳州期末) 在x（1+ ）6的展开式中，含x3项系数是________．（用数字作答）9. （1分）(2017·扬州模拟) 已知一组数据为8，12，10，11，9．则这组数据方差为________．10. （1分）(2017·辽宁模拟) 设偶函数f（x）对任意x∈R，都有，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=2x，则f（113.5）的值是________．11. （1分）(2017·衡阳模拟) 已知函数f（x）=log （x2+ ）﹣| |，则使得f（x+1）＜f（2x﹣1）成立x的范围是________．12. （1分）如图甲，在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D为．垂足，则AB2=BD•BC，该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，且O在△BCD内，类比射影定理，探究S△ABC、S△BCO、S△BCD这三者之间满足的关系是________二、选择题 (共6题；共12分)13. （2分） (2017高二下·湖北期中) 已知函数f（x）=x2+ ，则“a＜2”是“函数f（x）在（1，+∞）上为增函数”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件14. （2分） (2016高一下·雅安期末) 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，则过点A与AB、BC、CC1所成角均相等的直线有（）A . 1条B . 2条C . 4条D . 无数条15. （2分）某单位36名员工分为老年、中年、青年三组，人数之比为3：2：1，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为12的样本，则青年组中甲、乙至多有一人被抽到的概率为（）A .B .C .16. （2分）空间几何体的外接球，理解为能将几何体包围，几何体的顶点和弧面在此球上，且球的半径要最小.若如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A .B .C .D .17. （2分） (2019高一上·杭州期中) 不等式的解集是区间的子集，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .18. （2分） (2016高二下·温州期中) 下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）B . y=﹣x2+1C . y=2xD . y=lg|x+1|三、解答题 (共5题；共45分)19. （10分）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成的．已知半球的直径是6 cm，圆柱筒高为2 cm.（1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）?（2）要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？20. （10分） (2016高二上·马山期中) 解答题（1）（1）求不等式的解集：﹣x2+4x+5＜0（2）求函数的定义域：．21. （5分） (2016高二上·合川期中) 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC 的中点；（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．22. （10分）某单位生产A、B两种产品，需要资金和场地，生产每吨A种产品和生产每吨B种产品所需资金和场地的数据如表所示：资源资金（万元）场地（平方米）产品A2100B350现有资金12万元，场地400平方米，生产每吨A种产品可获利润3万元；生产每吨B种产品可获利润2万元，分别用x，y表示计划生产A、B两种产品的吨数．（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问A、B两种产品应各生产多少吨，才能产生最大的利润？并求出此最大利润．23. （10分）若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值﹣．（1）求函数的解析式；（2）若方程f（x）=k有3个不同的根，求实数k的取值范围．参考答案一、填空题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、选择题 (共6题；共12分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共5题；共45分) 19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。
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的定义域为
．
3．（ 5 分）设命题 p：x＞4；命题 q：x2﹣ 5x+4≥0，那么 p 是 q 的 填 “充分不必要 ”、 “必要不充分 ”、 “充要 ”、 “既不充分也不必要 ”）．
条件（选
4．（ 5 分）已知幂函数
在（0，+∞）是增函数，则实数 m 的值
是
．
5．（5 分）已知曲线 f（ x）=ax3+lnx 在（ 1，f（1））处的切线的斜率为 2，则实数
4．（ 5 分）已知幂函数
在（0，+∞）是增函数，则实数 m 的值
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是 1． 【解答】 解：由题意得： 2m﹣m2＞0 在（ 0， +∞）恒成立， 解得： 0＜m＜ 2， 故 m=1， 故答案为： 1．
5．（5 分）已知曲线 f（ x）=ax3+lnx 在（ 1，f（1））处的切线的斜率为 2，则实数
要使函数
（a＞0 且 a≠ 1）的值域为 [ 6， +∞），
则有 x＞2 时，函数 y=logax+5≥6，
∴
，解得 1＜ a≤ 2．
∴实数 a 的取值范围是（ 1， 2] ． 故答案为：（ 1， 2] ．
11．（ 5 分）已知数列 { an} ，{ bn} 满足 a1=
则 b1?b2?…ｂ2017=
（ 2）在数列 { bn} 中， b1=3，bn+1﹣ bn=
，若不等式 λａn+bn≤n2 对 n
∈ N* 有解，求实数 λ的取值范围． 18．（ 15 分）如图所示的自动通风设施．该设施的下部
ABCD是等腰梯形，其中
AB 为 2 米，梯形的高为 1 米， CD 为 3 米，上部 是个半圆，固定点 E 为 CD 的中点． MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计） ， 且滑动过程中始终保持和 CD 平行．当 MN 位于 CD 下方和上方时，通风窗的形
2021-2022学年江苏省苏州市高三(上)期中数学试卷
2021-2022学年江苏省苏州市高三（上）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合M={x|-2≤x≤3}，N={x|log2x≤1}，则M∩N=（）A.[-2，3]B.[-2，2]C.（0，2]D.（0，3]2.（单选题，5分）若a＞0，b＞0，则“ab＜1”是“a+b＜1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（单选题，5分）若tanα= 34，则1+sin2α1−2sin2α=（）A.- 17B.-7C. 17D.74.（单选题，5分）函数f（x）=（3x-x3）sinx的部分图象大致为（）A.B.C.D.5.（单选题，5分）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE=2EF ，则 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为（ ） A.- 58 B. 14 C. 18 D. 1186.（单选题，5分）定义方程f （x ）=f'（x ）的实数根x ．叫做函数f （x ）的“躺平点”．若函数g （x ）=lnx ，h （x ）=x 3-1的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为（ ） A.α≥β B.a ＞β C.α≤β D.α＜β7.（单选题，5分）已知函数f （x ）=Asin （ωx - π6 ）（A ＞0，ω＞0），直线y=1与f （x ）的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为a 1，a 2，…，a k ，a k+1，…，（其中k∈N*），若a 2k+1−a 2ka 2k −a 2k−1=2 ，则A=（ ）A.2√33B.2C. √2D.2 √38.（单选题，5分）设数列{a m}（m∈N*），若存在公比为q的等比数列{b m+1}（m∈N*），使得b k＜a k＜b k+1，其中k=1，2，…，m，则称数列{b m+1}为数列{a m}的“等比分割数列”，则下列说法错误的是（）A.数列{b5}：2，4，8，16，32是数列{a4}：3，7，12，24的一个“等比分割数列”B.若数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，则有a1＜…＜a k-1＜a k＜…＜a n和b1＜…＜b k-1＜b k＜…＜b n＜b n+1成立，其中2≤k≤n，k∈N*C.数列{a3}：-3，-1，2存在“等比分割数列”{b4}D.数列{a10}的通项公式为a n=2n（n=1，2，…，10），若数列{a10}的“等比分割数列”{b11}的首项为1，则公比q∈（2，210 9）9.（多选题，5分）已知实数a满足3−ai1+i=2-i（i为虚数单位），设复数z=（a+1）+（a-1）i，则下列结论正确的是（）A.z为纯虚数B.z2为虚数C.z+ z =0D.z• z =410.（多选题，5分）已知不等式x2+2ax+b-1＞0的解集是{x|x≠d}，则b的值可能是（）A.-1B.3C.2D.011.（多选题，5分）关于函数f（x）=sin|x|+|cosx|有下述四个结论，则（）A.f（x）是偶函数B.f（x）的最小值为-1C.f（x）在[-2π，2π]上有4个零点D.f（x）在区间（π2，π）单调递增12.（多选题，5分）如图，正方形ABCD与正方形DEFC边长均为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则（）A.CP的最小值为√32B.当P在直线AE上运动时，三棱锥D-BPF的体积不变C.PD+PF的最小值为√2−√2D.三棱锥A-DCE的外接球表面积为3π13.（填空题，5分）已知曲线y=me x+xlnx在x=1处的切线方程为y=3x+n，则n=___ ．14.（填空题，5分）已知数列{a n}是等差数列，a1＞0，a3+3a7=0，则使S n＞0的最大整数n 的值为 ___ ．15.（填空题，5分）某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道．要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元（不考虑宽度厚度等因素），则水池面积最大值为 ___ 平方米．16.（填空题，5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1-x）=f（x），则f（x）的最小正周期为 ___ ；若对任意的x1，x2∈ [0，12]，当x1≠x2时，都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞π，则关于x的不等式f（x）≤sinπx在区间[−32，32]上的解集为 ___ ．17.（问答题，10分）已知向量a =（2sinx，2sin（x+ π4）），向量b⃗ =（cosx，√62（cosx-sinx）），记f（x）= a• b⃗（x∈R）．（1）求f（x）表达式；（2）解关于x的不等式f（x）≥1．18.（问答题，12分）在下列条件：① 数列{a n}的任意相邻两项均不相等，且数列{a n2-a n}为常数列，② S n= 12（a n+n+1）（n∈N*），③ a3=2，S n+1=S n-1+1（n≥2，n∈N*）中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，______．（1）求数列{a n}的通项公式a n和前n项和S n；（2）设b k= 1S2k S2k+1（k∈N*），数列{b n}的前n项和记为T n，证明：T n＜34（n∈N*）．19.（问答题，12分）在等腰直角三角形ABC中，已知∠ACB=90°，点D，E分别在边AB，BC上，CD=4．（1）若D为AB的中点，三角形CDE的面积为4，求证：E为CB的中点；（2）若BD=2AD，求△ABC的面积．20.（问答题，12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC=2，BC=CD=1，∠CAD=30°，∠ACB=60°，M是PB上一点，且PB=3MB，N是PC中点．（1）求证：PC⊥BD；（2）若二面角P-BC-A大小为45°，求棱锥C-AMN的体积．21.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax- 1x-alnx（a＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且不等式f(x1)+f(x2)2＞f(x1+x22)+mx1x2恒成立，求实数m的取值范围．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=lnx-x+2sinx，f'（x）为f（x）的导函数，求证：（1）f'（x）在（0，π）上存在唯一零点；（2）f（x）有且仅有两个不同的零点．2021-2022学年江苏省苏州市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合M={x|-2≤x≤3}，N={x|log2x≤1}，则M∩N=（）A.[-2，3]B.[-2，2]C.（0，2]D.（0，3]【正确答案】：C【解析】：先化简集合N，再根据交集的运算即可求出．【解答】：解：集合M={x|-2≤x≤3}=[-2，3]，N={x|log2x≤1}=（0，2]，则M∩N=（0，2]．故选：C．【点评】：本题考查描述法、区间的定义，以及对数不等式的解法和交集的运算，属于基础题．2.（单选题，5分）若a＞0，b＞0，则“ab＜1”是“a+b＜1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：判断充分条件、必要条件时均可以列举出满足条件的数，或使之不成立的数．【解答】：解：∵a＞0，b＞0，⇒∵ab＜1，，则a+b＞1，令a=4，b= 18∴充分性不满足．⇐当a+b＜1时，0＜a＜1且0＜b＜1，所以ab＜1，∴a＞0，b＞0，ab＜1a+b＜1的必要不充分条件，故选：B．【点评】：本题考查了充分、必要条件的判断，可以列举出满足条件的具体数进行判断，属于基础题．3.（单选题，5分）若tanα= 34，则1+sin2α1−2sin2α=（）A.- 17B.-7C. 17D.7【正确答案】：D【解析】：由已知利用二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式将1+sin2α1−2sin2α用tanα表示，再求值即可．【解答】：解：因为tanα= 34，所以1+sin2α1−2sin2α = sin2α+cos2α+2sinαcosαsin2α+cos2α−2sin2α= tan2α+1+2tanα1−tan2α = (34)2+1+2×341−(34)2=7．故选：D．【点评】：本题主要考查了二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.（单选题，5分）函数f（x）=（3x-x3）sinx的部分图象大致为（）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：根据函数奇偶性的概念可判断f （x ）为偶函数，排除选项B ，再对比剩下选项，需考虑0＜x ＜ √3 和 √3 ＜x ＜π时，f （x ）与0的大小关系即可作出选择．【解答】：解：∵f （-x ）=（-3x+x 3）sin （-x ）=（3x-x 3）sinx=f （x ）， ∴f （x ）为偶函数，排除选项C ；当0＜x ＜ √3 时，3x-x 3＞0，sinx ＞0，∴f （x ）＞0， 当 √3 ＜x ＜π时，3x-x 3＜0，sinx ＞0，∴f （x ）＜0， 故选：A ．【点评】：本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．5.（单选题，5分）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE=2EF ，则 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为（ ） A.- 58B. 14C. 18 D. 118【正确答案】：C【解析】：由题意画出图形，把 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 、 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都用 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】：解：如图，∵D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，且DE=2EF ，∴ AF ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = (AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )•BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +32DE ⃗⃗⃗⃗⃗ )•BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )•BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −34BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )•BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )•BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = −54BA ⃗⃗⃗⃗⃗ •BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC⃗⃗⃗⃗⃗ 2 = −54|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°+34×12 = −54×1×1×12+34=18 ． 故选：C ．【点评】：本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题． 6.（单选题，5分）定义方程f （x ）=f'（x ）的实数根x ．叫做函数f （x ）的“躺平点”．若函数g （x ）=lnx ，h （x ）=x 3-1的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为（ ） A.α≥β B.a ＞β C.α≤β D.α＜β【正确答案】：D【解析】：对g （x ）=lnx 求导，构造函数 t (x )=lnx −1x ，研究其单调性和零点，利用零点存在性定理求出α∈（1，e ）；同样的方法求出β∈（3，4），得到答案．【解答】：解：g（x）=lnx定义域为（0，+∞），g′(x)=1x，由题意得：lnα=1α，令t(x)=lnx−1x，x∈（0，+∞），则α为函数t(x)=lnx−1x 的零点，t′(x)=1x+1x2＞0，所以t(x)=lnx−1x在x∈（0，+∞）上单调递增，又t（1）=-1＜0，t(e)=1−1e＞0，由零点存在性定理，α∈（1，e）．另外h（x）=x3-1，h'（x）=3x2，由题意得：β3-1=3β2，令s（x）=x3-1-3x2，则β为函数s（x）=x3-1-3x2的零点，s'（x）=3x2-6x，令s'（x）＞0得：x＞2或x＜0，令s'（x）＜0得：0＜x＜2，所以s（x）=x3-1-3x2单调递增区间为（-∞，0），（2，+∞），单调递减区间为（0，2），s（x）在x=0处取得极大值，s（0）=-1＜0，在x=2处取得极小值，故s（x）在（-∞，2）上无零点，因为函数在（2，+∞）上单调递增，且s（3）=27-1-27＜0，s（4）=64-1-48＞0，由零点存在性定理：β∈（3，4）所以α＜β．故选：D．【点评】：本题主要考查新定义的应用，利用导数研究函数的单调性的方法，函数零点存在定理及其应用等知识，属于中等题．7.（单选题，5分）已知函数f（x）=Asin（ωx- π6）（A＞0，ω＞0），直线y=1与f（x）的图象在y轴右侧交点的横坐标依次为a1，a2，…，a k，a k+1，…，（其中k∈N*），若a2k+1−a2ka2k−a2k−1=2，则A=（）A. 2√33B.2C. √2D.2 √3【正确答案】：B【解析】：由正弦型函数的图象易知a2k+1-a2k-1=T，结合条件可得a2k-a2k-1= 13T，设出顶点坐标，结合图象找到对应比例可求得A．【解答】：解：设函数周期为T，由直线y=1与f（x）的图象在y轴右侧交点的横坐标依次为a1，a2，…，a k，a k+1，…，（其中k∈N*），易知a2k+1-a2k-1=T，因为a2k+1−a2ka2k−a2k−1 =2，所以a2k-a2k-1= 13T，令顶点为（m，A），所以m-a2k-1= T6，所以a2k-1到左边零点的距离为T12，将y=sinx与y=Asin（ωx−π6）相对比，确定1与A两个最大值的比例，当x∈[0，π2 ]时，π2×T12T6+T12= π6，所以1A = sinπ6sinπ2= 12，所以A=2，故选：B．【点评】：本题考查了y=Asin（ωx+φ）的图象与性质，属于中档题．8.（单选题，5分）设数列{a m}（m∈N*），若存在公比为q的等比数列{b m+1}（m∈N*），使得b k＜a k＜b k+1，其中k=1，2，…，m，则称数列{b m+1}为数列{a m}的“等比分割数列”，则下列说法错误的是（）A.数列{b5}：2，4，8，16，32是数列{a4}：3，7，12，24的一个“等比分割数列”B.若数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，则有a1＜…＜a k-1＜a k＜…＜a n和b1＜…＜b k-1＜b k＜…＜b n＜b n+1成立，其中2≤k≤n，k∈N*C.数列{a3}：-3，-1，2存在“等比分割数列”{b4}D.数列{a10}的通项公式为a n=2n（n=1，2，…，10），若数列{a10}的“等比分割数列”{b11}的首项为1，则公比q∈（2，210 9）【正确答案】：C【解析】：利用“等比分割数列”的定义，对四个选项逐一分析判断即可．【解答】：解：对于A，数列{b5}：2，4，8，16，32，数列{a4}：3，7，12，24，因为2＜3＜4＜7＜8＜12＜16＜24＜32，所以{b5}是{A4}的一个“等比分割数列”，故A正确；对于B，因为数列{a n}存在“等比分割数列”{b n+1}，所以b k＜a k＜b k+1，k=1，2，…，n，则b k+1＜a k+1＜b k+2，所以b k＜a k＜b k+1＜a k+1，故b k＜b k+1，a k＜a k+1，所以数列{a n}和数列{b n}均为单调递增数列，故B正确；对于C，假设存在{b4}是{a3}：-3，-1，2的“等比分割数列”，所以b1＜-3＜b2＜-1＜b3＜2＜b4，因为-3＜b2＜-1，b1＜-3，故q= b2b1∈（0，1），q= b3b2∈（0，1），因为-3＜b2＜-1，所以-1＜b3＜0，因为b4＜2，则q= b4b3＜0，产生矛盾，故假设不成立，故C错误；对于D，{a10}的通项公式为a n=2n（n=1，2，...，10），{b11}的首项为1，公比为q（q＞1），所以b n=q n-1，n=1，2， (11)因为b n＜a n＜b n+1，n=1，2， (10)则q n-1＜2n＜q n，n=1，2， (10)故2＜q＜2nn−1，n=2， (10)因为2nn−1 = 21+1n−1关于n单调递减，所以2＜q＜2109，即q∈（2，2109），故D正确．故选：C．【点评】：本题考查了数列的综合应用，考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于难题．9.（多选题，5分）已知实数a满足3−ai1+i=2-i（i为虚数单位），设复数z=（a+1）+（a-1）i，则下列结论正确的是（）A.z为纯虚数B.z2为虚数C.z+ z =0D.z• z =4【正确答案】：ACD【解析】：利用复数的四则运算求解．=2-i，∴3-ai=（2-i）（1+i）=3+i，【解答】：解：∵ 3−ai1+i∴a=-1，∴z=-2i，∴z为纯虚数，故选项A正确，∴z2=（-2i）2=-4，为实数，故选项B错误，∴z+ z =-2i+2i=0，故选项C正确，∴ z•z =（-2i）×2i=4，故选项D正确，故选：ACD．【点评】：本题主要考查了复数的四则运算，是基础题．10.（多选题，5分）已知不等式x2+2ax+b-1＞0的解集是{x|x≠d}，则b的值可能是（）A.-1B.3C.2D.0【正确答案】：BC【解析】：由不等式x2+2ax+b-1＞0的解集是{x|x≠d}，得到Δ=0，求出b的取值范围即可．【解答】：解：∵不等式x2+2ax+b-1＞0的解集是{x|x≠d}，∴Δ=4a2-4（b-1）=0，即b=a2+1≥1，故选：BC．【点评】：本题主要考查了一元二次不等式的应用，属于基础题．11.（多选题，5分）关于函数f（x）=sin|x|+|cosx|有下述四个结论，则（）A.f（x）是偶函数B.f（x）的最小值为-1C.f（x）在[-2π，2π]上有4个零点D.f（x）在区间（π，π）单调递增2【正确答案】：ABC【解析】：利用奇偶性定义可判断A；由f（x+2π）=sin|x+2π|+|co s（x+2π）|=sin|x|+|cosx|=f（x），确定2π为函数f（x）的一个周期，求出一个周期内函数的最小值，可判断B；由于函数为偶函数，故研究x∈[0，2π]时函数的零点情况，从而可得[-2π，2π]函数零点情况，可判断C ；确定（ π2 ，π）上函数的解析式，可判断D ．【解答】：解：对于A ，函数定义域为R ，f （-x ）=sin|-x|+|cos （-x ）|=sin|x|+|cosx|=f （x ）， 所以f （x ）为偶函数，故A 正确；对于B ，f （x+2π）=sin|x+2π|+|cos （x+2π）|=sin|x|+|cosx|=f （x ）， 所以2π是函数f （x ）=sin|x|+|cosx|的一个周期， 当 x ∈[0，π2] 时， f (x )=sinx +cosx =√2sin (x +π4) ， 此时f （x ）的最小值为1，当 x ∈(π2，32π] 时， f (x )=sinx −cosx =√2sin (x −π4) ， 此时f （x ）的最小值为-1，当 x ∈(3π2，2π] 时， f (x )=sinx +cosx =√2sin (x +π4) ， 此时f （x ）的最小值为-1，所以f （x ）的最小值为-1，故B 正确；对于C ，当x∈[0， π2 ]时，f （x ）= {sinx +cosx ，0≤x ≤π2sinx −cosx ，π2＜x ≤3π2sinx +cosx ，3π2＜x ≤2π，令f （x ）=0，可得x= 5π4 ， 7π4 ， 又f （x ）为偶函数，所以f （x ）[-2π，2π]上有4个零点，故C 正确； 对于D ，当 x ∈(π2，π) 时，sin|x|=sinx ，|cosx|=-cosx|， 则 f (x )=sinx −cosx =√2sin (x −π4) ， 当 x ∈(π2，π)，x −π4∈(π4，3π4) ， 所以函数f （x ）在 (π2，π) 上不具备单调性，故D 错误； 故选：ABC ．【点评】：本题考查了分段函数的奇偶性，单调性，周期性，最值等相关知识，属于中档题． 12.（多选题，5分）如图，正方形ABCD 与正方形DEFC 边长均为1，平面ABCD 与平面DEFC 互相垂直，P 是AE 上的一个动点，则（ ）A.CP的最小值为√32B.当P在直线AE上运动时，三棱锥D-BPF的体积不变C.PD+PF的最小值为√2−√2D.三棱锥A-DCE的外接球表面积为3π【正确答案】：BD【解析】：由题可知CP=√DP2+CD2，可判断A；根据条件可知△PBF的面积不变，D到平面PBF的距离也不变，可判断B；将△ADE翻折到与平面ABFE共面，即可判断C；由正方体的性质可判断D．【解答】：解：对于A，连接DP，CP，易得CP=√DP2+CD2=√DP2+1≥√12+1=√62，故A错误；对于B，P在直线AE上运动时，△PBF的面积不变，D到平面PBF的距离也不变，故三棱锥D-BPF的体积不变，故B正确；对于C，如图，将△ADE翻折到与平面ABFE共面，则当D、P、F三点共线时，PD+PF取得最小值√(√22)2+(√22+1)2=√2+√2，故C错误；对于D，将该几何体补成正方体，则外接球半径为√32，外接球表面积为3π，故D正确．故选：BD．【点评】：本题主要考查立体几何中的最值问题，锥体体积的计算，锥体的外接球问题等知识，属于中等题．13.（填空题，5分）已知曲线y=me x+xlnx在x=1处的切线方程为y=3x+n，则n=___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：求出原函数的导函数，再由函数在x=1处的导数值为3求得m值，然后利用函数在x=1时的函数值相等列式求解n．【解答】：解：由y=me x+xlnx，得y′=me x+lnx+1，则y′|x=1=me+1=3，即me=2，又me=3+n，∴3+n=2，即n=-1．故答案为：-1．【点评】：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．14.（填空题，5分）已知数列{a n}是等差数列，a1＞0，a3+3a7=0，则使S n＞0的最大整数n的值为 ___ ．【正确答案】：[1]10【解析】：由等差数列通项公式求出a1=-5d，d＜0，从而S n=na1= n(n−1)2d =-5nd+ n(n−1)2d= d2(n2−11n)，由此能求出使S n＞0的最大整数n的值．【解答】：解：数列{a n}是等差数列，a1＞0，a3+3a7=0，∴a1+2d+3（a1+6d）=0，解得a1=-5d，d＜0，∴S n=na1= n(n−1)2d =-5nd+ n(n−1)2d = d2(n2−11n)，∵d＜0，n＞0，∴S n＞0时，n＜11，∴使S n＞0的最大整数n的值为10．故答案为：10．【点评】：本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.（填空题，5分）某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道．要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元（不考虑宽度厚度等因素），则水池面积最大值为 ___ 平方米．【正确答案】：[1]400【解析】：求出扇形的面积，得到关于θ，r的不等式，利用基本不等式求出面积的最大值．【解答】：解：由题意，扇形的弧长AB为l=θr，扇形的面积为S= 12θr²，由题意400× 12θr²+1000（2r+θr）≤24×104；化简得θr2+5（2r+θr）≤1200（*）；又θr+2r≥2 √2θr2，所以θr2+10 √2θr2≤1200；设t= √2θr2，t＞0，则t 22+10t≤1200，解得-60≤t≤40，所以当θr=2r=40时，面积S= 12θr²的最大值为400．故答案为：400．【点评】：本题考查了利用数学知识解决实际问题，考查了扇形的面积，考查了基本不等式运用以及最值的计算问题，是中档题．16.（填空题，5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1-x）=f（x），则f（x）的最小正周期为 ___ ；若对任意的x1，x2∈ [0，12]，当x1≠x2时，都有f(x1)−f(x2) x1−x2＞π，则关于x的不等式f（x）≤sinπx在区间[−32，32]上的解集为 ___ ．【正确答案】：[1]2; [2] [−1，0]∪[1，32]【解析】：利用奇函数的定义结合已知的恒等式，可得f（2-x）=f（-x），利用周期的定义即可得到答案；将已知的不等式变形，利用函数单调性的定义得到函数y=f（x）-πx在[0，12]上为增函数，从而f（x）-πx≥0，令g（x）=sinπx，由y=sinπx-πx是单调递减函数，得到g（x）-πx≤0，从而f（x）≥g（x），作出f（x）与g（x）的图像，即可得到答案．【解答】：解：因为f（1-x）=f（x），且f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（-x）=-f（x），则f（1-x）=-f（-x），则f（2-x）=-f（1-x）=f（-x），所以f（x）的最小正周期为2；因为对任意的x1，x2∈ [0，12]，当x1≠x2时，都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞π，不妨设x1＞x2，则f（x1）-f（x2）＞πx1-πx2，故f（x1）-πx1＞f（x2）-πx2，故函数y=f（x）-πx在[0，12]上为增函数，所以当x∈ [0，12]时，f（x）-πx≥f（0）-π×0=0，令g（x）=sinπx，则y=sinπx-πx，因为y'=πcosπx-π≤0，所以y=sinπx-πx是单调递减函数，当x∈ [0，12]时，g（x）-πx=sinπx-πx≤g（0）-0=0，即当x∈ [0，12]时，f（x）-πx≥g（x）-πx，故f（x）≥g（x），由对称性以及周期性作出函数f（x）和g（x）的图象，如图所示，所以f（x）≤sinπx在区间[−32，32]上的解集为[−1，0]∪[1，32]．【点评】：本题考查了函数性质的综合应用，函数的周期性以及奇偶性定义的理解与应用，函数单调性定义的应用，利用导数研究函数单调性的运用，考查了逻辑推理能力与数形结合法的应用，属于中档题．17.（问答题，10分）已知向量a =（2sinx，2sin（x+ π4）），向量b⃗ =（cosx，√62（cosx-sinx）），记f（x）= a• b⃗（x∈R）．（1）求f（x）表达式；（2）解关于x的不等式f（x）≥1．【正确答案】：【解析】：（1）由向量的数量积运算以及三角恒等变换化简，得函数f（x）的表达式；（2）由正弦函数的性质，整体代换可得不等式的解集．【解答】：解：（1）因为a=(2sinx，2sin(x+π4))，b⃗=(cosx，√62(cosx−sinx))，f(x)=a⋅b⃗=(2sinx，2sin(x+π4))⋅(cosx，√62(cosx−sinx)) = 2sinxcosx+2×√6 2sin(x+π4)(cosx−sinx) = 2sinxcosx+√3(cos2x−sin2x) = sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3)，所以f(x)=2sin(2x+π3)；（2）由（1）得2 sin(2x+π3)≥1，所以sin(2x+π3)≥12，即π6+2kπ≤2x+π3≤5π6+2kπ，(k∈Z)，解得−π12+kπ≤x≤π4+kπ，(k∈Z)，所以不等式解集为[−π12+kπ，π4+kπ]，(k∈Z)．【点评】：本题考查了三角函数的恒等变换，解三角不等式，属于基础题．18.（问答题，12分）在下列条件：① 数列{a n}的任意相邻两项均不相等，且数列{a n2-a n}为常数列，② S n= 12（a n+n+1）（n∈N*），③ a3=2，S n+1=S n-1+1（n≥2，n∈N*）中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，______．（1）求数列{a n}的通项公式a n和前n项和S n；（2）设b k= 1S2k S2k+1（k∈N*），数列{b n}的前n项和记为T n，证明：T n＜34（n∈N*）．【正确答案】：【解析】：（1）选条件① 时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；选条件② 时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；选条件③ 时，利用数列的递推关系和数列的构造法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和；（2）利用（1）的结论，进一步利用数列的求和及裂项相消法和放缩法的应用求出结果．【解答】：解：（1）选条件① 时，数列{a n}的任意相邻两项均不相等，且数列{a n2-a n}为常数列，所以a n2−a n=a12−a1=2，解得a n=2或a n=-1；所以数列{a n}为2，-1，2，-1，2，-1，.......，所以a n+a n-1=1（n≥2），即a n=-a n-1+1（n≥2），整理得a n−12=−(a n−1−12)（n≥2），所以a1−12=32，故数列{ a n−12 }是以32为首项，-1为公比的等比数列；所以a n−12=32×(−1)n−1，整理得a n=12+32•(−1)n−1；故S n=12n+32×[(1−(−1)n]1−(−1)=3+2n4+34•(−1)n−1．选条件② 时，S n= 12（a n+n+1），所以S n−1=12(a n−1+n−1+1)，上面两式相减得：a n=12a n−12a n−1+12，整理得a n=-a n-1+1（n≥2），整理得a n−12=−(a n−1−12)（n≥2），所以a1−12=32，故数列{ a n−12 }是以32为首项，-1为公比的等比数列；所以a n−12=32×(−1)n−1，整理得a n=12+32•(−1)n−1；故S n=12n+32×[(1−(−1)n]1−(−1)=3+2n4+34•(−1)n−1．选条件③ 时，a3=2，S n+1=S n-1+1（n≥2，n∈N*）中，转换为S n+1-S n-1=1（常数），即a n+1+a n=1，所以所以a n+a n-1=1（n≥2），即a n=-a n-1+1（n≥2），整理得a n−12=−(a n−1−12)（n≥2），所以a1−12=32，故数列{ a n−12 }是以32为首项，-1为公比的等比数列；所以a n−12=32×(−1)n−1，整理得a n=12+32•(−1)n−1；故S n=12n+32×[(1−(−1)n]1−(−1)=3+2n4+34•(−1)n−1．（2）由（1）得：S2k=3+2×2k4+34•(−1)2k−1=k，S2k+1=3+2×(2k+1)4+34•(−1)2k+1−1=k+2，所以：b k=1S2k•S2k+1=1k(k+2)=12(1k−1k+2)，所以T n=12(1−13+12−14+13−15+...+1k−1k+2) = 12(1+12−1k+1−1k+2)=34−12(1k+1+1k+2)＜34．【点评】：本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法的求和，裂项相消法和放缩法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.（问答题，12分）在等腰直角三角形ABC中，已知∠ACB=90°，点D，E分别在边AB，BC上，CD=4．（1）若D为AB的中点，三角形CDE的面积为4，求证：E为CB的中点；（2）若BD=2AD，求△ABC的面积．【正确答案】：【解析】：（1）由等腰三角形的性质证明即可，（2）设出AD的长，再在三角形CFD中应用勾股定理求解出AD，再求AB及面积即可．【解答】：证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，D是AB的中点，∴CD是△ABC的中线，角平分线，高线，∴CD⊥AB，CD=AD，×4×4 =8，∴S△BCD= 12S△BCD，又S△CDE=4= 12∴E为CB中点．解：（2）作CF⊥AB于F，∴∠AFC=∠BCF=90°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴CF=BF=AF= 1AB，2在直角三角形CFD中，CD2=CF2+DF2=CF2+（AF-AD）2，设AD=x，∴BD=2AD=2x．∴AB=AD+BD=3x，∴CF=AF=BF= 12 AB= 32x，∴CD2=CF2+（AF-AD）2，∴42=（32x）2+（32x−x）2，解得x= 4√105，则AB= 12√105，CF= 6√105，∴S△ABC= 12AB•CF= 12×12√105×6√105= 725．【点评】：本题考查等腰三角形的性质的应用，及勾股定理，属于中档题．20.（问答题，12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC=2，BC=CD=1，∠CAD=30°，∠ACB=60°，M是PB上一点，且PB=3MB，N是PC中点．（1）求证：PC⊥BD；（2）若二面角P-BC-A大小为45°，求棱锥C-AMN的体积．【正确答案】：【解析】：（1）只要证明BD垂直于PC在平面ABCD内的投影AC即可；（2）用等体积法求解．【解答】：（1）证明：因为AC=2，BC=1，∠ACB=60°，AC=2，所以AB2=BC2+AC2-2•BC•AC•cos60°，整理得AC2=AB2+BC2，所以AB⊥BC，因为CD=1，∠CAD=30°，AC=2，所以CDsin30°=ACsin∠ADC，所以sin∠ADC=1，所以∠ADC=90°，所以AD⊥CD，所以∠ACD=∠ACB=60°，所以BD⊥AC，因为PA⊥底面ABCD，所以PC在平面ABCD内投影是AC，所以PC⊥BD．（2）解：由（1）知BD⊥平面PAC，设点M到平面PAC距离为h，因为BO=BC•sin60°= √32，又因为PB=3MB，所以h=BO •23 = √33，因为PB在平面ABCD内的投影是AB，BC⊥AB，所以BC⊥PB，所以∠PBA是二面角P-BC-A的平面角，所以∠PBA=45°，所以PA=AB=AC•sin60°= √3，V C−AMN=V M−ANC=13•S ANC•ℎ=13•12•S PAC•ℎ = 13•12•12•AC•AP•ℎ = 16．【点评】：本题考查了直线与平面的位置关系，考查了四面体体积问题，属于中档题．21.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax- 1x-alnx（a＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且不等式f(x1)+f(x2)2＞f(x1+x22)+mx1x2恒成立，求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）对函数f（x）求导，令f′（x）=0，然后分0＜a≤4及a＞4讨论导函数与零的关系，进而得到单调性情况；（2）依题意，x1+x2=1，x1x2=1a ，则原不等式可转化为2m＜lna+4a−2ln2−1，令ℎ(a)=lna+4a−2ln2−1，求出h（a）的最小值即可得到实数m的取值范围．【解答】：解：（1）f′(x)=a+1x2−ax=ax2−ax+1x2，令f′（x）=0，则ax2-ax+1=0，① 当Δ=a2-4a≤0，即0＜a≤4时，f′（x）≥0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，无递减区间；② 当Δ=a2-4a＞0，即a＞4时，方程ax2-ax+1=0的解为x=a±√a2−4a2a，且当0＜x＜a−√a 2−4a2a 和x＞a+√a2−4a2a时，f′（x）＞0，f（x）递增，当a−√a2−4a2a＜x＜a+√a2−4a2a时，f′（x）＜0，f（x）递减，综上，当0＜a≤4时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；当a＞4时，f（x）的单调递增区间为(0，a−√a 2−4a2a )，(a+√a2−4a2a)，单调递减区间为(a−√a2−4a2a ，a+√a2−4a2a)；（2）若f（x）有两个极值点，由（1）知，a＞4，且x1，x2是方程ax2-ax+1=0的两个不等的实数根，∴ x1+x2=1，x1x2=1a，∴不等式f(x1)+f(x2)2＞f(x1+x22)+mx1x2即为ax1−1x1−alnx1+ax2−1x2−alnx22＞12a−2−aln12+am，∴ a(x1+x2)−x1+x2x1x2−aln(x1x2)＞a−4+2aln2+2am，∴ a−a−aln1a ＞a−4+2aln2+2am，即2m＜lna+4a−2ln2−1，令ℎ(a)=lna+4a −2ln2−1，则ℎ′(a)=1a−4a2=a−4a2＞0，∴h（a）在（4，+∞）上单调递增，则h（a）＞h（4）=0，∴m≤0，即实数m的取值范围为（-∞，0]．【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分离参数思想及分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=lnx-x+2sinx，f'（x）为f（x）的导函数，求证：（1）f'（x）在（0，π）上存在唯一零点；（2）f（x）有且仅有两个不同的零点．【正确答案】：【解析】：（1）设g（x）=f'（x），利用导数研究函数g（x）的单调性，然后由零点的存在性定理证明即可；（2）分x∈（0，π），x∈[π，2π），x∈[2π，+∞）三种情况，分别利用导数研究函数的单调性以及函数的取值情况，结合零点的存在性定理进行分析证明即可．【解答】：证明：（1）设g（x）=f'（x）= 1x−1+2cosx，当x∈（0，π）时，g'（x）= −2sinx−1x2＜0，所以g（x）在（0，π）上单调递减，又因为g(π3)=3π−1+1＞0，g(π2)=2π−1＜0，所以g（x）在(π3，π2)上有唯一的零点α，即f'（x）在（0，π）上存在唯一的零点α；（2）① 由（1）可知，当x∈（0，α）时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，当x∈（α，π）时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，所以f（x）在x∈（0，π）上存在唯一的极大值点α，且α∈ (π3，π2)，所以f（α）＞f（π2）= lnπ2−π2+2＞2−π2＞0，又因为f(1e2)=−2−1e2+2sin1e2＜−2−1e2+2＜0，所以f（x）在（0，α）上恰有一个零点，又因为f（π）=lnπ-π＜2-π＜0，所以f（x）在（α，π）上也恰有一个零点；② 当x∈[π，2π）时，sinx≤0，f（x）≤lnx-x，设h（x）=lnx-x，则h'（x）= 1x−1＜0，故h（x）在[π，2π）上单调递减，所以h（x）≤h（π）＜0，故当x∈[π，2π）时，f（x）≤h（x）≤h（π）＜0恒成立，所以h（x）在[π，2π）上没有零点；③ 当x∈[2π，+∞）时，f（x）≤lnx-x+2，令m（x）=lnx-x+2，−1＜0，则m'（x）= 1x故m（x）在[2π，+∞）上单调递减，所以m（x）≤m（2π）＜0，则当x∈[2π，+∞）时，f（x）≤m（x）≤m（2π）＜0恒成立，所以f（x）在[2π，+∞）上没有零点．综上所述，f（x）有且仅有两个零点．【点评】：本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，利用导数研究函数单调的运用，函数零点存在性定理的运用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于中档题．。
江苏省苏州市2020届高三数学上学期期中试题(含解析)
江苏省苏州市2020届高三数学上学期期中试题（含解析）注意事项：1．本试卷共4页.满分160分，考试时间120分钟.2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效. 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置）1.已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，则A B =__________.【答案】{1,2} 【解析】 【分析】根据交集的运算可直接得出结果． 【详解】解：集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，{1,2}A B ∴=，故答案为：{1,2}．【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题． 2.已知复数z 满足2zi i=+（i 为虚数单位），则复数z 的实部为___________. 【答案】1- 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：由2zi i=+，得(2)12z i i i =+=-+， ∴复数z 的实部为−1， 故答案为：−1．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.已知向量(,2)a x =，(2,1)b =-，且a b ⊥，则实数x 的值是___________. 【答案】1【解析】 【分析】由题意两个向量垂直，利用向量垂直的坐标运算，列方程求出x 的值． 【详解】解：∵向量(,2)a x =，(2,1)b =-，且a b ⊥， ∴220x -=，解得1x =， 故答案为：1．【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标运算，属于基础题． 4.函数y =___________. 【答案】(1,2) 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零，分母不为零，被开方数不小于零，列不等式求解即可．【详解】解：由已知得1020x x ->⎧⎨->⎩，解得12x <<，函数的定义域为(1,2)， 故答案为：(1,2)．【点睛】本题考查函数定义域的求法，是基础题．5.等比数列{}n a 中，11a =，48a =，n S 是{}n a 的前n 项和，则5S =_________. 【答案】31 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，11a =，48a =，3418a q a ∴==，解得2q ，则前5项和55213121S -==-，故答案为：31．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了学生的计算能力，属于基础题． 6.已知tan 2α=，则sin cos 2sin ααα+的值为_________.【答案】25【解析】 【分析】分子分母同时除以cos α，可将目标式转化为用tan α来表示，再代入tan α的值即可求得结果．【详解】解：sin sin cos cos 2si ta n cos 2sin 12o n t s an c αααααααααα==+++， 代入tan 2α=得，原式22145==+， 故答案为：25．【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用，当目标式是分式且分子分母均为sin α，cos α的齐次式时，可分子分母同时除以cos α，达到变形的目的，本题是基础题．7.“2x >”是“1x >”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个） 【答案】充分不必要 【解析】试题分析：因为211,1x x x >>⇒>>时2x >不一定成立，所以“2x >”是“1x >”的充分不必要条件． 考点：充要关系8.已知函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移(0)2πϕϕ<<个单位长度得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则ϕ的值为_______.【答案】12π【解析】【分析】将函数sin 2y x =平移后的解析式和函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭比较，列方程求解． 【详解】解：把函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移(0)2πϕϕ<<个单位长度，得到函数sin 2sin(22)6y x x πϕ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图象， 26πϕ∴=， 则12πϕ=，故答案为：12π．【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．9.设函数,0()21,0x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，则不等式()2(2)f x f x +>的解集为_______.【答案】(1,2)- 【解析】 【分析】对2x +分20x +<和20x +≥讨论，分别求出解集，再取并集，即得所求． 【详解】解：当20x +<时，由()2(2)f x f x+>得：22(2)1x x e++>，20x +<，2(2)11x ∴++<，又201x e e ≥=，22(2)1x x e ∴++>无解；当20x +≥时，由()2(2)f x f x+>得：22x x ee +>，22x x ∴+≥，解得：12x -<<，∴不等式()2(2)f x f x +>的解集为(1,2)-，故答案为：(1,2)-．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数不等式的解法，是基础题．10.已知函数()ln mf x x x=-的极小值大于0，则实数m 的取值范围为_________. 【答案】1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】对()f x 求导，求出极小值点，然后判断()f x 的单调性求出极小值，再由()f x 的极小值大于0，建立关于m 的不等式，求出m 的范围． 【详解】解：由()ln m f x x x =-，得2()(0)x m f x x x'+=>， 令()0f x '=，则x m =-， 因为()ln mf x x x=-的极小值大于0， 必有极小值点0m ->，故0m <，所以当x m >-时，()0f x '>，当0x m <<-时，()0f x '<， 所以()f x 在(0,)m -上单调递减，在(,)m -+∞上单调递增， 所以()f x 极小值()ln()10f m m =-=-+>，所以1m e<-， 综上，m 的取值范围为1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，故答案为：1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了运算能力，属中档题． 11.已知各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =，则37a a 的最大值为_________. 【答案】9 【解析】 【分析】因为等差数列{}n a 各项都为正数，利用237372a a a a +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可求其最大值．【详解】解：依题意，等差数列{}n a 各项都为正数， 所以370,0a a >>，所以()223737592a a a a a +⎛⎫≤== ⎪⎝⎭． 当且仅当373a a ==时等号成立． 故答案为：9．【点睛】本题考查了等差中项的性质，考查了基本不等式，属于基础题．12.已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足2CE ED =，若6AE EB ⋅=-，则cos C _________.【答案】13【解析】 【分析】利用E 为三等分点结合向量加减法把所给数量积转化为,CD CB 之间的关系即可解决． 【详解】解：如图，2CE ED =，CE 2ED ∴=，由6AE EB ⋅=-得()()6DE DA CB CE -⋅-=-， 得6DE CB DE CE DA CB DA CE ⋅-⋅-⋅+⋅=-， 得296ED CB CB CE -⋅+-+⋅=-，得(1CE ED CB -⋅=），即1ED CB ⋅=，即113CD CB ⋅=133cos 13C ∴⨯⨯=， 1cos 3C ∴=，故答案为13． 【点睛】此题考查了向量数量积的定义，向量加减法法则，难度不大． 13.若方程3cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在(0,)π的解为1x ，2x ，则()12cos x x -=___________. 【答案】35【解析】 【分析】由已知可得1276x x π+=，得到1276x x π=-，则()1227cos cos 26x x x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，结合已知得答案．【详解】解：由方程3cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在(0,)π的解为1x ，2x ， 得123cos 2cos 2665x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(0,),x π∈112,666x πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭， 1222662x x πππ-+-∴=，1276x x π∴=-， ()1227cos cos 26x x x π⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，又23cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴()122273cos cos 2cos 2665x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：35． 【点睛】本题考查Acos()y x ωϕ=+型函数的图象与性质，特别是对称性的应用是关键，是中档题．14.已知函数23()3f x x x =-，1()ln x g x ea x -=--，若对于任意1(0,3)x ∈，总是存在两个不同的2x ，3(0,3)x ∈，使得()()()123f x g x g x ==，则实数a 的取值范围为_____________. 【答案】)21,ln34e ⎡--⎣【解析】 【分析】利用导数求出23()3f x x x =-在(0,3)x ∈上的值域A ，利用导数求出1()ln x g x ea x-=--在(0,3)x ∈上不同的x 对应相同y 的y 的范围B ，根据题意可得A B ⊆，列不等式即可求得实数a 的取值范围．【详解】解：23()3f x x x =-，(0,3)x ∈，2()633(2)f x x x x x '=-=-，可得：函数()f x 在(0,2]上单调递增，在(2,3)上单调递减． 而(0)(3)0,(2)4f f f ===．()(0,4]f x A ∴∈=．1()ln ,(0,3)x g x e a x x -=--∈，11()x g x e x'-=-在(0,3)x ∈上单调递增， 又(1)0g '=，∴函数()g x 在(0,1]上单调递减，在(1,3)上单调递增．0x +→时，2();(1)1,(3)ln 3g x g a g e a →+∞=-=--．令)21,ln3B a e a ⎡=---⎣．对于任意1(0,3)x ∈，总是存在两个不同的23,(0,3)x x ∈， 使得()()()123f x g x g x A B ==⇔⊆．10a ∴-≤，且24ln 3e a <--．解得214ln 3a e ≤<--． ∴实数a 的取值范围为)21,ln34e ⎡--⎣，故答案为：)21,ln34e ⎡--⎣．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、解答题（本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120C ︒=，7c =，2a b -=. （1）求a ，b 的值； （2）求sin()A C +的值.【答案】（1）5a =，3b =（2）14【解析】 【分析】（1）由已知利用余弦定理可得2249a b ab ++=，结合2a b -=，即可解得a ，b 的值． （2）由（1）及余弦定理可求cos B ，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用两角和的正弦函数公式，诱导公式可求sin()A C +的值． 【详解】解：（1）由余弦定理得22222222cos 2cos 49120c a b ab C a b ab a b ab ︒=+-=+-=++=，2a b -=，22(2)(2)49b b b b ∴++++=整理得：22150b b +-=， 因为0b >，解得：3b =，5a =， 综上：5a =，3b =.（2）由（1）知5a =，3b =，7c =，所以22213cos 214a cb B ac +-==，因为B 为ABC ∆的内角，所以sin B ==，因为sin()sin()sin 14A CB B π+=-==，所以sin()A C +的值为14． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.已知向量(cos )a x x =，(cos ,sin )b x x =. （1）若//a b ，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求x 的值； （2）若()f x a b =⋅，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值及相应x 的值. 【答案】（1）2x π=或3x π=.（2）最大值为32，此时6x π=. 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算，列方程求解；（2）根据数量积的坐标运算，利用三角公式，将()f x 变形为sin()A x ωϕ+的形式，利用三角函数的性质求最值．【详解】解：（1）因为，(cos )a x x =，(cos ,sin )b x x =.，//a b ，所以2cos sin x x x =，所以cos (sin )0x x x =，所以cos 0x =或sin 0x x =，即cos 0x =或tan x =因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2x π=或3x π=； （2）因为(cos )a x x =，(cos ,sin )b x x =，所以2()cos sin f x a b x x x =⋅=1cos 21sin 2sin 22262x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以3()0,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 的最大值为32，此时6x π=． 【点睛】本题是向量背景下的三角运算问题，考查三角函数的恒等变换，以及三角函数的图像和性质，难度不大，但综合性较强．17.已知等比数列{}n a 满足22a =，且2a ，31a +，4a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n b a n =-+，求数列{}n b 的前n 项和为n T .【答案】（1）12n n a . （2）20,11,22,323,4n n n n T n n n =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪-+≥⎩ 【解析】【分析】（1）由已知列式求得等比数列的公比，进一步求得首项，则数列{}n a 的通项公式可求；（2）设121221n n n c a n n -=-+=-+，作差可得当4n ≥时，0n c >，即4n ≥时，1221n n n b c n -==-+，再求出数列{}n b 的前3项，然后分类利用数列的分组求和求数列{}n b的前n 项和为n T ．【详解】解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q （不为0），2a ，31a +，4a 成等差数列，()32421a a a ∴+=+，22a =，所以22(21)22q q +=+，解得2q 或0q =（舍），211a a q∴==， ∴数列{}n a 的通项公式为12n n a ； （2）设121221n n n c a n n -=-+=-+，()11122(1)122122n n n n n c c n n --+∴-=-++--+=-，∴当3n ≥，1n n c c +>，又410c =>，所以4n ≥时，0n c >，即4n ≥时，1221n n n b c n -==-+，因为10c =，21c =-，31c =-，所以10b =，21b =，31b =，所以10T =，21T =，32T =，当4n ≥时，123445(011)n n n T b b b b b b b b =+++++=++++++()3412222(7921)n n -=++++-+++-()3322127212(3)23122n n n n n --+-=+-⋅-=-+-， 综上20,11,22,323,4n n n n T n n n =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪-+≥⎩． 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和，考查数列的函数特性，是中档题．18.如下图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD ，下部是一个矩形ABCD ，圆弧CD 所在圆的圆心为O ，经测量4AB =米，3BC =米，COD 120︒∠=，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH ，其中E ，F 在边AB 上，G ，H 在圆弧CD 上.设OGF θ∠=，矩形EFGH 的面积为S .（1）求矩形EFGH 的面积S 关于变量θ的函数关系式；（2）求cos θ为何值时，矩形EFGH 的面积S 最大？【答案】（1）8(4cos 1)sin 3S θθ=-，πθ0,3（2）1129cos θ+=【解析】【分析】（1）结合几何图形计算的直角三角形勾股定理，找出矩形EFGH 的面积S 关于变量θ的函数关系式；（2）对S 关于变量θ的函数关系式进行求导分析，算出0S '=时的cos θ的值，三角计算即可得出结果．【详解】解：（1）如图，作OP CD ⊥分别交AB ，GH 于M ，N ，由四边形ABCD ，EFGH 是矩形，O 为圆心，120COD ︒∠=，所以OM AB ⊥，ON GH ⊥，P ，M ，N 分别为CD ，AB ，GH 中点，60CON ︒∠=，在Rt COP ∆中，2CP =，60COP ︒∠=， 所以433OC =233OP = 所以33OM OP PM OP BC =-=-=， 在Rt ONG ∆中，GON OGF θ∠=∠=，433OG OC ==所以433GN θ=，433ON θ=， 所以8233GH GN θ==，43333GF MN ON OM θ==-=-， 所以438833(4cos 1)sin 333S GF GH θθθθ=⋅==-⎭，πθ0,3， 所以S 关于θ的函数关系式为：8(4cos 1)sin 3S θθ=-，πθ0,3 （2）由（1）得：()()222884cos 4sin cos 8cos cos 433S θθθθθ'=--=-- 因为πθ0,3， 所以1cos ,12θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，令0S '=，得1cos ,12θ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设00,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且01cos 16θ+=， 所以0S '>，得00θθ<<，即S 在()00,θ单调递增，0S '<，得03πθθ<<，即S 在0,3πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 所以当0θθ=时，S 取得最大值，所以当1cos 16θ+=时，矩形EFGH 的面积S 最大． 【点睛】本题主要考查根据图形进行计算，掌握运用直角三角形勾股定理知识，三角函数的计算，函数的一阶导数分析能力，本题属难题．19.已知函数()f x=（1）求()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）求函数()()F x f x x =-的极大值；（3）若()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1y x =-.（2）-1；（3）1a ≥【解析】【分析】（1）由函数()f x=()f x '，求出(1)f '和切点坐标，利用点斜式即可得出切线方程．（2）由()()(0)F x f x x x x=-=->，求得()F x '，分析()F x '在(0,)+∞上单调性和零点，即可得出()F x 单调性与极值．（3）令()ln ()ln ,(0,1]g x x af x x a x=-=-∈，求出()g x '，对a 分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出实数a 的取值范围．【详解】解：（1）因为()f x= 所以()f x '=(1)1f '=， 因为()y f x =经过(1,0)，所以()f x 的图像在1x =处的切线方程为1y x =-；（2）因为()F x x=-，0x >， 所以()1F x '=-， 又()F x '在(0,)+∞递减，(1)0F '=，所以在(0,1)x ∈，()0F x '>，即()F x 在(0,1)递增；在(1,)x ∈+∞，()0F x '<，即()F x 在(1,)+∞递减，所以在1x =处，()F x 取极大值，(1)1F =-；（3）设()ln ()ln g x x af x x a=-=-，(0,1]x ∈，所以1()2a g x x '=-+= ①0a ≤时，()0g x '>对(0,1]x ∈恒成立，所以()g x 在(0,1]递增，又(1)0g =，所以0(0,1)x ∃∈时，()00g x <，这与()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立矛盾，舍去；②1a ≥时，设2()x a a ϕ=-+，(0,1]x ∈，2440a ∆=-≤，所以()0x ϕ≤，(0,1]x ∈，所以()0g x '≤对(0,1]恒成立，所以()g x 在(0,1]递减，又(1)0g =，所以()(1)0g x g ≥=对(0,1]x ∈恒成立，所以1a ≥成立；③01a <<时，设2()x a a ϕ=-+，(0,1]x ∈，2440a ∆=->，解()0x ϕ=得两根为1x ，2x1=>，(0,1)==， 所以101x <<，21>x ，所以()1,1x x ∈，()0x ϕ>，()0g x '>，所以()g x 在()1,1x 递增，又(1)0g =，所以()1()01x g g <=，这与()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立矛盾，舍去，综上：1a ≥.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、方程的实数根与判别式的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.已知数列{}n a 满足*11(1),n n n a na a n N +-=-∈.（1）证明：数列{}n a 为等差数列；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211a a -=，且对任意的正整数n ，都有12311111433n S S S S <++++<，求整数1a 的值；（3）设数列{}n b 满足310n n b a =+，若2115a a -=，且存在正整数s ，t ，使得s t a b +是整数，求1a 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）120 【解析】【分析】（1）令11(1)n n n a na a +-=-中的n 为1n -，又得一式，将两式做差变形，利用等差中项进行证明；（2）利用放缩法和裂项相消法在数列求和中的应用进行证明．（3）利用假设法的应用和存在性问题的应用求出最小值．【详解】解：（1）因为11(1),n n n a na a +-=-①所以2n ≥时，11(2)(1),n n n a n a a --=-- ②①-②得11(1)2(1)(1)0n n n n a n a n a +----+-=，所以1120,n n n a a a +--+=即112,n n n a a a +-+=所以数列{}n a 为等差数列；（2）因为211a a -=，所以{}n a 的公差为1，因为对任意的正整数n ，都有12311111433n S S S S <++++<， 所以111433S <<，所以1334S <<，即1334a <<， 所以11a =或2，当11a =时，22a =，11S =，23S =，所以121114133S S +=+=，这与题意矛盾，所以11a ≠， 当12a =时，1n a n =+，(3)02n n n S +=>， 111123S =>，123111113n S S S S ++++>恒成立， 因为121133n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 1231111211111111111134253621123n S S S S n n n n n n ⎛⎫∴++++=-+-+-++-+-+- ⎪-+-++⎝⎭211111114132312393n n n ⎛⎫=++---<< ⎪+++⎝⎭， 综上，1a 的值为2.（3）因为2115a a -=，所以{}n a 的公差为15， 所以11(1)5n a a n =+-， 所以111510n b a n =++， 由题意，设存在正整数s ，t ，使得s t a b l +=，l Z ∈，则111155510s t a a l +-+++=，即1202(5)1a l s t =--+， 因为5l s t Z --∈， 所以2(5)l s t --是偶数，所以1201a ≥，所以1120a ≥， 当1120a =时，41920b =， 所以存在141a b Z +=∈，综上，1a 的最小值为120. 【点睛】本题考查的知识要点：等差数列的证明和通项公式的应用，裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用，假设法在数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，难度较大．【选做题】本题包括21.22.23三小题，请选定其中两题，在相应的答题区域内作答，若多做，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．则按作答的前两题评分．．．．．．．．．．.．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21.已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程.【答案】（1）2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）292y x x =- 【解析】【分析】（1）根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得,a b 的值，即可得到矩阵M ；（2）根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程． 【详解】解：（1）依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即31333a b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩， 所以2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(),P x y '''， 则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即23x x y y x ''=+⎧⎨=⎩， 因为2y x ''=，所以292x x y =+，所以曲线C 的方程为292y x x =-． 【点睛】本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程，本题属中档题．22.已知曲线C的极坐标方程为2cos ραα=+（α为参数），直线1的参数方程为1cos sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，02πβ<<），若曲线C 被直线1求β的值. 【答案】3πβ=. 【解析】【分析】首先利用转换关系式的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式和垂径定理求出结果．【详解】解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 的极坐标方程化为直角坐标系下的方程为22(1)(4x y -+-=，直线l 的参数方程1cos ,sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，02πβ<<）在直角坐标系下的方程为(1)(tan )y k x k β=-=，因为圆C 被直线1d ==， = k ∴=因为02πβ<<， 所以tan k β==所以3πβ=．【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.选修4-2：不等式选讲设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：32a b c b c c a a b ++≥+++. 【答案】见证明【解析】【分析】把不等式左边化为1113b c c a a b++-+++，再利用柯西不等式得到11192b c c a a b ++≥+++，从而不等式得到证明. 【详解】因为,,0a b c >，1a b c ++=，所以a b c b c c a a b+++++ 1111113b c c a a b b c c a a b b c c a a b------=++=++-++++++ 由[]2=2()=()+()+()a b c a b b c c a +++++，由柯西不等式，得[]111()()()b c c a a b b c c a a b ⎛⎫+++++⋅++ ⎪+++⎝⎭29≥= 所以11192b c a c a b ++≥+++，即93322a b c b c a c a b ++≥-=+++. 【点睛】多变量不等式的证明，可根据不等式的特点选择均值不等式或柯西不等式等来证明，如果不等式是和与积的形式，可考虑前者，如果是平方和与对应乘积和的关系，则考虑后者，必要时需对原有不等式变形化简，使之产生需要的结构形式.24.某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14.甲乙丙是否击中目标相互独立. （1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）38，23.（2）分布列见解析，数学期望2524. 【解析】【分析】（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件,,A B C ，则3()4P A =，且1()()121()()4P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由此能求出乙、丙二人各自击中目标的概率．（2）由题意X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E （X ）．【详解】解：（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A 、B 、C ，则3()4P A =，且有 1()(),121()(),4P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即311[1()],4121()().4P C P B P C ⎧⎛⎫--= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩解得3()8P B =，2()3P C =， 所以乙、丙二人各自击中目标的概率分别为38，23； （2）由题意，X 的可能取值为0，1，2，1(2)4P X ==， 515(0)()()8324P X P B P C ===⨯=， 13(1)1(0)(2)24P X P X P X ==-=-==. 所以随机变量X 的分布列为513125()0122424424E X =⨯+⨯+⨯= 所以X 的数学期望为2524. 【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ︒∠=，AB AC a ==，1AA b =，点E ，F 分别在1BB ，1CC ，且113BE BB =，1113C F CC =.设b aλ=.（1）当3λ=时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小；（2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值.【答案】（1）60°（2）32λ=【解析】【分析】（1）推导出1AA ⊥平面ABC ，11,AB AA AA ⊥⊥AC ，建立分别以AB ，AC ，1AA 为,,x y z 轴的空间直角坐标系，利用法向量能求出异面直线AE 与1A F 所成角．（2）推导出平面AEF 的法向量和平面1A EF 的一个法向量，由平面AEF ⊥平面1A EF ，能求出λ的值．【详解】解：因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1AA ⊥平面ABC ，因为,AB AC ⊂平面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，又因为90BAC ︒∠=，所以建立分别以AB ，AC ，1AA 为,,x y z 轴的空间直角坐标系A xyz -.（1）设1a =，则1AB AC ==，13AA =，各点的坐标为(0,0,0)A ，(1,0,1)E ，1(0,0,3)A ，(0,1,2)F .(1,0,1)AE =，1(0,1,1)A F =-. 因为1||||2AE A F ==，11AE A F ⋅=-， 所以1111cos ,2||||22AE A F AE A F AE A F ⋅〈〉===-⨯. 所以向量AE 和1A F 所成的角为120°，所以异面直线AE 与1A F 所成角为60°；（2）因为,0,3b E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,,3b F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ,0,3b AE a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，20,,3b AF a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设平面AEF 的法向量为1(,,)n x y z =，则10AE n ⋅=，且10AF n ⋅=.即03bz ax +=，且203bz ay +=. 令1z =，则3b x a =-，23b y a =-. 所以122,,1,,13333b b a a n λλ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是平面AEF 的一个法向量.同理，222,,1,,13333b b n a a λλ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是平面1A EF 的一个法向量. 因为平面AEF ⊥平面1A EF ，所以120n n ⋅=，22221099λλ∴--+=， 解得32λ=. 所以当平面AEF ⊥平面1A EF 时，32λ=. 【点睛】本题考查异面直线所成角的大小、实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
江苏省苏州市高三上学期数学期中考试试卷
江苏省苏州市高三上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共16分)1. （1分） (2017高一上·上海期中) 已知集合A={x|1≤x≤2}，集合B={x|x≤a}，若A∩B≠∅，则实数a 的取值范围是________．2. （1分） (2018高二下·葫芦岛期中) 有下列四个命题：①若z∈C，则z2≥0；②若a>b ，则a＋i>b＋i；③若x ，y∈R，则x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；④若实数a与复数ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应．其中正确命题的序号是________.3. （2分） (2019高一上·台州期中) 函数的定义域是________，值域是________．4. （1分） (2019高三上·安顺模拟) 某学校高一、高二、高三年级的学生人数成等差数列，现用分层抽样的方法从这三个年级中抽取90人，则应从高二年级抽取的学生人数为________.5. （1分）执行右侧的程序框图，若输入，则输出 ________.6. （1分） (2018高二下·陆川月考) 9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0．5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。
假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用表示补种费用，则的数学期望值等于________．7. （1分）若，那么cos（π﹣α）=________8. （1分） (2017高三上·湖南月考) 已知向量夹角为，，对任意，有，则的最小值是________．9. （1分）(2020·阿拉善盟模拟) 已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于________.10. （1分） (2016高二上·中江期中) 圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣4=0与圆C2：x2+y2+2x﹣4my+4m2﹣8=0相交，则m的取值范围是________．11. （2分） (2017高二下·海淀期中) 设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：x1234f（x）2341f′（x）3421g（x）3142g′（x）2413则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是________；函数f（g（x））在x=2处的导数值是________．12. （1分） (2018高三上·西安模拟) 设函数，则满足的的取值范围是________．13. （1分） (2018高三上·邹城期中) 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为________.14. （1分） (2018高二上·嘉兴月考) 二次函数 f ( x ) = a x 2 −4 x + c的值域为，且，则的最大值是________．二、解答题 (共12题；共100分)15. （10分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点．（1）证明：平面PBE⊥平面PAC（2）试在BC上找一点F，使AD∥平面PEF？并说明理由．16. （10分） (2018高一下·山西期中) 已知 .（1）若，且，求角的值；（2）若，求的值．17. （5分） (2019高二上·大庆月考) 已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．18. （15分）(2016·江苏模拟) 将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．19. （5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn ， an＞0，a1=，且﹣，，成等差数列．求数列{an}的通项公式20. （10分） (2017高三上·宿迁期中) 设命题p：对任意的，sin x≤ax+b≤tanx恒成立，其中a，b∈R．（1）若a=1，b=0，求证：命题p为真命题．（2）若命题p为真命题，求a，b的所有值．22. （5分）(2020·南京模拟) 已知圆经矩阵变换后得到圆，求实数的值.23. （5分）(2017·黑龙江模拟) 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l1：，射线与曲线C的交点为P，l2与直线l1的交点为Q，求线段PQ的长．24. （5分）已知函数f（x）=（x﹣a）2+（x﹣b）2+（x﹣c）2+（a，b，c为实数）①求f（x）的最小值m（用a，b，c表示）；②若a﹣b+2c=3，求（1）中m的最小值．25. （10分） (2017高三上·山东开学考) 自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：产假安排（单位：周）1415161718有生育意愿家庭数48162026（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．26. （10分） (2016高二上·嘉定期中) 已知数列{an}满足条件（n﹣1）an+1=（n+1）（an﹣1），且a2=6，（1）计算a1、a3、a4，请猜测数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明；（2）设bn=an+n（n∈N*），求的值．参考答案一、填空题 (共14题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共12题；共100分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、22-1、23-1、24-1、25-1、25-2、26-1、26-2、。
江苏高三高中数学期中考试带答案解析
江苏高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.设集合M={x|0≤x-≤1}，函数的定义域为N，则M∩N=。
2.已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z= ．3.函数y=x2—2x (x∈[0，3]的值域是4.已知。
且a∈（一，0），则sin()= 。
5.在△ABC中，AB=．A=45°，B=75°，则BC等于。
6.已知直线是曲线y=lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值是。
7.一个算法的流程图如图所示？若输入的n是100，则输出值S是。
8.已知集合A=(x，y）|x一2y一l=0},B={(x，y)|ax-by+1=0}，其中a，b∈{1,2，3，4，5，6}，则A∩B=的概率为 .9.．函数 (其中A>0,,)的图象如图所示，则，f(0)= 。
10.已知在区间[1，+∞）上是单调增函数，则实数的最大值是。
11.不等式对于一切非零实数均成立，则实数的取值范围是。
12.已知向量，设向量，则。
13.设，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是。
14.对于函数，下列结论正确的是。
①②有两个不等的实数解；③在R上有三个零点；④二、解答题1.已知（1）求函数的最小正周期；（2）若，求的值。
2.如图，为正三角形，平面ABC ，AD//BE ，且BE=AB+2AD ，P 是EC 的中点。
求证：（1）PD//平面ABC ；（2）EC 平面PBD 。
3.为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同。
若使用注射方式给药，则在注射后的3小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间t 满足关系式：，若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间t 满足关系式：现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰。
（1）若a=1，求3小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？ （2）若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4，求正数a 的取值范围。
2021届江苏省苏州市普通高中高三年级上学期期中考试数学试题及答案
绝密★启用前江苏省苏州市普通高中2021届高三年级上学期期中教学质量检测数学试题2020年11月一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题給出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1.已知集合}4|{},06|{22>=≤--=x x B x x x A ，则B A ={-2}[2,3] D.(2.3] C.[2,3] B.(2,3) A.2.角α的终边经过点)cos ,sin -(3αα,则αsin 的值为43D.31C.41. B 51A. 3.等差数列{}n a 中，78,24201918321=++=++a a a a a a ,则此数列的前20项和等于D.220C.200B.180A.1604.函数“a x x x f +++=12)(2的定义城为R ”是“1≥a ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要的条件5.函数~)csx (e^-e =ff(x)()()2cos x x e e x f x x --=的部分图象大致是6.已知函数()x x x f ln =, 若直线l 过点()e -,0, 且与曲线()x f y C =:相切,则直线l 的斜率为.e D.e - C.B.22- A.7.衣柜里的樟脑丸,随着时间的推移会因挥发而使体积缩小,刚放进去的新丸体积为a ,经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为: kt e a V -⋅= ".已知新丸经过50天后,体积变为a 94,若一个新丸体积变为a 278,则需经过的天数为 D.50C.75 B.100A.1258.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若2,12,01<=>n n S a a ,则等比数列{}n a 的公比的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤ ⎝⎛⎥⎦⎤ ⎝⎛32,0.43,0.32,0.43,0:D C B A二、 多项选题: 本题共4小题, 每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题.目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知函数()()()x f x g x x x f '=-=,sin 3cos ,则( )A.()x g 的图象关于点)0,6(π对称 B.()x g 的图象的一条对称轴是6π=xC.8(x)在⎪⎭⎫ ⎝⎛-6,65ππ上递减 D. ()x g 在)3,3(ππ-值域为)1,0( 10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若01>a ,公差0≠d ,则( )A.若95S >S ,则015>SB.若95S >S ,则7S ,是n S 中最大的项.C.若76S S >, 则87S S >D.若76S S >则65S S >。
(优辅资源)江苏省苏州市高三上学期期中调研数学试题Word版含解析
2017-2018学年江苏省苏州市高三上学期期中调研一、填空题：共14题1. ．【解析】由题意,2. _____．【答案】【解析】x故答案为：3. 那么p是q的____条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．【答案】充分不必要【解析】命题q：x2﹣5x+4≥0⇔x≤1，或x≥4，∵命题p：x＞4；故p是q的：充分不必要条件，故答案为：充分不必要4. ,则实数m的值是_____．【答案】1故答案为：15. 2,则实数a的值是_____．【解析】f′（x）=3ax2则f′（1）=3a+1=2，解得：故答案为：点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略（1）已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：（2（3）求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．6. ．【答案】4【解析】设等比数列{a n}的公比是q，由a3=2，a4a6=16得，a1q2=2，a1q3a1q5=16，则a1=1，q2=2，故答案为：4．7. _____．【答案】【解析】因为函数则,即8. 已知奇函数在上单调递减,且,则不等式_____．【解析】∵函数f（x）为奇函数且在（﹣∞，0）上单调递减，∴f（x）在（0，+∞）上也单调递减，又∵函数f（x）为奇函数且f（2）=0，∴f（﹣2）=﹣f（2）=0解得：x∈（﹣2，0）∪（1，2），故答案为：（﹣2，0）∪（1，2）．9. _____．【答案】【解析】因为10. 的值域为,则实数a的取值范围是_____．【解析】则由题意,,,11. ．【解析】∵归纳猜想：故答案为：12. 的内角D,_____．即又因为D,点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.13. 使则实数的最小值是___．【解析】因为因为对任意的,都存在唯一的实数,使,所以在,且,则点睛：对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即的值域；14._____．【答案】【解析】作出函数设直线y=ax与y=lnx相切于（x0，lnx0）∴曲线y=lnx在切点处的切线方程为y﹣lnx0x﹣x0），把原点（0，0）代入可得：﹣lnx0=﹣1，得x0=e．要使直线y=ax与y=f（x）交于三个不同的点，则n∈（1，e），∴m∈（,2，的取值范围是（1）．故答案为：（1．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、解答题：共12题15. x轴相切,且图象上相邻两个最高点之间的距离为．(1);(2)【答案】0．【解析】试题分析: 本题考查三角函数的图象和性质;(1)利用函数的相邻最值确定函数的周期,,轴相切确定;(2)利用三角函数的性质确定函数的最值.,,的图象与x轴相切,∴(2)由(1),∴当,即时,,即时0．16. 在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且(1),;(2)若角为锐角,求m的取值范围．【答案】【解析】试题分析: 本题考查正弦定理和余弦定理;(1)先利用正弦定理将角角关系转化为边边关系,再通过解方程组求解;(2)利用余弦定理进行求解.试题解析：由题意得(1),点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.17. n(1);(2),求实【答案】【解析】试题分析：（1）利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）根据（1）的结论，进一步利用分离参数法的应用求出λ的范围．试题解析：解：（11为首项，3∴当时，，当时，，.18. 如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形,2米,梯形的高为1米3米,,固定点E为CD的中点．MN是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计),且滑动过程中始终保持和CD平行．当MN位于CD下方和上方时,通风窗的形状均为矩形MNGH(阴影部分均不通风)．(1)设MN与AB,试将通风窗的通风面积S(平方米)表示成关于x(2)当MN与AB之间的距离为多少米时,?【答案】【解析】试题分析：（1）三角形的面积与x的关系是分段函数，所以分类讨论即可．（2）根据分段函数，分别求得每段上的最大值，最后取它们当中最大的，即为原函数的最大值，并明确取值的状态，从而得到实际问题的建设方案．试题解析：解：（1，，得，，（2）当时，时取“=”，答：当与之间的距离为米时，通风窗的通风面积.19.(1);(2),;(3)证明:,(数的底数．【答案】（3）见解析【解析】试题分析：（1）设出切点坐标，表示出切线方程，代入点的坐标，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，求出函数的单调区间，求出F（x）的最大值即可；（3）问题可化为m＞（x﹣2）e x+lnx﹣x m≥﹣3时m＞h（x h（x）max＜﹣3，根据函数的单调性证明即可．试题解析：解：（1（2时，，当（3，下证此结论成立.，∴函数在. 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2（320. ,记n(1);(2)证明:对任意正实数p;(3)是否存在正实数t,若存在,;若不存在,说明理由．【答案】(1)9(2)见解析（3【解析】试题分析：（1值计算即可．（2）a1=1，a2=2，且a n a n+3=a n+1a n+2对任意n∈N*（3）在（23，∴，，∴求出此时.试题解析：解：（1（2，∴，则（3）在（23且，，，即解得（舍去），从而对任意综上，存在21. 如图,AB为圆O的直径,C在圆O上F,点D为线段CF上任意一点,延长AD交圆O(1)求证(2)【答案】(1)见解析(2)4【解析】试题分析: 本题考查直线和圆的位置关系、相似三角形;(1)利用等边三角形的性质进行证明;(2)利用等边三角形、相似三角形进行求解.试题解析：(1),,(2)连接BE,,O22............................试题解析：矩阵A解得矩阵A23. 在平面直角坐标系中,),轴正半轴为极轴建立极坐标系,(1);(2)若圆C任意一条直径的两个端点到直线l求a的值．【答案】【解析】试题分析：（1）将t参数消去可得直线l的普通方程，根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2带入圆C可得直角坐标系方程；（2）利用点到直线的距离公式求解即可．试题解析：（1（2任意一条直径的两个端点到直线24. ,求证【答案】见解析【解析】试题分析：作差再利用均值不等式得试题解析：因为x＞0，y＞0，x－y＞0，考点：均值不等式25. 在小明的婚礼上,为了活跃气氛,主持人邀请10位客人做一个游戏．第一轮游戏中,主持人将标有数字1,2,…,10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中,让客人依次去摸,摸到数字6,7,…,10的客人留下,其余的淘汰,第二轮放入1,2,…,5五张卡片,让留下的客人依次去摸,摸到数字3,4,5的客人留下,第三轮放入1,2,3三张卡片,让留下的客人依次去摸,摸到数字2,3的客人留下,同样第四轮淘汰一位,最后留下的客人获得小明准备的礼物．已知客人甲参加了该游戏．(1)求甲拿到礼物的概率;(2)表示甲参加游戏的轮数,【答案】见解析【解析】试题分析：（1）甲拿到礼物的事件为A，在每一轮游戏中，甲留下的概率和他摸卡片的顺序无关，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲拿到礼物的概率．（2）随机变量ξ的所有可能取值是1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的概率分布列及数学期望．试题解析：（1在每一轮游戏中，甲留下的概率和他摸卡片的顺序无关，答：甲拿到礼物的概率为（2的所有可能取值是1,2,3,4.，随机变量的概率分布列为：点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.26. (1),求实数a的取值范围;(2),并证明你的结论．【答案】．(2)【解析】试题分析：（1）利用导函数分类讨论研究其单调性即可求解；（2）在（1）中取a=1，累加即可证明.试题解析：（1恒成立；综上所述，（2）在（1，上述各式相加可得。
江苏省苏州市2021届高三上学期期中考试 数学试题 Word版含答案
江苏省苏州市2021届高三年级第一学期期中考试数 学(满分150分，考试时间120分钟)2020．11第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ＝{x|x 2－x －6≤0}，B ＝{x|x 2>4}，则A ∩B ＝( ) A. (2，3) B. [2，3] C. (2，3] D. [2，3]∪{－2}2. 若角α的终边经过点(3－sin α，cos α)，则sin α的值为( )A. 15B. 14C. 13D. 343. 在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列的前20项和等于( )A. 160B. 180C. 200D. 2204. 函数“f(x)＝x 2＋2x ＋1＋a 的定义域为R ”是“a ≥1”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 函数f(x)＝（e x －e －x ）cos xx 2的部分图象大致是( )6. 已知函数f(x)＝xln x ，若直线l 过点(0，－e)，且与曲线C ：y ＝f(x)相切，则直线l 的斜率为( )A. －2B. 2C. －eD. e 7. 衣柜里的樟脑丸，随着时间的推移会因挥发而使体积缩小，刚放进去的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为V ＝a·e －kt.已知新丸经过50天后，体积变为49a.若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( )A. 125B. 100C. 75D. 508. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a n >0，a 1＝12，S n <2，则等比数列{a n }的公比的取值范围是( )A. (0，34]B. (0，23]C. (0，34)D. (0，23)二、 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9. 已知函数f(x)＝cos x －3sin x ，g(x)＝f′(x)，则( )A. g(x)的图象关于点(π6，0)对称B. g(x)的图象的一条对称轴是x ＝π6C. g(x)在(－5π6，π6)上递减D. g(x)在(－π3，π3)内的值域为(0，1)10. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1>0，公差d ≠0，则( )A. 若S 5>S 9，则S 15>0B. 若S 5＝S 9，则S 7是S n 中最大的项C. 若S 6>S 7，则S 7>S 8D. 若S 6>S 7，则S 5>S 611. 已知函数f(x)＝|lg(x －1)|，b>a>1且f(a)＝f(b)，则( ) A. 1＜a ＜2 B. a ＋b ＝ab C. ab 的最小值为1＋ 2 D. 1a －1＋1b －1>2 12. 若函数f(x)＝e x －ln x ＋kx－1在(0，＋∞)上有唯一零点x 0，则( ) A. x 0ex 0＝1 B. 12<x 0<1C. k ＝1D. k>1第Ⅱ卷(非选择题 共90分)三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知函数f(x)＝ax 2＋(a ＋2)x ＋a 2为偶函数，则不等式(x －2)f(x)<0的解集为________________________________________________________________________．14. 若对任意正数x ，满足xy ＋yx ＝2－4y 2，则正实数y 的最大值为________．15. 在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10 000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底需缴房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为__________元．(取1.211＝7.5，1.212＝9)16. 已知定义在R 上的函数f(x)关于y 轴对称，其导函数为f′(x)，当x ≥0时，xf ′(x)>1－f(x)．若对任意x ∈R ，不等式e x f(e x )－e x ＋ax －axf(ax)>0恒成立，则正整数a 的最大值为________．四、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. (本小题满分10分)已知函数f(x)＝sin (ωx －φ)(ω＞0，|φ|≤π2)的最小正周期为π. (1) 求ω的值及g(φ)＝f(π6)的值域；(2) 若φ＝π3，sin α－2cos α＝0，求f(α)的值．18.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－13x 3＋a2x 2－2x(a ∈R )．(1) 当a ＝3时，求函数f(x)的单调递减区间；(2) 若对于任意x ∈[1，＋∞)都有f′(x)<2(a －1)成立，求实数a 的取值范围．在① csin B ＋C2＝asin C ，② 2cos A(bcos C ＋ccos B)＝a ，③(sin B －sin C)2＝sin 2A －sinBsin C 中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若c ＝(3－1)b ，________． (1) 求C 的值；(2) 若△ABC 的面积为3－3，求b 的值．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．20.(本小题满分12分)已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，且满足a 1＝b 1＝2，a 3＋a 5＋a 7＝30，b 2b 3＝a 16.(1) 求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2) 设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n .①是否存在正整数k ，使得T k ＋1＝T k ＋b k ＋32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；②解关于n 的不等式：S n ≥b n .若函数f(x)在x ∈[a ，b]时，函数值y 的取值区间恰为[k b ，ka ](k ＞0)，则称[a ，b]为f(x)的一个“k 倍倒域区间”．定义在[－4，4]上的奇函数g(x)，当x ∈[0，4]时，g(x)＝－x 2＋4x.(1) 求g(x)的解析式；(2) 求g(x)在[2，4]内的“8倍倒域区间”；(3) 若g(x)在定义域内存在“k(k ≥8)倍倒域区间”，求k 的取值范围．已知函数f(x)＝e x＋ax·sin x.(1) 求曲线C：y＝f(x)在x＝0处的切线方程；(2) 当a＝－2时，设函数g(x)＝f（x）x，若x0是g(x)在(－π，0)上的一个极值点，求证：x0是函数g(x)在(－π，0)上的唯一极大值点，且0＜g(x0)＜2.2021届高三年级第一学期期中考试(苏州)数学参考答案及评分标准1. C2. C3. B4. B5. A6. B7. C8. A9. BC 10. BC 11. ABD 12. ABC 13. (－2，2)∪(2，＋∞) 14. 1215. 40 000 16. 217. 解：(1) 因为函数f(x)的最小正周期为π，所以2πω＝π，ω＝2，(1分)此时g(φ)＝f(π6)＝sin(π3－φ)＝－sin (φ－π3)．因为|φ|≤π2，所以φ－π3∈[－5π6，π6]，所以－1≤sin(φ－π3)≤12，(3分)所以g(φ)＝f(π6)的值域为[－12，1]．(4分)(2) 因为φ＝π3，所以f(α)＝sin (2α－π3)．由sin α－2cos α＝0，得tan α＝2，(6分) f (α)＝sin (2α－π3)＝12sin 2α－32cos 2α(8分)＝12×2 tan α1＋tan 2α－32×1－tan 2α1＋tan 2α＝4－3×（1－4）2×（1＋4）＝4＋3310.(10分) 18. 解：(1) 当a ＝3时，f(x)＝－13x 3＋32x 2－2x ，得f′(x)＝－x 2＋3x －2.(1分)因为f′(x)＜0，得x ＜1或x ＞2，(3分)所以函数f(x)单调递减区间为(－∞，1)和(2，＋∞)．(4分) (2) 由f(x)＝－13x 3＋a2x 2－2x ，得f′(x)＝－x 2＋ax －2.(5分)因为对于任意x ∈[1，＋∞)都有f′(x)＜2(a －1)成立，所以问题转化为：对于任意x ∈[1，＋∞)都有f′(x)max ＜2(a －1)．(6分) 因为f′(x)＝－(x －a 2)2＋a 24－2，其图象开口向下，对称轴为x ＝a2.①当a2＜1时，即a ＜2时，f ′(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f′(x)max ＝f′(1)＝a －3.由a －3＜2(a －1)，得a ＞－1，此时－1＜a ＜2.(8分)②当a 2≥1，即a ≥2时，f ′(x)在[1，a 2]上单调递增，在(a2，＋∞)上单调递减，所以f′(x)max ＝f′(a 2)＝a 24－2.(10分)由a 24－2＜2(a －1)，得0＜a ＜8，此时2≤a ＜8.(11分) 综合①②，可得实数a 的取值范围是(－1，8)．(12分) 19. 解：若选①.(1) 由题设条件及正弦定理，得sin CsinB ＋C2＝sin Asin C ．(1分)因为△ABC 中，sin C ≠0，所以sinB ＋C2＝sin A ．(2分) 由A ＋B ＋C ＝π，可得sin B ＋C 2＝sin π－A 2＝cos A2，(3分)所以cos A 2＝2sin A 2cos A2.(4分)因为△ABC 中，cos A 2≠0，所以sin A 2＝12.因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(5分)因为c ＝(3－1)b ，所以由正弦定理得sin C ＝(3－1)sin B.因为A ＝π3，所以sin B ＝sin(π－A －C)＝sin(A ＋C)＝sin(C ＋π3)，(6分)所以sin C ＝(3－1)sin(C ＋π3)，整理得sin C ＝cos C ．(7分)因为△ABC 中，sin C ≠0，所以cos C ≠0，所以tan C ＝sin Ccos C ＝1.因为0＜C ＜π，所以C ＝π4.(9分)(2) 因为△ABC 的面积为3－3，c ＝(3－1)b ，A ＝π3，所以由S ＝12bcsin A 得34(3－1)b 2＝3－3，(11分)解得b ＝2.(12分)若选②.(1) 由题设及正弦定理得2cos A(sin Bcos C ＋sin Ccos B)＝sin A ，(1分) 即2cos Asin(B ＋C)＝sin A ．(2分)因为B ＋C ＝π－A ，所以2cos Asin A ＝sin A ．(3分) 因为△ABC 中，sin A ≠0，所以cos A ＝12.(4分)因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(5分)下同选①.若选③.由题设得(sin B －sin C)2＝sin 2A －sin Bsin C ，(1分) 所以sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin Bsin C ．(2分) 由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.(4分)因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(5分)下同选①.20. 解：(1) 因为等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝30，所以a 5＝10. 设等差数列{a n }的公差是d ，所以d ＝a 5－a 15－1＝2，(1分)所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n.(2分)设等比数列{b n }的公比是q ，因为b 2b 3＝a 16，所以b 21q 3＝4q 3＝32，所以q ＝2，所以b n ＝b 1qn －1＝2n .(3分) (2) ① 若存在正整数k ，使得T k ＋1＝T k ＋b k ＋32成立，则b k ＋1＝b k ＋32，(4分)所以2k ＋1＝2k ＋32，即2k ＝32，解得k ＝5.(5分) 存在正整数k ＝5满足条件．(6分) ② S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n(n ＋1)， 所以n(n ＋1)≥2n ，即2n －n(n ＋1)≤0.(8分) 令f(n)＝2n －n(n ＋1)，因为f(n ＋1)－f(n)＝2n ＋1－(n ＋1)(n ＋2)－2n ＋n(n ＋1)＝2[2n －1－(n ＋1)]， 所以当n ≥4时，{f(n)}单调递增．(9分)又f(2)－f(1)＜0，f(3)－f(2)＜0，f(4)－f(3)＜0， 所以f(1)＞f(2)＞f(3)＝f(4)＜…＜f(n)＜…(10分) 因为f(1)＝0，f(4)＝－4，f(5)＝2，所以n ＝1，2，3，4时，f(n)≤0，n ≥5时，f(n)＞0，(11分) 所以不等式S n ≥b n 的解集为{1，2，3，4}．(12分) 21. 解：(1) 因为g(x)为定义在[－4，4]上的奇函数，所以当x ∈[－4，0)时，g(－x)＝－(－x)2＋4(－x)＝－x 2－4x. 因为g(－x)＝－g(x)，所以g(－x)＝－g(x)＝－x 2－4x ，(2分) 所以g(x)＝x 2＋4x ，所以g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ∈[－4，0），－x 2＋4x ，x ∈[0，4].(3分)(2) 因为g(x)在[2，4]内有“8倍倒域区间”，设2≤a ＜b ≤4，因为g(x)在[2，4]上单调递减，所以⎩⎨⎧－a 2＋4a ＝8a ，－b 2＋4b ＝8b ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）（a 2－2a －4）＝0，（b －2）（b 2－2b －4）＝0，(5分)解得a ＝2，b ＝1＋5，所以g(x)在[2，4]内的“8倍倒域区间”为[2，1＋5]．(6分) (3) 因为g(x)在x ∈[a ，b]时，函数值的取值区间恰为[k b ，ka ](k ≥8)，所以0＜a ＜b ≤4或－4≤a ＜b ＜0.当0＜a ＜b ≤4时，因为g(x)的最大值为4，所以ka ≤4.(7分)因为k ≥8，所以a ≥2.因为g(x)在[2，4]上单调递减，所以⎩⎨⎧－a 2＋4a ＝ka，－b 2＋4b ＝k b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 3－4a 2＋k ＝0，b 3－4b 2＋k ＝0，(8分)所以方程x 3－4x 2＋k ＝0在[2，4]上有两个不同的实数解． 令h(x)＝x 3－4x 2＋k ，x ∈[2，4]，则h′(x)＝3x 2－8x.令h′(x)＝3x 2－8x ＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝83，当x ∈(2，83)时，h ′(x)＜0，所以h(x)在(2，83)上单调递减．当x ∈(83，4)时，h ′(x)＞0，所以h(x)在(83，4)上单调递增．(10分)因为h(2)＝k －8≥0，h(4)＝k ≥8，所以要使得x 3－4x 2＋k ＝0在[2，4]上有两个不同的实数解，只需h(83)＜0，解得k ＜25627，所以8≤k ＜25627.(11分)同理可得：当－4≤a ＜b ＜0时，8≤k ＜25627.综上所述，k 的取值范围是[8，25627)．(12分)22. (1) 解：因为f(x)＝e x ＋ax·sin x ，所以f′(x)＝e x ＋a(sin x ＋xcos x)，(1分) 所以f′(0)＝1.因为f(0)＝1，所以曲线f(x)在x ＝0处的切线方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1.(3分) (2) 证明：当a ＝－2时，g(x)＝e xx －2sin x ，其中x ∈(－π，0)，则g′(x)＝e x （x －1）x 2－2cos x ＝e x （x －1）－2x 2cos xx 2.(4分)令h(x)＝e x (x －1)－2x 2cos x ，x ∈(－π，0)，则h′(x)＝x(e x ＋2xsin x －4cos x)． 当x ∈(－π，－π2)时，因为e x ＞0，2xsin x ＞0，cos x ＜0，所以h′(x)＜0，所以h(x)在(－π，－π2)上单调递减．(5分)因为h(－π)＝2π2－e－π(1＋π)＞0，h(－π2)＝e －π2(－π2－1)＜0，所以由零点存在性定理知，存在唯一的x 0∈(－π，－π2)，使得h(x 0)＝0，(7分)所以当x ∈(－π，x 0)时，h(x)＞0，即g′(x)＞0；当x ∈(x 0，－π2)时，h(x)＜0，即g ′(x)＜0.当x ∈(－π2，0)时，g ′(x)＝e x （x －1）x 2－2cos x ＜0.因为g′(x)在(－π，0)上连续，所以x ∈(x 0，0)时，g ′(x)＜0，所以g(x)在(－π，x 0)上单调递增，在(x 0，0)上单调递减，所以x 0是函数g(x)在(－π，0)上的唯一极大值点．(9分)因为g(x)在(x 0，－π2)上单调递减，所以g(x 0)＞g(－π2)．因为g(－π2)＝－1π2e π2＋2＞0，所以g(x 0)＞0.(10分)11 当x 0∈(－π，－π2)时，因为－1＜ex 0x 0＜0，0＜－2sin x 0＜2， 所以g(x 0)＝ex 0x 0－2sin x 0＜2，(11分) 所以0＜g(x 0)＜2.(12分)。
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江苏省苏州市高三上学期期中数学试卷（文科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、填空题 (共14题；共15分)
1. （1分） (2015高三上·盐城期中) 若集合A=（﹣∞，m]，B={x|﹣2＜x≤2}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．
2. （1分） (2016高一下·岳阳期中) 已知三条直线l1：4x+y=1，l2：x﹣y=0，l3：2x﹣my=3，若l1关于l2对称的直线与l3垂直，则实数m的值是________．
3. （1分）函数的最小正周期为________．
4. （1分） (2016高二上·上海期中) 若行列式中第一行第二列元素的代数余子式的值为4，则a=________．
5. （1分）(2017·虹口模拟) 若正项等比数列{an}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为________．
6. （2分） (2019高二上·张家口月考) 将两颗正方体型骰子投掷一次，则向上的点数之和是的概率为________，向上的点数之和不小于的概率为________.
7. （1分）(2018·南宁月考) 若实数x，y满足条件则的最大值为________.
8. （1分） (2016高一下·仁化期中) 如图是某几何体的三视图，其中正视图是正方形，侧视图是矩形，俯视图是半径为2的半圆，则该几何体的表面积等于________．
9. （1分）(2017·新课标Ⅰ卷理) 已知双曲线C：﹣ =1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，
b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为________ ．
10. （1分）(2017·菏泽模拟) 已知（﹣）5的常数项为15，则函数f（x）=log （x+1）﹣
在区间[﹣，2]上的值域为________．
11. （1分）(2017·闵行模拟) 函数的反函数是________
12. （1分） (2016高一上·台州期中) 已知集合A={x|x2+x﹣12=0}，B={x|mx+1=0}，若A∩B={3}，则实数m 的值为________．
13. （1分）已知函数f（x）的图象关于直线x=1对称，如图所示，则满足等式f（a﹣1）=f（5）的实数a 的值为________．
14. （1分）在△ABC中，a+b+10c=2（sinA+sinB+10sinC），A=60°，则a=________．
二、选择题 (共4题；共8分)
15. （2分）已知向量,则x=4是的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
16. （2分）(2017·广西模拟) 由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．以下推理为归纳推理的是（）
A . 三角函数都是周期函数，sinx是三角函数，所以sinx是周期函数
B . 一切奇数都不能被2整除，525是奇数，所以525不能被2整除
C . 由1=12 ， 1+3=22 ， 1+3+5=32 ，得1+3+…+（2n﹣1）=n2（n∈N*）
D . 两直线平行，同位角相等．若∠A与∠B是两条平行直线的同位角，则∠A=∠B
17. （2分） (2018高一上·雅安月考) 设函数是定义在上的增函数，则实数取值范围（）
A .
B .
C .
D .
18. （2分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该椭圆的离心率为（）
A .
B .
C .
D .
三、解答题 (共5题；共30分)
19. （5分）如图，AB为圆柱的轴，CD为底面直径，E为底面圆周上一点，AB=1，CD=2，CE=DE．
求（1）三棱锥A﹣CDE的全面积；
（2）点D到平面ACE的距离．
20. （5分）已知tanα=2．求tan（α+）的值.
21. （5分）已知动圆C过点（1，0），且于直线x=﹣1相切．
（1）求圆心C的轨迹M的方程；
（2）A，B是M上的动点，O是坐标原点，且，求证：直线AB过定点，并求出该点坐标．
22. （10分） (2016高二上·潮阳期中) 已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，且不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为（﹣∞，1）∪（b，+∞）
（1）求数列{an}的通项公式
（2）设数列{bn}满足= ，求数列{bn}的前n项和Sn．
23. （5分） (2020·南昌模拟) 已知函数 .
（Ⅰ）解关于x的不等式；
（Ⅱ）若a，b，，函数的最小值为m，若，求证： .
参考答案一、填空题 (共14题；共15分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
二、选择题 (共4题；共8分)
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
三、解答题 (共5题；共30分)
19-1、
20-1、
21-1、22-1、22-2、
23-1、。