2020-2021温州备战中考数学培优(含解析)之相似

2020-2021温州备战中考数学培优(含解析)之相似 一、相似 1．在等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,D是AB边上的中点，Rt△EFG的直角顶点E在AB边上移动.

（1）如图1，若点D与点E重合且EG⊥AC、DF⊥BC，分别交AC、BC于点M、N， 易证EM＝EN；如图2，若点D与点E重合，将△EFG绕点D旋转，则线段EM与EN的长度还相等吗?若相等请给出证明，不相等请说明理由； （2）将图1中的Rt△EGF绕点D顺时针旋转角度α(0∘＜α＜45∘). 如图2，在旋转过程中,当∠MDC＝15∘时，连接MN，若AC＝BC＝2，请求出线段MN的长；

（3）图3, 旋转后,若Rt△EGF的顶点E在线段AB上移动(不与点D、B重合)，当AB＝3AE时，线段EM与EN的数量关系是________；当AB＝m·AE时，线段EM与EN的数量关系是________.

【答案】（1）解：EM＝EN;原因如下： ∵∠ACB＝90° AC＝BC D是AB边上的中点 ∴DC＝DB ∠ACD＝∠B＝45° ∠CDB＝90° ∴∠CDF＋∠FDB＝90° ∵∠GDF＝90°∴∠GDC＋∠CDF＝90°∴∠CDM＝∠BDN 在△CDM和△BDN中 ∠MCD＝∠B，DC＝DB，∠CDM＝∠BDN， ∴△CDM≌△BDN ∴DM＝DN 即EM＝EN

（2）解：作DP⊥AC于P,则

∠CDP＝45° CP＝DP＝AP＝1 ∵∠CDG＝15° ∴∠MDP＝30° ∵cos∠MDP＝ ∴DM＝ ， DM＝DN， ∵△MND为等腰直角三角形

∴MN＝ （3）NE＝2ME；EN＝(m－1)ME 【解析】【解答】解：(3)NE＝2ME,EN＝(m－1)ME 证明：如图3，过点E作EP⊥AB交AC于点P

则△AEP为等腰直角三角形，∠PEB＝90° ∴AE＝PE ∵AB＝3AE ∴BE＝2AE ∴BE＝2PE

又∵∠MEP＋∠PEN＝90° ∠PEN＋∠NEB＝90° ∴∠MEP＝∠NEB 又∵∠MPE＝∠B＝45° ∴△PME∽△BNE

∴ ，即EN＝2EM 由此规律可知，当AB＝m·AE时，EN＝(m－1)·ME 【分析】（1）EM＝EN;原因如下：根据等腰直角三角形的性质得出DC＝DB ∠ACD＝∠B＝45° ∠CDB＝90°根据同角的余角相等得出∠CDM＝∠BDN，然后由ASA判断出△CDM≌△BDN 根据全等三角形的对应边相等得出DM＝DN 即EM＝EN； （2）根据等腰直角三角形的性质得出∠CDP＝45° CP＝DP＝AP＝1，根据角的和差得出

∠MDP＝30°，根据余弦函数的定义及特殊角的三角函数值，由cos∠MDP＝得出DM的长，又 DM＝DN，故△MND为等腰直角三角形 ，根据等腰直角三角形的性质即可得出MN的长； (3)NE＝2ME,EN＝(m－1)ME，如图3，过点E作EP⊥AB交AC于点P，则△AEP为等腰直角三角形，∠PEB＝90°，根据同角的余角相等得出∠MEP＝∠NEB然后判断出△PME∽△BNE，根据相似三角形对应边成比例即可得出u结论，由此规律可知，当AB＝m·AE时，EN＝(m－1)·ME 2．已知，如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点B、C，与y轴交于点A，且AO＝CO，BC＝4．

（1）求抛物线解析式； （2）如图2，点P是抛物线第一象限上一点，连接PB交y轴于点Q，设点P的横坐标为t，线段OQ长为d，求d与t之间的函数关系式；

（3）在(2)的条件下，过点Q作直线l⊥y轴，在l上取一点M(点M在第二象限)，连接AM，使AM＝PQ，连接CP并延长CP交y轴于点K，过点P作PN⊥l于点N，连接KN、CN、CM．若∠MCN＋∠NKQ＝45°时，求t值． 【答案】（1）解：如图1，

当x=0时，y=3， ∴A（0，3）， ∴OA=OC=3， ∵BC=4， ∴OB=1， ∴B（﹣1，0），C（3，0），

把B（﹣1，0），C（3，0）代入抛物线y=ax2+bx+3中得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；

（2）解：如图2，

设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3）， 过P作PG⊥x轴于G， ∵OQ∥PG， ∴△BOQ∽△BGP，

∴ ， ∴ ， ∴d= d=﹣t+3（0＜t＜3）

（3）解：如图3，连接AN，延长PN交x轴于G， 由（2）知：OQ=3﹣t，OA=3， ∴AQ=OA﹣OQ=3﹣（3﹣t）=t， ∴QN=OG=AQ=t， ∴△AQN是等腰直角三角形， ∴∠QAN=45°，AN= t， ∵PG∥OK，

∴ ， ∴ ， OK=3t+3， AK=3t， ∵∠QAN=∠NKQ+∠ANK，。 ∴∠NKQ+∠ANK=45°， ∵∠MCN+∠NKQ=45°， ∴∠ANK=∠MCN， ∵NG=CG=3﹣t， ∴△NGC是等腰直角三角形， ∴NC= （3﹣t），∠GNC=45°， ∴∠CNH=∠NCM+∠NMC=45°， ∴∠NKQ=∠NMC， ∴△AKN∽△NMC，

∴ ， ∵AQ=QN=t，AM=PQ， ∴Rt△AQM≌△Rt△QNP（HL）， ∴MQ=PN=﹣t2+2t+3﹣（3﹣t）=﹣t2+3t， ∴ ， t2﹣7t+9=0，

t1= ＞3，t2= ， ∵0＜t＜3， ∴t1＞3，不符合题意，舍去，

∴t= ． 【解析】【分析】（1）根据函数图像与坐标轴交点的坐标特点，得出A点的坐标，再根据点到坐标轴的距离得出OA=OC=3，又BC=4，从而得出OB的距离，进而得出B,C两点的坐标，再将B,C两点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+3中得出一个关于a,b的二元一次方程组，求解得出a,b的值，从而得出抛物线的解析式； （2）过P作PG⊥x轴于G，根据P点的横坐标得出P点坐标设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，得出△BOQ∽△BGP，根据相似三角形对应边成比例得出OQ∶PG=OB∶BG,从而得出d关于t的函数关系式； （3）连接AN，延长PN交x轴于G，由（2）知：OQ=3﹣t，OA=3，从而得AQ=OA﹣OQ=3﹣（3﹣t）=t，进而得QN=OG=AQ=t，从而判断出△AQN是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出∠QAN=45°，AN= t，根据平行线分线段成比例得出PG∶OK=CG∶OC,故OK=3t+3，AK=3t，根据等式的性质得出∠ANK=∠MCN，判断出△NGC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出NC= （3﹣t），∠GNC=45°，再判断出△AKN∽△NMC，根据相似三角形对应边成比例得出 A K ∶M N = A N ∶N C ，再利用HL判断出Rt△AQM≌△Rt△QNP，故MQ=PN=﹣t2+2t+3﹣（3﹣t）=﹣t2+3t，从而得出关于t的方程，求解并检验即可得出答案

3．如图1，等腰△ABC中，AC＝BC，点O在AB边上，以O为圆心的圆与AC相切于点C，交AB边于点D，EF为⊙O的直径，EF⊥BC于点G．

（1）求证：D是弧EC的中点； （2）如图2，延长CB交⊙O于点H，连接HD交OE于点K，连接CF，求证：CF＝OK＋DO； （3）如图3，在(2)的条件下，延长DB交⊙O于点Q，连接QH，若DO＝ ，KG＝2，求QH的长

【答案】（1）证明：如图1中，连接OC． ∵AC是⊙O的切线， ∴OC⊥AC， ∴∠ACO=90°， ∴∠A+∠AOC=90°， ∵CA=CB， ∴∠A=∠B， ∵EF⊥BC， ∴∠OGB=90°， ∴∠B+∠BOG=90°， ∴∠BOG=∠AOC， ∵∠BOG=∠DOE， ∴∠DOC=∠DOE， ∴点D是 的中点 （2）证明：如图2中，连接OC． ∵EF⊥HC， ∴CG=GH， ∴EF垂直平分HC， ∴FC=FH，

∵∠CFK= ∠COE， ∵∠COD=∠DOE， ∴∠CFK=∠COD，

∵∠CHK= ∠COD， ∴∠CHK= ∠CFK， ∴点K在以F为圆心FC为半径的圆上， ∴FC=FK=FH， ∵DO=OF， ∴DO+OK=OF+OK=FK=CF， 即CF=OK+DO；

（3）解：如图3中，连接OC、作HM⊥AQ于M．设OK=x，则CF= +x，OG=2﹣x，GF= ﹣（2﹣x）， ∵CG2=CF2﹣FG2=CO2﹣OG2 ，

∴（ +x）2﹣[ -（2﹣x）]2=（ ）2﹣（2﹣x）2 ，

解得x= ， ∴CF=5，FG=4，CG=3，OG= ， ∵∠CFE=∠BOG， ∴CF∥OB，

∴ = = ， 可得OB= ，BG= ，BH= ， 由△BHM∽△BOG，可得 = = ， ∴BM= ，HM= ，MQ=OQ﹣OB﹣BM= 在Rt△HMQ中，

QH= = = 【解析】【分析】（1）如图1中，连接OC．根据切线的性质得出OC⊥AC，根据垂直的定义得出∠ACO=90°，根据直角三角形两锐角互余得出∠A+∠AOC=90°，根据等边对等角得出∠A=∠B，根据垂直的定义得出∠OGB=90°，根据直角三角形两锐角互余得出∠B+∠BOG=90°，根据等角的余角相等得出∠BOG=∠AOC，根据对顶角相等及等量代换得出∠DOC=∠DOE，根据相等的圆心角所对的弧相等得出结论； （2）如图2中，连接OC．根据垂径定理得出CG=GH，进而得出EF垂直平分HC，根据线段垂直平分线上上的点到线段两个端点的距离相等得出FC=FH，根据圆周角定理及等量代

换得出∠CFK=∠COD，∠CHK= ∠CFK，从而得出点K在以F为圆心FC为半径的圆上，根据同圆的半径相等得出FC=FK=FH，DO=OF，根据线段的和差及等量代换得出CF=OK+DO；

（3）如图3中，连接OC、作HM⊥AQ于M．设OK=x，则CF= +x，OG=2﹣x，GF= ﹣（2﹣x），根据勾股定理由CG2=CF2﹣FG2=CO2﹣OG2 ， 列出关于x的方程，求解得出x

的值，从而得出CF=5，FG=4，CG=3，OG= 根据平行线的判定定理得出，内错角相等，两直线平行得出CF∥OB，根据平行线分线段成比例定理得出C F ∶O B = C G∶ G B = F G ∶G O ，进而可得OB,BG,BH的长，由△BHM∽△BOG，可得 B H ∶O B = B M ∶B G = H M ∶O G，再得出BM,HM,MQ的长，在Rt△HMQ中，根据勾股定理得出QH的长。