数学建模期末试卷A及答案

1．（10分）叙述数学建模的基本步骤，并简要说明每一步的基本要求。

(1)模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息。

(2)模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做出必要的、合理的假设，使问题的主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。

(3)模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题化为数学问题，注意要尽量采用简单的数学工具。

4)模型求解：利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要作出进一步的简化或假设。

(5)模型分析：对所得到的解答进行分析，特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定。

(6)模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合实际，如果不够理想，应该修改、补充假设，或重新建模，不断完善。

(7)模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，在应用中不断改进和完善。

2．（10分）试建立不允许缺货的生产销售存贮模型。

设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k r <。

在每个生产周期T 内，开始一段时间（00T t ≤≤）
边生产边销售，后一段时间（T t T ≤≤0）只销售不
生产，存贮量)(t q 的变化如图所示。

设每次生产开工
费为1c ，每件产品单位时间的存贮费为2c ，以总费用最小为准则确定最优周期T ，并讨论k r <<和k r ≈的情况。

单位时间总费用k T r k r c T c T c 2)()(21-+=，使)(T c 达到最小的最优周期
)(2T 21*r k r c k c -＝。

当k r <<时，
r c c 21*2T ＝，相当于不考虑生产的情况；当k r ≈时，∞→*T ，因为产量
被售量抵消，无法形成贮存量。

3．（10分）设)(t x 表示时刻t 的人口，试解释阻滞增长（Logistic ）模型
⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(x x x x x r dt dx m
中涉及的所有变量、参数，并用尽可能简洁的语言表述清楚该模型的建模思想。

t ——时刻；
)(t x ——t 时刻的人口数量；
r ——人口的固有增长率；
m x ——自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量；
0x ——初始时刻的人口数量
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用。

且阻滞作用随人口数量增加而变大，从而人口增长率)(x r 是人口数量)(t x 的的减函数。

假设)(x r 为)(t x 的线性函数：
)0,0()(>>-=s r sx r x r ，
其中，r 称为人口的固有增长率，表示人口很少时（理论上是0=x ）的增长率。

当m x x =时人口不再增长，即增长率0)(=m x r ，代入有
m x r s =，从而有
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m x x r x r 1)(， 根据Malthus 人口模型，有
⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(x x x x x r dt dx m
4．（25分）已知8个城市v 0，v 1，…,v 7之间有一个公路网（如图所示）， 每条公路为图中的边，边上的权数表示通过该公路所需的时间．
（1）设你处在城市v 0，那么从v 0到其他各城市，应选择什么路径使所需的时间最短？
(1)0v 到其它各点的最短路如下图：
各点的父点如下：
v0 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
v0 v0 v0 v2 v3 v0 v5 v3
各点的最短路径及最短路长分别为：
v0: 0
v0→v1: 1
v0→v2: 2
v0→v2→v3: 3
v0→v2→v3→v4: 6
v0→v5: 4
v0→v5→v6: 6
v0→v2→→v3→v7: 9
(2)最小生成树如下图：
7．（10分）有12个苹果，其中有一个与其它的11个不同，或者比它们轻，或者比它们重，试用没有砝码的天平称量三次，找出这个苹果，并说明它的轻重情况。

先把苹果编号1～12,把1～4和5～8放在天平两边:
（1）两边持平：就在9～12中,再把9和10放在天平两边,再平就在11或12中,若9和10不平，则在9或10中；
（2）两边不平:假设1234重5678轻,则进行第二次称量125和349；若平了就在678中且是轻的,再称6与7即可；若125重349轻则在12中且是重的, 再称1与2即可；若125轻349重,则坏的是5。

某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。

生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。

生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。

该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。

问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？（建立模型不计算）(10’)
解：（1）确定决策变量：x1=生产桌子的数量 x2=生产椅子的数量
（2）确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大max z=50x1+30x2
（3）确定约束条件：
4x1+3x2<120（木工工时限制）2x1+x2>50（油漆工工时限制）
（4）建立的数学模型为：
max S=50x1+30x2
s.t.4x1+3x2<120
2x1+x2>50
x1,x2>0。