2023年大学_高等应用数学试题及答案
2023年数学应用基础模拟试题及答案
2023年数学应用基础模拟试题及答案一、选择题1. 下列选项中，哪个是平行四边形的特征？A. 满足对角线互相垂直B. 两对对边相等且平行C. 所有角均为直角D. 有四条边的长度相等2. 若一个直角三角形的两条直角边的长度分别为3和4，请问斜边的长度为多少？A. 5B. 6C. 7D. 83. 若一个圆的半径为5，求其面积。
A. 5πB. 10πC. 15πD. 25π4. 若一个长方体的长、宽、高分别为3、4、5，求其体积。
A. 6B. 12C. 20D. 305. 若已知直线的斜率为2，且经过点(4, 6)，求该直线的方程。
A. y = x + 2B. y = 2x + 4C. y = 4x + 2D. y = 6x + 4二、填空题1. 若一个正方形的边长为8，求其周长为\_\_\_。
答案：322. 若一个梯形的上底长为5，下底长为10，高为6，求其面积为\_\_\_。
答案：453. 若已知两个正整数的和为10，且它们的差为2，那么这两个正整数分别是\_\_\_和\_\_\_。
答案：6 和 44. 若已知一个圆的直径为12，求其半径为\_\_\_。
答案：65. 若已知一个平行四边形的对角线长分别为6和8，求其面积为\_\_\_。
答案：24三、解答题1. 若一个长方形的长为5，宽为3，请问其面积为多少？答案：152. 若已知一个均匀变速直线运动的加速度为2，初速度为4，求它的位移。
答案：位移 = 初速度 ×时间 + 0.5 ×加速度 ×时间²，代入数据得位移 = 83. 若已知一个等差数列的首项为3，公差为2，求该数列的第10项。
答案：第10项 = 首项 + (10 - 1) ×公差，代入数据得第10项 = 204. 若已知一个等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的前5项之和。
答案：前5项之和 = 首项 × (公比的5次方 - 1) / (公比 - 1)，代入数据得前5项之和 = 2425. 若已知一个三角形的底边长为6，高为4，求其面积。
2023年普通高等学校统一招生考试(全国乙卷)数学预测试题丨答案
参考答案：1．B【分析】根据补集的运算求出N R ð，再由并集的运算可得答案.【详解】因为{1}N xx =<-∣，所以{}1N x x =≥-R ∣ð，因为{43}M x x =-<<∣，所以(){4}M N x x ⋃=>-R ∣ð．故选：B ．2．C【分析】根据复数的运算化简后，利用复数差的模求解.【详解】21i (1i)i 1i 2++==- ，|i (i)|2∴--=，即复数对应点之间的距离为2，故选：C 3．C【分析】运用构造法可得{}1n n a a +-为等比数列，再运用累加法可得{}n a 通项公式，进而求得{}n b 通项公式，再运用裂项相消求和可得结果.【详解】由2123n n n a a a ++=+，得()2112n n n n a a a a +++-=-．又212a a -=，所以数列{}1n n a a +-构成以2为首项，2为公比的等比数列，所以12nn n a a +-=.又212a a -=，2322a a -=，…，112n n n a a ---=，叠加可得()()()12121321222(2)n n n a a a a a a n ---+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+≥，即1211222n n a a --=++⋅⋅⋅+，所以10121)12212222221(2n n n n a n --=+++⋅⋅=⋅+-⨯-≥-=.又因为11a =满足上式，所以()21n n a n *=-∈N .所以1121n n a ++=-.因为112212n n n ++<-<，所以()11222log 2log 21log 2nn n ++<-<，即()12log 211n n n +<-<+，所以[]()1212log log 21n n n b a n ++⎡⎤==-=⎣⎦.故11111(1)1n n b b n n n n +==-⋅++.所以20231111112023112232023202420242024S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C.4．C【分析】建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为：22(0)y px p =>，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，2A d y =，代入抛物线方程可得x ，根据4tan 23θ=，解得p 与d 的关系，即可得出2f p d d =．【详解】如图所示，建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为：22(0)y px p =>，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，2A d y =，代入抛物线方程可得：222d px ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得28d x p =，由于22tan2tan 451tan 2θθθ==--，得5tan 22θ=或25tan 25θ=-（舍）又252tan2228d p d pθ==-，化为：2245850p dp d --=，解得52p d =或510p d =-（舍）∴524f p d d ==.故选：C .5．C【分析】根据给定的程序框图，分析i 的最大取值，再利用高斯函数的意义计算作答.【详解】初始值00S i ==，，输入64k =，当64i <时，总是执行“是”，并且当63i =时，进入循环体，64i =，计算并进入判断框，不等式不成立，退出循环，输出2222log log 2][log 3][log 64][1][S =++++ ，而2[log 1]0=，22[log 2][log 3]1==，即1有2个；22[log 4][log 7]2=== ，即2有4个；[][]22log 8log 153=== ，即3有8个；[][]22log 16log 314=== ，即4有16个；[][]22log 32log 635=== ，即5有32个；[]2log 646=，6有1个，所以[][][][]2222log 1log 2log 3log 6401224384165326264S =++++=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+= .故选：C 6．C【分析】取棱1,AD AA 中点,E F ，利用线面平行的判定推理判断A ；利用线面垂直的性质推理判断B ；求出线面角、线线角判断CD 作答.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，取棱1,AD AA 中点,E F ，连接,,ME EF FN ，因为M ，N 分别为AC ，1A B 的中点，则11//////,22ME CD AB NF ME CD AB NF ===，因此四边形MEFN 为平行四边形，则//,EF MN EF ⊂平面11ADD A ，MN ⊄平面11ADD A ，所以//MN 平面11ADD A ，A 正确；因为AB ⊥平面11ADD A ，则AB EF ⊥，所以MN AB ⊥，B 正确；显然AF ⊥平面ABCD ，则FEA ∠是EF 与平面ABCD 所成的角，又,90AE AF EAF =∠= ，有45FEA ∠= ，由于//EF MN ，所以直线MN 与平面ABCD 所成的角为45 ，C 错误；因为11//AA DD ，//EF MN ，则AFE ∠是异面直线MN 与1DD 所成的角，显然45AFE ∠= ，D 正确.故选：C 7．C【分析】分析所给数阵的特点，计算出数阵第一列对应等差数列的通项公式，可得A 正确；分析计算221,n n a a +的表达式，比较可得B 正确；通过计算可知2022a 位于数阵第45行第86列，故C 错误；2023a 位于数阵第45行第87个数，代入等比数列通项公式可得D 正确.【详解】将等差数列1a ，2a ，5a ，10a ，…，记为{}k b ，则公差102104322a a d --===，所以1231a a =-=，()13132kb k k =+-=-，故A 正确；因为()211111331n n b a n n ++==++-⨯=+，22211221132323122n n n n n n a b n n a ---+-⎛⎫=⨯=<-<+= ⎪⎝⎭，故B 正确；第1行的项数，第2行的项数，L ，第k 行的项数，构成以1为首项，2为公差的等差数列，即第k 行有21k -项，前k 行有()21212k k k +-=项，因为221936442022452025=<<=，而2022193686=+，则2022a 位于第45行从左边数第86项，即2022a 位于第86列，故C 错误；()8718620234586111333452222a b -⎛⎫⎛⎫=⨯=⨯-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：C.8．B【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出(),()P M P MN ，再利用条件概率公式求解作答.【详解】依题意，13215()343412P M =⨯+⨯=，131()344P MN =⨯=，所以()3(|)()5P MN P N M P N ==.故选：B 9．B【分析】根据120MF MF ⋅= ．可得b c =，可得1e ，设1PF m =，2PF n =．可得()()224m n m n mn +--=，根据余弦定理化简，利用离心率计算公式即可得出．【详解】如图所示，设双曲线的标准方程为：()221122111,0x y a b a b -=>，半焦距为c ．∵椭圆1C 的上顶点为M ，且120MF MF ⋅=．∴122F MF π∠=，∴b c =，∴222a c =．∴122c e a ==．不妨设点P 在第一象限，设1PF m =，2PF n =．∴2m n a +=，12m n a -=．∴()()222214m n m n mn a a +--==-．在12PF F △中，由余弦定理可得：()()22222221π42cos3433c m n mn m n mn a a a =+-=+-=--∴222143c a a =+．两边同除以2c ，得2212134e e =+，解得：23622e ==．对选项A，212ee =A 错误，对选项B，12e e ⋅==B 正确，对选项C ，D ，221213222e e +=+=，故C ，D 错误.故选：B 10．B【分析】方法一：利用分离常数及指数函数的性质，结合不等式的性质及高斯函数的定义即可求解；方法二：利用指数函数的性质及分式不等式的解法，结合高斯函数的定义即可求解；【详解】方法一：函数()1e 1e 211e x x xf x =--=++，因为e 0x >，所以1e 1x +>，所以1011ex<<+.所以2201e x -<-<+.所以21111e x-<-<+，即()11f x -<<.当()10f x -<<时，()1f x ⎡⎤=-⎣⎦；当()01f x ≤<时，()0f x ⎡⎤=⎣⎦.故()f x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-.故选：B.方法二：由()e 1e 1x x f x -=+，得()()1e 1xf x f x +=-.因为e 0x >，所以()()101f x f x +>-，解得()11f x -<<.当()10f x -<<时，()1f x ⎡⎤=-⎣⎦；当()01f x ≤<时，()0f x ⎡⎤=⎣⎦.所以()f x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-.故选：B.11．B【解析】由()()12121f x f x x x ->-，设12x x >，得到()()1122f x x f x x ->-，令()()g x f x x =-，然后将不等式()()ln e 22ln e 2xx f ⎡⎤-<+-⎣⎦，转化为()()ln 20x g e g ⎡⎤-<⎣⎦，利用()g x 的单调性求解.【详解】因为()()12121f x f x x x ->-，不妨设12x x >，则()()1122f x x f x x ->-，令()()g x f x x =-，在R 上递增，又()02f =，所以不等式()()ln e 22ln e 2x xf ⎡⎤-<+-⎣⎦，即为()()()ln 2ln 2200xx f e e f ⎡⎤---<=-⎣⎦，即()()ln 20xg e g ⎡⎤-<⎣⎦，所以()ln 20xe -<，则021x e <-<，解得ln 2ln 3x <<，故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键是由()()12121f x f x x x ->-，构造函数()()g x f x x =-，利用其单调性得解.12．ABD【分析】设G ，H ，2O ，分别为BC ，AB ，AQ 的中点，1O 为ABC 的中心，求出43OB =,故选项A 正确；求出三棱锥O ABC -B正确；141499QA QB ⎡⎤-+⋅∈⎢⎥⎣⎦，故选项C 错误；求出异面直线AC 与QB 所成角的余弦值为26，故选项D 正确．【详解】解：设G ，H ，2O ，分别为BC ，AB ，AQ 的中点，1O 为ABC的中心，43ABC COB S S S OG OB ====∴==△△表，故选项A 正确；设三棱锥O ABC -的内切球半径为r，1123O G OO =∴=13V S r = 表，121333r =⋅，36r ∴=，故选项B正确；222441,3333QA QB QH BH QH QH ⎡⋅=-=-∈-+⎢⎣⎦1414,99QA QB ⎡-+∴⋅∈⎢⎣⎦，故选项C 错误；2QB O H ∥ ，AC HG ∥，所以异面直线AC 与QB 所成角就是2O HG ∠或其补角.因为2123O A OO ==，2222131()33O H =+=,2222313()33O G =+=.2222222221331133313cos 22613213O H HG O G O HG O H HG ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∴∠===-⋅⋅⋅，所以异面直线AC 与QB 所成角的余弦值为31326，故选项D 正确．故选：ABD ．13．12##0.5【分析】根据直线与圆的位置关系，即可求得k 的取值范围，结合几何概型的概率求解，即可容易求得.【详解】因为直线(2y k x =与圆221x y +=有公共点，2211k k≤+，解得11k -≤≤，又[]2,2k ∈-，所以所求概率()()111222P --==--.故答案为：12.14．②④【解析】①根据l 的斜率[]1,1k ∈-，得到ta 11n α-≤≤，再根据直线的倾斜角的范围是[0,)π求解判断；②根据直线:1l y kx =+过定点()0,1P ，由34,4PA PBk k =-=-判断；③直线1y kx =+过定点()0,1P ，若直线与椭圆2215x y m+=恒有公共点，由点()0,1P 在椭圆内部或椭圆上求解判断；④将方程配方为()()22221415x m y m m ++-=+-，若方程表示圆，由24150m m +->求解判断.【详解】①因为l 的斜率[]1,1k ∈-，则ta 11n α-≤≤，又直线的倾斜角的范围是[0,)π，所以30,[)44a πππ⎡⎤∈⋃⎢⎥⎣⎦，故错误；②直线:1l y kx =+过定点()0,1P ，34,4PA PB k k =-=-，若直线与过()1,5A -，()4,2B -两点的直线相交，则4k ≤-或34k ³-，故正确；③直线1y kx =+过定点()0,1P ，若直线与椭圆2215x ym+=恒有公共点，则点()0,1P 在椭圆内部或椭圆上，则11m ≤，且5m ≠，所以m 的取值范围是1m ≥且5m ≠，故错误;④方程224250x y mx y m ++-+=配方()()22221415x m y m m ++-=+-，若方程表示圆，则24150m m +->，解得14m <或1m >，故正确;故答案为：②④【点睛】易错点点睛：本题③容易忽视方程2215x y m+=表示椭圆，则0m >且5m ≠的条件.15．4π##1π4【分析】由图象求得函数解析式()f x ，由平移变换求得()g x 的表达式，由()g x 的最值、值域求得θ．【详解】由图可得，732(88T πππ=⨯-=,22w ππ==，又308f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()3Z 4k k πϕπ+=∈，又2πϕ<，得4πϕ=,所以()sin 24f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为28f A π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即()2sin 24f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()72sin[2()]2sin 22443g x x x πππ⎛⎫=--+=-- ⎪⎝⎭，因为函数()g x 在区间,()33ππθθ⎡⎤->-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-，注意到()03g π-=，()212g π-=，()g x 的周期是π，因此θ取最小值时有()1g θ=-，所以236ππθ-=，解得4πθ=.故答案为：4π．16．4【分析】由()1e e 0x xf x a -'=+-=得()2e e e 0x x a -+=，所以121212e e ,e e e e x x x x x x a ++=⋅==，根据()()124f x f x +=-解方程即可求出结果．【详解】因为函数()1e e x xf x ax -=--有两个极值点1x 与2x 由()1e e 0x xf x a -'=+-=，则()2e e e 0x x a -+=有两根1x 与2x 所以121212e e ,e e e e x x x x x x a ++=⋅==，得121x x =+因为()()124f x f x +=-，所以()()()12121112e e e e 4x x x xa x x --+-+-+=-，又112211e e ,e e x x x x a a --=-=-则()()12122e e 2224x xa a x x a a a +--+=--=-，所以4a =故答案为：417．(1)4(2)存在，2a =．【分析】（1）根据已知条件及正弦定理边化角，利用余弦定理及同角三角函数的平方关系，结合三角形的面积的公式即可求解；（2）根据已知条件得出边长的关系，利用余弦定理的推论即一元二次不等式的解法，结合三角形成立的条件即可求解.【详解】（1）由2sin 3sin C A ＝及正弦定理，得23c a =，又因为1,2b a c a =+=+，所以()2223c a a =+=，解得4a =，故56b c ==，，由余弦定理，得2221cos 28a b c C ab +-==，所以C为锐角，则sin 8C =，因此，11sin 4522ABC S ab C ==⨯⨯=△（2）存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形,理由如下：由2110c b a a -=+--=>，即c b >由1b a =+，得10b a -=>，即b a >，所以c b a >>，因为ABC 为钝角三角形，所以C 为钝角，由余弦定理的推论可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===<++，解得0<<3a ，由三角形的三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，∵*N a ∈，13a <<,故2a =．18．(1)证明见解析(2)9331【分析】(1)由线面平行判定定理证明//MB 平面1A DE ，//MF 平面1A DE ，根据面面平行判定定理证明平面//MFB 平面1A DE ，根据面面平行性质定理证明BF 平面1A DE ；(2)根据锥体体积公式由条件确定1A D ⊥平面ABC ，建立空间直角坐标系，求平面1A DE 与平面1A BC 的法向量，根据向量夹角公式求法向量的夹角余弦，由此可得结论.【详解】（1）取AC 中点M ，连接MF ，MB 因为在正三角形ABC 中，MB AC ⊥，又因为ED AC ⊥，所以//MB DE ，MB ⊄平面1A DE ，DE ⊂平面1A DE ，所以//MB 平面1A DE ，又有2CM MD =，且12CF FA = ，所以1MF //DA ，而MF ⊄平面1A DE ，1A D ⊂平面1A DE ，所以//MF 平面1A DE .有MF MB M = ，,MF MB ⊂平面MFB ，所以平面//MFB 平面1A DE ，又BF ⊂平面MFB ，因此//BF 平面1A DE .（2）因为11C BEA A BCE V V --=，又因为BCE 的面积为定值，所以当1A 到平面BCE 的距离最大时，四面体1C BEA -的体积有最大值，因为DE DC ⊥，1DE A D ⊥，1DC A D D = ，DC ，1A D ⊂平面1A DC ，所以DE ⊥平面1A DC ，因为DE ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面1A DC ，当1A D CD ⊥时，平面ABC ⋂平面1A DC CD =，1A D ⊂平面1A DC所以1A D ⊥平面ABC ，即在翻折过程中，点1A 到平面BCE 的最大距离是1A D ，因此四面体1C BEA -的体积取得最大值时，必有1A D ⊥平面ABC .如图，以点D 为原点，DE 为x 轴，DA 为y 轴，1DA 为z 轴，建立空间直接坐标系，易知23MB =3DE =()0,0,0D ，)3,0,0E，()0,3,0C -，()10,0,1A ，()23,1,0B -，()10,1,0n =为平面1A DE 的一个法向量，设平面1BCA 的法向量为()2,,n x y z =u u r，()10,3,1AC =--，()23,2,0CB = 由122302320AC n y z CB n x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1y =-得：33x =3z =，所以231,33n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭为平面1BCA 的一个法向量，12121293cos ,313113n n n n n n ⋅===⨯.所以平面1A DE 与平面1A BC 933119．(1)该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06，平均一棵的材积量为0.39；(2) 6.70.012y x =-；(3)995.1【分析】（1）利用平均数公式计算出0.60.0610x ==， 3.90.3910y ==即可；（2）利用题干数据，代入公式，计算出ˆ 6.7b=，0012ˆ.a =-，得到线性回归方程；（3）将1532500x =代入到线性回归方程中，计算出0.39804y =，从而求出这些树木的总材积量.(1)由题意得：0.60.0610x ==， 3.90.3910y ==，估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06，平均一棵的材积量为0.39(2)101102221100.2474100.060.390.01346.70.038100.060.002ˆ10i i i ii x yxybxx ==--⨯⨯====-⨯-∑∑，0.39 6.70.060.012ˆˆay bx =-=-⨯=-，故该林区这种树木的根部横截面积与材积量的回归直线方程为 6.70.012y x =-(3)因为250021153m ==∑i i x ，所以2500211153m 25002500i i x ==∑，将1532500x =代入 6.70.012y x =-中，得到0.39804y =，则估计这些树木的总材积量为0.398042500995.1⨯=20．(1)735,48A ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭(2)132【分析】(1)由于A 是M ，D 的中点，设()00,A x y ，由此推出M 的坐标，再根据A ，M 都在椭圆上，代入椭圆方程即可求解；(2)设直线DA 的方程，再根据A ，B 的对称性设DB 的方程，与椭圆方程联立，求出M ，N 点的坐标与A ，B 点坐标的关系，将面积之比问题转化为坐标之比问题.【详解】（1）设()00,A x y ，∴()0024,2M x y -由A ，M 均在椭圆C 上，∴()22002200143244143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，解得074x =，08y =±，∴7,48A ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭；（2）设DA 方程为4x my =+，()()0000,,,,(4,0)A x y B x y D --，004x m y -=，2243412x my x y =+⎧⎨+=⎩，得()2223816412m y my y +++=，()223424360m y my +++=，∴()2220000222200000003636336363460245238164434M y y y y y m x xx x y x y ⋅=====+---++⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭，∴0352M y y x =-．同理()222000222000000363633660245238164434N B y y y y y x x x x y x y ⋅====+++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴00352N y y x -=+，∴121sin 21sin 2DMNDABDM DN MDN S SS S DA DB ADB ∠∠⋅==⋅ ()()20000099352522547N M y y DM DN DA DB y y x x x =⋅=⋅===--+-，∴201x =；而22200091,434x y y +=∴=，∴||OA ==【点睛】本题的难点在于要将面积之比转化为坐标之比，这个思路是在解题的开始时就应该产生的，后面的步骤只是这个思路的具体执行.21．(1)1a =(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求()f x 在1x =处的切线方程，然后由切线过点()2,1求得a 的值；（2）()2e e e a a a f a --=-+，构造函数()2e e a a g a a -=-+，1a >，利用函数的单调性求证即可；（3）令()0f x '=求得12,x x ，可得()f x 在()10,x ，()2,x +∞上单调递增，()f x 在()12,x x 递减，则()f x 至多有三个零点．又()10f =，()()110f x f >=，()e 0a f -<，所以1e 1a x -<<，结合零点存在定理知：()01e ,a x x -∃∈使得()00f x =，又0x ∀>，()10f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()0010f f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以()f x 恰有三个零点：0x ，1，01x ，从而得出结论.【详解】（1）由条件得：()211af x x x'=+-∴()12f a '=-，又()111ln101f a =--=∴()f x 在1x =处的切线为：()()21y a x =--，∵()f x 的图象在1x =处的切线过点()2,1，∴()()1221a =--∴1a =.（2）()2e e e a a af a--=-+令()2e e a a g a a -=-+，1a >，则()e e 2a a g a a -=--+'，令()e e 2a ah a a -=--+，()1e e 2e e 20a a h a --'=-+<-+<，∴()h a 在()1,+∞递减，∴()()11e e 20h a h -<=--+<，即()0g a '<∴()g a 在()1,+∞递减，∴()()11e e 10g a g -<=-+<，即1a ∀>，()e 0a f -<；（3）()f x 的定义域为：()0,∞+，()222111a x ax f x x x x -+'=+-=，2a >时，由()0f x '=得：1x =，2x =()10,x x ∈时，()0f x ¢>；()12,x x x ∈时，()0f x '<；()2,x x ∈+∞时，()0f x ¢>，∴()f x 在()10,x ，()2,x +∞上单调递增，()f x 在()12,x x 递减，∴()f x 至多有三个零点.∵22(2)(4)480a a a ---=-+<，∴2a -<11x =<，又()10f =，()f x 在()1,1x 递减，∴()()110f x f >=，又由（2）知()e 0a f -<，所以1e 1ax -<<，结合零点存在定理知：()01e ,ax x -∃∈使得()00f x =，又∴0x ∀>，()1111ln ln 0f x f x a x x a x x x x ⎛⎫+=--+--= ⎪⎝⎭，∴()0010f f x x ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，又()00,1x ∈，()011,x ∈+∞，∴()f x 恰有三个零点：0x ，1，1x ，∴2a >时，()f x 的所有零点之积为00111x x ⨯⨯=（定值）.【点睛】方法点睛：函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；（2）零点存在定理：利用定理不仅要求函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；（3）利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．22．(1)((223,x y y +=∈(2)证明见解析【分析】（1）极坐标方程两边同乘以ρ利用222,sin ,cos x y y x ρρθρθ=+==，即可得直角坐标方程；（2）可设直线l的参数方程3212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线参数方程代入曲线C的直角坐标方程可得290t -+=，利用直线参数方程的几何意义结合韦达定理可得结果.【详解】（1）由ρθ=，可得2sin ρθ=，则22x y +=，整理得((223,x y y +=∈.（2）由题意可得：直线l的参数方程为312x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22x y +=，得22122123t t ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭-+⎪，整理得290t -+=，设,A B 两点对应的参数为,A B t t ，∴4836120,A B t t ∆=-=>+=，9A B t t =，则|||||A B A B PA PB t t t t A B +==-+==即|||||2|PA PB AB +=，∴,,PA AB PB 成等差数列.23．详见解析.【分析】（1）利用基本不等式即证；（2）利用不等式的性质，由x y >，0xy >可得1x <1y ，由1x <1y，0xy >，可得x y >，即证.【详解】（1）∵a ，b ，c ，d均为正数，∴0,a b +≥>当且仅当a b =时取等号，同理可得0,0,20b c c d d a +≥+≥+≥，∴()()()()16a b b c c d d a abcd ++++≥，当且仅当a b c d ===时取等号；（2）充分性，因为x y >，0xy >，10xy>，∴1x <1y，必要性，因为1x <1y，0xy >，所以x y >，综上，1x <1y的充要条件为x >y .。
2023年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷数学(一)答案
参考答案2023年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷数学（一）1.D 【解析】B ={x ｜x 2=4}={-2，2}，由题可知，UA ）∩B ={2}.故选D.2.C 【解析】∵z =（4-i ）（2i-1）=8i -4+i +2=-2+9i ，故z =-2-9i ，∴z 的共轭复数在复平面内对应的点为（-2，-9），位于第三象限．故选C .3.B 【解析】｜a +b ｜=a 2+b 2+2a·b 姨=｜a ｜2+｜b ｜2+2a ·b 姨=10姨，｜b ｜=12+12姨=2姨，∴a ·b =2，∴a 在b 上的投影向量为a·b ｜b ｜·b ｜b ｜=b =（1，1），故选B .4.D 【解析】由题意可知，该事件的概率为12·C 22C 28+12·C 22C 23=12×128+12×13=31168，故选D.5.B 【解析】由题意可知，结果只需精确到0.001即可，令x=0.5，取前6项可得，e 姨=+∞n=0移0.5nn !≈5n=0移0.5nn !=0.500!+0.511!+0.522!+0.533!+0.544!+0.555!=1+0.5+0.252+0.1256+0.062524+0.03125120≈1.649，∴e 姨的近似值为1.649，故选B.6.A 【解析】设f （x ）=sin x-x ，x ∈0，仔22'，则f ′（x ）=cos x -1<0，∴f （x ）在0，仔222上单调递减，∴f （x ）<f （0）=0，∴当x ∈0，仔222时，sin x-x <0，即sin x<x .a =sin 20°=sin 仔9<仔9=b ，c=12ln e 姨=1４<仔9=b ，c =12ln e 姨=14<6姨-2姨4=sin 15°<sin 20°=a ，∴c<a<b ，故选A .7.B 【解析】由题意可知，设底面圆的半径为R ，则S=仔R 2=16仔，解得R =4.∵由直三棱柱的定义可知，要使能截得直三棱柱体积最大，只需要圆的内接三角形面积最大即可，S =12ab sin C =12·2R sin A ·2R sin B ·sin C=2R 2sin A ·sin B ·sin C ≤2R 2sin A+sin B+sin C 3223≤2R 2·sin A+B+C 3223=2R 2·sin 仔3223=33姨4R 2.当且仅当sin A=sin B=sin C ，即A=B=C =仔3时，等号成立，∴三角形是正三角形时，圆的内接三角形面积最大，V=Sh =33姨4×42×6=723姨.∴能截得直三棱柱体积最大为723姨.故选B .8.D 【解析】g （x +1）为偶函数，则g （x ）关于x =1对称，即g （x ）=g （2-x ），即（x-1）f （x ）=（1-x ）f （2-x ），即f （x ）+f （2-x ）=0，∴f （x ）关于（1，0）对称，又f （x ）是定义域为R 的偶函数，∴f （x ）=-f （2-x ）=-f （x -2），∴f （x -4）＝f ［（x -2）-2］＝-f （x -2）＝-［-f （x ）］＝f （x ），即f （x -4）＝f （x ），∴f （x ）周期为4，∴f （5.5）=f （1.5）=f （-2.5）=f （2.5）=2，∴g （-0.5）=g （2.5）=1.5f （2.5）=3.故选D.9.ABD 【解析】∵sin 兹+cos 兹=15①，∴（sin 兹+cos 兹）2=sin 2兹+２sin 兹cos 兹+cos 2兹=125，∴2sin 兹cos 兹=-2425．又兹∈（0，仔），∴sin 兹>0，∴cos 兹<0，即兹∈仔2，22仔，故A 正确；（sin 兹-cos 兹）2=1-2sin 兹cos 兹=4925，∴sin 兹-cos 兹=75②，故D 正确；由①②，得sin 兹=45，cos 兹=-35，故B 正确；tan 兹=sin 兹cos 兹=-43，故C 错误．故选ABD ．10.BCD 【解析】如图1，当P 为BC 1的中点时，OP ∥DC 1∥AB 1，故A 不正确；∵如图2，A 1C 奂平面AA 1C 1C ，O ∈平面AA 1C 1C ，O 埸A 1C ，P 埸平面AA 1C 1C ，∴直线A 1C 与直线OP 一定是异面直线，故B 正确；∵如图2，A 1A 奂平面AA 1C 1C ，O ∈平面AA 1C 1C ，O 埸A 1A ，P 埸平面AA 1C 1C ，∴直线A 1A 与直线OP 一定是异面直线，故C 正确；∵如图3，AD 1奂平面AD 1C ，O ∈平面AD 1C ，O 埸AD 1，P 埸平面AD 1C ，∴直线AD 1与直线OP 一定是异面直线，故D 正确.故选BCD.11.BD 【解析】如图所示，当直线l 的倾斜角越小时，△PQA 1的周长越大，故A 不正确；△PF 1Q 的周长为｜PF 1｜+｜QF 1｜+｜PQ ｜=4a +｜PF 2｜+｜QF 2｜+｜PQ ｜=4a +2｜PQ ｜，∴△PF 1Q 的周长与2｜P P /Q ｜之差为4a ，故B 正确；设P （x ，y ），则tan 琢=｜y ｜a+x，tan 琢=-｜y ｜x-a，由tan 琢tan 茁=a-x a+x不是常量，故C 不正确；由tan 琢·tan 茁=｜y ｜a+x ·｜y ｜a-x =y 2a 2-x 2=x 2a 2-221b 2a 2-x 2=-b 2a 2为常量，故D 正确.故选BD .12.AD 【解析】令x 1=x 2=1得，f （1）=f （1）+f （1），f （1）=0，故A 正确；再令x 1=x 2=-1得，f （1）=f （-1）+f （-1）=0，f （-1）=0，故B 错；令x 1=-1，x 2=x ，则f （-x ）=x 2f （-1）+f （x ）=f （x ），f （x ）是偶函数，故C 错；令x 1=x ，x 2=1x，则f （1）=1x2f （x ）+x 2f 1x 22，∴f （x ）=-x 4f 1x 22，当0<x <1时，1x>1，f 1x 22>0，∴f （x ）<0，故D 正确．故选AD .13.0.3【解析】由P （X ≥90）=0.5知，滋=90，∵P （X ≤70）=P （X ≥110）=0.2，∴P （70≤X ≤90）=1-2×0.22=0.3.故答案为0.3.14.45姨5≤r ≤13姨【解析】当A ，B 两点都在圆内时，则4+9<r 2，4+1<r 22，解得r >13姨，直线AB 的方程为y -3x +2=1-32+2，即x +2y -4=0，原点到直线AB 的距离为｜-4｜1+4姨=45姨5，又k OA =-32，k OB =12，k AB =-12，参考答案第1页共28页参考答案第2页共28页A 1B 1C 1D 1OPDABC A 1B 1C 1D 1OPDABC A 1B 1C 1D 1OPDABC 图1图2图3第10题答图xy OAB 第14题答图xy OF 1F 2P 2Q 2QPA 1A 2第11题答图37∴原点与线段AB 上的点所在直线的斜率的范围为-32，12!"，∵圆C ：x 2+y 2=r 2（r >0）与线段AB （包含端点）有公共点，∴45姨5≤r ≤13姨.故答案为45姨5≤r ≤13姨.15.4【解析】由题意得，ab （a +3b ）=3a+b ，∴a +3b =3a+b ab =3b +1a ，∴（a +3b ）2=3b +1a a &（a +3b ）=10+3a b +3b a ≥10+23a b ·3b a姨=16（当且仅当a=b=1时取等号）.∵a +3b ≥4，∴a +3b 的最小值为4.答案为4.16.6e e 2-1，+a &∞【解析】∵f （x 0）+3e x<0，即3ln x 0-kx 0+k x 0+3e x 0<0.当x 0=1时，3e <0显然不成立，即在x 0=1时不满足原式；当x 0∈（1，e ］时，整理得x 0ln x 0+e x 02-1<k 3.令g （x ）=x ln x +e x 2-1，x ∈（1，e ］，则g ′（x ）=（x 2-2e x -1）-（x 2+1）ln x （x 2-1）2，∵当x ∈（1，e ］时，（x 2+1）ln x >0，x 2-2e x -1=（x -e ）2-e 2-1<0，则g ′（x ）<0，当x ∈（1，e ］时恒成立，∴g （x ）在（1，e ］上单调递减，则g （x ）≥g （e ）=2e e 2-1，则2e e 2-1<k 3，即k >6e e 2-1.综上所述，数k 的取值范围为6e e 2-1，+a &∞.故答案为6ee 2-1，+a &∞.17.【解析】（1）∵a 1+2a 2+…+na n =2n ，∴当n ≥2时，a 1+2a 2+…+（n -1）a n -1=2（n -1），两式相减得na n =2，a n =2n ，又n =1时，a 1=2，也符合．∴a n =2n．（2）由（1）知，1a n =n 2，∵对任意的正整数m ≥2，均有b m -1+b m +b m +1=1a m =m 2，故数列{b n }的前99项和b 1+b 2+b 3+b 4+b 5+b 6+…+b 97+b 98+b 99=（b 1+b 2+b 3）+（b 4+b 5+b 6）+…+（b 97+b 98+b 99）=1a 2+1a 5+…+1a 98=3322+982a &2=825．18.【解析】（1）由题得a-b=a sin A-c sin C sin B ，∴a-b=a 2b -c 2b，∴ab-b 2=a 2-c 2，∴ab=a 2+b 2-c 2，∴ab =2ab cos C ，∴cos C=12.∵0<C <仔，∴C =仔3.（2）由正弦定理得c sin C =2R =4，则c =4sin C=4sin 仔3=23姨，由余弦定理得c 2=12=a 2+b 2-2ab cos C ≥2ab-ab=ab ，即ab ≤12（当且仅当a=b 时取等号），故S =12ab sin C ≤12×12×3姨2=33姨（当且仅当a=b 时取等号）．即△ABC 面积S 的最大值为33姨．19.【解析】（1）由题意得，（0.002+0.006+0.008+a+b+0.008+0.002+0.002）×20=1，110+0.5-（0.002+0.006+0.008）×2020a×20=1255,,,+,,,-，解得a =0.012，b =0.010，∴滋=（60×0.002+80×0.006+100×0.008+120×0.012+140×0.01+160×0.008+180×0.002+200×0.002）×20=125.6.（2）某职工日行步数w =157（百步），着=157-125.6125.6×100=25，∴职工获得三次抽奖机会，设职工中奖次数为X ，在方案甲下X~B 3，13a &，E （Ｘ）=1.在方案乙下E （X ）=1.8，∴更喜欢方案乙.20.【解析】（1）在直三棱柱ABC 鄄A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，AB 奂平面ABC ，∴A 1A ⊥AB ，又AB ⊥AC ，A 1A ∩AC=A ，A 1A ，AC 奂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥平面ACC 1A 1，又A 1M 奂平面ACC 1A 1，∴A 1M ⊥AB ，又在矩形ACC 1A 1中，AA 1=4，A 1M=AM =22姨，即A 1M 2+AM 2=A 1A 2，∴A 1M ⊥AM ，∵AB ∩AM=A ，AB ，AM 奂平面ABM ，∴A 1M ⊥平面ABM.（2）取AC 的中点为N ，连接BN ，∴BN ⊥AC ，又平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，平面ABC ∩平面ACC 1A 1=AC ，BN 奂平面ABC ，∴BN ⊥平面ACC 1A 1，取A 1C 1的中点N 1，连接NN 1，同理可得NN 1⊥平面ABC ，如图建立空间直角坐标系，则B （3姨，0，0），C （0，1，0），A 1（0，-1，4），M （0，1，2），设P （0，t ，3-t ），t ∈［-1，1］，则B B 2P =（-3姨，t ，3-t ），易知平面ABC 的法向量为n =（0，0，1），设BP 与平面ABC 所成角为兹，设t-1=姿∈［-2，0］，∴sin 兹=3-t 3+t 2+（3-t ）2姨=（3-t ）22t 2-6t +12姨=2姨2·1-3（t-1）t 2-3t +6姨=2姨2·1-3姿姿2-姿+4姨.当姿=0时，sin 兹=2姨2，当姿∈［-2，0）时，sin 兹=2姨2·1-3姿-1+4姿姨，∵y=x +4x 在［-2，0）上单调递减，∴sin 兹关于姿单调递减，故sin 兹∈2姨2，２５姨５"a .综上可得sin 兹∈2姨2，２５姨５!".21.【解析】（1）由题意知，｜22姨-x ｜=2姨·（x -2姨）2+y 2姨，两边平方，整理即得x 2+2y 2=4，∴曲线C 的方程为x 24+y 22=1.（2）设M （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当x 20=43时，y 20=43，则不妨设点M ２３姨３，２３姨３a &，则点A ２３姨３，-２３姨３a &或A -２３姨３，２３姨３a &，此时O B 2M ·O B 2A =0，则OM ⊥OA ；当x 20≠43时，设直线MA ：y=kx+m ，MA 1B 1C 1PAB C xyz NN 1第20题答图参考答案第3页共28页参考答案第4页共28页38由直线MA 与圆O ：x 2+y 2=43相切，可得｜m ｜1+k 2姨=2３姨，即3m 2=4（1+k 2），联立y=kx+m ，x 2+2y 2=44，可得（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2-4=0，Δ=16k 2m 2-4（2k 2+1）（2m 2-4）=8（4k 2+2-m 2）=163（4k 2+1）>0，由韦达定理可得x 0+x 1=-4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2-42k 2+1，则O O $M ·O O $A =x 0x 1+y 0y 1=x 0x 0+（kx 0+m ）（kx 1+m ）=（1+k 2）x 0x 1+km （x 0+x 1）+m 2=（1+k 2）（2m 2-4）-4k 2m 2+m 2（1+2k 2）1+2k 2=3m 2-4（1+k 2）1+2k 2=0，∴OM ⊥OA ，同理可得OM ⊥OB.选①，由OM ⊥OA 及OP ⊥AM 可得Rt △MOP ∽Rt △AOP ，则｜PM ｜｜OP ｜=｜OP ｜｜PA ｜，∴｜PM ｜·｜PA ｜=｜OP ｜2=43.选②，由OM ⊥OA 及OM ⊥OB 可得，A ，O ，B 三点共线，则｜OA ｜=｜OB ｜，又｜MA ｜2=｜OA ｜2+｜OM ｜2=｜OB ｜2+｜OM ｜2=｜MB ｜2，因此，｜MA ｜=｜MB ｜.22.【解析】（1）根据题意得，f （x ）的定义域为（0，+∞），∴f ′（x ）=e x -1-1x -e +12，又f ″（x ）=e x -1+1x2>0，∴f ′（x ）在（0，+∞）上单调递增，易知f ′（2）=e -12-e +12=0，∴当0<x <2时，f ′（x ）<0，当x >2时，f ′（x ）>0，∴函数f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增.（2）∵a >0，f （x ）的定义域为（0，+∞），∴f ′（x ）=e x -1-1x-a ，∴f ″（x ）=e x -1+1x2>0，∴f ′（x ）在（0，+∞）上单调递增，设h （x ）=e x-x -1，则h ′（x ）=e x -1，当x >0时，h ′（x ）>0，∴h （x ）单调递增，当x <0时，h ′（x ）<0，∴h （x ）单调递减，∴h （x ）≥h （0）=0，∴e x -x-1≥0，即e x ≥x+1，∴f ′（1+a ）=e a -11+a -a >a +1-11+a -a =1-11+a>0，又f ′（1）=-a <0，∴存在唯一的t 0∈（1，1+a ），使得f ′（t 0）=0，即e t 0-1 -1t 0-a =0，当x ∈（0，t 0）时，f ′（t 0）<0，f （x ）单调递减，当x ∈（t 0，+∞）时，f ′（t 0）>0，f （x ）单调递增，∴f （x ）min =f （t 0），又e x ≥x +1，∴x ≥ln （x +1），∴x -1≥ln x ，当x =1时，等号成立，则x >ln x ，∴f （x ）=e x -1-ln x -ax >e x -1-x-ax =e x -1-（a +1）x ，即f （x ）>e x -1-（a +1）x ，又e x≥x +1，∴e x -1≥x ，∴ex 2-1≥x 2，∴e x -2≥x 24，又e x -1>e x -2，∴e x -1>x 24，∴f （x ）>e x -1-（a+1）x >x 24-（a +1）x ，即f （x ）>x 24-（a +1）x ，∴f ［4（a+1）］>16（a +1）24-（a +1）×4（a +1）=0，当x $0时，f （x ）>0，若函数f （x ）有唯一零点x 0，则f （t 0）=0，∴x 0=t 0，即e x 0-1 =1x 0+a ，∴f （x 0）=1x 0+a -ln x 0-ax 0=0，设u （x 0）=1x 0+a -ln x 0-ax 0，∴u ′（x 0）=-1x 20-1x 0-a <0，∴u （x 0）在（１，+∞）单调递减，∴u （1）=1>0，u （2）=12-ln 2-a <0，∴1<x 0<2.2023年普通高等学校招生全国统一考试考前模拟试卷数学（二）1.C 【解析】由题意可得，z=4+3i i =（4+3i ）i i 2=4i -3-1=3-4i.故选C.2.C 【解析】解不等式x 2-x -6≤0得，-2≤x ≤3，即A ={x ｜-2≤x ≤3}，解不等式x -1<0得x <1，则B ={x ｜x <1}，UB ）={x ｜x ≥-2}.故选C .3.A 【解析】∵O ，A ，B 三点共线，则O O $A ∥O O $B ，∴埚姿∈R ，O O $B =姿O O $A ，即x m +n =姿（5m -3n ）.整理得，（5姿-x ）m =（3姿+1）n.又∵向量m ，n 不共线，则5姿-x =3姿+1=0，则x =-53.故选A ．4.B 【解析】log 9a 1+log 9a 2+…+log 9a 10=log 9［（a 1a 10）·（a 2a 9）·（a 3a 8）·（a 4a 7）·（a 5a 6）］=log 995=5，故选B .5.A 【解析】sin 2琢+仔660=sin 2琢+仔363-仔223=-cos 2琢+仔333=2sin 2琢+仔363-1=2×89-1=79.故选A .6.C 【解析】小明从中随机夹了3个饺子共有C 310=10×9×83×2×1=120种；如果是1个麸子、1个钱币饺子、1个糖饺子，共有5×3×2=30种；如果是1个麸子、2个钱币饺子，共有C 15C 23=15种；如果是2个麸子、1个钱币饺子，共有C 25C 13=30种.由古典概型的概率公式得，小明夹到的饺子中，既有麸子饺子又有钱币饺子的概率是P =30+15+30120=58.故选C .7.D 【解析】由题可得AB =8，∵AP=BP ，∴S △ABP =12×8×4=16，∵PC ⊥平面ABP ，且PC =4，∴V C 鄄ABP =13×16×4=643，∵AP=BP =42姨，∴AC=BC =43姨，∴S △ABC =12×8×48-16姨=162姨，设点P 到平面ABC 的距离为d ，则V P 鄄ABC =13×162姨d =643，解得d =22姨.故选D.8.C 【解析】a 1a =b 1b 两边同取自然对数得ln a a =ln b b，设f （x ）=ln x x，由f ′（x ）=1-ln x x2，令f ′（x ）>0，解得0<x <e ，令f ′（x ）<0，解得e <x ，∴f （x ）在区间（0，e ）上单调递增，在区间（e ，+∞）上单调递减，∴f （x ）在x =e 处取得最大值f （e ）=1e，在区间（0，e ）上函数f （x ）有唯一的零点x =1，在区间（e ，+∞）上函数f （x ）>0，又∵a>b >0且f （a ）=f （b ）>0，∴1<b<e ，a >e.故选C.9.ABD 【解析】如图，∵正四棱柱ABCD 鄄A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，∴B 1D 1=22姨，又侧棱AA 1=1，∴DB 1=（22姨）2+12姨=3，则P 与B 1重合时PD =3，此时P 点唯一，故A 正确；∵PD =3姨∈（1，3），DD 1=1，则PD 1=2姨，即点P 的轨迹是一段圆弧，故B 正确；连接DA 1，DC 1，可得平面A 1DC 1∥平面ACB 1，则当P 为A 1C 1中点时，DP 有最小值为（2姨）2+12姨=3姨，故C 错误；平面BDP 即为平面BDD 1B 1，平面BDP 截正四棱柱ABCD 鄄A 1B 1C 1D 1的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为1222+22+12姨=32，面积为9仔4，故D 正确．故选ABD ．10.BD 【解析】∵f （x ）=tan x-cos x ，∴f （0）=-1，f （仔）=1，f （0）≠f （仔），故A 错误；参考答案第5页共28页参考答案第6页共28页PABC第7题答图DABCA 1B 1C 1D 1P122第9题答图39。
2023 届高考复习数学专项(导数及其应用)好题练习(附答案)
2023届高考复习数学专项（导数及其应用）好题练习1. 下列结论中不正确的是（）1 1 1 A.若y= cos —，则y'=-—si n —XXXC.若y=c os5x , 则y'=-si n 5x 2.下列函数中·,存在极值点的是1A.y = x -—B .y=2因XB.若y =si n x 2, 则y '=2xcosx 21D.若y=—xs i n 2x ,则y'=xsi n 2x2C .y=—2x 3—XD .y= x lnx 3.定义在区间[—½,4]上的函数f (x)的导函数f'(x)图象如图所示，则下列结论正确的足（）｀．xA.函数f(x )在区间(0,4)单调递增1B.函数f(x )在区间（了oJ 单调递减C .函数f(x )在X=l处取得极大伯D. 函数f(x )在x=O处取得极小伯4.已知函数f (x)=e x -ax 有两个零点x 1,x 2, 且Xl <斗，则下列说法正确的是（）A .a >e B.x 1 +x 2 >2C.X 1X 2 >1D.f(x)有极小值点Xo,且x 1+x 2 < 2x。
5.定义在R 上的可导函数y =f(x )的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（）V .y=f'(x)xA ．-3是()f x 的一个极小值点；B ．-2和-1都是()f x 的极大值点；C ．()f x 的单调递增区间是()3,-+∞；D ．()f x 的单调递减区间是(),3-∞-．6．设()f x '为函数()f x 的导函数，已知()()2ln x f x xf x x '+=，()112f =，则下列结论不正确的是（ ）A ．()xf x 在()0,∞+单调递增B ．()xf x 在()0,∞+单调递减C ．()xf x 在()0,∞+上有极大值12D ．()xf x 在()0,∞+上有极小值127．对于函数2ln ()xf x x =，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．f f f <<D ．若21()f x k x <-在(0,)+∞上恒成立，则2e k > 8．已知定义在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()00f =，()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则下列判断中正确的是( )A ．624f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ln03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．43f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．设函数()ln xe f x x=，则下列说法正确的是A ．()f x 定义域是（0，+∞）B ．x ∈（0，1）时，()f x 图象位于x 轴下方C ．()f x 存在单调递增区间D ．()f x 有且仅有两个极值点10．对于定义域为D 的函数()f x ，若存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在[],m n 上是单调的；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是[],m n ，则称[],m n 为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（） A ．()3f x x =B ．()23f x x=-C ．()1x f x e =-D ．()ln 2f x x =+1.下列结论中不正确的是（）参考答案1 1 1A.若y= cos—，则y'=-—si n—X X X C.若y= cos5x, 则y'=-si n5x B.若y= s n正，则y'=2xcosx21·D. 若y=—xsi n2x,则y'=xsi n2x2【参考答案）ACD1 1 1【名帅解析】对千A,y =cos�, 则y'=飞-si n�,故铅误；X X X对千B,y=si n x2, 则y'=2xcosx2, 故正确；对千c,y =cos5x, 则y'=-5si n5x, 故错误；1 1对千D,y = -xsi n2x, 则y'=-si n2x+xcos2x, 故错误2 2故选：ACD2.下列函数中，存在极伯点的是1A.y = x-—B. y =l'x lX【参考答案】B DC.y=—2x3—XD.y =x l nx【名师解析】由题意，函数1 1y=x-—，则y'=1+2>0, 所以函数y= x-丿－在(—oo,0),(0,+oo)内单调X X X递增，没有极值点．函数y2讨2入尸，x � O』，根据指数函数的图象与性质可得，当x<O时，函数y=2"单调递诚，当2-x ,X < 0阮＝兀抒时，函数y=i入I单调递增，所以函数y=2因在x=O处取得极小值；函数y=—2x3—X,则y'=—6x2�1< 0, 所以函数y=—2x3�x在R上单调递减，没有极值点；1 1函数y= x l nx, 则y'=l n x+1, x> 0,当XE(0,-)时，y'<0'函数单调递减，当XE(-,+oo)时，y'>O'e e1函数单调递增，当X=一时·,函数取得极小值，故选BD.e3.定义在区间曰，4]上的函数f(x)的导函数f'(x)图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 在区间()0,4单调递增B ．函数()f x 在区间1,02⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减 C ．函数()f x 在1x =处取得极大值 D ．函数()f x 在0x =处取得极小值 【参考答案】ABD【名师解析】根据导函数图像可知，()f x 在区间(),0-∞上，()'0f x <，()f x 单调递减，在区间()0,∞+上，()'0fx >，()f x 单调递增.所以()f x 在0x =处取得极小值，没有极大值.所以A,B,D 选项正确，C 选项错误，故选ABD4．已知函数()x f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，则下列说法正确的是( ) A ．a e > B ．122x x +>C ．121x x >D ．()f x 有极小值点0x ，且1202x x x +<【参考答案】ABD【名师解析】由题意，函数()x f x e ax =-，则()x f x e a '=-，当0a ≤时，()0x f x e a '=->在R 上恒成立，所以函数()f x 单调递增，不符合题意； 当0a >时，令()0x f x e a '=->，解得ln x a >，令()0x f x e a '=-<，解得ln x a <， 所以函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增， 因为函数()x f x e ax =-有两个零点12,x x 且12x x <，则ln (ln )ln ln (1ln )0a f a e a a a a a a a =-=-=-<，且0a >， 所以1ln 0a -<，解得a e >，所以A 项正确；又由212121212ln()2ln ln()2ln()x x a x x a x x x x +==+>+，取22e a =，则22(2)202,(0)10f e a x f =-===>， 所以101x <<，所以122x x +>，所以B 正确；由(0)10=>f ，则101x <<，但121x x >不能确定，所以C 不正确； 由函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增， 所以函数的极小值点为0ln x a =，且12022ln x x x a +<=，所以D 正确； 故选ABD.5．定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）A ．-3是()f x 的一个极小值点；B ．-2和-1都是()f x 的极大值点；C ．()f x 的单调递增区间是()3,-+∞；D ．()f x 的单调递减区间是(),3-∞-． 【参考答案】ACD【名师解析】当3x <-时，()0f x '<，(3,)x ∈-+∞时()0f x '≥，∴3-是极小值点，无极大值点，增区间是()3,-+∞，减区间是(),3-∞-．故选ACD.6．设()f x '为函数()f x 的导函数，已知()()2ln x f x xf x x '+=，()112f =，则下列结论不正确的是（ ）A ．()xf x 在()0,∞+单调递增B ．()xf x 在()0,∞+单调递减C ．()xf x 在()0,∞+上有极大值12D ．()xf x 在()0,∞+上有极小值12【参考答案】ABC【名师解析】由x 2f ′（x ）+xf （x ）＝lnx 得x ＞0，则xf ′（x ）+f （x ）lnx x =，即[xf （x ）]′lnxx=， 设g （x ）＝xf （x ）， 即g ′（x ）lnxx=＞0得x ＞1，由g ′（x ）＜0得0＜x ＜1， 即()xf x 在()1,+∞单调递增，在()0,1单调递减，即当x ＝1时，函数g （x ）＝xf （x ）取得极小值g （1）＝f （1）12=， 故选：ABC ．7．对于函数2ln ()xf x x =，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．f f f <<D ．若21()f x k x <-在(0,)+∞上恒成立，则2e k > 【参考答案】ACD【名师解析】函数定义域为(0,)+∞，312ln '()xf x x -=,当x ∈时，'()fx ＞0，()f x 单调递增，当)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减，所以()f x在x =12f e=，A 正确； (1)0f =，当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >，因此()f x 只有一个零点，B 错误；<<，因此f f <，又ln 1ln 2f πππ==⋅，ln 1ln 2222f ==⋅1ln 424=⋅， 设ln ()xh x x =，则21ln '()x h x x-=， (,)x e ∈+∞时，'()0h x <，()h x 单调递减，而4e π<<，∴()(4)h h π>，即ln ln 4ln 242ππ>=，∴f f <，即f f f <<，C 正确； 令22ln 1()x g x x x =+（0x >），则312ln '()xg x x +=-，易知当x ∈时，'()0g x >，)x ∈+∞时，)'(0g x <，()g x在x =时取得极大值也是最大值2eg =，∴21()f x k x+<在(0,)x ∈+∞上恒成立，则2e k >，D 正确． 故选：ACD ． 8．已知定义在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()00f =，()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则下列判断中正确的是( ) A．624f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ln03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭C．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D．43f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【参考答案】CD 【名师解析】令()()cos f x g x x =，0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 则2()cos ()sin ()cos f x x f x xg x x '+'=，因为()cos ()sin 0f x x f x x '+<， 所以2()cos ()sin ()0cos f x x f x x g x x '+'=<在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立， 因此函数()()cos f x g x x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减， 因此64g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即64cos cos 64f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，即624f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错；又()00f =，所以(0)(0)0cos 0f g ==，所以()()0cos f x g x x =≤在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，因为ln0,32ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以ln 03f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故B 错； 又63g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以63cos cos63f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭>，即63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；又43g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以43cos cos43f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭>，即43f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确；故选：CD.9．设函数()ln xe f x x=，则下列说法正确的是A ．()f x 定义域是（0，+∞）B ．x ∈（0，1）时，()f x 图象位于x 轴下方C ．()f x 存在单调递增区间D ．()f x 有且仅有两个极值点 【参考答案】BC【名师解析】由题意，函数()ln x e f x x =满足0ln 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠，所以函数()ln xe f x x =的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，所以A 不正确；由()ln xe f x x=，当(0,1)x ∈时，ln 0x <，∴()0f x <，所以()f x 在(0,1)上的图象都在轴的下方，所以B 正确；所以()0f x '>在定义域上有解，所以函数()f x 存在单调递增区间，所以C 是正确的； 由()1ln g x x x =-，则()211.(0)g x x x x'=+>，所以()0g x '>，函数()g x 单调增，则函数()0f x '=只有一个根0x ，使得0()0f x '=，当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，函数单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D 不正确；故选BC ．10．对于定义域为D 的函数()f x ，若存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在[],m n 上是单调的；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是[],m n ，则称[],m n 为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是（） A ．()3f x x =B ．()23f x x=-C ．()1x f x e =-D ．()ln 2f x x =+【参考答案】ABD【名师解析】A.3y x =是单调递增函数,若存在区间[],m n ，m n < 使33m mn n⎧=⎨=⎩ ，解得1,0m =-，0,1n =，所以存在区间[][][]1,0,1,1,0,1-- 满足②，所以A 正确，是“和谐区间”； B.()23f x x=-在(),0-∞和()0,∞+都是单调递增函数，所以设 0m n <<或0m n <<，满足2323m mn n⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，解得1,2m n == ，所以存在区间[]1,2满足条件，所以B 正确；C.1xy e =-时单调递增函数,若存在区间[],m n ，m n <，使11m ne me n⎧-=⎨-=⎩ ，即1x e x =+有两个不等实数根，但x y e =与1y x =+相切于点()0,1，没有两个不等实数根，所以不正确，C 不正确； D.ln 2y x =+是单调递增函数,定义域是()0,∞+ ，若存在区间[],m n ，m n <，使ln 2ln 2m mn n+=⎧⎨+=⎩ ，即ln 2x x +=有两个不等实数根，转化为ln 2x x =- 即ln y x =与2y x =-有两个不同的交点，满足条件，所以D 正确.故选ABD.。
2023安徽高考数学试题及答案
2023安徽高考数学试题及答案一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(1)的值为（）A. 0B. -1C. 1D. 2答案：B2. 已知向量a=(3,-2)，向量b=(1,2)，则向量a+向量b的坐标为（）A. (4,0)B. (2,0)C. (3,0)D. (1,0)答案：A3. 若复数z满足|z-1|=2，则z对应的点在复平面上的位置是（）A. 以(1,0)为圆心，半径为2的圆B. 以(0,0)为圆心，半径为2的圆C. 以(1,0)为圆心，半径为1的圆D. 以(0,0)为圆心，半径为1的圆答案：A4. 已知双曲线C：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（a>0，b>0），若双曲线的一条渐近线方程为y=√2x，则双曲线的离心率为（）A. √2B. √3C. 2D. 3答案：B5. 若函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)的值为（）A. 3x^2-3B. x^2-3xC. 3x^2-3xD. x^3-3答案：A6. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，公差d=2，则S5的值为（）A. 15B. 25C. 35D. 45答案：B7. 若直线l：y=kx+1与椭圆C：x^2/4 + y^2/3 = 1相交于A、B 两点，且|AB|=2√3，则k的值为（）A. 0B. ±1C. ±√3/3D. ±√3答案：C8. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，若f(x)=0的两个根为x1和x2，则|x1-x2|的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8答案：A9. 若函数f(x)=x^3+3x^2-9x+5，且f'(x)=0的根为x1和x2，则x1+x2的值为（）A. -3B. -6C. 3D. 6答案：C10. 已知抛物线C：y^2=4x，若直线l：y=kx+1与抛物线C相切，则k的值为（）A. 1/2B. 2C. -1/2D. -2答案：A11. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(x)的最小值为（）A. -1B. 0C. 1D. 2答案：A12. 已知等比数列{bn}的前n项和为Tn，若b1=1，公比q=2，则T4的值为（）A. 15B. 16C. 31D. 32答案：B二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
2023山西高考数学试题及答案
2023山西高考数学试题及答案2023年山西高考数学试题及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若函数f(x)=x^2-4x+m，且f(1)=-2，则m的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知向量a=(2,1)，b=(1,-1)，则向量a+2b的坐标为（）A. (4,-1)B. (3,1)C. (2,-1)答案：A3. 若x，y∈R，且x^2+y^2=1，则x+y的最大值为（）A. √2B. 1C. 0D. -1答案：A4. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则该数列的前n 项和Sn为（）A. n^2B. n(n+1)C. n^2+nD. 2n^2-n5. 若函数f(x)=x^3-3x，且f'(x)=3x^2-3，则f'(1)的值为（）A. 0B. 1C. 3D. -3答案：A6. 已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√2x，则b/a的值为（）A. √2B. 1/√2C. 2D. 1/2答案：B7. 若直线l：y=kx+1与椭圆E：x^2/4+y^2/3=1相交于A，B两点，且|AB|=2√3，则k的值为（）A. 1B. -1C. 2D. -2答案：C8. 已知函数f(x)=x^3-3x，x∈[-2,2]，则f(x)的最大值为（）A. 8B. 4C. 2D. 0答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，若f(x)=0的两个根为x1，x2，则x1+x2的值为______。
答案：410. 已知向量a=(1,2)，b=(2,-1)，则|a+b|的值为______。
答案：√511. 已知等比数列{an}的首项a1=2，公比q=1/2，则该数列的前n项和Sn为______。
2023年高考数学微专题练习专练16高考大题专练一导数的应用含解析理
专练16 高考大题专练(一) 导数的应用命题范围：导数的应用、导数的几何意义．1．[2022·云南省昆明市检测]已知函数f (x )＝1－ax 2ex，a ≠0(1)讨论f (x )的单调性；(2)当x ＞0，a ＞0时，e xf (x )≥bx ，证明：ab ≤2e327.2．[2022·全国甲卷(理)，21]已知函数f (x )＝exx－ln x ＋x －a .(1)若f (x )≥0，求a 的取值范围；(2)证明：若f (x )有两个零点x 1，x 2，则x 1x 2<1.3.[2022·河南省郑州市质检]已知函数f(x)＝ln (x＋1)－x＋1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)＝a e x－x＋ln a，若函数F(x)＝f(x)－g(x)有两个零点，求实数a的取值范围．4．[2022·全国乙卷(理)，21]已知函数f(x)＝ln (1＋x)＋ax e－x(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若f(x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．5．[2022·江西省二模]已知函数f (x )＝a ln x ＋x 22－(a ＋1)x ＋a ＋12(a ∈R )有一个大于1的零点x 0.(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：对任意的x ∈(1，x 0]，都有a ln x －x ＋1＞0恒成立．专练16 高考大题专练(一) 导数的应用1．解析：(1)f(x)的定义域为R ，f ′(x )＝－2ax e x －ax 2e x（e x ）2＝ax （x －2）e x. ①a ＞0时，当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．②a ＜0时，当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(0，2)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．(2)由e xf (x )≥bx ，得e x－ax 2－bx ≥0，因为x ＞0，所以e xx－ax 2－bx ≥0，令g (x )＝e x x －ax －b (x ＞0)，则g ′(x )＝（x －1）exx2－a ， 设h (x )＝（x －1）e x x 2－a (x ＞0)，则h ′(x )＝（x 2－2x ＋2）e xx3＞0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增，又因为h (1)＝－a ＜0，h (1＋a )＝a e 1＋a （1＋a ）2－a ＞a ·（1＋a ）2（1＋a ）2－a ＝a －a ＝0，(由(1)知当a ＝1时，f (x )≥f (2)＝1－4e 2＞0，所以当x ＞0时，1－x 2e x ＞0，即e x ＞x 2.)所以，存在x 0∈(1，1＋a )，使得h (x 0)＝0， 即a ＝（x 0－1）e x 0x 2. 所以，当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，所以g (x )≥g (x 0)＝e x 0x 0－ax 0－b ≥0，所以b ≤e x 0x 0－（x 0－1）e x 0x 0＝（2－x 0）e x 0x 0.所以ab ≤（x 0－1）（2－x 0）e2x 0x 30 ＝（－x 20 ＋3x 0－2）e2x 0x 3.设F (x )＝（－x 2＋3x －2）e2xx3(x ＞1)，则 F (x )＝－2x 3－7x 2＋10x －6x4·e 2x ＝－（2x －3）（x 2－2x ＋2）x4·e 2x ， 当1＜x ＜32时，F ′(x )>0，F (x )单调递增；当x ＞32时，F ′(x )＜0，F (x )单调递减．所以F (x )≤F (32)＝2e 327，所以ab ≤2e327.2．解析：(1)由题意可知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝e x（x －1）x 2－1x＋1＝（e x＋x ）（x －1）x2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝e ＋1－a .若f (x )≥0，则f (x )min ＝e ＋1－a ≥0，解得a ≤e＋1. 故a 的取值范围为(－∞，e ＋1].(2)证明：由(1)可知，要使f (x )有两个零点，则f (x )min ＝f (1)＝e ＋1－a ＜0，即a ＞1＋e.假设0＜x 1＜1＜x 2，要证明x 1x 2＜1，即需证明1＜x 2＜1x 1.又因为f (x )在x ∈(1，＋∞)上单调递增，所以要证明1＜x 2＜1x 1，则需证明f (x 2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1，即f (x 1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x1.令F (x )＝f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，0＜x ＜1，则F ′(x )＝f ′(x )＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·1x2＝（x －1）（e x＋x －x e 1x －1）x2.因为e x在x ∈(0，1)上单调递增，所以e x＜e ，所以当x ∈(0，1)时，e x＋x ＜e ＋1.又函数y ＝x e 1x 在(0，1)上单调递减，所以x e 1x ＞e ，所以－x e 1x －1＜－e －1，所以e x＋x－x e 1x －1＜e ＋1－e －1＝0，所以当x ∈(0，1)时，F ′(x )＞0，则F (x )在(0，1)上单调递增．因为F (1)＝f (1)－f (1)＝0，所以F (x )＜0，即f (x )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，所以若f (x )有两个零点x 1，x 2，则x 1x 2＜1.3．解析：(1)函数的定义域为{x |x ＞－1}，f ′(x )＝1x ＋1－1＝－xx ＋1，f ′(x )＞0，－1＜x ＜0；f ′(x )＜0，x ＞0.函数f (x )的单调递增区间为(－1，0)；单调递减区间为(0，＋∞). (2)要使函数F (x )＝f (x )－g (x )有两个零点，即f (x )＝g (x )有两个实根， 即ln (x ＋1)－x ＋1＝a e x－x ＋ln a 有两个实根．即e x ＋ln a＋x ＋ln a ＝ln (x ＋1)＋x ＋1.整理为ex ＋ln a＋x ＋ln a ＝eln (x ＋1)＋ln (x ＋1)，设函数h (x )＝e x＋x ，则上式为h (x ＋ln a )＝h (ln (x ＋1))，因为h ′(x )＝e x ＋1＞0恒成立，所以h (x )＝e x＋x 单调递增，所以x ＋ln a ＝ln (x ＋1). 所以只需使ln a ＝ln (x ＋1)－x 有两个根， 设M (x )＝ln (x ＋1)－x .由(1)可知，函数M (x )的单调递增区间为(－1，0)；单调递减区间为(0，＋∞)， 故函数M (x )在x ＝0处取得极大值，M (x )max ＝M (0)＝0. 当x →－1时，M (x )→－∞；当x →＋∞时，M (x )→－∞， 要想ln a ＝ln (x ＋1)－x 有两个根，只需ln a ＜0， 解得0＜a ＜1.所以a 的取值范围是(0，1).4．解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝ln (1＋x )＋x e －x， 则f ′(x )＝11＋x ＋1－xex ，∴f (0)＝0，f ′(0)＝2，∴曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. (2)(方法一)函数f (x )的定义域为(－1，＋∞).①当a ≥0时，对于∀x >0，f (x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上不存在零点，故不符合题意． ②当a <0时，f ′(x )＝1x ＋1＋a e －x(1－x )＝1＋a e －x（1－x 2）x ＋1.令g (x )＝1＋a e －x(1－x 2)，则g ′(x )＝a e －x(－2x ＋x 2－1)＝a e －x(x －1－2)(x －1＋2).对于∀x >－1，e －x >0，∵a <0，∴g (x )在(－1，1－2)和(1＋2，＋∞)上单调递减，在(1－2，1＋2)上单调递增．由已知，得g (－1)＝1，g (1－2)＝1＋a e2－1·2(2－1)，g (0)＝1＋a ，g (1)＝1.(ⅰ)若－1≤a ≤0，则有：当0<x ≤1时，g (x )单调递增，g (x )>g (0)＝1＋a ≥0；当x >1时，由于1－x 2<0，a e －x<0，故g (x )＝1＋a e －x(1－x 2)>1>0. 综上可知，当x >0时，都有g (x )>0，则f ′(x )＝g （x ）x ＋1>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴对于∀x >0，f (x )>f (0)＝0，f (x )在(0，＋∞)上不存在零点，符合题意． (ⅱ)当a <－1时，g (1－2)<g (0)＝1＋a <0.又∵g (－1)＝1>0，∴∃x 0∈(－1，0)，满足g (x 0)＝0， 且∀x ∈(－1，x 0)，都有g (x )>0，则f ′(x )＝g （x ）x ＋1>0， ∀x ∈(x 0，0)，都有g (x )<0，则f ′(x )＝g （x ）x ＋1<0， ∴f (x )在(－1，x 0)上单调递增，在(x 0，0)上单调递减． 又∵f (0)＝0，∴f (x 0)>0. 又∵当x →－1时，f (x )→－∞， ∴f (x )在(－1，0)上恰有一个零点．∵g (0)＝1＋a <0，g (1)＝1>0，g (x )在(0，1＋2)上单调递增，在[1＋2，＋∞)上单调递减，∴∃x 1∈(0，1)，满足g (x 1)＝0，且当x ∈(0，x 1)时，g (x )<0，则f ′(x )＝g （x ）x ＋1<0，当x ∈(x 1，1)时，g (x )>0，则f ′(x )＝g （x ）x ＋1>0. 又∵当x ≥1时，a e －x<0，1－x 2≤0， ∴g (x )＝1＋a e －x·(1－x 2)>0，∴f ′(x )＝g （x ）x ＋1>0， ∴f (x )在(0，x 1)上单调递减，在[x 1，＋∞)上单调递增． 又∵f (0)＝0，∴∀x ∈(0，x 1)，f (x )<0，则f (x 1)<0. 又∵当x →＋∞时，ln (1＋x )→＋∞，ax e －x→0， ∴f (x )→＋∞，∴f (x )在(x 1，＋∞)上存在零点，且仅有一个． 故f (x )在(0，＋∞)上恰有一个零点．综上可知，满足题意的a 的取值范围是(－∞，－1). (方法二)令g (x )＝e xln （1＋x ）x.f (x )在区间(－1，0)，(0，＋∞)上各恰有一个零点等价于g (x )＝e xln （1＋x ）x＝－a在(－1，0)，(0，＋∞)上各恰有一解．g ′(x )＝e x[x ln （1＋x ）＋x1＋x－ln （1＋x ）]x2. 令h (x )＝(x －1)ln (1＋x )＋x1＋x，则h ′(x )＝ln (1＋x )＋x －11＋x ＋1（1＋x ）2.令φ(x )＝ln (1＋x )＋x －11＋x ＋1（1＋x ）2，则φ′(x )＝（1＋x ）2＋2x（1＋x ）3. ①当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，则h ′(x )>h ′(0)＝0，∴h (x )>h (0)＝0，∴g ′(x )>0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又∵当x →0时，g (x )＝lim x →0e xln （1＋x ）x＝1，当x →＋∞时，g (x )→＋∞，∴a ∈(－∞，－1).②当x ∈(－1，3－2)时，φ′(x )<0；当x ∈(3－2，0)时，φ′(x )>0. ∵当x →－1时，φ(x )＝h ′(x )→＋∞，h ′(0)＝0， ∴存在a 1∈(－1，0)使h ′(a 1)＝0，∴h (x )在(－1，a 1)上单调递增，在(a 1，0)上单调递减． 当x →－1时，h (x )→－∞. 又h (0)＝0，∴存在a 2∈(－1，a 1)，使得h (a 2)＝0，即g (x )在(－1，a 2)上单调递减，在(a 2，0)上单调递增． 当x →－1时，g (x )→＋∞；当x →0时，g (x )→1，g (x )的大致图像如图．故当a ∈(－∞，－1)∪{－g (a 2)}时，g (x )＝－a 仅有一解；当a ∈(－1，－g (a 2))时，g (x )＝－a 有两解．综上可知，a ∈(－∞，－1).5．解析：(1)f ′(x )＝a x ＋x －(a ＋1)＝x 2－（a ＋1）x ＋a x ＝（x －1）（x －a ）x.①若a ≤1，则f ′(x )＞0在(1，＋∞)恒成立，即f (x )在(1，＋∞)上单调递增， 当x ＞1时，f (x )＞f (1)＝0，与f (x )有一个大于1的零点x 0矛盾．②若a ＞1，令f ′(x )＞0，解得0＜x ＜1或x ＞a ，令f ′(x )＜0，解得1＜x ＜a . 所以f (x )在(0，1)和(a ，＋∞)上单调递增，在(1，a )上单调递减．所以f (a )＜f (1)＝0，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，由零点存在性定理，f (x )在(a ，＋∞)上存在一个零点x 0.综上，a ＞1.(2)令g (x )＝a ln x －x ＋1，g ′(x )＝ax －1＝a －xx，由(1)知1＜a ＜x 0，令g ′(x )＞0， 解得1＜x ＜a ，令g ′(x )＜0，解得a ＜x ＜x 0，故g (x )在(1，a )上单调递增，在(a ，x 0)上单调递减．g (1)＝0，g (x 0)＝a ln x 0－x 0＋1，因为x 0为函数f (x )的零点，故f (x 0)＝a ln x 0＋x 22－(a ＋1)x 0＋a ＋12＝0，即 a ln x 0＝－x 22＋(a ＋1)x 0－a －12， 所以g (x 0)＝a ln x 0－x 0＋1＝－x 202＋(a ＋1)x 0－a －12－x 0＋1＝－x 20 2＋ax 0－a ＋12＝12(1－x 0)(x 0－2a ＋1). 又因为f (2a －1)＝a ln (2a －1)＋（2a －1）22－(a ＋1)(2a －1)＋a ＋12＝a ln (2a －1)－2a ＋2，令h (a )＝a ln (2a －1)－2a ＋2，则h ′(a )＝ln (2a －1)＋2a 2a －1－2＝ln (2a －1)＋12a －1－1， 令m (a )＝ln (2a －1)＋12a －1－1，m ′(a )＝22a －1－2（2a －1）2＝4（a －1）（2a －1）2＞0恒成立， 所以h ′(a )在(1，＋∞)上单调递增，h ′(a )＞h ′(1)＝0，所以h (a )在(1，＋∞)上单调递增，h (a )＞h (1)＝0，即f (2a －1)＞0，由(1)可知f (a )＜0，所以a ＜x 0＜2a －1，因为1－x 0＜0，x 0－2a ＋1＜0，所以g (x 0)＝12(1－x 0)·(x 0－2a ＋1)＞0，所以g (x )＞0在x ∈(1，x 0]恒成立，故对任意的x ∈(1，x 0]，都有a ln x －x ＋1＞0恒成立．。
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2023年高等应用数学试题及答案高等应用数学试题
第一章函数
1.1函数的概念
习题1.1
1.2初等函数
习题1.2
1.3分段函数
习题1.3
1.4常用的经济函数
习题1.4
复习题一
第二章极限与连续
2.1数列极限
习题2.1
2.2函数极限
习题2.2
2.3无穷小与无穷大
习题2.3
2.4极限的四则运算
习题2.4
2.5两个重要极限
习题2.5
2.6函数的连续性
习题2.6
复习题二
第三章导数与微分
3.1导数的概念
习题3.1
3.2导数的基本公式和基本运算法则习题3.2
3.3复合函数的导数
习题3.3
3.4反函数的.层数和隐函数的层数习题3.4
3.5高阶层数
习题3.5
3.6微分
习题3.6
复习题三
第四章导数的应用
4.1中值定理
习题4.1
4.2罗必塔法则
习题4.2
4.3函数单调性
习题4.3
4.4函数的极值与最值
习题4.4
4.5函数图形的描绘
习题4.5
4.6导数在经济工作中的应用习题4.6
复习题四
第五章不定积分
第六章定积分
第七章多元函数微积分
第八章矩阵
附录一习题参考答案
附录二简易积分表
高等应用数学内容简介
《高等应用数学》是教育部高职高专规划教材，是以教育部高职高专应用数学课程的基本要求为依据，吸收国外先进职业教育思想编写的，分上、下两册。
本书为下册本书，本书共分为八章。
主要内容包括：函数;极限与连续;导数与微分;导数的应用;不定积分;定积分;多元函数微积分;矩阵。
每节后附有相关习题，每章后附有复习题。
本书最大的特点是应用性较强，适用面较广，财经类、工程技术类、管理类人员都可用。
高等应用数学目录。