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经济数学第一章典型例题与综合练习

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经济数学第一章练习题

经济数学第一章练习题

经济数学第一章练习题一、函数与极限1. 判断下列函数的单调性：(1) f(x) = 2x + 3(2) f(x) = x^2 + 4x + 1(3) f(x) = e^x 2x2. 求下列极限：(1) lim(x→0) (sin x / x)(2) lim(x→1) (x^2 1) / (x 1)(3) lim(x→+∞) (1 + 1/x)^x3. 讨论下列函数在指定区间内的连续性：(1) f(x) = |x|，区间为[1, 1](2) f(x) = sqrt(4 x^2)，区间为[2, 2]二、导数与微分1. 求下列函数的导数：(1) f(x) = 3x^2 2x + 1(2) f(x) = ln(x + 1)(3) f(x) = e^x sin x2. 计算下列函数的微分：(1) f(x) = x^3 2x^2 + 3x 4(2) f(x) = arcsin(x/2)3. 求下列隐函数的导数：(1) y = e^(x + y)(2) x^2 + y^2 = 4三、高阶导数与微分方程1. 求下列函数的二阶导数：(1) f(x) = x^4 3x^3 + 2x^2(2) f(x) = ln(x^2 + 1)2. 求下列微分方程的通解：(1) y' + y = x(2) y'' 2y' + y = e^x3. 求下列微分方程的特解：(1) y' = 2x + y，初始条件为y(0) = 1(2) y'' + y = sin x，初始条件为y(0) = 0，y'(0) = 1四、泰勒公式与应用1. 将下列函数在指定点处展开成泰勒级数：(1) f(x) = e^x，展开点为x = 0(2) f(x) = sin x，展开点为x = π/22. 利用泰勒公式求下列极限：(1) lim(x→0) (1 cos x) / x^2(2) lim(x→0) (e^(x^2) 1 x^2) / x^43. 计算下列函数的近似值：(1) f(x) = sqrt(1 + x)，当x = 0.01时(2) f(x) = ln(1 + x)，当x = 0.1时五、多元函数微分法1. 计算下列多元函数的偏导数：(1) z = x^2 + y^2，对x和y求偏导数(2) u = sin(xy) + e^z，对x、y和z求偏导数2. 求下列函数的全微分：(1) z = x^2y + y^2x(2) u = ln(xyz)3. 验证下列函数是否满足拉格朗日中值定理：(1) f(x, y) = x^2 + y^2，在直线y = x上(2) f(x, y) = e^(x^2 + y^2)，在圆x^2 + y^2 = 1上六、极值与条件极值1. 求下列函数的极值：(1) f(x) = x^3 3x^2 + 2(2) f(x, y) = x^2 + y^2 2x 4y + 52. 求下列函数在给定区间上的最大值和最小值：(1) f(x) = x^2 + 4x，区间为[0, 3](2) f(x, y) = x^2 + y^2，在圆x^2 + y^2 = 4内3. 求下列条件极值问题：(1) max f(x, y) = x + y，约束条件为x^2 + y^2 = 1(2) min f(x, y, z) = x + y + z，约束条件为x^2 + y^2 + z^2 = 4，x + y + z = 1七、积分与定积分的应用1. 计算下列不定积分：(1) ∫(3x^2 2x + 1)dx(2) ∫(e^x sin x)dx2. 计算下列定积分：(1) ∫_{0}^{1} (x^2 + 1)dx(2) ∫_{π/2}^{π/2} (cos x)dx3. 利用定积分求解下列实际问题：(1) 计算由曲线y = x^2与直线x = 1，y = 0围成的平面图形的面积(2) 计算由曲线y = e^x，直线x = 0，y = e及y轴围成的平面图形的体积八、多元积分1. 计算下列二重积分：(1) ∬_D (x^2 + y^2)dxdy，其中D为圆x^2 + y^2 ≤ 1(2) ∬_D (e^(x + y))dxdy，其中D为矩形区域0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 22. 计算下列三重积分：(1) ∭_E (x + y + z)dV，其中E为长方体0 ≤ x ≤ 1，0 ≤ y ≤ 2，0 ≤ z ≤ 3(2) ∭_E (xyz)dV，其中E为球体x^2 + y^2 + z^2 ≤ 13. 利用二重积分求解下列实际问题：(1) 计算由抛物线y = x^2与直线x = 1，y = 0围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积(2) 计算由曲面z = x^2 + y^2与平面z = 4围成的立体图形的体积答案一、函数与极限1. (1) 单调递增(2) 单调递减(3) 单调递增2. (1) 1(2) 2(3) e3. (1) 在[1, 1]上连续(2) 在[2, 2]上连续，但在x = ±2处不连续二、导数与微分1. (1) f'(x) = 6x 2(2) f'(x) = 1 / (x + 1)(3) f'(x) = e^x sin x + e^x cos x2. (1) df(x) = (6x^2 4x + 3)dx(2) df(x) = (1 / sqrt(1 (x/2)^2))dx3. (1) y' = (e^(x + y) y') / e^(x + y)(2) y' = x / y三、高阶导数与微分方程1. (1) f''(x) = 12x^2 12x(2) f''(x) = 2 / (x^2 + 1)^22. (1) y = C e^(x) + x(2) y = C1 e^x + C2 e^(x)3. (1) y = x + 1(2) y = (1/2) sin x (1/2) cos x四、泰勒公式与应用1. (1) e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! +(2) sin x = 1 (x π/2)^2/2! + (x π/2)^4/4!2. (1) 1/2(2) 1/23. (1) f(0.01) ≈ 1.005(2) f(0.1) ≈ 0.09516五、多元函数微分法1. (1) ∂z/∂x = 2x，∂z/∂y = 2y(2) ∂u/∂x = y cos(xy)，∂u/∂y = x cos(xy)，∂u/∂z = e^z2. (1) dz = (2xy + y^2)dx + (x^2 + 2xy)dy(2) du = (1/x + 1/y + 1/z)dx + (1/x + 1/y + 1/z)dy + (1/x + 1/y + 1/z)dz3. (1) 满足(2) 满足六、极值与条件极值1. (1) 极大值f(1) = 0，极小值f(2/3) = 4/27(2) 极小值f(1, 2) = 52. (1) 最大值f(3) = 3，最小值f(1) = 1(2) 最大值f(0, 2) = 4，最小值f(0, 2) = 03. (1) 最大值f(√2/2, √2/2)= √2(2) 最小值f(1, 0, 0) = 1七、积分与定积分的应用1. (1) (x^3 x^2 + x) + C(2) (e^x + cos x) + C2. (1) 5/3(2) 23. (1) 1/3 π(2) (e^2 e)π八、多元积分1. (1) π(2) e^2 12. (1) 3(2) 0（因为积分区域关于y轴对称，被积函数关于x为奇函数）3. (1) (2/3)π(2) (π/6)。

《经济数学--微积分》第一章 函数 练习题

《经济数学--微积分》第一章 函数 练习题

第一章 函数一、填空题1．()x y 32log log =的定义域 。

2．523arcsin 3x x y -+-=的定义域 。

3．xx y +-=11的反函数 。

4．已知31122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x f ，则=)(x f 。

二、计算题1. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3x , 0 3 , sin )(ππϕx x x ，求()2,6-⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕπϕ。

2. 指出下列函数的复合过程。

（1）e y 1= ； （2）x ey 3sin = ； （3）()[]12ln arcsin +=x y3. 设()⎩⎨⎧<≥=0, 10 , x x x x f （1）求()1-x f ； （2）求()()1-+x f x f ，（写出最终的结果）4. 某运输公司规定货物的吨公里运价为：在a 公里内，每公里k 元；超过a 公里，超过部分每公里54k 元，求运价m 和里程s 之间的函数关系，并作出此函数的图形。

5. 某商店年销售某种产品800件，均匀销售，分批进货。

若每批订货费为60元，每件每月库存费为0.2元，试列出库存费与进货费之和p 与批量x 之间的函数关系。

三、简单经济问题1. 某车间设计最大生产力为月生产100台机床，至少要完成40台方可保本，当生产x 台时的总成本函数()x x x c 102+=（百元），按市场规律，价格为x p 5250-=（x 为需求量），可以销售完，试写出月利润函数。

2. 某工厂生产某种产品年产量为x 台，每台售价为250元，当年产量在600台内时，可全部售出，当年产量超过600台时，经广告宣传后又可再多出售200台，每台平均广告费为20元，生产再多，本年就售不出去了。

试建立本年的销售收入R 与年产量x 的关系。

3. 当某商品价格为P 时，消费者对此商品的月需求量为D （P ）= 12×103-200P.（1）画出需求函数的图形；（2）将月销售额（即消费者购买此商品的支出）表达为价格P 的函数（3）画出月销售额的图形，并解释其经济意义。

《经济数学基础》习题答案及试卷（附答案）

《经济数学基础》习题答案及试卷（附答案）

习题解答第一章 经济活动中的函数关系分析实训一（A ）1．填空题：（1）(,2][2,)-∞-+∞ ； （2）()3,5； （3）1x； （4）2x e ；2x e ； （5）473x -，提示：由()()47433433g f x x x =+=+-⎡⎤⎣⎦，所以()473x g x -=．2．（1）tan(2)y x =；（2）（3）y=；（4）y=lg(sin 2)x ．3．（1）cos y u =，1xu e =-； （2）ln y u =，222u x x =-+；（3）y =1u x =+；（4）y lg u v =，v =实训一（B ）1．由已知可知2110x -<-<，得到201x <<，即定义域为()()1,00,1- ．2．由()21f x x -=，可得()()2111f x x -=-+，所以()()21f x x =+．也可令1x t -=．3．（1）u y e =，sin u v =，2v x =；（2）log uv ay =，21u x =+，sin v w =，2w x =． 4． ()()()log log log a a a f x f y x y xy f xy +=+==；()()log log log a a axx f x f y x y f y y ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭． 实训二 （A ）1．填空题：（1）y =（2）[]1,3-； （3）2π-，4π； （4）12，π． 2．（1）⨯；（2）⨯；（3）⨯；（4）√．3．（1）由()cos 21y x =+，解得21arccos x y +=，()1arccos 12x y =-， 所以，()()11arccos 12fx x -=-．定义域：[]1,1x ∈-；值域：11,22y π-⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（2）由()1ln 2y x =++，解得12y x e -+=，12y x e -=-，所以，()112x fx e --=-定义域：(),x ∈-∞+∞；值域：()2,y ∈-+∞ 4．【水面波纹的面积】设面积为S （2cm ），时间为t （s ），则()22502500S t t ππ==【仪器初值】()0.04200.800208986.58Q Q e Q e -⨯-===解得0.808986.582000Q e =≈．实训二（B ）1．由()x a f x x b +=+，解得反函数为()11a bx f x x --=-． 由已知()1x a f x x b -+=+，可得1a bx x a x x b-+=-+，相比较，可得a 为任意实数，1b =-．2．由()ln x x ϕ=，()21ln 3g x x ϕ=++⎡⎤⎣⎦，可得()221ln 3ln 3x x g x e e e ϕ+=⋅⋅=⎡⎤⎣⎦所以，()213x g x e+=．实训三【商品进货费用】 设批次为x ，由题意： 库存费：11250030000242C x x=⋅⋅=； 订货费：2100C x =． 【原料采购费用】设批量为x ，库存费用为1C ，进货费用为2C ，进货总费用为12C C C =+．1122C x x=⋅⋅= 23200640000200C xx=⋅=所以进货总费用为：12640000C C C x x=+=+． 【商品销售问题】设需求函数关系式为：d Q ap b =+，其中p 为定价． 由已知可得：1000070700073a ba b=+⎧⎨=+⎩，解得1000a =-，80000b =，所以100080000d Q p =-+； 供给函数为：1003000s Q p =+平衡状态下：价格70p =；需求量10000d Q =． 【商品盈亏问题】设()()()()2015200052000L x R x C x x x x =-=-+=-．()6001000L =； 无盈亏产量：()0L x =，解得400x =． 【供给函数】答案：1052PQ =+⋅． 【总成本与平均成本】总成本()1306C Q Q =+，[]0,100Q ∈． 平均成本()13061306Q C Q Q Q+==+，[]0,100Q ∈．第一章自测题一、填空题1、[2,1)(1,1)(1,)---+∞2、(,)-∞+∞3、(,1)a a --4、23x x -5、2ln(1)x -6、arcsin 2x7、cos(ln )x8、2142R Q Q =-+9、22()2505;()6248100R x x x L x x x =-=-+- 10、6P = 二、选择题1、C2、B3、B4、D5、C三、计算解答题1、（1）22log , 1y u u x ==+（2）1x y u e ==+ 2、1()1 , ()1f x x f x x -=+=- 四、应用题1、（1） 6 , 8P Q == （2） 3.5 , 3P Q == （3） 6.5 , 7P Q ==2、（1）()10200C x x =+，()200()10C x C x x x==+ （2）()15R x x =（3）()()()5200L x R x C x x =-=-，无盈亏点：40x =五、证明题（略）第二章 极限与变化趋势分析实训一（A ）1．（1）×；（2）√；（3）×；（4）×；（5）√． 2．（1）收敛，且lim 0n n x →∞=；（2）发散，lim n n x →∞=∞；（3）收敛，且lim 2n n x →∞=；（4）发散．3．（1）收敛，且lim 2x y →∞=；（2）收敛，且0lim 1x y →=；（3）收敛，且lim 1x y →+∞=；（4）发散．【产品需求量的变化趋势】lim lim 0t t t Q e -→+∞→+∞==．实训一（B ）（1）无穷大；（2）无穷大；（3）无穷大；（4）无穷大． 【人影长度】越靠近路灯，影子长度越短，越趋向于0．实训二 （A ）1．填空题（1）5；（2）2；（3）1；（4）13；（5）∞；（6）∞；（7）2． 2．（1）()()()()2211111112lim lim lim 21121213x x x x x x x x x x x x →→→-+-+===---++； （2）(222211lim2x x x x x x →→→===--；（3）()()2322000222lim lim lim 211x x x x x x x x x x x x x →→→---===---； （4）()()211121111lim lim lim 111112x x x x x x x x x →→→--⎛⎫-===-⎪---++⎝⎭． 3．（1）222112lim lim 2111x x x x x x x →+∞→+∞-⎛⎫-==- ⎪+--⎝⎭； （2）()()()1121lim lim lim 22222222n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎫++++-⎛⎫-=-==- ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭． 【污染治理问题】由题意可知，该问题为等比级数问题，首项为a ，公比为45，则设n 周后所剩污染物为n a ，则45nn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为4lim 05nn a →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，可以确定随着时间的推移能将污染物排除干净．【谣言传播】 （1）1lim (t)lim11ktt t P ae -→∞→∞==+；（2）121(t)0.8110t P e-==+，可解得2ln 407.38t =≈．实训二（B ）1．填空题（1）32π-； （2）0；0．（无穷小与有界函数的乘积为无穷小）（3）0a =，2b =-．2．（1）()3320lim3h x h x x h→+-=；（2）442x x x →→→===．3．由()3lim 30x x →-=，且232lim 43x x x kx →-+=-，可得()23lim 20x x x k →-+=，解得3k =-．4．由题意可知()()21116lim lim 511x x x x x ax bx x→→--++==--，可得7a =-，6b =．实训三 （A ）1．填空题（1）1e -；（2）3e -；（3）e ；（4）e ；（5）3k =；（6）5050.1230⨯⨯=万元，()55010.125038.1⨯+-=万元，50.125041.1e ⨯=万元． 2．（1）6e -；（2）1e -；（3）2e -；（4）01e =． 3．（1）0.042003 6.68rtPe e ⨯==万元； 2.25o P =万元．（2）24.38t p =万元；24.43t p =万元．实训三（B ）1．（1）(()0111lim 1lim 1lim 11x x x x x x e x x x --→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎛⎫⎛⎫-=-=-==⎢⎥⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（2）()15lim 15xx x x e →→∞=+=；（3）()1111111lim lim 11xxx x xx e ---→→=+-=；（4）()()()1000ln 121limlim ln 12limln 12x x x x x x x xx →→→+=+=+ ()()112limln 12lnlim 12ln 2x xx x x x e →→=+=+==．2．322lim lim 122x xc x x x c c e e x c x c →∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以3c =． 实训四 （A ）1．填空题 （1）(]0,3；（2）()243,110,1x x x f x x ⎧-+≤-=⎨>⎩；（3）()0lim 1x f x -→=-，()0lim 0x f x +→=，()0lim x f x →不存在； （4）()(),22,-∞--+∞ ； （5）1x =，2x =；（6）1k =．2．图略，()0lim 1x f x -→=，()0lim 0x f x +→=，()0lim x f x →不存在． 3．()()1lim 11x f x f -→==，()1lim 2x f x +→=，因为()()11lim lim x x f x f x -+→→≠，所以()f x 在1x =处不连续．【个人所得税计算】个人所得税的起征点为月收入3500元．850035005000-=，50000.2555455⨯-=；1200035008500-=，85000.25551145⨯-=．【出租车费用】图略，()8, 322, 3836, 8x f x x x x x ≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩．实训四 （B ）1．图略，()()0lim 10x f x f -→=-=，()0lim 0x f x +→=，因为()()11lim lim x x f x f x -+→→≠，所以()f x 在0x =处不连续．2．由连续的定义可知：()()220lim 1xx k f x e →==+=．3．因为()01f =，()01lim sin00x x f x→=≠（无穷小与有界函数的乘积）， 所以0x =为第一类的可去间断点．第二章自测题一、填空题 1、1- 2、1 3、12- 4、345、221,02,0x x x x ⎧+=⎪⎨≠⎪⎩6、1-7、100 ; 0 8、0.035; 5.15e(万)(万)二、选择题1、C2、A3、C4、A5、B 三、计算解答题1、（1）原式=211(1)1 lim lim0(1)(1)1x xx xx x x→→--==+-+（2）原式=lim lim x x=1lim2x==-（3）设1xe t-=，则ln(1)x t=+，0x→时，0t→，原式=10011lim lim1ln(1)ln(1)limln(1)t ttttt ttt→→→==+⋅++1111lnln[lim(1)]ttet→===+（4）原式=sin[lim sin[limx x→+∞=s i n[l]s i n00x===2、(0)2f=00l i m()l) x x xf x---→→→==00lim lim(12x x--→→==+=00lim()lim(2)2x xf x x++→→=+=lim()2(0)xf x f→∴==()f x∴在0x=点连续，从而()f x在(,)-∞+∞内连续.四、应用题第三章经济最优化问题分析实训一（A ）1．填空题（1）45x ； （2）2313x -； （3）23x ； （4）5232x --；（5）2ln 2x ； （6）1ln10x ； （7）0； （8）0．2．2log y x =，1ln 2y x '=．212ln 2x y ='=，122ln 2x y ='=．3．（1）()141y x -=-，即43y x =-； （2）()222y x +=--，即22y x =-+； （3）cos y x '=，312x k y π='==，切线方程为123y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即126y x π=-． 实训一（B ）1．()()()20001sin010limlim lim sin 00x x x x f x f x f x x x x→→→-'====-．2．()()()()000002lim h f x h f x f x h f x h →+-+--()()()()0000022lim2h f x h f x hh f x h f x h →+-=+--()()()()00000022limlim 12h h f x h f x hh f x h f x h →→+-=⋅=+--． 其中()()()00002lim2h f x h f x f x h→+-'=，()()()()()00000021limh h f x f x h f x f x h f x →='+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 3．因为3,02⎛⎫⎪⎝⎭不在21y x =上，不是切点．设过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭与21y x =相切的切线的切点坐标为21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切点为21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线方程为：()2312Y X a a a -=--，有已知3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭在切线上，带入可得1a =，所以切线方程为：()121y x -=--，即23y x =-+．实训二 （A ）1．（1）223146y x x x '=+-； （2）11'ln n n y nx x x --=+； （3）21'41y x x =++； （4）2cosx cosx sinx'(x 1)x y +-=+． 2．（1）22'1xy x =+； （2）22'2sin3x 3cos3x x x y e e =+； （3）'y = （4）22sec cos122'csc sinx 2tan 2cos sin222x x y x x x x ====．3．（1）''2y =； （2）''2x x y e xe --=-+（3）222222(1x )2(2x)''224(1x )x y x x --+-==-+--； （4）2322222(1x)2''2arctanx 1(1x )x x x y x +-=++++． 4．（1）2212dy x xdx y y --+==；（2）x y x y dy y e y xy dx e x xy x++--==--． 【水箱注水】由24r h =，12r h =，22311133212h v r h h h πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，两边求导得214v h h π''=，由已知2v '=，3h =，带入可得： 1294h π'=，89h π'=所以水位上升的速度为89π米/分．【梯子的滑动速度】由题意可得22100x y +=，两边求导可得：220dx dy xy dt dt +=，即dx y dy dt x dt=-， 将8y =，6x =，0.5dy dt =带入可得：820.563dy dt =-⨯=-．所以梯子的另一端华东的速度为23米/秒．负号表示运动方向． 实训二 （B ）1．（1）11(1ln )e x e x y x x x e -=+++； （2）()()1112121y x x x ⎫'=--⎪⎪-+⎭． 2．()()cos sin x x y e x f e x ''=++． 3．将1y y xe -=两边对x 求导可得：0y y dy dy e xe dx dx --=，即1y ydy e dx xe =-．…………（1） 将0,1x y ==带入（1）可得：y e '=． 对（1）继续求导，()()()22121y y y y y y y e xe e e xy e y e xe ''----''==-．4．（1）22x z z xy x ∂'==∂， 22y zz yx y ∂'==∂； （2）2xy x z z ye xy x ∂'==+∂，2xy y z z xe x y∂'==+∂． 实训三 （A ）1．填空题（1）单调递增区间，(),0-∞；单调递减区间()0,+∞． （2）6a =-．（3）驻点． （4）()00f x ''<．2．()()3444110y x x x x x '=-=-+=，得驻点1230,1,1x x x ==-=，单调递增区间：()()1.0 1.-+∞ ，单调递减区间：()().10.1-∞- ．3．()()23693310y x x x x '=--=-+=，得驻点121,3x x =-=．又由于：66y x ''=-，()1120y ''-=-<，所以11x =-为极大点，极大值为0； ()360y ''=>，所以23x =为极小点，极小值为32-．【定价问题】21200080R PQ P P ==-，25000502500050(1200080)6250004000C Q P P =+=+-=-， 224000160T Q P ==-，21200080625000400024000160L R C T P P P P =--=--+-+28016160649000P P =-+-160161600L P '=-+=，解得：101P =， 167080L =．【售价与最大利润】1100200Q p =-，21100200R PQ P P ==-；220019004400L R C P P =-=+-，40019000L P '=-+=，解得 4.75P =此时：150Q =，112.5L =． 【最小平均成本】210000501000050x x c x x x ++==++；21000010c x '=-+=，解得100x =．【最大收入】315x R px xe -==，33155x x R exe--'=-3(155)0x x e-=-=，解得：3x =，此时115p e -=，145R e -=．实训三 （B ）1．（1）设()1xf x e x =--，()10xf x e '=->（0x >），说明()f x 在0x >时单调递增，又()00f =，所以，当0x >时，()()00f x f >=，所以不等式成立． （2）设()()ln 1f x x x =-+，()1101f x x'=->+（0x >），说明()f x 在0x >时单调递增，又()00f =，所以，当0x >时，()()00f x f >=，所以不等式成立． 2．()cos cos3f x a x x '=+，没有不可导点，所以cos cos 033f a πππ⎛⎫'=+=⎪⎝⎭，得2a =．又()2sin 3sin3f x x x ''=--，03f π⎛⎫''=<⎪⎝⎭，所以3x π=为极大值点，极大值为3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭【采购计划】 设批量为x ，采购费：132********200C x x =⨯=； 库存费：222xC x =⨯=；总费用：12640000C C C x x=+=+； 264000010C x'=-+=，解得800x =唯一驻点， 所以采购分4次，每次800吨，总费用最小．第三章自测题一、填空题 1． 2 2． 12-3． 21x -4． 1-5． 212c o s x xx+ 6． 17． 2l n3x + 8． 2 ; 09． 11ln ; ln y x y x yxy y x x xy --+⋅⋅+10． 12x =二、选择题1、C2、A3、A4、D5、A 三、计算解答题1、（1）([1]y x '''=+=+[12]()1x =⋅⋅⋅==（2）222()()2x x x x y e x e x xe e --'''=⋅+⋅-=- 2、方程221x y xy +-=两边对x 求导，得22()0x y y y x y ''+⋅-+= 解得：22y xy y x-'=-，将0,1x y ==代入，得切线斜率12k =，所以，切线方程为：11(0)2y x -=-，即：220x y -+=. 3、定义域(,)-∞+∞2363(2)y x x x x '=-=- 令0y '=，得驻点120,2x x ==递增区间：(,0)-∞、(2,)+∞ 递减区间：(0,2)极大值：(0)7f = 极小值：(2)3f = 四、应用题1、50S t ==(50)50dSt dt'== 所以，两船间的距离增加的速度为50千米／小时. 2、第四章 边际与弹性分析实训一（A ）1．填空题（1）0.2x ∆=， 2.448y ∆=， 2.2dy =． （2）1x dy edx ==． （3）12dy x dx x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （4）cos(21)x +，2cos(21)x +． （5）[]()f g x '，[]()()f g x g x ''．2．（1）(12)dy x dx =+； （2）221dy dx x =+； （3）222(22)x x dy xe x e dx --=-； （4）322(1)dy x x dx -=-+； （5）23(1)1dy dx x =-+； （6）1dx dy x nx=． 3．()ln 11x y x x '=+++，11ln 22x y ='=+，所以11ln 22x dy dx =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 【金属圆管截面积】2s r π=，2200.05ds r r πππ=∆=⨯=．实训一（B ）1．（1）2sec x ；（2）1sin 5x 5；（3）2x ；（4）232x ；（5）21x +；（6）arctan x ． 2．将x yxy e+=两边对x 求导，()1x yy xy ey +''+=+，解得：x y x ye yy x e ++-'=-，所以x y x ye ydy dx x e++-=-．3．（1110.001 1.00052≈+⨯=；（20.02221 2.001783⎛⎫==≈+= ⎪⨯⎝⎭； （3）()ln 1.01ln(10.01)0.01=+≈； （4）0.0510.05 1.05e ≈+=． 【圆盘面积的相对误差】2s r π=，0.2r ∆≤()'2s ds s r r r r π∆≈=∆=∆（1）()()22482240.29.65s ds cm cm πππ∆≈=⨯⨯==； （2）2220.22 1.67%24r r r s ds s s r r ππ∆∆∆≈===⨯≈． 实训二 （A ）1．（1）()2'2x f x xe =；（2）[]1'()(1)a bf x x e a x ac --=++．2．（1）()21900110090017751200C =+⨯=；17757190036C ==． （2）()39002C '=，表示第901件产品的成本为32个单位；()51000 1.673C '=≈，表示第1001件产品的成本为53个单位． 3．（1）(50)9975R =；9975199.550R ==． （2）()502000.0250199R '=-⨯=，表示第51件产品的收入为199个单位． 4．22()()100.01520050.01200L R x C x x x x x x =-=---=--，50.020L x '=-=，解得唯一驻点250x =，所以当每批生产250个单位产品时，利润达到最大．实训二（B ）1．()()()()()242,04282, 4x x x x L x R x C x x x ⎧--+≤≤⎪=-=⎨⎪-+>⎩， 即()232,0426, 4x x x L x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩，求导()3,041, 4x x L x x -+≤<⎧'=⎨->⎩，令()0L x '=解得3x =百台（唯一驻点） 所以每年生产300台时，利润达到最大．()()430.5L L -=-万元，在最大利润的基础上再生产1百台，利润将减少0.5万元．2．()0.50.25C a a =+（万元）()2152R a aa =- ()22150.50.25 4.750.522a L a a a a a =---=-+-令() 4.750L a a '=-+=，解得 4.75a =（百台）又()10L a ''=-<，有极值的第二充分条件，可知当 4.75a =为最大值（唯一驻点） 所以该产品每年生产475台时，利润最大．实训三 （A ）1．填空题 （1）1axy=；（2）21x Ey Ex ==；（3）1ln()4p η=-；（4）()334η=，()41η=，()554η=． 2．（1）15x η=； （2）3(3)5η=，价格为3时，价格上涨1%，需求下降0.6%，缺乏弹性；(5)1η=，价格为5时，价格上涨1%，需求下降1%，单位灵敏性； 6(6)5η=，价格为6时，价格上涨1%，需求下降1.2%． 3．（1）500P =元时，100000Q =张． （2）18002ppη=-．（3）1η=时，18002600p p p =-⇒=所以：当0600p ≤<时，1η<；当600900p <≤时，1η>．实训三 （B ）1．（1）224202EQ x x Q Ex Q x '==--，243x EQ Ex ==-，所以价格增长5%，需求量减少6.7%；（2）()()3220R x xQ x x x ==--，x =403Q =．2．（1）2Q P '=-，48P Q ='=-，经济意义：在价格4P =的基础上，增加一个单位，需求量减少8个单位．（2）22275P P Q Q P η'=-=-，4320.542359P η===，经济意义，在4P =的基础上涨1%，需求减少0.54%．（3）375R PQ p p ==-，3375375p p p pη-=-，(4)0.46η=，经济意义，在4P =的基础上，若价格上涨1%，收入上涨0.46%．（4）198(6)0.46234η-=≈-，经济意义，在6P =的基础上，若价格上涨1%，收入减少0.46%． （5）375R p p =-，275305R p p '=-=⇒=，又6R p ''=-，()5300R ''=-<，所以由极值的第二充分条件，可知5P =时，总收入最大．第四章自测题一、填空题 1． 22 ; 2xxe e2．212x 3． arctan x4． 0.1 ; 0.63 ; 0.6 5． 45 ; 11 ; 456．10 ; 10% ; 变动富有弹性 7． 15%20% 8． 10% 二、选择题1、C2、B3、D4、A5、C 三、计算解答题1、（1）2222222()()2(2)x x x x y x e x e xe x e x ''''=⋅+⋅=+⋅2222222(1)x x x x e x e x e x =+=+ 22(1)xd y y d x xe x d x'∴==+ （2）222sin(12)[sin(12)]y x x ''=+⋅+2222s i n (12)c o s (12)(12)x x x '=+⋅+⋅+ 24s i n (24)x x =+ 24s i n (24)d y y d x x x d x'∴==+ 2、方程242ln y y x -=两边对x 求导，得31224dy dyy x dx y dx⋅-⋅⋅= 解得，3221dy x y dx y =-，3221x y dy dx y ∴=-3、四、应用题1、（1）()60.04C Q Q '=+ ()300()60.02C Q C Q Q Q Q==++（2）2300()0.02C Q Q'=-+令()0C Q '=，得Q = （3）2()()(204)204R Q P Q Q Q Q Q Q =⋅=-⋅=-2()()() 4.0214300L Q R Q C Q Q Q =-=-+- ()8.0414L Q Q '=-+ 令()0L Q =，得Q =2、 4Q P '=-（1）(6)24Q '=-，6P =时，价格上升1个单位，需求量减少24个单位.（2）22224(1502)15021502P P P Q P Q P P η''=-⋅=-⋅-=-- 24(6)13η=6P =时，价格变动1%，需求量变动2413% （3）23()()(1502)1502R P Q P P P P P P =⋅=-⋅=-33(1502)1502E R P PR P P E P R P P''=⋅=⋅--2215061502P P -=-61113P EREP==-6P =时，若价格下降2%，总收入将增加2213%第五章 经济总量问题分析实训一（A ）1．填空题（1）3x ，3x C +； （2）3x ，3x C +； （3）cos x -，cos x C -+；（4C ； （5）arctan x ，arctan x C +．2．（1）B ； （2）C ； （3）D ； （4）A ．3．（1）5322225x x C -+；（2）31cos 3xx e x C --+；（3）21x x C x-++； （4）(2)ln 2xe C e+． 4．（1）1arctan x C x--+；（2）sin cos x x C ++． 【曲线方程】由题意()21f x x '=+，所以()()()23113f x f x dx x dx x x C '==+=++⎰⎰，又过点()0,1带入，得到1C =，所以曲线方程为：()3113f x x x =++． 【总成本函数】由题意可得()220.01C x x x a =++，又固定成本为2000元，所以 ()220.012000C x x x =++． 【总收入函数】()()278 1.2780.6R x x dx x x C =-=-+⎰，由()000R C =⇒=，所以总收入函数为()2780.6R x x x =-．实训一（B ）1．填空题（1）sin 2ln x x x +；（2）223cos3x e x +；（3）ln x x C +． 2．（1）D ； （2）B ．3．（1）322233331u u u I du u du u u u -+-⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭⎰⎰ 2133ln 2u u u C u=-+++； （2）)32332333I dx x x C ===-+⎰；（3）()222222121212arctan 11x x I dx dx x C x x x x x ++⎛⎫==+=-++ ⎪++⎝⎭⎰⎰； （4）()()()1111tttt te e I dt edt e t C e +-==-=-++⎰⎰．实训二 （A ）1．填空题 （1）212x ； （2）x e --； （3）ln x ； （4）arctan x ； （5）23x x +； （6）arcsin x ． 2．（1）B ； （2）B ．3．（1）()()()11cos 2121sin 2122I x d x x C =++=++⎰； （2）()()3212313139I x x C =+=++；（3）()()231ln ln ln 3I x d x x C ==+⎰；（4）111xx I e d e C x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰．4．（1）sin sin sin x xI e d x eC ==+⎰； （2）()()11ln 11x xx I d e e C e =+=+++⎰；（3）()()2222ln 22d x x I x x C x x -+==-++-+⎰；（4）22221111111x x x I dx dx x x x ++-⎛⎫==+- ⎪+++⎝⎭⎰⎰ 21l n (1)a r c t a n 2x x x C=++-+． 5．（1）()x x x x x I xd e xe e dx xe e C -----=-=-+=--+⎰⎰；（2）()()()ln 1ln 1ln 1I x dx x x xd x =+=+-+⎰⎰()()11ln 1ln 111x x x x dx x x dx x x +-=+-=+-++⎰⎰()()l n 1l n 1x x x x C =+-+++． 【需求函数】由已知，()111000ln3100033p pQ p dp C ⎛⎫⎛⎫=-⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 又因为0p =时，1000Q =，代入上式，得到0C =．所以，()110003pQ p ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【资本存量】由已知，32()2(1)y I t dt t C ===++⎰⎰因为0t =时，2500498y C C =+=⇒= 所以，322(1)498y t =++．实训二 （B ）1．填空题（1）ln ()f x C +；（2）arctan(())f x C +；（3）'()()xf x f x C -+． 2．（1）()()2arctan 1x x x d e I e C e ==++⎰；（2）()()11131431dx I dx x x x x ⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭⎰⎰113l n 3l n 1l n 441x I x x C C x -=⎡--+⎤+=+⎣⎦+；（3）()()2arctan 111dxI x C x ==++++⎰；（4）()22222x x x x x I x d e x e e dx x e xe dx -----=-=-+=--⎰⎰⎰()22222x x x x x x I x e xe e C x e xe e C ------=----+=-+++． 【物体冷却模型】设()T t 为t 时刻物体的温度，由冷却定律可得：0()dTk T T dt=-， 分离变量0dT kdt T T =-，两边积分0dTkdt T T =-⎰⎰，可得：()0ln ln T T kt c -=+，0()kt T t T ce =+．由已知()0100T =，()160T =，020T =，带入得到：80c =，ln 2k =-， 所以ln2()2080t T t e -⋅=+， 当ln 23020803te t -⋅=+⇒=．实训三 （A ）1．填空题 （1）122lim(1)nn i i n n→∞=+∑；（2）2)x dx -；（3）2π；（4）0． 2．（1）12010(3)3S x dx =+=⎰； （2）12218(2)3S x x dx -=--=⎰；（3）1303(1)4S x dx =-=⎰或034S ==⎰．实训三 （B ）1．（1）分割：将[]0,4n 等分，每份长度为4n ；（2）近似代替：2412823i i n iA n n n⎡⎤+⎛⎫∆=⋅+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（3）求和：()2212221111281281282nnni ii i n n n in n iA A n nn===++++≈∆===∑∑∑； （4）取极限：()2211282lim16n n n n A n→∞++==． 2．1sin xdx π⎰．3．22211113ln ln 222x dx x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰．实训四 （A ）1．填空题（1）64；（2）1；（3）2π；（4）3；（5）1． 2．（1）()()()44341118111144I x d x x =--=-=⎰； （2）()()44223328I x dx xx =+=+=⎰；（几何上为直角三角形的面积）（3）22242200111222x x e I e dx e -===⎰； （4）2112111xx I e d e e x =-=-=⎰（5）01cos sin 222x x x I dx πππ++===⎰； （6）0；（利用当积分区间为对称区间，被积函数为奇函数时定积分的性质） （7）121211122222235I xdx xdx xdx xdx -=+=+=+=⎰⎰⎰⎰；（8）02sin 4I xdx π==⎰．（利用定积分的周期性）【资本存量问题】 （1）434211214I t ===⎰（万元）；（4）33224422820 6.87x xtx x ⎛⎫==-=⇒=≈ ⎪⎝⎭⎰．【投资问题】01000P =，200A = 0.05()200T t tdP e dt-= 0.05()0.05020040004000TT t T t P edt e -==-+⎰ 10t =，0.5400040002595t P e=-+= 因为0.515741600T P e-≈<，所以，此项投资不恰当．实训四 （B ）1．因为()1229214x dx --+=-⎰，()1129214x dx -+=⎰，()20216x dx +=⎰，()21214x dx +=⎰， ()3222213x dx +=⎰， 所以应该分两种情况： （1）因为()3403kf x dx =⎰，()()332240221816333k f x dx x dx -+=-==⎰⎰ 所以，0k =； （2）因为()()102112f x dx f x dx ---=⎰⎰，由对称性可知1k =-．2．对()21f x dx -⎰作代换令1x t -=（切记：定积分的换元要换限，积分值不变），则有：()()21011f x dx f t dt --=⎰⎰，所以，()()21101101112tte f x dx f t dt dt dt e t ---==+++⎰⎰⎰⎰ ()()()()001101011132ln 1ln 2ln 121t t td e ed te t e t e --+=++=+++=+++⎰⎰． 3．()()()()11111111I xf x dx xdf x x f x f x dx ----'===-⎰⎰⎰()()()()21111110x f f e f f --=+--=+-=．因为()()222x x f x e xe --'==-，()f x 为奇函数，所以()()110f f +-=．【储存费用问题】第五章自测题一、填空题 1．sin x x e c ++2．5314453x x x c -++ 3．ln xdx4．21ln 2x c +5．196．327．94π8．21200 ;200Q Q - 9．二、选择题1、D2、B3、A4、B5、C 三、计算解答题 1、（1）原式=1111()(3)(2)532dx dx x x x x =--+-+⎰⎰ 113[l n 3l n 2]l n 552x x x c cx -=--++=++ （2）原式=22111112sin ()cos cos cos1d x x x πππ-==-⎰2、（1）222222212(1)()()(1)(1)x x x F x G x dx dx x x x x ++++==++⎰⎰22111()arctan 1dx x c x x x=+=-+++⎰（2）222222212(1)3()()(1)(1)x x x F x G x dx dx x x x x -+--==++⎰⎰ 22131()3arctan 1dx x c x x x=-=--++⎰3、原式=31222(1)(1)1)33x x =+=+=⎰⎰四、应用题 1、（1）32412)2(24S x x dx x x =-=-=（2）1100()()1x x S e e dx ex e =-=-=⎰2、（1）2()()(100020)C Q C Q dQ Q Q dQ '==-+⎰⎰2311000103Q Q Q c =-++(0)9000C = ，9000c ∴=， 321()10100090003C Q Q Q Q ∴=-++ ()3400R Q Q = 321()()()10240090003L Q R Q C Q Q Q Q =-=-++- （2）令()()R Q C Q ''=，得60Q = 最大利润(60)99000L =（元） 3、.期末考试（90分钟）一、选择题（每题3分，共9分）1、设()0, 0x f x k x ≠=⎪=⎩在0x =处连续，问k =（ ）。

经济数学(函数习题与答案)

经济数学(函数习题与答案)

第一章函数习题1－1 1．下列各组函数是否相同？为什么？(1) f( x)=x与g( x)tan(arctan x)(2) f ( x)x2 ,x0x3 ,x0与x3， x0 g( x)x2， x(3)?( x)x与g(x)1 x(4) yf ( x)与s f (t)解 (1) 因为对x∈ (- ∞, +∞ ), f ( x)与g (x) 都有定义,且f (x) x tan(arctanx)g( x)所以两个函数相同 .(2)因为两个函数的对应规则不同 ,所以两个函数不同 .xf ( x)D1D( f )x R且x0}(3) 因为函数x 的定义域为而函数 g( x) 的定义域为D2D( f )R所以由 D1≠D2知,两个函数为不相同的函数 .(4)两个函数的对应关系相同，定义域相同，故两个函数相同.2．求下列函数的定义域:(1)y x21(2)y lg(3x)x11x ,x0(3)y 1 x(4)y x,0x2x21x2,2x解（ 1）由偶次根式的定义可知 , x应满足关系式x210故函数的定义域为D( f ) ( , 1)(1, ).3 x 0(2）由关系式x 1 0解得 1 x3 .故函数的定义域为D( f )(1, 3) .(3) 要使该函数有意义 ,x应满足关系式1 x 21 x 0解得x1, x1.故函数的定义域为D ( f )= ( 1,1) (1, ) .（4）因为分段函数的定义域为各分段函数定义域之并集，故D( f)=( - ∞ , 0)∪[0, 2] ∪ (2, +∞ )=( - ∞ , +∞).3.已知 f ( x)1 ,求 f (0), f (2), f (x), f (2 x) 1, f ( 12 ), f (2 h),xx f ( x h), f (x h)f ( x) 其中 h0.hf (0)11解 当 x022.=0时,f (2)1 1当 x22 4 .=2时,f ( t)1f (1当x2 t ,x)= - t 时 ,所以2 x .f (2t)1f (2 x) 12x 3 当x2( x 1) .2t2, 所以 2 t 时 ,1 1 t1f ( )1 2t1 xt1 2当 x = t(t ≠ 0)时 ,tf ( )1 2 x ., 所以xf (2 h)1当x4 .2h时 ,hf (th)1f ( x h)1 当xtx h 2 .h时 ,th 2, 所以f ( x h)f ( x)1故h( xh 2)( x 2) .4．求下列函数的值.f ( x)x ，x1, 求f (0), f (1 a), f ( 1.5). 12x，x1 (1)3f ( arcsin1 (2) f ( x)sin x ，求).2解(1) 当x=0 时, f(0)=1.当 1 + a < 1 时 , 即 a < 0 时, f (1 a) 2 a.当 1 + a > 1, 即 a < 0 时 ,f (1 a) 2a 5f (1 a)2 a, a0 52a, a0即当x= - 1.5<1 时 , 有 `f ( 1.5)0.5 .(2) 因为f (x)sin x ，f ( arcsin 1111 )sin( arcsin )sin(arcsin).所以22225.求函数的定义域:(1)若f ( x)的定义域是 [- 4， 4]，求f (x2)的定义域 ;(2) 若f ( x)的定义域是 [0， 3 a] (a > 0) ，求f ( x a) f (x a)的定义域;(3)若f ( x)的定义域是 [0， 1]，求f (lg x)的定义域 ;(4)若f (1 x)的定义域是 [ - 1， 1],求f ( x)的定义域 .解 (1) 因为f ( x)中的x满足- 4≤x≤4所以 f ( x2 ) 中的 x 2必须满足4x 24,即2x2 .故函数f ( x2)的定义域是 [- 2, 2].(2) 欲使函数有定义 ,须且只需使 f ( x a) 和 f (x a)同时有定义 , 于是0x a3a0)( a即a≤x≤ 2a.故函数 f ( x a) f (x a)的定义域为 [a, 2a].(3)因为 f (lg x)中的lg x,必须满足0 lg x 1,即 1≤x≤ 10.故函数 f (lg x)的定义域为 [1,10].(4)由f (1 x)的定义域为 [ - 1， 1], 得 - 1≤x≤ 1即0≤1 x≤ 2故函数f ( x)的定义域为[0, 2].6.设函数f (x)对一切正数都满足方程 f ( xy) = f ( x) + f ( y) .试证下列各式：（1） f (1)0f (1) f (x)（ 2）xf ( x) f ( x) f ( y)（ 3）y证(1) 在已知方程中 ,令x =1, y=1,得f (1) f (1) f (1) 2 f (1)即f (1)0 .y1 f (1) f ( x) f ( 1 ) 0(2) 在已知方程中 ,令x, 则xf (1)f ( x)即x.1(3) 在已知等式中 ,x不变 ,而将 y 用y代换 ,得f ( x) f ( x) f (1) y y将 (2) 式代入上式 ,得f ( x) f ( x) f ( y)y.f ( x)x kkx 2 2 kx 2的定义域是 (- ∞， +∞ ).7. 当为何值时f ( x)x解当k2,此时函数的定义域为 (- ∞， +∞ ).时,当k0 时,只要kx22kx20 ,即(2k) 24 2k 0,也就是 0< k <2 时 ,函数的定义域为 (- ∞， +∞ ).f ( x)x k2 2 kx 2 的定义域是(-∞，+∞).故当 0≤ k <2 时 , 函数kx习题1－21.判断下列函数的单调性：(1)y(1)x(2)y log2x21 x2(3)y x ln x(4)y解 (1)y (1)x1 1.对于指数函数2，底数 2，故是单调减函数 .(2)对于对数函数ylog 2x,底数2 1,故是单调增函数.(3) 因为y x ln x的定义域为（0，+∞）,对于x 1, x2（0，+∞），当x1<x2时，有f ( x1 ) f ( x2 )x1ln x2x2ln x2x1x2ln x1 x2x1x20,ln x10f ( x2 ) 0由假设知x2，得f ( x1)即 f (x1 )f ( x2).所以y xln x在（ 0，+∞）上是单调增函数 .（4）因为yx2在（- ∞， 0）上是减函数，而在（0，+∞）上是增函数，所以y 1 x2在（ - ∞， 0）上为增函数，而在（0， +∞）上为减函数 .2.指出下列函数的奇偶性：(1) y x33xa x a x(3) yx(5)y x sin 1 , x x解(1) 因为对x(2) y lg1x1x 11x(4) y1x， x01x， x0 0(6) y x cos x sin x.（ -∞， +∞），均有f ( x) ( x)33( x)(x33x) f ( x)所以该函数为奇函数.（2）因为x ( 1,1),均有f ( x)lg 1x lg1x f ( x) 1x1x所以该函数为奇函数.（3）因为对于x（-∞，0）∪（0，+∞）,均有f (x)a x a x a x a xf ( x)x x所以该函数为偶函数 .（4）因为当x >0,即x 0 时，有 f (x)1(x) 1x ,而当 x ≤0,即- x ≥0时，有 f ( x)1(x)1x ,f (x) f ( x)1x,x01x,x0于是所以该函数f ( x)为偶函数 .（ 5）因为x（ - ∞， 0）∪（ 0， +∞），均有f (x)( x)sin( 1 )xsin 1f ( x)x x所以该函数f ( x)为偶函数 .(6) 因为x （-∞,+∞）,均有f (x)( x) cos(x) sin(x)x cos x sin x( x cos x sin x) f (x)所以该函数f ( x)为奇函数 .3. 下列函数是否为周期函数，如果是周期函数，求其周期.（ 1）f ( x)=|sin x |(2)f (x)= x cos xf ( x T) f ( x)T 之最小正值为π因.f ( x)是以 π为周期的周期函数 .(2) 设 f ( x T) f (x) , 则 ( x T ) cos(x T )x cos x当 x = 0 时 , 由 TcosT = 0, 得 T 1 = 2 ;当 x = 2 时 , (T)cos(T ) 0,得 T 2 .由2 2由 于f ( x)不 满 足xD ( f ),T 均 为 唯 一 正 值 , 即 T 随 x 的 变 化 而 变 , 所 以f ( x)x c o sx不是周期函数 .4. 证明函数 ( x)x2x 1在 (0,)上是单调增函数 .证 因为x 1 , x 2(0, )且 x 1x 2 均有f ( x ) f ( x ) (x 2x1) ( x 2x2 1)12112( x 1 x 2 )( x 1 x 21)而 x 1 x 2 0时, x 1x 2 1 0, 所以 f (x 1 )f ( x 2 ) 0,即f ( x 1 ) f ( x 2 )故f (x)为单调增函数 .5.f ( x) 为定义在（ - 1，1）上的奇函数，若 f (x)在（ 0， 1）内是单调增函数 , 证明在（- 1， 0）内也单调递增 .证对于 x 1, x 2（- 1， 0） ,设 x 1< x 2，由已知得f ( x 1 ) f ( x 1 )f ( x 2 )f ( x 2 )且 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ,其中 - x 1, - x 2（ 0，1） .则f ( x 1 )即f ( x 1 )f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) [ f ( x 1 ) f ( x 2 )] 0f ( x 2 )故f (x)在（ - 1， 0）内也单调递增 .6 * . 证明 y x cos x不是周期函数 .证 因为 D( ) = [0,+ ∞ ) , 不是以原点为中心的对称集合,所以 f ( x)x cos x 不是周期函数 .f ( x)17. x22x 5 在其定义域内是有界的 .证明函数证因为 x 22x5 (x 1)2 4 4112 2x54所以x故由函数有界的定义知，函数f ( x)在其定义域内是有界的 .8. 设函数 f ( x) 的定义域为（ - ∞， 0）∪（ 0， +∞）且满足af ( x) bf ( 1) cx x ,其中 a ， b ，c 均为常数， |a| ≠|b| . 证明 f ( x) 为奇函数 .1证在已知等式中，用x 代替 x , 得1)b f( x)c xa f(xaf (x)bf ( 1) cx xaf ( 1) bf ( x) cx解方程组x, 得( a bx 2 )c12(a 2b 2)f ( x)xa 2bf ( (a bx 2 )c1 (a bx2 ) cf ( x)x)xa2b2x( a 2 b 2 ) 因为所以f (x)为奇函数 .9. 证明定义在对称区间上的任意函数可以写成一个偶函数和一个奇函数之和 .证 设f ( x)是定义在对称区间 I 上的任意一个函数 , 而f ( x) 2 f ( x) f ( x)f ( x)f ( x)f ( x)f ( x) f ( x)222f ( x) f ( x), F 2 (x)f ( x)f ( x) ( x I )则令F 1 (x)22因为 xI ,均有x I , 且F 1( f ( x) f (x)F 1( x)x)2F 2( f ( x)f ( x)F 2 ( x)x)2即 F 1 ( x)与 F 2 ( x)分别是对称区间 I 上的偶函数与奇函数, 且f ( x)F 1 ( x)F 2 ( x)故函数f ( x)可表示为偶函数F 1( x )与奇函数 F 2( x )之和 .习题 1－31． 1． 求下列函数的反函数及其定义域：(1) yx 2(2) y1 lg( x 1)x 2(3) y24 x 2 ,0 x 2 y5x12x2,2 x(4)4解 （ 1）由所给函数解出 x , 得x2( y 1)y 1y2( x 1) 1)交换 x, y 得 , 反函数x1( x.(2) 由已知函数解出 x ,得x 10( y 1) 1交换 x, y 得 , 反函数 y1 0(x 1 )1(-∞ , +∞).(3) 当 0≤ x ≤ 2 时 , 由y2 4x 2 (0 y 2) 得x4 yy 2当 2< x ≤ 4 时 , 由y 2x 2 (2 y6) ,得1x( y 2) 2所以原函数的反函数为y f 1( x)4x x 2 ， 0 x 21( x2) ， 2x62其定义域为 [0，6].x1 ( y 1)（4）由所给函数解出 5x, 得11) (,)交换 x, y 得 , 反函数y( x5.2． 2． 下列函数是由那些简单函数复合而成的.(1) y 1 sin x(2) ysin 2 x(3) ye cos 2 x(4) y (1 lg x) 3解（ 1）该函数是由幂函数y u ,u1 v,以及正弦函 数 v sin x复合而成的 .（ 2）该函数是由幂函数 y = u 2与正弦函数 usin x 复合而成 .（ 3）该函数是指数函数 y e u , 幂函数 uv 2 及余弦函数 vcosx复合而成的 .(4) 该函数是由幂函数y u 3 , 对数函数u1lg x复合而成 .3. 已知f ( x)x 2 , g( x) 2x , 求f [ g( x)]，g[ f ( x)], f [ f ( x)], g[ g( x)].解 由复合函数定义 ,得f [g ( x)] (2 x )2 4x , g[ f ( x)] 2 x 2f [ f (x)]( x 2 ) 2 x 4 , g[g ( x)]2 2x。

西工大作业集-经济数学基础课程练习册上

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第一章测试题一.问答题1:求下列函数的定义域：(1)y = e21-x(2)y=2-4x (3)y =x1+ ln(x + 1) (4)y=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-=<≤-21112cos2xxxxx，，，答案(1)由,得定义域为(2)由，得定义域为(3)由,得定义域为(4)由在定义域为[一2,1) U (1,2]2:求下列函数的定义域并作图:(1)y=1-x(2)y=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+=<<--111122xxxxx，，，答案(1)定义域为(2)定义域为(一1，1]3:设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤-1,sin112xxxx，，求f(1)，f(-21)，f(2π)，f(π23-)答案4:试判断下列函数对中函数f(x)和g(x)是否相同，并说明理由(1)f(x)=4lnx，g(x)=lnx4(2)f(x)=cosx，g(x)=x2sin1-(3)f(x)=x+1，g(x)=11x2--x答案(1)不相同，因为(2)不相同，因为，对应规则不同(3)不相同，因为5:设f(x)=a x+b，求)()(xfhxfy-+=∆答案6:设xx f 1)(=，求)()(x f h x f y -+=∆ 答案7:判断下列函数的奇偶性：(1)2xx e e y --=(2)32x x y -=(3))1ln(2x x y ++= (4)xxx y -+=11ln 答案 (1)因，故函数为奇函数(2)因故函数为非奇非偶函数(3)因故函数为奇函数(4)因，故函数为偶函数8:指出下列函数是由哪些函数复合而成的 (1)x y cos = (2)21x e y +=(3))1ln(1x e y +=答案 (1)由复合而成(2)由复合而成 (3)由复合而成9:设)(31)1(22x f xx x x f ，求++=+ 答案令则 故10:)(cos 1)(2x f x x x f ，求设-= 答案11:求下列函数的反函数及反函数的定义域 (1)13+=x y(2)1)2lg(++=x y 答案(1)(2)二.综合题1:一无盖的长方体木箱，容积为1 m 3，髙为2 m ，设底面一边的长为x m ，试将木箱的表面积表示为x 的函数。

经济数学课程第一章练习题

经济数学课程第一章练习题

第一章练习题一、填空题1．函数的间断点是 x=-1 ； 2. 函数的间断点是 x=1 ；3．函数的间断点是 x=0 ； 4．函数的间断点是 x=-2 ；5. e15 ；6. e-10 ；7. e-2 ；8. e2 ； 9． 1 ； 10． 2 ； 11. 1/2 ；12.设需求函数，供给函数，则均衡价格为 260/31 ；13. 设需求函数，供给函数，则均衡价格为 4 ；二、判断题（对的打“√”，错误的打“×”）1．数列收敛于1。

（ √ ）； 2. 函数列收敛于0。

（ √ ）； 3. 数列发散。

（ × ） ；4. 数列是发散的。

（ × ）； 5. 函数在点处连续。

（ × ）；6. 设在点处连续。

（ × ）；7. （ √ ）； 8.不存在.( × )； 9. （ √ ）； 10.（ × ）; 11y x =+1-1y x =1y x =242x y x -=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x 531lim 5124lim(1)x x x +→∞-=230lim(1)x x x +→-=41lim(1+)2x x x→∞=lim sin()x x x πππ→-=-0sin 6lim tan 3x x x →=0sin 3lim sin 6x x x →=20033p Q =-2010S p =-+0p 14.5 1.5Q p =-7.54S p =-+0p 1{1}2n +1{}2n 21{}1n n +-21{2}n+24,2()24, 2x x f x x x ⎧-≠-⎪=+⎨⎪=-⎩2x =-2, 0,()21, 0.x x f x x x ⎧<=⎨+>⎩0x =2211lim 1.43x x x x →-=--+0x →01lim sin 0.x x x →=sin lim 1.x x x →∞=11. . （ √ ）. 三、选择题1、1. 下列关于Mathmatica 中正弦函数的写法，正确的是（ c ）；A ． sinxB . SinxC . Sin[x]D . sin [x]2、下列关于Mathmatica 中函数的写法，正确的是（ c ）；A ． Ln[x]B . Ln[x]C . Log[x]D . log[x]3、下列关于Mathmatica 中的写法，正确的是（ c ）；A ．B .C .D .4、下列关于Mathmatica 中的写法，正确的是（ c ）；A ．B .C .D .5、（ b ）。

(11-29)新编经济数学第一章练习参考答案

(11-29)新编经济数学第一章练习参考答案

习题 1-21. 45.953=p .2. 3000=a ，15=b ,p Q 153000-=．3. ,850,20==d c 85020-=p Q ．4. 1100=p 元，13500=Q 个．5. 1003+=q C ，1000=C ,700)200(=C , 5.3=C .6. 251200q q R -= ，36800)200(=R . 7.p Q -=90 ，290P P R -=. 8. %90)1000(100500⨯-+⨯=Q R )500(t Q >. 9. 25.2,9)4(,782==-+-=L L q q L .10. Q Q C 102700)(+=,p p C 18011700)(-=，()21890018900)(p p p p p R -=-⋅=，()4500301811700108018)()()(22+--=-+-=-=p p p p C p R p L ． 容易看出，当价格定为30p =元时，利润4500=L 元为最大利润．在此价格下，该新产品的销售量为3603018900=⨯-=Q （单位）.习题 1-31.x x x x f cos sin )()1(+=' dx x x x x df )cos (sin )(+=x x x x x f sin cos 2)()2(2-=' dx x x x x x df )sin cos 2()(2-=)cos (sin )()3(x x e x f x +=' dx x x e x df x )cos (sin )(+= x x x x x f 121)2(3)()4(32++=' dx xx x x x df ]121)2(3[)(32++= 2)42(4)()5(--='x x f dx x x df 2)42(4)(--= x x x x x x f 22sin )1(cos sin 2)()6(+-=' dx xx x x x x df 22sin )1(cos sin 2)(+-= x x x x x x f 2cos sin ln cos 1)()7(+=' dx xx x x x x df 2cos sin ln cos 1)(+= 222)cos (sin 2sin 3cos 6)()8(x x x x x x x x x f -----='dx x x x x x x x x x df 222)cos (sin 2sin 3cos 6)(-----= 2155)1(+='x y )12cos(2)2(+='x y x e y x cos )3(sin =' )(ln cos 1)4(2x x y =' )12248()82()53()5(42+++='x x x y)123020)(64()6(5x x x x y +++=' n n x x n x y 21)ln 1()7(-='- 32)3(])3)(42(92)[42()8(x x x x y ++---=' 习题 1-41．（1）10000=C x x x C 507)(1+= xx C 257)(+='.（2）5.9)100(='C 元/吨 经济意义是在产量为100吨的基础上，再多生产一吨产品所增加的成本是9.5元.（3）22元（4）7元 从降低成本角度看，应该继续提高产量.2. 总收入250、平均收入25及边际收入10.3．（1）3000060004.0)(2-+-=x x x L 60008.0)(+-='x x L ； （2）200)5000(='C ，400)5000(='R ，200)5000(='L 4．（1）5.0- 缺乏弹性； （2）5- 富有弹性5．（1）21)(-='p Q ；（2）pp p EQ -=20)(；18.0173)3(≈=EQ （3）当3=p 时，若价格上张1%，其总收入增加0.82%习题 1-51.（1）解：)(x f 的定义域为R ，62)(+='x x f ，令0)(='x f ，得3-=x ，无一阶导数不存在点，因为02)(>=''x f ，所以6)3(-=-f 为极小值，而没有极大值，因此此极小值为最小值.故在其定义域内有一个最小值为6)3(-=-f .（2）解：)(x f 的定义域为1-≠x0)1(2)1(222)1()1(2)1()2()(222>+=+-+=+'+-+'='x x x x x x x x x x f 所以)(x f 在其定义域内单调递增，无最值.（3）解：)1()(+='x e x f x ，令0)(='x f ，得1-=x ，无一阶导数不存在点， 计算 12)1(,0)0(,2)2(---=-=-=-e f f e f ，比较上述值有：最大值为0)0(=f ， 最小值为1)1(--=-e f .（4）最小值：1)2()0(-==f f ；最大值：0)1(=f .2. 解： 要使材料最省，就是要罐头筒的总表面积最小.设罐头筒的底半径为r ，高为h ，则它的侧面积为，底面积为 ，因此总表面积为)),0((22222∞+∈+===r r V r S r V h h r V πππ，所以有由体积公式)),0((0442,033∞+∈>+=''=='r rV S V r S ππ，又得令 。

经济数学基础综合练习及参考答案----第一部分微积分

经济数学基础综合练习及参考答案----第一部分微积分

1经济数学基础综合练习及参考答案第一部分 微分学一、单项选择题 1．函数()1lg +=x xy 的定义域是（1->x 且0≠x）． ．2．若函数)(x f 的定义域是[0，1]，则函数)2(xf 的定义域是(]0,(-∞ )．3．下列各函数对中，（ x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g ）中的两个函数相等．4．设11)(+=xx f ，则))((x f f =（11++xx）．5．下列函数中为奇函数的是（ 11ln+-=x x y）．6．下列函数中，（)1ln(-=x y ）不是基本初等函数．7．下列结论中，（ 奇函数的图形关于坐标原点对 ）是正确的． 8. 当x →0时，下列变量中（xx 21+ ）是无穷大量． 9. 已知1tan )(-=xxx f ，当（ x →0 ）时，)(x f 为无穷小量.10．函数sin ,0(),0xx f x xk x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续，则k = ( 1)．11. 函数⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f 在x = 0处（右连续 ）．12．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（ 21- ）．13. 曲线x y sin =在点(0, 0)处的切线方程为（y =x ）．14．若函数x x f =)1(，则)(x f '=（-21x ）．15．若xx x f c o s )(=，则='')(x f （ x x x cos s i n 2-- ）．16．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（e x）．17．下列结论正确的有（ x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0 ）．18. 设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为E p =（--pp32 ）．二、填空题1．函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域是[-5，2]2．函数xx x f --+=21)5ln()(的定义域是(-5, 2 )3．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x ．4．设函数1)(2-=u u f ，xx u 1)(=，则=))2((u f 43-．5．设21010)(x x x f -+=，则函数的图形关于 y 轴对称．6．已知生产某种产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为3.6 ．7．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) = 45q – 0.25q 2 ． 8. =+∞→xx x x sin lim1 .9．已知x x x f sin 1)(-=，当0→x 时，)(x f 为无穷小量．10. 已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1111)(2x a x x x x f ，若f x ()在),(∞+-∞内连续，则=a 2 .11. 函数1()1e xf x =-的间断点是0x =.12．函数)2)(1(1)(-+=x x x f 的连续区间是)1,(--∞),2(∞+．)1处的切线斜率是(1)0.5y '=14．函数y = x 2 + 1的单调增加区间为(0, +∞)15．已知x x f 2ln )(=，则[f =0 ．16．函数y x =-312()的驻点是x =1.17．需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(pp q -⨯=，则需求弹性为E p =2p-．18．已知需求函数为pq 32320-=，其中p 为价格，则需求弹性E p =10-p p.三、计算题（答案在后面）1．423lim222-+-→x x x x 2．231lim21+--→x x x x 3．x → 4．2343limsin(3)x x x x →-+- 52)1tan(lim 21-+-→x x x x 6．))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x 7．已知y xxx cos 2-=，求)(x y ' ． 8．已知)(x f x x x ln sin 2+=，求)(x f ' ． 9．已知x y cos 25=，求)2π(y '；10．已知y =32ln x ，求y d ． 11．设x y x5sin cos e +=，求y d ．12．设xx y -+=2tan 3，求y d ．13．已知2sin 2cos x y x -=，求)(x y ' ．14．已知xx y 53e ln -+=，求)(x y ' ． 15．由方程2e e )1ln(=++xy x y 确定y 是x 的隐函数，求)(x y '．16．由方程0e sin =+yx y 确定y 是x 的隐函数，求)(x y '.17．设函数)(x y y =由方程y x y e 1+=确定，求0d d =x xy．18．由方程x y x y =++e )cos(确定y是x 的隐函数，求y d ．四、应用题（答案在后面） 1．设生产某种产品x个单位时的成本函数为：x x x C 625.0100)(2++=（万元）,求：（1）当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x为多少时，平均成本最小？2．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q p =-100010（q 为需求量，p 为价格）．试求：（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？3．设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元．又已知需求函数p q 42000-=，其中p 为价格，q 为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：（1）价格为多少时利润最大？（2）最大利润是多少？ 4．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？5．某厂每天生产某种产品q件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？ 6．已知某厂生产q件产品的成本为C q q q ()=++25020102（万元）．问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？ 三、极限与微分计算题（答案） 1．解423lim222-+-→x x x x =)2)(2()1)(2(lim2+---→x x x x x =)2(1lim2+-→x x x = 412．解：231lim21+--→x x x x =)1)(2)(1(1lim 1+---→x x x x x=21)1)(2(1lim1-=+-→x x x3．解l ix →0x → =xx x x x 2sin lim)11(lim 00→→++=2⨯2 = 44．解 2343lim sin(3)x x x x →-+-=3(3)(1)lim sin(3)x x x x →---=333limlim(1)sin(3)x x x x x →→-⨯--= 25．解)1)(2()1tan(lim2)1tan(lim121-+-=-+-→→x x x x x x x x1)1tan(lim21lim11--⋅+=→→x x x x x 31131=⨯= 6．解))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x =))32)(11()213()21(lim 625xx x x xx --++-∞→=2323)2(65-=⨯-7．解：2y '(x )=)cos 2('-xx x =2cos sin 2ln 2x xx x x --- =2cos sin 2ln 2x xx x x ++8．解xx x x f x x 1cos 2s i n 2ln 2)(++⋅=' 9．解 因为5ln 5sin 2)cos 2(5ln 5)5(cos 2cos 2cos 2x x x x x y -='='='所以5ln 25ln 52πsin 2)2π(2πcos2-=⋅-='y10．解 因为 )(ln )(ln 3231'='-x x y331ln 32)(ln 32xx x x ==- 所以x xx y d ln 32d 3=11．解 因为)(cos cos 5)(sin e4sin '+'='x x x y xx x x xsin cos 5cos e4sin -=所以x x x x y xd )sin cos 5cos e(d 4sin -=12．解 因为)(2ln 2)(cos 1332'-+'='-x x xy x2ln 2cos 3322x xx--=所以 x xx y x d )2ln 2cos 3(d 322--=13．解 )(cos )2(2sin )(22'-'-='x x x y x x2cos 22ln 2sin 2x x x x --=14．解：)5(e )(ln ln 3)(52'-+'='-x x x x y xx xx525e ln 3--=15．解 在方程等号两边对x 求导，得 )e ()e (])1ln([2'='+'+xy x y0)(e 1)1ln(='+++++'y x y xyx y xyxy xyy xyy x x e 1]e )1[ln(-+-='++故]e )1)[ln(1(e )1(xyxyx x x y x y y +++++-='16．解 对方程两边同时求导，得0e e cos ='++'y x y y yyyyy x y e)e (cos -='+)(x y '=yyx y e cos e +-.17．解：方程两边对x 求导，得 y x y yy '+='e eyy x y e1e-='当0=x 时，1=y所以，d d =x xye e 01e 11=⨯-=18．解 在方程等号两边对x 求导，得)()e (])[cos('='+'+x y x y1e ]1)[sin(='+'++-y y y x y)sin (1)]sin(e [y x y y x y++='+-)sin(e )sin(1y x y x y y +-++='故x y x y x y yd )sin(e )sin(1d +-++=四、应用题（答案）1．解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：x x x C 625.0100)(2++=625.0100)(++=x xx C ，65.0)(+='x x C所以，1851061025.0100)10(2=⨯+⨯+=C5.1861025.010100)10(=+⨯+=， 116105.0)10(=+⨯='C（2）令25.0100)(2=+-='xx ，得20=x （20-=x 舍去）因为20=x 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当=x 20时，平均成本最小.2．解 （1）成本函数C q ()= 60q +2000．因为 qp =-100010，即p q =-100110， 所以 收入函数R q ()=p ⨯q =(100110-q )q =1001102q q -． （2）因为利润函数L q ()=R q ()-C q ()=1001102qq --(60q +2000)= 40q -1102q -2000 且'L q ()=(40q -1102q -2000')=40-0.2q令'L q ()= 0，即40- 0.2q = 0，得q = 200，它是L q ()在其定义域内的唯一驻点． 所以，q = 200是利润函数L q ()的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．3．解 （1）C (p ) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p ) =250000-400pR (p ) =pq = p (2000-4p )= 2000p -4p 2利润函数L (p ) = R (p ) - C (p ) =2400p -4p 2 -250000，且令)(p L '=2400 – 8p = 0得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大.（2）最大利润1100025000030043002400)300(2=-⨯-⨯=L （元）．4．解 （1）由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-==利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-=则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q .因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，（2）最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元）5. 解 因为 C q ()=C q q ()=05369800.q q++（q >0）'C q ()=(.)05369800q q++'=0598002.-q令'C q ()=0，即0598002.-q =0，得q 1=140，q 2=-140（舍去）.q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为C ()140=05140369800140.⨯++=176 （元/件） 6．解 （1） 因为 C q ()=C q q ()=2502010q q ++'C q ()=()2502010qq ++'=-+2501102q令'C q ()=0，即-+=2501100q ，得q 1=50，q 2=-50（舍去），q 1=50是C q ()在其定义域内的唯一驻点．所以，q 1=50是q ()的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品．。

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经济数学基础 第一章 函数第一章 典型例题与综合练习第一节 典型例题一、函数的概念例1求函数24)1ln(1)(x x x f -+-=的定义域．解：要使函数有意义，必须⎪⎩⎪⎨⎧≥->-≠-04010)1ln(2x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤->≠2212x x x故定义域 {}21|<<=x x D例2求函数⎩⎨⎧≤<+<-=20 520 32)(2x x x x x f 的定义域． 解：分段函数的定义域是自变量x 取值的各个区间的并集，即{}20}0{≤<<x x x x ，亦即{}02≠≤=x x x D 且．例3已知函数f (x ＋1)＝x 2＋4x －3，求f (x )，)1(xf ，f (0)，f (1)．解方法一：f (x )＝f ((x －1)＋1)＝(x －1)2＋4(x －1)－3＝x 2－2x ＋1＋4x －4－3＝x 2＋2x －6；)1(x f ＝2)1(x ＋2)1(x －6=6212-+x x=22621x x x -+；经济数学基础 第一章 函数f (0)=02＋20－6=－6；f (x )=12＋21－6=－3方法二：将x ＋1看作一个变量，得f (x )=x 2＋2x －6，后面的作法同方法一，分别得出22621)1(x x x x f -+=，3)1(,6)0(-=-=f f例4判断函数f (x )＝log 0.5(x 2＋1)的单调性．解:易知函数f (x )＝log 0.5(x 2＋1)为偶函数，偶函数的图形关于y 轴对称，故只需讨论x ＞0时函数的单调性．对任意x 1＞x 2＞0，有x 12＋1＞x 22＋1因为对数之底0.5＜1，此时对数函数单调减少，故 log 0.5(x 12＋1)＜log 0.5(x 22＋1),即f (x 1)＜f (x 2)由单调性定义可知当x ＞0时，f (x )＝log 0.5(x 2＋1)是单调减函数．再由偶函数的性质可知当x ＜0时，f (x )＝log 0.5(x 2＋1)是单调增函数．因此函数f (x )＝log 0.5(x 2＋1)在(－∞,0)上单调增加，在(0,＋∞)上单调减少．例5设函数f (x )和g (x )都是奇函数，试证f (x )·g (x )是偶函数． 证明：已知f (x )和g (x )都是奇函数，由定义可知，对任意x ，有f (－x )＝－f (x )；g (－x )＝－g (x )，上两个等式的左右端分别相乘得 f (－x )·g (－x )＝(－f (x ))·(－g (x ))＝f (x )·g (x ) 即对任意x 有f (－x )·g (－x )＝f (x )·g (x ) 由定义可知f (x )·g (x )是偶函数．二、函数的运算例1将下列初等函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算：经济数学基础第一章函数(1)y＝ln(tan x21+)；(2)y＝e x2cos2x解：(1)y＝ln u，u＝tan v，v＝w，w＝x2＋1其中y，u，v作为中间变量u，v，w的函数都是基本初等函数，而w是幂函数x2与常数函数1的和．(2) y＝e u v2，u＝x2，v＝cos xy是指数函数e u和幂函数v2的乘积，u，v为中间变量．三、经济分析中的常见函数例1某种产品的需求函数为q d＝100－2p,供给函数为q s＝10p－8,求该产品的市场均衡价格和市场均衡数量．解：由100－2p＝10p－8；移项整理得12p＝108，故p0＝9因q0＝100－2p0，故q0＝82即该产品的市场均衡价格为9，市场均衡数量为82．例2已知生产某种产品的成本函数为C(q)＝80＋2q，试求生产该产品的固定成本，并求当产量q为50时的平均成本．解：固定成本就是当产量为零时的总成本，设为c0，有c0＝C(0)＝80因为平均成本为C＝C q q ()所以C(50)＝C(50)50＝8025050+⨯＝3.6即生产该产品的固定成本为80，产量q为50时的平均成本为3.6．经济数学基础 第一章 函数例3已知某厂生产某种产品的成本函数为C (q )＝500＋2q (元)，其中q 为该产品的产量，如果该产品的售价定为每件6元，试求：(1)生产200件该产品时的利润和平均利润；(2)求生产该产品的盈亏平衡点．解(1)已知C (q )＝500＋2q (元) 又由题意知收入函数为R (q )＝6q因此，利润函数为L (q )＝R (q )－C (q )＝6q －(500＋2q )＝4q －500 (元)又因该产品的平均利润函数为L ＝L q q ()＝4－500q (元件)生产200件该产品时的利润为L (200)＝4×200－500＝300(元)而此时平均利润为L ＝4－500200＝1.5(元件)即生产200件该产品时的利润为300元，平均利润为每件1.5元． (2)利用L (q )＝0得4q －500＝0解得q 0＝125 ，(件)，即盈亏平衡点为125件.第一节 典型例题一、填空题1. 函数y ＝41--xx lg()的定义域是 ．2. 函数f (x ＋1) = x 2＋2x －5，则f (x ) = ． 3. 函数y ＝ x 2－6x ＋10的单调区间是 ． 4. 设f (u )=u 2＋1，g (x )=x+11，则f (g (2)) = ．经济数学基础 第一章 函数5. 如果某商品的需求函数是q d ＝25－2 p ，供给函数是q s ＝3p －12，那么该商品的市场均衡价格是 ．6. 已知某产品的成本函数为C (q )＝0.2q 2＋4q ＋294，该产品的需求函数为q ＝180－4 p ，该产品的利润函数为 ．7. 厂家生产某种产品的固定成本是18000元，而可变成本是总收入的40，若厂家以每件30元的价格出售该产品，则生产该产品的盈亏平衡点是 ．1．(1，2)∪(2，4]； 2．x 2－6； 3．(－，3)和(3，＋)；4．910；5．7.4；6．L (q )＝41q －0.45q 2－294；7．1000件二、单选题1.设f (x )=log a x ，则（ ）成立．(A)f (x )·f (y )＝f (x ＋y )；(B)f (x )＋f (y )＝f (x ＋y ) (C)f (x ·y )＝f (x )·f (y )；(D)f (x ·y )＝f (x )＋f (y ) 2.下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等．(A)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ，g (x )=1；(B)f (x )=lg x 2，g (x )=2lg x ；(C)f (x )＝(x )2，g (x )=x ；(D)f (x )＝112--x x ，g (x )=x ＋13.下列函数中，（ ）是奇函数．(A)y ＝x 3＋1；(B)y ＝2x x a a -+；(C)y ＝x x -+1ln(2；(D) y ＝)2sin(π+x4.下列函数中，（ ）不是基本初等函数． (A)y ＝31x ；(B)y ＝lg(1－x )；(C)y ＝x )101(；(D)y ＝1085.设f (x )＝x1，则f (f (x ))＝（ ）．经济数学基础 第一章 函数(A)x 1；(B)21x；(C)x ；(D) x 21.D ；2．A ；3．C ；4．B ；5．C三、多选题1.设f (x )＝x x x x x x +-∞-+∞⎧⎨⎪⎩⎪20202223＜＜≤＜≤＜()则（ ）成立．(A)f (－1)＝f (0)；(B)f (0)＝f (1)；(C)f (－1)＝f (3)；(D)f (－3)＝f (3) 2.设f (x )＝a x (a0，a1），则等式（ ）成立．(A)f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )；(B)f (x )·f (y )＝f (x ＋y )； (C))()()(yxf y f x f =；(D))()()(y x f y F x f -= 3.下列函数中（ ）是偶函数．(A)y ＝x 3sin x ；(B)y ＝2x x a a -+；(C)y ＝e x 2；(D)y ＝5＋cos x4.下列结论中（ ）是正确的．(A)基本初等函数都是单调函数；(B)偶函数的图形关于y 轴对称 (C)奇函数的图形关于坐标原点对称；(D) 周期函数都是有界函数 5.指数函数y ＝a x (a0，a1)满足（ ）．(A)图形过点(0，1)；(B)是单调函数；(C)是有界函数；(D)函数值都大于零 6.设C (q )是成本函数，R (q )是收入函数，L (q )是利润函数，则盈亏平衡点是方程（ ）的解．(A)C (q )＋R (q )＝0；(B)L (q )＝0；(C) R (q )－C (q )＝0；(D)L (q )－C (q )＝0 1.AC ；2．BD ；3．ABCD ；4．BC ；5．ABD ；6．BC经济数学基础 第一章 函数四、配伍题1.(A)函数f (x )＝e sin x ；①在区间(－，1)是单调减少的(B)函数f (x )＝x 2－2x ＋5；②是偶函数 (C)函数f (x )＝x 3sin x ＋6；③是有界函数 2.(A)函数f (x )＝2tan x ；①是奇函数(B)函数f (x )＝cos2010x x x x-∞++∞⎧⎨⎩＜＜≤＜e ；②是以为周期的函数(C)函数f (x )＝a x－a －x；③满足f (0)＝2 1．A ③；B ①；C ②；2．A ②；B ③；C ①；五、是非题1.函数y ＝ln x 3与函数y ＝3ln x 是相同的．（ ）2.设ab c ，若函数f (x )在(a ，b ]和(b ，c )上都是单调增加的，则f (x )在(a ，c )上也是单调增加的．（ ）3.若函数f (x )是定义在(－l ，l )(l0)上的函数，则有(1)f (x )＋f (－x )是偶函数（ ）；(2)f (x )－f (－x )是奇函数（ ）. 4.初等函数是由基本初等函数经复合而得到的．（ ） 5. 分段函数不一定是初等函数．（ ）6. 利润函数L (q )是销售量q 的单调增加函数．（ ）1．√ ； 2．× ； 3．(1) √；(2) √ ； 4．× ； 5．√ ； 6．×六、计算题1.求函数y ＝x x 26--的定义域．2.设函数f (x )＝1001412-∞-+∞⎧⎨⎪⎩⎪＜＜≤＜≤＜x x x x x e经济数学基础 第一章 函数求f (－1)，f (21)，f (1)和f (2)． 3.求函数y ＝ln(4＋3x －x 2)的定义域．4.设函数f (u )的定义域为[0，1]，求f (ln x )的定义域．5.将下列函数写成较简单函数的复合形式 (1)y ＝ex 21+；(2)y ＝cossin 2x 36.已知某产品的需求函数是q d ＝50－10 p ，供给函数是q s ＝10p －10，求该产品的市场均衡价格和市场均衡数量．7.已知厂家生产某种产品的成本函数为C (q )＝50＋3q ，收入函数为R (q )＝5q ，(1)求该产品的平均利润；(2)求该产品的盈亏平衡点．8.某商品的成本函数为C (q )＝2q 2－4q ＋27，供给函数为q ＝p －8，(1)求该商品的利润函数；(2)说明该商品的盈亏情况．1．函数的定义域为),3[]2,(∞+--∞ ；2．f (-1)=1；f (21)=e ；f (1)=3；f (2)=0；3．(－，4)；4．[1，e]；5．(1)y ＝e u ；u ＝v ；v ＝x 2＋1；(其中y ，u 作为中间变量u ，v 的函数都是基本初等函数，而v 是幂函数x 2与常数函数1的和．)；(2)y ＝cos u ；u ＝v 2；v ＝sin w ；w ＝x 3；(其中y ，u ，v ，w 分别作为中间变量和自变量u ，v ，w ，x 的函数都是基本初等函数．)；6．市场均衡价格为p 0＝3，市场均衡数量为q 0＝20； 7．(1)L ＝q502-；(2)q 0＝25.经济数学基础第一章函数8．(1)L(q)＝12q－q2－27；(2)由L(q)＝(q－3)(9－q)可以分析出，当3<q<9时盈利，当q<3或q>9时亏损，当q＝3或q＝9时盈亏平衡．七、证明题1.试证：两个单调增函数之和仍是单调增函数．2.试证：奇函数与偶函数的乘积是奇函数．3.试证：若奇函数f (x)在原点有定义，则f (0)＝0．1．证明：设f1(x), f2(x)都是单调增函数．令h(x)＝f1(x)+f2(x)，对任意x1<x2有f1(x1)< f1(x2)，f2(x1)<f2(x2)故h(x1)＝f1(x1)+f2(x1)<f1(x2)+f2(x2)＝h(x2)即h(x1)<h(x2)，由此可知h(x)是单调增函数．2．证明：设f1(x)是奇函数，f2(x)是偶函数．令h(x)＝f1(x)·f2(x)，对任意x有f1(－x)=－f1(x)，f2(－x)=f2(x)故h(－x)＝f1(－x)·f2(－x)＝－f1(x)·f2(x)＝－h(x)即h(－x)＝－h(x)，由此可知h(x) 是奇函数．3．证明：已知f (x)是奇函数，对任意x有f(－x)=－f(x)令x=0代入上式得f(－0)=－f(0)即f(0)=－f(0)，由此得出f(0)=0．。

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