北师大版七年级数学幂的运算(基础)知识讲解(含答案)
北师大版七年级下册数学(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)
北师大版七年级下册数学全册知识点梳理及重点题型巩固练习幂的运算（基础）【学习目标】1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算. 【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即mnpm n pa a a a++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.要点二、幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a (0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()nmmnm n aa a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()nn na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：（1）234444⨯⨯；（2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+． 【答案与解析】 解：（1）原式234944++==．（2）原式34526177772222a a a a a a a +++=+-=+-=．（3）原式11211222()()()()2()n n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y +++-++-+++=+++=+++=+．【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a 的指数是1．在第（3）小题中把x y +看成一个整体． 举一反三： 【变式】计算：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-；（2）221()()p p p x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）； （3）232(2)(2)n ⨯-⋅-（n 为正整数）． 【答案】解：（1）原式532532532103(3)333333++=⋅-⋅=-⋅⋅=-=-． （2）原式22122151()p p p p p p p x x x x x +++++=⋅⋅-=-=-． （3）原式525216222(2)22n n n +++=⋅⋅-=-=-．2、已知2220x +=，求2x 的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22222x x +=⋅ 【答案与解析】 解：由2220x +=得22220x ⋅=．∴ 25x=．【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：m nm n a a a +=⋅．类型二、幂的乘方法则3、计算：（1）2()m a ；（2）34[()]m -；（3）32()m a -． 【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a ，（2）题中的底数是m -，（3）题中的底数a 的指数是3m -，乘方以后的指数应是2(3)62m m -=-． 【答案与解析】解：（1）2()m a 2ma=．（2）34[()]m -1212()m m =-=．（3）32()m a -2(3)62m ma a --==． 【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、（2016春•湘潭期末）已知a x =3，a y =2，求a x+2y 的值．【思路点拨】 直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形进而将已知代入求出答案． 【答案与解析】 解：∵a x =3，a y =2， ∴a x+2y =a x ×a 2y =3×22=12．【总结升华】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解题时记准法则是关键． 举一反三：【变式1】已知2ax =，3bx =．求32a bx+的值．【答案】 解：32323232()()238972a b a b a b x x x x x +===⨯=⨯=． 【变式2】已知84=m ，85=n ，求328+m n的值．【答案】解：因为3338(8)464===m m , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m n m n.类型三、积的乘方法则5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =； （2）333(4)64ab a b =； （3）326(3)9x x -=-． 【答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：222()ab a b =． （2）对．（3）错，系数应为9，应为：326(3)9x x -=． 【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方． （2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略． 举一反三：【变式】（2015春•铜山县校级月考）（﹣8）57×0.12555． 【答案】解：（﹣8）57×0.12555=（﹣8）2×[（﹣8）55×]=﹣64．北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】 一.选择题1.（2015•杭州模拟）计算的x 3×x 2结果是（ ） A ．x 6 B ．6xC ． x 5D ． 5x2．2nn a a+⋅的值是( )．A. 3n a + B. ()2n n a + C. 22n a+D. 8a3．（2016•淮安）下列运算正确的是（ ）A ．a 2•a 3=a 6B ．（ab ）2=a 2b 2C ．（a 2）3=a 5D ．a 2+a 2=a 44．下列各题中，计算结果写成10的幂的形式，其中正确的是( ).A. 100×210＝310 B. 1000×1010＝3010 C. 100×310＝510 D. 100×1000＝4105．下列计算正确的是( )． A.()33xy xy =B.()222455xyx y -=- C.()22439xx -=-D.()323628xy x y -=-6．若()391528m n a b a b=成立，则( )． A. m ＝6，n ＝12 B. m ＝3，n ＝12 C. m ＝3，n ＝5D. m ＝6，n ＝5二.填空题 7.（2016•大庆）若a m =2，a n =8，则a m+n = ．8. 若()319x aa a ⋅=，则x ＝_______．9. 已知35na=，那么6n a =______． 10．若38m a a a ⋅=，则m ＝______；若31381x +=，则x ＝______． 11. ()322⎡⎤-=⎣⎦______； ()33n ⎡⎤-=⎣⎦______； ()523-＝______．12.若n 是正整数，且210na =，则3222()8()n n a a --＝__________.三.解答题13.（2015春•莱芜校级期中）计算：（﹣x ）3•x 2n ﹣1+x 2n •（﹣x ）2．14.（1） 3843()()x x x ⋅-⋅-； （2）2333221()()3a b a b -+-；（3）3510(0.310)(0.410)-⨯-⨯⨯⨯； （4）()()3522b a a b --；（5）()()2363353a a a -+-⋅；15.（1）若3335nn x x x +⋅=，求n 的值．（2）若()3915n ma b b a b ⋅⋅=，求m 、n 的值．【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】C ；【解析】解：原式=x 3+2=x 5，故选C ． 2. 【答案】C ； 【解析】2222nn n n n a a a a ++++⋅==.3. 【答案】B ；【解析】解：A 、a 2•a 3=a 2+3=a 5，故本选项错误；B 、（ab ）2=a 2b 2，故本选项正确；C 、（a 2）3=a 2×3=a 6，故本选项错误；D 、a 2+a 2=2a 2，故本选项错误．故选B ．4. 【答案】C ；【解析】100×210＝410；1000×1010＝1310；100×1000＝510.5. 【答案】D ；【解析】()333xy x y =；()2224525xyx y -=；()22439x x -=.6. 【答案】C ； 【解析】()333915288,39,315m n m n a b a b a b m n ====，解得m ＝3，n ＝5.二.填空题7. 【答案】16；【解析】解：∵a m =2，a n =8，∴a m+n =a m •a n =16，故答案为：16. 8. 【答案】6；【解析】3119,3119,6x a a x x +=+==. 9. 【答案】25； 【解析】()2632525nn aa ===.10.【答案】5；1；【解析】338,38,5m m a a a a m m +⋅==+==；3143813,314,1x x x +==+==. 11.【答案】64；9n -；103-； 12.【答案】200；【解析】()()32322222()8()81000800200n nn n a a a a --=-=-=.三.解答题 13.【解析】解：（﹣x ）3•x 2n ﹣1+x 2n •（﹣x ）2 =﹣x 2n+2+x 2n+2 =0． 14.【解析】解：（1）3843241237()()x x x x x x x ⋅-⋅-=-⋅⋅=-；（2）233322696411()()327a b a b a b a b -+-=-+；（3）3535810(0.310)(0.410)0.30.4101010 1.210-⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯；（4）()()()()()3535822222b a a b a b a b a b --=---=--；（5）()()236331293125325272a a a a a a a -+-⋅=-⋅=-.15.【解析】 解：（1）∵3335nn x x x +⋅= ∴ 4335n xx +=∴4n ＋3＝35 ∴n ＝8（2）m ＝4，n ＝3解：∵()3915n ma b ba b ⋅⋅=∴ 333333915nmnm a b b a b a b +⋅⋅=⋅=∴3n ＝9且3m ＋3＝15 ∴n ＝3且m ＝4北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习同底数幂的除法【学习目标】1. 会用同底数幂的除法性质进行计算．2. 掌握零指数幂和负整数指数幂的意义． 3．掌握科学记数法． 【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnm na a a -÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即1nnaa -=（a ≠0，n 是正整数）.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.m n m n a a a +=（m 、n 为整数，0a ≠）；()mm m ab a b =（m 为整数，0a ≠，0b ≠）()nm mn a a =（m 、n 为整数，0a ≠）.要点诠释：()0n a a -≠是na 的倒数，a 可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如()1122xy xy -=（0xy ≠），()()551a b a b -+=+（0a b +≠）. 要点四、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10的数表示成10na ⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即10na -⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、计算：（1）83x x ÷；（2）3()a a -÷；（3）52(2)(2)xy xy ÷；（4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．(2)、(4)两小题要注意符号． 【答案与解析】 解：（1）83835x x xx -÷==．（2）3312()a a a a --÷=-=-．（3）5252333(2)(2)(2)(2)8xy xy xy xy x y -÷===．（4）535321111133339-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．2、计算下列各题：（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷- （3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽可能地去变偶次幂的底数，如1212(52)(25)a b b a -=-．（2）注意指数为1的多项式．如x y -的指数为1，而不是0． 【答案与解析】解：（1）5514()()()()x y x y x y x y --÷-=-=-．（2）1251257(52)(25)(25)(25)(25)a b b a b a b a b a -÷-=-÷-=-（3）64626426212(310)(310)(310)(310)910-⨯÷⨯=⨯=⨯=⨯．（4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-9898(2)(2)(2)2x y x y x y x y -=-÷-=-=-．【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算．3、已知32m=，34n=，求129m n+-的值．【答案与解析】解： 121222222221222244449(3)33333(3)399(3)33(3)(3)m m m m m m m nn n n n n n ++++-======． 当32m =，34n=时，原式224239464⨯==． 【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3m，3n 的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式． 举一反三：【变式】（2015春•苏州）已知以ma =2，na =4，ka =32．则32m n ka +-的值为 ．【答案】解：3ma=32=8，2n a =24=16，32m n k a +-=3m a •2n a ÷k a =8×16÷32=4，故答案为：4．类型二、负整数次幂的运算4、计算：（1）223-⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）23131()()a b a b ab ---÷．【答案与解析】解：（1）222119434293-⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）2313123330()()a b a b ab a b a b ab a b b -----÷===．【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义． 举一反三：【变式】计算：4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭．【答案】解： 4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭45311111122116212223228=++⨯⨯+=++⨯⨯+ 1151611732832=+++= 5、 已知1327m=，1162n⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n m 的值＝________．【答案与解析】 解： ∵ 331133273m-===，∴ 3m =-． ∵ 122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，∴ 422n -=，4n =-．∴ 4411(3)(3)81n m -=-==-． 【总结升华】先将127变形为底数为3的幂，122nn -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，然后确定m 、n 的值，最后代值求nm ． 举一反三：【变式】计算：（1）1232()a b c --；（2）3232312b c b c ---⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；【答案】解：（1）原式424626b a b c a c--==．（2）原式8236981212888b b c b c b cc---=⨯==． 类型三、科学记数法6、（2014秋•福州）观察下列计算过程：（1）∵33÷53=332231333=⨯，33÷53=353-=23-，∴23-=（2）当a≠0时，∵2a ÷7a =27a a=225a a a ⨯=51a ，2a ÷7a =27a -=5a -，5a -=51a ,由此可归纳出规律是：pa -=1p a（a≠0，P 为正整数）请运用上述规律解决下列问题： （1）填空：103-= ；259x x x ⨯÷= ．（2）用科学记数法：3×410-= ．（写成小数形式）（3）把0.00000002写成如（2）的科学记数法10na ⨯的形式是： ． 【答案与解析】 解：（1）103-=1013； 259x x x ⨯÷ =259x +-=221x x -=； （2）3×410-=0.0003， （3）0.00000002=2×810-．【总结升华】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为10na ⨯，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】一.选择题1. （2015•桂林）下列计算正确的是（ ）A ．()25a=10a B ．16x ÷4x =4x C ．22a +23a =46a D ．3b •3b =32b2.下列计算中正确的是( )．A.212a a xx x ++÷=B.()()6322xy xy x y ÷= C.()12529x x x x ÷÷=D.()42332n nn n x xx x +÷= 3．近似数0.33万表示为（ ）A ．3.3×210-B ．3.3000×310C ．3.3×310D ．0.33×410 4．020122012(1)(0.125)8π-+⨯的结果是（ ）A ．3B ．23-C ．2D ．05.．将201)3(,)2(,)61(---这三个数按从小到大的顺序排列为（）A ．21)3()61()2(-<<-- B ．201)3()2()61(-<-<-C ．12)61()2()3(-<-<- D ．12)61()3()2(-<-<-6.下列各式中正确的有（ ）①21()9;3-=②224-=-；③01a =；④()111--=；⑤()2336-=．A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个二.填空题7. =-+-01)π()21(______，()011 3.142--++＝______．8. ()()532aa -÷-=__________,201079273÷÷=__________,02139⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.9． ()3223a b-＝______，()22a b---＝______．10．一种细菌的半径为0.0004m ，用科学记数法表示为______m .11．“神威一号”计算机运算速度为每秒384000000000次，其运算速度用科学记数法表示，为______次/秒．12（2015春•江西）若m a =-2, na =-12-，则23m na -= ． 三.解答题13．（2015春•吉州）已知2x=3，2y=5．求：（1）2x y+的值；（2）32x的值； （3）212x y +-的值．14．用小数表示下列各数：（1）8.5×310-（2）2.25×810-（3）9.03×510-15. 先化简，后求值：()()23424211212a b a b a b ----⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭，其中23a b ==-，.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ； 【解析】A 、()25a=10a ，正确； B 、16x ÷4x =12x ，错误；C 、22a +23a =25a ，错误；D 、3b •3b =6b b 3•b 3=b 6，错误；故选A.2. 【答案】C ； 【解析】21a a xx x ++÷=；()()6333xy xy x y ÷= ；()4235n n n n x x x x ÷= .3. 【答案】C ；【解析】0.33万＝3300＝3.3×310. 4. 【答案】C ；【解析】2012020*******(1)(0.125)8181128π⎛⎫-+⨯=+⨯=+= ⎪⎝⎭.5. 【答案】A ； 【解析】1021()6,(2)1,(3)96-=-=-=，所以210)3()61()2(-<<--.6. 【答案】D ；【解析】只有①正确；2124-=；()010a a =≠；()111--=-；()239-=. 二.填空题 7. 【答案】3；12； 【解析】()01111 3.1421122--++=-++=. 8. 【答案】7;27;10a ；【解析】201074030739273333327÷÷=÷÷==.9.【答案】6627a b ；42a b【解析】()632266627327a a ba b b --==；()422422a a b a b b----==.10.【答案】4410-⨯； 11.【答案】113.8410⨯；12.【答案】-32； 【解析】解：()224mm a a ,==()3318n n a a ==-，23m n a -=4=﹣32.三.解答题 13.【解析】 解：（1）2x y+=2x•2y=3×5=15；（2）32x=()32x =33=27；（3）212x y +-=()22x •2y÷2=23×5÷2=．14.【解析】解：（1）8.5×310-＝0.0085 （2）2.25×810-＝0.0000000225（3）9.03×510-＝0.0000903 15.【解析】 解：原式4863482323444a ba b a b a b a b ------=-÷=-=-当23a b ==-，时，原式23412(3)27=-=-.北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习整式的乘法（基础）【学习目标】1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算. 【要点梳理】要点一、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 要点二、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即()m a b c ma mb mc ++=++. 要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.要点三、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 【典型例题】类型一、单项式与单项式相乘1、计算：（1）221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭； （2）121(2)(3)2n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅-⎪⎝⎭； （3）232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅-．【思路点拨】前两个题只要按单项式乘法法则运算即可，第（3）题应把x y -与y x -分别看作一个整体，那么此题也属于单项式乘法，可以按单项式乘法法则计算． 【答案与解析】解： （1）221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭22132()()3a a a b b b c ⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯⋅⋅⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 442a b c =-．（2）121(2)(3)2n nx y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭121(2)(3)()()2n n x x x y y z +⎡⎤⎛⎫=-⨯-⨯-⋅⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦413n n x y z ++=-．（3）232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅- 232216()()3m n x y mn x y =-⋅-⋅⋅- 22321(6)()()[()()]3m m n n x y x y ⎡⎤=-⨯⋅⋅-⋅-⎢⎥⎣⎦3352()m n x y =--．【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果里也应全都有，不能漏掉． 举一反三：【变式】（2014•甘肃模拟）计算：2m 2•（﹣2mn ）•（﹣m 2n 3）． 【答案】解：2m 2•（﹣2mn ）•（﹣m 2n 3）=[2×（﹣2）×（﹣）]（m 2×mn×m 2n 3） =2m 5n 4．类型二、单项式与多项式相乘2、 计算：（1）21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭；（3）2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；【答案与解析】 解：（1）21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭212114(2)23223ab ab ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+--+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 232221233a b a b ab =-+-．（2）22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭2222213(6)(6)()(6)32xy xy y xy x xy ⎛⎫=--+-+-- ⎪⎝⎭23432296x y xy x y =-+．（3）2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222334253a ab b a b ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭222222223443423353a a b ab a b b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭42332444235a b a b a b =--+．【总结升华】计算时，符号的确定是关键，可把单项式前和多项式前的“＋”或“－”号看作性质符号，把单项式乘以多项式的结果用“＋”号连结，最后写成省略加号的代数和． 举一反三：【变式1】224312(6)2m n m n m n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭．【答案】解：原式2224232211222m n m n m n +⨯⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭26262262171221244m n m n m n m n m n =-+=-．【变式2】若n 为自然数，试说明整式()()2121n n n n +--的值一定是3的倍数． 【答案】解：()()2121n n n n +--＝222223n n n n n +-+=因为3n 能被3整除，所以整式()()2121n n n n +--的值一定是3的倍数．类型三、多项式与多项式相乘3、计算：（1）(32)(45)a b a b +-； （2）2(1)(1)(1)x x x -++；（3）()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-；（4）25(21)(23)(5)x x x x x ++-+-．【答案与解析】 解：（1）(32)(45)a b a b +-221215810a ab ab b =-+-2212710a ab b =--．（2）2(1)(1)(1)x x x -++22(1)(1)x x x x =+--+41x =-．（3）()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-2222(2)(2)a ab b a ab b =---+-222222a ab b a ab b =----+2ab =-．（4）25(21)(23)(5)x x x x x ++-+-322(5105)(2715)x x x x x =++---32251052715x x x x x =++-++ 32581215x x x =+++．【总结升华】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，刚开始时要严格按法则写出全部过程，以熟悉解题步骤，计算时要注意的是：（1）每一项的符号不能弄错；（2）不能漏乘任何一项．4、（2016春•长春校级期末）若（x+a ）（x+2）=x 2﹣5x+b ，则a+b 的值是多少？ 【思路点拨】根据多项式与多项式相乘的法则把等式的左边展开，根据题意列出算式，求出a 、b 的值，计算即可． 【答案与解析】解：（x+a ）（x+2）=x 2+（a+2）x+2a ， 则a+2=﹣5，2a=b ， 解得，a=﹣7，b=﹣14， 则a+b=﹣21．【总结升华】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 举一反三：【变式】求出使(32)(34)9(2)(3)x x x x +->-+成立的非负整数解． 【答案】不等式两边分别相乘后，再移项、合并、求解． 解：22912689(6)x x x x x -+->+-，229689954x x x x -->+-， 229699854x x x x --->-， 1546x ->-，4615x <．∴ x 取非负整数为0，1，2，3．北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】一.选择题1．下列算式中正确的是( )． A.326326a a a⋅=B.358248x x x ⋅= C.44339x x x ⋅=D.77145510y y y ⋅= 2．（2016•毕节市）下列运算正确的是（ ） A ．﹣2（a+b ）=﹣2a+2b B ．（a 2）3=a 5C ．a 3+4a=a 3D ．3a 2•2a 3=6a 53．（2014秋•白云区期末）下列计算正确的是（ ）A ．x （x 2﹣x ﹣1）=x 3﹣x ﹣1B ．ab （a+b ）=a 2+b 2C ．3x （x 2﹣2x ﹣1）=3x 3﹣6x 2﹣3xD ．﹣2x （x 2﹣x ﹣1）=﹣2x 3﹣2x 2+2x 4．已知()()221323x x x mx +-=--，那么m 的值为( )． A.－2B.2C.－5D.55. 要使()23254x x a x b x x ++-=++成立，则a ，b 的值分别是( )．A. 22a b =-=-，B. 22a b ==，C. 22a b ==-，D. 22a b =-=，6．设M ＝()()37x x --，N ＝()()28x x --，则M 与N 的关系为( )． A.M ＜N B.M ＞N C.M ＝N D.不能确定 二.填空题7. 已知三角形的底边为(62)a b -，高是(26)b a -+，则三角形的面积是_________. 8. 计算：①()()23x x ++＝________；②()()37x x ++＝______；③()()710x x +-＝_______；④()()56x x --＝______．9.（2016•瑶海区一模）计算：x 2y （2x+4y ）= ．10. ()()()_______x y z y x z z x y ---+-=. 11.（2015•江都市模拟）若化简（ax+3y ）（x ﹣y ）的结果中不含xy 项，则a 的值为 ． 12. 若2xy =，3x y +=，则()()11x y ++＝____________.三.解答题13.（2015春•邳州市期末）当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1，可得等式：（a+2b ）（a+b ）=a 2+3ab+2b 2． （1）由图2，可得等式： ． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知 a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a 2+b 2+c 2的值；（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a 2+5ab+2b 2=（2a+b ）（a+2b ）；（4）小明用2 张边长为a 的正方形，3 张边长为b 的正方形，5 张边长分别为a 、b 的长方形纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为 ．14. 解下列各方程．（1）222(1)(32)22y y y y y y +--+=- （2）25(3)4(6)(4)0x x x x x x +--++-+= 15. 化简求值：（1）11112323x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中4x =-．（2）22323(21)(342)x x x x x x x -+--+，其中1x =-．【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】B ；【解析】325326a a a ⋅=；45339x x x ⋅=；77145525y y y ⋅=. 2. 【答案】D ；【解析】A 、原式=﹣2a ﹣2b ，错误；B 、原式=a 6，错误；C 、原式不能合并，错误；D 、原式=6a 5，正确.3. 【答案】C ；【解析】解：A 、x （x 2﹣x ﹣1）=x 3﹣x 2﹣x ，故此选项错误；B 、ab （a+b ）=a 2b+ab 2，故此选项错误；C 、3x （x 2﹣2x ﹣1）=3x 3﹣6x 2﹣3x ，故此选项正确；D 、﹣2x （x 2﹣x ﹣1）=﹣2x 3+2x 2+2x ，故此选项错误；故选：C ．4. 【答案】D ；【解析】()()2221325323x x x x x mx +-=--=--，所以5m =. 5. 【答案】C ；【解析】由题意3524a b +=-=，，所以22a b ==-，.6. 【答案】B ；【解析】M ＝21021x x -+，N ＝21016x x -+，所以M ＞N. 二.填空题7. 【答案】2212182-++ab a b ；8. 【答案】222256;1021;370;1130x x x x x x x x ++++---+. 9. 【答案】x 3y+2x 2y 2；10.【答案】0；【解析】原式＝0xy xz xy yz xz yz --++-=. 11.【答案】3；【解析】解：（ax+3y ）（x ﹣y ）=ax 2+（3﹣a ）xy ﹣3y 2， 含xy 的项系数是3﹣a ，∵展开式中不含xy 的项， ∴3﹣a=0， 解得a=3． 故答案为：3．12.【答案】6；【解析】原式＝12316xy x y +++=++=. 三.解答题 13.【解析】解：（1）（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ； （2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，∴a 2+b 2+c 2=（a+b+c ）2﹣2（ab+ac+bc ）=121﹣76=45； （3）如图所示：（4）根据题意得：2a 2+5ab+3b 2=（2a+3b ）（a+b ）， 则较长的一边为2a+3b ． 14.【解析】解：（1）2222223222y y y y y y +-++=-．42y =-，12y =-． （2）222551524440x x x x x x +----+=．1515x -=， 1x =-．15.【解析】解：（1）原式2111111111111222332334669x x x x x x x ⎛⎫=⋅-⋅+⋅+-=-+- ⎪⎝⎭ 21149x =-． 当4x =-时，原式21118(4)434999=⨯--=-=．（2）原式4324324326333423x x x x x x x x x =-+-+-=++当1x =-时，原式4323(1)(1)(1)3113=⨯-+-+-=-+=．北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习乘法公式（基础）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++. 【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．(1)()()2332a b b a --； (2) ()()2323a b a b -++； (3) ()()2323a b a b ---+； (4) ()()2323a b a b +-； (5) ()()2323a b a b ---； (6) ()()2323a b a b +--．【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式. 【答案与解析】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算． (2) ()()2323a b a b -++＝()23b －()22a ＝2294b a -．(3) ()()2323a b a b ---+＝()22a - －()23b ＝2249a b -．(4) ()()2323a b a b +-＝()22a －()23b ＝2249a b -．(5) ()()2323a b a b ---＝()23b -－()22a ＝2294b a -．【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）． 举一反三：【变式】计算：（1）332222x x y y ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）(2)(2)x x -+--； （3）(32)(23)x y y x ---．【答案】解：（1）原式2222392244x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）原式222(2)4x x =--=-．（3）原式22(32)(23)(32)(32)94x y y x x y x y x y =-+-=+-=-． 2、计算：(1)59.9×60.1； (2)102×98． 【答案与解析】解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝22600.1-＝3600－0.01＝3599.99(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝221002-＝10000－4＝9996． 【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算．举一反三： 【变式】（2015春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算： （1）1232﹣124×122 （2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ） 【答案】解：（1）1232﹣124×122 =1232﹣（123+1）（123﹣1） =1232﹣（1232﹣1） =1232﹣1232+1 =1；（2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ） =（2a+b ）（2a ﹣b ）（4a 2+b 2） =（4a 2﹣b 2）（4a 2+b 2） =（4a 2）2﹣（b 2）2 =16a 4﹣b 4．类型二、完全平方公式的应用3、计算：(1)()23a b +； (2)()232a -+； (3)()22x y -； (4)()223x y --．【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.【答案与解析】解：(1) ()()22222332396a b a a b b a ab b +=+⨯⋅+=++．(2) ()()()222223223222334129a a a a a a -+=-=-⨯⨯+=-+．(3) ()()22222222244x y x x y y x xy y -=-⋅⋅+=-+ ．(4) ()()()()2222222323222334129x y x y x x y y x xy y --=+=+⨯⨯+=++．【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意()()22a b a b --=+之间的转化．4、（2015春•吉安校级期中）图a 是由4个长为m ，宽为n 的长方形拼成的，图b 是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形． （1）用m 、n 表示图b 中小正方形的边长为 ． （2）用两种不同方法表示出图b 中阴影部分的面积；（3）观察图b ，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n ）2，（m ﹣n ）2，mn ；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a ﹣b ）2的值．【答案与解析】解：（1）图b 中小正方形的边长为m ﹣n ．故答案为m ﹣n ； （2）方法①：（m ﹣n ）（m ﹣n ）=（m ﹣n ）2；方法②：（m+n ）2﹣4mn ；（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m ﹣n ）2=（m+n ）2﹣4mn ； （4）由（3）得：（a ﹣b ）2=（a+b ）2﹣4ab ，∵a+b=7，ab=5， ∴（a ﹣b ）2=72﹣4×5=49﹣20=29．【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．5、已知7a b +=，ab ＝12．求下列各式的值： (1) 22a ab b -+；(2) 2()a b -．【答案与解析】解：(1)∵ 22a ab b -+＝22a b +－ab ＝()2a b +－3ab ＝27－3×12＝13．(2)∵ ()2a b -＝()2a b +－4ab ＝27－4×12＝1.【总结升华】由乘方公式常见的变形：①()2a b +－()2a b -＝4ab ；②22a b +＝()2a b +－2ab ＝()2a b -＋2ab ．解答本题关键是不求出,a b 的值，主要利用完全平方公式的整体变换求代数式的值． 举一反三：【变式】已知2()7a b +=，2()4a b -=，求22a b +和ab 的值．【答案】解：由2()7a b +=，得2227a ab b ++=； ①由2()4a b -=，得2224a ab b -+=． ② ①＋②得222()11a b +=，∴ 22112a b +=． ①－②得43ab =，∴ 34ab =． 北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】一.选择题1. 在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（ ）A.))((n m n m +--B.()()3333x yx y -+ C.))((b a b a --- D.()()2222cd d c -+2．若x y +＝6，x y -＝5，则22x y -等于( )． A.11 B.15 C.30 D.603．下列计算正确的是( )． A.()()55m m -+＝225m -B. ()()1313m m -+＝213m -C.()()24343916n n n ---+=-+D.( 2ab n -)(2ab n +)＝224ab n -4．下列多项式不是完全平方式的是( )． A.244x x -- B.m m ++241C.2296a ab b ++D.24129t t ++5．（2015春•重庆校级期中）已知关于x 的二次三项式4x 2﹣mx+25是完全平方式，则常数m 的值为（ ） A ．10 B ．±10 C ．﹣20 D ．±20 6．下列等式不能恒成立的是( )．A.()222396x y x xy y -=-+B.()()22a b c c a b +-=--C.22241)21(n m n m n m +-=- D.()()()2244x y x y x y x y -+-=-二.填空题7．若2216x ax ++是一个完全平方式，则a ＝______． 8. 若2294x y +＝()232x y M ++,则M ＝______． 9. 若x y +＝3，xy ＝1，则22x y +＝_______.10.（2015春•陕西校级期末）（1+x ）（1﹣x ）（1+x 2）（1+x 4）= ． 11. ()25(2)(2)21x x x -+--=___________.12.若()212x -=，则代数式225x x -+的值为________.三.解答题13.（2015春•兴平市期中）用平方差公式或完全平方公式计算（必须写出运算过程）． （1）69×71； （2）992．14.先化简，再求值：22)1(2)1)(1(5)1(3-+-+-+a a a a ，其中3=a ．15.已知：2225,7x y x y +=+=，且,x y >求x y -的值. 【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】A ；【解析】A 中m 和m -符号相反，n 和n -符号相反，而平方差公式中需要有一项是符号相同的，另一项互为相反数.2. 【答案】C ；【解析】()()22x y x y x y -=+-＝6×5＝30.3. 【答案】C ；【解析】()()55m m -+＝225m -；()()1313m m -+＝219m -；(2ab n -)(2ab n +)＝2224a b n -.4. 【答案】A ；【解析】2211()42m m m ++=+；22296(3)a ab b a b ++=+；224129(23)t t t ++=+. 5. 【答案】D ；【解析】解：∵关于x 的二次三项式4x 2﹣mx+25是完全平方式， ∴﹣m =±20，即m=±20． 故选：D ．6. 【答案】D ；【解析】()()()()22222x y x y x yxy-+-=-.二.填空题7. 【答案】±4；【解析】222216244x ax x x ++=±⨯+，所以4a =±. 8. 【答案】12xy -；【解析】2294x y +＝()23212x y xy +-. 9. 【答案】7；【解析】()2222x y x y xy +=++，22927x y +=-=.10.【答案】1﹣x 8；【解析】解：（1+x ）（1﹣x ）（1+x 2）（1+x 4）=（1﹣x 2）（1+x 2）（1+x 4） =（1﹣x 4）（1+x 4） =1﹣x 8， 故答案为：1﹣x 811.【答案】2421x x +-；【解析】()()()22225(2)(2)2154441421x x x x x x x x -+--=---+=+-.12.【答案】6；【解析】因为()212x -=，所以2221,256x x x x -=-+=.三.解答题 13.【解析】 解：（1）原式=（70﹣1）×（70+1）=4900﹣1=4899； （2）原式=（100﹣1）2=10000﹣200+1=9801． 14.【解析】解：223(1)5(1)(1)2(1)a a a a +-+-+-()()()22232151221210a a a a a a =++--+-+=+当3,=231016a =⨯+=时原式.15.【解析】解：∵()2222x y x y xy +=++，且2225,7x y x y +=+=∴27252xy =+，∴12xy =，∵()2222252121x y x y xy -=+-=-⨯=∴1x y -=±∵,x y >即0x y -> ∴1x y -=.北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习整式的除法（基础）【学习目标】1. 会进行单项式除以单项式的计算．2. 会进行多项式除以单项式的计算． 【要点梳理】要点一、单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.要点二、多项式除以单项式法则多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.【典型例题】类型一、单项式除以单项式1、计算：（1）342222(4)(2)x y x y ÷；（2）2137323m n m m n xy z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭；（3）22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷-；（4）2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++． 【思路点拨】（1）先乘方，再进行除法计算．（2）、（3）三个单项式连除按顺序计算．（3）、（4）中多项式因式当做一个整体参与计算． 【答案与解析】解：（1）342222684424(4)(2)1644x y x y x y x y x y ÷=÷=． （2）2137323m n m m n xy z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭。
北师大版教学必备,初一数学.幂的运算
寒假“夜草计划”之七年级数学 内部使用课时1 幂的运算（一）1.1 同底幂的乘法一、复习回顾活动内容：复习七年级上册数学课本中介绍的有关乘方运算知识：二、趣味新课1．利用乘方的意义， 计算103×1022．建立幂的运算法则：将上题中的底数改为a ，则有 a 3·a 2＝用字母m ，n 表示正整数，则有a m ·a n =3．剖析法则，问问自己是否清楚明白clear ？(1)等号左边是什么运算？ (2)等号两边的底数有什么关系？(3)等号两边的指数有什么关系？(4)公式中的底数a 可以表示什么(5)当三个以上同底数幂相乘时，上述法则是否成立？三、应用提高活动内容：1．完成：p n m a a a ⋅⋅等于什么？2．区分“同底数幂的乘法”与“合并同类项”的不同之处。
3．学会同底数幂乘法法则的逆用，如计算：四、拓展延伸活动内容：计算：(1)-a 2·a 6 (2)(-x)·(-x)3(3)y m ·y m+1 （4）()3877⨯-（5）()3766⨯-（6）()()435555-⨯⨯-.（7）()()b a b a -⋅-2 （8）()()b a a b -⋅-2(9)x 5·x 6·x 3 (10)-b3·b 3(11)-a ·(-a)3 (12)(-a)2·(-a)3·(-a)1.2幂的乘方与积的乘方（一）一、复习回顾活动内容：复习已学过的幂的意义及幂运算的运算法则1. 幂的意义2. .n m n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
二、情境学习活动内容：根据已经学习过的知识，来回忆并探讨以下实际问题1． 乙正方体的棱长是 2 cm, 则乙正方体的体积 V 乙 = cm 3 。
甲正方体的棱长是乙正方体的 5 倍，则甲正方体的体积 V 甲 = cm 3 。
北师大版七年级数学下 第一章 幂的运算复习 (1)(共18张PPT)
1.掌握有关幂的性质及运算法则； 2.能熟练运用法则进行混合运算，解决实际问题。
复习指导（2分钟）
同底数幂的乘法运算法则：
am ·an = am+n
幂的乘方运（算m法,n都则是: 正整数）
(am)n= amn (m、n都是正整数)
积的乘方运算法则:
(ab)n = an·bn（m,n都是正整数）
A．-29x10
B．29x10
C．-29x9
D．29x9
6.三个单项式①-10x3y2，②-0.01x3，③yx3按次数由大到小 的排列是（ ）
A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②
7.式子-mn与（-m）n的正确判断是（ ） A．当n为偶数时，这两个式子互为相反数 B．这两个式子是相等的 C．当n为奇数时，它们互为相反数 D．n为偶数时它们相等
A．a3
B．-a2
C．-a3
D．a2
3.设am=8，an=16，则am+n=（ D ）
A．24
B．32
C．64
D．128
4.下列运算正确的是（ ）
A．a5+a5=a10
B．a6×a4=a24
C．a0÷a-1=a
D．a4-a4=a0
5.观察下面的一列单项式：-x、2x2、-4x3、8x4、-16x5、… 根据其中的规律，得出的第10个单项式是（ ）
为17．则该多项式当x=1时的值是
．
38. 若a+b=0，则多项式a3+a2b-ab2-b3的值是
．
39. xa+b+c=35，xa+b=5，求xc的值．
40. 已知x3n=2，求x6n+x4n×x5n的值．
2019年春七年级数学下册第一章整式的乘除2幂的乘方与积的乘方同步课件(新版)北师大版
分析 进行计算时,一定要注意底数不变,指数相乘. 解析 (1)(102)3=106.(2)-(a2)4=-a8.(3)(x3)5· x3=x15· x3=x18. 知识点二 积的乘方 法则:积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. 字母表示:(ab)n=an· bn(n为正整数). 注意:(1)三个或三个以上的因式的积的乘方,也具备这一运算法则,如 (abc)n=an· bn· cn(n是正整数).
3.计算: (1)(2×107)3;(2)(-amb6c)2;(3)(-xm+2y2n-1)3.
解析 (1)原式=8×1021.
(2)原式=a2mb12c2. (3)原式=-x3m+6y6n-3.
一、选择题
1.(2018安徽泗县期中,1,★☆☆)下列运算正确的是 (
A.(x4)4=x8 C.(-x1 000)2=x2 000 B.a4-a3=a D.x· x2· x3=x5
1.下列计算正确的是 ( A.x3· x2=2x6 C.(-x2)3=-x6 B.x4· x2=x8 D.(x3)2=x5
)
答案 C A选项的计算结果应为x5,B选项的计算结果应为x6,D选项的
计算结果应为x6.
2.若x3=-8a6b9,则x=
答案 -2a2b3
.
解析 根据积的乘方的逆运算得-8a6b9=(-2a2b3)3,所以x3=(-2a2b3)3,所以x= -2a2b3,故填-2a2b3.
)
答案 D A.-(a-b)=-a+b;B.a2+a2=2a2;C.a2· a3=a5.故选D. 2.(2017福建中考,4,★☆☆)化简(2x)2的结果是 ( A.x4 B.2x2 C.4x2 D.4x )
2019年春七年级数学下册第一章整式的乘除2幂的乘方与积的乘方同步课件新版北师大版
知识点二 积的乘方 6.(2017山东东平期中)计算(-x)3·x2的结果是 ( ) A.x5 B.-x5 C.x6 D.-x6 答案 B (-x)3·x2=-x3·x2=-x3+2=-x5.
一、选择题 1.(2018山东青岛中考,4,★☆☆)计算(a2)3-5a3·a3的结果是 ( ) A.a5-5a6 B.a6-5a9 C.-4a6 D.4a6
答案 C 原式=a2×3-5a3+3=a6-5a6=-4a6.
2.(2017湖南怀化中考,2,★☆☆)下列运算正确的是 ( )
A.3m-2m=1
1.若3×9m×27m=311,则m的值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 A 3×9m×27m=3×32m×33m=31+2m+3m=311,所以1+2m+3m=11,解得m=2.
2.已知23×83=2n,则n的值是 ( ) A.18 B.7 C.8 D.12 答案 D 23×83=23×(23)3=23×29=212=2n,所以n=12.
解析 (1)因为4×8x×16x=22×(23)x×(24)x=22×23x×24x=22+3x+4x=223,所以2+3x+4x =23,解得x=3.
(2)因为(9x)3=(32x)3=36x=39,所以6x=9,解得x= 3 .
2
点拨 解此类题一般先将方程两边适当变形,使其变形为两个幂相等的 形式.由左右两边幂的底数相同,得出指数相等,从而列出方程,进而求解.
3.计算: (1)(2×107)3;(2)(-amb6c)2;(3)(-xm+2y2n-1)3.
专题1.1幂的运算-重难点题型(举一反三)(北师大版)(原卷版)
专题1.1 幂的运算重难点题型【北师大版】【题型1 幂的基本运算】【例1】（2021•高新区校级三模）下列计算正确的是（）A．x8÷x4＝x2B．x3•x4＝x12C．（x3）2＝x6D．（﹣x2y3）2＝﹣x4y6【变式11】（2020秋•南宁期末）下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a5B．（﹣2a）3＝﹣6a3C．a6÷a2＝a3D．a﹣1=1a（a≠0）【变式12】（2021•椒江区一模）下列运算正确的是（）A．a2•a4＝a8B．（a2）3＝a5C．（ab）2＝ab2D．a5÷a3＝a2【变式13】（2021•元阳县模拟）下面计算正确的是（）A．3a+2b＝5ab B．（π−√3）0＝1C．（﹣2a2）3＝﹣6a6D．x3÷x•x﹣1＝x3【例2】（2021春•蚌埠期末）若a＝（−34）﹣2，b＝（−12）0，c＝0.75﹣1，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b【变式21】（2021春•江都区校级期中）若a＝0.52，b＝﹣5﹣2，c＝（﹣5）0，那么a、b、c三数的大小为（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a【变式22】（2021•沙坪坝区校级开学）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b【变式23】（2021•彭州市校级开学）已知a＝266，b＝355，c＝444，d＝533，则a、b、c、d的大小关系（）A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．b＜a＜c＜d D．a＜d＜b＜c【题型3 幂的运算法则逆用（求代数式的值）】【例3】（2021春•莱阳市期末）已知10a＝5，10b＝2，则103a+2b﹣1的值为．【变式31】（2021春•青川县期末）已知a m＝2，a n＝3，则（a3m﹣n）2＝．【变式32】（2021春•仪征市期中）（1）已知10m＝5，10n＝2，求103m+2n的值；（2）已知8m÷4n＝16，求（﹣3）2n﹣3m的值．【变式33】（2021春•宝应县月考）（1）若（9m+1）2＝316，求正整数m的值．（2）已知n为正整数，且x2n＝2，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．【例4】（2021春•海陵区校级期末）若3x+2y﹣3＝0，则8x•4y等于．【变式41】（2021春•嵊州市期末）若4x﹣3y﹣3＝0，则104x÷103y＝．【变式42】（2021春•鄞州区校级期末）若2x+3y﹣4z+1＝0，求9x•27y÷81z的值．【变式43】（2021春•高新区月考）先化简，再求值（1）已知2x+y＝1，求代数式（y+1）2﹣（y2﹣4x+4）的值．（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．（3）若x、y满足x2+y2=54，xy=−12，求下列各式的值．①（x+y）2；①x4+y4．【题型5 幂的运算法则（混合运算）】【例5】（2021春•渠县期末）计算．（1）4×（2n）2÷（2n﹣1）2．（2）（﹣1）2020×（π﹣2）0﹣|﹣5|﹣（−12）﹣3．【变式51】（2021春•徐州期末）计算：（1）﹣22+20210+|﹣3|；（2）（a2）3+a2•a4﹣a7÷a．【变式52】（2021春•江都区校级期中）计算：（1）(12)−1−(5−π)0−|−3|+2；（2）（﹣2x2）3+x2•x4+（﹣3x3）2．【变式53】（2021春•临淄区期末）计算：（1）（x﹣y）6÷（y﹣x）3÷（x﹣y）；（2）﹣（3×2﹣2）0+（−12）﹣3﹣4﹣2×（−14）﹣3．【题型6 幂的运算法则（新定义问题）】【例6】（2020春•龙口市期末）规定两个非零数a，b之间的一种新运算，如果a m＝b，那么a①b＝m．例如：因为52＝25，所以5①25＝2；因为50＝1，所以5①1＝0．（1）根据上述规定填空：2①16＝；3①127=．（2）在运算时，按以上规定请说明等式8①9+8①10＝8①90成立．【变式61】（2021春•金水区期中）如果a c＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定填空：（4，16）＝，（3，1）＝，（2，0.25）＝；（2）若（3，4）＝a，（3，6）＝b，（3，96）＝c．判断a，b，c之间的数量关系，并说明理由．【变式62】（2021春•邗江区月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：①（5，125）＝，（﹣2，﹣32）＝；①若(x，116)=−4，则x＝．（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试说明下列等式成立的理由：a+b＝c．【变式63】（2021春•安庆期末）规定两数a ，b 之间的种运算，记作（a ，b ）：如果a c ＝b ，那么（a ，b ）＝c ．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝ ；（5，1）＝ ；（2，14）＝ ； （2）小明在研究这种运算时发现一个特例：对任意的正整数n ，（3n ，4n ）＝（3，4）．小明给了如下的证明：设（3n ，4n ）＝x ，则（3n ）x ＝4n ，即（3x ）n ＝4n ，所以3x ＝4，即（3，4）＝x ，所以（3n ，4n ）＝（3，4）请根据以上规律：计算：（16，10000）﹣（64，1000000）．（3）证明下面这个等式：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）．。
七年级数学北师大版下册初一数学--第一单元 1.2 幂的乘方与积的乘方课件
易错点：对积的乘方的运算法则理解不透而导致出错
解： (1)× 改正：原式＝a2b4. (2)× 改正：原式＝27c3d3. (3)× 改正：原式＝9a6. (4)× 改正：原式＝－x9y3.
2 易错小结
知1－练
1 计算： (1)(－3n)3； (2) (5xy)3； (3) －a3+(－4a2) a.
解： (1)(－3n)3＝(－3)3·n3＝－27n3. (2)(5xy)3＝53·x3·y3＝125x3y3. (3)－a3＋(－4a)2a＝－a3＋(－4)2·a2·a ＝－a3＋16a3＝15a3.
=（__a_a_a）__·_（_b_b_b_） =a( 3 )b( 3 ) .
? 思考：积的乘方(ab)n =?
n个ab (ab) n= (ab)·(ab)·····(ab)
n个a
n个b
= (a·a·····a) ·(b·b·····b)
=anbn 即：(ab)n=anbn (n为正整数)
知1－导
5 7
6
44
;
(2)0.125 2015×(－8 2016)．
知2－讲
知2－讲
导引：本例如果按照常规方法进行运算，(1)题比较 麻烦，(2)题无法算出结果，因此需采用非常 规方法进行计算．(1)观察该式的特点可知， 需利用乘法的交换律和结合律，并逆用积的乘 方法则计算；(2)82016＝8 2015×8，故该式应逆 用同底数幂的乘法和积的乘方法则计算．
解：（1）
1
2 5
6
0.254
5 7
1.2幂的乘方与积的乘方第2课时(课件)七年级数学下册课件(北师大版)
二、新知探究
方法归纳
积的乘方运算的“三注意”：
(1)运用积的乘方法则时，应是每一个因式都分别乘方，不要遗漏
其中任何一个因式.
(2)当底数中的因式是幂时，要运用到幂的乘方法则.
(3)进行积的乘方时，勿忽略系数的“-”号.
二、新知探究
探究二：积的乘方的应用
问题解决：地球可以近似地看做是球体，地球的半径约为6×103 km
= .
×(- )× ]11×(- )×
三、典例精析
例3：若n为正整数，且x2n=2，求(3x3n)2-3(x2)2n的值.
解:因为x2n=2,
所以(3x3n)2-3(x2)2n
=9x6n-3x4n=9(x2n)3-3(x2n)2
=9×23-3×22=72-12
=60.
方法总结：当所求式子的值不易求出时,观察已知条件与所求代数式
式表示这个正方体的体积是 3.375×106 cm3.
1
7. (0.04)2024×[(－5)2024]2=________.
四、当堂练习
8.计算:
(1)(xy3)m;
2 3 3
(2)(- ab c ) ;
(3)(2m2n2)2·3m3n5;
(4)(-a3b)4+2(a6b2)2.
解:(1)原式=xmy3m.
×- 3;
= .
(2)(-10)10×-
× × )
解:(1)原式=(
=
3
(2)原式=(−
= (−
=1× (−
= .
) × (−
) × (−
)
) × (−)
幂的乘方与积的乘方课件北师大版数学七年级下册(2)
a3b3 （同底数幂相乘）
新知探究
证一证
如果n是正整数，那么积的乘方(ab)n 等于什么？
为什么？
新知探究
积的乘方法则：
知识点
积的乘方 乘方的积
(ab)n = anbn （n为正整数）
积的乘方：等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得 的幂相乘
类比推理：三个或三个以上的积的乘方等于什么？
(abc)n = anbncn （n为正整数）
再见
（2）(3xy2)2+(2x)2·y3·y;
解：原式=9x2y4 3)3·(x2)2.
解：原式= －8x9·x4 =－8x13.
练一练
运算顺序： 先乘方，再 乘除，最后 算加减.
新知应用 创新应用
强化提升
（1）若n是正整数，且 xn 6, y n 5 ，
北师大版
第 一 章 整式的乘除
2.2幂的乘方与积的乘方
复习导入
1.计算: （1） am表示的意义 （2） 10×102× 103 =__1_0_6__ ； （3） (x5 )2=____x_10____. 2.（1）同底数幂的乘法：am·an= am+n ( m，n都是
正整数). （2）幂的乘方：(am)n= amn (m,n都是正整数）.
新知应用
题目游戏
新知应用
疑难解惑
新知应用
试用简便方法计算 (1) 23×53 = (2×5)3 = 103 (2) 28×58 = (2×5)8 = 108
练一练
(3) (-5)15 × (-2)15 =[(-5)×(-2)]15 = 1015
(4) 24 × 44 ×(-0.125)4 = [2×4×(-0.125)]4 = （-1）4 =1
北师大版七年级数学下册《幂的乘方与积的乘方》(第二课时)
解：(1)原式=a8·b8; (2)原式= 23 ·m3=8m3; (3)原式=(－x)5 ·y5=－x5y5;
巩固练习
(1) (ab)8; (4) (5ab2)3;
(2) (2m)3;
(3) (－xy)5;
(5) (2×102)2; (6) (－3×103)3.
(4)原式=53 ·a3 ·(b2)3=125a3b6;
（n是正整数）
公式的逆运用
(1) 23×53 = (2×5)3 = 103
(2) 28×58 ; = (2×5)8
= 108
公式的逆运用
(3) (-5)16 × (-2)15 = (-5)×[(-5)×(-2)]15 = -5×1015
公式的逆运用
(4) 24 × 44 ×(-0.125)4 = [2×4×(-0.125)]4 = 1.
(a a) (b b)（乘法交换律、结合律）
a2b2
（同底数幂相乘的法则）
同理：
(ab)3 (ab)(ab)(ab)
(a a a) (b b b)
a3b3
推理验证 思考：积的乘方(ab)n =? 猜想结论：(ab)n=anbn (n为正整数) n个ab
证明：(ab) n= (ab)·(ab)·····(ab) n个a n个b
讲授新课
积的乘方 思考下面两道题:
这两道题有什 么特点？
(1) (ab)2;
(2) (ab)3.
底数为两个因式相乘，积的情势.
我们学过的幂 的乘方的运算 性质适用吗？
这种情势为 积的乘方.
我们只能根据乘方的意义及乘法交换律、结合律 可以进行运算.
(ab)2 (ab) (ab) （乘方的意义）
能力提升：如果(an.bm.b)3=a9b15,求m, n的值. 解:∵(an.bm.b)3=a9b15, (an)3.(bm)3.b3=a9b15, a3n .b3m.b3=a9b15 , a3n.b3m+3=a9b15, 3n=9,3m+3=15. n=3,m=4.
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1
幂的运算（基础）
责编：杜少波
【学习目标】
1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；
2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.
【要点梳理】
【高清课堂396573 幂的运算 知识要点】
要点一、同底数幂的乘法性质
mnmn
aaa
(其中,mn都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、
多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即mnpmnpaaaa（,,mnp都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数
与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即
mnmnaaa
（,mn都是正整数）.
要点二、幂的乘方法则
()mnmnaa(其中,mn都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：（1）公式的推广：(())mnpmnpaa (0a，,,mnp均为正整数)
（2）逆用公式： nmmnmnaaa，根据题目的需要常常逆用幂的乘
方运算能将某些幂变形，从而解决问题.
要点三、积的乘方法则
()nnnabab
(其中n是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，
再把所得的幂相乘.
要点诠释：（1）公式的推广：()nnnnabcabc (n为正整数).
（2）逆用公式：nnnabab逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其
是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：10101011221.22
要点四、注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要
遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
2
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
【典型例题】
类型一、同底数幂的乘法性质
1、计算：
（1）234444；（2）3452622aaaaaa；
（3）11211()()()()()nnmnmxyxyxyxyxy．
【答案与解析】
解：（1）原式234944．
（2）原式34526177772222aaaaaaa．
（3）原式11211222()()()()2()nnmnmnmnmnmxyxyxyxyxy．
【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的
运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a的
指数是1．在第（3）小题中把xy看成一个整体．
举一反三：
【变式】计算：
（1）5323(3)(3)；
（2）221()()pppxxx（p为正整数）；
（3）232(2)(2)n（n为正整数）．
【答案】
解：（1）原式532532532103(3)333333．
（2）原式22122151()pppppppxxxxx．
（3）原式525216222(2)22nnn．
2、已知2220x，求2x的值．
【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22222xx
【答案与解析】
解：由2220x得22220x．
3
∴ 25x．
【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的
乘法法则的逆运用：mnmnaaa．
类型二、幂的乘方法则
3、计算：
（1）2()ma；（2）34[()]m；（3）32()ma．
【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a，（2）题中的底数是m，（3）题
中的底数a的指数是3m，乘方以后的指数应是2(3)62mm．
【答案与解析】
解：（1）2()ma2ma．
（2）34[()]m1212()mm．
（3）32()ma2(3)62mmaa．
【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方
与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式
或多项式.
4、（2016春•湘潭期末）已知ax=3，ay=2，求ax+2y的值．
【思路点拨】 直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形进而将已知代入求出答案．
【答案与解析】
解：∵ax=3，ay=2，
∴ax+2y=ax×a2y=3×22=12．
【总结升华】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解题时记准法则是关键．
举一反三：
【变式1】已知2ax，3bx．求32abx的值．
【答案】
解：32323232()()238972abababxxxxx．
【高清课堂396573 幂的运算 例3】
【变式2】已知84m，85n，求328mn的值．
【答案】
解：因为3338(8)464mm, 2228(8)525nn.
所以323288864251600mnmn.
4
类型三、积的乘方法则
5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：
（1）22()abab； （2）333(4)64abab； （3）326(3)9xx．
【答案与解析】
解：（1）错，这是积的乘方，应为：222()abab．
（2）对．
（3）错，系数应为9，应为：326(3)9xx．
【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．
（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．
举一反三：
【变式】（2015春•铜山县校级月考）（﹣8）57×0.12555．
【答案】解：（﹣8）57×0.12555=（﹣8）2×[（﹣8）55×]=﹣64．