安徽省马鞍山市第二中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试卷及答案

安徽省马鞍山市第二中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．sin 2α=是3πα= 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2. ①均为假命题为假命题，则若q p q p ,∧；②设R y x ∈,，命题“”则若0,022=+=y x xy 的否命题是真命题；③直线和抛物线只有一个公共点是直线和抛物线相切的充要条件； 则其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 3．空间四边形OABC 中，OB=OC ，∠AOB=∠AOC=600，则cos ,OA BC <>= （ ）A ．21B ．22C ．-21D ．04．若抛物线)0(22>=p px y 上横坐标是2的点M 到抛物线焦点距离是3，则=p （ ）A ．1B ．2C ．4D ．85. 已知两定点F 1(-1,0) 、F 2(1,0), 则命题甲：12F F 是1PF 与2PF 的等差中项,命题乙：动点P 的轨迹是椭圆，则甲是乙的 ( ).A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件6．过椭圆1162522=+y x 的中心任作一直线交椭圆于Q P 、两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PQF 周长的最小值是( ) A ．14B ．16C ．18D ．207.如右图在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段,AC BD 分别在 这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，=46,AB cm AC cm =，8,BD cm CD ==，则这个二面角的度数为（ ）A ．30 B ．60 C ．90 D ．1208．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为21,F F ，若曲线C 上存在点P 满足1PF ：12F F ：2PF = 4:3:2，则曲线C 的离心率等于 ()A. 1322或B. 1223或C. 12D. 239．P 是双曲线1366422=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，则2PF 的值为（ ）A. 33B.33或1C. 1D. 25或9 10．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=∙=∙=∙，，，则∆BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定第Ⅱ卷二、填空题:(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则,为邻边的平行四边形的面积为 ． 12．若函数()|21|2x f x a =--有两个零点，则a 应满足的充要条件是13．已知12F F 、为椭圆22:194x y C +=的左、右焦点，则在该椭圆上能够满足1290F PF ∠=的点P 共有 个14.在Rt ABC ∆中，2AB AC ==.如果一个椭圆通过A 、B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在边AB 上，则这个椭圆的焦距为 ． 15. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A B 、为两个定点，k k =-，则动点P 的轨迹为双曲线； ②已知圆C 上一定点A 和一动点B ，O 为坐标原点，若()+=21则动点P 的轨迹为圆；③04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的离心率相同；④已知两定点12(1,0),(1,0)F F -和一动点P ，若212||||(0)PF PF a a ⋅=≠，则点P 的轨迹关于原点对称.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）.三、解答题：(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 16．(本小题满分12分) 已知曲线C: 22220(40)x y Gx Ey F G E F ++++=+->,求曲线C 在x轴上的所截的线段的长度为1的充要条件，证明你的结论。

17．(本小题满分12分) 已知命题p ：137322=-++m y m x 表示焦点在x 轴的双曲线， 命题q ： x m x f )25()(-= 是增函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围.18．(本小题满分12分) 如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.（1）求BN 的长； （2）求cos<11,CB BA >的值；（3）求证：A 1B ⊥C 1M .ANMCB1A 1B 1C19．(本小题满分13分)椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别是)0,(1c F -，)0,(2c F ，过1F 斜率为1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列．(1）请探求b 与c 的关系；(2）设点)1,0(-P 在线段AB 的垂直平分线上，求椭圆C 的方程．20.（本小题满分13分）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，已知41=AA ，2=AB ，E 是BC的中点，D 在棱1AA 上．（I ）求异面直线AE 与1BC 所成角； （II ）若//AE 平面1DBC ，求AD 长；（III ）在棱1AA 上是否存在点D ，使得二面角11B BC D --的大小等于 60，若存在，求AD的长；若不存在，说明理由．21．（本小题满分13分）已知经过抛物线py x C 22=：焦点F 的直线1+=kx y l ：与抛物线C 交于A 、B 两点，若存在一定点),0(b D ，使得无论AB 怎样运动，总有直线AD 的斜率与BD 的斜率互为相反数． （I ）求p 与b 的值；（II ）对于椭圆C '：1522=+y x ，经过它左焦点F '的直线l '与椭圆C '交于A '、B '两点，是否存在定点D '，使得无论B A ''怎样运动，都有F D B F D A '''∠='''∠？若存在，求出D '坐标；若不存在，说明理由．马鞍山市第二中学2014—2015学年度第一学期期终素质测试 高二（理）数学试题答卷纸一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.二、填空题（每小题5分，共25分）11． ； 12． ； 13． ；14．_________ ； 15. ；三、解答题：(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 16．(本小题满分12分)解：17．(本小题满分12分)解：18．(本小题满分12分) 解：19．(本小题满分13分)解：ANMCB 1A1B1C20.（本小题满分13分）解：21．（本小题满分13分）解：马鞍山市第二中学2014—2015学年度第一学期期终素质测试 高二（理）数学试题参考答案一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.三、解答题：(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 16．(本小题满分12分)解： 必要性：令y=0，则20.x Gx F ++=21212||14 1.x x x x G F =-=设、为此方程的根，若-，则充分性：241G F -=若，则20.x Gx F ++=有两根为12x x 、，且1212x x G x x F g +，，=-=222121212||44 1.x x x x x x G F -（）=+-=-=g 故所求的充要条件是241G F -=。

17．(本小题满分12分)解：由137322=-++m y m x 表示焦点在x 轴的双曲线得⎩⎨⎧<->+03703m m 即：⎪⎩⎪⎨⎧<->733m m 得733<<-m x m x f )25()(-=是增函数，须5－2m>1即m<2由于p 或q 为真命题，p 且q 为假命题 故p 、q 中一个真，另一个为假命题 。

若p 真q 假，此时m 的解集为空集 若p 假q 真,则273,3<≤-≤m m 或， 因此，273,3<≤-≤m m 或， 18．(本小题满分12分) 解：如图，建立空间直角坐标系O —xyz .（1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2）∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5∴cos<1BA ，1CB 30101||||1111=⋅CB BA CB BA .（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1={－1，1，2}， M C 1={21,21，0}.∴B A 1·M C 1=－2121++0=0，∴B A 1⊥M C 1， ∴A 1B ⊥C 1M .19．（本小题满分13分） 解：（1）由题设，得AB22AF =2BF +， 由椭圆定义AB 2AF +a BF 42=+，所以，a AB 34=． 设),(11y x A ，),(22y x B ，)0,(1c F -，l ：c y x -=，代入椭圆C 的方程，整理得02)(42222=--+b cy b y b a，（*） 则]4)[(2)(2)()(212212212212212y y y y y y y y x x AB-+=-=-+-=[]22224222422222422222)(84)(2422a b a b b a c b b a b a b b a cb ⋅+=+++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，于是有a ba b a ⋅+=222434， 化简，得b a 2=， 故 c b =．(2）由（1）有c b =，方程（*）可化为02322=--b by y设AB 中点为),(00y x M ，则3)(21210b y y y =+=， 又l M ∈，于是3200bc y x -=-=． 由=PA PB 知PM 为AB 的中垂线，1-=PM k ，由)1,0(-P ，得32131b b -+=-，解得3=b ，182=a ，故，椭圆C 的方程为191822=+y x ． 20.（本小题满分13分） 解：方法1：（I ）取11C B 中点1E ，建立如图所示坐标系，则)0,0,0(E ，)0,3,0(A ，)0,0,1(B)4,3,0(1A ，)4,0,1(1B ，)4,0,1(1-C ，设),3,0(a D ，∴)0,3,0(-=，)4,3,1(1-=a C ，)4,0,2(1-=C ， ∵0,cos 1>=<C ，∴异面直线AE 与1BC 所成角是 90；（II ）设),,(z y x =n 是面1DBC 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅011n n C C ，得)1,32,2(a -=n ， ∵//AE 平面1BDC ，∴0=⋅n AE ，∴2=a ，即2=AD ； （III ）∵)0,3,0(-=是平面11C BB 的法向量，∴60cos =，即2)32(53221a a -+-=，解得52+=a ，∵点D 在棱1AA 上，∴4≤a ，而452>+，∴在棱1AA 上的点D 是不存在的．方法2：（I ）∵E 是BC 的中点，∴⊥AE 面C C BB 11，∴⊥AE 1BC ，异面直线AE 与1BC 所成角是 90；（II ）取11C B 中点1E ，建立如图所示坐标系，则)0,0,0(E ，)0,3,0(A ，)0,0,1(B)4,3,0(1A ，)4,0,1(1B ，)4,0,1(1-C ，设),3,0(a D ，∴)0,3,0(-=，)4,3,1(1-=a C ，)4,0,2(1-=C ， ∵//AE 平面1BDC ，∴存在唯一的μλ,使得B C D C AE 11μλ+=，∴⎪⎩⎪⎨⎧--==-+=μλλμλ4)4(03320a ，∴2=a ，即2=AD ；（III ）设),,(z y x =n 是面1DBC 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅011n n C C ，得)1,32,2(a -=n ， ∵)0,3,0(-=AE 是平面11C BB 的法向量，∴60cos =2)32(53221a a -+-=，解得52+=a ，∵ 点D 在棱1AA 上，∴4≤a ，而452>+，∴ 在棱1AA 上的点D 是不存在的．21．（本小题满分13分）解（I ）∵直线1+=kx y l ：经过抛物线py x C 22=：的焦点为F ， ∴)1,0(F ，∴2=p ， 直线1y kx =+代入y x 42=得0442=--kx x ，设),(11y x A ，),(22y x B ，则k x x 421=+，421-=x x ，∵得无论AB 怎样运动，直线AD 的斜率与BD 的斜率互为相反数，∴无论1x 、2x 怎样变化，总有044222121=-+-x bx x b x ，即421x x b = ∵421-=x x ，∴1-=b ；（II ）直线l '垂直于x 轴时，A '、B '两点关于x 轴对称，∵)0,2(-'F ，∴要使F D B F D A '''∠='''∠，则D '必在x 轴上，设点)0.(a D '，直线l '不垂直于x 轴时，设)2(+='x k y l ：，设),(11y x A ，),(22y x B ，)2(+='x k y l ：代入1522=+y x 得052020)51(2222=-+++k x k x k ， ∴22215120k k x x +-=+，222151520k k x x +-=，∵F D B F D A '''∠='''∠，∴直线D A ''的斜率与D B ''的斜率互为相反数， 即1212(2)(2)0k x k x x a x a+++=--，。