第三章《不等式》全章教案

课题: §3.1不等式与不等关系

第1课时

授课类型：新授课 【教学目标】

1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质；

2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。 【教学重点】

用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题。理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】

用不等式（组）正确表示出不等关系。 【教学过程】

1.课题导入

在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中，我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。

2.讲授新课

1）用不等式表示不等关系

引例1：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是： 40v ≤

引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示

2.5%

2.3%

f p ≤??

≥? 问题1：设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤。

问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？

解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5

(80.2)0.1

x x --? 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式

2.5

(80.2)200.1

x x --

?≥ 问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？

解：假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根。根据题意，应有如下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;

（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负。

要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：

5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤??≥?

?

≥?

?≥?

第2课时

授课类型：新授课 【教学目标】

1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；

2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法； 3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 【教学重点】

掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式； 【教学难点】

利用不等式的性质证明简单的不等式。 【教学过程】

1.课题导入

在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。 请同学们回忆初中不等式的的基本性质。

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变； 即若a b a c b c >?±>±

（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变； 即若,0a b c ac bc >>?>

（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。 即若,0a b c ac bc >

2.讲授新课

1、不等式的基本性质：

师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？ 证明：

1）∵(a＋c)－(b ＋c)

＝a －b ＞0， ∴a＋c ＞b ＋c

2）()()0a c b c a b ---=->， ∴a c b c +>+．

实际上，我们还有,a b b c a c >>?>，（证明：∵a＞b ，b ＞c ，

∴a－b ＞0，b －c ＞0． 根据两个正数的和仍是正数，得

(a －b)＋(b －c)＞0，

即a －c ＞0， ∴a＞c ．

于是，我们就得到了不等式的基本性质： （1）,a b b c a c >>?> （2）a b a c b c >?+>+ （3）,0a b c ac bc >>?> （4）,0a b c ac bc >

2、探索研究

思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质： （1）,a b c d a c b d >>?+>+； （2）0,0a b c d ac bd >>>>?>；

（3）0,,1n n

a b n N n a b >>∈>?>>

证明： 1）∵a＞b ，

∴a＋c ＞b ＋c ． ① ∵c＞d ，

∴b＋c ＞b ＋d ． ② 由①、②得 a ＋c ＞b ＋d ．

2）

bd ac bd bc b d c bc ac c b a >??

??

>?>>>?>>0,0,

3）反证法）假设n

n b a ≤，

则：

a b a b

?=这都与b a >矛盾，

∴n n b a >．

[范例讲解]：

例1、已知0,0,a b c >><求证

c c a b

>。 证明：以为0a b >>，所以ab>0,1

0ab >。

于是 11a b ab ab ?>?，即11

b a

>

由c<0 ，得c c

a b

>

3.随堂练习1

1、课本P82的练习3

2、在以下各题的横线处适当的不等号： (1)（3＋2）2 ６＋26； （2）（3－2）2 （6－1）2； （3

；

(4)当a ＞b ＞0时，log 2

1a log 2

1b

答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜

[补充例题]

例2、比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小。

分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。 解：由题意可知： （a ＋3）（a －５）－（a ＋2）（a －4） ＝（a 2－2a －1５）－（a 2－2a －８） ＝－７＜0 ∴（a ＋3）（a －５）＜（a ＋2）（a －4） 随堂练习2 1、 比较大小：

（1）（x ＋５）（x ＋７）与（x ＋６）2

（2）2

2

56259x x x x ++++与

课题: §3.2一元二次不等式及其解法

第1课时

授课类型：新授课 【教学目标】

1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；

2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；

3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。 【教学重点】

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。 【教学难点】

理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 【教学过程】

1.课题导入

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：

教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：2

50x x -< (1)

2.讲授新课

1）一元二次不等式的定义

象2

50x x -<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式

2）探究一元二次不等式250x x -<的解集

怎样求不等式（1）的解集呢？ 探究：

（1）二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根：120,5x x ==

二次函数有两个零点：120,5x x ==

于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。 （2）观察图象，获得解集

画出二次函数2

5y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知： 当 x<0，或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即2

50x x ->； 当0

50x x -<；

所以，不等式2

50x x -<的解集是{}|05x x <<，从而解决了本节开始时提出的问题。

3）探究一般的一元二次不等式的解法

任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：2

2

0,(0)0,(0)ax bx c a ax bx c a ++>>++<>或

一般地，怎样确定一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2

<0的解集呢？ 组织讨论：

从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点： (1)抛物线=y c bx ax ++2

与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程c bx ax ++2

=0的根的情况 (2)抛物线=y c bx ax ++2的开口方向，也就是a 的符号 总结讨论结果：

（l ）抛物线 =y c bx ax ++2

（a> 0）与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程

c bx ax ++2=0的判别式ac b 42-=?三种取值情况(Δ> 0，Δ=0，Δ<0）来确定.因此，要分二种情况讨论

（2）a<0可以转化为a>0

分Δ>O ，Δ=0，Δ<0三种情况，得到一元二次不等式c bx ax ++2>0与c bx ax ++2

<0的解集 一元二次不等式()0002

2

≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：

设相应的一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42

-=?，则不等式的解

的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格) 0>?

0=?

0

二次函数

c bx ax y ++=2

（0>a ）的图象

c bx ax y ++=2

c bx ax y ++=2

c bx ax y ++=2

一元二次方程

()的根

00

2

>=++a c bx ax

有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根

a

b x x 221-

==

无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax

{}2

1

x x x x x ><或

????

??-≠a b x x 2

R 的解集

)0(02><++a c bx ax

{}21x x x x <<

?

?

[范例讲解]

例2 (课本第87页)求不等式01442

>+-x x 的解集.

解：因为2

10144,0212

===+-=?x x x x 的解是方程. 所以，原不等式的解集是?

?????≠

21x x 例3 (课本第88页)解不等式0322

>-+-x x . 解：整理，得0322

<+-x x .

因为032,02

=+-

所以不等式

0322<+-x x 的解集是?. 从而，原不等式的解集是?.

课题: §3.2一元二次不等式及其解法

第2课时

授课类型：新授课 【教学目标】

1．知识与技能：巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；进一步熟练解一元二次不等式的解法；

2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；

3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想 【教学重点】

熟练掌握一元二次不等式的解法 【教学难点】

理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系 【教学过程】

1.课题导入

1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 2．一元二次不等式的解法步骤——课本第86页的表格

2.讲授新课

[范例讲解]

例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系：

2

1120180

s x x =

+在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？（精确到0.01km/h ）

解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h ，根据题意，我们得到2

1139.520180

x x +> 移项整理得：2

971100x x +->

显然 0>，方程2

971100x x +-=有两个实数根，即

1288.94,79.94x x ≈-≈。所以不等式的解集为{}|88.94,79.94x x x <->或

在这个实际问题中，x>0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.

例4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （辆）与创造的价值y （元）之间有如下的关系：2

2220y x x =-+若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？

解：设在一个星期内大约应该生产x 辆摩托车，根据题意，我们得到

222206000x x -+>移项整理，得211030000x x -+<

因为1000=>，所以方程2

11030000x x -+=有两个实数根

1250,60x x ==

由二次函数的图象，得不等式的解为：50

3．随堂练习1

课本第89页练习2 [补充例题]

▲ 应用一（一元二次不等式与一元二次方程的关系）

例：设不等式2

10ax bx ++>的解集为13{|1}x x -<<，求a b ?

▲ 应用二（一元二次不等式与二次函数的关系）

例：设2

2

{|430},{|280}A x x x B x x x a =-+<=-+-≤，且A B ?，求a 的取值范围. 改：设2

280x x a -+-≤对于一切(1,3)x ∈都成立，求a 的范围.

改：若方程2

280x x a -+-=有两个实根12,x x ，且13x ≥，21x ≤，求a 的范围.

随堂练习2

1、已知二次不等式20ax bx c ++<的解集为11

32{|}x x x <>或，求关于x 的不等式20cx bx a -+>的解

集.

2、若关于m 的不等式2

(21)10mx m x m -++-≥的解集为空集，求m 的取值范围. 改1：解集非空

改2：解集为一切实数

课题: §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域

第1课时

授课类型：新授课 【教学目标】

1．知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；

3．情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。 【教学重点】用二元一次不等式（组）表示平面区域； 【教学过程】

1.课题导入

1．从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型 课本第91页的“银行信贷资金分配问题”

教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。 在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识：

2.讲授新课

1．建立二元一次不等式模型 把实际问题 转化 数学问题：

设用于企业贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元。 （把文字语言 转化 符号语言）

（资金总数为25 000 000元）?25000000x y +≤ （1）

（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上）?(12%)x+(10%)y 30000≥ 即

12103000000x y +≥ （2）

（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）?0,0x y ≥≥ （3） 将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：

25000000

121030000000,0x y x y x y +≤??

+≥??≥≥?

2．二元一次不等式和二元一次不等式组的定义

（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。 （2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。

（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x 和y 的取值构成有序实数对（x,y ），所有这样的有序实数对（x,y ）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。 （4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：

二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。 3.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形 （1）回忆、思考

回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间 思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？ （2）探究

从特殊到一般：

先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。

如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类： 第一类：在直线x-y=6上的点；

第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点； 第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。

设点是直线x-y=6上的点，选取点，使它的坐标满足不等式x-y<6，请同学们完成课本第93页的表格，

横坐标x -3 -2 -1 0 1 2 3 点P 的纵坐标1y 点A 的纵坐标2y

当点A 与点P 有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？ 根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？ 直线x-y=6右下方点的坐标呢？

学生思考、讨论、交流，达成共识：

在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。

因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。 类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图。 直线叫做这两个区域的边界

由特殊例子推广到一般情况： （3）结论：

二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）

【应用举例】

例1 画出不等式44x y +<表示的平面区域。

解：先画直线44x y +=（画成虚线）. 取原点（0，0），代入x +4y -4,∵0+4×0-4=-4＜0,

∴原点在44x y +<表示的平面区域内，不等式44x y +<表示的区域如图：

归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当0≠C 时，常把原点作为此特殊点。

变式1、画出不等式1234≤-y x 所表示的平面区域。 变式2、画出不等式1≥x 所表示的平面区域。

例2 用平面区域表示.不等式组312

2y x x y

<-+??

分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

解：不等式312y x <-+表示直线312y x =-+右下方的区域，2x y <表示直线2x y =右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。

归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

变式1、画出不等式04)(12(<+-++）y x y x 表示的平面区域。

变式2、由直线02=++y x ，012=++y x 和012=++y x 围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 。

课题: §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域

第2课时

授课类型：新授课 【教学目标】

1．知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；

2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想； 3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。 【教学重点】

理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来； 【教学难点】把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。 【教学过程】

1.课题导入

[复习引入]

二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

判断方法：由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(x ,y )，把它的坐标（x ,y )代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）。 随堂练习1

1、画出不等式2x +y -6＜0表示的平面区域.

2、画出不等式组??

?

??≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域。

B(-52,52)C(3,-3)

A(3,8)

x=3

x+y=0x-y+5=0

6

3x

y

2.讲授新课

【应用举例】

例3 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：

学段 班级学生人数

配备教师数

硬件建设/万元

教师年薪/万元

初中 45 2 26/班 2/人 高中

40

3

54/班

2/人

解：设开设初中班x 个，开设高中班y 个，根据题意，总共招生班数应限制在20-30之间，所以2030

x y ≤+≤考虑到所投资金的限制，得到265422231200x y x y ++?+?≤

即 240x y +≤ 另外，开设的班数不能为负，则0,0x y ≥≥ 把上面的四个不等式合在一起，得到：

2030

24000x y x y x y ≤+≤??+≤?

?

≥??≥?

用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（阴影部分）

例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t ；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t 、硝酸盐66t ，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。

解：设x,y 分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：

41018156600x y x y x y +≤??+≤?

?

≥??≥?

在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。

[补充例题]

例1、画出下列不等式表示的区域

(1) 0)1)((≤---y x y x ； (2) x y x 2≤≤

分析：(1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不等式的传递性，由x x 2≤，得0≥x ，又用y -代y ，不等式仍成立，区域关于x 轴对称。 解：(1)10010≤-≤???

?≤--≥-y x y x y x 或??

?≥-≤-1

y x y x 矛盾无解，故点),(y x 在一带形区域内（含边界）。

(2) 由x x 2≤，得0≥x ；当0>y 时，有???≥-≤-0

20

y x y x 点),(y x 在一条形区域内(边界)；当0≤y ，由

对称性得出。

指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解

例2、利用区域求不等式组??

?

??<--<-+>--015530632032y x y x y x 的整数解

分析：不等式组的实数解集为三条直线032:1=--y x l ，0632:2=-+y x l ，01553:3=--y x l 所围成的三角形区域内部(不含边界)。设A l l =?21，B l l =?31，C l l =?32，求得区域内点横坐标范围，取出x 的所有整数值，再代回原不等式组转化为y 的一元不等式组得出相应的y 的整数值。

解：设032:1=--y x l ，0632:2=-+y x l ，01553:3=--y x l ，A l l =?21，B l l =?31，

C l l =?32，∴)43,815(A ，)3,0(-B ，)1912,1975(-C 。于是看出区域内点的横坐标在)1975

,0(内，取x ＝1，

2，3，当x ＝1时，代入原不等式组有???

?

?

?

???

-><-<512341y y y ?1512-<<-y ，得y ＝－2，∴区域内有整点(1,-2)。

同理可求得另外三个整点(2,0)，(2,-1)，(3,-1)。

指出：求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫。常有

两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是本题解答中所采用的，先确定区域内点的横坐标的范围，确定x 的所有整数值，再代回原不等式组，得出y 的一元一次不等式组，再确定y 的所有整数值，即先固定x ，再用x 制约y 。

3.随堂练习2

1．（1）1+>x y ； （2）．y x >； （3）．y x >

2．画出不等式组????

???<≤≥-≥-+5

3006x y y x y x 表示的平面区域

课题: §3.3.2简单的线性规划

第3课时

授课类型：新授课 【教学目标】

1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；

3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。 【教学重点】

用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】

准确求得线性规划问题的最优解 【教学过程】

1.课题导入

[复习提问]

1、二元一次不等式0>++C By Ax 在平面直角坐标系中表示什么图形？

2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？

3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。

2.讲授新课

在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：

引例：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ （1）用不等式组表示问题中的限制条件：

设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组：

2841641200

x y x y x y +≤??≤??

≤??≥?≥?? ……………………………………………………………….（1） （2）画出不等式组所表示的平面区域：

如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。 （3）提出新问题：

进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？ （4）尝试解答：

设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样，上述问题就转化为：

当x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？

把z=2x+3y 变形为233z y x =-

+，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为3

z

的直线。当z 变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2）），

就能确定一条直线（2833y x =-+）

，这说明，截距3

z

可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线233z y x =-+与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距3

z

最大时，z 取得最大值。

因此，问题可以转化为当直线233

z

y x =-+与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，

在区域内找一个点P ，使直线经过点P 时截距3

z

最大。

（5）获得结果：

由上图可以看出，当实现233z y x =-+金国直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M （4，2）时，截距3

z 的值最大，最大值为

14

3

，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。

2、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x 、y 的一次式z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 3、 变换条件，加深理解

探究：课本第100页的探究活动

（1） 在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，有应当如何安排

生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。

（2） 有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？

3.随堂练习

1．请同学们结合课本P 103练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题.

（1）求z =2x +y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件??

?

??-≥≤+≤.1,1,y y x x y

解：不等式组表示的平面区域如图所示： 当x =0,y =0时，z =2x +y =0 点（0，0）在直线0l :2x +y =0上. 作一组与直线0l 平行的直线

l :2x +y =t ,t ∈R .

可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点A （2，-1）的直线所对应的t 最大.

所以z m ax =2×2-1=3.

（2）求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件

??

?

??≥-+≤≤+.35,

1,1535y x x y y x 解：不等式组所表示的平面区域如图所示： 从图示可知，直线3x +5y =t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t 最小，以经过点（

8

17

,89）的直线所对应的t 最大. 所以z m in =3×(-2)+５×(-1)=-11.

z m ax =3×

89+5×8

17=14 课题: §3.3.2简单的线性规划

第4课时

授课类型：新授课 【教学目标】

1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；

2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；

3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

利用图解法求得线性规划问题的最优解；

【教学难点】

把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。

【教学过程】

1.课题导入

[复习引入]：

1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）

2、目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:

2.讲授新课

线性规划在实际中的应用：

线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务

下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：

[范例讲解]

例5 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，

0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，

0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳

水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家

指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多

少kg？

指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.

例6 在上一节例3中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1 600

元，高中每人每年可收取学费2 700元。那么开设初中班和高中班各多少

个，每年收取的学费总额最高多？

指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一

结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法：

简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解

课题: §3.3.2简单的线性规划

第5课时

授课类型：新授课

1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；

2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；

3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点】

利用图解法求得线性规划问题的最优解； 【教学难点】

把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。 【教学过程】

1.课题导入

[复习引入]：

1、二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）

2、目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:

3、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

2.讲授新课

1．线性规划在实际中的应用：

例7 在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元；生产1车皮乙种肥料，产

生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？

2．课本第104页的“阅读与思考”——错在哪里？

若实数x ，y 满足

13

11x y x y ≤+≤??

-≤-≤?

求4x +2y 的取值范围． 错解：由①、②同向相加可求得：

0≤2x ≤4 即 0≤4x ≤8 ③ 由②得 —1≤y —x ≤1

将上式与①同向相加得0≤2y ≤4 ④ ③十④得 0≤4x 十2y ≤12 以上解法正确吗?为什么?

(1)[质疑]引导学生阅读、讨论、分析．

(2)[辨析]通过讨论，上述解法中，确定的0≤4x ≤8及0≤2y ≤4是对的，但用x 的最大(小)值及y 的最大(小)值来确定4x 十2y 的最大(小)值却是不合理的．X 取得最大（小）值时，y 并不能同时取得最大（小）值。由于忽略了x 和 y 的相互制约关系，故这种解法不正确．

(3)[激励]产生上述解法错误的原因是什么?此例有没有更好的解法?怎样求解? 正解：

因为 4x+2y=3(x+y)+(x-y)

且由已有条件有： 33()9x y ≤+≤ （5） 11x y -≤-≤ （6）

将（5）（6）两式相加得 2423()()10x y x y x y ≤+=++-≤ 所以 24210x y ≤+≤

3.随堂练习1

1、求y x z -=的最大值、最小值，使x 、y 满足条件???

??≥≥≤+002

y x y x

2、设y x z +=2，式中变量x 、y 满足 ??

?

??≥≤+-≤-1255334x y x y x

课题: §3.4基本不等式2

a b

ab +≤

第1课时

授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2

a b

ab +≤的证明过程； 【教学难点】 基本不等式2

a b

ab +≤等号成立条件 【教学过程】

1.课题导入

基本不等式2

a b

ab +≤

的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为2

2

a b +。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：22

2a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有22

2a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,2

2

号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 2

2

2

)(2b a ab b a -=-+

当

22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时

所以，0)(2

≥-b a ，即.2)(2

2

ab b a ≥+ 4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2

a b

ab +≤

特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，

通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2

a b

ab +≤ 2）从不等式的性质推导基本不等式2

a b

ab +≤

用分析法证明：

要证

2

a b

ab +≥ (1) 只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3）

要证（3），只要证 （ - ）2

（4） 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。 3）理解基本不等式2

a b

ab +≤

的几何意义 探究：课本第110页的“探究”

在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。你能利用这个图形得出基本不等式2

a b

ab +≤的几何解释吗？

易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2

＝ＣA ·ＣB

即ＣD ＝ab .