全等三角形动点问题精编版
……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 1 全等三角形动点问题 一）、知识回顾 动态几何题，是指以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；而通过对几何图形运动变化，使同学们经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数学试题中，考查创新意识、创新能力的重要题型；解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动． 热身练习：
1、如图，在等腰△ACB中，AC＝BC＝5，AB＝8，D为底边AB上一动点 （不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝ ． 二）、例题辨析 例1、 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE，连接DE、DF、EF. （1）、求证：△ADF≌△CEF. （2）、试证明△DFE是等腰直角三角形. （3）、在此运动变化的过程中，四边形CDFE的面积是否保持不变？试说明理由． （4）、求△CDE面积的最大值．
例2如图，△ABC的边BC在直线 上，AC⊥BC，且AC＝BC，△EFP的边FP也在直线 上，边EF与边AC重合，且EF＝FP。
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2 （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； （2）将△EFP沿直线 向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP、BQ。猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想。
练习：1、 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．①③ C．①③④ D．②③④ 2、（2011湖北随州，18，7分）在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．
例2：在ABC中，ABAC，CGBA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B． （1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想； （2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 3 另一条直角边交BC边于点D，过点D作DEBA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF
与CG的长度，猜想并写出DEDF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； （3）当三角尺在⑵的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，⑵中的猜想是否仍然成立？(不用说明理由)
例3、如图，在等边△ABC中，AB=9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q点从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟． （1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来． （2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？ （3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
A B C
F G
图1 A
B C E F
G
图2 D A B C D E F
G
图3 ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
4 三）、归纳总结 动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论。 四）、拓展延伸
例1、 在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F. 1、当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证12DEFCEFABCSSS△△△． 2、当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
例2、（2014•德州，第23题10分）问题背景： 如图1：在四边形ABC中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF=BE+DF ；
探索延伸： ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
5 如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用： 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
例3、如图1，一等腰直角三角尺GEF（∠EGF=90°,∠GEF=∠GFE=45°,GE=GF）的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转． （1）如图2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想FN，BM相等吗？并说明理由； （2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由．
例4、在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换． 活动一：如图1，在Rt△ABC中，D为斜边 AB上的一点，AD=2，BD=1，且四边形DECF 是正方形，求阴影部分的面积．
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6 小明运用图形旋转的方法，将△DBF绕点D逆时针旋转90°，得到△DGE（如图2所示），一眼就看出这题的答案，请你写出阴影部分的面积：______________ ． 活动二：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC=5，CD=3，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，求AE的长． 小明仍运用图形旋转的方法，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG（如图4所示），则①四边形AECG是怎样的特殊四边形？答： __________．②AE的长是_________ ． 活动三：如图5，在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，将BC按逆时针方向绕点B旋转90°得到线段BE，连接AE．若AB=2，DC=4，求△ABE的面积．
例5、已知，在ABC中，ACB为锐角，D是射线BC上一动点(D与C不重合)，以AD
为一边向右侧作等边ADE(C与E不重合)，连接CE． ⑴ 若ABC为等边三角形，当点D在线段BC上时(如图1所示)，则直线BD与直线CE所夹锐角为 度； ⑴ 若ABC为等边三角形，当点D在线段BC的延长线上时(如图2所示)，你在⑴中得到的结论是否仍然成立？请说明理由； ⑴ 若ABC不是等边三角形，且BCAC(如图3所示)．试探究当点D在线段BC
上时，你在⑴中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出当ACB满足什么条件时，能使⑴中的结论成立，并说明理由．
问题（1）中结论不成立，当∠ACB=60°时，能使直线BD与直线CE所夹锐角为60°， 图1FEDCBA
图2BCDFA
E
图3BCFA……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
7 证明：①当CD＜AC时，在CB上截取一点G，使得CG=CA，连接AG（如图所示）， ∵∠ACB=60°， ∴△GAC是等边三角形， ∴AC=AG，∠AGC=∠GAC=60°， ∵△ADE是等边三角形， ∴AE=AD，∠DAE=60°，
∴∠DAE-∠CAD=∠GAC-∠CAD， 从而∠CAE=∠GAD， ∴△ACE≌△AGD（SAS）， ∴∠ACE=∠AGD=60°， ∴∠ECF=180°-（∠ACB+∠ACE）=60°， 此时直线BC与直线CE所夹锐角为60°， ②当CD=AC时，点C与点E重合，不符合题意． ③当CD＞AC时，延长EC到H，在CB上截取一点G，使得CG=CA，连接AG（如图所示）． 同（1）可证△ACE≌△AGD． ∴∠ACE=∠AGD=180°-∠AGC=120°， ∴∠HCF=∠DCE=120°-∠ACB=60°， 此时直线BC与直线CE所夹锐角为60°． 点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据已知进行分类讨论当CD＜AC时，当CD=AC时，当CD＞AC时得出答案是解题关键． 例6、在等边ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点MND，，为ABC外一点，且60MDN，120BDC，BDCD，探究：当点MN，分别爱直线ABAC，上移动时，BMBNMN，，之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．
⑴如图①，当点MN，在边ABAC，上，且DMDN时，BMNCMN，，之间的数量关系式_________；此时QL__________ ⑵如图②，当点MN，在边ABAC，上，且DMDN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
(word版)全等三角辅助线-半角模型-动点问题(含答案)
全等三角形典型题目合集【专题一】倍长中线与截长补短1．如图1，ABC=+，那么ACB∠有∠与ABC∠的平分线，若AB AC CD∆中，AD是BAC怎样的数量关系呢？（1）通过观察、实验提出猜想：ACB∠的数量关系，用等式表示为：．∠与ABC（2）小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：如图2，延长AC到F，使CF CD=，连接DF．通过三角形全等、三角形的性质等知识进行推理，就可以得到ACB∠与ABC∠的数量关系．想法2：在AB上取一点E，使AE AC=，连接ED，通过三角形全等、三角形的性质等知识进行推理，就可以得到ACB∠的数量关系．∠与ABC请你参考上面的想法，帮助小明证明猜想中ACB∠的数量关系（一种方法即可）．∠与ABC2．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC ∆中，若8AB =，6AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADC EDB ∆≅∆的理由是 ．A ．SSSB ．SASC ．AASD ．HL（2）求得AD 的取值范围是 ．A ．68AD <<B ．68ADC ．17AD << D ．17AD【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD 是ABC ∆的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE EF =． 求证：AC BF =．3．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且BAE CDE ∠=∠．求证：AB CD =．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证明AB CD =，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中两种对原题进行证明．（1）延长DE 到F ，使得EF DE =；（2）作CG DE ⊥于G ，BF DE ⊥于F 交DE 的延长线于F ；（3）过点C 作//CF AB 交DE 的延长线于F ．4．（1）如图，在四边形ABCD中，AB AD=，90B D∠=∠=︒，E、F分别是边BC、CD上的点，且12EAF BAD ∠=∠．求证：EF BE FD=+；（2）如图，在四边形ABCD中，AB AD=，180B D∠+∠=︒，E、F分别是边BC、CD上的点，且12EAF BAD∠=∠，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB AD=，180B ADC∠+∠=︒，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且12EAF BAD∠=∠，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．5．问题背景：（1）如图①：在四边形ABCD中，AB AD=，120BAD∠=︒，90B ADC∠=∠=︒，E，F 分别是BC，CD上的点，且60EAF∠=︒．探究图中线段BE，FE，FD之间的数量关系，请在右面横线上直接写出结论．（2）如图②，若在四边形ABCD中，AB AD=，180B ADC∠+∠=︒．E、F分别是BC、CD上的点，且12EAF BAD∠=∠，上述结论是否仍然成立？说明理由．6．如图，四边形ABDC中，90D ABD∠=∠=︒，点O为BD的中点，且OA平分BAC∠．（1）求证：CO平分ACD∠；（2）求证：AB CD AC+=．7．如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，AM 平分DAB ∠，求证：DM 平分ADC ∠．【专题二】半角模型1．如图正方形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 边上一点．（1）若45EAF ∠=︒，求证：EF BE DF =+；（2）若该正方形ABCD 的边长为1，如果CEF ∆的周长为2．求EAF ∠的度数．2．如图，正方形ABCD ，E ，F 分别为BC 、CD 边上一点．①若45EAF ∠=︒，求证：EF BE DF =+；②若AEF ∆绕A 点旋转，保持45EAF ∠=︒，问CEF ∆的周长是否随AEF ∆位置的变化而变化？3．已知，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，连接AF 、EF ．（1）如图1，若四边形ABCD 为正方形，且45EAF ∠=︒，求证：EF BE DF =+；（2）如图2，若四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，12EAF BAD ∠=∠，试问（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．4．正方形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 边上一点，AH EF ⊥交EF 于点H ． ①若45EAF ∠=︒．求证：EF BE DF =+；②若5AB =，求ECF ∆的周长；③求证：AH CD =．5．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，求证：EF BE DF =+．（1）思路梳理AB AD =，∴把ABE ∆绕点A 逆时针旋转90︒至ADG ∆，可使AB 与AD 重合． 90ADG B ∠=∠=︒，180FDG ADG ADC ∴∠=∠+∠=︒，则点F 、D 、G 共线． 根据 ，易证AFG ∆≅ ，从而得EF BE DF =+；（2）类比引申如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．若B ∠、D ∠都不是直角，但当B ∠与D ∠满足等量关系 时，仍有EF BE DF =+，请给出证明；（3）联想拓展如图3，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，猜想BD 、DE 、EC 应满足的等量关系，并写出推理过程．【专题三】动点问题1．如图，已知ABC ∆中，10AB AC cm ==，8BC cm =，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3/cm s 的速度由点B 向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由点C 向A 点运动．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD ∆与CQP ∆是否全等，请说明理由．（2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD ∆与CQP ∆全等？2．如图，在ABC ∆中，28AB AC cm ==，20BC cm =，点D 是AB 边的中点，若有一动点P 在BC 边上由点B 向点C 运动，点Q 在CA 边上由点C 向A 运动．（1）P 、Q 两点的运动速度均为3/cm s ，经过2秒后，BPD ∆与CPQ ∆是否全等，说明理由（2）若点P 的运动速度为2.5/cm s ，点Q 的运动速度为3.5/cm s ，是否存在某一时刻，使BPD CQP ∆≅∆．3．如图，已知四边形ABCD 中，10AB =厘米，8BC =厘米，12CD =厘米，B C ∠=∠，点E 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPE ∆与CQP ∆是否全等？请说明理由．（2）当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPE ∆与CQP ∆全等．4．如图，16AB AC cm ==，10BC cm =，点D 为AB 的中点，点P 在边BC 上以每秒2cm 的速度由点B 向点C 运动，同时，点M 在边CA 上由点C 向点A 匀速运动．（1）当点M 的运动速度与点P 的运动速度相同，经过1秒后，BPD ∆与CMP ∆是否全等？请说明理由；（2）若点M 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点M 的运动速度为多少时，能够使BPD ∆与CMP ∆全等？5．如图，ABC ∆中，D 为AB 的中点，5AD =厘米，B C ∠=∠，8BC =厘米．（1）若点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度从点B 向终点C 运动，同时点Q 在线段CA 上从点C 向终点A 运动，①若点Q 的速度与点P 的速度相等，经1秒钟后，请说明BPD CQP ∆≅∆； ②点Q 的速度与点P 的速度不相等，当点Q 的速度为多少时，能够使BPD CPQ ∆≅∆；（2）若点P 以3厘米/秒的速度从点B 向点C 运动，同时点Q 以5厘米/秒的速度从点C 向点A 运动，它们都依次沿ABC ∆三边运动，则经过多长时间，点Q 第一次在ABC ∆的哪条边上追上点P ？全等三角形典型题目合集解析【专题一】倍长中线与截长补短1．解：（1）2∠=∠，ACB ABC故答案为：2∠=∠，ACB ABC（2）想法1AD是BAC∠的平分线，∴∠=∠，BAC CAB=，AF AC CF=+，且CD CF∴=+，AF AC CD又AB AC CD=+，AB AF∴=，又AD AD=，∴∆≅∆，ABD AFD∴∠=∠，B F=，CD CF∴∠=∠，F CDF又ACB F CDF∠=∠+∠，ACB F∴∠=∠，2∴∠=∠，ACB B2想法2AD 是BAC ∠的平分线，BAC CAB ∴∠=∠，又AC AE =，AD AD =，AED ACD ∴∆≅∆，ED CD ∴=，C AED ∠=∠，又AB AC CD =+，AB AE BE =+，AE AC =，CD BE ∴=，DE BE ∴=，B EDB ∴∠=∠，又AED B EDB ∠=∠+∠，2AED B ∴∠=∠，又C AED ∠=∠，2C B ∴∠=∠．2．（1）解：在ADC ∆和EDB ∆中AD DEADC BDE BD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADC EDB SAS ∴∆≅∆，故选B ；（2）解：由（1）知：ADC EDB ∆≅∆，6BE AC ∴==，2AE AD =，在ABE ∆中，8AB =，由三角形三边关系定理得：86286AD -<<+，17AD ∴<<，故选C ．（3）证明：延长AD 到M ，使AD DM =，连接BM ， AD 是ABC ∆中线，CD BD ∴=，在ADC ∆和MDB ∆中DC DB ADC MDB DA DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADC MDB ∴∆≅∆，BM AC ∴=，CAD M ∠=∠，AE EF =，CAD AFE ∴∠=∠，AFE BFD ∠=∠，BFD CAD M ∴∠=∠=∠，BF BM AC ∴==，即AC BF =．3．解：方法一：延长DE 到F ，使得EF DE =，连接BF ． 在DEC ∆和FEB ∆中，12DE FE BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DEC FEB ∴∆≅∆，D F ∴∠=∠，DC FB =，BAE D ∠=∠，BAE F ∴∠=∠，BA BF ∴=，AB CD ∴=．方法二：作CG DE ⊥于G ，BF DE ⊥于F 交DE 的延长线于F CG DE ⊥，BF DE ⊥，90CGE BFE ∴∠=∠=︒，在CGE ∆和BFE ∆中，12CGE BFE BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， CGE BFE ∴∆≅∆，BF CG ∴=，在ABF ∆和DCG ∆中，90BAF CDG BFA CGD BF CG ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，ABF DCG ∴∆≅∆，AB CD ∴=．方法三：过点C 作//CF AB 交DE 的延长线于F ． //CF AB ，BAE F ∴∠=∠，B FCE ∠=∠，在ABE ∆和FCE ∆中，BAE F B FCE BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABE FCE ∴∆≅∆，AB FC ∴=，BAE D ∠=∠，BAE F ∠=∠，D F ∴∠=∠，CF CD ∴=，AB CD ∴=．4．证明：（1）延长EB 到G ，使BG DF =，连接AG ．90ABG ABC D ∠=∠=∠=︒，AB AD =，ABG ADF ∴∆≅∆．AG AF ∴=，12∠=∠．113232EAF BAD ∴∠+∠=∠+∠=∠=∠． GAE EAF ∴∠=∠．又AE AE =，AEG AEF ∴∆≅∆．EG EF ∴=．EG BE BG =+．EF BE FD ∴=+（2）（1）中的结论EF BE FD =+仍然成立．（3）结论EF BE FD =+不成立，应当是EF BE FD =-． 证明：在BE 上截取BG ，使BG DF =，连接AG ．180B ADC ∠+∠=︒，180ADF ADC ∠+∠=︒，B ADF ∴∠=∠．AB AD =，ABG ADF ∴∆≅∆．BAG DAF ∴∠=∠，AG AF =．BAG EAD DAF EAD ∴∠+∠=∠+∠12EAF BAD =∠=∠． GAE EAF ∴∠=∠．AE AE =，AEG AEF ∴∆≅∆．EG EF ∴=EG BE BG =-EF BE FD ∴=-．5．解：（1）EF BE DF =+，理由如下：如图①中，延长FD 到点G ．使DG BE =．连结AG ．在ABE ∆和ADG ∆中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE ADG SAS ∴∆≅∆，AE AG ∴=，BAE DAG ∠=∠，12EAF BAD ∠=∠， GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠， EAF GAF ∴∠=∠，在AEF ∆和GAF ∆中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEF AGF SAS ∴∆≅∆，EF FG ∴=，FG DG DF BE DF =+=+，EF BE DF ∴=+；故答案为EF BE DF =+．（2）结论EF BE DF =+仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG BE =．连结AG ，如图②，在ABE ∆和ADG ∆中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE ADG SAS ∴∆≅∆，AE AG ∴=，BAE DAG ∠=∠，12EAF BAD ∠=∠， GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠， EAF GAF ∴∠=∠，在AEF ∆和GAF ∆中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEF AGF SAS ∴∆≅∆，EF FG ∴=，FG DG DF BE DF =+=+，EF BE DF ∴=+；6．证明：（1）过O 点作OE AC ⊥于点E ． 90ABD ∠=︒且OA 平分BAC ∠OB OE ∴=，又O 是BD 中点OB OD ∴=，OE OD ∴=，OE AC ⊥，90D ∠=︒∴点O 在ACD ∠ 的角平分线上 OC ∴平分ACD ∠．（2）在Rt ABO ∆和Rt AEO ∆中OA OA OB OE =⎧⎨=⎩Rt ABO Rt AEO(HL)∴∆≅∆，AB AE ∴=，在Rt CDO ∆和Rt CEO ∆中OC OC OE OD =⎧⎨=⎩Rt CDO Rt CEO(HL)∴∆≅∆，CD CE ∴=，AB CD AE CE AC ∴+=+=．7．证明：如图：过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ， AM 平分DAB ∠，34∴∠=∠，MB AB ⊥，ME AD ⊥，ME MB ∴=（角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又MC MB =，ME MC ∴=，MC CD ⊥，ME AD ⊥，DM ∴平分ADC ∠（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）；【专题二】半角模型答案1．（1）证明：如图，延长CD 至E '，使DE BE '=，连接AE '， 四边形ABCD 为正方形，AB AD CB CD ∴===，90BAD B ∠=∠=︒，90ADE ABE '∴∠=︒=∠，在ADE '∆和ABE ∆中，AD AB ADE ABE DE BE =⎧⎪∠'=∠⎨⎪'=⎩，()ADE ABE SAS '∴∆≅∆，AE AE '∴=，DAE BAE '∠=∠，45EAF ∠=︒，45DAF BAE ∴∠+∠=︒，45DAF DAE E AF EAF ''∴∠+∠=∠=︒=∠，在△E AF '和EAF ∆中，AE AE E AF EAF AF AF '=⎧⎪∠'=∠⎨⎪=⎩，∴△()E AF EAF SAS '≅∆，E F EF ∴'=，E F DE DF BE DF '='+=+，EF BE DF ∴=+；（2）延长CD 至E '使DE BE '=，连接AE '，由（1）知，()ADE ABE SAS '∆≅∆，AE AE '∴=，DAE BAE '∠=，设BE x =，DF y =，正方形ABCD 的边长为1，1CE x ∴=-，1CF y =-，CEF ∆的周长为2，2CE CF EF ∴++=，112x y EF ∴-+-+=，EF x y BE DF DE DF E F ''∴=+=+=+=，在△EAF '和EAF ∆中，AE AEE F EF AF AF '=⎧⎪'=⎨⎪=⎩，∴△()E AF EAF SSS '≅∆，EAFEAF '∴∠=∠， DAE DAF BAE DAF EAF '∴∠+∠=∠+∠=∠，90DAF EAF BAE ∠+∠+∠=︒，45EAF ∴∠=︒．2．①证明：四边形ABCD 为正方形，AB AD CB CD ∴===，90BAD B ∠=∠=︒，把ABE ∆绕点A 逆时针旋转90︒可得到ADE ∆'，AE AE ∴'=，DE BE '=，90E AE ∠'=︒，90ADE ADC ∠'=∠=︒， 45EAF ∠=︒，45E AF E AE EAF ∴∠'=∠'-∠=︒，E AF EAF ∴∠'=∠，在△E AF '和EAF ∆中，AE AE E AF EAFAF AF '=⎧⎪∠'=∠⎨⎪=⎩， ∴△()E AF EAF SAS '≅∆，E F EF ∴'=，E F DE DF BE DF '='+=+，EF BE DF ∴=+；②解：不变化；理由如下：CEF ∆的周长CE CF EF CE CF BE DF CB CD =++=+++=+． CEF ∴∆的周长不随AEF ∆位置的变化而变化．3．解：（1）如图①，延长CB 到G ，使BG FD =，90ABG D ∠=∠=︒，AB AD =，ABG ADF ∴∆≅∆，BAG DAF ∴∠=∠，AG AF =，12EAF BAD ∠=∠， DAF BAE EAF ∴∠+∠=∠，EAF GAE ∴∠=∠，在AEG ∆和AEF ∆中，AG AF GAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AEF AEG ∴∆≅∆，EF EG EB BG EB DF ∴==+=+；（2）（1）中的结论还成立，理由如下：把ADF ∆绕点A 顺时针旋转DAB ∠的度数得到ABG ∆，如图②，② ADF ABG ∴∠=∠，GAF BAD ∠=∠，AG AF =，BG DF =，180ABC ADC ∠+∠=︒，180ABC ABG ∴∠+∠=︒，∴点G 在CB 的延长线上，GE BG BE ∴=+，12EAF BAD ∠=∠， 12EAF GAE ∴∠=∠， EAF GAE ∴∠=∠，在AEG ∆和AEF ∆中，AG AF GAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEG AEF SAS ∴∆≅∆，EF GE ∴=，EF BE BG BE DF ∴=+=+．4．①证明：将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABG ∆，由旋转的性质得，DF BG =，AF AG =，DAF BAG ∠=∠．90FAG BAG BAF DAF BAF BAD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，45EAF ∠=︒，45EAF EAG ∴∠=∠=︒．在AEF ∆和AEG ∆中，AF AG EAF EAG AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEF AEG SAS ∴∆≅∆，EF EG BG BE DF BE ∴==+=+，EF BE DF ∴=+． ②四边形ABCD 是正方形，5AB BC CD AD ∴====，EF BE DF =+，EFC ∴∆的周长()()210EF EC CF BE EC CF DF BC =++=+++==． ③AEF AEG ∆≅∆ 又AH 、AB 分别是AEF ∆和AEG ∆对应边上的高，AH AB ∴=．5．解：（1）如图1，AB AD =， ∴把ABE ∆绕点A 逆时针旋转90︒至ADG ∆，可使AB 与AD 重合． BAE DAG ∴∠=∠，90BAD ∠=︒，45EAF ∠=︒，45BAE DAF ∴∠+∠=︒，EAF FAG ∴∠=∠，90ADC B ∠=∠=︒，180FDG ∴∠=︒，点F 、D 、G 共线，在AFE ∆和AFG ∆中AE AG EAF FAG AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AFE AFG SAS ∴∆≅∆，EF FG ∴=，即：EF BE DF =+．故答案为：SAS ，AFE ∆；（2）180B D ∠+∠=︒时，EF BE DF =+；如图2，AB AD =， ∴把ABE ∆绕点A 逆时针旋转90︒至ADG ∆，可使AB 与AD 重合， BAE DAG ∴∠=∠，90BAD ∠=︒，45EAF ∠=︒，45BAE DAF ∴∠+∠=︒，EAF FAG ∴∠=∠，180ADC B ∠+∠=︒，180FDG ∴∠=︒，点F 、D 、G 共线，在AFE ∆和AFG ∆中AE AG EAF FAG AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AFE AFG SAS ∴∆≅∆，EF FG ∴=，即：EF BE DF =+．故答案为：180B D ∠+∠=︒；（3）猜想：222DE BD EC =+，证明：如图3，连接DE '，根据AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABE ∆'， AEC ABE ∴∆≅∆'，BE EC ∴'=，AE AE '=，C ABE ∠=∠'，EAC E AB ∠=∠'，在Rt ABC ∆中，AB AC =，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，90ABC ABE ∴∠+∠'=︒，即90E BD ∠'=︒，222E B BD E D ∴'+='，又45DAE ∠=︒，45BAD EAC ∴∠+∠=︒，45E AB BAD ∴∠'+∠=︒，即45E AD ∠'=︒，在△AE D '和AED ∆中，AE AE E AD DAE AD AD '=⎧⎪∠'=∠⎨⎪=⎩，∴△()AE D AED SAS '≅∆，DE DE ∴='，222DE BD EC ∴=+．【专题三】动点专项答案1．解：（1）经过1秒后，3PB cm =，5PC cm =，3CQ cm =， ABC ∆中，AB AC =，∴在BPD ∆和CQP ∆中，BD PC ABC ACB BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BPD CQP SAS ∴∆≅∆．（2）设点Q 的运动速度为(3)/x x cm s ≠，经过ts BPD ∆与CQP ∆全等；则可知3PB tcm =，83PC tcm =-，CQ xtcm =，AB AC =，B C ∴∠=∠，根据全等三角形的判定定理SAS 可知，有两种情况：①当BD PC =，BP CQ =时，②当BD CQ =，BP PC =时，两三角形全等；①当BD PC =且BP CQ =时，835t -=且3t xt =，解得3x =，3x ≠，∴舍去此情况； ②BD CQ =，BP PC =时，5xt =且383t t =-，解得：154x =； 故若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为15/4cm s 时，能够使BPD ∆与CQP ∆全等．2．解：（1）BPD CPQ ∆≅∆， D 是AB 的中点，14BD ∴=．又326BP =⨯=，20614CP ∴=-=，326CQ =⨯=， AB AC =，B C ∴∠=∠，在BPD ∆和CPQ ∆中，BD CP B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BPD CPQ ∴∆≅∆．（2）存在，设经过t 秒时BPD CPQ ∆≅∆． 依题意 2.5BP t =， 3.5CQ t =，20 2.5PC t =-． 若BPD CPQ ∆≅∆必须有BP CP =，即2.520 2.5t t =-， 解得4t =．故当4t =秒时BPD CPQ ∆≅∆．3．解：（1）全等，理由如下： 当运动1秒后，则3BP CQ cm ==， 835PC BC BP cm cm cm ∴=-=-=， E 为AB 中点，且10AB cm = 5BE cm ∴=，BE PC ∴=，在BPE ∆和CQP ∆中BE PC B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BPE CQP SAS ∴∆≅∆；（2）BPE ∆与CQP ∆全等， ∴有BEP CQP ∆≅∆或BEP CPQ ∆≅∆， 当BEP CQP ∆≅∆时，则BP CP =，5CQ BE cm ==，设P 点运动的时间为t 秒， 则383t t =-，解得43t =秒， Q ∴点的速度4155()34cm =÷=， 当BEP CPQ ∆≅∆时， 由（1）可知1t =（秒)， 3BP CQ ∴==，Q ∴点的速度313()cm =÷=， 即当Q 点每秒运动154cm 或3cm 时BEP CQP ∆≅∆． 4．解：（1）结论：，BPD ∆与CMP ∆全等 理由：1t s =时，2PB =，2CM =，182BD AB ==，1028PC =-=， AB AC =，B C ∴∠=∠， 在BDP ∆和CPM ∆中， BD CP B C BP CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BDP CPM ∴∆≅．（2）由题意BPD ∆与CMP ∆全等， CM PB ≠，8CM BD ∴==，5PC PB ==， 52t ∴=， ∴点M 的运动速度5168/25cm s =÷=． 5．解：（1）①313BP =⨯=，313CQ =⨯=，BP CQ ∴=， D 为AB 的中点，5BD AD ∴==，5CP BC BP =-=， BD CP ∴=，在BPD ∆与CQP ∆中， BD CP B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， BPD CQP ∴∆≅∆； ②设点Q 运动时间为t 秒，运动速度为/vcm s ， BPD CPQ ∆≅， 4BP CP ∴==，5CQ =， 433BP t ∴==， 515443CQ v t∴===； （2）设经过x 秒后，点Q 第一次追上点P ，由题意得53210x x -=⨯， 解得：10x =， ∴点P 运动的路程为31030⨯=， 30282=+， ∴此时点P 在BC 边上， ∴经过10秒，点Q 第一次在BC 边上追上点P ．。
三角形全等动点问题解题规律
三角形全等动点问题解题规律三角形的全等动点问题是在平面几何中经常遇到的问题之一。
这类问题通常要求找到一个或多个点，使得这些点对应的三角形与给定三角形全等。
解题的关键是确定这些点的位置和坐标，以及使用适当的几何方法证明三角形全等。
在解决这类问题时，我们可以遵循以下一般的解题规律：1.分析已知条件：首先，我们要仔细阅读题目，理解已知条件和要求。
特别注意已知的角度、边长、垂直关系等信息。
2.找到对应点：根据题意，我们要找到一或多个对应的点，使其对应的三角形与给定三角形全等。
这些点可以是已知已知条件中的角的顶点、边的中点、高与底的交点等。
3.确定点的位置与坐标：根据对应点的定义，我们要确定这些点的位置和坐标。
在某些问题中，我们可以通过画图、构造辅助线、使用垂直关系等方法来确定点的位置和坐标。
4.利用几何方法证明全等：一旦确定了对应点的位置和坐标，我们要使用适当的几何方法证明三角形全等。
常用的方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HLL等。
我们应根据已知条件和问题要求选择合适的方法。
5.运用证明确定未知要求：在证明全等的过程中，通常会利用到已知条件和问题要求去确定未知的角、边长、面积等。
我们可以运用同位角、对顶角、周角和等于180°的性质，去求解未知要求。
6.检查结果：在解答完毕后，我们应检查结果是否与题目的要求相符。
我们可以重新计算角、边长、面积等，或者利用全等的性质进行检验。
接下来，我将通过一个具体的例子来说明如何应用解题规律解决全等动点问题。
例题：已知△ABC，点D为AC边的中点，E为BC边的中点。
证明△BDE ≌ △ABC。
解题步骤：1.分析已知条件：根据题目，已知点D为AC边的中点，点E为BC 边的中点。
我们要证明△BDE ≌ △ABC。
2.找到对应点：根据题目，我们可以找到对应点：AD为BC的中线，BE为AC的中线，DE为AB的中线。
因此，我们可以推断三角形△BDE与△ABC全等。
3.确定点的位置与坐标：我们可以通过画图来确定这些点的位置和坐标。
(最新整理)八年级数学全等三角形之动点问题
八年级数学全等三角形之动点问题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学全等三角形之动点问题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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八年级数学全等三角形之动点问题(全等三角形）拔高练习解答题（本大题共8小题，共120分)1.（本小题15分）如图,在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发,分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问（1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗?（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行"，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变,如图（2）所示，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变．请利用图（2)情形，求证：∠ CQE =60°；（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图（3），则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确．核心考点：运动变化型问题3.(本小题15分)如图，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC,且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP。
（1)请你通过观察，测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连接AP,BQ,猜想并写出BQ 与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想;（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ.你认为(2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明;若不成立，请说明理由.核心考点：全等三角形的判定与性质5。
全等三角形之动点问题
全等三角形之动点问题（一）1.已知:如图,线段AB的长为18厘米,动点P从点A动身,沿AB以2厘米/秒的速度向点B运动,动点Q从点B动身,沿BA以1厘米/秒的速度向点A运动.P,Q两点同时动身,当点P抵达点B时,点P,Q同时停止运动.设点P运动的时刻为t秒,用t表示线段PQ的长度为_____;假设P,Q两点相距6厘米,那么通过的时刻t=______.二、已知:如图,在等边△ABC中,AB=8,D为边BC上一点,且BD=6.动点P从点C动身沿CA边以每秒2个单位的速度向点A运动,连接AD,BP,设点P运动的时刻为t秒.假设△BPA≌△ADB,那么t的值为3、已知:如图,在长方形ABCD中,AB=DC=6,AD=BC=12,点E为边AD上一点,且AE=10.动点P从点B动身,沿BC边向终点C以每秒2个单位的速度运动,连接AP,DP,设点P运动的时刻为t秒.假设运动到某一时刻,△DCP≌△CDE,那么t的值为4、已知:如图,在△ABC中,AB=AC=18,BC=12,点D为AB的中点.点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C点向A点以每秒a个单位的速度匀速运动.设运动时刻为t秒,假设某一时刻△BPD与△CQP全等,求t的值与相应的点Q的运动速度a五、如图，在等边ABC的极点A、C处各有一只蜗牛，它们同时动身，别离以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，通过t分钟后，它们别离爬行到D,E处，请问（1）在爬行进程中，CD和BE始终相等吗？（2）假设蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，，求证：︒CQE=∠60（3）若是将原题中“由C向A爬行”改成“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，那么爬行进程中，DF始终等于EF是不是正确六、在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN通过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有如何的等量关系?请写出那个等量关系，并加以证明7.如以下图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE=6厘米．（1）若是点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．①假设点Q的运动速度与点P的运动速度相等，通过1秒后，△BPE与△CQP是不是全等，请说明理由；BA O D C E图8 ②假设点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPE 与△CQP 全等？（2）假设点Q 以②中的运动速度从点C 动身，点P 以原先的运动速度从点B 同时动身，都逆时针沿正方形ABCD 四边运动，求通过量长时刻点P 与点Q 第一次在正方形ABCD 边上的何处相遇？八、如图7，点O 是线段AD 的中点，别离以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；如图8，ΔOAB 固定不动，维持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.C B OD 图7A E。
八年级上册数学动点问题三角形全等
一、动点问题概述动点问题是数学中的一个重要概念，它涉及到物体或点在特定条件下的运动轨迹和位置变化。
在数学中，我们常常会遇到关于动点问题的题目，通过对动点的运动进行分析和建模，从而得出数学解决方案。
在八年级上册数学学习中，动点问题也是一个重要的内容，尤其是在进行三角形全等的学习中，动点问题的应用更是凸显出其重要性。
二、三角形全等的概念1. 三角形全等是指在平面解析几何中，两个三角形在形状和大小上完全相同。
当两个三角形的对应边长相等，对应角度相等时，我们就可以认为它们是全等三角形。
2. 三角形全等的性质：全等的三角形，对应边相等，对应角相等，面积相等。
三、动点问题与三角形全等的联系1. 在动点问题中，三角形全等常常被用来描述动点的运动轨迹。
一个动点在平面内作定点旋转、平移等运动时，可以利用三角形全等的性质来描述动点的位置变化。
2. 通过观察动点在三角形内的运动，我们可以将动点与三角形全等的概念进行结合，从而更深刻地理解动点问题和三角形全等。
四、动点问题三角形全等的举例分析1. 假设动点A在平面内作匀速直线运动，点B、点C分别为该平面内两个定点，且直线AB与BC共线，以BC为直线方向。
如果C到A的距离等于B到A的距离，根据三角形全等的性质，我们可以推断出△ABC与△ACB是全等三角形，即两个三角形的三边和三个角都相等。
2. 再做一个动点问题的三角形全等的举例，如果A、B、C三个点共线，并且A点到B点的距离等于B点到C点的距离。
那么，如果D是AC 上的一个任意一点，那么我们可以得出△ABD与△BCD是全等三角形。
五、动点问题三角形全等的解题方法在解决动点问题与三角形全等的题目时，我们需要遵循以下步骤：1. 观察动点在平面内的运动轨迹，分析三角形的形状和位置变化。
2. 利用三角形全等的性质，建立动点与三角形全等的关系。
3. 根据题目给出的条件和要求，构建方程或等式，求解动点问题与三角形全等。
六、动点问题三角形全等的应用举例1. 在解析几何中，我们常常会遇到这样的动点问题：一个点以一定的规律在平面内作运动，问它经过的点的轨迹是什么形状？这种问题就可以通过分析三角形全等来解决。
八年级数学全等三角形之动点问题(精品)[精品文档]
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全等三角形培优练习之动点问题一.选择填空题1．如图1，已知AD ，BC 相交于O 点，AB AC =，BD CD =，写出图中另一对相等线段______． 2．如图2，AB ∥DE ，AB DE =，AE ，BD 相交于C 点，在BC ，CD 上分别取M ，N 两点，使AM EN =，则AM 和EN 一定平行，这个说法正确吗？答：______．3．如图3，点D ，E 是BC 上两点，且=AB AC ，=AD AE ，要使ABE ACD △≌△，根据SSS 的判定方法还需要给出的条件是______或______．4．如图4，宽为50cm 的长方形图案由20个全等的直角三角形拼成，其中一个直角三角形的面积为______．5．如图5，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，AB ＝5，CD ＝2，则△ABD 的面积是______． 6.如图6，在△ABC中,∠CAB=70°. 在同一平面内, 将△ABC 绕点A 旋转到△AB ′C ′ 的位置, 使得 CC ′∥AB, 则∠B ′AB = _________7．如图7，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是ABC △的角平分线，DE AB DF AC ⊥⊥，，垂足分别为E ，F ．则下列四个结论：①AD 上任意一点到点C ，B 的距离相等；②AD 上任意一点到边AB ，AC 的距离相等；③BD ＝CD ，AD ⊥BC ；④∠BDE ＝∠CDF ．其中，正确的个数为 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8．下列命题中，错误的是（ ）A ．全等三角形对应边上的中线相等B ．面积相等的两个三角形是全等三角形C ．全等三角形对应边上的高线相等D ．全等三角形对应角的平分线相等 二.解答题1. 如图，在等边△ABC 的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A 向B 和由C 向A 爬行，经过t 分钟后，它们分别爬行到D 、E 处，请问（1）在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗？ADECB AD OCB AE C B A DCBADECBF（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变．请利用图（2）情形，求证：∠ CQE =60°；（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图（3），则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确．2.如图，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边E F与边AC重合，且EF=FP.(1)请你通过观察，测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；(2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；(3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接A P，BQ.你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.3.已知如图(1)，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE 的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：(1)BD＝DE＋CE；(2)若直线AE绕A点旋转到(2)位置时(BD＜CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请予证明．(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时，(BD＞CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请直接写出结果，不须证明．(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD、DE、CE的关系．4. 已知,如图,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E点,BF⊥AC于F点,若AB=C D,AF=CE,BD交AC于M点,（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移到至如图所示的位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明你的理由。
全等三角形动点问题
1.已知:如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,点 D为AB的中点.点P在线段BC上以每秒2cm的速度由点B向 点C运动,同时点Q在线段CA上由点C向点A运动. 设点P运动时间为t秒,当t为何值时,△BPD与△CQP全等?
2. 在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点（不与 BC重合）,以AD为一边在AD的右侧作三角形ADE,使 AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE. （1）如图1，当点D在线段BC上,如果∠BAC=90°,则 ∠BCE=____ (2)设∠BAC=α,∠BCE=β,如图2，当点D在线段BC上移 动,则α,β之间有怎样的数量关系？请说明理由? (3)当点D在直线BC上移动,则α,β之间有怎样的数量关系？ 请说明理由。
3.如图，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作 BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中 动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以 1cm/s的速度在直线AM上运动；已知AC=6cm，设动点 D，E的运动时间为t． （1）试求∠AC2：3，试求动点D，E的运动时 间t的值； （3）试问当动点D，E在运动过程中，是否存在某个时 间t，使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出时间t 的值；若不存在，请说出理由．
全等三角形中动点问题例题精讲
毅杰教育个性化辅导授课案教师: 学生: 日期: 星期: 时段:3、如图，将边长为1的等边△OAP按图示方式，沿x轴正方向连续翻转2011次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2007的位置．试写出P1，P3，P50，P2011的坐标．4、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF．（1）求证：△ADF≌△CEF（2）试证明△DFE是等腰直角三角形5、如图，在等边ABC∆的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问（1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？（2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中CQECQE∠60=∠的大小条件不变，求证：︒（3）如果将原题中“由C 向A 爬行”改为“沿着BC 的延长线爬行，连接DE 交AC 于F ”，其他条件不变，则爬行过程中，DF 始终等于EF 是否正确 6、如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形．（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．图1 图2 图3毅杰教育教务处。
中考数学动点之全等三角形问题
动点之全等三角形问题【例1】如图，直线443y x =-+与x 轴和y 轴分别交于,A B 两点，另一条直线过点A 和点(7,3)C .(1)求直线AC 的函数表达式;(2)求证: AB AC ⊥;(3)若点P 是直线AC 上的一个动点，点Q 是x 轴上的一个动点，且以,,P Q A 为顶点的三角形与AOB ∆全等，求点Q 的坐标.【答案】(1) 3944y x =-;(2) 222AB AD BD +=; (3) 点Q 的坐标为(7,0)或(8,0)或(1,0)-或(2,0)-【解析】(1)在y=-43x+4中，令y=0，则0=-43x+4，求得A(3，0)，设直线AC 对应的函数关系式为y=kx+b ，解方程组即可得到结论；(2)在直线ABy=-43x+4中，得到k 1=-43，在直线AC y ＝34x−94中，得到k 2=34，由于k 1•k 2=-1，即可得到结论；(3)根据勾股定理得到AB=5，①当∠AQP=90°时，如图1，由全等三角形的性质得到AQ=OB=4，于是得到Q 1(7，0)，Q 2(-1，0)，②当∠APQ=90°时，如图2，根据全等三角形的性质得到AQ=AB=5，于是得到Q3(8，0)，Q4(-2，0)，③当∠PAQ=90°时，这种情况不存在．【详解】(1)在y=-43x+4中，令y=0，则0=-43x+4，∴x=3，∴A(3，0)，设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，则：0337k bk b+⎧⎨+⎩＝＝，解得：3494kb⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝，∴直线AC对应的函数关系式为y＝34x-94.(2) 在直线ABy=-43x+4中，∵k1=-43，在直线AC y＝34x−94中，k2=34，∴k1•k2=-1，∴AB⊥AC；(3)在y=-43x+4中，令x=0，则y=4，∴OA=3，OB=4，由勾股定理得AB=5，①当∠AQP=90°时，如图1，∵△AOB≌△AQP，∴AQ=OB=4，∴Q1(7，0)，Q2(-1，0)，②当∠APQ=90°时，如图2，∵△AOB≌△AQP，∴AQ=AB=5，∴Q3(8，0)，Q4(-2，0)．③当∠PAQ=90°时，这种情况不存在，综上所述：点Q的坐标为：(7，0)(8，0)(-1，0)(-2，0)．【点睛】考查了一次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏．【变式1-1】)如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动_______秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)【答案】0；4；8；12【解析】此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC＝BP或AC＝BN进行计算即可．【详解】解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，∵AC＝2，∴BP＝2，∴CP＝6−2＝4，∴点P的运动时间为4÷1＝4(秒)；②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB≌△NBP，这时BC＝PN＝6，CP＝0，因此时间为0秒；③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，∵AC＝2，∴BP＝2，∴CP＝2＋6＝8，∴点P的运动时间为8÷1＝8(秒)；④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB≌△NBP，∵BC＝6，∴BP＝6，∴CP＝6＋6＝12，点P的运动时间为12÷1＝12(秒)，故答案为：0或4或8或12．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．。
三角形全等之动点问题(习题及答案)
综上，当 t 的值为 3 或 9 时，△ADP 的面积为 6． 22
巩固练习
1. 已知：如图，在等边三角形 ABC 中，AB=6，D 为 BC 边上一
A P
B
DC
点，且 BD=4．动点 P 从点 C 出发以每秒 1 个单位的速度沿 CA 向点 A 运动， 连接 AD，BP．设点 P 运动时间为 t 秒，求当 t 为何值时，△BPA≌△ADC．
何值时，△PBE≌△QBE．
B
D E
QC
3. 已知：如图，在等边三角形 ABC 中，AB=10 cm，点 D 为边 AB
上一点，AD=6 cm．点 P 在线段 BC 上以每秒在线段 CA 上由点 C 向点 A 运动．设点
D
Qk'
B
P
C
P 运动时间为 t 秒，若某一时刻△BPD 与△CQP 全等，求此时 t 的值及点 Q 的 运动速度．
A
D
m'
B
C
l'
4. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=12，BC=9，点 D 为 AB 的中点． （1）如果点 P 在线段 BC 上以每秒 3 个单位的速度由 B 点向 C 点运动，同时，
点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动． ①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，则经过 1 秒后，△BPD 与△CQP 是否全等？请说明理由； ②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，则当点 Q 的运动速度为多少 时，能够使△BPD 与△CQP 全等？ （2）若点 Q 以（1）②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从 点 B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，则经过多长时间，点 P 与点 Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？