数列求和的基本方法和技巧

数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、 )12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n222221(1)(21)1236nk n n n k n =++=++++=∑5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n2333331(1)1232nk n n k n =+⎡⎤=++++=⎢⎥⎣⎦∑ 1、 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 ＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 2、 已知数列{},n nn a a x =，（x ≠0），n s 数列的前n 项和，求n s 。

解：当x=1时，n s n = 当x ≠1时，{}na 为等比数列，公比为x 由等比数列求和公式得nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32＝xx x n --1)1( 3、 （07高考山东文18）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +== ，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a q q ==，．又37S =，可知2227q q ++=，即22520q q -+=，解得12122q q ==，．由题意得12q q >∴=，．11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=．（2）由于31ln 12n n b a n +== ，，，，由（1）得3312n n a += 3ln 23ln 2n n b n ∴==， 又13ln 2n n n b b +-={}n b ∴是等差数列． 12n n T b b b ∴=+++1()2(3ln 23ln 2)23(1)ln 2.2n n b b n n n +=+=+=故3(1)ln 22n n n T +=． 4、 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n ＝n n 64341++＝50)8(12+-n n 501≤∴ 当88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.5、 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n xx x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+6、 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积 设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①（设制错位）14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS 1122212+---=n n n ∴ 1224-+-=n n n S7、 （07高考全国Ⅱ文21）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．（Ⅱ）1212n n n a n b --=．122135232112222n n n n n S ----=+++++ ，①3252321223222n n n n n S ----=+++++ ，②②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++- ，221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭ 1111212221212n n n ----=+⨯--12362n n -+=-．8、 等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S 均在函数(0xy b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值；（11）当b=2时，记 1()4n nn b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1(1)n n a b b -=- （2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=,111114422n n n n n n n b a -++++===⨯则234123412222nn n T ++=++++ 3451212341222222n n n n n T +++=+++++ 相减,得23451212111112222222n n n n T +++=+++++- 31211(1)112212212n n n -+⨯-++--12311422n n n +++=--所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-9、 函数2()f x x x =+，当[,1]()x n n n N *∈+∈时，()f x 的所有整数值的个数为()g n（1）求()g n 的表达式（2）设321123423(),(1)()n n n n n n a n N S a a a a a g n *-+=∈=-+-++- ，求n S（3）设12(),2n n n ng n b T b b b ==+++ ，若()n T l l z <∈，求l 的最小值 解：（1）当[,1]()x n n n N *∈+∈时，函数()f x 单调递增，则()f x 的值域为22[,32]()()23n n n n n N g n n *+++∈⇒=+（2）由（1）得2n a n =当n 为偶数时22222212341(12)(34)[(1)]n n n S a a a a a a n n -=-+-++-=-+-++-- =(1)(123)2n n n +-++++=-当n 为奇数时2222222123421()(12)(34)[(2)(1)]n n n n S a a a a a a a n n n --=-+-++-+=-+-++---+ ==2(1)(1231)2n n n n +-++++-+=1(1)(1)2n n n n S ++∴=- （3）由()2n n g n b =得23579232222n n n T +=++++ 234115792322222nn n T ++=++++ 两式相减得 12311523222727()()22222222n n n n n n T ++++=-++++=- 2772n n n T +⇒=-，则由277,2nnn T l l z +=-<∈，可得l 的最小值为7 10、 （2010四川理）（21）（本小题满分12分）已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m 、n ∈N *都有a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2（Ⅰ）求a 3，a 5；（Ⅱ）设b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列；（Ⅲ）设c n ＝(a n+1－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和S n .本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力.解：(1)由题意，零m ＝2,n=1,可得a 3＝2a 2－a 1＋2＝6 再令m ＝3,n ＝1，可得a 5＝2a 3－a 1＋8＝20… (2)当n ∈N *时，由已知(以n ＋2代替m )可得a 2n ＋3＋a 2n －1＝2a 2n ＋1＋8于是[a 2(n ＋1)＋1－a 2(n ＋1)－1]－(a 2n ＋1－a 2n －1)＝8 即 b n ＋1－b n ＝8所以{b n }是公差为8的等差数列………………………………………………5分(3)由(1)(2)解答可知{b n }是首项为b 1＝a 3－a 1＝6,公差为8的等差数列则b n ＝8n －2，即a 2n +=1－a 2n －1＝8n －2 另由已知(令m ＝1)可得a n ＝2112n a a ++-(n －1)2.那么a n ＋1－a n ＝21212n n a a +-+－2n ＋1 ＝822n -－2n ＋1＝2n 于是c n ＝2nq n －1.当q ＝1时，S n ＝2＋4＋6＋……＋2n ＝n (n ＋1) 当q ≠1时，S n ＝2·q 0＋4·q 1＋6·q 2＋……＋2n ·qn －1.两边同乘以q ，可得 qS n ＝2·q 1＋4·q 2＋6·q 3＋……＋2n ·q n.上述两式相减得 (1－q )S n ＝2(1＋q ＋q 2＋……＋q n －1)－2nq n＝2·11n q q --－2nq n ＝2·11(1)1n n n q nq q+-++-所以S n ＝2·12(1)1(1)n nnqn q q +-++-综上所述，S n ＝12(1)(1)(1)12(1)(1)n n n n q nq n q q q ++=⎧⎪-++⎨≠⎪-⎩…………………………12分 11、（安庆市四校元旦联考）（本题满分16分）各项均为正数的数列{}n a 中，n S a ,11=是数列{}n a 的前n项和，对任意*∈N n ，有 )(222R p p pa pa S n n n ∈-+=；⑴求常数p 的值； ⑵求数列{}n a 的通项公式；⑶记n nn n S b 234⋅+=，求数列{}n b 的前n 项和T 。