数学建模 - 交通管理问题
数学建模论文十字路口绿灯
江西师范高等专科学校论文题目：十字路口绿灯亮30秒，最多可以通过多少辆汽车？组长：肖根金学号：9015300135 班级：15数教1班组员：叶强学号：9015300143 班级：15数教1班组员：谭伟学号：9015300132 班级：15数教1班2017年4月15日目录一、问题重述 (3)1.1问题背景 (3)1.2问题简述 (4)二、模型假设 (4)3.1 停车位模型 (5)3.2 启动时间模型 (5)3.3 行驶模型 (5)三、模型建立 (5)四、模型求解 (5)五、模型的检验与应用 (6)5.1调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型是否正确5.2分析绿灯亮后，汽车开始以最高限速穿过路口的时间5.3给出穿过路口汽车的数量n随时间t变化的数学模型六、模型的评价 (6)6.1 模型的优点 (6)6.2 模型的缺点 (7)参考文献一、问题重述1.1问题背景随着经济和社会快速发展,我国城市道路建设增多,出行车辆增加,城市交通进入了快速发展阶段,城市交通的几个问题,即交通阻塞、交通事故、公共交通问题城市，道路交通问题日益突出.,为城市交通建设和路网规划提供方案和依据,达到优化城市道路交通状况的目的.因此我们针对于交通问题事故，将“十字路口绿灯亮30秒问题”单独列出以建模的形式来进行合理的规划，让十字路口的交通，更安全。
在每年的节假时间里，有很多的人喜欢去旅游，交通的拥挤阻塞已经是很大问题，好多事故的发生。
这是我们不愿意见到的事实。
“十字路口绿灯亮30时间”对于现在的这个新时代的我们来说，城市的汽车车水马龙，它的合理设计是十分重要的。
在交通管理中，绿灯的作用是为了维持交通秩序。
在十字路口行驶的车辆中，主要因素是机动车辆，驶近交叉路口的驾驶员，在看到绿色信号后要通过路口。
利用数学模型解决绿灯在十字路口亮30秒的问题，可以减少交通事故的发生，也相对合理的运用社会科学知识解决实际问题。
某一天一个式子路口的绿灯灯亮30秒，那么能通过几辆汽车呢？1.2问题简述因为十字路口的交通现象较复杂，通过路口的车辆的多少依赖于路面上汽车的型号，数量和它们的行驶速度和方向以及同时穿过路口的非机动车辆的行人的状态等因素有关，因此，我们在求解“十字路口绿灯亮30秒，最多可以通过多少辆汽车”时应综合考虑各方面因素二、模型假设(1)十字路的车辆穿行秩序良好不会发生阻塞；(2)所有车辆都是直行穿过路口，不拐弯行驶，并且仅考虑马路一侧的车辆。
城市出租车的规划管理系统-数学建模
城市出租车的规划管理摘要本文通过数学建模的方法解决了城市交通管理中的部分出租车的规划问题。
在问题一的解决上，运用拟合和样条插值的方法预测出2005-2009，2011-2019+的城市市区人口规模。
经检验，样条插值较贴近实际。
在问题二的解决上，运用层次分析法计算出影响出租车数量因素的权重，建立该市出租车数量的动态数学模型。
一、问题重述城市中出租车的需求随着经济发展、城市规模扩大及居民生活方式改变而不断变化。
目前某城市中出租车行业管理存在一定的问题，城市居民普遍反映出租车价格偏高，另一方面，出租车司机却抱怨劳动强度大，收入相对来说偏低，整个出租车行业不景气，长此以往将影响社会稳定。
现为了配合该城市发展的战略目标，最大限度地满足城市中各类人口的出行需要，并协调市民、出租车司机和社会三者的关系，实现该城市交通规划可持续发展，需解决以下的问题：（1）从该城市当前经济发展、城市规模及总体人口规划情况出发，类比国城市情况，预测该城市居民的出行强度和出行总量，这里的居民指的是该城市的常住人口。
同时结合人口出行特征，进一步给出该城市当前与今后若干年乘坐出租车人口的预测模型。
（2）根据该城市的公共出行情况与出租车主要状况，建立出租车最佳数量预测模型。
（3）油价调整（3.87 元/升与4.30 元/升）会影响城市居民与出租车司机的双方的利益关系，给出能够使双方都满意的价格调节最优方案。
（4）针对当前的数据采集情况，提出更合理且实际可行的数据采集方案。
（5）从公用事业管理部门的角度考虑出租车规划的问题，写一篇短文介绍自己的方案。
二、模型假设1．由于第一类人口和第二类人口都对乘出租车产生重大影响，故只考虑人口的总规模。
2．由于城市地理状况和居民的生活习惯在短时期不易改变，所以在各交通小区之间采用的出行方式也相对固定，假定居民从A 地到B 地所习惯采用的出行方式在未来几年保持不变。
3．假设居民中出行人口占总人口数的比例不变。
2017年数学建模d题讲解
2017年数学建模d题讲解
2017年的数学建模D题是一个关于城市停车管理的问题。
该题目要求参赛者设计一个数学模型来优化城市停车管理系统，以减少交通拥堵和提高停车效率。
具体来说，题目包括以下几个方面：
1. 问题背景，介绍了城市停车管理系统的现状和存在的问题，例如停车位不足、交通拥堵等。
2. 问题提出，明确了需要解决的问题，比如如何合理分配停车资源、如何减少车辆在城市中的空转时间等。
3. 数据分析，提供了相关的停车数据，包括停车位数量、停车需求量、车辆流量等，要求参赛者对这些数据进行分析。
4. 模型建立，要求参赛者建立数学模型，可以是基于排队论、优化算法、仿真模拟等方法，来解决停车管理的问题。
5. 模型求解，要求参赛者利用建立的数学模型对现实问题进行求解，并给出相应的优化方案。
6. 结果分析，参赛者需要对模型的结果进行分析，评价模型的有效性和实用性，讨论模型的局限性和改进空间。
总的来说，2017年数学建模D题是一个涉及实际城市交通管理问题的综合性题目，要求参赛者结合数学建模理论和实际数据进行综合分析和求解。
针对这个题目，参赛者需要从数学建模的角度出发，结合实际情况，从停车资源的合理分配、车辆流量的优化、交通拥堵的缓解等多个角度进行全面的分析和求解。
希望这个回答能够帮助你更好地理解2017年数学建模D题的内容。
基于物理与数学建模的交通流量预测与优化
基于物理与数学建模的交通流量预测与优化交通流量是城市交通管理的关键问题之一，准确预测和优化交通流量对于提高交通效率、减少拥堵、改善城市交通环境至关重要。
在过去的几十年中，物理与数学建模成为交通流量预测与优化的重要工具之一。
本文将探讨基于物理与数学建模的交通流量预测与优化方法，并分析其在实际应用中的潜力与问题。
交通流量预测是交通管理中的一个重要问题，对于合理规划道路、优化交通信号、调整交通组织等策略具有指导意义。
基于物理与数学建模的交通流量预测方法主要通过对交通系统进行建模，利用数学方程和物理原理描述交通流量的变化规律。
一种常见的基于物理建模的交通流量预测方法是基于宏观交通流理论的宏观模型。
这种方法将道路网络看作一个整体，考虑车辆的流动和拥堵情况，通过建立数学模型来预测交通流量。
宏观模型主要考虑交通流量的平均速度、密度和流量之间的关系，常用的模型包括Lighthill-Witham-Richards (LWR)模型和Payne-Whitham模型等。
这些模型能够较好地反映交通流量的波动和堵塞情况，对交通流量的短期和长期预测具有一定的准确性和可靠性。
此外，基于数学建模的交通流量预测方法还包括基于微观交通流理论的微观模型。
微观模型主要考虑单个车辆的行驶行为，通过建立车辆间的跟随模型和车辆行驶轨迹等信息来预测交通流量。
著名的微观模型有Cellular Automaton (CA)模型和Car-Following模型等。
这些模型能够较为准确地描述不同车辆之间的互动和交通流量的变化，对交通流量的特定区域和具体路段的预测具有较高的准确性。
此外，物理与数学建模方法还可以结合数据驱动方法，进行混合建模预测。
通过利用现有的交通数据和传感器信息，结合物理建模和统计分析等方法，增强预测模型的准确性和稳定性。
例如，可以利用传感器采集的交通数据，采用非参数回归模型进行建模，得到更准确的交通流量预测结果。
此外，还可以利用机器学习和深度学习等方法，对大量的交通数据进行训练和学习，建立交通流量预测模型，提高预测的准确性和实时性。
数学建模城市轨道交通列车时刻表优化问题
数学建模城市轨道交通列车时刻表优化问题数学建模城市轨道交通列车时刻表优化问题问题描述该问题探讨的是如何优化城市轨道交通列车的时刻表安排，以提高运输效率和乘客满意度。
相关问题1.列车间隔时间问题：如何确定列车之间的最佳间隔时间，以保证乘客能够顺利上下车，同时减少列车之间的空闲时间？2.路线选择问题：在多条轨道交通线路之间，如何选择最优的线路和站点设置，以最大程度地满足乘客的出行需求？3.列车调度问题：如何合理安排列车的开行时间和顺序，使得列车能够尽可能平均地分布在高峰和非高峰时段，从而避免交通拥堵和拥挤？4.车辆容量配比问题：如何根据不同线路的客流量和乘客出行的时间分布，合理安排不同车辆的座位和站立人数，以提高列车运输效率和乘客的舒适度？5.列车时刻表调整问题：如何根据实际运输情况和乘客反馈，对列车时刻表进行动态调整，以提高运输效率和满足乘客的出行需求？6.乘客流量预测问题：如何准确预测不同线路和站点的乘客流量，以便合理安排列车的运行计划和车辆配比？7.乘客换乘优化问题：在多条轨道交通线路的交叉站点上，如何设计合理的换乘方案，以减少乘客在换乘过程中的时间和体力消耗？8.车站人流控制问题：如何通过优化车站出入口、候车室和过道的布局，以及合理指导乘客的行为，减少车站的拥挤程度和乘客的等待时间？解决方法1.列车间隔时间问题可以采用数学模型来计算最佳的列车间隔时间，考虑乘客上下车的时间和需求，以及列车运行的速度和停车时间。
2.路线选择问题可以通过分析乘客的出行数据和交通网络结构，使用图论算法和最优化方法来确定最优的线路和站点设置方案。
3.列车调度问题可以采用动态规划算法和模拟仿真技术，根据列车的运行速度、乘客流量和出行需求等因素，优化列车的开行时间和顺序。
4.车辆容量配比问题可以通过乘客流量预测和列车座位的布局设计，确定不同线路和不同时段的车辆配比方案，以满足乘客的乘坐需求。
5.列车时刻表调整问题可以采用数据分析和机器学习方法，根据实际运输情况和乘客反馈，调整列车时刻表，以提高运输效率和乘客满意度。
高中红绿灯数学建模教案
高中红绿灯数学建模教案
教学目标：
1. 了解红绿灯在交通管理中的作用和原理。
2. 掌握数学建模的基本方法和步骤。
3. 能够利用数学建模解决实际问题。
教学内容：
1. 红绿灯在交通管理中的作用和原理。
2. 数学建模的基本概念和步骤。
3. 如何利用数学建模分析红绿灯的信号时长和配时方案。
教学步骤：
1. 引入：通过引入交通拥堵问题和红绿灯的作用，激发学生对数学建模的兴趣。
2. 理论讲解：讲解红绿灯的作用和原理，以及数学建模的基本方法和步骤。
3. 实例分析：通过实际案例分析，让学生了解如何利用数学建模分析红绿灯的信号时长和配时方案。
4. 练习：让学生分组练习，设计一个模拟交通场景，并利用数学建模分析红绿灯的配时方案。
5. 总结：总结本节课的学习内容，强调数学建模在解决实际问题中的重要性。
教学资源：
1. 教科书和课件。
2. 实例案例和练习题。
3. 计算机软件或在线工具，用于辅助分析和模拟。
评估方法：
1. 参与度和表现评价。
2. 组内分析和讨论评价。
3. 练习题和作业评价。
延伸活动：
1. 鼓励学生自主设计并实现一个红绿灯控制系统的模拟。
2. 邀请专业人士讲解交通信号控制的最新技术和应用。
教学反思：
1. 需要根据学生的实际水平和兴趣，适当调整教学内容和难度。
2. 可以结合实际案例，让学生更好地理解红绿灯控制系统的复杂性和重要性。
以上是一份高中红绿灯数学建模教案范本，供参考使用。
数学模型在城市交通仿真中的应用
数学模型在城市交通仿真中的应用一、介绍数学模型是对真实情况进行抽象和简化的过程，使用数学方法进行描述和分析，以便得出一些有关现象或者行为的结论。
在城市交通中，由于城市人口数量的增加和汽车的普及，交通拥堵、城市道路运输管理以及其他相关问题，已经成为了一个非常严重的挑战。
数学建模是解决这些问题的关键工具之一。
本文旨在对数学模型在城市交通仿真中的应用进行分析。
二、模型介绍2.1 用于城市交通仿真的数学模型城市交通中的数学模型可以分为不同的类别，根据应用和关注的内容类型不同，分为离散事件模拟（DES）模型和连续模型。
离散事件模拟模型是基于离散事件的仿真方法，主要用于建模道路系统的各个部分和交通产品，例如车辆、行人、信号灯等。
连续模型主要关注交通流系统的大规模动态过程，如车辆运动、堵塞的发生和解除、道路网络的拥堵和疏散，等等。
交通仿真通常是将这两种模型结合起来使用，以便得出更为准确的结论。
2.2 建模方法数学模型在城市交通仿真中使用，主要分为两种建模方法。
一种是微观建模，另一种是宏观建模。
微观建模是通过仿真系统模拟道路上的行人与车辆间的相互作用来构建模型。
这种方法需要建立逐秒或逐米的保真度非常高的建模系统，但可以精确地模拟道路和交通系统的完整性和动态性。
宏观建模则是相反的建模方法，通过少量及少量所需的数据，对道路运输网络进行统计和过滤。
与方法一样，宏观建模可以有效用于预测交通拥堵和路段拥挤情况，但是无法准确的模拟交通流的细节。
三、应用数学模型在城市交通仿真中的应用主要有以下几点：3.1 交通规划交通规划是城市交通发展过程中最重要的一环，也是数学模型在城市交通仿真中的应用的最大领域。
交通规划通过数学模型对城市交通状况进行预测和分析，据此，对道路进行规划和施工，促进了交通的流动性和大众出行的便利化。
3.2 路网维护数学模型在路网维护中的应用，主要是通过建模网络并用模型对路况进行预测并对出现的问题进行预警。
这些问题包括道路震荡、不规则行驶以及道路拥堵等等。
数学建模与应用案例
数学建模与应用案例数学建模是指利用数学方法和技术对实际问题进行描述、分析和求解的过程，通过建立数学模型来揭示问题的本质规律，为实际问题的决策提供科学依据。
在各个领域中，数学建模都发挥着重要作用，为解决复杂的实际问题提供了有效的工具和方法。
本文将介绍几个数学建模与应用的案例，展示数学建模在现实生活中的广泛应用。
一、交通流量预测在城市交通管理中，准确预测交通流量对于合理规划道路建设、优化交通信号灯设置等具有重要意义。
数学建模可以通过分析历史交通数据，构建交通流量预测模型，从而预测未来某一时段内的交通流量情况。
通过对交通流量的预测，可以有效地指导交通管理部门采取相应的措施，缓解交通拥堵问题，提高道路通行效率。
二、股票价格预测股票市场波动剧烈，股票价格的预测一直是投资者关注的焦点。
数学建模可以通过分析股票市场的历史数据，构建股票价格预测模型，预测未来股票价格的走势。
基于数学建模的股票价格预测模型，投资者可以更好地制定投资策略，降低投资风险，提高投资收益。
三、疫情传播模型疫情传播是当前全球关注的问题，数学建模在疫情传播过程中发挥着重要作用。
通过构建传染病传播模型，可以预测疫情的传播趋势，评估不同防控措施的效果，为政府决策提供科学依据。
数学建模可以帮助疫情防控部门及时制定有效的防控策略，最大程度地减少疫情传播风险。
四、气候变化预测气候变化对人类社会和自然环境都具有重要影响，准确预测气候变化趋势对于采取有效的气候变化应对措施至关重要。
数学建模可以通过分析气象数据、海洋数据等多种数据源，构建气候变化预测模型，预测未来气候变化的发展趋势。
基于数学建模的气候变化预测结果，可以为政府、企业和个人提供科学依据，制定相应的气候变化应对策略。
五、金融风险评估金融市场波动频繁，金融风险管理是金融机构和投资者面临的重要挑战。
数学建模可以通过分析金融市场数据，构建金融风险评估模型，评估不同金融产品和投资组合的风险水平。
基于数学建模的金融风险评估结果，金融机构和投资者可以及时调整投资组合，降低金融风险，保障资产安全。
数学建模交警问题
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：辛玉东日期： 2010 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）交巡警服务平台的设置与调度问题摘要本文通过对交巡警服务平台的设置与调度进行分析并建立相应的数学模型，在该过程中利用遍历法、迭代法由Matlab编程进行分析计算，最后分析误差及评价模型的合理性。
问题一第一问，我们采用迭代法对所给A区各路线数据进行处理和计算得到任意节点到其他节点的最短时间，然后利用Matlab编程筛选出交巡警服务平台到其他点的最短时间，根据此结果得到距离交巡警服务平台不长于3min的节点，得到了各交巡警服务平台所管辖的范围（具体结果见表1 A区范围划分最优结果）。
问题一中第二问，我们采用第一问的结果，首先对对出入A区的路口进行图上标记、观察分析然后对其进行分类，最后将问题简化为一个小组的问题。
在其中应用遍历法，数学分析法和Matlab编程进行计算的到了最后的最优分配方案。
数学建模在交通信号控制中的应用及创新
数学建模在交通信号控制中的应用及创新交通信号控制是指通过信号灯来调节道路上车辆和行人的通行，以保证交通的有序进行。
而数学建模则是将实际问题抽象化为数学模型，通过数学方法进行分析和求解。
在交通信号控制领域，数学建模的应用不仅可以提高交通效率，还可以减少交通事故的发生。
本文将探讨数学建模在交通信号控制中的应用及创新。
一、交通流模型交通流模型是交通信号控制中最常用的数学模型之一。
它可以描述车辆在道路上的运动规律，包括车辆的速度、密度和流量等。
通过对交通流模型的建立和求解，可以得到最优的信号配时方案，从而提高交通效率。
目前，常用的交通流模型有Lighthill-Whitham-Richards（LWR）模型和Cellular Automata（CA）模型等。
LWR模型是一种宏观交通流模型，它将道路划分为多个区间，每个区间内的车辆密度和流量是均匀的。
通过求解LWR模型，可以得到车辆密度和流量的时空分布，进而确定信号灯的配时方案。
而CA模型则是一种微观交通流模型，它将道路划分为多个小区间，每个小区间内的车辆可以根据一定的规则进行加速、减速和换道等操作。
通过模拟车辆的运动过程，可以评估不同的信号配时方案的效果。
二、交通信号优化交通信号优化是指通过数学建模和优化算法，寻找最优的信号配时方案。
优化目标可以是最小化车辆延误时间、最大化道路通行能力或者最小化交通事故风险等。
在过去的研究中，常用的优化算法有遗传算法、蚁群算法和粒子群算法等。
近年来，随着深度学习技术的发展，神经网络在交通信号优化中的应用也越来越广泛。
通过训练神经网络模型，可以预测交通流量和车辆延误时间等关键指标，并根据预测结果调整信号配时方案。
这种基于数据驱动的优化方法，可以更加准确地反映实际交通状况，从而提高交通效率。
三、智能交通系统智能交通系统是将信息技术与交通管理相结合的一种新型交通管理系统。
它通过实时采集交通数据和环境信息，利用数学建模和优化算法进行交通信号控制，从而实现交通拥堵的缓解和交通事故的减少。
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数学建模 - 交通管理问题实验十交通管理问题【实验目的】1．了解微分方程的一些基本概念。
2．初步掌握微分方程模型建立、求解的基本方法和步骤。
3．学习掌握用MATLAB软件中相关命令求解常微分方程的解析解。
【实验内容】在城市道路的十字路口，都会设置红绿交通灯。
为了让那些正行驶在交叉路口或离交叉路口太近而又无法停下的车辆通过路口，红绿灯转换中间还要亮起一段时间的黄灯。
对于一名驶近交叉路口的驾驶员来说，万万不可处于这样进退两难的境地：要安全停车但又离路口太近；要想在红灯亮之前通过路口又觉得距离太远。
那么，黄灯应亮多长时间才最为合理呢？已知城市道路法定速度为v0，交叉路口的宽度为I，典型的车身长度统一定为L，一般情况下驾驶员的反应时间为T，地面的磨擦系数为?。
（假设I＝9m，L＝4.5m，?＝0.2，T＝1s）【实验准备】微分方程是研究函数变化过程中规律的有力工具，在科技、工程、经济管理、人口、交通、生态、环境等各个领域有着广泛的应用。
如在研究牛顿力学、热量在介质中的传播、抛体运动、化学中液体浓度变化、人口增长预测、种群变化、交通流量控制等等过程中，作为研究对象的函数，常常要和函数自身的导数一起，用一个符合其内在规律的方程，即微分方程来加以描述。
1．微分方程的基本概念未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。
如果未知函数是一元函数，称为常微分方程。
如果未知函数是多个变量的函数，称为偏微分方程。
联系一些未知函数的多个微分方程称为微分方程组。
微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。
若方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性常微分方程，一般表示为y(n)＋a1(t)y(n?1)＋…＋an?1(t)y'＋an(t)y＝b(t) （1）若（1）式中系数ai(t)（i＝1，2，…，n）均与t无关，称之为常系数（或定常、自治、时不变）的。
建立微分方程模型要根据研究的问题作具体的分析。
一般有以下三种方法：根据规律建模：在数学、力学、物理、化学等学科中已有许多经过实践检验的规律和定律，如牛顿运动定律、基尔霍夫电流及电压定律、物质的放射性规律、曲线的切线的性质等，这些都涉及某些函数的变化率。
我们可以根据相应的规律，列出常微分方程。
微元法建模：利用微积分的分析法建立常微分方程模型，实际上是寻求一些微元之间的关系式，在建立这些关系式时也要用到已知的规律或定理。
与第一种方法不同之处在于这里不是直接对未知函数及其导数应用规律和定理来求关系式，而是对某些微元来应用规律。
模拟近似法建模：在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的实践中，常常要用模拟近似法来建立微分方程模型。
这是因为，上述学科中的一些现象的规律性我们还不是很清楚， 190即使有所了解也并不全面，因此，要用数学模型进行研究只能在不同的假设下去模拟实际的现象。
如此模拟近似所建立的微分方程从数学上求解或分析解的性质，再去同实际情况作对比，观察这个模型能否模拟、近似某些实际的现象。
建立微分方程模型只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。
2．微分方程通解的求解方法（1）初等积分法有些微分方程可直接通过积分来进行求解。
例如，一阶常系数线性常微分方程y?＝ax＋b （a≠0）可化为dy＝dtay?b两边通过积分可得到通解y(t)为y(t)＝Cexp(at)－ab其中C为任意的常数。
有些常微分方程可用一些技巧（如分离变量法、积分因子法、常数变易法、降阶法等）化为可积分的方程而求得解析解。
（2）常系数线性微分方程求解线性常微分方程的解满足叠加性原理，从而它的求解可归结为求一个特解和相应齐次微分方程的解。
一阶变系数线性常微分方程总可用这一思路来求得通解。
高阶线性常系数微分方程可用特征根法求得相应齐次微分方程的基本解，再用常数变易法求特解。
例如，求x??＋0.2x?＋3.92x＝0的通解。
解：特征方程为 ?＋0.2?＋3.92＝0 在MATLAB命令框中输入命令>> x=roots([1 0.2 3.92])% roots命令用来求多项式的根求解得到一对共轭复根x =-0.1000 + 1.9774i -0.1000 - 1.9774i从而该微分方程的通解x(t)为?0.1t x(t)＝Aet) cos(1.9774t)＋Be?0.1tsin(1.97742?1其中A、B为任意的常数。
一阶常微分方程组与高阶常微分方程可以互化，已给一个n阶方程y(n)(n?1)＝f（t，y，y?，…，y （2））(n?1)设y1＝y，y2＝y?，…，yn＝y，（2）可化为一阶方程组?＝y2 y1?＝y3 y2 …（3） ??1＝yn yn?＝f（t，y1，y2，…，yn) yn反过来，在许多情况下，一阶微分方程组也可以化为高阶方程。
所以一阶常微分方程组与高阶常微分方程的理论与方法在很多方面是相通的。
一阶常系数线性微分方程组也可用特征根法进行求解。
3．求微分方程（组）通解的MATLAB命令191求解微分方程（组）的解析解用函数dsolve。
r = dsolve( 'eq1, eq2', ... ,'cond1, cond2' , ... , 't' )；其中eq1、eq2等表示方程1、方程2等，cond1、cond2等表示初始条件，均用字符串方式表示，自变量的缺省值为t；微分方程和初始条件中，导数用字符D表示，D2、D3分别表示2阶、3阶导数，并以此类推； r返回所求得的解析解，如果是方程组，则r的结构是一个向量的形式；可以用help dsolve查阅有关该命令的详细信息。
【实验方法与步骤】1．dsolve命令的基本用法下面以例题来予以说明：例1 求高阶方程y??＝cos(2x)－y，y(0)＝1，y?(0)＝0的通解输入命令：>> r=dsolve('D2y=cos(2*x)-y','y(0)=1','Dy(0)=0','x') r =(1/2*sin(x)+1/6*sin(3*x))*sin(x)+(1/6*cos(3*x)-1/2*cos(x))*cos(x)+4/3*cos(x) >> r=simple(r)% 对r进行合并、分解化简 r =-1/3*cos(2*x)+4/3*cos(x) 例2 求天微分方程组的通解 dx dt ＝2x－3y＋3z ＝4x－5y＋3z ＝4x－4y＋2zdydtdt dz>> [x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z'); >> x=simple(x) x =-(-C1-C2*exp(-3*t)+C2-C3+C3*exp(-3*t))*exp(2*t) >> y=simple(y) y =-(C1*exp(-4*t)-C1-C2*exp(-4*t)-C2*exp(-3*t)+C2-C3+C3*exp(-3*t))*exp(2*t) >> z=simple(z) z =(-C1+exp(4*t)*C1-C2*exp(4*t)+C2+exp(4*t)*C3)*exp(-2*t)2．引例问题的分析与求解首先，我们用模拟近似法对引例问题进行分析建模。
对于驶近交叉路口的驾驶员，在他看到黄色信号后要做出决定：是停车还是通过路口。
如果他以法定速度（或低于法定速度）行驶，当决定停车时，他必须有足够的停车距离。
当驾驶员决定通过路口时，必须有足够的时间让他能完全通过路口。
这包括做出停车决定的反应时间以及通过停车所需的最短距离的驾驶时间，能够很快看到黄灯的驾驶员可以利用刹车距离将车停下来。
于是，黄灯状态所应持续的时间包括驾驶员的反应时间，他通过交叉路口的时间以及通过刹车距离所需要的时间。
192由题设可知城市道路法定速度为v0，交叉路口的宽度为I，典型的车身长度统一定为L。
考虑到车通过路口实际上指的是车的尾部必须通过路口，因此，通过路口的时间为I?L v0现在我们来计算刹车距离：设w为汽车的重量，?为磨擦系数，由牛顿力学知，地面对汽车的磨擦力为?w，其方向与汽车运动的方向相反。
汽车在停车过程中，由牛顿第一动力定理有f＝ma 其中m为汽车质量（即w，g为重力加速度），a为汽车的加速度，f是汽车所受的摩擦g力。
这里加速度a是停车距离x关于时间的二阶导数，所以行驶距离x与时间t的关系可由下面的微分方程确定：wd2x －?w＝（4）gdt2约去w，化简（4）式得2 dx2＋?g＝0 （5）dt同时，我们知道，当t＝0时，距离x＝0，初速度是距离x在0时刻的一阶导数，于是可以给出方程（5）的初始条件xt?0?0，dx ?v0 （6）dtt?0在MALAB命令框中输入命令>> x=dsolve('D2x=-ug','x(0)=0,Dx(0)=v0','t') x =-1/2*ug*t^2+v0*t即得到停车距离x关于时间t的解析式。
停车时速度为0，即dx＝0，可得到汽车刹车所用dt2v0v0的时间t1＝，从而得到刹车距离x(t1)＝。
?g2?g设黄灯闪烁的时间为A，则A的表达式为vx(t1)?I?LI?L A＝+T＝0＋+Tv0v02?g【结果分析】由假设知，I＝9m，L＝4.5m，T＝1s ，磨擦系数选取有代表性的?＝0.2，我们考虑当法定速度v0＝40、60、80km/h时，黄灯时间如表1所示，表1也给出了与经验法黄灯时间的对比。
表1 黄灯预测时间与经验法时间的对比 v0（km/h） 40 65 80 A 5.05s 6.35s 7.28s 经验法 3s 4s 5s 我们注意到，经验法的结果一律比我们预测的黄灯状态时间要短些，这使得我们联想起，许多城市交叉路口红、黄、绿灯的设计可能使得司机驾驶着的汽车在绿灯转变为红灯的时刻正处于交叉路口的位置。
193【练习与思考】1．设一容积为V（单位：m）的大湖受到某种化学废料的污染，污染物均匀地分布在湖中。
若某时刻起污染源被切断，设湖水更新的速率是r（单位是：m／天）。
试建立求污染物的浓度下降至原来的5%所需时间的数学模型。
美国密西根湖的容积为4871×10（m），湖水的流量为3.663959132×10（m），求污染中止后，污染物浓度下降到原来湖水污染浓度的3%所需要的时间。
2．某公司生产一种耐用消费品，产品一上市，该公司即开始做广告，一段时期的市场跟踪调查后，该公司即发现：单位时间内购买人口百分比的相对增长率与当时还没有购买的百分比成正比，且通过估算得此比例系数为0.5。