解直角三角形及其应用-重难点题型(融会贯通)(沪科版)(学生版)

专题23.2 解直角三角形及其应用-重难点题型【沪科版】【知识点1 直角三角形的边角关系】 （1）两锐角关系：90A B ∠+∠=︒ （2）三边关系：222a b c +=（勾股定理） （3）边角关系：sin cos a A B c ==，cos sin b A B c == tan a A b =，tan b B a= 【知识点2 解直角三角形的类型和解法】【题型1 可直接解直角三角形（网格问题）】【例1】（2022•碑林区校级模拟）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，连接AB 、AC ，则sin ∠BAC 的值为（ ）已知条件 图形解法已知一直角边和一个锐角(),a A ∠ ()2290,,sin tan a aB A c b b c a A A∠=︒-∠===-或 已知斜边和一个锐角(),c A ∠()2290,sin ,cos B A a c A b c A b c a ∠=︒-∠===-或 已知两直角边(),a b 22,tan ,90ac a b A A B A b=+=∠∠=︒-∠由求 已知斜边和一条直角边(),c a22,sin ,90ab c a A A B A c=-=∠∠=︒-∠由求 对边邻边斜边 ACBbA ．12B ．√55C ．2√55D ．√52【变式1-1】（2022•雁塔区校级模拟）如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在交点处，则∠ABC 的正弦值为（ ）A ．12B ．6√55C ．35D ．3√1010【变式1-2】（2022秋•周村区期末）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中cos ∠QMB 的值是（ ）A ．√55B ．2√55C ．√22D ．√105【变式1-3】（2022春•淮南月考）如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，求∠BAC 的余弦值．【题型2 不可直接解直角三角形（设元、借助方程）】【例2】（2022•苍溪县模拟）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A =23．若D 是AC 上一点，且∠CBD ＝∠A ，则sin ∠ABD 的值为（ ） A ．513B ．813C ．1039D ．3√1010【变式2-1】（2022•安徽模拟）如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，D 为AC 边上一动点，且tan ∠ABD =12，则BD 的长度为（ ）A ．15√58B ．2√5C ．5D ．24√511【变式2-2】（2022•相城区校级一模）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝CB ，sin ∠BAD =35，∠BCD ＝60°，连接AC ，则tan ∠ACD ＝ ．【变式2-3】（2022•嘉定区三模）如图6，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin∠A =35，AB ＝5，BD 平分∠ABC ． （1）求BC 的长； （2）求∠CBD 的正切值．【题型3 “化斜为直”-解斜三角形】【例3】（2022秋•香坊区月考）在△ABC中，∠B＝30°，AB＝8，AC＝2√7，则BC的长为．【变式3-1】（2022秋•汉寿县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝8，AB＝4，则BC的长是（）A．4√3B．4√7C．6D．8【变式3-2】（2022•宝山区校级自主招生）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝6，BD＝4，AC＝CD ＝5，则cos∠ADC＝．【变式3-3】（2022春•昌江区校级期末）如图，在△ABC中，AD是中线，∠ABC＝30°，∠ADC＝45°．（1）求ABBD的值；（2）求∠ACB的度数．【题型4 解直角三角形的应用（仰角、俯角）】【例4】（2022•卧龙区一模）如图，某工地有一辆吊车，AB为车身，AC为吊臂，吊车从水平地面C处吊起货物，此时测得吊臂AC与水平线的夹角为18°，当货物吊至D处时，测得吊臂AD与水平线的夹角为53°，且吊臂转动过程中长度始终保持不变，此时D处离水平地面的高度DE＝12m，求吊臂的长．（结果保留一位小数，参考数据：sin18°≈0.30，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）【变式4-1】（2022秋•沙坪坝区校级月考）如图，小文准备测量自己所住楼房的高度，他首先在A处测得楼房顶部E的仰角为53°，然后沿着直线走了7米到B处，再沿着斜坡BC走了13米到达C处，再测得楼房顶部E的仰角为37°，已知小文身高1.5米（即AM＝CN＝1.5米），且斜坡BC的坡度i＝1：2.4，则楼房EF的高度大约为（）米．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）A．42.5B．44.5C．45.5D．47.4【变式4-2】（2022秋•平阳县期中）小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球．已知小明与篮框内的距离BC＝5米，眼镜与底面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为α，已知tan∠α=3 10，则点D到底面的距离CD是米．【变式4-3】（2022•新野县三模）许昌市旅游服务中心由广场和“一门四阙”主题建筑组成，如图1．广场为迎宾广场一门”为“许昌之门”，“四闕”为广场四角的汉阙，是许昌的标志性建筑．某数学兴趣小组在迎宾广场测量旅游服务中心的高度，图2为测量示意图，MN为服务中心的对称轴，在地面的AB处架设测角仪，测得旅游服务中心的最高点D的仰角45°，利用无人机在点B的正上方57.8米处的点C 处测得点D的俯角为32°，测角仪的高度AB＝1.6米，FH＝17.2米，DE＝19.8米．（1）求旅游服务中心的高度为多少米？（结果精确到0.1m．参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，√2≈1.414）（2）兴趣小组测量后到旅游服务中心参观，发现讲解员讲解的高度为36.8m，请用物理知识解释测量值与实际值出现差距的原因，如何避免或者减小差距？【题型5 解直角三角形的应用（方向角）】【例5】（2022•大连二模）如图，一艘海轮船位于灯塔P北偏东60°方向，与灯塔距离为80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P南偏东37°方向的B处，求此时轮船所在B处与灯塔P 的距离．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，√3≈1.7，结果取整数）【变式5-1】（2022•开平区一模）如图，台风在某海岛（设为点O）的南偏东45°方向的B点生成，测得OB=100√6km．台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移动，以O为原点建立如图所示的直角坐标系．已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点A）位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过的时间为（）A．8小时B．9小时C．10小时D．11小时【变式5-2】（2022•荆州模拟）如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向．当在主输气管道AC上寻找支管道连接点N，使到该小区M铺设的管道最短时，AN的长为米．【变式5-3】（2022•封丘县二模）2021年3月1日，我国第一部流域保护法﹣﹣《中华人民共和国长江保护法》正式实施．作为我国经济发展的重要引擎，长期以来，生态保护为发展让路一直是长江流域生态环境保护工作的痛点，长江保护法最大的特点就是“生态优先、绿色发展”的国家战略被写入法律．已知渔政执法船某一时刻在长江流域巡航时，从A出发以30千米/时的速度向正南方向行驶，在A处观测到码头C位于船的南偏东37°，2小时候到达B处，这时观察到码头C位于船的北偏东45°方向，若此时渔政执法船返回码头C，需要多少时间？（结果精确到0.1，√2≈1.41，sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈3 4）．【题型6 解直角三角形的应用（坡角、坡度）】【例6】（2022•河南模拟）如图，AD是土坡AB左侧的一个斜坡，坡度为55°，村委会在坡底D处建另一个高为3米的平台，并将斜坡AD改为AC，坡比i＝1：1，求土坡AB的高度．（精确到0.1米，参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43．）【变式6-1】（2022•北碚区校级模拟）黑龙江亚布力地区的滑雪场在国内享誉盛名，如图所示为该地区某滑雪场的一段赛道示意图，AB段为助滑段，长为12米，坡角α为16°，一个曲面平台BCD连接了助滑坡AB与着陆坡DE．已知着陆坡DE的坡度为i＝1：2.4，DE长度为19.5米，B，D之间的垂直距离为5.5米，则一人从A出发到E处下降的垂直距离约为（参考数据sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29，结果保留一位小数）（）A．15.9米B．16.0米C．16.4米D．24.5米【变式6-2】（2022•垦利区一模）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多．为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1：√3；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．则斜坡CD的长为．（结果保留根号）【变式6-3】（2022•内乡县二模）如图，斜坡OA上有一竖直的电线杆ED，已知∠O＝30°，为保证电线杆不倾斜，现从电线杆上不同的M，N两处分别向地面引两条钢丝引线MF，NG（引线与电线杆位于同一平面内），其中MF与斜坡OA垂直，∠NGF＝70°，现测得DF＝FG＝4米，试求M，N两点间的距离．（结果精确到0.1，√3≈1.732，tan40°≈0.840，tan70°≈2.750）11。