浅谈“循环矩阵”的性质及应用毕业论文

浅谈“循环矩阵”的性质及应用毕业论文目录摘要 ....................................................................................................................... 错误!未定义书签。

Abstract ................................................................................................................错误!未定义书签。

1 前言 (1)2. 循环矩阵的基本概念及性质 (3)2.1 基本概念 (3)2.2 循环矩阵的性质 (3)2.3循环矩阵的对角化 (6)3循环矩阵的推广 (9)3.1 广义循环矩阵 (9)3.2 r 循环矩阵 (13)3.3 反循环矩阵 (16)小结 (20)参考文献 (21)致谢 ....................................................................................................................... 错误!未定义书签。

1 前言-于1885年首先提出来的, 自提出以来, 直到1950-1955年, 循环矩阵的概念是T MuirGood等人才开始分别对循环矩阵的逆, 行列式及其特征值进行了相应地研究[1-2]. 目前有关循环矩阵的问题依然是大家喜欢和热爱研究的一个热点.自1950年以来, 循环矩阵被数学界高度重视, 发展迅速, 各种新的循环矩阵概念也被相继提出, 已有十几种: 如向后循环矩阵, 循环布尔矩阵, y-(块)循环矩阵, r-循环矩阵, 向后(对称)循环矩阵, 块循环矩阵等等[5-7]. 许多数学工作者对它进行了大量研究, 得出很多成果.在线性代数中, 循环矩阵是一种特殊形式的toeplitz矩阵, 它的行向量的每个元素都是前一个行向量各元素依次右移一个位置得到的结果. 由于可以用离散傅立叶变换快速解循环矩阵, 所以在数值分析中有重要的应用.近年来, 循环矩阵类已不断指引着应用数学和矩阵理论领域中的一个非常积极的和重要的研究和学习方向. 而它之所以会吸引数学学者和工作者如此大的兴趣和孜孜不倦的追求, 是因为循环矩阵是一类具有特殊结构, 并且有良好性质的矩阵, 而且也是非常重要的矩阵. 同时它也是应用非常广泛的一类矩阵, 比如在编码理论、理论物理、分子的轨道理论、数理统计与概率、图象数学处理、固态物理、计算结构等很多的方面应用都比较广泛.同时循环矩阵的逆和特征值问题, 在物理方面的力学振动系统设计, 分子结构理论, 线性多变量控制理论及数值分析等领域中也频繁闪现.对循环矩阵的研究是矩阵理论的重要组成部分, 且日益成为应用数学领域中一个非常活跃和重要的研究方向. 基于这类矩阵有许多良好的性质和结构, 很有必要对其进行推广并探讨其特殊结构、特殊性质、各种各样的多项式表示形式极小多项式、非奇异性、特征多项式、对角化、谱分解、特征值、逆阵、自反g-逆、-逆的各种快速算法等.群逆及moore penrose目前由于循环矩阵的理论还不是很完善, 而在实际生活中许多的数学模型是有关循环矩阵的, 数学工作者对循环矩阵的研究仍在不停的继续着. 其中循环矩阵的逆矩阵求法是多国数学工作者研究的一个热点.本文在对文献[1-8]进行深入讨论和研究的基础之上分析总结, 对于矩阵系统中一类非常重要的矩阵--循环矩阵, 又一次从最基本的定义出发详细地综合了以往对循环矩阵的相关研究及结论,并在其基础上对于以往的结论进行重新证明, 同时继续研究循环矩阵的各种性质. 并且利用矩阵对角化的方法来研究和学习循环矩阵的伴随矩阵, 逆矩阵, 以及行列式的表达方式; 利用范德蒙矩阵对循环矩阵的一个定理给出了推广, 并得到二重循环矩阵(广义循环矩阵）的性质, 即广义循环矩阵(二重循环矩阵)和r 循环矩阵的相应性质, 随之对循环矩阵的应用性质和进行进一步的讨论.2. 循环矩阵的基本概念及性质2.1 基本概念定义2.1 复数域C 上形如0121101221031230n n n n n n a a a a a a a a A a a a a a a a a ------⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(2.1)的矩阵, 称为n 阶的循环矩阵.定义2.2 设数域K 上n n ⨯矩阵10...00001...00000...01100...00G ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭, 由于200100000001000001000G ⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,,100001100000000000010n G -⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, n G E =, 其中E 是单位矩阵, 称矩阵G 为基本循环矩阵.2.2 循环矩阵的性质性质 2.1 令,1,2,,i i B G i n ==, 则矩阵1234,,,,,n B B B B B 都是循环矩阵且1234,,,,,n B B B B B 是线性无关的.证明 从上可知显然1234,,,,,n B B B B B 是循环矩阵. 下面只要证它们是线性无关的即可. 设11220n n x B x B x B +++=, 则12312111223410n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x ---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此120n x x x ====, 所以1234,,,,,n B B B B B 是线性无关的.性质 2.2 任意的n 阶循环矩阵A (如(2.1)式) 都可以由1234,,,,,n B B B B B 线性表出,即11220n A a B a B a B =+++.从上可知如果令1011()n n f x a a x a x --=+++, 则()A f G =. 称()f x 为n 阶循环矩阵A 的生成多项式.性质2.3 设,A B 都是数域K 上n 阶循环矩阵, 数k K ∈, 那么,,A B kA AT +也都是n 阶循环矩阵.注 性质3表明循环矩阵对于通常的矩阵的加法､ 数乘矩阵以及矩阵的转置运算都是封闭的. 这里就不加证明了.性质2.4 设,A B 都是数域K 上n 阶循环矩阵, 那么它们的乘积AB 也是数域K 上的n 阶循环矩阵, 并且AB BA =, 即循环矩阵的乘积仍然是循环矩阵.证明 设A ,B 全为n 阶循环矩阵, 不妨设()A f G =, ()B g G = 其中1011()n n f x a a x a x --=+++, 1011()n n g x b b x b x --=+++.则1122000()()n n n i j k i j k i i i AB f G g G a G a G C G ---===⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑, 其中k iji j kC a b+==∑. 由于nG E =, 所以1()()()()n k k k AB f G g G fg G d G -====∑,其中,0,,2k k n k d C C k n +=+=-, 11n n d C --=.所以乘积AB 也是数域K 上的n 阶循环矩阵, 并且AB BA =, 即循环矩阵的乘积仍然是循环矩阵.由性质2.4可得, 如果n 阶循环矩阵A 是可逆矩阵, 那么推出 性质2.5 若A 是n 阶循环矩阵, 且A 是可逆, 那么1A -也是循环矩阵. 证明 设210121n n B b E b G b G b G --=++++其中(0121,,,,n b b b b -为待定系数)使得AB E =, 即可证明循环矩阵A 为可逆的循环矩阵.设210121n n A a E a G a G a G --=++++则212101210121()()n n n n AB a E a G a G a G b E b G b G b G ----=++++⋅++++0101122110011221()()n n n n n a b a b a b a b E a b a b a b a b G -----=+++++++++110213201()n n n n n a b a b a b a b G -----++++++由于AB E =, 则有下列方程组成立001122111001122110213201100n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩ （2.2） 它的系数矩阵为A T(A T表示A 的转置矩阵). 由于A 可逆, 其中0A A T=≠, 由克莱姆法则知, 方程组)2.2(中有且仅有唯一的解0121,,,,n b b b b -, 即B 唯一存在, 从而这样的B 就是A 的逆矩阵, 且B 也是循环逆矩阵.推论2.6 设A 是n 阶可逆的循环矩阵, 则A 的伴随矩阵A *也是循环矩阵. 证明 因为A 是n 阶可逆的循环矩阵, 所以1A A A *-=, 因此由性质2.5知,11011n n A b E b G b G ---=+++是循环矩阵. 由此11011n n A A A A b E A bG A b G *---==+++也是循环矩阵.2.3循环矩阵的对角化引理2.7 基本循环矩阵G 可以对角化. 证明 由于010 (000)01...00000...01100...00G ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭, 所以1...0001 (00)1000 (11)...0n E G λλλλλλ---==---.从而它在复数域C 上有n 个不同的特征值, 即22cossink k k k i n nππλε==+,20,1,2,,1,1k n i =-=-.所以基本循环矩阵可以对角化.定理2.8 n 阶循环矩阵A 可以对角化. 证明 设循环矩阵A 的生成多项式为112210)(--++++=n n x a x a x a a x f .由于()A f G =, 而矩阵G 可以对角化, 所以存在可逆阵T , 使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-K GT T εεε000000101其中22cossin k k k i n nππε=+,20,1,2,,1;1k n i =-=-即0121,,,,n εεεε-为所有n 次单位根, 从而有11112110121n n T AT a T ET a T GT a T G T a T G T -------=++++)(,),(),(),1((121-=n f f f f diag εεε .因此n 阶循环矩阵A 可以对角化.定理2.9 设循环矩阵A 如(2.1)式定义, 则循环矩阵A 可逆的充要条件是方程210121()0n n f x a a x a x a x --=++++=无单位根. 证明 构造取11222011111011111n n n n n n T εεεεεεεεε------⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭,其中22cossink k k i n nππε=+,20,1,2,,,1k n i ==-.即0121,,,,n εεεε-为所有n 次单位根. 由于0121,,,,n εεεε-两两不同, 所以由范德蒙行列式的性质知矩阵T 是可逆的, 从而1111011222222011201111111101110111110001110000000n n n n n n n n n n n n n A λεεελεεεεεελεεεεεελεεε--------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1(),0,1,2,,1n j i j i i j a f i n λεε-====-∑因此只要0,0,1,2,,1i i n λ≠=-.则0A ≠, 即矩阵A 可逆. 即循环矩阵A 可逆的充要条件是方程210121()0n n f x a a x a x a x --=++++=无单位根.性质2.10 若A 是(2.1)所示的复数域上的n 阶循环矩阵, 设)(x f 为A 的生成多项式210121()n n f x a a x a x a x --=++++那么A 的行列式011det ()()()n A f f f εεε-= ,其中22cossink k k i n nππε=+,20,1,2,,,1k n i ==-是全部n 次单位根,定理 2.11 对于任何一个n 阶循环矩阵P 都存在一个n 阶循环矩阵A , 使得P 与A 相似.证明 由定理2.8可知n 阶循环矩阵P 可以对角化, 即存在可逆阵Q , 使得),,,(211n diag PQ Q λλλ =-其中12,,,n λλλ是矩阵P 的特征值. 若能得到A 的生成多项式()f x , 则A 就被唯一确定了. 为此令,)(1+=k k f λε 0,1,2,,1k n =-. 即21010*******01121112210112111n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a εεελεεελεεελ---------⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩ (2.3)其中01ε=. 显然方程组)3.2(的系数行列式是范德蒙行列式. 由于011,,,n εεε-两两不同, 从而此方程组的系数行列式不等于0, 则由克拉默法则知此方程组有唯一解. 从而A 的生成多项式()f x 被唯一确定. 此时),,,()(,),(),(),1((211211n n diag f f f f diag AT T λλλεεε ==--,即11T AT Q PQ --=, 从而111()()QT P QT A ---=,因此存在循环矩阵A 与矩阵P 相似.由定理2.8与定理2.9很容易就可以得到以下推论.推论2.12 任何一个循环矩阵A 在复数域上都与一个对角矩阵相似.3循环矩阵的推广第2部分主要是分析总结了循环矩阵的部分性质, 并对其性质进行了证明. 但在实际应用中还会遇到分块循环矩阵即准循环矩阵以及广义循环矩阵(二重循环矩阵)等等概念, 下面就讨论这些概念及其相应的性质.3.1 广义循环矩阵定义3.1 数域K 上的()m n ⨯阶循环C 可以写成m 阶的分块矩阵(),0,1,2,,1u C C u m ==-,且有01221101322340112310m m m m m m C C C C C C C C C C C C C C C C CC C C C ------⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 其中i C 为m n ⨯矩阵, 称矩阵C 为m m ⨯准循环矩阵.定义 3.2 设数域K 上的准循环矩阵为C , 如果每一个分块矩阵i C 同时都是循环矩阵, 那么称此矩阵C 为广义循环矩阵.对于上面提到的广义循环矩阵, 利用广义范德蒙矩阵来求广义循环矩阵求行列式的计算方法.定义 3.3 设E 是m 阶单位的矩阵,0121,,,,n B B B B -都是m 阶方阵且0121,,,,n B B B B -两两可以交换, 令矩阵01212222012111110121n n n n n n n EE E E B B B B B B B B B B B B B -------⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(3.1) 称矩阵为广义范德蒙矩阵. 它的行列式叫做广义的范德蒙行列式.为了能够证明下面的定理3.2首先证明接下来的引理. 引理3.1 设矩阵B 如定义3.3所定义, 则矩阵B 行列式为01i j j i n B B B ≤<≤-=-∏.证明 用数学归纳法来证明: 当1n =时, 由于011000E E E E EB E B B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以11000E E E E E B E B B B B =--.而01E B E=-,10100E EB B B B =--所以1001E EB B B B =-. 即当1n =时, 结论成立. 假设当n k =时, 结论也成立, 则当1n k =+时, 由于0121,,,,n B B B B -两两可交换,则00122222001200120000000000k k k k k k k EE E EE B E B B B B B B B B B B E B B B B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ ()()()()()()102011022001111102200000k k k k k k k k EE E E B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B ---⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪---= ⎪⎪⎪---⎝⎭()()()()()()1020011022001111102200k k k k k k k k B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B ------⎛⎫⎪--- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭101232022221233011111230000000000k k k k k k k k E E E E B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B -----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 由以上等式可知, 两边同时取行列式且可由假设归纳得0120012222222220120012012012000000000k k k k kkk kkkk kk k E E E E E E E E E B B B B B E B B B B B B B B B B B B B B B B B B E B B B B -=-- ()()()()()()1020110220011111022000k k k k k k k k E E E E B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B ---------=--- ()()()()()()1020011022001111102200k k k k k k k k B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B ---------=---101232022221233011111230000000000k k k k k k k k E E E E B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B ------=--00100i j i i j j i k i kj i kB B B B B B ≤<≤-≤≤≤<≤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏∏∏ 即结论亦同时成立. 可由数学归纳法原理引理3.1对一切自然数*N 都成立. 定义3.4 设n 阶数量方阵0000i ii i D εεε⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,0,1,2,,1i n =-其中22cossin k k k i n nππε=+,20,1,2,,1;1k n i =-=-即0121,,,,n εεεε-为所有n 次单位根. 称i D ,0,1,2,,1i n =-为广义n 次单位根.定理3.2 n 阶广义循环矩阵C 可逆的充要条件是方阵0121,,,,n C C C C -确定的矩阵多项式210121()0n n f X C C X C X C X --=++++=无广义单位根.证明 取011222011111011n n n n n n E E E D D D T D D D D D D ------⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 其中0121,,,,n D D D D -如定义 3.4所定义, 由于0121,,,,n D D D D -两两不同, 则由引理3.1可知T 可逆. 显然00000000kk ii kik k i i i k i i D E εεεεεεε⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,0,1,2,,1i k n =-,其中1,n i D E +=E 为m 阶方阵. 因此2101212110122221032321112310...,,...,,n i i n i i n n i i n i i i n n n i i n i i i n n n i i n i i i i C C D C D C D C C D C D C D D C C D C D C D D C C D C D C D C D D ------------⎧++++=Λ⎪++++=Λ⎪⎪++++=Λ⎨⎪⎪⎪+++++=Λ⎩以上等式通过矩阵可以表示为01101112222220110112111111011011000000000.0n n n n n n n n n n n n n E E E E EE D D D D D D C D D D D D D D D D D D D ------------Λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪Λ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪=Λ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪Λ⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此10111011222222011201111111101110110000000000n n n n n n n n n n n n n E E E EE E D D D D D D C D D D D D D D D D D D D --------------Λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪Λ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪=Λ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪Λ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.其中矩阵1n j i j i j C D -=Λ=∑,0,1,2,,1i n =-.因此只要,0,1,2,,1i i n Λ=-都不等于0, 则0C ≠, 即矩阵C 可逆. 即循环矩阵C可逆的充要条件是方程210121()0n n f X C C X C X C X --=++++=无广义单位根.可以得到以下推论, 推论中的,,i i C X Λ代表的意义与定理3.2中相同.推论3.3 对于广义循环矩阵C , 它的行列式为0nii C ==Λ∏, 秩0()()nii R C R ==Λ∏.推论3.4 广义循环矩阵C 相似于对角分块矩阵01(,,,)n diag ΛΛΛ, 它的特征值是01,,,n ΛΛΛ.3.2 r -循环矩阵r -循环矩阵与r -循环对称矩阵在应用数学与其它的学科都有很重要的用途, 本文将给出简单的性质及证明, 同时给出其相应的算法.定义3.5 记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=------231010132112210n n n n n n ra ra ra ra ara a a a aa a a a a A称A 为-r 循环对称矩阵, 简记为0121(,,,,)r n n r A SC a a a a CM --=∈, 其中r CM 表示-r 循环对称矩阵的集合.定义3.6 数域K 形如矩阵121101221031230n n n n n n a a a a ra a a a B ra ra a a ra ra ra a ------⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称矩阵J 为r -循环矩阵. 简记为0121(,,,,),r n r B C a a a a CM -=∈ 其中r CM 表示r -循环矩阵的集合. 记0,,0,1,0,,0,1,2,,1ii r G C i n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭并且约定当0i =, 0G E =(E 为单位阵).引理3.5 设12210121(,,,,),(,,,,),(0,0,0,,0,1),r n n r n n r B C a a a a A SC a a a a J SC ---===则,.n n AJ B BJ A ==引理3.6 矩阵()0121,,,,r n B C a a a a -=可逆当且仅当((),)1,n f x x r -= 其中210121(),n n f x a a x a x a x --=++++称()f x 为B 的关联多项式.定理3.7 设0121(,,,,)r n B C a a a a -=,1()n i i i f x a x -==∑为B 的关联多项式,121,,,n ααα-为()0f x =的全部根(,i j αα可以相等, 1i j n ≤≠≤).若B 可逆, 则()112111(,,,,1)mmn n k k k nk mkB C a αααα---=-=∏其中m a 是()F x 的最高次项系数.证明 由定义3.5知:1()n i i i B F G a G -===∑,其中(0,1,0,,0)r G C =, 又123,,,,m αααα为()F x 的根, 那么1()()mm k k F G a G I α==-∏因为B 可逆, 由引理3.7知道k α不是nx r =的根, 所以det()0k G I α-≠那么1()k G I α--存在, 且1121()(,,,,1),n n k r k k k nk G I C rααααα----=--这样就可以得到:[]1111111112111()()(1)1(,,,,1)n k k n n n n n r k k k nk n k B F G G I a C a rααααα----=-----=-⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦-=-∏∏矩阵B 的逆矩阵为所求, 证毕.设101210(,,,,),()n i r n i i B C a a a a F x a x --===∑为B 的关联多项式, 1231,,,,n αααα-是()F x 的全部根(j i a a 与可以相等, 11-≤≠≤n j i )则其中为的最高次项系数, 则由定理3.7可知若知道()0121,,,,r n B C a a a a -=的关联多项式1()n ii i F x a x-==∑那么用矩阵乘法得到()111121111(,,,,1)n n n n k k k nk n kB C a αααα-----=--=∏.但是当方程()0F x =的次数比较高时它的根就很难求得且次数大于或等于5时, 没有一般的求解表达式. 而当1r =且n 为偶数时可以采取降阶的算法. 设()10121,,,,n B C a a a a -=, 可以利用方块变为1221B B B B B ⎛⎫=⎪⎝⎭, 其中12,B B 是 22n n⨯阶矩阵且具有下面的性质: 1) 121B B CM +∈, 121B B CM --∈. 2) 若B 可逆, 则1212,B B B B +-也可逆. 3) 若1BH -=, 则1H CM ∈, 即n n BH I ⨯=. 令1221H H H H H ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中12,H H 为22n n⨯阶矩阵, 从而 1212212100n nn n E B B H H E B B H H ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以112212210B H B H IB H B H +=⎧⎨+=⎩. 因此()()()1112122121122,H B B B B B H B B H ---=--+=+-.前述算法均可用计算机代数语言在微机上实现.3.3 反循环矩阵在上面讨论的r -循环矩阵中当1r =-时即为反循环矩阵, 下面我们着重对它的对角化问题进行探讨.定义3.7 复数域C 上形如12110121230n n n b b b b b b b b B b b b b ---⎛⎫⎪- ⎪= ⎪⎪----⎝⎭的矩阵称为n 阶反循环矩阵.定义3.8 n 阶循环矩阵形如01000001000000110000T ⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭称为基本反循环矩阵.由上定义我们可以验证200100000001000101000T ⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭,, 10001100000000000010n T -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭, nT E =-. 其中E 为n 阶单位阵, 由以上可知2,,,nT T T 都为n 阶反循环矩阵.引理 3.8 n 阶循环矩阵B 可以用基本反循环矩阵T 的方幂来线性表出. 反过来如果矩阵B 可以用基本反循环矩阵T 的方幂线性表示, 那么B 一定为反循环矩阵.证明 设n 阶循环矩阵B 形如定义3.6所示, 取210121()n n g x b b x b x b x --=++++则()B g T =. 反过来也显然成立. 这样n 阶循环矩阵B 可由一个次数不高于1n -的多项式唯一确定, 称()g x 为B 的生成多项式.引理3.9 基本反循环矩阵可以对角化. 证明 由于1000001000000110000T ⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭, 所以10 0001 01000 (11)...0n E T λλλλλλ---==+-.从而它在复数域C 上有n 个不同的特征值, 即(21)(21)cossin k k k k i n nππλω++==+,20,1,2,,1,1k n i =-=-.所以基本循环矩阵可以对角化.定理3.10 反循环矩阵可以对角化.证明 由引理3.9可知基本反循环矩阵T 可以对角化, 即存在可逆矩阵J , 使得10121(,,,,)n J J diag λλλλ--T =进而可计算得到211122220121()()(,,,,),,n J T J J TJ J J diag λλλλ----=T =1111110121(,,,,)n n n n n n J TJ diag λλλλ-------=.由上可以知, 任何复n 阶可逆矩阵J 可使得231,,,,n T T T T-的方幂同时对角化. 由引理3.8知n 阶循环矩阵B 可用T 的方幂线性表示, 即取210121()n n g x b b x b x b x --=++++,则()B g T =. 所以21110121()n n J BJ J b E b T b T b TJ ----=++++ 1111011n n b J EJ b J TJ b J TJ -----=+++0121((),(),(),,())n diag g g g g λλλλ-=.因此反循环矩阵是可以对角化的.定理3.11 反循环矩阵必定和循环矩阵相似.证明 设B 为任一反循环矩阵, B 的生成多项式为()g x , C 为一循环矩阵, C 的生成多项式为210121()n n f x c c x c x c x --=++++. 则由定理3.10可知有一个可逆矩阵J , 使得10121((),(),(),,())n J BJ diag g g g g λλλλ--=,而由矩阵相似关系的传递原理可知, 要使B 与C 相似, 只须C 与1J BJ -相似, 所以令2()(),0,1,2,,1,k ink k k f w f k n w eπλ==-=,所以此方程组的系数组成的矩阵就是11111011111n n n n n D εεεεεε-----⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,而0G ≠, 所以线性矩阵方程组存在的唯一解0121(,,,,)n b b b b -, 此时11111()().C GJ BJG TG B TG -----==故B 与C 相似.定理3.12 任一n 阶循环矩阵C 可对角化的充要条件是C 与某一n 阶反循环矩阵相似. 证明 n 阶循环矩阵C 可以对角化的充要条件即存在可逆矩阵Q , 使10121(,,,,)n Q CQ diag λλλλ--=,令210121()n n f x c c x c x c x --=++++考虑以下关于0121,,,,n c c c c -的线性方程组, 其中系数矩阵为111111111()n n n n T ωωωω----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,由于0T ≠, 所以存在唯一的0121,,,,n c c c c -. 而n 阶反循环矩阵是B , 故由定理3.10知1101210121((),(),(),,())(,,,,)n n J BJ diag g g g g diag Q CQ λλλλλλλλ----===.即n 阶循环矩阵C 与n 阶反循环矩阵B 相似.小结本文主要通过和导师的研究和讨论, 借鉴参考文献更加系统的了解和掌握循环矩阵的性质及其应用推广, 本文很系统的从循环矩阵的定义出发, 重新回顾了循环矩阵的性质并运用大学所学知识, 对循环矩阵的相关的性质进行了重新的证明, 然后推广循环矩阵的性质到r循环矩阵等. 目的在于能更好地掌握和运用数学循环矩阵来解决实际的广义循环矩阵,问题, 本论文反映出数学循环矩阵性质和应用的实际现状. 然后结合国内外的研究成果, 总结一些在我们的数学学习过程中应该注意的问题, 提出要点和方法, 为学习数学打下基础和铺垫.参考文献[1]Dan Kalman and James E.White, Polynomial Equations and Circulant Matrices[J], TheMathematical Association of America, 2001.11(18), 821-840[2]Philip Davis, Circulant Matrices[M], Wiley, New York, 1979, 12-25[3]张盛虞, 关于循环矩阵的一些性质[J], 赣南东南民族师范高等专科学校学报, 2006.12第24卷第6期[4]吴世轩, 循环矩阵的若干性质及应用[J], 南方冶金学院学报, 2002年1月第23卷第1期[5]徐春, 一类特殊矩阵的性质及求逆方法, 科技传播[J], 2010.11[6]李天增, 王瑜, 循环矩阵的性质及求逆方法[J], 四川理工学院学报(自然科学版), 2009年8月第22卷第4期[7]赵立宽, 岳晓鹏, 杜学知, 关于循环矩阵的几个性质的推广[J], 曲阜师范大学学报,2006年4月第32卷第2期[8]郭训香, 吴冬香, 矩阵的一些性质[J], 赣南师范学院学报2007年第6期[9]江兆林, 周章鑫, 循环矩阵[M], 成都科技大学出版社, 1999年1月[10]石生明, 王萼芳, 高等代数[M], 高等教育出版社(第三版), 1987.03。